arXiv论文分析报告

生成时间: 2025年10月02日 02:44:34

重点关注论文数量: 6

了解领域论文数量: 6

不相关论文数量: 30

重点关注论文（完整分析）

1. Curl Measure Fields, the Generalized Stokes Theorem and Vorticity Fluxes

旋度测度场、广义斯托克斯定理与涡量通量

作者: Gui-Qiang G. Chen, Franz Gmeineder, Monica Torres

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26465v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26465v1

详细分析

中文标题: 旋度测度场、广义斯托克斯定理与涡量通量

研究对象和背景

本文研究的对象是一类新型的弱向量场，称为 $p$-可积旋度测度场（curl-measure fields），记作 $\mathscr{CM}^p(\Omega)$，其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 是一个开集。这类向量场 $F: \Omega \to \mathbb{R}^3$ 满足两个条件：

1. $F \in L^p(\Omega; \mathbb{R}^3)$，
2. 其分布意义下的旋度 $\mathrm{curl}\, F$ 是一个取值于 $\mathbb{R}^3$ 的有限Radon测度，即：
   $$ \mathrm{curl}\, F \in \mathcal{RM}_{\mathrm{fin}}(\Omega; \mathbb{R}^3). $$

因此，$\mathscr{CM}^p(\Omega)$ 中的函数空间定义为：

该空间推广了经典的 Sobolev 型空间 $\mathbf{H}^{\mathrm{curl}}(\Omega)$ 和 $W^{\mathrm{curl},p}(\Omega)$，后者要求 $\mathrm{curl}\, F \in L^p(\Omega; \mathbb{R}^3)$，而本文允许旋度集中于低维流形（如曲面或曲线）上形成奇异测度。

这类场自然出现在涉及涡旋现象的问题中，例如：

• 涡片（vortex sheets）：当两种流体在界面 $\Sigma = \partial\Omega_1 \cap \partial\Omega_2$ 上发生切向速度跳跃时，其速度场 $u$ 的旋度 $\mathrm{curl}\, u$ 集中在 $\Sigma$ 上，成为支撑在二维曲面上的测度。此时即使 $u \in L^\infty(\Omega; \mathbb{R}^3)$，也无法属于任何 $W^{\mathrm{curl},p}$ 空间，但 $u \in \mathscr{CM}^\infty(\Omega)$。
• 流体力学中的集中涡旋、电磁学中的电流层等也属于此类结构。

特别地，在物理或工程中，一个核心问题是计算通过定向曲面 $\Sigma \Subset \Omega$ 的涡量通量（vorticity flux）：

其中 $\nu: \Sigma \to \mathbb{S}^2$ 是单位法向量场。经典斯托克斯定理将此通量转化为边界上的环流积分：

其中 $\Gamma_\Sigma = \partial\Sigma$ 是 $\Sigma$ 的边界，$\tau$ 是其切向场。

然而，当 $F$ 属于 $\mathscr{CM}^p$ 类且具有奇异性时，右侧的线积分并无明确定义——因为 $F$ 在一维曲线上的迹通常不可定义（存在维度缺口）。本文的核心目标正是在极低正则性条件下重建这一类斯托克斯公式，使其适用于包含集中涡旋的非光滑场。

研究区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 通常是开且有界的 Lipschitz 域，考虑其内部的子流形 $\Sigma \Subset \Omega$，并引入所谓“好流形”（good manifolds）的概念，这些是满足某种极大算子有限性的 Lipschitz 子流形，使得迹和通量可以被良好定义。

主要定理或主要结果

定理 3.9（$\mathscr{CM}^\infty$ 场的切向迹）
设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 为有界 Lipschitz 域，$\Omega' \Subset \Omega$ 也为有界 Lipschitz 域。若 $F \in \mathscr{CM}^\infty(\Omega)$，则存在唯一的切向迹 $\mathrm{tr}(F) \in L^\infty(\partial\Omega'; \mathbb{R}^3)$，满足：

• $\mathrm{tr}(F)(x) \in T_x(\partial\Omega')$ 对 $\mathcal{H}^2$-几乎处处 $x \in \partial\Omega'$ 成立；
• 对任意 $\varphi \in C^1(\overline{\Omega})$，有
  $$ \int_{\partial\Omega'} \varphi(x) (F \times \nu_{\partial\Omega'})(x) \, d\mathcal{H}^2(x) = \int_{\Omega'} \left( \varphi(x) \mathrm{curl}\, F - F \times \nabla\varphi \right) dx, $$
  其中右边的积分理解为测度配对（因 $\mathrm{curl}\, F$ 是 Radon 测度）。

定理 5.10（关于切向扰动的斯托克斯定理，$\mathscr{CM}^\infty$ 情形）
设 $\widetilde{\Sigma} \subset \mathbb{R}^3$ 为固定的参考二维 Lipschitz 流形，$F \in \mathscr{CM}^\infty(\mathbb{R}^3)$。令 $M_\Psi$ 为与 $\widetilde{\Sigma}$ 相关的切向极大算子。若 $M_\Psi(F)(x) < \infty$ 对 $\mathcal{H}^2$-几乎所有 $x \in \widetilde{\Sigma}$ 成立，则对几乎所有相对紧的 Lipschitz 子流形 $\Sigma \Subset \widetilde{\Sigma}$，存在一个一维 Radon 测度 $\mu_\Sigma$ 支撑在 $\Gamma_\Sigma = \partial\Sigma$ 上，使得：

$$ \int_\Sigma \varphi \, d[\mathrm{curl}\, F] = - \int_{\Gamma_\Sigma} \varphi \, d\mu_\Sigma $$

对所有 $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$ 成立。此处左边是测度 $\mathrm{curl}\, F$ 在 $\Sigma$ 上与 $\varphi\nu_\Sigma$ 的配对，右边是 $\mu_\Sigma$ 与 $\varphi$ 的配对。

定理 6.7（关于横向扰动的斯托克斯定理）
设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 为有界 Lipschitz 域，$F \in \mathscr{CM}^\infty(\Omega)$，$\Sigma \subset \partial\Omega$ 为 $C^1$-正则 Lipschitz 边界流形。令 $M_\Phi$ 为横向极大算子。若 $M_\Phi(F)(x) < \infty$ 对 $\mathcal{H}^2$-几乎所有 $x \in \Sigma$ 成立，则可通过横向变形 $\Sigma_t = \Phi(t, \Sigma)$ 构造一族流形，并在每个 $\Sigma_t$ 上定义相应的迹，使得广义斯托克斯公式成立，且可归约为流形上的 Gauss-Green 定理。

定理 7.14（$\mathscr{CM}^p$ 情形的弱斯托克斯定理，$1 \leq p < \infty$）
设 $1 \leq p < \infty$，$F \in \mathscr{CM}^p(\Omega)$，并假设 $F$ 属于子空间 $\mathscr{CM}^p_1(\Omega)$，即其切向迹的切向散度可表示为某个 $L^1(\Sigma)$ 向量场的切向散度。设 $\Sigma \Subset \Omega$ 为二维 Lipschitz 流形，且切向极大算子 $M_\Psi(F)$ 在 $\Sigma$ 上有限。则存在一个支撑在 $\partial\Sigma$ 上的 Radon 测度 $\mu_\Sigma$，使得对所有 $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$，

$$ \int_\Sigma \varphi \, d[\mathrm{curl}\, F] = - \int_{\partial\Sigma} \varphi \, d\mu_\Sigma. $$

定理 7.18（经典 $W^{\mathrm{curl},p}$ 空间中的斯托克斯定理）
若 $F \in W^{\mathrm{curl},p}(\Omega)$，且 $p > 3$，则 $F \in \mathscr{CM}^p(\Omega)$，并且对于所有足够规则的二维 Lipschitz 流形 $\Sigma \Subset \Omega$，广义斯托克斯定理成立。特别地，当 $p > 3$ 时，所有 Lipschitz 曲面都是“好流形”。

研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

• 迹定理与分布论方法：通过分部积分公式

  $$ \int_{\partial\Omega'} \varphi F \times \nu \, d\mathcal{H}^2 = \int_{\Omega'} (\varphi \mathrm{curl}\, F - F \times \nabla\varphi)\,dx $$

  来定义分布意义下的切向迹，这是处理非光滑场的标准手法，类似于 DM$^p$（散度测度场）中的法向迹理论，但在旋度情形下需处理向量值迹与切向性约束。

• 极大算子选择准则：引入两类新的极大算子：

  • 切向极大算子 $M_\Psi(F)$：用于判断哪些二维流形 $\Sigma$ 上可以定义有效的切向迹和通量；
  • 横向极大算子 $M_\Phi(F)$：用于控制沿法向变形族 $\Sigma_t$ 上的行为。 这些极大算子基于局部平均，其有限性成为“好流形”的判据，是实现几乎处处斯托克斯定理的关键。

• 扩展的散度测度场理论：将 $\mathrm{curl}\, F$ 视为一个向量值 Radon 测度，利用 [Chen-Frid] 等人发展的扩展散度测度场（divergence-measure fields）框架，将其限制到子流形上作为迹泛函。

• 微分流形上的分析：在 Lipschitz 子流形上建立 Gauss-Green 型公式，使用切向散度 $\mathrm{div}_\tau$、Weingarten 映射、曲率项 $H_\Sigma$ 等几何工具，将三维问题降维至流形本身。

• 紧支截断与逼近技术：使用标准磨光子 $\rho_\delta$ 对场进行正则化，结合 $L^p$ 或测度收敛性，建立从光滑情形到奇异情形的极限过渡。

b) 解决技术性难题的主要技巧

• 克服维度缺口（dimension gap）：由于 $\mathscr{CM}^p$ 场仅具有一阶可微性（类似 BV 或 $W^{1,1}$），标准迹理论只保证在二维以上集合上有迹；而斯托克斯公式的右端需要在一维曲线 $\Gamma_\Sigma$ 上求值。作者通过构造一个迹泛函（Stokes functional）

  $$ \varphi \mapsto \int_\Sigma \varphi \, d[\mathrm{curl}\, F] $$

  并证明它在适当拓扑下是零阶分布（即 Radon 测度），从而绕过直接定义 $F|_{\Gamma_\Sigma}$ 的困难。

• 切向性保持论证：尽管抽象定义的迹是 $\mathbb{R}^3$-值的，必须证明其实际上落在切空间中。这通过精细估计和反证法完成，依赖于 $\mathrm{curl}\, F$ 为测度所提供的额外紧性。

• 横向变形与 collar 定理：为了研究参考流形的横向扰动，使用由 [Hofmann et al.] 发展的 collar-type 定理，构造双Lipschitz同胚 $\Phi(t,x)$ 将 $\partial\Omega'$ 沿法向“推入”或“推出”，从而生成一族平行流形 $\Sigma_t$，在此基础上定义横向极大算子并控制迹的变化。

• 局部化与拼接技术：在非全局规则的流形上，利用有限覆盖与坐标卡拼接，结合 Lipschitz 参数化，将整体问题分解为局部可处理的情形。

与之前工作的比较

a) 突破与改进

• 突破经典函数空间的局限：以往对 Maxwell 方程或流体方程的研究多基于 $W^{\mathrm{curl},p}$ 或 $\mathbf{H}^{\mathrm{curl}}$ 空间，这些空间要求 $\mathrm{curl}\, F \in L^p$，无法容纳集中在曲面或线上的涡旋结构（如 vortex sheets）。本文提出的 $\mathscr{CM}^p$ 空间明确允许 $\mathrm{curl}\, F$ 为奇异测度，从而统一处理连续与集中型涡量。

• 首次建立低正则性下的广义斯托克斯定理：虽然经典斯托克斯定理在 $C^1$ 场中成立，但对于仅有 $L^\infty$ 正则性和测度型旋度的场，此前缺乏严格的数学框架来定义通量与环流之间的关系。本文通过极大算子筛选“好流形”，实现了在非光滑、甚至不连续场上的斯托克斯公式，这是全新的结果。

• 比现有迹定理更强的适用范围：相比传统的 $W^{\mathrm{curl},p}$ 空间的迹理论（如 Alonso & Valli, Buffa 等人工作），本文的结果不仅适用于更广的空间（$\mathscr{CM}^p \supset W^{\mathrm{curl},p}$），而且揭示了即使在 $p = \infty$ 时也能获得 $L^\infty$ 切向迹，而在 $p < \infty$ 时则退化为分布迹，这种精细刻画前所未有。

• 解决了长期存在的涡片建模问题：在流体力学中，vortex sheet 模型常以形式化方式使用（如 Birkhoff-Rott 方程），但缺乏坚实的分析基础。本文为这类模型提供了严格的函数空间框架和通量定义，使后续数学分析（如适定性、稳定性）成为可能。

• 技术上的原创性：引入的切向与横向极大算子 $M_\Psi, M_\Phi$ 是本文独创的工具，它们将调和分析中的极大函数思想与几何测度论相结合，用于识别可应用斯托克斯定理的流形集合，这种方法在同类研究中尚属首次。

综上所述，本文不仅拓展了经典向量分析的边界，还为包含奇异涡旋结构的物理模型建立了统一而严谨的数学基础，其结果在流体力学、电磁学及偏微分方程的几何分析中具有深远意义。

2. Global controllability of Boussinesq flows by using only a temperature

control

仅通过温度控制实现Boussinesq流的全局可控性

作者: Vahagn Nersesyan, Manuel Rissel

类别: math.AP, math.OC, 35Q30, 35Q49, 76B75, 80A19, 93B05, 93C10

发布日期: 2024-04-15

ArXiv ID: 2404.09903v4

链接: http://arxiv.org/abs/2404.09903v4

详细分析

中文标题: 仅通过温度控制实现Boussinesq流的全局可控性

1. 研究对象和背景

本文研究的是二维环面 $\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2 / 2\pi\mathbb{Z}^2$ 上的不可压缩 Boussinesq 系统，该系统描述了由浮力驱动的粘性不可压缩流体的运动。系统的状态由速度场 $\boldsymbol{u}$、温度场 $\theta$ 和压力 $p$ 描述，其演化由以下偏微分方程组控制：

其中：

• $\nu > 0$ 是流体的粘性系数，
• $\tau > 0$ 是热扩散系数，
• $\boldsymbol{e}_{\text{grav}} = (0,1)$ 表示重力方向，
• $\boldsymbol{\Phi}_{\text{ext}}, \psi_{\text{ext}}$ 是给定的外部力项（假设平均值为零），
• 控制项 $\eta$ 是作用在子区域 $\omega \subset \mathbb{T}^2$ 上的外部温度输入，$\mathbf{1}_\omega$ 是特征函数。

控制区域 $\omega$ 被设定为任意一个水平细条带：

即只在一个垂直方向上局部加热或冷却。

文中考虑的状态空间是 Sobolev 空间中的零平均函数空间，定义如下：

• $H_{\text{avg}} := \left\{ f \in L^2(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}) \,\middle|\, \int_{\mathbb{T}^2} f(\boldsymbol{x}) d\boldsymbol{x} = 0 \right\}$,
• $H_{\text{div}} := \left\{ \boldsymbol{f} \in L^2(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}^2) \,\middle|\, \nabla \cdot \boldsymbol{f} = 0 \right\}$,
• $V^r := H^r(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}^2) \cap H_{\text{div}}$,
• $H^r := H^r(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}) \cap H_{\text{avg}}$,

并配备标准 Sobolev 范数 $\|\cdot\|_r$。所有函数均为 $2\pi$-周期函数，且 Lebesgue 测度已归一化：$\int_{\mathbb{T}^2} d\boldsymbol{x} = 1$。

值得注意的是，以往对 Navier–Stokes 或 Boussinesq 系统的可控性研究中，若使用物理局域化的控制，通常要求控制区域“足够大”（例如包含两个不同方向的条带以使拓扑简单连通）。而本文突破性地允许控制仅作用于单个水平细条带 $\omega$，这在技术上更具挑战性。

2. 主要定理或主要结果

定理 1.2（仅通过局域温度控制实现全局近似可控性）
设整数 $r \geq 0$，粘性 $\nu > 0$，热扩散系数 $\tau > 0$，控制时间 $T > 0$，初始状态 $(\boldsymbol{u}_0, \theta_0) \in V^r \times H^r$，目标状态 $(\boldsymbol{u}_T, \theta_T) \in V^r \times H^r$，外部力 $(\boldsymbol{\Phi}_{\text{ext}}, \psi_{\text{ext}}) \in L^2((0,T); V^{\max\{r,2\}} \times H^{\max\{r,2\}})$，以及任意近似误差 $\varepsilon > 0$。
则存在一个光滑控制函数 $\eta \in C^\infty(\mathbb{T}^2 \times [0,T]; \mathbb{R})$，其支撑集满足 $\text{supp}(\eta) \subset \omega \times [0,T]$，使得 Boussinesq 系统 (1.1) 的唯一解

$$ \boldsymbol{u} \in C^0([0,T]; V^r) \cap L^2((0,T); V^{r+1}), \quad \theta \in C^0([0,T]; H^r(\mathbb{T}^2;\mathbb{R})) \cap L^2((0,T); H^{r+1}(\mathbb{T}^2;\mathbb{R})) $$

满足：

$$ \|\boldsymbol{u}(\cdot, T) - \boldsymbol{u}_T\|_r + \|\theta(\cdot, T) - \theta_T\|_r < \varepsilon. $$

定理 1.3（通过有限可分解控制实现全局近似可控性）
在与定理 1.2 相同的假设下，存在控制参数 $\gamma, \gamma_1, \dots, \gamma_6 \in L^2((0,T); \mathbb{R})$，使得当控制项 $\eta$ 和 $\tilde{\eta}$ 具有如下“有限可分解”结构时：

$$ \eta(\boldsymbol{x}, t) = \sum_{l=1}^6 \gamma_l(t) \zeta_l(\boldsymbol{x}, \gamma(t)), \quad \tilde{\eta}(x_1,x_2,t) = \gamma(t)\zeta_1(x_2), $$

其中 $\zeta_1,\dots,\zeta_6$ 是一组预先固定、空间局域于 $\omega$ 的光滑函数（称为“输运傅里叶模态”），则 Boussinesq 系统 (1.3) 的解在时间 $T$ 满足与目标状态的误差小于 $\varepsilon$。特别地，通过坐标变换，可以消去动量方程中的控制项 $\tilde{\eta}$，从而仅用一个具有显式反馈结构的温度控制 $\eta$ 实现全局近似可控性。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

• 多阶段尺度分析（multi-stage scaling procedure）：这是本文的核心策略之一。作者利用粘性和热扩散系数的不同尺度行为，设计多个时间阶段，在某些阶段放大温度控制效应而在其他阶段忽略其对涡量的影响，从而分别独立调控温度和速度场。
• 几何控制论思想与回溯法（Coron’s return method）：通过构造特定参考轨迹（如定理 2.1 中的流动映射 Y），结合非线性系统的可控制性分析，将系统从初始态“引导”至目标态。这种方法常用于处理非线性 PDE 的全局可控性问题。
• 输运方程的精确可控性理论：文章深入研究了形如 $\partial_t f + \boldsymbol{u} \cdot \nabla f = \mathbf{1}_\omega \eta$ 的线性输运方程，并证明其可通过局域化、有限可分解的控制实现近似可控性。
• Sobolev 空间中的能量估计与正则性理论：在整个论证过程中，依赖于经典 Navier-Stokes 和输运-扩散方程的能量不等式与高阶正则性估计来保证解的存在唯一性及连续依赖性。

b) 技术性难题的解决技巧

• “有限可分解控制”（finitely decomposable controls）的引入：传统有限维控制难以实现空间局域化。本文采用一类新型控制形式：
  $$ \eta(\boldsymbol{x},t) = \sum_{l=1}^6 \gamma_l(t) \zeta_l(\boldsymbol{x}, \gamma(t)), $$
  其中 $\zeta_l$ 是依赖于时间参数 $\gamma(t)$ 的固定基函数（如输运后的傅里叶模态），从而既保持控制结构简单，又实现物理局域化。
• 输运傅里叶模态（transported Fourier modes）的构造：定义
  $$ \zeta_l(\boldsymbol{x}, s) = \chi(\boldsymbol{x}) \tilde{\zeta}(\widetilde{\text{U}}(Y(\boldsymbol{x}, s, 1), 1, \sigma(s))), $$
  其中 $\tilde{\zeta} \in \{\sin x_1, \cos x_1, \sin x_2, \cos x_2\}$，$Y, \widetilde{\text{U}}$ 分别是由辅助向量场生成的流图，$\chi$ 是支持在 $\omega$ 内的截断函数。这种构造使得控制函数能有效激发全频谱模式。
• 显式反馈变换消除速度控制项：通过变量替换 $\theta \mapsto \theta + \gamma(t)\zeta_1(x_2)$，将原系统中额外施加在动量方程上的控制 $\tilde{\eta}$ 转化为温度方程中的非齐次项，从而还原为仅靠温度控制的问题。新控制项包含反馈项如 $\gamma(t)\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{e}_{\text{grav}} \zeta_2(x_2)$，体现了主动利用非线性耦合机制的设计思想。
• 积分重组与支撑集控制：通过对解表达式的细致积分变形，确保所构造的控制函数严格支撑在给定的小测度区域 $\omega$ 内，克服了传统方法中控制“泄露”到全域的问题。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进

本文的主要贡献在于首次实现了 Boussinesq 系统在大初值情形下的全局近似可控性，且仅通过物理局域化的温度控制，相比已有工作有多方面显著突破：

1. 放宽了对初始/目标数据的限制：
   此前几乎所有关于 Boussinesq 系统的可控性结果都局限于小扰动或局部可控性（即初值与目标接近的情形）。本文完全摆脱了这种“小数据”假设，实现了真正的“全局”可控性（global controllability），适用于任意远离的目标状态。

2. 极大弱化了控制的作用方式：
   过去的研究大多要求控制同时作用于速度和温度方程，或至少能在多个方向上影响流体运动。而本文仅通过一个空间局域于水平细条带 $\omega$ 的温度源项 $\mathbf{1}_\omega \eta$ 就实现了对整个流场（包括速度）的操控，揭示了温度-浮力-速度之间强耦合机制的深层可控潜力。

3. 降低了对控制区域的拓扑要求：
   在先前关于 Navier–Stokes 方程局域控制的工作（如 Nersesyan 等人[28]）中，为了能够影响速度平均，通常要求控制区域“跨越整个环面”，例如需包含两个线性无关方向的条带。而本文由于利用了 Boussinesq 系统特有的浮力耦合机制，成功将控制区域缩小至单一水平条带，这是拓扑意义上更弱的条件。

4. 提出了结构明确的有限可分解控制：
   不仅证明了存在性，还给出了控制的具体结构（有限项叠加、依赖少数参数、具明确物理意义），这对实际工程应用（如 HVAC 系统设计）具有重要意义。此外，即使不加结构限制，此前也从未有过仅靠局域温度控制实现大范围可控性的结果。

5. 发展了一套融合输运、缩放与几何控制的新框架：
   本文创造性地结合了输运方程的可观测性、尺度分离技巧、流图变换与反馈设计，为复杂流体系统的低维控制提供了新范式，可能推广至 MHD、可压缩流等其他耦合系统。

综上所述，该论文不仅解决了长期开放的 Boussinesq 系统局域温度控制问题，而且在方法论和应用前景上均具有深远影响。

3. Controllability of Boussinesq flows driven by finite-dimensional and

physically localized forces

由有限维且物理局域化力驱动的Boussinesq流的可控性

作者: Manuel Rissel

类别: math.AP, math.OC, 35Q30, 35Q35, 76B75, 80A19, 93B05, 93C10

发布日期: 2025-06-24

ArXiv ID: 2506.19764v2

链接: http://arxiv.org/abs/2506.19764v2

详细分析

中文标题: 由有限维且物理局域化力驱动的Boussinesq流的可控性

1. 研究对象和背景

该论文研究的是定义在二维环面 $\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2 / 2\pi\mathbb{Z}^2$ 上的 Boussinesq系统，描述具有热浮力对流的不可压缩流体运动。其控制方程为以下初值问题：

其中：

• $u: \mathbb{T}^2 \times (0,T) \to \mathbb{R}^2$ 是速度场，
• $\theta: \mathbb{T}^2 \times (0,T) \to \mathbb{R}$ 是温度场，
• $p$ 是压力，
• $\nu > 0$ 是粘性系数，$\tau > 0$ 是热扩散率，
• $e_2 = (0,1)$ 表示重力方向，
• $f, g$ 是已知外力，
• $\xi, \eta$ 是待设计的控制项，且满足 $\mathrm{supp}(\xi(\cdot,t)), \mathrm{supp}(\eta(\cdot,t)) \subset \omega$，其中 $\emptyset \neq \omega \subset \mathbb{T}^2$ 是任意固定的非空开集（即“物理局域化”），
• 控制项形式为有限维线性组合：
  
  $$ \xi(\cdot,t) = \sum_{i=1}^{d_1} \alpha_i(t) \xi_i, \quad \eta(\cdot,t) = \sum_{j=1}^{d_2} \beta_j(t) \eta_j, $$
  其中 $\{\xi_i\}, \{\eta_j\}$ 是仅依赖于 $\omega$ 的固定光滑函数族，而系数 $\alpha_i(t), \beta_j(t)$ 可自由调节以实现控制目标。

该系统的解空间取为 Sobolev 空间：

• 速度空间：$H_m := H^m(\mathbb{T}^2;\mathbb{R}^2) \cap H$, 其中 $H$ 表示零散度向量场空间；
• 温度空间：$H_m := H^m(\mathbb{T}^2;\mathbb{R}) \cap H_{\mathrm{avg}}$, 其中 $H_{\mathrm{avg}}$ 表示零平均标量函数空间；
• 所有函数空间均基于 $L^2$ 构造，并配备标准范数 $\|\cdot\|_m$。

特别地，Lebesgue 测度被归一化为 $\int_{\mathbb{T}^2} dx = 1$。

本工作关注的核心问题是：是否可以通过同时满足有限维性和物理局域性的控制力 $(\mathbf{1}_\omega \xi, \mathbf{1}_\omega \eta)$ 实现 Boussinesq 系统的近似可控性？这是对 Agrachev 提出的一个公开问题的 Boussinesq 版本的回答。

2. 主要定理或主要结果

定理 1.1（快速温度可控性）
存在有限维子空间 $\mathcal{F}_v \subset C^\infty(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}^2)$ 和 $\mathcal{F}_\theta \subset C^\infty(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}) \cap H_{\mathrm{avg}}$，使得对任意给定数据：
$\nu, \tau, \varepsilon, T > 0$，整数 $m \in \mathbb{N}$，初态 $u_0 \in V_{m+2}$，$\theta_0, \theta_1 \in H_{m+2}$，以及外力 $f \in L^2((0,T); V_m)$，$g \in L^2((0,T); H_m)$，
存在一个时间 $\delta_0 > 0$，使得对任意 $\delta \in (0, \delta_0)$，存在控制 $\xi \in L^2((0,\delta); \mathcal{F}_v)$ 和 $\eta \in L^2((0,\delta); \mathcal{F}_\theta)$，使得对应的 Boussinesq 系统解
$(u, \theta) \in C^0([0,\delta]; H^m(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}^2) \times H^m) \cap L^2((0,\delta); H^{m+1}(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}^2) \times H^{m+1})$
满足：

$$ \|u(\cdot, \delta) - u_0\|_{m+1} + \|\theta(\cdot, \delta) - \theta_1\|_{m+1} < \varepsilon. $$

此定理表明：可以在任意小时间内将温度精确调控至任意目标状态，同时保持速度接近初始状态，所用控制是有限维且物理局域于 $\omega$ 的。

推论 1.2（全系统近似可控性）
设 $\mathcal{F}_v, \mathcal{F}_\theta$ 如定理 1.1 所构造。对于任意 $\varepsilon, \nu, \tau, T > 0$，整数 $k \in \mathbb{N}_0$，初态 $u_0 \in H$, $u_1 \in V_k$，$\theta_0 \in H_{\mathrm{avg}}$, $\theta_1 \in H_k$，外力 $f \in L^2((0,T); V_{\max\{k-1,1\}})$，$g \in L^2((0,T); H_{\max\{k-1,1\}})$，
存在控制 $\xi \in L^2((0,T); \mathcal{F}_v)$ 和 $\eta \in L^2((0,T); \mathcal{F}_\theta)$，使得对应解满足：

$$ \|u(\cdot, T) - u_1\|_k + \|\theta(\cdot, T) - \theta_1\|_k < \varepsilon. $$

这说明整个 $(u,\theta)$ 状态可在任意时间 $T>0$ 内被近似控制到任意目标，且允许初始数据正则性较低（如弱解级别），是真正意义上的全局近似可控性结果。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

• 流动映射与输运方程的可控性理论：利用 Cauchy-Lipschitz 定理构造流映射 $\Phi_v(x,s,t)$ 来刻画粒子轨迹，并通过积分变换比较不同漂移场下的输运行为。
• Coron 的返回法（Return Method）：通过构造一个特殊的参考轨迹 $U$（满足 Euler 型方程），在线性化系统中引入非退化结构，从而实现对非线性系统的控制。文中将 $U$ 作为返回法中的参考解使用。
• 渐近极限与缩放技巧：借鉴 [41] 中的速度涡旋操控技术，利用小参数 $\delta \to 0$ 下的缩放极限来逼近所需的涡旋变化，结合迭代构造实现速度场的完全控制。
• Sobolev 空间中的收敛性与正则化效应：依赖 Boussinesq 系统的抛物性质（即使初始数据粗糙，解会迅速光滑化），从而允许从低正则初值出发应用高阶可控性结果。
• 密度论证与时变控制的光滑化：通过密度引理可将 $L^2$ 时间控制替换为光滑时间控制，保证实际控制的物理可行性。

b) 技术性难题与解决技巧

• 挑战一：如何实现“有限维 + 局域化”控制下的全局信息传播？
  解决方案：引入一个称为“生成向量场” $u^*$ 的特殊漂移场，它来自可观测家族（observable family），具备非定常混合效应（non-stationary mixing），能将低频能量传递至高频模式。尽管 $u^*$ 本身不局域，但作者构造了一个新的局域化漂移场 $U$，使其在多个时间段内“模拟”平移后的 $u^*$ 动力学。

• 挑战二：如何将全局控制 $g^*$ 转换为局域控制 $G$？
  关键技巧：设计如下形式的控制：

  $$ G(x,t) = \mu(x) \sum_{i=1}^M \mathbf{1}_{[t_{a_i}, t_{b_i}]}(t) g^*(x - S_i, t - t_{a_i}), $$

  其中 $\mu \in C_c^\infty(\omega)$ 是支撑在 $\omega$ 中的截断函数，$[t_{a_i}, t_{b_i}]$ 是互不相交的时间区间，在这些区间上 $U$ 模拟 $u^*(\cdot - S_i, \cdot)$ 的动态。通过几何安排 $S_i$ 和流动路径，确保信息被有效“冲洗”进控制区域 $\omega$。

• 挑战三：如何协调速度与温度的耦合控制？
  巧妙分工：

  • 温度控制：主要通过上述输运机制与返回法实现；
  • 速度控制：不直接施加大尺度力，而是利用浮力项 $\theta e_2$ 间接影响速度演化，再结合 [41] 中关于涡旋生成的极限结果，逐步逼近目标速度场。

• 挑战四：构造通用控制空间 $\mathcal{F}_v, \mathcal{F}_\theta$
  利用特定函数基底显式构造控制空间。例如，当 $\mathbb{T}^2 \setminus \omega$ 单连通时，可用如下类型函数张成控制空间：

  $$ \nabla^\perp[\chi s_l],\ (\nabla^\perp[\chi s_k] \cdot \nabla)\nabla^\perp[\chi c_l],\ \Delta \nabla^\perp[\chi s_l],\ (\mathbf{e}_k \cdot \nabla)\nabla^\perp[\chi s_l], $$

  以及温度侧的：

  $$ \mu s_l - \frac{\int \mu s_l}{\int \mu} \mu,\ (\nabla^\perp[\chi s_l] \cdot \nabla)\mu,\ (\mathbf{e}_k \cdot \nabla)\mu, $$

  其中 $\mu, \chi$ 是仅依赖于 $\omega$ 的固定截断函数，$s_l(x) = \sin(x_l), c_l(x) = \cos(x_l)$。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进

本文首次证明了不可压缩流体模型中存在同时具备有限维性和物理局域性的近似可控性，解决了 Agrachev 提出的长期开放问题在 Boussinesq 情形下的版本。

具体而言，相比已有工作实现了以下关键突破：

因此，本文填补了“有限维 + 局域化”控制这一关键空白，提供了第一个此类不可压缩流体的例子。

b) 放宽假设与强化结论

• 无需对控制区域 $\omega$ 施加强几何限制：只要 $\omega$ 是任意非空开集即可；特别地，当 $\omega$ 包含两个“切割”（cuts）时，还能构造出与 $\omega$ 几何无关的低维控制空间。
• 初始数据正则性要求极低：推论 1.2 允许初始速度仅为 Leray-Hopf 弱解水平（$H$ 中），温度为零平均 $L^2$ 函数，远低于经典强解所需正则性。
• 全局大初值可控性：结果适用于任意大小的初始和目标状态，是非线性意义下的全局可控性。
• 控制空间的普适性：$\mathcal{F}_v, \mathcal{F}_\theta$ 一旦根据 $\omega$ 固定，就适用于所有参数（$\nu, \tau, \varepsilon, T, f, g$ 等）和初/终态，仅需调节控制系数 $\alpha_i(t), \beta_j(t)$。

综上所述，该论文不仅回答了一个基础理论问题，还发展了一套新颖的几何-动力系统混合方法，可能对未来研究 Navier-Stokes 或其他复杂 PDE 的可控性提供新思路。

4. Lagrangian controllability in perforated domains

穿孔区域中的拉格朗日可控性

作者: Mitsuo Higaki, Jiajiang Liao, Franck Sueur

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-18

ArXiv ID: 2509.14913v2

链接: http://arxiv.org/abs/2509.14913v2

详细分析

中文标题: 穿孔区域中的拉格朗日可控性

1. 研究对象和背景

本文研究的是粘性不可压缩流体在穿孔区域（perforated domains）中的拉格朗日可控性问题，对应的控制方程为三维非定常纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。具体地，考虑如下系统：

其中：

• $\Omega_\varepsilon$ 是一个部分或完全穿孔的三维环面 $T^3$ 中的子域，即从单位立方体 $[0,1]^3$ 经周期边界识别得到的三维环面上挖去若干小孔；
• 每个小孔是边长为 $\varepsilon = L/N$ 的立方体 $Q_i$ 内嵌入的缩放后的光滑粒子 $\varepsilon^\alpha T$，$\alpha > 3/2$，中心位于 $x_i^\varepsilon$；
• 孔洞集中在某个闭集 $K \subset T^3$ 内，且孔的数量为 $N^3$，总体积占比很小；
• 边界条件为无滑移边界条件（no-slip condition），即速度在所有孔边界上为零；
• 外力项 $F_\varepsilon$ 被视为控制力（control forcing），支撑在远离污染区 $P_0$ 和安全区 $P_1$ 的“控制区” $\Omega_c$ 上；
• 初始速度 $U_{\varepsilon,0} \in L^2_\sigma(\Omega_\varepsilon)$，表示 $L^2$ 中散度为零且法向迹为零的向量场。

该问题的核心是：能否通过仅作用于远处 $\Omega_c$ 的控制力 $F_\varepsilon$，在短时间内将初始分布在 $P_0 \cap \Omega_\varepsilon$ 的流体粒子整体移动到目标区域 $P_1$？这被称为拉格朗日近似可控性（Lagrangian approximate controllability），因为由于靠近孔边界的粒子受阻，无法完全移动全部粒子，只能保证“大多数”粒子到达目标。

值得注意的是，以往对 Navier-Stokes 方程的拉格朗日可控性研究多集中于滑移边界或无界区域，而本工作首次处理具有无滑移边界的穿孔区域情形，其难点在于粘性边界层的影响。作者通过引入均匀化理论（homogenization）来克服这一困难——当孔足够小、数量多但总体积分数很小时，粘性边界层效应可忽略，整体行为趋近于欧拉或达西方程。

2. 主要定理或主要结果

定理 2.1（部分穿孔区域中的拉格朗日可控性）
设 $\alpha > 3/2$，并选择参数 $\beta > 0$ 满足 $3 - \alpha < \beta < \alpha$，从而保证指数 $p_E = \min\{\alpha + \beta - 3, \alpha - 3/2, \beta\} > 0$。对于任意给定的误差容限 $0 < \eta < 1$，定义尺度参数：

$$ \varepsilon_0 = \left\lfloor \frac{L}{\eta^{-2/p_E} + 1} \right\rfloor, $$

其中 $L \in (0,1)$ 是孔集中区域 $K$ 的边长。则对任意 $0 < \varepsilon \leq \varepsilon_0$ 形如 $\varepsilon = L/N$，以及满足初始能量估计

$$ \|U_{\varepsilon,0}\|_{L^2(\Omega_\varepsilon)} \leq \varepsilon^{p_E - \beta} $$

的初始数据 $U_{\varepsilon,0} \in L^2_\sigma(\Omega_\varepsilon)$，存在一个光滑的控制力 $F_\varepsilon$，其支撑在控制区 $\Omega_c$ 上，并满足对任意 $s \in \mathbb{N}$ 有

$$ \|F_\varepsilon\|_{L^\infty_t H^s_x} \leq C_0 \varepsilon^{-2\beta}, $$

其中常数 $C_0 = C_0(s) > 0$ 仅依赖于 $s$，使得对应于 (2.1) 的 Leray-Hopf 弱解 $U_\varepsilon$ 所诱导的流 $\Phi_\varepsilon$ 满足：

$$ \bigcup_{t \in [0,\varepsilon^\beta]} \Phi_\varepsilon(t, P_{\varepsilon,0}) \subset \Omega_\varepsilon \setminus \Omega_c, \quad \mathcal{L}(P_1 \setminus \Phi_\varepsilon(\varepsilon^\beta, P_{\varepsilon,0})) \leq C \eta, $$

其中 $\mathcal{L}$ 表示勒贝格测度，$P_{\varepsilon,0} = P_0 \cap \Omega_\varepsilon$，$P_0, P_1$ 是同伦等价且围成相同体积的若尔当区域，且 $P_0 \subset K$, $P_1 \cap K = \emptyset$。常数 $C > 0$ 与 $\eta$ 和 $\varepsilon$ 无关。

此外，在 Section 3 中还给出了全穿孔区域下的另一个主要结果：

定理 3.2（全穿孔区域中的拉格朗日可控性）
若孔的分布遍及整个环面 $T^3$，且参数满足临界或超临界情形（如 $\beta = 3 - \alpha$），则 Navier-Stokes 流在适当时间尺度下趋近于达西（Darcy）方程的解。此时可通过构造达西方程的可控解，实现类似结论：存在控制力 $F_\varepsilon$，使大部分初始粒子在时间 $\varepsilon^\beta$ 内被输运至目标区域，误差测度以 $C\eta$ 控制。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

• 均匀化理论（Homogenization for evolutionary problems）：用于研究当孔尺寸趋于零时，Navier-Stokes 方程在穿孔区域上的极限行为。文中指出，在适当时间尺度变换后（见下文），粘性项主导的行为会退化为欧拉或达西方程。这是连接粘性流与理想流的关键桥梁。

• 弱强稳定性估计（Weak-strong stability estimates in measure of flows）：即使 Navier-Stokes 解仅为 Leray-Hopf 弱解（不唯一），只要其接近某个光滑的“强解”（如欧拉方程的解），就可以控制它们所诱导的流之间的偏差。这种稳定性允许作者从近似的欧拉解回推实际粒子轨迹的可控性。

• Runge 型逼近（Runge-type approximation for elliptic equations）：用于构造满足特定支持性质的调和函数逼近。例如引理 2.7 利用 Bagby-Blanchet 的 Runge 定理，在紧集附近用全局光滑函数逼近局部调和函数，同时保持控制力支撑在远端区域 $\Omega_c$。

• Cauchy-Kowalevsky 型定理：用于构造沿给定路径移动界面所需的势函数 $\psi$。这类定理适用于解析系数方程，确保局部存在唯一解析解，从而可以构建精确的粒子运动场。

• Bogovskii 算子：用于求解散度方程 $\nabla \cdot w = g$ 并保证解的支持集可控。文中用于修正由梯度势产生的非零散度项，使其成为真正的不可压缩流场。

b) 主要技术技巧

• 时间与振幅双重缩放（Double scaling in time and amplitude）：引入变换

  $$ U_\varepsilon(t,x) = \varepsilon^{-\beta} u_\varepsilon(\varepsilon^{-\beta} t, x), \quad P_\varepsilon = \varepsilon^{-2\beta} p_\varepsilon, \quad F_\varepsilon = \varepsilon^{-2\beta} f_\varepsilon, $$

  将原问题转化为粘性为 $\varepsilon^\beta$ 的新 Navier-Stokes 系统。此缩放使得快速施加高强度控制力等效于驱动系统趋向无粘极限（Euler limit）。这是控制理论中“强而快控制”的典型手法。

• 构造正确的渐近展开（Correctors in partially perforated domains）：由于孔仅局部存在（而非周期遍布整个空间），标准的周期均匀化不再适用。作者重新构造了适用于局部穿孔区域的校正项（correctors），以定量估计 $u_\varepsilon$ 与极限欧拉解 $u_E$ 之间的差，在 $L^\infty_t L^2_x$ 范数下获得收敛速率。

• 流的稳定性传递机制：利用弱强稳定性，将解的 $L^2$ 收敛性提升为流映射的一致逼近。即若 $u_\varepsilon \to u_E$ 在 $L^\infty_t L^2_x$ 成立，则对应的流 $\phi_\varepsilon \to \phi_E$ 几乎处处成立，且偏差可用 $\eta$ 控制。这是连接 PDE 解与拉格朗日轨迹的核心环节。

• 远程控制的设计策略：通过先构造一个在全空间 $T^3$ 上光滑、支撑在 $\Omega_c$ 的欧拉解 $(u_E, p_E, f_E)$ 实现目标粒子移动，再将其限制到 $\Omega_\varepsilon$ 上作为近似控制力，最终还原为原始系统的可行控制 $F_\varepsilon$。这种方法避免了直接在复杂几何中设计控制的困难。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进

本文的主要突破体现在以下几个方面：

1. 首次在无滑移边界条件下建立粘性流体的拉格朗日可控性结果：以往关于 Navier-Stokes 方程的拉格朗日可控性工作（如 Glass-Horsin [22], Coron [13]）大多假设边界为滑移条件或自由表面，以规避粘性边界层带来的奇异性。本文则正面应对无滑移边界导致的 Prandtl 边界层难题，并通过限制孔洞大小和密度，使局部雷诺数有界，从而有效抑制边界层影响。

2. 无需解析性假设即可实现可控性：许多早期可控性结果（尤其是基于 Cauchy-Kowalevsky 方法的）要求初始数据或边界为实解析函数。本文虽然使用了类似工具，但通过对 Runge 逼近和稳定性估计的结合，在一般光滑框架下实现了可控性，显著放宽了正则性要求。

3. 定量区分不同参数区间下的极限行为：借鉴 Höfer [26] 和 Allaire [1,2] 的工作，本文不仅考虑亚临界情形（极限为欧拉方程），还系统分析了临界（Euler-Brinkman）和超临界（Darcy）情形，建立了参数 $(\alpha, \beta)$ 与可控性时间尺度、控制成本之间的显式关系。这种量化分析为优化控制策略提供了理论依据。

4. 不要求 Leray-Hopf 解的唯一性：定理 2.1 的结论对任意选取的 Leray-Hopf 弱解均成立，说明尽管 Navier-Stokes 解可能不唯一，但其所诱导的粒子流在宏观尺度上仍具有一致行为。这一点增强了结果的鲁棒性和物理合理性。

综上所述，本文通过巧妙结合均匀化理论、弱强稳定性与经典逼近论工具，成功突破了传统粘性边界层障碍，在更贴近物理现实的几何与边界条件下建立了粘性流体的拉格朗日近似可控性，是对流体控制理论的重要推进。

5. Global mild solutions in a critical setting for a forced fractional

Boussinesq system

在临界框架下强制分数阶Boussinesq系统的整体温和解

作者: Diego Chamorro, Maxence Mansais

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26098v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26098v1

详细分析

中文标题: 在临界框架下强制分数阶Boussinesq系统的整体温和解

1. 研究对象和背景

本文研究的是强制、不可压缩的分数阶Boussinesq系统（fractional Boussinesq system）在$\mathbb{R}^d$（$d \geq 2$）上的温和解（mild solutions）。该系统由如下耦合偏微分方程组描述：

其中：

• $\vec{u}: [0,+\infty) \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$ 是无散度速度场；
• $p: [0,+\infty) \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 是压力；
• $\theta: [0,+\infty) \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 是温度，同时作为对流力；
• $\vec{f}, g$ 是给定的外力；
• $1 < \alpha < 2$ 是分数阶拉普拉斯算子的幂指数；
• 分数阶拉普拉斯定义为傅里叶乘子：$\widehat{(-\Delta)^{\alpha/2} \phi}(\xi) = |\xi|^\alpha \hat{\phi}(\xi)$。

为了消除压力项，作者引入了Leray投影 $P$，从而将系统转化为仅关于 $(\vec{u}, \theta)$ 的等价形式：

对应的积分形式为：

其中 $p_t(x)$ 是与半群 $e^{-t(-\Delta)^{\alpha/2}}$ 相关的分数热核，其傅里叶表示为 $\hat{p}_t(\xi) = e^{-t|\xi|^\alpha}$。

2. 主要定理或主要结果

定理 1（初始数据在Triebel-Lizorkin-Morrey空间中的情形）
设 $d \geq 2$，且 $1 < \alpha < 2$。固定实参数 $p$ 满足：

$$ \frac{3\alpha - 2}{\alpha - 1} < p \leq \frac{d + \alpha}{\alpha - 1}. $$

1. 若初始速度 $\vec{u}_0: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$ 无散且满足 $\vec{u}_0 \in T^{-\alpha}_{M^{p,q}}(\mathbb{R}^d)$，其中

   $$ \frac{1}{q} = \frac{\alpha - 1}{d + \alpha} - \frac{\alpha}{d}\left( \frac{1}{p} - \frac{\alpha - 1}{d + \alpha} \right); $$

   初始温度 $\theta_0: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 满足 $\theta_0 \in T^{-\alpha}_{M^{p,q}}(\mathbb{R}^d)$，其中 $p' = \frac{\alpha - 1}{2\alpha - 1}p$，且

   $$ \frac{1}{q} = \frac{2\alpha - 1}{d + \alpha} - \frac{\alpha}{d}\left( \frac{1}{p'} - \frac{2\alpha - 1}{d + \alpha} \right). $$

2. 外力 $\vec{f} \in \dot{W}^{-\gamma, m, r}_\alpha([0,+\infty) \times \mathbb{R}^d)$，其中 $0 < \gamma < \alpha$，$m = \frac{\alpha - 1}{2\alpha - 1 - \gamma}p$，$r = \frac{d + \alpha}{2\alpha - 1 - \gamma}$；
   外力 $g \in \dot{W}^{-\delta, n, s}_\alpha([0,+\infty) \times \mathbb{R}^d)$，其中 $0 < \delta < \alpha$，$n = \frac{\alpha - 1}{3\alpha - 1 - \delta}p$，$s = \frac{d + \alpha}{3\alpha - 1 - \delta}$。

若以下量足够小：

$$ \|\vec{u}_0\|_{T^{-\alpha}_{M^{p,q}}} + \|\theta_0\|_{T^{-\alpha}_{M^{p,q}}} + \|\vec{f}\|_{\dot{W}^{-\gamma,m,r}_\alpha} + \|g\|_{\dot{W}^{-\delta,n,s}_\alpha}, $$

则存在一个全局温和解 $(\vec{u}, \theta)$ 满足：

$$ \vec{u} \in M^{p, \frac{d + \alpha}{\alpha - 1}}_\alpha([0,+\infty) \times \mathbb{R}^d), \quad \theta \in M^{p, \frac{d + \alpha}{2\alpha - 1}}_\alpha([0,+\infty) \times \mathbb{R}^d). $$

此外，文中还证明了反向正则性提升结果：

定理 2
若 $(\vec{u}, \theta)$ 是积分系统 (1.6) 的温和解，且满足

$$ \vec{u} \in M^{p, \frac{d + \alpha}{\alpha - 1}}_\alpha, \quad \theta \in M^{p, \frac{d + \alpha}{2\alpha - 1}}_\alpha, $$

其中 $p$ 满足 $\frac{3\alpha - 2}{\alpha - 1} < p \leq \frac{d + \alpha}{\alpha - 1}$，则初始值 $\vec{u}_0$ 和 $\theta_0$ 分别属于相应的 Triebel-Lizorkin-Morrey 空间，其指标如定理1所定义。特别地，有等价关系：

$$ \|p_t * \vec{u}_0\|_{M^{p, \frac{d + \alpha}{\alpha - 1}}_\alpha} \simeq \|\vec{u}_0\|_{T^{-\alpha}_{M^{p,q}}}, \quad \|p_t * \theta_0\|_{M^{p, \frac{d + \alpha}{2\alpha - 1}}_\alpha} \simeq \|\theta_0\|_{T^{-\alpha}_{M^{p,q}}}. $$

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

• 不动点定理：文章采用经典的Banach不动点原理（见引理3.1），用于求解形如 $U = U_0 + F + L(U) + B(U,U)$ 的抽象方程。通过验证线性项 $L$ 的压缩性和双线性项 $B$ 的连续性，在合适的Banach空间中构造唯一解。
• 函数空间理论：构建了一个完全临界（critical）的函数空间框架，使得所有空间在系统自然伸缩变换下保持范数不变。这包括：
  • Morrey空间 $M^{p,q}(\mathbb{R}^d)$：推广Lebesgue空间，具有局部积分控制。
  • Triebel-Lizorkin-Morrey空间 $T^{-\alpha}_{M^{p,q}}(\mathbb{R}^d)$：基于热半群刻画的Besov型空间，以Morrey范数代替$L^p$范数。
  • 抛物型Morrey空间 $M^{p,q}_\alpha([0,+\infty) \times \mathbb{R}^d)$：考虑时间-空间尺度 $(t,x) \sim (\lambda^\alpha t, \lambda x)$ 下的积分平均。
  • 抛物Sobolev-Morrey空间 $\dot{W}^{-\gamma,p,q}_\alpha$：通过分数阶势定义的空间，用于处理外力项。
• 热核估计：利用分数热核 $p_t$ 的逐点估计：
  $$ |p_t(x)| \lesssim \frac{1}{(t^{1/\alpha} + |x|)^{d}}, \quad |\nabla p_t(x)| \lesssim \frac{1}{(t^{1/\alpha} + |x|)^{d+1}}, $$
  并推广到更一般的核 $K^\rho_t(x)$，其估计为：
  $$ |K^\rho_t(x)| \lesssim \frac{1}{(t^{1/\alpha} + |x|)^{d + \rho}}. $$
• 抛物Riesz位势：定义为
  $$ I_\beta(f)(t,x) = \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^d} \frac{f(s,y)}{(|t-s|^{1/\alpha} + |x-y|)^{d + \alpha - \beta}}\,dyds, $$
  并引用其在抛物Morrey空间中的有界性（命题2.2）：
  $$ \|I_\beta(f)\|_{M^{\lambda p, \lambda q}_\alpha} \lesssim \|f\|_{M^{p,q}_\alpha}, \quad \lambda = 1 - \frac{\beta}{d + \alpha}. $$
• Hölder不等式版本：在抛物Morrey空间中有：
  $$ \|fg\|_{M^{p,q}_\alpha} \leq \|f\|_{M^{p_1,q_1}_\alpha} \|g\|_{M^{p_2,q_2}_\alpha}, \quad \frac{1}{p} = \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2}, \quad \frac{1}{q} = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2}. $$

b) 技术性难题与解决技巧

• 非线性项的估计：双线性项 $B(U,U)$ 包含 $\mathrm{div}(\vec{u} \otimes \vec{u})$ 和 $\mathrm{div}(\theta \vec{u})$，需精细估计卷积积分。作者借助抛物Riesz位势将这些项转化为 $I_\beta$ 作用于乘积的形式，并结合Hölder不等式与嵌入关系完成估计。
• 不同变量的不同齐次性：由于 $\vec{u}$ 和 $\theta$ 在伸缩变换下的齐次次数不同（分别为 $\alpha - 1$ 和 $2\alpha - 1$），不能使用统一的函数空间。为此，作者设计了加权混合范数：
  $$ \|U\|_E = \|\vec{u}\|_{E_1} + C\|\theta\|_{E_2}, $$
  并选择足够大的常数 $C = C(\alpha,d) \gg 1$ 来平衡线性项 $L(U)$ 的估计，确保压缩条件成立。
• 初始数据的低正则性处理：传统Besov空间 $B^{-\beta,\infty}_\infty$ 虽然最大，但在某些情况下无法用于不动点论证。当参数 $p > \alpha / \beta$ 时，标准估计 $\|p_t * f\|_{M^{p,q}_\alpha} \lesssim \|f\|_{B^{-\beta,\infty}_\infty}$ 失效。因此，作者引入Triebel-Lizorkin-Morrey空间 $T^{-\alpha}_{M^{p,q}}$，它恰好与解所在空间通过热半群建立等价范数关系，成为“自然”的初值空间。
• 外力项的适配空间：外力 $\vec{f}, g$ 被置于 $\dot{W}^{-\gamma,p,q}_\alpha$ 类空间中，即分数阶负Sobolev-Morrey空间，使其在积分过程中能被Riesz位势吸收。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进

• 首次在临界框架下使用抛物Morrey空间构造分数阶Boussinesq系统的整体温和解：据作者所知，这是首次将抛物Morrey空间 $M^{p,q}_\alpha$ 应用于此类系统，并指出它是目前可用的最大的临界函数框架之一。
• 放宽了对初始数据的要求：相比于经典Lebesgue或Sobolev空间，Morrey类空间允许更奇异、更不规则的初值（例如具有局部奇异性但整体可控的数据）。特别是，当 $p < d$ 时，$M^{p,q}$ 包含比 $L^p$ 更广的函数类。
• 解决了Besov空间在高齐次性下的局限性问题：对于温度初值 $\theta_0 \in B^{-(2\alpha - 1),\infty}_\infty$，其对应的空间要求 $p < \alpha/(2\alpha - 1) < 1$，导致Morrey空间无法定义。而本文通过引入 $T^{-\alpha}_{M^{p,q}}$ 避开了这一障碍，实现了对更高齐次性的兼容。
• 获得整体解而非局部解：通过在全时空临界空间中工作，并施加“小初值+小外力”条件，直接得出全局存在性，避免了解爆破的可能性。
• 建立了初值与解空间之间的精确对应关系（定理2）：不仅证明了存在性，还揭示了温和解的存在性蕴含初值必须落在特定的Triebel-Lizorkin-Morrey空间中，说明该空间是“最优”的初值类。

综上所述，本文的主要贡献在于构建了一个全新的、高度适应分数阶Boussinesq系统结构的临界函数空间体系，并在此框架下运用现代调和分析工具，获得了比以往更广泛、更精细的整体温和解存在性结果。

6. Sharp local well-posedness of $C^1$ vortex patches

$C^1$ 涡旋块的锐利局部适定性

作者: Seungjae Lee

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26046v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26046v1

详细分析

中文标题: $C^1$ 涡旋块的锐利局部适定性

1. 研究对象和背景

本文研究的是二维欧拉方程在涡量形式下的涡旋块（vortex patch） 问题，其动力学由边界演化所主导。考虑如下二维欧拉方程：

其中 $\omega$ 是涡量，$u$ 是速度场。一个涡旋块是形如 $\omega(t,x) = k \mathbf{1}_{\Omega(t)}(x)$ 的弱解，其中 $\Omega(t) \subset \mathbb{R}^2$ 是随时间演化的有界连通区域，$k = 2\pi$ 为常值涡量强度。

由于二维欧拉方程具有输运结构，涡旋块的演化完全由其边界 $\partial\Omega(t)$ 的运动决定。若初始边界至少为分段 $C^1$，则可通过轮廓动力学方程（Contour Dynamics Equation, CDE） 描述其参数化曲线 $\gamma(\xi,t): \mathbb{T} \times [0,T] \to \mathbb{R}^2$ 的演化：

传统上，该问题在 Hölder 空间 $C^{1,\alpha}$（$0 < \alpha < 1$）中已被证明是全局适定的（Bertozzi [Ber91], Chemin [Che93]）。然而，在更弱的空间 $C^1$ 中的适定性（即使是局部）仍是公开问题。

本文的核心目标是研究比 $C^1$ 稍强、但严格弱于任何 $C^{1,\alpha}$ 的函数空间中的局部适定性。为此，作者引入一类通过模连续函数 $\varphi(r)$ 定义的空间 $C^{1,\varphi}$，其中 $\varphi$ 满足以下三个结构性假设：

• (A1) 存在 $0 < \theta < 1$，使得

  $$ \int_0^r \frac{\varphi^\theta(r')}{r'} \, dr' \to 0 \quad \text{当 } r \to 0; $$

• (A2) 存在 $C > 0$，使得对任意 $\delta < 1$，

  $$ \sup_{r < C\delta} \frac{\varphi(\delta^{-1} r)}{\varphi(\delta)} < \infty; $$

• (A3) 成立

  $$ \varphi(r)(-\log r) \in C^{\tilde{\varphi}}, \quad \text{其中 } \tilde{\varphi}(r) := \int_0^r \frac{\varphi(r')}{r'} \, dr'. $$

典型例子包括 $\varphi(r) = (-\log r)^{-s}$ 对 $s > 3$，这类模比任何 Hölder 模都“粗糙”，但仍保留足够的正则性以进行关键估计。

研究区域为单位圆周 $\mathbb{T}$ 上的闭合曲线，对应单个涡旋块的边界；函数空间为 $C^{1,\varphi}(\mathbb{T})$，即一阶导数具有由 $\varphi$ 控制的连续模。特别地，作者强调必须同时控制曲线 $\gamma$ 及其希尔伯特变换 $H[\gamma]$ 的正则性，因为速度算子本质上是非线性的希尔伯特型奇异积分算子。

为此，作者提出一个新的系统——希尔伯特轮廓动力学方程（HCDE）：

其中 $v[\gamma](\xi) := \int_{\mathbb{T}} \partial_\xi \gamma(\eta) \log|\gamma(\xi) - \gamma(\eta)| \, d\eta$ 是速度算子，$H$ 表示希尔伯特变换。此系统的引入是为了克服经典势理论估计在临界空间中失效的问题。

2. 主要定理或主要结果

定理 1（局部适定性）：设 $\varphi$ 是满足条件 (A1)–(A3) 的连续模函数，且初始曲线 $\gamma_0, H[\gamma_0] \in C^{1,\varphi}(\mathbb{T})$。进一步假设 $\gamma_0$ 是非退化的参数化，即存在下界：

$$ |\gamma_0|_* := \inf_{\xi \neq \eta} \frac{|\gamma_0(\xi) - \gamma_0(\eta)|}{|\xi - \eta|} > 0. $$

则存在依赖于 $\varphi, \|\gamma_0\|_{C^{1,\varphi}}, \|H[\gamma_0]\|_{C^{1,\varphi}}, |\gamma_0|_*$ 的时间 $T > 0$，使得系统 (HCDE) 在空间 $C^0([0,T]; C^{1,\varphi}(\mathbb{T}))^2$ 中存在唯一解 $(\gamma(t), H[\gamma](t))$，并且对所有 $t \in [0,T]$，仍有 $|\gamma(t)|_* > 0$。

定理 2（涡旋块的局部适定性）：设 $\psi_0$ 为一连续模函数，初始涡量 $\omega_0 = \mathbf{1}_{\Omega_0}$，其中 $\Omega_0 \subset \mathbb{R}^2$ 是一个 $C^{1,\psi_0}$ 域。定义诱导模 $\psi(r) := \int_0^r \frac{\psi_0(r')}{r'} \, dr'$，并假设 $\psi$ 满足 (A1)–(A3)。则存在 $T = T(\Omega_0) > 0$，使得存在唯一的涡旋块解 $\omega(t) = \mathbf{1}_{\Omega(t)}$，且每个 $\Omega(t)$ 在 $t \in [0,T]$ 上均为 $C^{1,\psi}$ 域。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

• 不动点原理：整个证明基于压缩映射原理（Banach 不动点定理），通过构造迭代序列并在合适的函数空间中建立 Lipschitz 连续性来获得局部解的存在唯一性。
• 奇异积分算子理论：重点分析了希尔伯特变换 $H$ 及其在临界连续模空间 $C^\varphi$ 中的行为，特别是其与乘积、复合函数的作用。
• 插值不等式：利用条件 (A1) 导出的关键插值不等式
  $$ \|f\|_{C^{\varphi^\theta}} \lesssim \|f\|_{C^0}^{1-\theta} \|f\|_{C^\varphi}^\theta, $$
  这对于控制非线性项的增长至关重要。
• 局部化技术与幂级数展开：将曲线 $\gamma$ 分解为线性主部与小扰动 $\zeta$，从而使得差商 $Q[\gamma] = (\gamma(\xi)-\gamma(\eta))/(\xi-\eta)$ 的倒数可作幂级数展开，揭示其与希尔伯特核的内在联系。

b) 解决技术性难题的主要技巧

1. 速度算子的精细分解： 将速度导数

   $$ \partial_\xi v[\gamma](\xi) = \mathrm{P.V.} \int_{\mathbb{T}} \frac{(\gamma(\xi) - \gamma(\eta)) \cdot \partial_\xi \gamma(\xi)}{|\gamma(\xi) - \gamma(\eta)|^2} \partial_\xi \gamma(\eta) \, d\eta $$

   中的奇异核重写为

   $$ \frac{Q[\gamma](\xi,\eta) \cdot \partial_\xi \gamma(\xi)}{|Q[\gamma](\xi,\eta)|^2} \cdot \frac{1}{\xi - \eta}, $$

   其中 $Q[\gamma]$ 是差商。然后将 $\gamma$ 局部近似为 $\gamma(\xi) \approx U\xi + \zeta(\xi)$，从而 $|Q[\gamma]|^{-2}$ 可展开成关于 $Q[\zeta]$ 的幂级数，最终得到包含无穷多个 $1/(\xi - \eta)$ 因子的级数结构。

2. 改进的 Cotlar 恒等式： 经典恒等式 $H[fg] = H[f]g + fH[g] + H[H[f]H[g]]$ 在 $H$ 不连续时会导致正则性损失。作者使用如下改进版本：

   $$ H[fg](x) = \frac{1}{\pi} \mathrm{P.V.} \int_{\mathbb{R}} \frac{(H[f](x) - H[f](y))(H[g](x) - H[g](y))}{x - y} \, dy, $$

   此式能从 $H[f], H[g]$ 的差中提取出 $\varphi^2$ 阶衰减，避免正则性下降，是控制 $H[\zeta] = H[\gamma \chi]$ 等局部化项的关键。

3. 希尔伯特变换与差商代数的结合： 对于高阶项 $T_{n_1,n_2}^j[\zeta]$，作者发现差商满足恒等式：

   $$ \frac{Q[\zeta_1]^{n_1} Q[\zeta_2]^{n_2}(\xi,\eta)}{\xi - \eta} = \frac{n_1 \partial_\xi \zeta_1(\xi)}{n} + \frac{n_2 \partial_\xi \zeta_2(\xi)}{n} + \frac{1}{n} \frac{d}{d\xi}[Q[\zeta_1]^{n_1} Q[\zeta_2]^{n_2}](\xi,\eta), $$

   结合分部积分，推导出 $H[T_{n_1,n_2}^j[\zeta]]$ 的精确表达式（公式 (1.7)），允许用归纳法估计其 $C^\varphi$ 范数，并保证级数可求和。

4. 诱导模 $\tilde{\varphi}$ 的角色： 由于一般情况下 $H: C^\varphi \not\to C^\varphi$，但若 $\varphi$ Dini 连续，则 $H: C^\varphi \to C^{\tilde{\varphi}}$。因此要求初始数据及其希尔伯特变换同属 $C^{1,\varphi}$，并通过条件 (A3) 确保 $\varphi(-\log r)$ 仍属于 $C^{\tilde{\varphi}}$，从而闭环控制速度及其希尔伯特变换的正则性。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进

• 突破性结果：首次在严格弱于所有 $C^{1,\alpha}$ ($\alpha > 0$) 的函数空间中建立了涡旋块的局部适定性。此前 Bertozzi [Ber91] 的结果依赖于 $C^{1,\alpha}$ 中的经典势理论估计，这些估计在 $C^1$ 或更弱空间中失效。
• 放宽正则性假设：本文的结果包含了如 $\varphi(r) = (-\log r)^{-s}$（$s > 3$）这类“几乎 $C^1$”但非 Hölder 的初始数据，显著弱于以往要求。例如，当初始域是 $C^{1,(-\log\cdot)^s}$（$s > 3$）时，解在短时间仍保持为 $C^{1,(-\log\cdot)^{s-1}}$ 类域，说明不会立即失去 $C^1$ 正则性。
• 新方法论：不同于传统仅分析 $\gamma$ 的演化，本文提出联合研究 $(\gamma, H[\gamma])$ 的系统 (HCDE)，这是处理非线性希尔伯特型算子的关键创新。这种方法绕过了单个空间中希尔伯特变换无界的障碍。
• 技术推广潜力：文中发展的一系列工具（如改进的 Cotlar 恒等式、差商代数与奇异积分的结合）可应用于其他涉及临界正则性自由界面问题，如 Muskat 问题、涡片问题等（见 Remark 3）。

综上所述，该论文通过深刻挖掘速度算子与希尔伯特变换之间的结构关系，在长期悬而未决的 $C^1$ 涡旋块适定性问题上取得了实质性进展，提供了一套适用于临界模连续空间的新分析框架。

了解领域论文（摘要翻译）

1. On the dependence of the nonlinear Schrodinger flow upon the power of

the nonlinearity

关于非线性薛定谔流对非线性项幂次依赖性的研究

作者: Rémi Carles, Quentin Chauleur, Guillaume Ferriere

类别: math.AP, math-ph, math.MP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26414v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26414v1

摘要翻译

中文标题: 关于非线性薛定谔流对非线性项幂次依赖性的研究

摘要翻译: 本文证明了当非线性项的幂次变化时，与散焦能量次临界、幂律型非线性薛定谔方程相关的流映射的连续性性质。我们表明，对于任意幂次，该流映射在能量空间中具有局部（关于时间）的连续性；而对于足够大的幂次，则具有全局（关于时间）的连续性。当线性色散速率通过含时重标度被抵消时，我们证明了该重标度函数模的平方在Kantorovich距离下关于时间一致连续，适用于所有幂次，包括从散射角度而言的长程情形。其中最具挑战性的结果是：当幂次趋于零时，适当重正化的解一致收敛于对数型薛定谔方程的解，且该收敛性在时间上是一致的，并以Kantorovich距离进行度量。该结论的证明依赖于涉及调和Fokker-Planck算子的扰动多孔介质方程的相关估计。

2. Phase separation for the 2D Cahn-Hilliard equation with a background

shear flow

具有背景剪切流的二维Cahn-Hilliard方程的相分离研究

作者: Yu Feng, Yuanyuan Feng, Anna L. Mazzucato, Xiaoqian Xu

类别: math.AP, 35K91, 76F25, 76E05

发布日期: 2025-09-19

ArXiv ID: 2509.15773v2

链接: http://arxiv.org/abs/2509.15773v2

摘要翻译

中文标题: 具有背景剪切流的二维Cahn-Hilliard方程的相分离研究

摘要翻译: 本文考虑定义在二维环面上的Cahn-Hilliard方程，该方程用于模拟二元流体中的相分离过程，并在存在由给定背景剪切流所引起的对流项的情况下进行分析。该剪切流满足一定条件且具有足够大的振幅。通过利用线性化算子由此产生的增强耗散效应，我们证明了在初值适当准备的前提下，解在长时间下渐近收敛于一个一维Cahn-Hilliard方程的解；该一维方程是通过对原方程沿垂直于剪切方向进行某种意义下的投影而得到的。这一结果为浓度场中观测到的条带形成（striation）现象提供了严格的数学解释。

3. An all-topology two-fluid model for two-phase flows derived through

Hamilton’s Stationary Action Principle

基于哈密顿作用量平稳原理导出的适用于任意流型的双流体两相流模型

作者: Ward Haegeman, Giuseppe Orlando, Samuel Kokh, Marc Massot

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26298v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26298v1

摘要翻译

中文标题: 基于哈密顿作用量平稳原理导出的适用于任意流型的双流体两相流模型

摘要翻译: 本文提出了一种用于可压缩两相流的新颖多流体模型。该模型通过新发展的作用量平稳原理框架推导而得，具有完全封闭性，并引入了一种新的界面物理量——界面功。界面临界项的闭合关系由变分原理自然给出，这些关系在物理上合理且对所有类型的流型均定义良好。所提出的模型具有双曲性、可对称化，并满足熵守恒律。其非守恒乘积项具有唯一确定的跳跃条件，文中给出了这些条件的具体形式，因而能够适当地处理弱解问题。在多维情形下，模型呈现出升力项，本文对此进行了讨论。该模型为未来的数值模拟研究提供了坚实的理论基础。

4. Local and global well-posedness of 2d periodic multiplicative stochastic

NLS

二维周期性乘性随机非线性薛定谔方程的局部与整体适定性

作者: Immanuel Zachhuber

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2019-11-05

ArXiv ID: 1911.01982v7

链接: http://arxiv.org/abs/1911.01982v7

摘要翻译

中文标题: 二维周期性乘性随机非线性薛定谔方程的局部与整体适定性

摘要翻译: 我们利用类似于二维环面上空间白噪声这类粗糙势的Strichartz估计，证明了具有一般整数次非线性的乘性随机非线性薛定谔方程在能量空间和强解意义下的整体适定性，并且控制了解的范数的增长。

5. On stabilization at a soliton for generalized Korteweg–De Vries pure

power equation for any power $p\in (1,5)$

关于广义Korteweg–de Vries纯幂方程在任意幂指数 $p\in (1,5)$ 下 soliton 解的稳定性研究

作者: Scipio Cuccagna, Masaya Maeda

类别: math.AP

发布日期: 2025-02-08

ArXiv ID: 2502.05579v5

链接: http://arxiv.org/abs/2502.05579v5

摘要翻译

中文标题: 关于广义Korteweg–de Vries纯幂方程在任意幂指数 $p\in (1,5)$ 下 soliton 解的稳定性研究

摘要翻译: 我们将此前用于分析纯幂非线性薛定谔方程（NLS）的一种方法——即将virial不等式分解为一个大能量不等式并结合Kato光滑效应的方法——应用于广义Korteweg–de Vries纯幂方程的情形。我们假设一个解在所有正时间始终保持在某个孤子（soliton）附近，进而证明当 $t \to +\infty$ 时的渐近稳定性结果。

6. Large-time existence results for the nonlocal NLS around ground state

solutions

非局域非线性薛定谔方程在基态解附近的长时间存在性结果

作者: Hideo Takaoka, Toshihiro Tamaki

类别: math.AP, 35Q51, 35Q55, 42B37

发布日期: 2024-07-13

ArXiv ID: 2407.09784v2

链接: http://arxiv.org/abs/2407.09784v2

摘要翻译

中文标题: 非局域非线性薛定谔方程在基态解附近的长时间存在性结果

摘要翻译: 本文研究非局域非线性薛定谔方程的解。我们证明，若初始数据接近基态孤子，则解在长时间内保持在孤子轨道附近。该证明基于基态附近的双曲动力学，揭示了非局域非线性薛定谔方程流所具有的解关于局部结构稳定性的性质。

不相关论文（基本信息）

1. The distorted Fourier transform for the linearized Gross-Pitaevskii

equation in the Hyperbolic plane

双曲平面上线性化Gross-Pitaevskii方程的扭曲傅里叶变换研究

作者: Oussama Landoulsi, Sohrab Shahshahani

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26590v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26590v1

摘要: Motivated by the stability problem for Ginzburg-Landau vortices on the hyperbolic plane, we develop the distorted Fourier transform for a general class of radial non-self-adjoint matrix Schr"odinger operators on the hyperbolic plane. This applies in particular to the operator obtained by linearizing the equivariant Ginzburg-Landau equation on the hyperbolic plane around the degree one vortex. We systematically construct the distorted Fourier transform by writing the Stone formula for complex energies and taking the limit as the energy tends to the spectrum of the operator on the real line. This approach entails a careful analysis of the resolvent for complex energies in a neighborhood of the real line. It is the analogue of the approaches used in \cite{KS,ES2, LSS25}, where the limiting operator as $r\to\infty$ is not self-adjoint and which we carry out for all energies. Our analysis serves as the starting point for the study of the stability of the Ginzburg-Landau vortex under equivariant perturbations.

2. $C^{1+α}$ regularity for fractional $p$-harmonic functions

分数阶 $p$-调和函数的 $C^{1+α}$ 正则性

作者: Davide Giovagnoli, David Jesus, Luis Silvestre

类别: math.AP, 35B65, 35J70, 35R09

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26565v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26565v1

摘要: We establish interior $C^{1,\alpha}$ regularity estimates for some $\alpha > 0$, for solutions of the fractional $p$-Laplace equation $(-\Delta_p)^s u = 0$ when $p$ is in the range $p \in [2,2/(1-s))$.

3. On Korn inequalities with lower order trace terms

关于含低阶迹项的Korn不等式

作者: Franz Gmeineder, Endre Süli, Tabea Tscherpel

类别: math.AP, 35A23, 35E20, 42B37, 46-04

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26526v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26526v1

摘要: We give an elementary estimate that entails and generalises numerous Korn inequalities scattered in the literature. As special instances, we obtain general Korn-type inequalities involving normal or tangential trace components, or lower dimensional trace integrals.

4. Structure-preserving numerical calculation of wave equation for a vector

field

面向矢量场波动方程的保结构数值计算

作者: Takuya Tsuchiya

类别: math.NA, cs.NA, math.AP, quant-ph

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26504v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26504v1

摘要: For the Proca equation, which is a wave equation for a vector field, we derive the canonical formulation including constraints from the Stueckelberg action and propose discrete equations with a structure-preserving scheme for conserving the constraints at the discrete level. Numerical simulations are performed using these discrete equations and other discrete equations with a standard scheme. We show the results obtained using the structure-preserving scheme and provide more accurate and stable numerical solutions.

5. On uniqueness of radial potentials for given Dirichlet spectra with

distinct angular momenta

关于具有不同角动量的给定狄利克雷谱所对应的径向势的唯一性研究

作者: Damien Gobin, Benoît Grébert, Bernard Helffer, François Nicoleau

类别: math.AP, math-ph, math.MP, math.SP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26485v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26485v1

摘要: We consider an inverse spectral problem for radial Schr" odinger operators with singular potentials. First, we show that the knowledge of the Dirichlet spectra for infinitely many angular momenta~$\ell$ satisfying a M"untz-type condition uniquely determines the potential. Then, in a neighborhood of the zero potential, we prove that the potential is uniquely determined by two Dirichlet spectra associated with distinct angular momenta in the cases $(\ell_1,\ell_2) = (0,1)$ and $(0,2)$. Our approach relies on an explicit analysis of the corresponding singular differential equation, combined with the classical Kneser–Sommerfeld formula. These results confirm, in the linearized setting and in these configurations, a conjecture originally formulated by Rundell and Sacks (2001).

6. Finite element discretizations of bending plates with prestrained

microstructure

具有预应变微结构的弯曲板的有限元离散化

作者: Klaus Böhnlein, Stefan Neukamm, Oliver Sander

类别: math.NA, cs.NA, math.AP, 74B20 35B27 74Q05 74S05

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26438v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26438v1

摘要: We investigate a finite element discretization of an elastic bending-plate model with an effective prestrain. The model has been obtained via homogenization and dimension reduction by B"onlein at al. (2023). Its energy functional is the $\Gamma$-limit of a three-dimensional nonlinear microstructured elasticity functional. In the derived effective model, the microstructure is incorporated as a local corrector problem, a system of linear elliptic partial differential equations posed on a three-dimensional representative volume element. The discretization uses Discrete Kirchhoff Triangle elements for the macroscopic bending-plate problem on a mesh of scale $H$, and first-order Lagrange elements for the microscopic corrector problem on an axis-aligned mesh of scale $h$. We show that the discretized model $\Gamma$-converges to the continuous one as $(h,H)\to 0$,provided that there exists a microstructure mesh such that the elasticity tensor is Lipschitz continuous on each mesh element. This extends earlier results by Rumpf et al. (2024) to prestrained composites. Our argument does not require any rate of convergence for the microscopic discretization error. As a corollary, we also obtain convergence when $h \to 0$ and $H \to 0$ consecutively, and we prove that these limit processes commute.

7. A solution to the mystery of the sub-harmonic series and to the

combination tone via a linear mathematical model of the cochlea

通过耳蜗的线性数学模型解答亚谐波序列与组合音之谜

作者: Ugo Boscain, Xiangyu Ma, Dario Prandi, Giuseppina Turco

类别: eess.SP, math.AP, physics.bio-ph, physics.class-ph, physics.med-ph

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26395v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26395v1

摘要: In this paper, we study a simple linear model of the cochlea as a set of vibrating strings. We make hypothesis that the information sent to the auditory cortex is the energy stored in the strings and consider all oscillation modes of the strings. We show the emergence of the sub-harmonic series whose existence was hypothesized in the XVI century to explain the consonance of the minor chord. We additionally show how the nonlinearity of the energy can be used to study the emergence of the combination tone (Tartini’s third sound) shedding new light on this long debated subject.

8. The Effective Reactivity for Capturing Brownian Motion by Partially

Reactive Patches on a Spherical Surface

部分反应性斑块在球面上捕获布朗运动的有效反应性研究

作者: Denis S. Grebenkov, Michael J. Ward

类别: math.AP, math-ph, math.MP, physics.chem-ph

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26381v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26381v1

摘要: We analyze the trapping of diffusing ligands, modeled as Brownian particles, by a sphere that has $N$ partially reactive boundary patches, each of small area, on an otherwise reflecting boundary. For such a structured target, the partial reactivity of each boundary patch is characterized by a Robin boundary condition, with a local boundary reactivity $\kappa_i$ for $i=1,\ldots,N$. For any spatial arrangement of well-separated patches on the surface of the sphere, the method of matched asymptotic expansions is used to derive explicit results for the capacitance $C_{\rm T}$ of the structured target, which is valid for any $\kappa_i>0$. This target capacitance $C_{\rm T}$ is defined in terms of a Green’s matrix, which depends on the spatial configuration of patches, the local reactive capacitance $C_i(\kappa_i)$ of each patch and another coefficient that depends on the local geometry near a patch. The analytical dependence of $C_{i}(\kappa_i)$ on $\kappa_i$ is uncovered via a spectral expansion over Steklov eigenfunctions. For circular patches, the latter are readily computed numerically and provide an accurate fully explicit sigmoidal approximation for $C_{i}(\kappa_i)$. In the homogenization limit of $N\gg 1$ identical uniformly-spaced patches with $\kappa_i=\kappa$, we derive an explicit scaling law for the effective capacitance and the effective reactivity of the structured target that is valid in the limit of small patch area fraction. From a comparison with numerical simulations, we show that this scaling law provides a highly accurate approximation over the full range $\kappa>0$, even when there is only a moderately large number of reactive patches.

9. Competition of small targets in planar domains: from Dirichlet to Robin

and Steklov boundary condition

平面区域中多个小目标的竞争：从狄利克雷到罗宾及斯蒂克洛夫边界条件

作者: Denis S. Grebenkov, Michael J. Ward

类别: math.AP, math-ph, math.MP, math.SP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26367v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26367v1

摘要: We consider steady-state diffusion in a bounded planar domain with multiple small targets on a smooth boundary. Using the method of matched asymptotic expansions, we investigate the competition of these targets for a diffusing particle and the crucial role of surface reactions on the targets. We start from the classical problem of splitting probabilities for perfectly reactive targets with Dirichlet boundary condition and improve some earlier results. We discuss how this approach can be generalized to partially reactive targets characterized by a Robin boundary condition. In particular, we show how partial reactivity reduces the effective size of the target. In addition, we consider more intricate surface reactions modeled by mixed Steklov-Neumann or Steklov-Neumann-Dirichlet problems. We provide the first derivation of the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions for these spectral problems in the small-target limit. Finally, we show how our asymptotic approach can be extended to interior targets in the bulk and to exterior problems where diffusion occurs in an unbounded planar domain outside a compact set. Direct applications of these results to diffusion-controlled reactions are discussed.

10. Elliptic boundary-value problems in some distribution spaces of

generalized smoothness

某些具有广义光滑性的分布空间中的椭圆型边值问题

作者: Anna Anop, Aleksandr Murach

类别: math.AP, 35J40, 46E35, 46B70

发布日期: 2025-03-26

ArXiv ID: 2503.20747v2

链接: http://arxiv.org/abs/2503.20747v2

摘要: We build a solvability theory of elliptic boundary-value problems in normed Sobolev spaces of generalized smoothness for any integrability exponent $p>1$. The smoothness is given by a number parameter and a supplementary function parameter that varies slowly at infinity. These spaces are obtained by a combination of the methods of the complex interpolation with number parameter between Banach spaces and the quadratic interpolation with function parameter between Hilbert spaces applied to classical Sobolev spaces. We show that the spaces under study admit localization near a smooth boundary and describe their trace spaces in terms of Besov spaces with the same supplementary function parameter. We prove that a general differential elliptic problem induces Fredholm bounded operators on appropriate pairs of the spaces under study. We also find exact sufficient conditions for solutions of the problem to have a prescribed generalized or classical smoothness on a given set and establish corresponding a priori estimates of the solution. These results are specified for parameter-elliptic problems.

11. Area minimizing hypersurfaces modulo $p$: a geometric free-boundary

problem

模 $p$ 的面积最小化超曲面：一个几何自由边界问题

作者: Camillo De Lellis, Jonas Hirsch, Andrea Marchese, Luca Spolaor, Salvatore Stuvard

类别: math.AP, math.DG, 49Q15, 49Q20, 49Q05, 53A10

发布日期: 2021-05-17

ArXiv ID: 2105.08135v4

链接: http://arxiv.org/abs/2105.08135v4

摘要: We consider area minimizing $m$-dimensional currents $\mathrm{mod}(p)$ in complete $C^2$ Riemannian manifolds $\Sigma$ of dimension $m+1$. For odd moduli we prove that, away from a closed rectifiable set of codimension $2$, the current in question is, locally, the union of finitely many smooth minimal hypersurfaces coming together at a common $C^{1,\alpha}$ boundary of dimension $m-1$, and the result is optimal. For even $p$ such structure holds in a neighborhood of any point where at least one tangent cone has $(m-1)$-dimensional spine. These structural results are indeed the byproduct of a theorem that proves (for any modulus) uniqueness and decay towards such tangent cones. The underlying strategy of the proof is inspired by the techniques developed by Leon Simon in “Cylindrical tangent cones and the singular set of minimal submanifolds” (J. Diff. Geom. 1993) in a class of multiplicity one stationary varifolds. The major difficulty in our setting is produced by the fact that the cones and surfaces under investigation have arbitrary multiplicities ranging from $1$ to $\lfloor \frac{p}{2}\rfloor$.

12. Construction of blowup solutions for Liouville systems

一类Liouville系统的爆破解构造

作者: Zetao Cheng, Haoyu Li, Lei Zhang

类别: math.AP, math-ph, math.MP, 35J47 58J90

发布日期: 2025-03-10

ArXiv ID: 2503.07467v2

链接: http://arxiv.org/abs/2503.07467v2

摘要: We study the following Liouville system defined on a flat torus \begin{equation} \left{ \begin{array}{lr} -\Delta u_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\rho_j\Big(\frac{h_j e^{u_j}}{\int_\Omega h_j e^{u_j}}-1\Big),\nonumber u_j\in H_{per}^1(\Omega)\mbox{ for }i\in I={1,\cdots,n}\nonumber, \end{array} \right. \end{equation} where $h_j\in C^3(\Omega)$, $h_j>0$, $\rho_j>0$ and $u=(u_1,..,u_n)$ is doubly periodic on $\partial\Omega$. The matrix $A=(a_{ij})_{n\times n}$ satisfies certain properties. One central problem about Liouville systems is whether multi-bubble solutions do exist. In this work we present a comprehensive construction of multi-bubble solutions in the most general setting.

13. Local uniqueness and non-degeneracy of blowup solutions for regular

Liouville systems

正则Liouville系统的爆破解的局部唯一性与非退化性

作者: Zetao Cheng, Haoyu Li, Lei Zhang

类别: math.AP, 35J20, 35J47, 35J57

发布日期: 2025-09-11

ArXiv ID: 2509.09781v2

链接: http://arxiv.org/abs/2509.09781v2

摘要: We study the following Liouville system defined on a compact Riemann surface $M$, \begin{equation} -\Delta u_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\rho_j\Big(\frac{h_j e^{u_j}}{\int_\Omega h_j e^{u_j}}-1\Big)\mbox{ in }M\mbox{ for }i=1,\cdots,n,\nonumber \end{equation} where the coefficient matrix $A=(a_{ij})_{n\times n}$ is nonnegative, $h_1, \ldots, h_n$ are positive smooth functions, and $\rho_1, \ldots, \rho_n$ are positive constants. For the blowup solutions, we establish their uniqueness and non-degeneracy based on natural assumptions. The main results significantly generalize corresponding results for single Liouville equations \cite{BartJevLeeYang2019,BartYangZhang20241,BartYangZhang20242}. To overcome several substantial difficulties, we develop certain tools and extend them into a more general framework applicable to similar situations. Notably, to address the considerable challenge of a continuum of standard bubbles, we refine the techniques from Huang-Zhang \cite{HuangZhang2022} and Zhang \cite{Zhang2006,Zhang2009} to achieve extremely precise pointwise estimates. Additionally, to address the limited information provided by the Pohozaev identity, we develop a useful Fredholm theory to discern the exact role that the Pohozaev identity plays for systems. The considerable difference between systems and a single equation is also reflected in the location of blowup points, where the uncertainty of the energy type of the blowup point makes it difficult to determine the sufficiency of pointwise estimates. In this regard, we extend our highly precise pointwise estimates to any finite order. This aspect is drastically distinct from analyses of single equations.

14. On the propagation of mountain waves: linear theory

关于山地波传播的线性理论研究

作者: Adrian Constantin, Jörg Weber

类别: math.AP, math-ph, math.MP, 86A10, 34B20

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26125v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26125v1

摘要: We derive and establish a solution concept for the linear mountain wave problem in two dimensions. After linearizing the governing equations and a change of variables, the problem can be stated as a Dirichlet boundary value problem for a Helmholtz equation in terms of the vertical wind profile in the upper half-plane, with altitude-dependent potential (the Scorer parameter). To single out the correct solution, we have to make use of a radiation condition which is, due to the different physical situation, different from the classical Sommerfeld radiation condition for electromagnetic or acoustic waves. We rigorously develop a transform method and construct the physically correct solution, following Lyra’s monotonicity criterion for mountain waves. In this procedure, we clearly recognize the two typical types of mountain waves: vertically propagating waves and trapped lee waves. This paper is the first rigorous work on Helmholtz-like equations in the upper half-plane subject to such a non-classical radiation condition.

15. Enhancing PINN Performance Through Lie Symmetry Group

通过李对称群提升物理信息神经网络性能

作者: Ali Haider Shah, Naveed R. Butt, Asif Ahmad, Muhammad Omer Bin Saeed

类别: math.AP, cs.AI

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26113v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26113v1

摘要: This paper presents intersection of Physics informed neural networks (PINNs) and Lie symmetry group to enhance the accuracy and efficiency of solving partial differential equation (PDEs). Various methods have been developed to solve these equations. A Lie group is an efficient method that can lead to exact solutions for the PDEs that possessing Lie Symmetry. Leveraging the concept of infinitesimal generators from Lie symmetry group in a novel manner within PINN leads to significant improvements in solution of PDEs. In this study three distinct cases are discussed, each showing progressive improvements achieved through Lie symmetry modifications and adaptive techniques. State-of-the-art numerical methods are adopted for comparing the progressive PINN models. Numerical experiments demonstrate the key role of Lie symmetry in enhancing PINNs performance, emphasizing the importance of integrating abstract mathematical concepts into deep learning for addressing complex scientific problems adequately.

16. Spatial exponential decay of perturbations in optimal control of general

evolution equations

一般发展方程最优控制中扰动的空间指数衰减性

作者: Simone Göttlich, Benedikt Oppeneiger, Manuel Schaller, Karl Worthmann

类别: math.OC, cs.SY, eess.SY, math.AP

发布日期: 2025-01-21

ArXiv ID: 2501.12279v3

链接: http://arxiv.org/abs/2501.12279v3

摘要: We analyze the robustness of optimally controlled evolution equations with respect to spatially localized perturbations. We prove that if the involved operators are domain-uniformly stabilizable and detectable, then these localized perturbations only have a local effect on the optimal solution. We characterize this domain-uniform stabilizability and detectability for the transport equation with constant transport velocity, showing that even for unitary semigroups, optimality implies exponential damping. We extend this result to the case of a space-dependent transport velocity. Finally we leverage the results for the transport equation to characterize domain-uniform stabilizability of the wave equation. Numerical examples in one space dimension complement the theoretical results.

17. The Asymptotic Analysis of Some PDE and Steklov Eigenvalue Problems with

Partially Reactive Patches in 3-D

三维空间中带有部分反应斑块的某些偏微分方程及Steklov特征值问题的渐近分析

作者: Denis S. Grebenkov, Michael J. Ward

类别: math.AP, math-ph, math.MP, math.SP

发布日期: 2025-09-22

ArXiv ID: 2509.17394v2

链接: http://arxiv.org/abs/2509.17394v2

摘要: We consider steady-state diffusion in a three-dimensional bounded domain with a smooth reflecting boundary that is partially covered by small partially reactive patches. By using the method of matched asymptotic expansions, we investigate the competition of these patches for a diffusing particle and the crucial role of surface reactions on these targets. After a brief overview of former contributions to this field, we first illustrate our approach by considering the classical problems of the mean first-reaction time (MFRT) and the splitting probability for partially reactive patches characterized by a Robin boundary condition. For a spherical domain, we derive a three-term asymptotic expansion for the MFRT and splitting probabilities in the small-patch limit. This expansion is valid for arbitrary reactivities, and also accounts for the effect of the spatial configuration of patches on the boundary. Secondly, we consider more intricate surface reactions modeled by mixed Steklov-Neumann or Steklov-Neumann-Dirichlet problems. We provide the first derivation of the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions for these spectral problems in the small-patch limit for a spherical domain. Extensions of these asymptotic results to arbitrary domains and their physical applications are discussed.

18. Initial traces and solvability of the fast diffusion equation with

power-type nonlinearity

幂型非线性快速扩散方程的初值迹与可解性

作者: Kazuhiro Ishige, Nobuhito Miyake

类别: math.AP, 35K67, 35K15, 35B33

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26054v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26054v1

摘要: We investigate the qualitative behavior of the initial traces of nonnegative solutions to the fast diffusion equation with power-type nonlinearity. Necessary conditions for the existence of solutions to the corresponding Cauchy problem are identified. Moreover, sharp sufficient conditions for the existence of solutions are established by employing uniform local Morrey spaces and their generalizations.

19. The Hadamard parametrix on half-Minkowski with Robin boundary

conditions: Fundamental solutions and Hadamard states

半闵可夫斯基时空上具有Robin边界条件的Hadamard参数构造：基本解与Hadamard态

作者: B. Costeri, C. Dappiaggi, B. A. Juárez-Aubry, R. D. Singh

类别: math-ph, hep-th, math.AP, math.MP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.26035v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.26035v1

摘要: We address the problem of constructing fundamental solutions and Hadamard states for a Klein-Gordon field in half-Minkowski spacetime with Robin boundary conditions in $d \geq 2$ spacetime dimensions. First, using a generalisation of the Robin-to-Dirichlet map exploited by Bondurant and Fulling [J. Phys. A: Math. Theor. {\bf 38} 7 (2005)] in dimension $2$, we obtain a representation for the advanced and retarded Green operators in terms of a convolution with the kernel of the inverse Robin-to-Dirichlet map. This allows us to prove the uniqueness and support properties of the Green operators. Second, we obtain a local representation for the Hadamard parametrix that provides the correct local definition of Hadamard states in $d \geq 2$ dimensions, capturing `reflected’ singularities from the spacetime boundary. We show that our fundamental solutions abide by this local parametrix representation. Finally, we prove the equivalence of our local Hadamard condition and the global Hadamard condition with a wave-front set described in terms of generalized broken bi-characteristics, obtaining a Radzikowski-like theorem in half-Minkowski spacetime.

20. Another look at quasilinear Schrödinger equations with prescribed mass

via dual method

通过对偶方法重新审视具给定质量的拟线性薛定谔方程

作者: Jianhua Chen, Vicentiu D. Radulescu, Jijiang Sun, Jian Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2025-06-09

ArXiv ID: 2506.07346v3

链接: http://arxiv.org/abs/2506.07346v3

摘要: In this paper, we aim to study the existence of ground state normalized solutions for the following quasilinear Schr"{o}dinger equation $-\Delta u-\Delta(u^2)u=h(u)+\lambda u,\,\, x\in\R^N$, under the mass constraint $\int_{\R^N}|u|^2\text{d}x=a,$ where $N\geq2$, $a>0$ is a given mass, $\lambda$ is a Lagrange multiplier and $h$ is a nonlinear reaction term with some suitable conditions. By employing a suitable transformation $u=f(v)$, we reformulate the original problem into the equivalent form $-\Delta v =h(f(v))f'(v)+\lambda f(v)f'(v),\,\, x\in\R^N,$ with prescribed mass $ \int_{\R^N}|f(v)|^2\text{d}x=a. $ To address the challenge posed by the $L^2$-norm $\|f(v)\|^2_2$ not necessarily equaling $a$, we introduce a novel stretching mapping: $ v_t(x):=f^{-1}(t^{N/2}f(v(tx))). $ This construction, combined with a dual method and detailed analytical techniques, enables us to establish the following existence results: (1)Existence of solutions via constrained minimization using dual methods; (2) Existence of ground state normalized solutions under general $L^2$-supercritical growth conditions, along with nonexistence results, analyzed via dual methods; (3)Existence of normalized solutions under critical growth conditions, treated via dual methods. Additionally, we analyze the asymptotic behavior of the ground state energy obtained in {\bf(P2)}. Our results extend and refine those of Colin-Jeanjean-Squassina [Nonlinearity 20: 1353-1385, 2010], of Jeanjean-Luo-Wang [J. Differ. Equ. 259: 3894-3928, 2015], of Li-Zou [Pacific J. Math. 322: 99-138, 2023], of Zhang-Li-Wang [Topol. Math. Nonl. Anal. 61: 465-489, 2023] and so on. We believe that the methodology developed here can be adapted to study related problems concerning the existence of normalized solutions for quasilinear Schr"{o}dinger equations via the dual method.

21. Weak Martingale Solutions of the Stochastic

Schrödinger-Poisson-Landau-Lifshitz-Gilbert System

随机Schrödinger-Poisson-Landau-Lifshitz-Gilbert系统的弱鞅解

作者: Yurong Wei, Huaqiao Wang

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.25993v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.25993v1

摘要: The Schr"{o}dinger-Poisson-Landau-Lifshitz-Gilbert (SPLLG) system can characterize the spin transfer torque mechanism transferring the spin angular momentum to the magnetization dynamics through spin-magnetization coupling. We study the three-dimensional stochastic SPLLG system driven by a multiplicative stochastic force containing a continuous noise and a small jump noise. We establish the existence of weak martingale solutions based on the penalized functional technique, the Faedo-Galerkin approximation, stochastic compactness method, and a careful identification of the limit. Due to the strong coupling and strong nonlinearity caused by the SPLLG system and stochastic effects, some crucial difficulties have been encountered in obtaining energy estimates and avoiding non-negativity of the test function. We mainly utilize the structure of equations and the property of martingales developing the new energy estimates, and apply the three-layer approximation to overcome these difficulties. In particular, we extend the results by Z. Brze'{z}niak and U. Manna (Comm. Math. Phys., 2019) and by L.H. Chai, C.J. Garc'{\i}a-Cervera and X. Yang (Arch. Ration. Mech. Anal., 2018) to both the stochastic case and the coupling case.

22. Weak-strong uniqueness for general cross-diffusion systems with volume

filling

具有体积填充效应的一般交叉扩散系统的弱解-强解唯一性研究

作者: Maria Heitzinger, Ansgar Jüngel

类别: math.AP, 35A02, 35K51, 35K55, 35Q79, 35Q92

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.25978v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.25978v1

摘要: The weak-strong uniqueness of solutions to a broad class of cross-diffusion systems with volume filling is established. In general, the diffusion matrices are neither symmetric nor positive definite. This issue is overcome by supposing that the equations possess a Boltzmann-type entropy structure, which ensures the existence of bounded weak solutions. In this framework, general conditions on the mobility matrix are identified that allow for the proof of the weak-strong uniqueness property by means of the relative entropy method. The core idea consists in analyzing an augmented mobility matrix that is positive definite only on a specific subspace. Several examples that meet the required assumptions are provided, together with a discussion on possible extensions.

23. Inverse problem for connections in semi-linear wave equations on

Lorentzian manifolds

洛伦兹流形上半线性波动方程中关于联络的逆问题

作者: Lauri Oksanen, Ruochong Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.25971v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.25971v1

摘要: This paper recovers Hermitian connections of semi-linear wave equations with cubic nonlinearity. The main novelty is in the geometric generality: we treat the case of an arbitrary globally hyperbolic Lorentzian manifold. Our approach is based on microlocal analysis of nonlinear wave interactions, which recovers a non-abelian broken light-ray transform, and the inversion of broken light-ray transforms on globally hyperbolic Lorentzian manifolds.

24. Hamilton–Jacobi–Bellman equation for optimal control of stochastic

Wasserstein–Hamiltonian system on graphs

图上随机Wasserstein-Hamiltonian系统的最优控制Hamilton-Jacobi-Bellman方程

作者: Jianbo Cui, Tonghe Dang

类别: math.OC, math.AP, math.PR, 49L25, 35R02, 93E20, 35Q55, 60H30

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.25965v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.25965v1

摘要: Stochastic optimal control problems for Hamiltonian dynamics on graphs have wide-ranging applications in mechanics and quantum field theory, particularly in systems with graph-based structures. In this paper, we establish the existence and uniqueness of viscosity solutions for a new class of Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equations arising from the optimal control of stochastic Wasserstein–Hamiltonian systems (SWHSs) on graphs. One distinctive feature of these HJB equations is the simultaneous involvement of the Wasserstein geometry on the Wasserstein space over graphs and the Euclidean geometry in physical space. The nonlinear geometric structure, along with the logarithmic potential induced by the graph-based state equation, adds further complexity to the analysis. To address these challenges, we introduce an energy-truncation technique within the doubling of variables framework, specifically designed to handle the interaction between the interiorly defined Wasserstein space on graphs and the unbounded Euclidean space. In particular, our findings demonstrate the well-posedness of HJB equations related to optimal control problems for both stochastic Schr"odinger equation with polynomial nonlinearity and stochastic logarithmic Schr"odinger equation on graphs. To the best of our knowledge, this work is the first to develop HJB equations for the optimal control of SWHSs on graphs.

25. $C^1$ invariant, stable and inertial manifolds for non-autonomous

dynamical systems

非自治动力系统的$C^1$不变、稳定与惯性流形

作者: Radosław Czaja, Piotr Kalita, Alexandre N. Oliveira-Sousa

类别: math.DS, math.AP, 37L25, 35B42, 37D10, 37L05, 37L30

发布日期: 2025-07-31

ArXiv ID: 2508.00165v3

链接: http://arxiv.org/abs/2508.00165v3

摘要: We use the version of the Lyapunov–Perron method operating on individual solutions to investigate the existence of invariant manifolds for non-autonomous dynamical systems, focusing in particular on inertial and stable manifolds. We establish a characterization of both types of manifolds in terms of solutions exhibiting a common growth behavior, analogous to the classical characterization involving hyperbolicity. Furthermore, we introduce a unified formulation of the gap condition, from which known sharp versions are derived. Finally, we show that the constructed inertial manifolds have $C^1$ regularity.

26. On a fractional Alt-Caffarelli-Friedman-type monotonicity formula

关于一类分数阶Alt-Caffarelli-Friedman型单调性公式的探讨

作者: Fausto Ferrari, Davide Giovagnoli, Enzo Maria Merlino

类别: math.AP, 35R35, 35R11, 34K37

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.25891v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.25891v1

摘要: In this note, by exploiting mean value properties of $s$-harmonic functions, we introduce some monotonicity formulas in the nonlocal setting. We take into account intrinsically nonlocal functionals mimicking those introduced by Alt, Caffarelli and Friedman in the seminal work [Alt-Caffarelli-Friedman, Trans. Amer. Math. Soc. (1984)]. Our approach is purely nonlocal and does not rely on the extension technique. As a byproduct we also established interior nonlocal gradient estimates and a nonlocal analogue of the Bochner identity.

27. The Mimura Integral: A Unified Framework for Riemann and Lebesgue

Integration

米村积分：黎曼积分与勒贝格积分的统一框架

作者: Yoshifumi Mimura

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-30

ArXiv ID: 2509.25875v1

链接: http://arxiv.org/abs/2509.25875v1

摘要: An integral on Euclidean space, equivalent to the Lebesgue integral, is constructed by extending the notion of Riemann sums. In contrast to the Henstock–Kurzweil and McShane integrals, the construction recovers the full measure-theoretic structure – outer measure, inner measure, and measurable sets – rather than merely reproducing integration with respect to the Lebesgue measure. Whereas the classical approach to Lebesgue theory proceeds through a two-layer framework of measure and integration, these layers are unified here into a single framework, thereby avoiding duplication. Compared with the Daniell integral, the method is more concrete and accessible, serving both as an alternative to the Riemann integral and as a natural bridge to abstract Lebesgue theory.

28. Finite number of traces for Mumford-Shah minimizers in dimension 2

二维Mumford-Shah极小化子的迹具有有限个数

作者: Camille Labourie, Antoine Lemenant

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-29

ArXiv ID: 2509.24426v2

链接: http://arxiv.org/abs/2509.24426v2

摘要: In this short note, we answer a question raised by E. De Giorgi, showing that a Mumford-Shah minimizer in dimension 2 can only admit three maximum limit values as approaching the singular set. This result stems from tools developed in the early 2000’s by G. David, A. Bonnet, and J.-C. L'eger.

29. Formation of quiescent big bang singularities

静寂大爆炸奇点的形成

作者: Hans Oude Groeniger, Oliver Petersen, Hans Ringström

类别: gr-qc, math.AP, math.DG, 83C75, 35A21, 35Q76, 53C50, 83F05

发布日期: 2023-09-20

ArXiv ID: 2309.11370v2

链接: http://arxiv.org/abs/2309.11370v2

摘要: Hawking’s singularity theorem says that cosmological solutions arising from initial data with positive mean curvature have a past singularity. However, the nature of the singularity remains unclear. We therefore ask: If the initial hypersurface has sufficiently large mean curvature, does the curvature necessarily blow up towards the singularity? In case the eigenvalues of the expansion-normalized Weingarten map are everywhere distinct and satisfy a certain algebraic condition (which in 3+1 dimensions is equivalent to them being positive), we prove that this is the case in the CMC Einstein-non-linear scalar field setting. More specifically, we associate a set of geometric expansion-normalized quantities to any initial data set with positive mean curvature. These quantities are expected to converge, in the quiescent setting, in the direction of crushing big bang singularities. Our main result says that if the mean curvature is large enough, relative to an appropriate Sobolev norm of these geometric quantities, and if the algebraic condition is satisfied, then a quiescent (as opposed to oscillatory) big bang singularity with curvature blow-up forms. This provides a stable regime of big bang formation without requiring proximity to any particular class of background solutions. An important recent result by Fournodavlos, Rodnianski and Speck demonstrates stable big bang formation for all the spatially flat and spatially homogeneous solutions to the Einstein-scalar field equations satisfying the algebraic condition. Here we obtain analogous stability results for any solution inducing data at the singularity, in the sense introduced by the third author, in particular generalizing the aforementioned result. Moreover, we are able to prove both future and past global non-linear stability of a large class of spatially locally homogeneous solutions.

30. Multiple solutions to the nonlinear Schrödinger equation with a

partial confinement

具有部分约束的非线性薛定谔方程的多个解

作者: Liying Shan, Wei Shuai, Leyun Wu

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-26

ArXiv ID: 2509.21806v2

链接: http://arxiv.org/abs/2509.21806v2

摘要: We consider multiple solutions to the nonlinear Schr"odinger equation (NLS) with a partial confinement, which is physically relevant to dynamics of the Bose-Einstein condensate. Our study not only verifies the existence of positive ground state solutions and the nonexistence of least energy sign-changing solutions but also sheds light on the symmetry associated with these solutions. A novel finding is the existence of saddle type nodal solutions with their nodal domains intersecting at the origin. Furthermore, we have developed some innovative techniques such as the method of moving planes and the Hopf lemma for nonlinear Schr"odinger equations with partial confinement.