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1. The incompressible inhomogeneous Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck equations: global well-posedness and inviscid limit

非可压缩非均匀Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck方程组：整体适定性与无粘极限

作者: Fucai Li, Jinkai Ni, Ling-Yun Shou, Dehua Wang

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11220v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11220v1

详细分析

中文标题: 非可压缩非均匀Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck方程组：整体适定性与无粘极限

研究对象和背景

本文研究的是一类描述流体-粒子相互作用系统的耦合偏微分方程组，即非可压缩非均匀Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck（NS-VFP）方程组。该系统在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中建模了黏性不可压缩流体与悬浮粒子之间的动力学耦合过程，其中流体由非均匀密度 $\rho(t,x)$ 和速度场 $u(t,x)$ 描述，而粒子则通过其在位置-速度相空间 $(x,v)\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3$ 上的分布函数 $F(t,x,v)$ 来刻画。

系统的数学形式如下：

$$ \begin{cases} \partial_t \rho + \mathrm{div}(\rho u) = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \mathrm{div}(\rho u \otimes u) + \nabla P - \mu \Delta u = - \int_{\mathbb{R}^3} \kappa(\rho)(u - v) F \, dv, \\ \mathrm{div}\, u = 0, \\ \partial_t F + v \cdot \nabla_x F = \mathrm{div}_v \left( -\kappa(\rho)(u - v) F + \lambda(\rho) \nabla_v F \right), \end{cases} \quad (t,x,v) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3. \tag{1.1} $$

此系统简称为“非均匀NS-VFP系统”。其中：

  • $\rho = \rho(t,x) \geq 0$ 是流体密度；
  • $u = u(t,x) \in \mathbb{R}^3$ 是流体速度；
  • $P = P(t,x)$ 是压力；
  • $F = F(t,x,v) \geq 0$ 是粒子的分布函数；
  • $\mu > 0$ 是流体的黏性系数；
  • $\kappa(\rho) > 0$ 是依赖于流体密度的摩擦系数，表示流体对粒子的拖曳力强度；
  • $\lambda(\rho) > 0$ 是与粒子间碰撞相关的扩散系数。

特别地，在物理上，$\kappa(\rho)$ 和 $\lambda(\rho)$ 往往依赖于局部流体密度 $\rho$，例如当粒子浓度较高或介质不均匀时。为简化分析，作者取：

$$ \kappa(\rho) = \lambda(\rho) = \rho, \tag{1.2} $$

即摩擦力和扩散效应均正比于流体密度。这使得系统具有更强的非线性结构，也更贴近实际应用场景，如燃烧、喷雾推进、医疗气溶胶等。

当黏性项 $\mu \Delta u$ 被移除后，Navier-Stokes部分退化为Euler方程，得到对应的非均匀Euler-Vlasov-Fokker-Planck系统（简称Euler-VFP）：

$$ \begin{cases} \partial_t \rho + \mathrm{div}(\rho u) = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \mathrm{div}(\rho u \otimes u) + \nabla P = - \int_{\mathbb{R}^3} \rho(u - v) F \, dv, \\ \mathrm{div}\, u = 0, \\ \partial_t F + v \cdot \nabla_x F = \mathrm{div}_v \left( -\rho(u - v) F + \rho \nabla_v F \right). \end{cases} \tag{1.5} $$

目标之一是通过无粘极限（vanishing viscosity limit），即令 $\mu \to 0$，从NS-VFP系统严格推导出Euler-VFP系统，并证明解的收敛性。

初始条件设定为：

$$ (\rho, u, F)|_{t=0} = (\rho_0(x), u_0(x), F_0(x,v)), \quad (x,v) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3. \tag{1.3} $$

系统关注的是围绕某个平衡态的小扰动解的长期行为。平衡态定义为：

$$ (\bar{\rho}, \bar{u}, M_{[\bar{n}, \bar{u}]}) = (1, 0, M), \quad \text{其中 } M := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{-|v|^2/2}, \tag{1.4} $$

即常数密度 $\rho = 1$，零速度 $u = 0$，以及标准Maxwellian分布 $M$。为了研究稳定性，引入扰动变量：

$$ \rho_\mu = 1 + \varrho_\mu, \quad F_\mu = M + \sqrt{M} f_\mu, $$

并将原系统重写为关于 $(\varrho_\mu, u_\mu, f_\mu)$ 的扰动系统（见公式(1.9)）。类似地，对Euler-VFP系统也进行相同变换得(1.6)。

值得注意的是，这类模型在数学分析中面临多重挑战：

  • 非均匀性：密度 $\rho$ 随时间和空间变化，且满足输运方程 $\partial_t \rho + \mathrm{div}(\rho u) = 0$，由于 $\mathrm{div}\, u = 0$，它没有内在耗散机制；
  • 强非线性耦合：流体与粒子通过积分型摩擦力 $\int \rho(u-v)F dv$ 相互作用，且系数依赖于 $\rho$，导致额外非线性项如 $\varrho Lf$ 出现；
  • 缺乏经典耗散：对于纯欧拉方程，三维情况下尚无法保证全局光滑解的存在；而此处虽有来自Fokker-Planck算子和摩擦力的弱耗散，但是否足以控制长时间行为仍属未知。

因此，本文的核心问题在于：

是否可以在大时间尺度下建立NS-VFP系统的全局适定性，并通过无粘极限严格构造Euler-VFP系统的全局强解？进一步，能否获得一致的收敛速率？

这一问题极具挑战性，尤其是在三维全空间 $\mathbb{R}^3$ 中，既无周期边界提供的紧性优势，也无有界域中的Poincaré不等式支持。

函数空间方面，作者采用了混合型空间结构，关键空间包括：

  • Sobolev空间 $H^s$：用于控制高阶正则性；
  • 均匀Besov空间 $B^{-s}_{2,\infty}$（特别是 $s \in (1,3]$）：用于捕获初始数据的低频衰减性质，这对获得最优时间衰减速率至关重要；
  • 加权空间 $L^2_v(H^s_x)$、$L^2_v(B^{-s}_{2,\infty})$：结合速度变量的平方可积性和空间上的Besov正则性；
  • 投影分解空间：利用宏观-微观分解 $f = \mathcal{P}f + (I-\mathcal{P})f$，将分布函数分为流体部分（质量、动量）和非平衡部分。

这些空间的选择不仅反映了系统的双尺度特性（宏观流体 vs 微观粒子），也为后续能量估计和紧性论证提供了必要工具。

此外，Fokker-Planck算子 $L$ 定义为：

$$ Lf := \frac{1}{\sqrt{M}} \mathrm{div}_v \left( M \nabla_v \left( \frac{f}{\sqrt{M}} \right) \right), $$

它是自伴的，核空间为 $\mathrm{Ker}\,L = \mathrm{Span}\{\sqrt{M}\}$，并具有强制性：

$$ \langle Lf, f \rangle_{L^2_v} = - \int_{\mathbb{R}^3} \left| \nabla_v \left( \frac{f}{\sqrt{M}} \right) \right|^2 M \, dv \leq 0, $$

其耗散主要体现在微观部分 $\{I - \mathcal{P}\}f$ 上。

综上所述，本工作研究的是一个高度非线性、多尺度、跨维度耦合的流体-粒子系统，其数学结构复杂，物理背景广泛，目标是突破现有理论局限，建立全局适定性与无粘极限的严格数学基础。

主要定理或主要结果

定理 1.1（NS-VFP系统的全局适定性与一致估计）

设 $0 < \mu < 1$，$1 < s \leq 3$。假设初始扰动 $(\varrho_\mu^0, u_\mu^0, f_\mu^0)$ 满足 $F_\mu^0 = M + \sqrt{M} f_\mu^0 \geq 0$，且

$$ (\varrho_\mu^0, u_\mu^0) \in H^3 \cap \dot{B}^{-s}_{2,\infty}, \quad f_\mu^0 \in L^2_v(H^3 \cap \dot{B}^{-s}_{2,\infty}). $$

则存在独立于 $\mu$ 的常数 $\varepsilon_0 > 0$，使得若总能量初值满足

$$ \mathcal{E}_0^\mu := \|(\varrho_\mu^0, u_\mu^0)\|_{H^3 \cap \dot{B}^{-s}_{2,\infty}}^2 + \|f_\mu^0\|_{L^2_v(H^3 \cap \dot{B}^{-s}_{2,\infty})}^2 \leq \varepsilon_0, $$

则Cauchy问题(1.9)-(1.10)存在唯一全局强解 $(\varrho_\mu, u_\mu, P_\mu, f_\mu)$，满足 $\rho_\mu = 1+\varrho_\mu > 0$，$F_\mu = M + \sqrt{M} f_\mu \geq 0$，且具有一致先验估计：

$$ \sup_{t \geq 0} \left( \|( \varrho_\mu, u_\mu )(t)\|_{H^3}^2 + \|f_\mu(t)\|_{L^2_v(H^3)}^2 \right) + \int_0^t D(u_\mu, P_\mu, f_\mu)(\tau) d\tau + \mu \int_0^t \|\nabla u_\mu(\tau)\|_{H^3}^2 d\tau \leq C_0 \mathcal{E}_0^\mu, $$

其中耗散泛函 $D$ 定义为：

$$ D(u_\mu, P_\mu, f_\mu)(t) := \|(b_{f_\mu} - u_\mu)(t)\|_{H^3}^2 + \|\{I - \mathcal{P}\}f_\mu(t)\|_{L^2_v(H^3)}^2 + \|\nabla(a_{f_\mu}, b_{f_\mu})(t)\|_{H^2}^2 + \|\nabla P_\mu(t)\|_{H^2}^2. $$

同时，解满足最优时间衰减估计：

$$ \begin{aligned} &\|u_\mu(t)\|_{L^2} + \|f_\mu(t)\|_{L^2_v(L^2)} + \|\nabla P_\mu(t)\|_{L^2} \leq C_0 \varepsilon_0^{1/2} (1+t)^{-s/2}, \\ &\|\nabla u_\mu(t)\|_{L^2} + \|\nabla f_\mu(t)\|_{L^2_v(L^2)} + \|\nabla^2 P_\mu(t)\|_{L^2} \leq C_0 \varepsilon_0^{1/2} (1+t)^{-(s+1)/2}, \\ &\|\nabla^2 u_\mu(t)\|_{H^1} + \|\nabla^2 f_\mu(t)\|_{L^2_v(H^1)} \leq C_0 \varepsilon_0^{1/2} (1+t)^{-(s+1)/2}. \end{aligned} $$

所有常数 $C_0 > 0$ 与 $\mu$、时间和初值无关。

定理 1.2（无粘极限下的全局存在性）

设初始数据 $(\varrho_0, u_0, f_0)$ 满足同样正则性条件，且 $\mathcal{E}_0 \leq \varepsilon_1$（$\varepsilon_1 > 0$ 小常数）。考虑一族NS-VFP解 $(\varrho_\mu, u_\mu, f_\mu)$ 对应初值趋近于 $(\varrho_0, u_0, f_0)$。则当 $\mu \to 0$ 时，存在子列收敛到极限 $(\varrho, u, P, f)$，满足：

  • 弱*收敛于 $L^\infty(\mathbb{R}_+; H^3)$、$L^\infty(\mathbb{R}_+; L^2_v(H^3))$ 等；
  • 强收敛于 $C_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+; H^2_{\mathrm{loc}})$；
  • 极限 $(\varrho, u, f)$ 是Euler-VFP系统(1.6)的全局解，满足类似能量与衰减估计，且常数独立于 $\mu$。

定理 1.3（全局无粘极限误差估计）

设 $(\varrho_\mu, u_\mu, f_\mu)$ 和 $(\varrho, u, f)$ 分别为NS-VFP与Euler-VFP系统的解，且初始误差满足

$$ \|(\varrho_\mu^0 - \varrho_0, u_\mu^0 - u_0)\|_{H^1} + \|f_\mu^0 - f_0\|_{L^2_v(H^1)} \leq \mu. $$

则存在统一常数 $C_2 > 0$，使得

$$ \begin{aligned} \sup_{t \geq 0} &\left\{ (1+t)^{-1} \|(\varrho_\mu - \varrho)(t)\|_{H^1}^2 + \|(u_\mu - u)(t)\|_{H^1}^2 + \|(f_\mu - f)(t)\|_{L^2_v(H^1)}^2 \right\} \\ &+ \int_0^t \left( \|\nabla(u_\mu - u)(\tau)\|_{H^1}^2 + \|\nabla(P_\mu - P)(\tau)\|_{L^2}^2 \right) d\tau \\ &+ \int_0^t \left( \|\nabla(f_\mu - f)(\tau)\|_{L^2}^2 + \|\{I - \mathcal{P}\}(f_\mu - f)(\tau)\|_{L^2_v(H^1)}^2 \right) d\tau \leq C_2 \mu^2. \end{aligned} \tag{1.20} $$

这表明无粘极限过程在整个时间区间上以 $O(\mu)$ 的速率强收敛，远优于纯流体情形下的局部结果。

研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析工具

本文采用的主要技术框架是一种统一的能量方法，融合了以下几类现代PDE分析工具：

  • 高阶Lyapunov泛函构造：不同于传统的 $H^3$ 能量估计，作者构造了一个新型的高阶能量泛函 $E_1(t) \sim \|\nabla u_\mu\|_{H^2}^2 + \|\nabla f_\mu\|_{L^2_v(H^2)}^2$，使其满足微分不等式：

    $$ \frac{d}{dt} E_1(t) + c \left( \|\nabla^2 u_\mu\|_{H^2}^2 + \|\nabla^2 f_\mu\|_{L^2_v(H^2)}^2 \right) \leq 0, $$

    其中 $c > 0$ 与 $\mu$ 无关。这种结构能有效吸收非线性项，实现对 $\|\nabla u_\mu\|_{H^2}$ 的 $L^1_t$ 控制。

  • 负阶齐次Besov空间 $\dot{B}^{-s}_{2,\infty}$ 的演化控制：这是本文最关键的创新点之一。由于密度扰动 $\varrho_\mu$ 满足输运方程 $\partial_t \varrho_\mu + u_\mu \cdot \nabla \varrho_\mu = 0$，其本身无耗散，只能通过Gronwall不等式控制：

    $$ \|\varrho_\mu(t)\|_{H^3} \lesssim e^{\int_0^t \|\nabla u_\mu\|_{H^2} d\tau} \|\varrho_\mu^0\|_{H^3}. $$

    若仅用标准能量估计，$\|\nabla u_\mu\|_{H^2} \in L^2_t$ 会导致指数增长。为此，作者引入 $\dot{B}^{-s}_{2,\infty}$ 正则性，并利用插值技巧证明：

    $$ \|\nabla u_\mu\|_{H^2} + \|\nabla f_\mu\|_{L^2_v(H^2)} \lesssim (1+t)^{-s/2} \left( \cdots + \|\nabla u_\mu\|_{\dot{B}^{-s}_{2,\infty}} + \|\nabla f_\mu\|_{L^2_v(\dot{B}^{-s}_{2,\infty})} \right), $$

    从而确保 $\|\nabla u_\mu\|_{H^2} \in L^1_t$，避免时间增长。

  • 宏观-微观分解与投影技术：将 $f = \mathcal{P}f + (I - \mathcal{P})f$，其中 $\mathcal{P}f = a_f \sqrt{M} + b_f \cdot v \sqrt{M}$ 表示宏观部分，$(I - \mathcal{P})f$ 为微观部分。利用Fokker-Planck算子的强制性，可得：

    $$ \langle -Lf, f \rangle \gtrsim \|(I - \mathcal{P})f\|_{L^2_v, \nu}^2, $$

    同时结合$v \cdot \nabla_x f$与$L f$的交互作用，可导出$a_f, b_f$的梯度耗散，形成完整的耗散结构。

  • 紧性论证与Aubin-Lions引理：为处理无粘极限，利用一致有界性结合嵌入关系：

    $$ H^3 \hookrightarrow H^2_{\mathrm{loc}}, \quad L^\infty_t(H^3) \cap W^{1,2}_t(H^2) \hookrightarrow C_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+; H^2_{\mathrm{loc}}), $$

    得到强收敛子列。

b) 关键技术难点与应对策略

  • 密度无耗散问题：$\varrho_\mu$ 无任何耗散机制，是最大障碍。解决方式是通过设计包含 $\dot{B}^{-s}_{2,\infty}$ 正则性的先验估计，迫使速度场快速衰减，从而控制Gronwall指数。

  • 非线性项 $\varrho Lf$ 的处理：该项因 $\varrho$ 不耗散而难以控制。作者通过精细估计将其拆解为低频与高频部分，结合 $\varrho \in L^\infty_t(H^3)$ 与 $Lf \in L^2_t(L^2_v(H^2))$ 进行乘积控制。

  • 无粘极限中的压力项发散：当 $\mu \to 0$，$\mu \Delta u$ 消失，但 $\nabla P_\mu$ 可能震荡。通过动量方程获得 $\nabla P_\mu$ 在 $L^2_t(H^2)$ 中的一致有界性，再结合弱紧性解决。

  • 误差估计中的时间权重设计：为克服 $\varrho_\mu - \varrho$ 的潜在增长，引入 $(1+t)^{-1}$ 时间权重，使误差泛函闭合。

与之前工作的比较

a) 突破性贡献

相比已有文献，本文做出多项显著改进：

  • 首次建立三维非均匀Euler-VFP系统的全局强解存在性：此前结果多集中于周期域（如[25]）、二维情形或压缩流体（如[12][22]）。本文在全空间 $\mathbb{R}^3$ 中实现了非均匀不可压缩情形的突破。

  • 实现全局而非局部的无粘极限：传统纯欧拉方程的无粘极限仅能在短时间成立（可能因奇点产生而失效），而本文借助两相耦合产生的弱耗散机制（来自摩擦力与Fokker-Planck项），实现了全局时间尺度上的强收敛。

  • 获得最优收敛速率 $O(\mu)$：远优于Li等人[43]在压缩情形下得到的 $O(\mu^{1/2})$，说明流体-粒子耦合增强了稳定性。

  • 放宽对初始数据的要求：使用 $\dot{B}^{-s}_{2,\infty}$ 空间代替更强的 $L^1$ 或 $H^N$ 条件，允许更广义的初始扰动（如慢衰减尾部），更具物理合理性。

  • 处理密度依赖摩擦系数 $\kappa(\rho)=\rho$：此前多数工作假设 $\kappa$ 为常数（如[46][47]），而本文处理了真实物理中常见的非线性摩擦，带来额外技术难度。

  • 无需真空假设：许多非均匀流体模型需避免密度为零（真空），而本文通过扰动框架自然避开此问题。

综上，本文不仅在技术上发展了新的能量框架与Besov型估计，更在理论上拓展了流体-粒子系统的适用范围，为多相流的数学理论提供了重要进展。

2. Two phase micropolar fluid flow with nonlocal energies: Existence theory, nonpolar limits and nonlocal-to-local convergence

具有非局部能量的两相微极性流体流动：存在性理论、非极性极限及非局部向局部的收敛性

作者: Kin Shing Chan, Kei Fong Lam

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-11

arXiv ID: 2512.11124v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11124v1

详细分析

中文标题: 具有非局部能量的两相微极性流体流动：存在性理论、非极性极限及非局部向局部的收敛性

研究对象和背景

本文研究的是一个具有非局部相互作用能量的两相微极性流体流动模型，即 nMAGG 模型（nonlocal Micropolar Abels–Garcke–Grün model）。该模型是经典的 Navier–Stokes–Cahn–Hilliard 系统在包含内部微观旋转自由度与非局部界面效应情形下的推广。

微极性流体（micropolar fluids）是一类能够描述悬浮粒子具有独立角动量的复杂流体，其运动不仅由宏观速度场 $u$ 描述，还引入了微旋转场 $\omega$ 来刻画流体微元的自转行为。这类流体广泛应用于模拟血液流动、液晶、磁性流体（ferrofluids）、含泡流等物理系统。经典 Navier–Stokes 方程无法捕捉此类内部结构动力学，而由 Eringen 提出的微极性流体力学框架则通过扩展应力张量的非对称性来建模这一现象。

原始的局部微极性两相流模型（称为 MAGG 模型）由 Chan 与 Lam 在先前工作中提出，其控制方程如下：

$$ \mathrm{div}\, u = 0, $$
$$ \partial_t (\rho(\phi)u) + \mathrm{div}(\rho(\phi)u \otimes u) - \mathrm{div}(2\eta(\phi)Du + 2\eta_r(\phi)Wu) = -\nabla p + \mathrm{div}(\rho'(\phi)m(\phi)\nabla\mu \otimes u) + \mu\nabla\phi + 2\,\mathrm{curl}(\eta_r(\phi)\omega), $$
$$ \partial_t (\rho(\phi)\omega) + \mathrm{div}(\rho(\phi)u \otimes \omega) - \mathrm{div}(c_0(\phi)(\mathrm{div}\,\omega)I + 2c_d(\phi)D\omega + 2c_a(\phi)W\omega) = \mathrm{div}(\rho'(\phi)m(\phi)\nabla\mu \otimes \omega) + 2\eta_r(\phi)(\mathrm{curl}\,u - 2\omega), $$
$$ \partial_t \phi + u \cdot \nabla \phi = \mathrm{div}(m(\phi)\nabla\mu), $$
$$ \mu = -\sigma\varepsilon\Delta\phi + \frac{\sigma}{\varepsilon}F'(\phi). $$

其中：

  • $u$ 是混合流体的体积平均速度；
  • $\omega$ 是微旋转矢量；
  • $\phi \in [-1,1]$ 是相场变量，表示两种流体的体积分数差；
  • $\mu$ 是化学势；
  • $p$ 是压力；
  • $\rho(\phi)$ 是密度，定义为 $\rho(\phi) = \frac{\rho_1+\rho_2}{2} + \frac{\rho_1-\rho_2}{2}\phi$，允许不匹配密度；
  • $Du = \frac{1}{2}(\nabla u + (\nabla u)^\top)$ 和 $Wu = \frac{1}{2}(\nabla u - (\nabla u)^\top)$ 分别是对称与反对称应变率张量；
  • $m(\phi), \eta(\phi), \eta_r(\phi), c_0(\phi), c_d(\phi), c_a(\phi)$ 均为依赖于 $\phi$ 的材料参数函数；
  • $F(\phi)$ 是双阱势函数（如对数型），用于驱动相分离；
  • $\varepsilon > 0$ 是界面厚度参数。

本论文考虑的是上述系统的非局部版本，即将局部 Cahn–Hilliard 势替换为基于卷积的非局部自由能泛函。具体地，化学势 $\mu$ 被修改为：

$$ \mu = \varepsilon\sigma(a\phi - K \star \phi) + \frac{\sigma}{\varepsilon}F'(\phi), $$

其中 $K(x-y)$ 是对称卷积核，$(K \star \phi)(x) = \int_\Omega K(x-y)\phi(y)\,dy$，且 $a(x) = (K \star 1)(x)$。对应的非局部 Ginzburg–Landau 能量为：

$$ G_{\text{nloc}}(\phi) = \frac{1}{4} \iint_{\Omega\times\Omega} K(x-y)(\phi(x)-\phi(y))^2\,dxdy + \int_\Omega F(\phi)\,dx. $$

该非局部形式最早由 Giacomin 与 Lebowitz 提出，用于统计力学中晶格系统的连续逼近。相比局部模型，非局部模型避免了高阶导数（如 $\Delta\phi$），但在积分项中引入了全局耦合，带来了新的数学挑战。

本文的研究区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$（$d=2$ 或 $3$）可以是具有光滑边界的有界域，也可以是环面 $\mathbb{T}^d$。边界条件采用标准的无滑移、无旋、无通量条件：

$$ u = 0, \quad \omega = 0, \quad \partial_n \mu = 0 \quad \text{on } \partial\Omega, $$

或在环面上使用周期性边界条件。特别值得注意的是，由于采用了非局部能量，传统的 Sobolev 空间分析不再直接适用，需借助非局部算子理论与分数阶空间估计进行处理。

此外，文中对关键函数做了如下假设（见 Section 2.3）：

  • 卷积核 $K \in W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$，对称且 $a(x) \geq 0$；
  • 流动参数（粘性、迁移率等）均为有界可微函数，满足正下界；
  • 势函数 $F$ 取为奇异对数型双阱势，保证 $\phi$ 自然取值于 $[-1,1]$；
  • 对 $F''$ 和核 $K$ 的结构进一步设定以支持非局部到局部的收敛分析。

这些设定确保了系统的热力学一致性（能量耗散律成立）以及数学适定性的可能。

主要定理或主要结果

本文的主要成果包括以下几个方面：

定理 3.1（三维弱解的存在性）

在假设 (A1)–(A3)、(B1)–(B3) 下，对于任意有限时间 $T>0$，存在三元组 $(u, \omega, \phi)$ 满足：

  • $u \in L^\infty(0,T; H) \cap L^2(0,T; V)$，
  • $\omega \in L^\infty(0,T; H) \cap L^2(0,T; H^1)$，
  • $\phi \in L^\infty(0,T; H^1) \cap L^2(0,T; H^2)$，$\mu \in L^2(0,T; H^1)$，

使得 $(u, \omega, \phi)$ 是 nMAGG 系统的全局弱解，并满足能量不等式：

$$ \frac{d}{dt} E_{\text{nloc}}(u,\omega,\phi) + \int_\Omega 2\eta(\phi)|Du|^2 + 2\eta_r(\phi)|Wu|^2 + c_d(\phi)|\nabla\omega|^2 + m(\phi)|\nabla\mu|^2 \,dx \leq 0. $$

定理 4.1（非局部向局部的弱收敛）

设 $\{K_\kappa\}_{\kappa>0}$ 是一族按 (2.18) 缩放的卷积核，满足 (C1)，且当 $\kappa \to 0$ 时 $K_\kappa \to \delta_0$（Dirac delta）。令 $(u_\kappa, \omega_\kappa, \phi_\kappa)$ 为对应 $K_\kappa$ 的 nMAGG 弱解序列，则存在子列弱收敛至某 $(u, \omega, \phi)$，其为局部 MAGG 模型的弱解。

定理 5.1（二维强解的整体适定性）

在 $d=2$ 维情况下，若初始数据足够正则（如 $\phi_0 \in H^2$, $u_0, \omega_0 \in V$），则 nMAGG 模型存在唯一的整体强解，满足更高正则性：

  • $u \in C([0,T]; V) \cap L^2(0,T; D(A_S))$，
  • $\omega \in C([0,T]; H^1) \cap L^2(0,T; H^2)$，
  • $\phi \in C([0,T]; H^2) \cap L^2(0,T; H^4)$。

定理 6.1（非极性极限的一致性估计）

在二维情形下，令 $(u, \omega, \phi)$ 为 nMAGG 强解，$(u_p, \phi_p)$ 为相应的非局部 AGG 模型（即 $\eta_r \equiv 0$）的强解。则存在常数 $C>0$ 使得：

$$ \|u - u_p\|_{L^\infty(0,T;H)} + \|\phi - \phi_p\|_{L^\infty(0,T;H^1)} \leq C \eta_*, $$

其中 $\eta_* = \max(\eta_{r,1}, \eta_{r,2})$。这表明当动态微旋转粘性趋于零时，微极性效应消失，系统趋近于非极性两相流。

研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析工具

  1. Galerkin 近似与紧性方法
    在证明三维弱解存在性时，作者采用半离散 Galerkin 方案构造近似解序列。选取 Stokes 算子的特征函数作为基函数，将速度 $u$ 投影到有限维子空间，同时保留 $\omega$ 与 $\phi$ 的无限维结构。通过对近似系统建立先验估计（尤其是能量估计与 Aubin–Lions 型紧嵌入），利用 Banach–Alaoglu 定理提取弱*收敛子列，并结合紧性引理（如 Simon’s compactness theorem）恢复极限过程中的非线性项收敛性。

  2. 能量方法与熵估计
    整个系统的分析建立在总能量耗散结构之上。定义非局部总能量：

    $$ E_{\text{nloc}}(u,\omega,\phi) = \int_\Omega \frac{\rho(\phi)}{2}(|u|^2 + |\omega|^2)\,dx + G_{\text{nloc}}(\phi), $$

    利用测试函数法（取 $u$、$\omega$、$\mu$ 作为测试函数），可得形式上的能量恒等式。由于非局部项 $a\phi - K\star\phi$ 与 $L^2$ 内积兼容，仍可获得一致的能量界，这是构造弱解的基础。

  3. 非局部算子理论与分数阶空间
    非局部拉普拉斯类算子 $Lu = a u - K\star u$ 具有类似 $(-\Delta)^s$ 的性质。文中虽未显式使用分数阶 Sobolev 空间，但通过假设 $K \in W^{1,1}$ 控制其正则性影响。关键技巧在于利用 $a(x) \geq 0$ 与对称性保证双线性型的强制性：

    $$ \int_\Omega (a\phi - K\star\phi)\phi\,dx = \frac{1}{2} \iint K(x-y)(\phi(x)-\phi(y))^2\,dxdy \geq 0. $$

  4. Aubin–Lions–Simon 紧性引理
    为了处理非线性项（如 $u \cdot \nabla \phi$、$\mathrm{div}(u \otimes u)$）的极限，必须获得时间导数的控制。例如，由 $\partial_t \phi = -u\cdot\nabla\phi + \mathrm{div}(m\nabla\mu)$ 及右端在 $H^{-1}$ 中有界，可得 $\partial_t \phi$ 在 $H^{-1}$ 中一致有界，从而应用 Aubin–Lions 引理得到 $\phi$ 在 $L^2(0,T;L^2)$ 中的相对紧性。

  5. 单调算子与变分不等式技术
    化学势 $\mu$ 的表达式涉及 $F'(\phi)$，其在 $\phi \to \pm1$ 时趋于无穷，构成奇异性。为此，采用截断逼近法：先用光滑势（如多项式逼近）构造近似问题，再通过单调收敛定理让截断趋于极限，保持 $\phi \in (-1,1)$ 几乎处处成立。

b) 技术难点与解决策略

  1. 非局部项与局部极限的对接
    当 $K_\kappa \to \delta_0$ 时，期望 $a_\kappa \phi - K_\kappa \star \phi \to -c_d \Delta\phi$。文中利用缩放核的结构（(C1)）证明：对适当测试函数 $\psi$，有

    $$ \int_\Omega (a_\kappa \phi - K_\kappa \star \phi)\psi\,dx \to C_d \int_\Omega \nabla\phi \cdot \nabla\psi\,dx, $$

    实现从非局部到局部 Laplace 项的弱收敛。

  2. 密度依赖与输运项的处理
    密度 $\rho(\phi)$ 显式出现在惯性项 $\partial_t(\rho u)$ 和对流项 $\mathrm{div}(\rho u \otimes u)$ 中。这破坏了传统 Navier–Stokes 的能量结构。解决方法是引入质量守恒的输运结构，并利用 $\mathrm{div}\,u = 0$ 与 $\partial_t \phi + u\cdot\nabla\phi = \mathrm{div}(m\nabla\mu)$ 推导出 $\rho(\phi)$ 的有效守恒律。

  3. 微旋转与速度的强耦合
    微旋转方程中出现 $\mathrm{curl}\,u$，而动量方程中出现 $\mathrm{curl}\,\omega$，形成双向耦合。作者通过设计联合能量泛函，并利用不等式：

    $$ |\int \mathrm{curl}\,\omega \cdot u\,dx| \leq \|\nabla\omega\|\|u\|, $$

    将交叉项吸收进耗散项，实现一致估计。

  4. 二维强解的高阶估计
    在二维情形，利用vorticity-type 估计与 $L^\infty$ 控制（得益于二维 Sobolev 嵌入 $H^1 \hookrightarrow L^p$ 对所有 $p<\infty$），可闭合高阶能量估计。例如，对 $\Delta u$ 取内积，结合非线性项的估计：

    $$ \left|\int (u\cdot\nabla)u \cdot \Delta u\,dx\right| \leq C\|u\|_{H^1}^2\|\Delta u\|, $$

    并利用 Gronwall 不等式获得全局有界性。

与之前工作的比较

a) 突破与改进

  1. 首次建立非局部微极性两相流的弱解理论
    此前，Abels–Garcke–Grün 的非局部模型（nAGG）已被 Colli、Frigeri 等人研究其弱解存在性 [8,19]，但均限于牛顿流体（即无 $\omega$ 场）。本文将此框架成功拓展至微极性体系，需处理额外的矢量场 $\omega$ 与其与 $u$ 的强耦合，技术上更为复杂。

  2. 实现非局部到局部的弱收敛，推广 [9,40]
    文献 [9] 建立了 nAGG 到 AGG 的弱收敛，而本文将其推广至包含微旋转的情形。关键在于证明非局部项与 $\mathrm{curl}\,\omega$ 项的乘积在极限下保持收敛，这依赖于对 $K_\kappa$ 结构的精细控制。

  3. 二维强解的整体适定性为首创
    尽管 Frigeri 等人在 [23] 中建立了 nAGG 的二维强解理论，但尚未见关于非局部微极性模型的类似结果。本文通过增强能量估计与利用二维优势（如 Brezis–Wainger 不等式），首次获得整体强解。

  4. 提供非极性极限的定量一致性估计
    相比 [14] 中针对局部模型的定性收敛，本文在非局部背景下给出了误差界估计，明确揭示了解之间的距离与 $\eta_r$ 成正比。这是对“微极性偏离牛顿流体程度”的可量化刻画。

  5. 放宽对初始数据的要求
    相较于早期工作要求 $\phi_0 \in H^2$ 或更高正则性，本文在弱解构造中仅需 $\phi_0 \in H^1$，更贴近物理实际。

综上所述，本文在模型广度（微极性+非局部）、数学深度（弱/强解+收敛性）、分析精度（定量估计）三个方面均实现了显著推进，为多相复杂流体的非局部建模奠定了坚实的理论基础。

了解领域论文（摘要翻译）

1. What is the optimal way to lie? From microscopic to kinetic descriptions of consensus control

说谎的最佳方式是什么？从微观到介观的共识控制描述

作者: Sasha Glendinning, Susana N. Gomes, Marie-Therese Wolfram

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11617v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11617v1

摘要翻译

中文标题: 说谎的最佳方式是什么？从微观到介观的共识控制描述

摘要翻译: 本文通过在经典系统中引入一个“说谎者”，建立了一种用于意见动力学共识控制的方法。该说谎者旨在通过向群体成员展示其“表观意见”（即“谎言”），引导整个群体达成其期望目标意见上的共识。我们将此问题建模为一个最优控制问题，旨在分析如何以最优的方式对群体进行误导，从而确保实现说谎者所期望的共识。我们考虑了多种正则化形式，每种形式均基于某种社会规范动机，例如说谎者倾向于表达与其真实观点相近的意见。针对每种正则化情形，我们展示了瞬时控制的作用效果。此外，我们为相应的介观系统引入了Boltzmann型描述，并对所得到的Boltzmann方程和Fokker-Planck方程进行了理论分析与数值模拟，给出了相关结果。

2. A deterministic particle approximation for a fourth-order equation

一类四阶方程的确定性粒子逼近

作者: Charles Elbar, Alejandro Fernández-Jiménez

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11441v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11441v1

摘要翻译

中文标题: 一类四阶方程的确定性粒子逼近

摘要翻译: 本文提出了一类用于四阶方程的确定性粒子逼近方法，该方程在细胞间黏附问题中具有应用。为此，我们首先证明该四阶方程可作为一类适定非局部偏微分方程在渐近极限下的收敛结果得到。这类非局部方程的优势在于，粒子的经验测度自然满足相应的方程。随后，我们建立了该类非局部方程在2-维瑟斯坦（2-Wasserstein）梯度流意义下的稳定性，并利用这一性质重构了四阶方程的确定性粒子逼近。据我们所知，本文首次给出了四阶偏微分方程的确定性粒子逼近结果。最后，我们提供了一些在粒子层面进行的数值模拟。

3. Scattering for the $2d$ NLS with inhomogeneous nonlinearities

具有非齐次非线性项的二维非线性薛定谔方程的散射问题

作者: Luke Baker

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11205v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11205v1

摘要翻译

中文标题: 具有非齐次非线性项的二维非线性薛定谔方程的散射问题

摘要翻译: 本文证明了在二维空间中，对于所有幂次 $ p>0 $，具有非齐次非线性项的非线性薛定谔方程在 $ H^1 $ 空间中具有大初值散射性质。我们假设非齐次项是非负且排斥性的；此外，当 $ 0<p\leq 2 $ 时，还要求其在无穷远处具有衰减性。我们采用集中紧性与反证法相结合的方法进行论证，并通过一种类似于Nakanishi提出的Morawetz估计来排除紧致解的存在性。

不相关论文（基本信息）

1. Stability of stationary reaction diffusion-degenerate Nagumo fronts I: spectral analysis

平稳反应扩散退化Nagumo波前的稳定性I：谱分析

作者: Raffaele Folino, César A. Hernández Melo, Luis F. López Ríos, Ramón G. Plaza

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11721v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11721v1

摘要: This paper establishes the spectral stability of monotone, stationary front solutions for reaction-diffusion equations where the reaction function is of Nagumo (or bistable) type and with diffusion coefficients which are density dependent and degenerate at zero (one of the equilibrium points of the reaction). These stationary profiles connect the non-degenerate equilibrium point with the degenerate state at zero, they are monotone, and arrive to the degenerate state at a finite point. They are neither sharp nor smooth. The degeneracy of the diffusion precludes the application of standard techniques to locate the essential spectrum of the linearized operator around the wave in the energy space $L^2$. This difficulty is overcome with a suitable partition of the spectrum, the analysis of singular sequences, a generalized convergence of operators technique and refined energy estimates. It is shown that the $L^2$-spectrum of the linearized operator around the front is real and with a spectral gap, that is, a positive distance between the imaginary axis and the rest of the spectrum, with the exception of the origin. Moreover, the origin is a simple isolated eigenvalue, associated to the derivative of the profile as eigenfunction (the translation eigenvalue). Finally, it is shown that the linearization generates an analytic semigroup that decays exponentially outside a one-dimensional eigenspace associated to the zero eigenvalue.

2. Weak local Gagliardo-Nirenberg type inequalities with a BMO term

带有BMO项的弱局部Gagliardo-Nirenberg型不等式

作者: Dung Le

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11576v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11576v1

摘要: An improvement of a global Gagliardo-Nienberg inequality with a BMO term is established.

3. Existence and dependency results for coupled Schrödinger equations with critical exponent on waveguide manifold

关于波导流形上具有临界指数的耦合薛定谔方程的存在性与依赖性结果

作者: Jun Wang, Zhaoyang Yin

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11491v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11491v1

摘要: We study the coupled Schrödinger equations with critical exponent on $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{T}$. With the help of scaling argument and semivirial-vanishing technology, we obtain the existence and $y$-dependence of solution, the tori can be generalized to $1$-dimensional compact Riemannian manifold. Moreover, the conclusion of this paper can be extended to systems with any number of components.

4. Effective transmission through an interface with evolving microstructure

具有演化微观结构界面的有效传输

作者: Lucas M. Fix, Gianna Götzmann, Malte A. Peter, Jan-F. Pietschmann

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11489v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11489v1

摘要: We study the asymptotic behaviour of a system of nonlinear reaction–diffusion–advection equations in a domain consisting of two bulk regions connected via microscopic channels distributed within a thin membrane. Both the width of the channels and the thickness of the membrane are of order $\varepsilon \ll 1$, and the geometry evolves in time in an a priori known way. We consider nonlinear flux boundary conditions at the lateral boundaries of the channels and critical scaling of the diffusion inside the layer. Extending the method of homogenisation in domains with evolving microstructure to thin layers, we employ two-scale convergence and unfolding techniques in thin layers to derive an effective model in the limit $\varepsilon \to 0$, in which the membrane is reduced to a lower-dimensional interface. We obtain jump conditions for the solution and the total fluxes, which involve the solutions of local, space–time-dependent cell problems in the reference channel.

5. Long-time behavior of free energy in the nonlinear Fokker-Planck equation

非线性福克-普朗克方程中自由能的长时间行为

作者: Kouta Araki, Masashi Mizuno

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11455v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11455v1

摘要: We study the asymptotic behavior of Fokker-Planck equations with spatially inhomogeneous nonlinear diffusion, based on the energy dissipation law. First, we consider the Fokker-Planck equation with porous-medium-type nonlinear diffusion that satisfies the energy dissipation law by introducing spatial inhomogeneity into the free energy. We obtain a result on the long-time behavior of the dissipation function for sufficiently large diffusion coefficients by extending the entropy dissipation method to the case of inhomogeneous diffusion.

6. On mixed local-nonlocal Sobolev-type inequalities and their connection with singular equations in the Heisenberg group

关于Heisenberg群中混合局部-非局部Sobolev型不等式及其与奇异方程的联系

作者: Prashanta Garain

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11449v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11449v1

摘要: In this work, we establish a mixed local–nonlocal Sobolev-type inequality in the Heisenberg group and demonstrate that its extremals coincide with solutions to the corresponding mixed local–nonlocal singular $p$-Laplace equations. We further show that these inequalities serve as a necessary and sufficient condition for the existence of weak solutions to the associated singular problems. Notably, the same characterization remains valid in both the purely local and purely nonlocal settings. Our results thus provide a unified framework linking the existence theory for singular equations across local, nonlocal, and mixed regimes.

7. Mixed local-nonlocal $p$-Laplace equation with variable singular nonlinearity in the Heisenberg group

Heisenberg群中具有变系数奇异非线性的混合局部-非局部p-Laplace方程

作者: Prashanta Garain

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11442v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11442v1

摘要: We investigate a mixed local-nonlocal $p$-Laplace equation on the Heisenberg group, where the nonlinear term features a variable singular exponent. Our analysis establishes the existence, uniqueness, and regularity of weak solutions under suitable structural assumptions. To the best of our knowledge, this work provides the first treatment of such mixed local-nonlocal problems in a non-commutative setting, even in the linear case $p=2$ with a constant singular exponent.

8. Stratification of the Helffer-Nourrigat cone

Helffer-Nourrigat 锥的分层结构

作者: Clément Cren

类别: math.AP, math.FA, math.OA, math.RT

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11434v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11434v1

摘要: Given a singular filtration on a manifold, e.g. a subriemannian setting, one can understand the elliptic regularity problems through a special kind of calculus. The principal symbol in this calculus involves the unitary representations of a family of graded nilpotent groups. Not all the irreducible representations of these groups have to be taken into account however, the ones that should be considered form the Helffer-Nourrigat cone. This space thus plays the role of a phase space in subriemannian geometry. Its topology is however very singular, preventing any kind of geometry on it. We propose a way to desingularize it. The unitary spectrum of a nilpotent group can be stratified into strata that are locally compact Hausdorff, following Puckansky and Pedersen. We show how this stratification extends to the whole Helffer-Nourrigat cone. As a byproduct, we show that the C*-algebra of principal symbols and the one of pseudodifferential operators of order 0 are solvable with explicit subquotients.

9. Bubbling analysis of bimeron configurations

双磁子构型的气泡分析

作者: Glal Bacho, Christof Melcher

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11400v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11400v1

摘要: Chiral symmetry breaking in magnetic thin films stabilizes new families of topological solitons that are absent in conventional anisotropic ferromagnets. Beyond the classical chiral skyrmion, which arises in uniaxial systems through the Dzyaloshinskii–Moriya interaction, dipolar configurations known as chiral bimerons emerge in easy–plane situations. On compact domains, these solitonic states appear as localized concentrations of energy embedded in an easy–plane background. The analysis, inspired by the Sacks–Uhlenbeck theory for approximate harmonic maps, combines blow–up methods with quantitative rigidity for the Möbius group to describe the structure, scaling behaviour, and asymptotic limits of such magnetic solitons in both the conformal and large–domain regimes.

10. Conformal composition operators with applications to Dirichlet eigenvalues

共形复合算子及其在狄利克雷特征值中的应用

作者: C. Deneche, V. Pchelintsev

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11380v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11380v1

摘要: This paper is concerned with spectral estimates for the first Dirichlet eigenvalue of the degenerate $p$-Laplace operator in bounded simply connected domains $Ω\subset \mathbb C$. The proposed approach relies on the conformal analysis of the elliptic operators, which allows us to obtain spectral estimates in domains with non-rectifiable boundaries.

11. A variational approach to nonlocal heat equations

非局部热方程的变分方法

作者: Edoardo Mainini

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11370v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11370v1

摘要: We discuss a weighted variational integral approach for nonlocal linear diffusion models with forcing term, providing a selection principle for solutions of elliptic in time regularizations.

12. Gradient higher integrability of bounded solutions to parabolic double-phase systems

有界解在抛物型双相系统中的梯度高阶可积性研究

作者: Iwona Chlebicka, Prashanta Garain, Wontae Kim

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11294v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11294v1

摘要: We prove that bounded solutions to degenerate parabolic double-phase problem modelled upon

$$ u_t-\dv(|\na u|^{p-2}\na u+a(x,t)|\na u|^{q-2}\na u)=-\dv(|F|^{p-2}F+a(x,t)|F|^{q-2}F)\,, $$

where a nonnegative weight $a$ is $α$-Hölder continuous in space and $\tfrac α2$-Hölder continuous in time, have locally higher integrable gradients for the sharp range of exponents $p<q\le p+α$.

13. Pseudomeasure distributions for nonseparable, nonlocal mean field games

非可分非局部均场博弈中的伪测度分布

作者: David M. Ambrose, Milton C. Lopes Filho, Anna L. Mazzucato, Helena J. Nussenzveig Lopes

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-12

arXiv ID: 2512.11210v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11210v1

摘要: For a number of important mean field games models, the Hamiltonian is non-local and not additively separable. This means that the distribution of agents appears in the Hamiltonian only in an integral over the whole spatial domain. For mean field games with a class of such Hamiltonians, we prove existence of solutions for the mean field games system of partial differential equations, allowing pseudomeasure data for the distribution of agents. Specifically, this allows the initial distribution of agents to be a sum of Dirac masses. The existence theorem requires a smallness condition on the size of the terminal data for the value function (or, alternatively, on the size of the Hamiltonian); no smallness condition on the size of the initial data or on the size of the time horizon is required. We also prove uniqueness and continuous dependence results under the same type of smallness conditions. We prove continuous dependence under two complementary hypotheses on the initial data: strong convergence of a sequence of pseudomeasures, and weak-$*$ convergence of a sequence of bounded measures.

14. The pinning effect of dilute defects

稀疏缺陷的钉扎效应

作者: William M Feldman, Inwon C Kim

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-11

arXiv ID: 2512.11152v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.11152v1

摘要: We consider the Bernoulli free boundary problem with ``defects", inhomogeneities in the coefficients of compact support. When the defects are small and arrayed periodically there exist plane-like solutions with a range of large-scale slopes slightly different from the background field value. This is known as pinning. By studying the capacity-like pinning effect of a single defect in the Bernoulli free boundary problem, we can compute the asymptotic expansion of the interval of pinned slopes as the defect size goes to zero for lattice aligned normal directions. Our work is motivated by the issue of contact angle hysteresis in capillary contact lines.

15. Observability inequality for the von Neumann equation in crystals

晶体中冯·诺依曼方程的可观测性不等式

作者: Thomas Borsoni, Virginie Ehrlacher

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2025-12-11

arXiv ID: 2512.10897v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.10897v1

摘要: We provide a quantitative observability inequality for the von Neumann equation on $\mathbb{R}^d$ in the crystal setting, uniform in small $\hbar$. Following the method of Golse and Paul (2022) proving this result in the non-crystal setting, the method relies on a stability argument between the quantum (von Neumann) and classical (Liouville) dynamics and uses an optimal transport-like pseudo-distance between quantum and classical densities. Our contribution yields in the adaptation of all the required tools to the periodic setting, relying on the Bloch decomposition, notions of periodic Schrödinger coherent state, periodic Töplitz operator and periodic Husimi densities.

16. Spectral Theory of the Weighted Fourier Transform with respect to a Function in $\mathbb{R}^n$: Uncertainty Principle and Diffusion-Wave Applications

关于 $\mathbb{R}^n$ 中函数的加权傅里叶变换的谱理论：不确定性原理及扩散-波动应用

作者: Gustavo Dorrego, Luciano Luque

类别: math.CA, math-ph, math.AP, math.FA

发布日期: 2025-12-11

arXiv ID: 2512.10880v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.10880v1

摘要: In this paper, we generalize the weighted Fourier transform with respect to a function, originally proposed for the one-dimensional case in \cite{Dorrego}, to the $n$-dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^{n}$. We develop a comprehensive spectral theory on a weighted Hilbert space, establishing the Plancherel identity, the inversion formula, the convolution theorem, and a Heisenberg-type uncertainty principle depending on the geometric deformation. Furthermore, we utilize this framework to rigorously define the weighted fractional Laplacian with respect to a function, denoted by $(-Δ_{φ,ω})^{s}$. Finally, we apply these tools to solve the generalized time-space fractional diffusion-wave equation, demonstrating that the fundamental solution can be expressed in terms of the Fox H-function, intrinsically related to the generalized $ω$-Mellin transform introduced in \cite{Dorrego}. In this paper, we generalize the weighted Fourier transform with respect to a function, originally proposed for the one-dimensional case, to the n-dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^n$. We develop a comprehensive spectral theory on a weighted Hilbert space, establishing the Plancherel identity, the inversion formula, the convolution theorem, and a Heisenberg-type uncertainty principle depending on the geometric deformation. Furthermore, we utilize this framework to rigorously define the weighted fractional Laplacian with respect to a function, denoted by $(-Δ_{φ,ω})^s$. Finally, we apply these tools to solve the generalized time-space fractional diffusion-wave equation involving the weighted Hilfer derivative. We demonstrate that the fundamental solution can be explicitly expressed in terms of the Fox H-function, revealing an intrinsic connection with the generalized Mellin transform.