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1. Thin shell limit and the derivation of the viscosity operator on the ellipsoid

椭球面上粘性算子的薄壳极限与推导

作者: Chi Hin Chan, Magdalena Czubak, Padi Fuster Aguilera

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-13

arXiv ID: 2511.10579v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10579v1

详细分析

中文标题: 椭球面上粘性算子的薄壳极限与推导

研究对象和背景

本文研究的是在三维空间中围绕一个椭球面 $E$ 的薄壳区域（thin shell domain）上，不可压缩粘性流体运动方程——即 Navier-Stokes 方程——在壳层厚度趋于零时的渐近行为。其核心目标是通过所谓的“薄壳极限”（thin shell limit）这一启发式方法，推导出定义在二维椭球面 $E$ 上的一个合适的内在粘性算子（intrinsic viscosity operator），用于描述该曲面上的流体动力学。

具体而言，考虑如下几何设定：椭球 $E \subset \mathbb{R}^3$ 定义为

$$ E = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + a^2 z^2 = a^2 \right\}, \quad a > 0. $$

当 $a=1$ 时退化为单位球面。作者引入一个自然的缩放方向（scaling direction）来构造邻近 $E$ 的薄壳区域。为此定义一个定义函数

$$ \rho(x,y,z) = \frac{1}{a}\sqrt{x^2 + y^2 + a^2 z^2}, $$

使得 $E = \rho^{-1}(1)$。于是可以考虑一族缩放后的椭球 $E_{1+\varepsilon} = \rho^{-1}(1+\varepsilon)$，并令薄壳区域为

$$ N(\varepsilon_0) = \bigcup_{0 < \varepsilon < \varepsilon_0} E_{1+\varepsilon}. $$

这个区域的边界由两个同构于 $E$ 的椭球构成：内层 $E$ 和外层 $E_{1+\varepsilon_0}$。随着 $\varepsilon_0 \to 0$，该薄壳变“薄”，期望其内部的三维 Navier-Stokes 解的行为趋近于某个定义在 $E$ 上的二维流体方程。

三维空间中的不可压缩 Navier-Stokes 方程为：

$$ \partial_t v + (v \cdot \nabla) v = -\nabla p + \nu \Delta v, \quad \mathrm{div}\, v = 0, $$

其中 $v$ 是速度场，$p$ 是压力，$\nu > 0$ 是粘性系数。在薄壳 $N(\varepsilon_0)$ 中求解此系统需附加边界条件。本文重点考察两种经典边界条件：

  1. 齐次 Navier 边界条件（perfect Navier-slip condition）：

    $$ v \cdot N = 0, \quad (\mathrm{Def}_{\tilde g} v)(N, \cdot)^T = 0, $$

    其中 $N$ 是单位外法向量，$\mathrm{Def}$ 是变形张量，上标 $T$ 表示切向部分。物理意义是：无穿透、切向应力自由滑移。

  2. Hodge 边界条件（又称自由边界条件）：

    $$ v \cdot N = 0, \quad \mathrm{curl}\, v \times N = 0. $$

    这等价于速度的对偶 1-形式 $v^\flat$ 在边界上的外微分满足某种正则性。

论文的关键思想在于：传统的薄壳极限通常沿法向方向展开解（如 Temam-Ziane 对球面的工作），而本文提出另一种自然的展开方式——沿缩放方向（即 $\rho$ 增加的方向）。由于椭球在缩放下保持相似结构（主曲率按比例变化），这种方向具有特殊的几何不变性。

在此框架下，作者假设三维速度场 $v$ 可以在薄壳中展开为关于参数 $\varepsilon$ 的渐近级数，并将切向分量限制在缩放椭球族上。通过对该展开进行细致的几何分析，结合 Gauss 公式、Levi-Civita 联络与曲率计算，最终提取出主导项所对应的二维粘性算子。

值得注意的是，文中并未严格证明解的收敛性，而是采用一种启发式推导（heuristic derivation），但强调其数学合理性，并在附录中为实解析向量场提供了渐近展开的构造依据。

此外，文章还探讨了另一种常见的薄壳构造方式：沿法向方向膨胀，即

$$ T(\varepsilon) = \{ p + \sigma N_p : p \in E, |\sigma| < \varepsilon \}, $$

并在该设置下验证 Hodge 条件是否仍导致 Hodge Laplacian 的出现。

综上所述，本文的研究对象是一个建立在非均匀曲率曲面（椭球）上的低维流体力学模型，其挑战在于如何从高维物理系统的极限中提取出符合几何本质的粘性项。由于椭球不具备球面的高度对称性，因此结果揭示了粘性算子对平均方向与边界条件的依赖性，这对理解一般黎曼流形上的流体方程具有重要意义。

主要定理或主要结果

定理 1.1（缩放方向展开，一般切向向量场）

设 $a, \varepsilon > 0$，$E = \{x^2 + y^2 + a^2 z^2 = a^2\}$ 为嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的椭球，$E_{1+\varepsilon} = \{x^2 + y^2 + a^2 z^2 = a^2(1+\varepsilon)\}$ 为其缩放版本。给定一定义在薄壳 $N(\varepsilon_0) = \bigcup_{0<\varepsilon<\varepsilon_0} E_{1+\varepsilon}$ 上的速度场 $v$，满足 $v$ 切于所有中间缩放椭球 $E_{1+b}, 0 \leq b \leq \varepsilon$。则通过在缩放方向进行渐近展开，得到零阶项 $U_0$ 所满足的粘性算子为：

  • 对完美 Navier 滑移边界条件：

    $$ -2\,\mathrm{div}\,\mathrm{Def}\,U_0 + [c_3^{13} E_1, U_0] + 2(c_3^{13})^2 U_0^1 E_1, $$

  • 对齐次 Hodge 边界条件：

    $$ (d^*d + dd^*)U_0^\flat + \mathcal{L}_{c_3^{13} E_1} U_0^\flat, $$

其中：

  • $\mathrm{Def}$ 是变形张量，$(\mathrm{Def}u)_{ij} = \frac{1}{2}(\nabla_i u_j + \nabla_j u_i)$；
  • $[\cdot,\cdot]$ 是Lie 括号；
  • $E_1$ 是沿经线方向的单位切向量场；
  • $c_3^{13} = -\frac{1}{4} E_1(\log K_E)$，$K_E$ 是 $E$ 的高斯曲率；
  • $d^*d + dd^*$ 是Hodge Laplacian；
  • $U_0^\flat$ 是 $U_0$ 的音乐同构对应的 1-形式；
  • $\mathcal{L}_X$ 是沿向量场 $X$ 的Lie 导数。

定理 1.3（缩放方向展开，散度自由向量场）

在相同几何设定下，若进一步假设 $v$ 在 $\mathbb{R}^3$ 和 $E$ 上均为散度自由，且切于各 $E_{1+b}$，则在缩放方向展开下得到：

  • 对Navier 条件：

    $$ -2\,\mathrm{div}\,\mathrm{Def}\,U_0 + [c_3^{13} E_1, U_0], $$

  • 对Hodge 条件：

    $$ (d^*d + dd^*)U_0^\flat + \mathcal{L}_{c_3^{13} E_1} U_0^\flat - 2(c_3^{13})^2 U_0^1 E_1. $$

注意：相比定理 1.1，两种情形下的额外项符号和存在性发生了改变，体现了散度自由条件对极限算子的影响。

定理 1.6（法向方向展开，Hodge 条件）

设 $T(\varepsilon) = \bigcup_{|\sigma|<\varepsilon} E_\sigma$ 为沿法向方向构造的薄壳，$v$ 切于每个 $E_\sigma$ 并满足齐次 Hodge 条件。则在法向方向渐近展开下，零阶项 $U_0$ 的粘性算子为：

$$ (d^*d + dd^*)U_0^\flat, $$

即标准的Hodge Laplacian。这与球面情形一致。

定理 1.9（边界条件的几何解释）

设 $M^n \hookrightarrow \widetilde{M}^{n+1}$ 为嵌入子流形，$v$ 为 $\widetilde{M}^{n+1}$ 上切于 $M$ 的向量场，$N$ 为单位法向。则：

  • Navier 条件 $(\mathrm{Def}v)(N,\cdot)^T = 0$ 等价于 Lie 导数 $\mathcal{L}_N v$ 的切向部分为零；
  • 当 $n=2$, $\widetilde{M}^3 = \mathbb{R}^3$ 时，Hodge 条件 $\mathrm{curl}\,v \times N = 0$ 等价于 1-形式 $v^\flat$ 的 Lie 导数 $\mathcal{L}_N v^\flat$ 在 $M$ 上的拉回为零。

这一结果将两类边界条件统一为Lie 导数消失的几何条件，揭示了它们的本质几何意义。

研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析与几何工具

本文的核心方法是渐近展开法（asymptotic expansion）结合微分几何工具，特别是子流形理论中的 Gauss-Codazzi 结构。

首先，作者使用两种不同的坐标系来处理不同方向的展开：

  1. 缩放方向坐标系：基于定义函数 $\rho$ 构造 $(\rho, \phi, \theta)$ 坐标（见公式 (2.1)），其中 $\rho$ 控制缩放程度。在这个坐标下，向量场 $v$ 被表示为

    $$ v = v_\rho \partial_\rho + v_\phi \partial_\phi + v_\theta \partial_\theta, $$

    并通过正交归一化得到标准正交标架 $\{E_1, E_2, E_3=N\}$。这种标架的选择使得联络系数（Christoffel 符号）具有清晰的几何表达，例如文中给出：

    $$ \Gamma^1_{33} = -\Gamma^3_{31} = c_3^{13} = \frac{a^2 g_{\rho\phi}}{\lambda^3}, $$

    且可解释为 $[E_1, N] = c_3^{13} E_1$，即 Lie 括号的结构常数。

  2. 法向方向坐标系：使用 $(\sigma, \tilde\phi, \tilde\theta)$ 参数化法向管状邻域，其中 $\sigma$ 是沿法向 $N$ 的距离。此时度量变为

    $$ g = \mathrm{diag}\left(1, \left(1 + \frac{\sigma a}{\lambda^3}\right)^2 \lambda^2, \left(1 + \frac{\sigma}{a\lambda}\right)^2 a^2 \sin^2\tilde\phi \right), $$

    显示出主曲率的影响（见 (2.9)：$\kappa_1 = -a/\lambda^3, \kappa_2 = -1/(a\lambda)$）。

在这两类坐标下，作者应用了来自文献 [2] 的Gauss 型公式，用于分解三维拉普拉斯算子：

$$ \Delta v = (\Delta v)^T + (\Delta v)^N, $$

其中切向部分 $(\Delta v)^T$ 包含内在算子与曲率项。这是连接外在欧几里得动力学与内在曲面动力学的关键桥梁。

特别地，对于变形张量的散度 $-\mathrm{div}\,\mathrm{Def}\,v$，其切向投影包含三项：

  • 内在的变形 Laplacian $-2\,\mathrm{div}\,\mathrm{Def}_g U_0$，
  • 曲率修正项（涉及 Ricci 张量），
  • 由展开方向引起的联络项（即 $c_3^{13}$ 相关项）。

另一个重要工具是幂级数展开技术（见 Section 2.6）。假设向量场 $v$ 在薄壳中可写成

$$ v = \sum_{k=0}^\infty \varepsilon^k V_k, $$

其中 $V_k$ 是切于缩放椭球的向量场。代入 Navier-Stokes 方程后逐阶比较，提取主导项（零阶项）的演化方程。虽然未严格证明收敛性，但在附录 A 中作者论证了实解析场确实允许此类展开。

此外，作者大量使用了协变导数、Weingarten 映射（形状算子 $sX = -\nabla_N X$）、以及Lie 导数与外微分的关系，例如：

$$ \mathcal{L}_X \omega = d(i_X \omega) + i_X d\omega, $$

这些是将边界条件转化为几何语言的基础。

b) 技术难点与处理技巧

  1. 非线性项的忽略：本文关注粘性算子的推导，故非线性对流项 $(v\cdot\nabla)v$ 在渐近分析中被视为高阶小量，不参与主导项的提取。这是一种标准简化，聚焦于线性主部。

  2. 边界条件的几何转化：最大的技术突破之一是将 Navier 和 Hodge 条件重新解释为 Lie 导数条件（Theorem 1.9）。例如，作者证明：

    $$ (\mathrm{Def}v)(N,E_i) = \frac{1}{2} g([\nabla_N v - \nabla_v N], E_i), $$

    再利用 $v$ 切于边界，则 $\nabla_v N$ 为切向，最终得出 $(\mathrm{Def}v)(N,\cdot)^T = 0$ 等价于 $(\mathcal{L}_N v)^T = 0$。类似地，Hodge 条件通过 $\mathrm{curl}\,v = (*d(v^\flat))^\sharp$ 与 $d(v^\flat)$ 的法向分量联系起来，最终归结为 $\mathcal{L}_N v^\flat = 0$。

  3. 散度自由条件的嵌入影响：当 $v$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中散度为零时，结合 $v$ 切于缩放椭球，可推出法向导数关系：

    $$ N(v_3) = v_1 c_3^{13} \quad \text{on } E, $$

    这一约束改变了渐近展开中高阶项对零阶项的影响，从而导致定理 1.3 中算子与定理 1.1 的差异。

  4. 平均方向的敏感性：作者指出，传统方法中使用的平均算子

    $$ M_\varepsilon v(y) = \frac{1}{\varepsilon} \int_0^\varepsilon v(y + \sigma N_y) d\sigma, $$

    本质上是沿法向取平均。而本文的缩放方向平均对应不同的几何路径，导致极限算子不同。这说明“粘性算子”的选择不仅取决于边界条件，还取决于极限过程的方向，这是一个深刻观察。

  5. 高斯曲率的显式介入：最终出现的系数 $c_3^{13} = -\frac{1}{4} E_1(\log K_E)$ 显示粘性修正项直接依赖于曲率梯度，尤其在非旋转对称椭球上不可忽略。这表明即使在光滑曲面上，粘性效应也可能因局部几何畸变而产生定向漂移项（如 Lie 导数项）。

与之前工作的比较

本文相对于前人工作的主要突破体现在以下几个方面：

a) 几何方向的创新：从“法向”到“缩放向”

以往关于薄壳极限的工作，如 Temam-Ziane [22] 对球面、Miura [11–15] 对一般曲面，均采用沿法向方向的渐近展开或能量估计。他们的结论是：

  • Hodge 条件 → Hodge Laplacian $d^*d + dd^*$；
  • Navier 条件 → 变形 Laplacian $-2\,\mathrm{div}\,\mathrm{Def}$。

本文首次系统研究了沿缩放方向（scaling direction）的展开，并发现即使在同一边界条件下，也会得到新的粘性算子，包含额外的 Lie 括号或 Lie 导数项。例如，在缩放方向下 Navier 条件不再仅产生 $-2\,\mathrm{div}\,\mathrm{Def}$，而是加上 $[c_3^{13} E_1, U_0]$ 等修正项。

这说明：极限算子依赖于平均的方向。物理上，这意味着实验测量或数值模拟中如何“降维”会影响有效方程的形式。这是对传统观点的重要补充。

b) 揭示边界条件的统一几何本质

尽管 Navier 与 Hodge 条件长期被视为不同类型的滑移条件，本文通过 Theorem 1.9 首次明确指出两者均可表述为Lie 导数消失：

  • Navier: $(\mathcal{L}_N v)^T = 0$；
  • Hodge: $\iota^*(\mathcal{L}_N v^\flat) = 0$。

这种统一视角不仅简化了理论表述，也提示我们应从几何对称性角度理解边界条件，而非仅仅作为代数约束。此外，这一发现与文献 [2][3] 中针对旋转曲面得到的 Lie 导数项相呼应，暗示这类项可能普遍存在。

c) 放宽对对称性的依赖

以往多数工作集中于球面（高度对称），而本文推广至椭球面，其不具备 SO(3) 对称性，主曲率不等且随位置变化。在这种更一般的几何背景下，作者成功提取出依赖于高斯曲率梯度的修正项 $c_3^{13}$，展示了粘性算子的各向异性响应。

相比之下，当 $a=1$（球面）时，$K_E = 1$ 为常数，故 $c_3^{13} = 0$，所有新项消失，还原为经典结果。因此本文结果可视为对球面对称情形的非平凡推广。

d) 对“正确粘性算子”的哲学反思

长期以来，在黎曼流形上应使用 Hodge Laplacian 还是变形 Laplacian 作为粘性项存在争议。因为二者相差一个 Ricci 曲率项：

$$ -2\,\mathrm{div}\,\mathrm{Def}u = \Delta_H u - \mathrm{Ric}(u), $$

其中 $\Delta_H = d^*d + dd^*$。本文进一步表明，即便固定边界条件，极限过程本身（即平均方向）也能导致不同算子。因此作者主张不应只争论“哪个 Laplacian 正确”，而应寻找更广义的“粘性算子”，它可能包含额外的一阶项（如 Lie 导数），反映底层几何的动力学选择。

e) 方法论上的互补性

虽然本文为启发式推导，未提供函数空间中的收敛证明，但它为未来严格的分析工作指明了方向。例如，若能在适当 Sobolev 空间中证明缩放方向平均下的解收敛到带有 Lie 导数修正的方程，则将是对 Miura 和 Temam-Ziane 结果的重要扩展。

总之，本文通过精细的几何分析，揭示了薄壳极限中方向选择与边界条件共同决定低维粘性结构，提出了四个新的候选算子，并深化了我们对流体边界条件几何本质的理解。

了解领域论文（摘要翻译）

1. Lenard-Balescu thermalization: rigorous derivation from a toy model

朗道-巴列斯库热化：从一个玩具模型出发的严格推导

作者: Mitia Duerinckx, Corentin Le Bihan

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2025-11-13

arXiv ID: 2511.10778v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10778v1

摘要翻译

中文标题: 朗道-巴列斯库热化：从一个玩具模型出发的严格推导

摘要翻译: 我们研究一个标记粒子与由 $N$ 个其他粒子组成的背景耦合时的长时间动力学行为，所有粒子之间通过长程两体相互作用发生关联，且系统处于平均场标度下，背景初始时处于热平衡态。从 $N$ 粒子BBGKY层级方程出发，我们引入一个简化的（截断的）层级模型，并在足够高的空间维度下证明：标记粒子密度在时间尺度 $t \sim N$ 上收敛于线性福克-普朗克方程的解，该方程可视为朗道方程的线性化形式。这在一个简化的框架中，为朗道-巴列斯库理论所预测的缓慢热化过程提供了严格的数学推导。我们的方法基于费曼图表示的严格Dyson展开，并结合一种新颖的重正化方案，用以消除主导性的再碰撞效应。主要的技术难点在于控制费曼图中相空间细丝化（filamentation）的影响，我们通过相混合与欠椭圆正则性的结合来克服这一困难。尽管该分析局限于一个简化模型，但本研究为理解朗道-巴列斯库热化机制提供了新的视角：特别是，重正化过程似乎将自由传播子转化为欠椭圆型传播子，从而提供了一种补偿相空间细丝化效应的关键机制。

不相关论文（基本信息）

1. Global attractor for a Cahn-Hilliard-chemotaxis model with logistic degradation

具有逻辑降解的Cahn-Hilliard-趋化模型的整体吸引子

作者: Giulio Schimperna, Antonio Segatti

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11363v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11363v1

摘要: We consider a mathematical model coupling the Cahn-Hilliard system for phase separation with an additional equation describing the diffusion process of a chemical quantity whose concentration influences the physical process. The main application of the model refers to tumor progression, where the phase variable denotes the local proportion of active cancer cells and the chemical concentration may refer to a nutrient transported by the blood flow or to a drug administered to the patient. The resulting system is characterized by cross-diffusion effects similar to those appearing in the Keller-Segel model for chemotaxis; in particular, the nutrient tends to be attracted towards the regions where more active tumor cells are present (and consume it in a quickier way). Complementing various recent results on related models, we investigate here the long-time behavior of solutions under the perspective of infinite-dimensional dynamical systems. To this aim, we first identify a regularity setting in which the system is well posed and generates a closed semigroup according to the terminology introduced by Pata and Zelik. Then, partly based on the approach introduced by Rocca and the first author for the Cahn-Hilliard system with singular potential, we prove that the semigroup is strongly dissipative and asymptotically compact so guaranteeing the existence of the global attractor in a suitable phase space. Finally, we discuss the sign properties of the nutrient and prove that, under additional assumptions on the initial data, its concentration is uniformly larger than some strictly positive constant at least on finite time intervals.

2. A quantitative Talenti-type comparison result with Robin boundary conditions

具有Robin边界条件的定量Talenti型比较结果

作者: Vincenzo Amato, Rosa Barbato, Simone Cito, Alba Lia Masiello, Gloria Paoli

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11316v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11316v1

摘要: The purpose of this paper is to establish a quantitative version of the Talenti comparison principle for solutions to the Poisson equation with Robin boundary conditions. This quantitative enhancement is proved in terms of the asymmetry of domain. The key role is played by a careful analysis of the propagation of asymmetry for the level sets of the solutions of a PDE. As a byproduct, we obtain an alternative proof of the quantitative Saint-Venant inequality for the Robin torsion and, in the planar case, of the quantitative Faber-Krahn inequality for the first Robin eigenvalue. In addition, we complete the framework of the rigidity result of the Talenti inequalities with Robin boundary conditions.

3. On non-uniqueness of solutions to degenerate parabolic equations in the context of option pricing in the Heston model

关于Heston模型中期权定价背景下退化抛物型方程解的非唯一性研究

作者: Ruslan R. Boyko

类别: math.AP, q-fin.MF

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11288v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11288v1

摘要: It is known that the price of call options in the Heston model is determined in a non-unique way. In this paper, this problem is analyzed from the point of view of the existing mathematical theory of uniqueness classes for degenerate parabolic equations. For the special case of degeneracy, a new example is constructed demonstrating the accuracy of the uniqueness theorem for a solution in the class of functions with sublinear growth at infinity.

4. The equivalence of isocapacitary notions of mass

等容性质量概念的等价性

作者: Luca Benatti

类别: math.DG, gr-qc, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11155v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11155v1

摘要: In this short note, we will prove the equivalence of the isocapacitary notions of mass. This family also includes G. Huisken’s isoperimetric mass and J. L. Jauregui’s isocapacitary mass.

5. Asymptotic models for time-domain scattering by small particles of arbitrary shapes

任意形状小粒子时域散射的渐近模型

作者: Maryna Kachanovska, Adrian Savchuk

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11103v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11103v1

摘要: In this work, we investigate time-dependent wave scattering by multiple small particles of arbitrary shape. To approximate the solution of the associated boundary-value problem, we derive an asymptotic model that is valid in the limit as the particle size tends to zero. Our method relies on a boundary integral formulation, semi-discretized in space using a Galerkin approach with appropriately chosen basis functions, s.t. convergence is achieved as the particle size vanishes rather than by increasing the number of basis functions. Since the computation of the Galerkin matrix involves double integration over particles, the method can become computationally demanding when the number of obstacles is large. To address this, we also derive a simplified model and consider the Born approximation to improve computational efficiency. For the high-order models, we provide an error analysis, supported and validated by numerical experiments.

6. The energy scaling behaviour of singular perturbation models of staircase type in linearized elasticity for higher order laminates

线性弹性中高阶层状材料阶梯型奇异扰动模型的能量标度行为研究

作者: Lennart Machill, Angkana Rüland

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11102v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11102v1

摘要: We investigate the scaling behaviour of a singular perturbation model within the geometrically linearized theory of elasticity involving data of higher lamination order. We study boundary data which are of staircase type and show rather general lower scaling bounds, both in the setting of prescribed Dirichlet data and for periodic configurations with a mean value constraint. In contrast to the setting without gauge invariances, these lower scaling bounds depend on \emph{two} parameters – the order of lamination of the boundary data as well as the number of involved (non-)degenerate symmetrized rank-one directions. By discussing upper bounds in specific geometries and for a specific constellation of wells, we give evidence of the sharpness of these lower bound estimates. Hence, it is necessary to keep track of the outlined \emph{two} parameters in deducing scaling laws within the geometrically linearized theory of elasticity.

7. Bayesian inference for the fractional Calderón problem with a single measurement

单次测量下的分数阶Calderón问题的贝叶斯推断

作者: Pu-Zhao Kow, Janne Nurminen, Jesse Railo

类别: math.ST, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11068v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11068v1

摘要: This paper investigates the consistency of a posterior distribution in the single-measurement fractional Calderón problem with additive Gaussian noise. We consider a Bayesian framework with rescaled and Gaussian sieve priors, using a collection of noisy, discrete observations taken from a suitable exterior domain. Our main result shows that the posterior distribution concentrates around the true parameter as the number of measurements increases. Furthermore, we establish tight convergence rates for the reconstruction error of the posterior mean. A central technical challenge is to obtain refined stability estimates for both the forward and inverse problems. In particular, the required forward estimates are delicate to obtain because the fractional elliptic problems do not enjoy as strong regularity theory as their classical counterparts.

8. The Birman–Solomyak theorem revisited: a novel elementary proof, generalisation, and applications

Birman–Solomyak定理的再探：一种新颖的初等证明、推广及应用

作者: V. Bach, A. F. M. ter Elst, J. Rehberg

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11058v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11058v1

摘要: We provide a new short proof for the Birman–Solomyak theorem for Hilbert–Schmidt operators and give an application to a Schrödinger–Poisson system.

9. Guaranteeing Higher Order Convergence Rates for Accelerated Wasserstein Gradient Flow Schemes

保证加速Wasserstein梯度流格式的高阶收敛速率

作者: Raymond Chu, Matt Jacobs

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.10884v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10884v1

摘要: In this paper, we study higher-order-accurate-in-time minimizing movements schemes for Wasserstein gradient flows. We introduce a novel accelerated second-order scheme, leveraging the differential structure of the Wasserstein space in both Eulerian and Lagrangian coordinates. For sufficiently smooth energy functionals, we show that our scheme provably achieves an optimal quadratic convergence rate. Under the weaker assumptions of Wasserstein differentiability and $λ$-displacement convexity (for any $λ\in \mathbb{R}$), we show that our scheme still achieves a first-order convergence rate and has strong numerical stability. In particular, we show that the energy is nearly monotone in general, while when the energy is $L$-smooth and $λ$-displacement convex (with $λ>0$), we prove the energy is non-increasing and the norm of the Wasserstein gradient is exponentially decreasing along the iterates. Taken together, our work provides the first fully rigorous proof of accelerated second-order convergence rates for smooth functionals and shows that the scheme performs no worse than the classical scheme JKO scheme for functionals that are $λ$-displacement convex and Wasserstein differentiable.

10. $Γ$-convergence of a diffeomorphism-natural MDL functional to Einstein-Hilbert with Gibbons-Hawking-York boundary term

一个微分同胚自然的最小描述长度泛函在Γ-收敛意义下趋近于带Gibbons-Hawking-York边界项的Einstein-Hilbert作用量

作者: Marko Lela

类别: math-ph, gr-qc, math.AP, math.DG

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.10867v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10867v1

摘要: We prove a $Γ$-convergence result for a diffeomorphism-natural discrete MDL-type functional to the Einstein-Hilbert action with the Gibbons-Hawking-York boundary term. On boundary-fitted, shape-regular meshes we establish interior and boundary blow-ups, identify the Carathéodory densities $f_{\mathrm{in}}=α_0+α_1 R$ and $f_{\mathrm{bdry}}=β_1 K$, and obtain the $\liminf/\limsup$ bounds via a recovery sequence based on reflected Fermi smoothing. A boundary first-layer asymptotics shows that boundary cells contribute at order $h^{d-1}$, yielding a global $O(h)$ boundary remainder, while the interior remainder is $O(h^2)$. The paper is foundational; Appendix~E specifies a reproducible protocol for rate checks and calibration of $α_0,α_1,β_1$.

11. Local controllability of free boundary three-dimensional semilinear radial parabolic equations

自由边界三维半线性径向抛物方程的局部可控性

作者: Juan Límaco, Luis P. Yapu

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-13

arXiv ID: 2511.10795v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10795v1

摘要: We prove that a free boundary semilinear heat equation with Stefan boundary condition and radially symmetric data is locally null controllable. The strategy involves reducing the problem to the corresponding one-dimensional formulation and adapting a Carleman inequality in that setting. The local null controllability of the free-boundary problem is then established via the Schauder fixed-point theorem. To the best of our knowledge, this is the first controllability result for this problem with Stefan boundary condition in more than one spatial dimension.