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重点关注论文（完整分析）

1. Thin shell limit and the derivation of the viscosity operator on the ellipsoid

椭球面上粘性算子的薄壳极限与推导

作者: Chi Hin Chan, Magdalena Czubak, Padi Fuster Aguilera

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-13

arXiv ID: 2511.10579v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10579v1

详细分析

中文标题: 椭球面上粘性算子的薄壳极限与推导

研究对象和背景

本文研究的是在三维空间中围绕一个椭球面 $E$ 构造的薄壳区域上的 Navier-Stokes 方程，并利用薄壳极限（thin shell limit）这一渐近方法，从三维粘性流体方程出发，推导出定义在二维曲面 $E$ 上的内在粘性算子。目标是探索当薄壳厚度趋于零时，三维流体动力学如何“坍缩”为曲面上的演化方程，并特别关注由此产生的粘性项——即所谓的“粘性算子”的形式。

具体来说，考虑如下几何设定：椭球 $E \subset \mathbb{R}^3$ 定义为

该椭球可视为函数 $\rho(x,y,z) = \sqrt{(x^2 + y^2 + a^2 z^2)/a^2}$ 的单位水平集，即 $E = \rho^{-1}(1)$。作者引入一族缩放后的椭球 $E_{1+\varepsilon} = \rho^{-1}(1+\varepsilon)$，其中 $\varepsilon > 0$ 很小，并构造薄壳区域

其边界由两个同胚于 $E$ 的曲面组成：$E$ 和 $E_{1+\varepsilon_0}$。研究的问题是在这个越来越薄的三维区域上求解 Navier-Stokes 方程，并取 $\varepsilon_0 \to 0$ 的极限，从而得到作用在切向向量场上的有效方程。

三维不可压缩 Navier-Stokes 方程在 $N(\varepsilon_0)$ 上的形式为：

其中 $v$ 是速度场，$p$ 是压力，$\nu > 0$ 是粘性系数。为了封闭系统，必须施加适当的边界条件。文中重点考虑两种常见的边界条件：

1. 齐次 Navier 滑移边界条件（perfect Navier-slip condition）：

   $$ v \cdot N = 0, \quad (\text{Def}\, v)(N, X) = 0 \quad \forall X \in T_p M, $$

   其中 $N$ 是单位外法向量，$\text{Def}\, v$ 是变形张量 $(\text{Def}\, v)_{ij} = \frac{1}{2}(\nabla_i v_j + \nabla_j v_i)$，该条件允许切向滑移但无穿透。

2. Hodge 边界条件（也称自由边界条件）：

   $$ v \cdot N = 0, \quad \text{curl}\, v \times N = 0 \quad \text{on } \partial N(\varepsilon_0), $$

   这等价于要求速度的对偶 1-形式 $v^\flat$ 满足某种正则性条件，在几何上更为自然。

传统上，如 Temam-Ziane 对球面的工作以及 Miura 对一般曲面的研究，采用的是沿法向方向进行渐近展开的方法，即设

然后代入原方程并逐阶匹配。这种方法在球面对称情形下得到了以Hodge Laplacian $d d^* + d^* d$ 或变形 Laplacian $-2\,\text{div Def}$ 为核心的粘性算子。

然而，本文的关键创新在于提出了一种新的几何自然的展开方式——沿缩放方向的渐近展开。由于椭球族 $\{E_{1+\varepsilon}\}$ 是通过径向缩放生成的，这种“尺度变化”本身提供了一个天然的方向场。作者利用此结构，在坐标系 $(\rho, \phi, \theta)$ 下展开向量场，其中 $\rho$ 控制整体缩放比例（而非局部法向距离）。这导致了与以往不同的极限行为。

值得注意的是，所有分析均建立在光滑或实解析函数类中，且假设向量场在整个薄壳区域内保持切于每个中间椭球 $E_{1+b}$，这是保证展开自洽性的关键结构性假设。此外，某些结果还额外要求 $v$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中散度为零，或其限制在 $E$ 上亦散度为零。

最终目标并非严格证明解的收敛性（这属于未来工作），而是通过启发式渐近分析（heuristic asymptotic expansion）来识别可能的候选粘性算子。因此，结论具有形式化特征，但揭示了粘性算子的选择不仅依赖于边界条件，还强烈依赖于所选的平均方向或展开路径——这是一个深刻而新颖的观察。

主要定理或主要结果

以下是论文中的核心定理陈述：

定理 1.1（缩放方向展开，一般情况）
设 $a, \varepsilon > 0$，$E = \{x^2 + y^2 + a^2 z^2 = a^2\}$ 为嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的椭球，$E_{1+\varepsilon}$ 为其缩放版本。给定一向量场 $v$ 在薄壳 $N(\varepsilon_0) = \cup_{0<\varepsilon<\varepsilon_0} E_{1+\varepsilon}$ 内，满足 $v$ 切于所有中间椭球 $E_{1+b}$（$0 \leq b \leq \varepsilon$）。则通过在缩放方向进行渐近展开，薄壳极限启发式地导出以下作用于零阶项 $U_0$ 的粘性算子：

• 对完美 Navier 滑移边界条件：
  $$ -2\,\text{div Def}\,U_0 + [c_{13}^3 E_1, U_0] + 2(c_{13}^3)^2 U_0^1 E_1, $$
• 对齐次 Hodge 边界条件：
  $$ (d^*d + dd^*)U_0^\flat + \mathcal{L}_{c_{13}^3 E_1} U_0^\flat, $$

其中：

• $\text{Def}$ 为变形张量；
• $[\cdot,\cdot]$ 为Lie 括号；
• $E_1$ 是沿经线方向的单位向量场；
• $c_{13}^3 = -\frac{1}{4} E_1(\log K_E)$，$K_E$ 为椭球 $E$ 的高斯曲率；
• $d^*d + dd^*$ 为 $E$ 上的 Hodge Laplacian；
• $U_0^\flat$ 为 $U_0$ 的对偶 1-形式；
• $\mathcal{L}$ 为Lie 导数。

定理 1.3（缩放方向展开，散度自由情形）
在相同几何设置下，若进一步假设 $v$ 在 $\mathbb{R}^3$ 和 $E$ 上均为散度自由，则得到修正的算子：

• Navier 条件下：
  $$ -2\,\text{div Def}\,U_0 + [c_{13}^3 E_1, U_0], $$
• Hodge 条件下：
  $$ (d^*d + dd^*)U_0^\flat + \mathcal{L}_{c_{13}^3 E_1} U_0^\flat - 2(c_{13}^3)^2 U_0^1 E_1. $$

定理 1.6（法向展开，Hodge 条件）
若改为在法向方向展开，即考虑管状邻域 $T(\varepsilon) = \{p + \sigma N_p : p \in E, |\sigma| < \varepsilon\}$，并设 $v$ 切于每个截面 $E_\sigma$ 且满足 Hodge 边界条件，则极限算子为标准的：

即 Hodge Laplacian。

定理 1.9（边界条件的几何解释）
设 $M^n \hookrightarrow \widetilde{M}^{n+1}$ 为嵌入子流形，$v$ 为切于 $M$ 的向量场，$N$ 为单位法向。则：

• 完美 Navier 滑移条件等价于：$(\text{tangential part of } \mathcal{L}_N v) = 0$；
• 当 $n=2$, $\widetilde{M}^3 = \mathbb{R}^3$ 时，Hodge 条件 $\text{curl}\,v \times N = 0$ 等价于：$(\iota_N d v^\flat)|_M = 0$，即拉回意义下 $\mathcal{L}_N v^\flat = 0$。

研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学与几何工具

本文的核心技术框架融合了几何分析、微分形式理论与渐近展开方法。其主要工具包括：

1. 渐近展开与形式幂级数逼近
   文章基于如下假设：三维向量场 $v$ 可在薄壳内按某参数（$\rho - 1$ 或 $\sigma$）展开为幂级数。例如在缩放方向，设
   

   $$ v(\rho, \phi, \theta) = \sum_{k=0}^\infty (\rho - 1)^k V_k(\phi, \theta), $$

   
   其中每个 $V_k$ 是切于对应椭球的向量场。将此展开代入原始 PDE 并比较各阶项，即可提取主导项的演化方程。Appendix A 提供了此类展开在实解析情形下的合理性论证。

2. 活动标架法与协变导数计算
   作者使用非正交坐标系 $(\rho, \phi, \theta)$ 下的对偶基 $\{E_1, E_2, E_3 = N\}$，其中 $E_1, E_2$ 分别沿经线和纬线方向归一化。在此标架下，Levi-Civita 联络的克里斯托费尔符号 $\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}$ 可显式计算（见公式 (2.4)-(2.8)）。这些符号用于表达协变导数 $\nabla_X Y$，进而构造变形张量 $\text{Def}$ 和散度算子 $\text{div}$。

3. Gauss 型公式与子流形 Laplacian 分解
   关键工具来自文献 [2] 中关于子流形上 Laplacian 的 Gauss 公式，它将外部欧氏 Laplacian $\Delta v$ 分解为切向部分与法向部分之和。这类公式使得可以从三维粘性项 $\Delta v$ 中提取出作用在切向场上的内在算子。例如，对于向量场，有：

   $$ (\Delta v)^\top = \tilde{\Delta} v^\top + \text{curvature terms} + \text{normal derivatives}, $$

   其中 $\tilde{\Delta}$ 表示曲面上的某个内在 Laplacian（如 Bochner 或 Hodge）。通过渐近展开处理法向导数项，即可识别极限中的粘性结构。

4. Lie 导数与微分形式语言
   论文大量使用微分几何的语言，特别是 Lie 导数 $\mathcal{L}_X$ 和外微分 $d$、余微分 $d^*$。这不仅使表达更紧凑，也揭示了物理量的几何本质。例如，Hodge 条件被重新解释为 $\mathcal{L}_N v^\flat = 0$，表明 1-形式沿法向不变；而 Navier 条件则与 $\mathcal{L}_N v$ 的切向部分相关。

5. 形状算子与第二基本形式
   子流形的弯曲程度通过形状算子 $s(X) = -\nabla_X N$ 描述，其迹为平均曲率，行列式为高斯曲率。在渐近分析中，曲率项会出现在 Laplacian 的分解中，影响最终算子的结构。文中明确给出椭球的主曲率（公式 (2.9)）及其对应的特征向量。

b) 技术性难点与解决技巧

1. 非正交标架下的张量运算复杂性
   使用 $(E_1,E_2,E_3)$ 标架虽具几何意义，但因不正交，导致度量张量非对角，克里斯托费尔符号繁多。作者通过仔细计算联络系数（如 $\Gamma^1_{33}, \Gamma^3_{31}$）及利用对称性 $\Gamma^\gamma_{\alpha\beta} = -\Gamma^\beta_{\alpha\gamma}$（见 (2.7)）简化过程。

2. 边界条件的几何转化技巧
   将传统的边界条件转化为 Lie 导数形式是一大亮点。例如，证明 Hodge 条件 $\text{curl}\,v \times N = 0$ 等价于 $\mathcal{L}_N v^\flat = 0$ 需借助恒等式：

   $$ \iota_N d v^\flat = \mathcal{L}_N v^\flat - d(\iota_N v^\flat), $$

   并结合 $v^\flat(N) = 0$（因 $v \perp N$），从而得出 $\iota_N d v^\flat = 0$ 即 $\mathcal{L}_N v^\flat = 0$。这种转化使边界条件能自然融入微分形式的演算体系。

3. 缩放方向与法向方向的区分处理
   缩放方向 $\partial_\rho$ 与局部法向 $N$ 不重合（除非 $a=1$，即球面）。作者通过精确计算两者关系（如 $N = \frac{\nabla \rho}{|\nabla \rho|}$）并在展开中保留高阶项，成功捕捉到由 $c_{13}^3 = g([E_1,N],E_3)$ 引入的新项。这是获得新算子的关键。

4. 散度自由条件的约束传播
   当假设 $v$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中散度为零时，需确保该条件在展开中一致。作者利用公式 $\text{div}\,v = 0$ 推导出法向导数与切向分量的关系（如 $N(v_3) = v^1 c_{13}^3$），从而在零阶近似中施加约束，排除非物理模态。

5. 平均方向依赖性的揭示
   作者指出，极限算子依赖于“平均方向”——无论是沿法向积分还是沿缩放方向展开，都会影响最终结果。这一洞察通过对比定理 1.1 与定理 1.6 明确展现：前者含额外 Lie 导数项，后者恢复经典 Hodge Laplacian。

与之前工作的比较

a) 突破与改进

本文相对于先前工作的主要突破体现在以下几个方面：

1. 提出新的渐近路径：缩放方向 vs 法向方向
   以往研究（如 Temam-Ziane [22]、Miura [11–15]）普遍采用沿局部法向的渐近展开。本文首次系统研究沿全局缩放方向的展开，并发现这会导致完全不同的粘性算子。这一差异揭示了一个重要事实：薄壳极限的结果不仅取决于边界条件，还依赖于所选的“平均机制”或几何路径。这是对传统理解的根本性拓展。

2. 发现新的候选粘性算子
   在缩放方向下，即使对于相同的边界条件，作者导出了四个全新的候选算子（见定理 1.1 和 1.3），它们都包含额外的几何项，如 $[c_{13}^3 E_1, U_0]$ 和 $\mathcal{L}_{c_{13}^3 E_1} U_0^\flat$。这些项源于 $E_1$ 与法向 $N$ 的非对易性，反映了椭球非球对称的几何特征。当 $a=1$（球面）时，$c_{13}^3 = 0$，这些项消失，恢复已知结果，验证了新公式的合理性。

3. 统一视角下的边界条件几何化
   本文将 Navier 和 Hodge 条件统一解释为Lie 导数为零，这是此前未被充分认识的几何结构。特别是将 Hodge 条件解释为 $\mathcal{L}_N v^\flat = 0$，赋予其清晰的微分几何含义：速度的对偶形式沿法向不变。这种观点有助于在更一般的流形上推广边界条件。

4. 连接不同文献中的孤立现象
   作者注意到，类似 $\mathcal{L}_{c_{13}^3 E_1}$ 的项也曾出现在 [2] 和 [3] 关于旋转曲面的公式中，但其来源不明。本文通过缩放方向展开自然导出该项，提供了统一的物理解释：它是由于缩放操作与曲面几何不对齐所产生的“漂移”效应。

5. 挑战“唯一正确算子”的观念
   在曲面上，Hodge Laplacian、Bochner Laplacian 和变形 Laplacian 通常不相等（相差 Ricci 曲率项）。长期以来存在关于哪个才是“正确”粘性算子的争论。本文表明，不同极限过程会产生不同算子，暗示“正确性”可能依赖于物理情境或观测尺度，而非纯数学决定。

6. 放宽对对称性的依赖
   多数早期工作集中于球面或具有高对称性的曲面。本文处理的是更一般的椭球，其主曲率不等、无旋转对称性（除非 $a=1$）。这使得结果更具普适性，并暴露出在低对称性下才会显现的新效应。

综上所述，本文并未直接改进已有结果的正则性或存在性，而是从根本上拓宽了我们对“曲面 Navier-Stokes 方程”起源的理解，强调了几何选择在建模中的决定性作用。其贡献是概念性和方法论上的，为未来严格分析和数值模拟提供了新的候选模型与理论基础。

了解领域论文（摘要翻译）

1. Lenard-Balescu thermalization: rigorous derivation from a toy model

Lenard-Balescu热化：从一个玩具模型出发的严格推导

作者: Mitia Duerinckx, Corentin Le Bihan

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2025-11-13

arXiv ID: 2511.10778v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10778v1

摘要翻译

中文标题: Lenard-Balescu热化：从一个玩具模型出发的严格推导

摘要翻译: 我们研究一个标记粒子与由 $N$ 个其他粒子组成的背景耦合时的长时间动力学行为，所有粒子在平均场尺度下通过长程两体相互作用力发生作用，且背景初始处于热平衡状态。从 $N$ 粒子的BBGKY层级方程出发，我们引入一个简化的（截断的）层级模型，并在足够高的空间维度下证明：标记粒子密度在时间尺度 $t \sim N$ 上收敛于线性Fokker-Planck方程的解，该方程可视为Landau方程的线性化形式。这在一个简化的框架中为Lenard-Balescu理论所预言的缓慢热化提供了严格的数学推导。我们的方法基于以费曼图表示的严格Dyson展开，并结合一种新颖的重正化方案，用以消除主导性的再碰撞效应。主要的技术难点在于控制费曼图中相空间细丝化（filamentation）的影响，我们通过结合相混合（phase mixing）与欠椭圆正则性（hypoelliptic regularity）来克服这一困难。尽管该分析局限于一个简化模型，但其为理解Lenard-Balescu热化机制提供了新的视角：特别是，重正化过程似乎将自由传播子转化为欠椭圆型传播子，从而提供了一种补偿细丝化效应的关键机制。

不相关论文（基本信息）

1. Global attractor for a Cahn-Hilliard-chemotaxis model with logistic degradation

具有逻辑降解的Cahn-Hilliard-趋化模型的整体吸引子

作者: Giulio Schimperna, Antonio Segatti

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11363v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11363v1

摘要: We consider a mathematical model coupling the Cahn-Hilliard system for phase separation with an additional equation describing the diffusion process of a chemical quantity whose concentration influences the physical process. The main application of the model refers to tumor progression, where the phase variable denotes the local proportion of active cancer cells and the chemical concentration may refer to a nutrient transported by the blood flow or to a drug administered to the patient. The resulting system is characterized by cross-diffusion effects similar to those appearing in the Keller-Segel model for chemotaxis; in particular, the nutrient tends to be attracted towards the regions where more active tumor cells are present (and consume it in a quickier way). Complementing various recent results on related models, we investigate here the long-time behavior of solutions under the perspective of infinite-dimensional dynamical systems. To this aim, we first identify a regularity setting in which the system is well posed and generates a closed semigroup according to the terminology introduced by Pata and Zelik. Then, partly based on the approach introduced by Rocca and the first author for the Cahn-Hilliard system with singular potential, we prove that the semigroup is strongly dissipative and asymptotically compact so guaranteeing the existence of the global attractor in a suitable phase space. Finally, we discuss the sign properties of the nutrient and prove that, under additional assumptions on the initial data, its concentration is uniformly larger than some strictly positive constant at least on finite time intervals.

2. A quantitative Talenti-type comparison result with Robin boundary conditions

具有Robin边界条件的定量Talenti型比较结果

作者: Vincenzo Amato, Rosa Barbato, Simone Cito, Alba Lia Masiello, Gloria Paoli

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11316v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11316v1

摘要: The purpose of this paper is to establish a quantitative version of the Talenti comparison principle for solutions to the Poisson equation with Robin boundary conditions. This quantitative enhancement is proved in terms of the asymmetry of domain. The key role is played by a careful analysis of the propagation of asymmetry for the level sets of the solutions of a PDE. As a byproduct, we obtain an alternative proof of the quantitative Saint-Venant inequality for the Robin torsion and, in the planar case, of the quantitative Faber-Krahn inequality for the first Robin eigenvalue. In addition, we complete the framework of the rigidity result of the Talenti inequalities with Robin boundary conditions.

3. On non-uniqueness of solutions to degenerate parabolic equations in the context of option pricing in the Heston model

关于Heston模型中期权定价背景下退化抛物型方程解的非唯一性

作者: Ruslan R. Boyko

类别: math.AP, q-fin.MF

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11288v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11288v1

摘要: It is known that the price of call options in the Heston model is determined in a non-unique way. In this paper, this problem is analyzed from the point of view of the existing mathematical theory of uniqueness classes for degenerate parabolic equations. For the special case of degeneracy, a new example is constructed demonstrating the accuracy of the uniqueness theorem for a solution in the class of functions with sublinear growth at infinity.

4. The equivalence of isocapacitary notions of mass

等容性质量概念的等价性

作者: Luca Benatti

类别: math.DG, gr-qc, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11155v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11155v1

摘要: In this short note, we will prove the equivalence of the isocapacitary notions of mass. This family also includes G. Huisken’s isoperimetric mass and J. L. Jauregui’s isocapacitary mass.

5. Asymptotic models for time-domain scattering by small particles of arbitrary shapes

任意形状小粒子时域散射的渐近模型

作者: Maryna Kachanovska, Adrian Savchuk

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11103v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11103v1

摘要: In this work, we investigate time-dependent wave scattering by multiple small particles of arbitrary shape. To approximate the solution of the associated boundary-value problem, we derive an asymptotic model that is valid in the limit as the particle size tends to zero. Our method relies on a boundary integral formulation, semi-discretized in space using a Galerkin approach with appropriately chosen basis functions, s.t. convergence is achieved as the particle size vanishes rather than by increasing the number of basis functions. Since the computation of the Galerkin matrix involves double integration over particles, the method can become computationally demanding when the number of obstacles is large. To address this, we also derive a simplified model and consider the Born approximation to improve computational efficiency. For the high-order models, we provide an error analysis, supported and validated by numerical experiments.

6. The energy scaling behaviour of singular perturbation models of staircase type in linearized elasticity for higher order laminates

线性弹性中高阶层状材料阶梯型奇异扰动模型的能量标度行为研究

作者: Lennart Machill, Angkana Rüland

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11102v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11102v1

摘要: We investigate the scaling behaviour of a singular perturbation model within the geometrically linearized theory of elasticity involving data of higher lamination order. We study boundary data which are of staircase type and show rather general lower scaling bounds, both in the setting of prescribed Dirichlet data and for periodic configurations with a mean value constraint. In contrast to the setting without gauge invariances, these lower scaling bounds depend on \emph{two} parameters – the order of lamination of the boundary data as well as the number of involved (non-)degenerate symmetrized rank-one directions. By discussing upper bounds in specific geometries and for a specific constellation of wells, we give evidence of the sharpness of these lower bound estimates. Hence, it is necessary to keep track of the outlined \emph{two} parameters in deducing scaling laws within the geometrically linearized theory of elasticity.

7. Bayesian inference for the fractional Calderón problem with a single measurement

单次测量下分数阶Calderón问题的贝叶斯推断

作者: Pu-Zhao Kow, Janne Nurminen, Jesse Railo

类别: math.ST, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11068v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11068v1

摘要: This paper investigates the consistency of a posterior distribution in the single-measurement fractional Calderón problem with additive Gaussian noise. We consider a Bayesian framework with rescaled and Gaussian sieve priors, using a collection of noisy, discrete observations taken from a suitable exterior domain. Our main result shows that the posterior distribution concentrates around the true parameter as the number of measurements increases. Furthermore, we establish tight convergence rates for the reconstruction error of the posterior mean. A central technical challenge is to obtain refined stability estimates for both the forward and inverse problems. In particular, the required forward estimates are delicate to obtain because the fractional elliptic problems do not enjoy as strong regularity theory as their classical counterparts.

8. The Birman–Solomyak theorem revisited: a novel elementary proof, generalisation, and applications

Birman–Solomyak定理的再探：一种新颖的初等证明、推广及应用

作者: V. Bach, A. F. M. ter Elst, J. Rehberg

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.11058v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.11058v1

摘要: We provide a new short proof for the Birman–Solomyak theorem for Hilbert–Schmidt operators and give an application to a Schrödinger–Poisson system.

9. Guaranteeing Higher Order Convergence Rates for Accelerated Wasserstein Gradient Flow Schemes

保证加速Wasserstein梯度流格式的高阶收敛速率

作者: Raymond Chu, Matt Jacobs

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.10884v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10884v1

摘要: In this paper, we study higher-order-accurate-in-time minimizing movements schemes for Wasserstein gradient flows. We introduce a novel accelerated second-order scheme, leveraging the differential structure of the Wasserstein space in both Eulerian and Lagrangian coordinates. For sufficiently smooth energy functionals, we show that our scheme provably achieves an optimal quadratic convergence rate. Under the weaker assumptions of Wasserstein differentiability and $λ$-displacement convexity (for any $λ\in \mathbb{R}$), we show that our scheme still achieves a first-order convergence rate and has strong numerical stability. In particular, we show that the energy is nearly monotone in general, while when the energy is $L$-smooth and $λ$-displacement convex (with $λ>0$), we prove the energy is non-increasing and the norm of the Wasserstein gradient is exponentially decreasing along the iterates. Taken together, our work provides the first fully rigorous proof of accelerated second-order convergence rates for smooth functionals and shows that the scheme performs no worse than the classical scheme JKO scheme for functionals that are $λ$-displacement convex and Wasserstein differentiable.

10. $Γ$-convergence of a diffeomorphism-natural MDL functional to Einstein-Hilbert with Gibbons-Hawking-York boundary term

一个微分同胚自然的最小描述长度泛函在Γ-收敛意义下趋近于带Gibbons-Hawking-York边界项的Einstein-Hilbert作用量

作者: Marko Lela

类别: math-ph, gr-qc, math.AP, math.DG

发布日期: 2025-11-14

arXiv ID: 2511.10867v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10867v1

摘要: We prove a $Γ$-convergence result for a diffeomorphism-natural discrete MDL-type functional to the Einstein-Hilbert action with the Gibbons-Hawking-York boundary term. On boundary-fitted, shape-regular meshes we establish interior and boundary blow-ups, identify the Carathéodory densities $f_{\mathrm{in}}=α_0+α_1 R$ and $f_{\mathrm{bdry}}=β_1 K$, and obtain the $\liminf/\limsup$ bounds via a recovery sequence based on reflected Fermi smoothing. A boundary first-layer asymptotics shows that boundary cells contribute at order $h^{d-1}$, yielding a global $O(h)$ boundary remainder, while the interior remainder is $O(h^2)$. The paper is foundational; Appendix~E specifies a reproducible protocol for rate checks and calibration of $α_0,α_1,β_1$.

11. Local controllability of free boundary three-dimensional semilinear radial parabolic equations

三维自由边界半线性径向抛物方程的局部可控性

作者: Juan Límaco, Luis P. Yapu

类别: math.AP

发布日期: 2025-11-13

arXiv ID: 2511.10795v1

链接: http://arxiv.org/abs/2511.10795v1

摘要: We prove that a free boundary semilinear heat equation with Stefan boundary condition and radially symmetric data is locally null controllable. The strategy involves reducing the problem to the corresponding one-dimensional formulation and adapting a Carleman inequality in that setting. The local null controllability of the free-boundary problem is then established via the Schauder fixed-point theorem. To the best of our knowledge, this is the first controllability result for this problem with Stefan boundary condition in more than one spatial dimension.