生成时间: 2025年10月08日 02:41:38

重点关注论文数量: 3

了解领域论文数量: 2

不相关论文数量: 20

重点关注论文（完整分析）

1. Thermal effects in fluid structure interactions

流固耦合中的热效应

作者: Sourav Mitra, Sebastian Schwarzacher

类别: math.AP, 35Q30, 35R37, 35Q35, 74F10, 76D05

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04801v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04801v1

详细分析

中文标题: 流固耦合中的热效应

1. 研究对象和背景

本文研究的是由两个可传热的不可压缩Navier-Stokes-Fourier流体与一个非线性弹性Koiter壳相互作用所构成的流固耦合系统。该壳作为两流体之间的动态界面，其运动改变了两个流体所在区域的几何形状。

系统的物理设定如下：设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 是一个有界光滑区域，$\Omega_2^o \Subset \Omega$ 是一个固定子域，$\partial\Omega_2^o$ 为初始壳面（参考构型），由 $C^4$ 嵌入映射 $\phi: \Gamma \to \mathbb{R}^3$ 参数化，其中 $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$。记 $\nu(x)$ 为参考曲面在点 $x \in \Gamma$ 处的单位外法向量，则壳的位移表示为 $\eta(t,x)\nu(x)$，从而变形后的壳面 $\Sigma_\eta(t)$ 定义为：

$$ \varphi_\eta(t,x) = \phi(x) + \eta(t,x)\nu(x), \quad x \in \Gamma, $$

$$ \Sigma_\eta(t) = \{\varphi_\eta(x,t) : x \in \Gamma\}. $$

定义随时间变化的流体区域：

  • $\Omega_1(t)$：包围壳并接触边界 $\partial\Omega$ 的外部流体区域；
  • $\Omega_2(t)$：被壳包围的内部流体区域；

满足：

$$ \Omega = \Omega_1(t) \cup \Omega_2(t), \quad \partial\Omega_2(t) = \Sigma_\eta(t), \quad \partial\Omega_1(t) = \partial\Omega \cup \Sigma_\eta(t). $$

流体用欧拉坐标描述，而结构（壳）用拉格朗日坐标描述。

整个系统的控制方程组为以下偏微分方程组（PDEs）：

$$ \begin{aligned} &\text{(动量方程)} && \partial_t u_i + \mathrm{div}(u_i \otimes u_i) - \mathrm{div}\, T_i = 0 && \text{在 } \bigcup_{t\in(0,T)} \Omega_i(t)\times\{t\}, \\ &\text{(不可压条件)} && \mathrm{div}\, u_i = 0 && \text{在 } \bigcup_{t\in(0,T)} \Omega_i(t)\times\{t\}, \\ &\text{(能量方程)} && c_i \left( \partial_t \theta_i + \mathrm{div}(\theta_i u_i) \right) - k_i \Delta \theta_i = \mu_i(\theta_i)|Du_i|^2 && \text{在 } \bigcup_{t\in(0,T)} \Omega_i(t)\times\{t\}, \\ &\text{(壳动力学)} && \partial_{tt} \eta + DK(\eta) = G && \text{在 } \Gamma \times (0,T), \\ &\text{(速度耦合)} && u_i \circ \varphi_\eta = \partial_t \eta\, \nu && \text{在 } \Gamma \times (0,T), \\ &\text{(无滑移边界)} && u_1 = 0 && \text{在 } \partial\Omega \times (0,T), \\ &\text{(温度通量连续)} && k_i \partial_{\nu_\eta} \theta_i = \lambda (\theta_1 - \theta_2) && \text{在 } \bigcup_{t\in(0,T)} \Sigma_\eta(t)\times\{t\}, \\ &\text{(外壁绝热)} && \partial_\nu \theta_1 = 0 && \text{在 } \partial\Omega \times (0,T), \\ &\text{(初值条件)} && (u_i, \theta_i, \eta, \partial_t \eta)(\cdot,0) = (u_i^0, \theta_i^0, \eta^0, \eta_1^0), \end{aligned} $$

其中：

  • $i=1,2$ 表示两种不同流体；
  • $T_i = \mu_i(\theta_i) D(u_i) - p_i I_d$ 是应力张量，$D(u_i) = \frac{\nabla u_i + (\nabla u_i)^T}{2}$；
  • 粘性系数服从 Vogel-Fulcher-Tammann 公式：
    $$ \mu_i(\theta_i) = \mu_{i0} \cdot e^{\beta_i / (\theta_i - \gamma_i)}, \quad \mu_{i0}, \beta_i, \gamma_i > 0; $$
  • $G$ 是流体对壳的作用力：
    $$ G = -|\det(\nabla \varphi_\eta)| [(-T_1 + T_2) \circ \varphi_\eta] \nu \cdot \nu; $$
  • $K(\eta)$ 是非线性 Koiter 壳的能量泛函，$DK(\eta)$ 是其 Fréchet 导数；
  • 参数 $\lambda \geq 0$ 控制壳的导热性能，对应三种情形：
    $$ \lambda = \begin{cases} 0 & \text{绝缘（无热流）}, \\ \infty & \text{超导（两侧温度相等）}, \\ (0,\infty) & \text{有限导热}. \end{cases} $$

特别地，当 $\lambda = \infty$ 时，界面条件变为 $\theta_1 = \theta_2$ on $\Sigma_\eta(t)$。

函数空间方面，弱解 $(u_i, \theta_i, \eta)$ 需满足如下正则性条件（见 Definition 1）：

  • $u_i \in L^\infty(0,T;L^2(\Omega_i)) \cap L^2(0,T;W^{1,2}(\Omega_i))$, $\mathrm{div}\,u_i = 0$;
  • $\theta_i \in L^\infty(0,T;L^1(\Omega_i)) \cap L^q(\Omega_i \times (0,T)) \cap L^s(0,T;W^{1,s}(\Omega_i))$ 对所有 $(q,s) \in [1,5/3) \times [1,5/4)$;
  • $\eta \in L^\infty(0,T;W^{2,2}(\Gamma)) \cap L^2(0,T;W^{2+\sigma^*,2}(\Gamma))$, $0 < \sigma^* < 1/2$;
  • $\partial_t \eta \in L^\infty(0,T;L^2(\Gamma)) \cap L^2(0,T;W^{\sigma^*,2}(\Gamma))$.

此外，假设初始位移 $\eta^0$ 落在某个管状邻域内（即 $\eta^0 \in (a_{\partial\Omega}, b_{\partial\Omega})$），以保证壳不会穿透边界或自交。

2. 主要定理或主要结果

定理 1.1（有界能量弱解的存在性）
设以下条件成立：
（i）$\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 是具有 $C^\infty$ 边界的有界区域，且 $\Omega_2^o \Subset \Omega$ 满足 $\mathrm{dist}(\partial\Omega_2^o, \partial\Omega) > 0$，$\partial\Omega_2^o = \phi(\Gamma)$ 由 $C^4$ 嵌入映射 $\phi: \Gamma \to \mathbb{R}^3$ 给出；
（ii）初始数据满足：$\eta^0 \in W^{2,2}(\Gamma)$，$\eta_1^0 \in L^2(\Gamma)$，$\theta_i^0 \in L^1(\Omega_i)$，$u_i^0 \in L^2(\Omega_i)$；
（iii）初始几何配置满足：$\partial\Omega_2 = \Sigma_{\eta^0} = \varphi_{\eta^0}(\Gamma,0)$，$\partial\Omega_1 = \Sigma_{\eta^0} \cup \partial\Omega$；
（iv）初始温度严格正：存在常数 $\gamma_i > \gamma_0 > 0$，使得 $\theta_i^0 \geq \gamma_i$ 在 $\Omega_i$ 上几乎处处成立；
（v）初始位移满足 $\eta^0 \in (a_{\partial\Omega}, b_{\partial\Omega})$（保证壳位于管状邻域内），且几何量 $\gamma(\eta^0) > 0$（与Koiter能量结构相关，将在(2.11)中定义）。

则存在最大存在时间 $T_F \in (0,\infty]$，使得对于任意 $T < T_F$，系统 (1.7)-(1.15) 存在一个满足定义1的有界能量弱解 $(u_i, p_i, \theta_i, \eta)$，其中Koiter能量结构如(2.6)所述。

此外，若 $T_F < \infty$，则必发生以下任一情况：

  • $\lim_{s \to T_F} \eta(s,y) \searrow a_{\partial\Omega}$ 或 $\nearrow b_{\partial\Omega}$ 对某个 $y \in \Gamma$ 成立（壳触及刚性边界）；
  • $\lim_{s \to T_F} \bar{\gamma}(\eta(s,y)) = 0$ 对某个 $y \in \Gamma$ 成立（Koiter能量退化，可能意味着几何奇异性如自交或折叠）。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

  • 变分方法（Variational Approach）：采用基于“极小化运动”（minimizing movements）的构造策略，将演化问题转化为一系列能量最小化问题。
  • 双尺度逼近法（Two-time-scale approximation）：
    • 引入加速度尺度 $h > 0$ 来离散化惯性项 $\partial_{tt}\eta$ 和物质导数 $\frac{D}{Dt}u_i$；
    • 同时引入速度尺度 $\tau \ll h$ 来处理对流项 $\partial_t \theta_i + u_i \cdot \nabla \theta_i$ 和结构速度 $\partial_t \eta$。
  • 人工正则化技术：
    • 添加高阶耗散项 $\kappa \int \nabla^{k_0} u_i : \nabla^{k_0} \psi$ 到动量方程中，确保流体速度足够光滑以构造流图；
    • 正则化Koiter能量为 $K_\kappa(\eta) = K(\eta) + \frac{\kappa}{2} \int_\Gamma |\nabla^{k_0+1} \eta|^2$，用于获得结构位移的更高正则性；
    • 在弱形式中加入结构耗散项 $\kappa \int \nabla^{k_0+1} \partial_t \eta : \nabla^{k_0+1} b$，使配对 $\langle DK(\eta), \partial_t \eta \rangle$ 有意义。
  • 紧性原理：
    • 使用 Aubin-Lions 引理的经典版本处理远离移动界面的抛物柱体上的温度紧性；
    • 采用非标准版本的 Aubin-Lions 引理（Theorem 2.3 的推广）来处理具有时变几何和延迟项的平均速度序列的紧性（Proposition 4.1）；
    • 借鉴 [44] 中发展的关于非线性壳的紧性定理，并适应含温度的情形。
  • 熵不等式方法：通过测试数学熵函数 $\varphi(\theta_i) = \theta_i^{\beta+1}$（$\beta \in (-1,0)$）得到温度在分数阶Sobolev空间中的统一估计，进而获得 $\theta_i$ 的强收敛性。

b) 技术难点与解决技巧

  • 温度保持正值的问题：由于粘性系数 $\mu_i(\theta_i)$ 在 $\theta_i \to 0$ 时指数发散，必须防止温度趋于零。作者通过对截断函数 $\omega_i = \chi_{[0,\tau]} \min\{0, \theta_i - \gamma\}$ 进行测试并利用能量结构证明最小值原理，从而保证 $\theta_i \geq \gamma > 0$。
  • 非线性粘性依赖于温度：这导致动量方程和能量方程高度耦合。为此，需要超越能量估计提供的信息，使用熵测试法获得 $\theta_i \in L^s(0,T;W^{1,s}(\Omega_i))$ 的更强正则性。
  • 移动边界与几何非线性：壳的变形导致流体区域随时间变化，增加了分析难度。通过参数化 $\varphi_\eta$ 将问题固定到参考域，并利用 tubular neighborhood 定理确保映射单射性。
  • 压力重建困难：文中指出目前尚无法有效重构压力使其满足 $u \cdot p$ 可积，因此弱解不能直接升级为强解（见 Remark 1.1）。
  • 极限过程中的强收敛性：为了处理非线性项（如 $|Du_i|^2$ 作为热源），需确保 $\nabla u_i$ 的强收敛。这是通过结合双尺度逼近、人工耗散、改进正则性和紧性引理实现的。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进

本文的主要突破在于首次在三维空间中建立了包含完整热效应的不可压缩流-非线性弹性壳耦合系统的全局弱解存在性理论，填补了现有文献的空白。

具体体现在以下几个方面：

  • 引入温度并考虑双向热交换机制：此前关于流-非线性壳耦合的研究大多忽略温度效应或仅考虑结构本身的热弹性（如 [9], [37], [48], [49]）。本文同时建模了两个流体的热传导、粘性耗散产热以及通过壳的界面热传递（从绝缘到超导），实现了更真实的物理建模。
  • 涵盖极端热传输情形：允许 $\lambda = 0$（完全隔热）和 $\lambda = \infty$（温度连续），并在统一框架下处理这些奇异极限，增强了模型的适用性。
  • 粘性依赖温度的物理律：采用 Vogel-Fulcher-Tammann 方程而非常数粘性，更贴近真实流体行为（如玻璃形成体、聚合物熔体等），但也极大增加数学难度。
  • 保持温度严格正：通过精巧的极小值原理论证，在弱解层面仍能保证 $\theta_i \geq \gamma > 0$，避免了粘性爆炸问题。
  • 扩展变分方法至热力学系统：将 [6] 提出的用于流-结构相互作用的变分框架成功推广到包含热力学第一定律（能量守恒）和第二定律（熵不等式）的系统，实现了“能量封闭”的近似方案。
  • 双重逼近策略的创新应用：结合时间延迟（$h$）、速度步长（$\tau$）和人工正则化（$\kappa$）三层逼近，克服了惯性、对流、几何非线性和热耦合带来的多重挑战。

综上，本文不仅在模型完整性上有显著提升，而且在数学方法上进行了实质性拓展，特别是在处理高温粘性流体与非线性弹性壳的全耦合系统方面达到了当前弱解理论的前沿水平。

2. Vorticity blow-up for the 3D incompressible Euler equations

三维不可压缩欧拉方程的涡量爆破

作者: Wenjie Deng, Song Jiang, Minling Li, Zhaonan Luo

类别: math.AP

发布日期: 2025-09-16

ArXiv ID: 2509.13226v2

链接: http://arxiv.org/abs/2509.13226v2

详细分析

中文标题: 三维不可压缩欧拉方程的涡量爆破

1. 研究对象和背景

本文研究的是三维不可压缩欧拉方程（3D incompressible Euler equations）在轴对称、无旋情形下的解，特别是其涡量 $\omega = \nabla \times u$ 在有限时间内是否会发生奇异性（即“爆破”）。该系统的控制方程如下：

$$ \begin{cases} \partial_t u + u \cdot \nabla u + \nabla P = 0, & t \in \mathbb{R}^+, x \in \mathbb{R}^3, \\ \mathrm{div}\, u = 0, \\ u|_{t=0} = u_0, \end{cases} $$

其中 $u$ 是速度场，$P$ 是压力。对应的涡量方程为：

$$ \begin{cases} \partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega = \omega \cdot \nabla u, & \mathrm{div}\, \omega = 0, \\ \omega|_{t=0} = \omega_0 = \nabla \times u_0. \end{cases} $$

通过 Biot-Savart 定律可由涡量重构速度：

$$ u = (-\Delta)^{-1}(\nabla \times \omega). $$

论文聚焦于轴对称且无周向速度分量（vanishing swirl）的情形，此时系统可简化为二维变量 $(r, x_3)$ 上的问题，其中 $r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$。在此设定下，涡量仅有一个非零分量 $\omega_\theta(r,x_3)$，记作 $\omega(t,r,x_3)$，并满足如下简化系统：

$$ \begin{cases} \partial_t \omega + \frac{u_r}{r} \partial_r \omega + \frac{u_3}{r} \partial_3 \omega = \frac{\omega}{r} u_r, \\ -\partial_r^2 \psi - \frac{1}{r} \partial_r \psi + \frac{\psi}{r^2} - \partial_3^2 \psi = \omega, \\ u_r = -\partial_3 \psi, \quad u_3 = \frac{1}{r} \partial_r (r \psi), \\ \omega|_{t=0} = \omega_0, \quad \psi|_{\partial D_0} = 0, \end{cases} $$

其中定义域为 $D_0 = [0,\infty) \times [0,\infty)$。

进一步引入极坐标变换：设 $R = (r^2 + x_3^2)^{\alpha/2}$，$\theta = \arctan(x_3 / r)$，并令新未知函数 $\Omega(t,R,\theta) = \omega(t,r,x_3)$，$\Psi(t,R,\theta) = R^{-\alpha/2} \psi(t,r,x_3)$，则原系统被重写为：

$$ \begin{cases} \partial_t \Omega + U(\Psi)\partial_\theta \Omega + V(\Psi)\alpha D_R \Omega = R(\Psi)\Omega, \\ L_\alpha(\Psi) + L_\theta(\Psi) = \Omega, \\ \Omega|_{\partial D} = 0, \quad \Psi|_{\partial D} = 0, \end{cases} $$

其中 $D = [0,\infty) \times [0,\pi]$，微分算子 $D_R = R \partial_R$，各项系数定义如下：

  • $U(\Psi) = -3\Psi - \alpha D_R \Psi$,
  • $V(\Psi) = \partial_\theta \Psi - (\tan\theta)\Psi$,
  • $R(\Psi) = V(\Psi) - (\tan\theta)U(\Psi)$,
  • 径向算子 $L_\alpha(\Psi) = -\alpha^2 D_R^2 \Psi - 5\alpha D_R \Psi$,
  • 角向算子 $L_\theta(\Psi) = -\partial_\theta V(\Psi) - 6\Psi$。

此外，文中特别考虑具有奇对称性的速度场：$u_i$ 关于 $x_i$ 奇对称，在其余两个变量上偶对称；相应地，涡量满足 $\omega(t,r,x_3) = -\omega(t,r,-x_3)$。

函数空间方面，作者在临界 Sobolev 空间 $H^2 \cap E^2$ 中进行分析，其中 $E^2$ 是一个带有更强奇异权重的新构造空间，用于处理运输项中的关键非线性结构。这种空间选择是技术上的核心创新之一。

2. 主要定理或主要结果

定理 1.1（主要结果）
对任意给定的 $\beta \in (0,1]$，存在正常数 $\alpha(\beta)$，使得对于某个常数 $c > 0$，初始涡量 $\omega_0 \in C^{0,2\alpha}_{0,\alpha}(D_0)$ 满足估计 $|\omega_0| \leq c|x|^{2\alpha\beta}(1+|x|)^{-(2\alpha\beta+\alpha^2)}$，并且存在正时间 $T^*$，使得轴对称三维欧拉方程 (1.4) 存在一个经典解 $\omega \in C_t^{2\beta}([0,T^*); C_x^{2\alpha\beta}(D_0))$。

该解在 $t=T^*$ 处发生有限时间奇异性，其标度指数为 $\beta$。更进一步，存在参数 $\gamma \in \mathbb{R}_+$ 满足 $|\beta - 1| \ll 1$ 且 $T^* = 1 + \frac{\alpha}{2\gamma}$，使得以下爆破结果成立：

$$ \lim_{t \to T^*} \int_0^t \|\omega(s)\|_{L^\infty(D_0)} ds = +\infty, \quad \lim_{t \to T^*} \int_0^t \left\| \frac{u_r(s)}{r} \right\|_{L^\infty(D_0)} ds = +\infty. $$

此外，对任意 $1 \leq p < \frac{2}{2 - \beta}$，速度分量 $(u_r, u_3)$ 具有如下时间可积性：

$$ \int_0^{T^*} \|(u_r, u_3)(s)\|_{L^\infty_{\mathrm{loc}}(D_0)}^p ds < +\infty. $$

此定理表明：即使初始涡量仅为低正则性（Hölder 连续），仍可构造出在有限时间内产生奇性的经典解，并精确刻画了爆破速率与时间可积性之间的依赖关系——尤其是通过参数 $\beta$ 调控解的行为。

作为推论，也有三维全空间上的对应结果：

推论 1.3
对任意 $\beta \in (0,1]$，存在正常数 $\alpha_0(\beta)$，一个散度自由且奇对称的初速度 $u_0$，其对应涡量 $\omega_0 \in C^{0,\alpha_0}(\mathbb{R}^3)$，以及正时间 $T^*$，使得三维欧拉方程存在解 $\omega \in C^{0,\alpha_0}([0,T^*) \times \mathbb{R}^3)$，满足：

$$ \lim_{t \to T^*} \int_0^t \|\omega(s)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)} ds = +\infty, $$

并且对任意 $1 \leq p < \frac{2}{2 - \beta}$，有：

$$ \int_0^{T^*} \|u(s)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}^p ds < +\infty. $$

这说明尽管涡量以某种方式“爆破”，但速度本身仍保持一定的时空可积性。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具

  • 自相似方法（self-similar method）：采用反向自相似变换，将有限时间奇异性问题转化为关于自相似剖面的稳态型偏微分方程系统。具体地，引入自相似变量：

    $$ z = \frac{R}{t^\beta}, \quad t' = 1 - \frac{t}{T}, $$

    并假设解具有形式 $\omega(t,x) = \frac{1}{(T-t)^{\beta_0}} \Omega\left(\frac{x}{(T-t)^{\beta}}\right)$，从而将演化问题归约为求解非线性特征值问题。

  • 临界 Sobolev 空间中的能量估计：工作框架设定在临界空间 $H^2 \cap E^2$，其中 $H^k$ 为带特定径向和角向权重的加权 Sobolev 空间，而 $E^2$ 是作者新引入的、配备更强奇异权重的空间（如含 $(\sin\theta)^{-\lambda}$ 类因子），用以控制运输项带来的高阶导数效应。

  • 强制性估计（coercivity estimate）：针对主算子 $L_\Gamma(g) = g + \beta D_z g - \frac{3}{2\alpha} L_{z,K}^{-1}(F_*^\gamma)g - \frac{3}{2\alpha} L_{z,K}^{-1}(g)F_*^\gamma$，通过精心选取权重函数 $w_z, w_K$ 构造内积，证明其在 $H^{-1}$ 意义下满足强制性：

    $$ \langle L_\Gamma(g), g w^2 \rangle \gtrsim \|g\|_{H^{-1}}^2, $$

    这是建立先验估计的关键。

  • 椭圆估计与 Hardy 不等式：利用角向与径向算子分离结构，结合参数化的 Hardy 不等式（如涉及 $\xi > 1$ 的加权不等式）来控制 $\Phi_g$（由 $g$ 通过势方程生成）的高阶范数。

b) 技术性难题的处理技巧

  • 运输项的“零结构”（null structure）分析：这是本文最核心的技术突破。作者发现运输项 $T_g = U(\Phi)\partial_\theta g + V(\Phi)\alpha D_z g$ 在适当分解后具有隐藏的消解结构。将其改写为：

    $$ T_g = \frac{1}{W} T_W(gW) - \left( \frac{1}{W} T_W \cdot g \right), $$

    其中 $W$ 为精心设计的权重函数。经过计算可得：

    $$ \left\langle T_g, g W^2 \right\rangle_{z,\theta} = 0, $$

    即运输项在加权 $L^2$ 内积下具有“零平均”性质。进一步分析显示其主部可表示为 $(1 - 2\xi)\cos(2\theta)$ 形式，当 $\xi \approx 1/2$ 时趋于零，因此可视为主算子的小扰动。

  • 基本自相似模型的参数稳定性：构造一族依赖于参数 $\gamma$ 的基本解 $F_*^\gamma$，并在非光滑情形（如 $\gamma^{-1} \notin \mathbb{N}_+$）下证明其属于新空间 $H^{k,*}$。通过分析 $F_*^\gamma$ 随 $\gamma$ 变化的连续性（即参数稳定性），得以匹配任意给定的 $\beta$，实现近似。

  • 非局部逆算子的边界处理：由于 $L_{z,K}^{-1}$ 是非局部算子，不能直接施加边界条件 $L_{z,K}^{-1}(g)(0)=0$。为此作者引入修正参数 $\mu$，通过调节 $\mu$ 来保证边界一致性，确保整体解的适定性。

  • 混合权重与正则性控制：为了避免提升正则性阶数，在估计 $D_z D_\theta T_g$ 时引入额外加权范数：

    $$ \left\| D_z \left( \frac{U(\Phi_g)}{\sin(2\theta)} \right) \right\|_{L^\infty} \lesssim \beta \alpha^{-1} \|g\|_{E^2}, $$

    有效避免了对更高阶空间的需求。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进

本文的主要突破体现在以下几个方面：

  1. 推广 Elgindi 的自相似构造至一般标度指数 $\beta \in (0,1]$：
    Elgindi [5] 首次构造了低正则性下欧拉方程的有限时间奇性解，但其结果局限于特定标度 $\beta = 1$。本文通过引入参数化族 $\{F_*^\gamma\}$ 和稳定性分析，实现了对任意 $\beta \in (0,1]$ 的推广，显著增强了模型的灵活性与普适性。

  2. 首次系统研究解的时间可积性与标度参数 $\beta$ 的定量关系：
    文章明确指出，速度分量 $(u_r, u_3)$ 属于 $L^p_{\mathrm{loc}}([0,T^*]; L^\infty)$ 当且仅当 $p < \frac{2}{2 - \beta}$。这一精细刻画揭示了奇性强度与解的整体行为之间的内在平衡，为理解“弱爆破”现象提供了新视角。

  3. 放宽初始数据的正则性要求：
    解允许初始涡量仅为 $C^{0,\alpha}$（Hölder 连续），远低于经典理论所需的 $H^s$ ($s \geq 3$) 正则性，符合物理流体中可能出现的粗糙初始状态。

  4. 提出新的函数空间 $E^2$ 与零结构机制，解决临界估计闭合问题：
    如 Remark 1.8 所述，Elgindi 在 $H^2$ 框架中无法轻易闭合非线性估计。本文通过构建更强的加权空间 $E^2$，并挖掘运输项的“零结构”，成功克服了这一障碍，使能量估计能在临界正则性下闭合，这是方法论上的重大进展。

  5. 扩展适用范围至 $\beta \in (0,1+\delta]$：
    虽然原始构造限于 $\beta \leq 1$，但作者指出通过引理控制交叉项，存在 $\delta > 0$ 使得结论可延拓到 $\beta \in (0,1+\delta]$，从而获得更强的可积性结果，例如 $(u_r,u_3) \in L^2([0,T^*]; L^\infty_{\mathrm{loc}})$。

综上所述，本文不仅延续了 Elgindi 开创的低正则性奇性构造路径，更在参数自由度、函数空间设计、非线性结构识别与可积性分析等方面实现了实质性推进，为三维欧拉方程的有限时间爆破问题提供了更为系统和精细的数学描述。

3. $2D$ vorticity Euler equations: Superposition solutions and nonlinear

Markov processes

二维涡度欧拉方程：叠加解与非线性马尔可夫过程

作者: Marco Rehmeier, Marco Romito

类别: math.AP, math-ph, math.MP, math.PR

发布日期: 2024-07-23

ArXiv ID: 2407.16609v2

链接: http://arxiv.org/abs/2407.16609v2

详细分析

中文标题: 二维涡度欧拉方程：叠加解与非线性马尔可夫过程

研究对象和背景:

本文研究的是全平面 $\mathbb{R}^2$ 上的二维不可压缩无粘流体的欧拉方程，其以涡度形式表示。该方程组为：

$$ (\mathrm{EE})\quad \partial_t \omega + (v \cdot \nabla) \omega = 0, \quad \omega(0) = \omega_0, \quad v = K * \omega, $$

其中 $K$ 是 Biot–Savart 核：

$$ K(x) := \frac{x^\perp}{2\pi |x|^2}, \quad x^\perp := (-x_2, x_1), \quad x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2. $$

这里 $\omega(t,x)$ 表示时刻 $t$ 在位置 $x$ 处的涡度，$v(t,x)$ 是速度场，由涡度通过卷积 $v = K * \omega$ 确定。由于 $\mathrm{div}\, v = 0$，第一个方程可等价写为一阶非线性 Fokker–Planck 方程（FPE）：

$$ \partial_t \omega + \mathrm{div}(K(\omega)\omega) = 0. $$

论文将弱解（包括测度值解）视为概率或有限非负测度族，并在广义分布意义下进行研究。特别地，初始数据属于如下空间之一：$L^1 \cap L^p(\mathbb{R}^2)$（$p \geq 2$）、经典 Yudovich 空间 $Y_\Theta$ 或一致局部化 Yudovich 空间 $Y_{\Theta,\mathrm{uloc}}$。这些空间允许较低正则性的初始涡度，甚至包含奇异测度（如点涡或涡片），从而导致解可能不唯一。

主要定理或主要结果:

定理 3.11（叠加解的存在性）：设 $\omega: (0,\infty) \to M_+(\mathbb{R}^2)$ 是涡度欧拉方程 $(\mathrm{EE})$ 的一个非负有限测度值弱解，初始数据为 $\omega_0 \in M_+(\mathbb{R}^2)$，满足对任意 $T > 0$，有 $\mathrm{ess\,sup}_{t \in (0,T)} \omega(t)(\mathbb{R}^2) < \infty$，且满足积分条件：

$$ \frac{(K*\omega(t))(x)}{1+|x|} \in L^1\big((0,T) \times \mathbb{R}^2; d\omega(t)dt\big), \quad \forall T > 0. $$

则存在一个弱连续的 $dt$-修正版本 $\tilde{\omega}$，使得 $\tilde{\omega}$ 是一个叠加解，即存在一个定义在路径空间 $C([0,\infty), \mathbb{R}^2)$ 上的非负有限 Borel 测度 $\eta$，其支撑集中在方程

$$ \dot{y}(t) = (K * \tilde{\omega}(t))(y(t)), \quad t \geq 0 $$

的绝对连续积分曲线上，且满足

$$ \eta \circ \pi_t^{-1} = \tilde{\omega}(t), \quad \forall t \geq 0, $$

其中 $\pi_t: C([0,\infty), \mathbb{R}^2) \to \mathbb{R}^2$ 是标准投影映射 $\pi_t(f) = f(t)$。

定理 4.4（非线性马尔可夫过程的存在唯一性）：设 $p \geq 2$，记 $P := P(\mathbb{R}^2) \cap (L^1 \cap L^p)(\mathbb{R}^2)$。则存在一族弱连续的概率测度值弱解 $\{\omega^\zeta\}_{\zeta \in P}$，满足 $\omega^\zeta(0) = \zeta$，且 $\omega^\zeta \in L^\infty([0,\infty); (L^1 \cap L^p)(\mathbb{R}^2))$ 并具有流性质（flow property）。进一步地，存在唯一的非线性马尔可夫过程 $\{P_\zeta\}_{\zeta \in P}$，其中每个 $P_\zeta$ 是路径空间 $\Omega = C([0,\infty), \mathbb{R}^2)$ 上的概率测度，集中于常微分方程

$$ \dot{X}_t = (K * \omega^\zeta(t))(X_t) $$

的绝对连续积分曲线上，并满足

$$ P_\zeta \circ \pi_t^{-1} = \omega^\zeta(t), \quad \forall t \geq 0. $$

此外，该非线性马尔可夫过程由解族 $\{\omega^\zeta\}_{\zeta \in P}$ 唯一确定。

研究方法、关键技术和核心工具:

a) 论文使用的核心分析学工具主要包括：

  • 非线性超位置原理（nonlinear superposition principle）：这是证明定理 3.11 的关键。作者引用了 Ambrosio–Figalli–Trevisan 类型的超位置原理 [1, 28, 48] 及其在非线性 Fokker–Planck 方程中的推广 [2, 3, 8]，将测度值解与路径空间上的概率测度联系起来。具体而言，弱解对应于某个分布依赖 ODE 的积分曲线的叠加。
  • 紧性与选择定理：为了构造具有流性质的解族（见命题 4.5），作者利用了 Krylov 提出的选择思想 [36] 及其在无限维系统中的发展 [16, 40]，从可能多值的解集中选取一个满足半群性质（即 $\omega^{s+t} = \omega^t \circ \omega^s$）的“好”解流。
  • 重正规化解理论（renormalized solutions）：用于处理低正则性情况下的传输方程解的稳定性与唯一性问题，是连接 Lagrangian 解与分布解的重要桥梁。

b) 针对技术性难题的主要技巧包括：

  • 对于测度初值导致的缺乏正则性问题，作者引入了一个较弱但自然的积分条件 $(1.4)$：
    $$ \frac{(K*\omega(t))(x)}{1+|x|} \in L^1\big((0,T) \times \mathbb{R}^2; d\omega(t)dt\big), $$
    以确保速度场在加权测度下的可积性，从而定义弱解并应用超位置原理。这一条件比传统假设更宽松，适用于许多奇异初值情形。
  • 在构造非线性马尔可夫过程时，由于原方程 $(\mathrm{EE})$ 解不唯一（尤其当 $p < \infty$ 时），必须进行适当的解选择。作者通过建立一个全局的、保持流性质的解选择映射 $\omega(t,\zeta)$ 来克服此困难（命题 4.5），这依赖于解集的紧性和拓扑选择工具。
  • 利用 Biot–Savart 核 $K$ 的结构特性（如 $K \in L^1 + L^\infty$）和 Young 不等式来控制卷积项 $K*\omega$ 的正则性，例如当 $\omega \in L^1 \cap L^p$ 且 $p \geq 2$ 时，可得 $K*\omega \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}} \cap L^{p'} + L^\infty$。

与之前工作的比较:

a) 本文的主要突破体现在以下几个方面：

  • 推广了 Lagrangian 解的概念：以往关于欧拉方程弱解的 Lagrangian 性质的研究大多局限于 $L^p$ 初值（$p \geq 2$）或特殊极限解（如精确解或零粘极限解）[37, 9, 23]。本文提出的“叠加解”概念是对传统 Lagrangian 解的严格推广——任何 Lagrangian 解都是叠加解，但反之不成立。这种推广使得即使对于测度初值（如点涡、涡片）这类无法沿单一轨迹输运的情况，也能给出基于路径叠加的概率表示。
  • 放宽了解的正则性要求：定理 3.11 中的假设 $(1.4)$ 是目前已知最弱的条件之一，仅要求速度场在加权测度下可积，远弱于经典的 $W^{1,1}_{\mathrm{loc}}$ 或 $L^\infty$ 假设。因此，结果适用于一大类低可积性或奇异初值情形。
  • 首次为二维欧拉方程建立了非线性马尔可夫过程框架：虽然 McKean 型非线性马尔可夫过程已被应用于 Burgers、 porous media 和 Navier–Stokes 方程 [41, 4]，但此前尚未成功应用于一阶、完全非线性的欧拉方程。本文通过巧妙的解选择机制，首次构建了由欧拉方程弱解驱动的非线性马尔可夫过程，揭示了其路径层面的随机结构（尽管动力学本身是确定性的）。
  • 解决了非唯一情形下的表示问题：当 $p < \infty$ 时，$(\mathrm{EE})$ 的弱解一般不唯一 [50, 51]，这使得标准马尔可夫表示失效。本文通过引入“解流选择”（solution flow selection）克服了这一障碍，表明即便整体解不唯一，仍可通过适当选择获得具有良好代数结构（流性质）的解族，进而生成唯一的非线性马尔可夫过程。

综上所述，本文在二维欧拉方程的弱解理论中引入了全新的概率视角，不仅拓展了经典 Lagrangian 表示的适用范围，也为研究非唯一性偏微分方程的动力系统结构提供了新工具。

了解领域论文（摘要翻译）

1. Mean-field limits à la Tanaka and large deviations for particle

systems with network interactions

基于Tanaka型平均场极限与具有网络相互作用的粒子系统的大型偏差

作者: Louis-Pierre Chaintron, Antoine Diez

类别: math.PR, math.AP, 35Q70, 82C22, 82C31, 60H10, 60H30, 60F10, 05C80

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04894v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04894v1

摘要翻译

中文标题: 基于Tanaka型平均场极限与具有网络相互作用的粒子系统的大型偏差

摘要翻译: 本文提出一个统一的框架，用于研究具有某种一般性相互作用机制的非可交换平均场粒子系统。该框架的出发点是Tanaka最初提出的关于粒子系统的不动点表述，该表述使我们能够在抽象的设定下证明平均场极限以及大型偏差结果。尽管最近的研究已表明，这种表述涵盖了大类的可交换粒子系统，但本文进一步提出了适用于非可交换情形的框架，包括具有自适应相互作用网络的情况。我们引入了关于网络结构的若干充分条件，这些条件保证了平均场极限的存在性，并导出了关于相互作用测度的一个新的大型偏差原理。最后，我们形式化地指出了一些重要模型，在这些模型中可以推导出极限行为的闭合偏微分方程（PDE）刻画。

2. A New Quasi-Singularity Formation Mechanism for Second-order Hyperbolic

Equations

二阶双曲方程中一种新的准奇点形成机制

作者: Huaian Diao, Xieling Fan, Hongyu Liu

类别: math.AP, 35L71, 35L67, 35L15, 35B44

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04614v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04614v1

摘要翻译

中文标题: 二阶双曲方程中一种新的准奇点形成机制

摘要翻译: 本文研究了二维和三维线性与非线性双曲波动方程中一种新颖的准奇点形成机制。我们证明，在任意有限时间区间内，存在某些输入，使得相应波场的Hölder范数超过任何预先给定的界限。反之，当上述界限趋于无穷时，此类近似爆发现象所对应的点集的测度趋于零。因此，这一现象定义了一种介于经典奇异性与正则性之间的准奇异状态。关键的是，方程的系数和输入均可为任意光滑函数；该准奇点源于双曲波动方程的结构本身与特定输入特征之间的内在相互作用。

不相关论文（基本信息）

1. Fractional critical systems with mixed boundary conditions

具有混合边界条件的分数阶临界系统

作者: R. Kumar, A. Ortega

类别: math.AP, Primary: 35J50, 35B33, 35R11, 35S15, Secondary: 35J61, 35Q55

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04975v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04975v1

摘要: In this paper, we analyze the existence of solution for a fractional elliptic system coupled by critical nonlinearities and endowed with mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions. By means of variational methods and an orthogonalization-like process in the corresponding Sobolev space, we establish the existence of at least one weak solution.

2. Cohomogeneity two Ricci solitons with sub-Euclidean volume

具有次欧几里得体积的余齐性二 Ricci 孤立子

作者: Benjy Firester, Raphael Tsiamis

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2024-08-26

ArXiv ID: 2408.13982v2

链接: http://arxiv.org/abs/2408.13982v2

摘要: We introduce new families of four-dimensional Ricci solitons of cohomogeneity two with volume collapsing ends. In a local presentation of the metric conformal to a product, we reduce the soliton equation to a degenerate Monge-Amp`{e}re equation for the conformal factor coupled with ODEs. We obtain explicit complete expanding solitons as well as abstract existence results for shrinking and steady solitons with boundary. These families of Ricci solitons specialize to classical examples of Einstein and soliton metrics. We also classify local solutions of this Monge-Amp`{e}re equation to prove rigidity for these solitons.

3. Poincaré-Einstein 4-manifolds with conformally Kähler geometry

具有共形凯勒几何的庞加莱-爱因斯坦四维流形

作者: Mingyang Li, Hongyi Liu

类别: math.DG, math-ph, math.AP, math.MP

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04928v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04928v1

摘要: We study 4-dimensional Poincar'e-Einstein manifolds whose conformal class contains a K"ahler metric. Such Einstein metrics are non-K"ahler and admit a Killing field extending to the conformal infinity, and the Einstein equation reduces to a Toda-type equation. When the Killing field integrates to an $\mathbb{S}^1$-action, we formulate a Dirichlet boundary value problem and establish existence and uniqueness theory. This construction provides a non-perturbative realization of infinite-dimensional families of new Poincar'e-Einstein metrics whose conformal infinities are of non-positive Yamabe type.

4. Rapid stabilization for a wave equation with boundary disturbance

具有边界扰动的波动方程的快速镇定

作者: Patricio Guzmán, Agustín Huerta, Hugo Parada

类别: math.OC, cs.SY, eess.SY, math.AP

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04893v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04893v1

摘要: In this paper, we study the rapid stabilization of an unstable wave equation, in which an unknown disturbance is located at the boundary condition. We address two different boundary conditions: Dirichlet- Dirichlet and Dirichlet-Neumann. In both cases, we design a feedback law, located at the same place as the unknown disturbance, that forces the exponential decay of the energy for any desired decay rate while suppressing the effects of the unknown disturbance. For the feedback design, we employ the backstepping method, Lyapunov techniques and the sign multivalued operator. The well-posedness of the closed-loop system, which is a differential inclusion, is shown with the maximal monotone operator theory.

5. Riesz fractional gradient functionals defined on partitions:

nonlocal-to-local variational limits

定义在划分上的黎茨分数阶梯度泛函：非局部到局部的变分极限

作者: Stefano Almi, Maicol Caponi, Manuel Friedrich, Francesco Solombrino

类别: math.AP, 49J45, 26A33, 35B27, 35R11, 26B30, 49Q20

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04881v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04881v1

摘要: This paper addresses the asymptotics of functionals with linear growth depending on the Riesz $s$-fractional gradient on piecewise constant functions. We consider a general class of varying energy densities and, as $s\to 1$, we characterize their local limiting functionals in the sense of $\Gamma$-convergence.

6. The parabolic Dirichlet problem with continuous and Hölder boundary

data, and rough coefficients

具有连续与Hölder边界数据及粗糙系数的抛物型Dirichlet问题

作者: Pablo Hidalgo-Palencia, Cody Hutcheson, Joseph Kasel

类别: math.AP, math.CA, 35K20 (Primary), 31B25, 35B65 (Secondary)

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04833v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04833v1

摘要: We provide very mild sufficient conditions for space-time domains (non-necessarily cylindrical) which ensure that the continuous Dirichlet problem and the H"older Dirichlet problem are well-posed, for any parabolic operator in divergence form with merely bounded coefficients. Concretely, we show that the parabolic measure exists, even for unbounded domains, hence solving an open problem posed by Genschaw and Hofmann (2020). This problem has inherent difficulties because of its parabolic nature, as the behavior of solutions near the boundary may depend strongly on the values of the coefficients of the operator. One of our sufficient conditions, the time-backwards capacity density condition, is a quantitative version of the parabolic Wiener’s criterion, and hence is adapted to the operator under consideration. The other condition, the time-backwards Hausdorff content condition, is (albeit slightly stronger) purely geometrical and independent of the operator, hence much easier to check in practice.

7. Uniqueness Result For Semi-linear Wave Equations With Sources

半线性波动方程源项解的唯一性结果

作者: Dong Qiu, Xiang Xu, Yeqiong Ye, Ting Zhou

类别: math.AP, 35R30

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04810v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04810v1

摘要: This paper addresses the inverse problem of simultaneously recovering multiple unknown parameters for semilinear wave equations from boundary measurements. We consider an initial-boundary value problem for a wave equation with a general semilinear term and an internal source. The inverse problem is to determine the nonlinear coefficients (potentials), the source term, and the initial data from the Dirichlet-to-Neumann (DtN) map. Our approach combines higher-order linearization and the construction of complex geometrical optics (CGO) solutions. The main results establish that while unique recovery is not always possible, we can precisely characterize the gauge equivalence classes in the solutions to this inverse problem. For a wave equation with a polynomial nonlinearity of degree $n$, we prove that only the highest-order coefficient can be uniquely determined from the DtN map; the lower-order coefficients and the source can only be recovered up to a specific gauge transformation involving a function $\psi$. Furthermore, we provide sufficient conditions under which unique determination of all parameters is guaranteed. We also extend these results to various specific non-polynomial nonlinearities, demonstrating that the nature of the nonlinearity critically influences whether unique recovery or a gauge symmetry is obtained.

8. On the eigenvalues of the biharmonic operator on annuli

关于环形区域上双调和算子的特征值研究

作者: Davide Buoso, Riccardo Molinarolo

类别: math.AP

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04809v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04809v1

摘要: We show that the fundamental tone of the bilaplacian with Dirichlet or Navier boundary conditions on radially symmetric domains is always simple in dimension $N\ge3$. In dimension $N=2$ we show that it is simple if the inner radius is big enough.

9. A direct proof of the cutoff Sobolev inequality on the Sierpiński

gasket

Sierpiński垫片上截断Sobolev不等式的直接证明

作者: Meng Yang

类别: math.AP, math.FA, math.MG, 28A80

发布日期: 2025-05-07

ArXiv ID: 2505.04186v3

链接: http://arxiv.org/abs/2505.04186v3

摘要: We present a direct proof of the cutoff Sobolev inequality on the Sierpi'nski gasket, which has long been regarded as highly non-trivial in the context of heat kernel estimates.

10. Sharp estimates and inequalities on Riemannian manifolds with Euclidean

volume growth

具有欧式体积增长的黎曼流形上的精确估计与不等式

作者: Luigi Fontana, Carlo Morpurgo, Liuyu Qin

类别: math.AP, math.DG, 46E36, 26D10, 58J60

发布日期: 2024-12-07

ArXiv ID: 2412.05638v2

链接: http://arxiv.org/abs/2412.05638v2

摘要: We obtain sharp estimates for heat kernels and Green’s functions on complete noncompact Riemannian manifolds with Euclidean volume growth and nonnegative Ricci curvature. We will then apply these estimates to obtain sharp Moser-Trudinger inequalities on such manifolds.

11. Existence and nonrelativistic limit of ground states to nonlinear Dirac

equation

非线性狄拉克方程基态解的存在性及非相对论极限

作者: Pan Chen, Yanheng Ding, Qi Guo

类别: math.AP, math-ph, math.MP

发布日期: 2025-07-15

ArXiv ID: 2507.11203v2

链接: http://arxiv.org/abs/2507.11203v2

摘要: This paper explores the existence and properties of ground states, including both energy and action ground states, for nonlinear Dirac equations with power-type potentials. \begin{equation*} -i c\sum\limits_{k=1}^3\alpha_k\partial_k u +mc^2 \beta {u}- |{u}|^{p-2}{u}=\omega {u}. \end{equation*} We establish the existence of energy ground states and demonstrate that as the speed of light approaches infinity, both energy and action ground states converge to their counterparts in the nonlinear Schr"odinger equation. Furthermore, we characterize the convergence rate of the ground state energy and investigate the equivalence between action and energy ground states.

12. Asymptotic behaviour and existence of positive solutions for mixed local

nonlocal elliptic equations with Hardy potential

具有Hardy位势的混合局部-非局部椭圆方程正解的渐近行为与存在性

作者: Shammi Malhotra, Sarika Goyal, K. Sreenadh

类别: math.AP

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04763v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04763v1

摘要: We investigate the existence and multiplicity of positive solutions to the following problem driven by the superposition of the Laplacian and the fractional Laplacian with Hardy potential \begin{equation*} \left{ \begin{aligned} -\Delta u + (-\Delta)^s u - \mu \frac{u}{|x|^2} &= \lambda |u|^{p-2} u + |u|^{2^-2} u \quad \text{in } \Omega \subset \mathbb{R}^N, u &= 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{aligned} \right. \end{equation} where $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ is a bounded domain with smooth boundary, $ 0 < s < 1 $, $ 1 < p < 2^* $, with $ 2^* = \frac{2N}{N-2} $, $ \lambda > 0 $, and $ \mu \in (0, \bar{\mu}) $ where $\bar \mu = \left( \frac{N-2}{2} \right)^2$. The aim of this paper is twofold. First, we establish uniform asymptotic estimates for solutions of the problem by means of a suitable transformation. Then, according to the value of the exponent $p$, we analyze three distinct cases and prove the existence of a positive solution. Moreover, in the sublinear regime $1 < p < 2$, we demonstrate the existence of multiple positive solutions for small perturbations of the fractional Laplacian.

13. Inverse scattering for $N$-body time-decaying harmonic oscillators

$N$-体衰减谐振子的逆散射问题

作者: Atsuhide Ishida

类别: math-ph, math.AP, math.MP

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04702v2

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04702v2

摘要: In the previous study (Ishida, 2025), the author proved the uniqueness of short-range potential functions using the Enss-Weder time-dependent method (Enss and Weder, 1995) for a two-body quantum system described by time-decaying harmonic oscillators. In this study, we extend the result of Ishida (2025) to the $N$-body case. We use the approaches developed in Enss and Weder (1995), Weder (1996), and Valencia and Weder (2012) to prove that the high-velocity limit of the scattering operator uniquely determines all the pairwise interaction potentials among the $N$ particles, focusing respectively on each fixed pair of particles.

14. Relaxation of quasi-convex functionals with variable exponent growth

具有变指数增长的拟凸泛函的松弛

作者: Giacomo Bertazzoni, Petteri Harjulehto, Peter Hästö, Elvira Zappale

类别: math.AP, math.FA, 26A45, 26B30, 46E35, 46E99, 49J45

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04672v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04672v1

摘要: We prove a relaxation result for a quasi-convex bulk integral functional with variable exponent growth in a suitable space of bounded variation type. A key tool is a decomposition under mild assumptions of the energy into absolutely continuous and singular parts weighted via a recession function.

15. Stability for the Surface Diffusion Flow

表面扩散流的稳定性研究

作者: Antonia Diana, Nicola Fusco, Carlo Mantegazza

类别: math.AP, 53E40 35A01

发布日期: 2023-04-08

ArXiv ID: 2304.04011v3

链接: http://arxiv.org/abs/2304.04011v3

摘要: We study the global existence and stability of surface diffusion flow (the normal velocity is given by the Laplacian of the mean curvature) of smooth boundaries of subsets of the $n$–dimensional flat torus. More precisely, we show that if a smooth set is close enough'' to a strictly stable critical set for the Area functional under a volume constraint, then the surface diffusion flow of its boundary hypersurface exists for all time and asymptotically converges to the boundary of a translated’’ of the critical set. This result was obtained in dimension $n=3$ by Acerbi, Fusco, Julin and Morini (extending previous results for spheres of Escher, Mayer and Simonett and Elliott and Garcke in dimension $n=2$). Our work generalizes such conclusion to any dimension $n\in\mathbb N$. For sake of clarity, we show all the details in dimension $n=4$ and we list the necessary modifications to the quantities involved in the proof in the general $n$–dimensional case, in the last section.

16. Inverse curvature flow of closed Legendre curves

闭Legendre曲线的逆曲率流

作者: Takashi Kagaya, Masatomo Takahashi

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04566v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04566v1

摘要: In this paper, we deal with an inverse curvature flow of $\ell$-convex Legendre curves. Since the Legendre curve is a natural generalization of regular curve, the flow is a generalization of the classical inverse curvature flow of regular curves. For the initial value problem, we study on the unique existence of the flow in global time, the monotonicity of the number of the singular cusps with respect to t > 0 and the asymptotic behavior of the flow as $t \to \infty$. Regarding the asymptotics, the flow asymptotically converges to one of the self similar solutions by scaling appropriately, and the convergence is completely categorized depending on the initial curve.

17. Estimates of the first Dirichlet eigenvalue of graphs

图的第一Dirichlet特征值的估计

作者: Huiqiu Lin, Lianping Liu, Zhe You, Da Zhao

类别: math.CO, math.AP, 05C50, 35R02, 47A75, 49J40, 49R05

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04557v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04557v1

摘要: Inspired by the Li–Yau eigenvalue-diameter estimates, we investigate lower bounds for the first Dirichlet eigenvalue in terms of the diameter (or inscribed radius) of a graph. Let $G = (V, E)$ be a graph with boundary $B$. Assume that the interior $\Omega = V \setminus B$ is connected. Let $r$ be the inscribed radius of $(G, B)$ and $d$ be the maximum degree of $G$. We prove that

$$ \lambda_1(G, B) \geq \frac{d - 1}{r d^r}, $$

which can be viewed as an analogue of the Lin–Yau bound and the Meng–Lin bound for normalized Dirichlet/Laplacian eigenvalues. We also derive the inequality

$$ \lambda_1(G, B) \geq \frac{1}{r |\Omega|}. $$

In particular, for a tree $T$ with at least $3$ vertices, we show that

$$ \lambda_1(T) \geq 4 \sin^2 \frac{\pi}{4r + 6} \geq \frac{1}{(r + 1)^2}. $$

Notably, both of the two preceding bounds are sharp up to a constant factor. We additionally examine upper bounds on the first Dirichlet eigenvalue under constraints on the numbers of interior and boundary vertices.

18. Numerical stabilization method by switching time-delay

通过切换时滞的数值稳定化方法

作者: Kaïs Ammari, Stéphane Gerbi

类别: math.AP, cs.NA, math.NA

发布日期: 2024-07-05

ArXiv ID: 2407.04306v2

链接: http://arxiv.org/abs/2407.04306v2

摘要: In this paper, we propose a new numerical strategy for the stabilization of evolution systems. The method is based on the methodology given by Ammari, Nicaise andPignotti in ‘‘Stabilization by switching time-delay, Asymptot. Anal., 83 (2013), 263–283’’. This method is then implemented in 1D by suitable numerical approximation techniques. Numerical experiments complete this study to confirm the theoretical announced results.

19. Non-Monotone Traveling Waves of the Weak Competition Lotka-Volterra

System

弱竞争Lotka-Volterra系统的非单调行波

作者: Chiun-Chuan Chen, Ting-Yang Hsiao, Shun-Chieh Wang

类别: math.AP, math.DS, q-bio.PE

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04501v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04501v1

摘要: We investigate traveling wave solutions in the two-species reaction-diffusion Lotka-Volterra competition system under weak competition. For the strict weak competition regime $(b<a<1/c,\,d>0)$, we construct refined upper and lower solutions combined with the Schauder fixed point theorem to establish the existence of traveling waves for all wave speeds $s\geq s^*:=\max\{2,2\sqrt{ad}\}$, and provide verifiable sufficient conditions for the emergence of non-monotone waves. Such conditions for non-monotonic waves have not been explicitly addressed in previous studies. It is interesting to point out that our result for non-monotone waves also hold for the critical speed case $s=s^*$. In addition, in the critical weak competition case $(b<a=1/c,\,d>0)$, we rigorously prove, for the first time, the existence of front-pulse traveling waves.

20. Minimal surfaces and comparison geometry

极小曲面与比较几何

作者: Otis Chodosh

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2025-10-06

ArXiv ID: 2510.04481v1

链接: http://arxiv.org/abs/2510.04481v1

摘要: We discuss applications of minimal surfaces to comparison geometry.