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1. 薄层多孔介质中Navier-Stokes系统的精确压力估计

Sharp pressure estimates for the Navier-Stokes system in thin porous media

作者: María Anguiano, Francisco J. Suárez-Grau

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17826v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17826v1

详细分析

中文标题: 薄层多孔介质中Navier-Stokes系统的精确压力估计

研究对象和背景

本文研究的是在薄层多孔介质（Thin Porous Media, TPM）中由Navier-Stokes系统描述的不可压缩Newtonian流体的渐近行为，特别关注压力项的精确估计及其对低维Darcy定律有效性范围的影响。这类问题在工程与物理中有重要应用，如微流控、过滤技术、生物组织中的物质传输等。

考虑的空间域 $\Omega_\epsilon$ 是一个厚度为 $\epsilon \ll 1$ 的三维区域，其底面是二维有界光滑区域 $\omega \subset \mathbb{R}^2$，即：

$$ \Omega_\epsilon = \{(x', x_3) \in \omega \times \mathbb{R} : 0 < x_3 < \epsilon\}, $$

其中 $x' = (x_1, x_2)$ 表示水平坐标。该区域内被周期性排列的圆柱形障碍物穿孔，这些障碍物的直径和周期均为 $\epsilon^\delta$，$\delta > 0$。记所有固体部分为 $S_\epsilon$，则流体区域定义为：

$$ \Omega_\epsilon = (\omega_\epsilon \times (0,\epsilon)) \setminus S_\epsilon, $$

其中 $\omega_\epsilon$ 是 $\omega$ 中去掉所有与障碍物相交的部分后的集合。

根据 $\delta$ 的不同取值，作者将薄层多孔介质分为三类：

  • 均质薄层多孔介质（Homogeneously Thin Porous Media, HTPM）：当 $\delta > 1$，此时障碍物尺寸远小于厚度 $\epsilon$；
  • 比例型薄层多孔介质（Proportionally Thin Porous Media, PTPM）：当 $\delta = 1$，障碍物大小与厚度同阶；
  • 极薄多孔介质（Very Thin Porous Media, VTPM）：当 $0 < \delta < 1$，障碍物尺寸远大于厚度。

这三种情形对应不同的尺度关系，导致在 $\epsilon \to 0$ 的极限下出现不同的有效方程。

流体运动由以下非线性Navier-Stokes系统控制：

$$ \begin{cases} -\eta \epsilon^\gamma \Delta v_\epsilon + \nabla p_\epsilon + (v_\epsilon \cdot \nabla)v_\epsilon = f & \text{in } \Omega_\epsilon, \\ \mathrm{div}\, v_\epsilon = 0 & \text{in } \Omega_\epsilon, \\ v_\epsilon = 0 & \text{on } \partial \Omega_\epsilon, \end{cases} \tag{1} $$

其中 $v_\epsilon$ 是速度场，$p_\epsilon$ 是压力，$\eta > 0$ 是粘度系数，外力项 $f(x) = (f'(x'), 0)$ 仅作用于水平方向且 $f' \in L^2(\omega)^2$。这里的关键参数是 $\gamma \in \mathbb{R}$，它通过 $\mathrm{Re}_\epsilon = \epsilon^{-\gamma}$ 控制雷诺数（Reynolds number）随 $\epsilon$ 变化的速率。

传统上，在雷诺数为常数（即 $\gamma = 0$）的情况下，已知当 $\epsilon \to 0$ 时，上述系统的解会收敛到某种形式的二维Darcy定律，这是一种线性渗流模型，忽略惯性效应。然而，随着流速增大（即雷诺数增加），惯性项 $(v_\epsilon \cdot \nabla)v_\epsilon$ 不再可忽略，Darcy定律失效，进入所谓的“后达西”（post-Darcy）流动区。

因此，本文提出的核心科学问题是：对于每一类TPM，存在怎样的临界雷诺数 $\mathrm{Re}_c = \epsilon^{-\gamma_c}$，使得当 $\mathrm{Re} \leq \mathrm{Re}_c$ 时，Darcy定律仍然有效？

为了分析这一问题，作者引入变量伸缩变换 $z_3 = x_3 / \epsilon$，将原问题映射到固定高度的参考域 $\widetilde{\Omega}_\epsilon = \omega_\epsilon \times (0,1)$ 上，并定义缩放后的未知函数：

$$ \tilde{v}_\epsilon(x', z_3) = v_\epsilon(x', \epsilon z_3), \quad \tilde{p}_\epsilon(x', z_3) = p_\epsilon(x', \epsilon z_3). $$

相应地，系统(1)变为所谓的“伸缩Navier-Stokes系统”：

$$ \begin{cases} -\eta \epsilon^\gamma \Delta_\epsilon \tilde{v}_\epsilon + \nabla_\epsilon \tilde{p}_\epsilon + (\tilde{v}_\epsilon \cdot \nabla_\epsilon)\tilde{v}_\epsilon = f & \text{in } \widetilde{\Omega}_\epsilon, \\ \mathrm{div}_\epsilon\, \tilde{v}_\epsilon = 0 & \text{in } \widetilde{\Omega}_\epsilon, \\ \tilde{v}_\epsilon = 0 & \text{on } \partial \widetilde{\Omega}_\epsilon, \end{cases} \tag{7} $$

其中微分算子包含各向异性尺度：

$$ \Delta_\epsilon = \Delta_{x'} + \epsilon^{-2} \partial_{z_3}^2, \quad \nabla_\epsilon = (\nabla_{x'}, \epsilon^{-1} \partial_{z_3})^t, \quad \mathrm{div}_\epsilon = \mathrm{div}_{x'} + \epsilon^{-1} \partial_{z_3}. $$

值得注意的是，整个分析是在带孔洞的非凸、振荡边界的区域上进行的，且边界条件为Dirichlet零边界条件（无滑移）。函数空间方面，弱解通常属于 $H^1_0(\widetilde{\Omega}_\epsilon)^3 \times L^2_0(\widetilde{\Omega}_\epsilon)$，但由于区域随 $\epsilon$ 振荡，标准紧性方法难以直接应用，必须借助均匀化理论中的工具，尤其是展开法（unfolding method）或对偶延拓技术来处理压力的奇异性。

此外，由于惯性项的存在，非线性耦合带来了额外困难：必须证明该项在极限过程中消失，才能恢复线性Darcy律。这就要求对速度和压力进行比 $L^2$ 更强的估计，尤其是在 Sobolev 空间中的控制。

主要定理或主要结果

定理 3.1 （精确压力估计）

设 $(\tilde{v}_\epsilon, \tilde{p}_\epsilon)$ 是系统 (7) 的任意弱解，令 $C(\delta)$ 定义如下：

$$ C(\delta) = \begin{cases} \frac{3\delta}{2}, & \gamma \leq \frac{3\delta}{4}, \\ \frac{3\delta}{2\gamma}, & \frac{3\delta}{4} < \gamma \leq \delta. \end{cases} \tag{8} $$

(i) 在 HTPM 情形 ($\delta > 1$, $\gamma \leq \delta$)：存在压力 $\tilde{p}_\epsilon$ 在 $\widetilde{\Omega}_\epsilon$ 上的一个延拓 $P_\epsilon \in L^{C(\delta)}(\Omega)$，满足：

$$ \|P_\epsilon\|_{L^{C(\delta)}(\Omega)} \leq C, \quad \|\nabla_\epsilon P_\epsilon\|_{W^{-1,C(\delta)}(\Omega)^3} \leq C, $$

其中常数 $C$ 与 $\epsilon$ 无关。

(ii) 在 PTPM 情形 ($\delta = 1$, $\gamma \leq 1$)：存在延拓 $P_\epsilon \in L^{C(1)}(\Omega)$，使得：

$$ \|P_\epsilon\|_{L^{C(1)}(\Omega)} \leq C, \quad \|\nabla_\epsilon P_\epsilon\|_{W^{-1,C(1)}(\Omega)^3} \leq C. $$

(iii) 在 VTPM 情形 ($0 < \delta < 1$, $\gamma \leq 1$)：同样存在延拓 $P_\epsilon \in L^{C(1)}(\Omega)$，满足相同估计。

这一定理表明，通过对惯性项使用精细插值估计，可以获得比经典 $L^2$ 延拓更强的压力正则性，从而扩大 Darcy 律有效的参数范围。

定理 4.1–4.3 （每类TPM下的Darcy定律）

在各自适用范围内，平均速度 $\tilde{V}(x') = \int_0^1 \tilde{v}(x', z_3)\,dz_3$ 和极限压力 $\tilde{P}(x')$ 满足如下二维线性Darcy系统：

$$ \begin{aligned} \tilde{V}'(x') &= K \left(f'(x') - \nabla_{x'} \tilde{P}(x')\right), \\ \mathrm{div}_{x'} \tilde{V}'(x') &= 0 \quad \text{in } \omega, \\ \tilde{V}' \cdot n &= 0 \quad \text{on } \partial\omega, \end{aligned} \tag{12,15,18} $$

其中渗透张量 $K$ 依赖于 $\delta$：

  • HTPM: $K_H$ 来自二维Stokes局部问题；
  • PTPM: $K_P$ 来自三维Stokes局部问题；
  • VTPM: $K_V$ 来自Hele-Shaw（二维润滑）局部问题。

并且对应的缩放收敛为：

  • HTPM: $\epsilon^{\gamma - 2\delta} \tilde{v}_\epsilon \rightharpoonup \tilde{v}$ in $L^2(\Omega)^3$,
  • PTPM/VTPM: $\epsilon^{\gamma - 2} \tilde{v}_\epsilon \rightharpoonup \tilde{v}$ in $H^1(0,1;L^2(\omega)^3)$, 而压力延拓 $P_\epsilon \to \tilde{P}$ in $L^{C(\delta)}(\Omega)$。

关键结论是：只要 $\gamma \leq \gamma_c$，就有：

  • HTPM: $\gamma_c = \delta$
  • PTPM/VTPM: $\gamma_c = 1$

即当 $\mathrm{Re} \lesssim \epsilon^{-\gamma_c}$ 时，Darcy律成立；超过此阈值，惯性效应显著，模型需修正。

研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析工具

  1. 伸缩变换与各向异性估计
    通过 $z_3 = x_3/\epsilon$ 将变厚区域转换为固定高度区域 $\widetilde{\Omega}_\epsilon$，使得经典均匀化方法可用。但由此引入了各向异性微分算子 $\nabla_\epsilon, \Delta_\epsilon$，导致能量估计具有方向依赖性。例如，垂直导数放大 $\epsilon^{-1}$ 倍，需谨慎处理。

  2. Poincaré不等式（引理5.1）
    针对不同 $\delta$ 值建立最优Poincaré型不等式：

    • HTPM ($\delta > 1$): $\|\phi\|_{L^2} \leq C \epsilon^\delta \|D_\epsilon \phi\|_{L^2}$
    • 其他情形: $\|\phi\|_{L^2} \leq C \epsilon \|D_\epsilon \phi\|_{L^2}$

    这些不等式反映了障碍物密度对速度衰减的影响，是后续速度估计的基础。

  3. 速度估计（引理5.2）
    利用能量法结合Poincaré不等式，得到：

    • HTPM: $\|\tilde{v}_\epsilon\|_{L^2} \leq C \epsilon^{2\delta - \gamma}, \quad \|D_\epsilon \tilde{v}_\epsilon\|_{L^2} \leq C \epsilon^{\delta - \gamma}$
    • PTPM/VTPM: $\|\tilde{v}_\epsilon\|_{L^2} \leq C \epsilon^{2 - \gamma}, \quad \|D_\epsilon \tilde{v}_\epsilon\|_{L^2} \leq C \epsilon^{1 - \gamma}$

    显示速度随 $\epsilon$ 快速衰减，尤其在高 $\delta$ 或大 $\gamma$ 下更明显。

  4. 压力延拓技术（对偶法）
    关键难点在于压力只在流体区域定义，不能直接取弱极限。作者采用 Anguiano & Suárez-Grau [10] 提出的限制算子 $R_{\epsilon,r}$，从 $W^{1,r}_0(\Omega)^3$ 映射到 $W^{1,r}_0(\widetilde{\Omega}_\epsilon)^3$，满足：

    $$ \mathrm{div}\, R_{\epsilon,r}(\phi) = 0 \quad \text{if } \mathrm{div}\, \phi = 0, $$

    并具有一致估计（如 HTPM 情形）：

    $$ \|R_{\epsilon,r}(\phi)\|_{L^r} + \epsilon^\delta \|D R_{\epsilon,r}(\phi)\|_{L^r} \leq C (\|\phi\|_{L^r} + \epsilon^\delta \|D\phi\|_{L^r}) $$

    利用该算子，通过对偶配对定义整体压力梯度：

    $$ \langle \nabla P_\epsilon, \phi \rangle = \langle \nabla p_\epsilon, R_{\epsilon,r}(\phi) \rangle, $$

    再由De Rham定理获得 $P_\epsilon \in L^{C(\delta)}_0(\Omega)$，其中 $C(\delta)$ 是 $r$ 的共轭指数。

b) 关键技术突破：精确估计惯性项

惯性项能否消失取决于是否能证明：

$$ \left| \int_{\widetilde{\Omega}_\epsilon} (\tilde{v}_\epsilon \cdot \nabla_\epsilon)\tilde{v}_\epsilon \cdot R_{\epsilon,r}(\phi) \right| \leq C \epsilon^\alpha \|\phi\|_{W^{1,r}}, \quad \alpha \geq 0. $$

若仅用Hölder不等式和$L^2$估计，只能得 $\alpha = 3\delta/4 - \gamma$（HTPM），要求 $\gamma \leq 3\delta/4$ 才能保证 $\alpha \geq 0$。

但作者使用高级插值技巧，结合速度的 $L^2$ 与 $H^1$ 估计，利用Gagliardo-Nirenberg型不等式改进对 $(\tilde{v}_\epsilon \cdot \nabla_\epsilon)\tilde{v}_\epsilon$ 的控制，最终得出：

  • 当 $\gamma \leq \delta$（HTPM）或 $\gamma \leq 1$（其他），惯性项趋于零。

这是首次在理论上给出TPM中Darcy律的有效雷诺数上限，且范围比以往估计更宽。

与之前工作的比较

a) 理论突破与改进

本文的主要创新在于首次系统性地给出了三类薄层多孔介质中Darcy律成立的临界雷诺数，并提供了严格的数学证明。

此前工作如 Fabricius et al. [24], Anguiano & Suárez-Grau [10,13] 均假设雷诺数为 $O(1)$（即 $\gamma = 0$），仅得出Darcy律成立，但未回答“何时失效”。

Bourgeat & Mikelić [20] 对普通多孔介质（特征长度 $\epsilon$）得到临界雷诺数 $\mathrm{Re}_c \sim \epsilon^{-3/2}$，即 $\gamma_c = 3/2$。

Boughanim & Tapiero [19] 对薄板（无内部结构）也得 $\gamma_c = 3/2$。

而本文考虑的是兼具“薄”与“多孔”的复合结构，更具现实意义。结果显示：

结构类型本文结果 $\gamma_c$经典估计（若不用尖锐估计）
HTPM$\delta$$3\delta/4$
PTPM13/4
VTPM13/4

可见，通过尖锐估计，允许的雷诺数范围显著扩大（例如当 $\delta=2$，从 $\epsilon^{-1.5}$ 提升至 $\epsilon^{-2}$）。

b) 技术层面的超越

  • 放宽了对惯性项的压制条件：不再依赖粗糙的能量估计，而是通过精细的非线性项控制，使结论更接近物理实际。
  • 统一框架处理三类尺度：展示了如何根据几何参数 $\delta$ 自适应选择估计策略。
  • 强调压力延拓的空间正则性：不仅延拓到整体区域，而且在 $L^p$ with $p>1$ 中一致有界，这对后续误差估计至关重要。

综上，本文填补了理论空白，为设计高效数值模拟和工程建模提供了明确判据：在何种流速下可以安全使用Darcy模型。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 具有非零边界条件的肋状表面上微极流体流动的广义雷诺方程

A generalized Reynolds equation for micropolar flows past a ribbed surface with nonzero boundary conditions

作者: Matthieu Bonnivard, Igor Pažanin, Francisco J. Suárez-Grau

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17837v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17837v1

摘要翻译

中文标题: 具有非零边界条件的肋状表面上微极流体流动的广义雷诺方程

摘要翻译: 受润滑理论框架的启发，本文研究了一类通过粗糙薄层区域的微极流体流动，其中区域厚度被视为小参数 $\varepsilon$，而底部的粗糙结构由周期为 $\varepsilon^{\ell}$、振幅为 $\varepsilon^{\delta}$ 的周期函数刻画，且满足 $\delta > \ell > 1$。在底部粗糙面上施加非零边界条件的前提下，借助一种展开方法（unfolding method）的变体，我们识别出一个临界情形 $\delta = {3\over 2}\ell - {1\over 2}$，并由此得到了三个宏观模型，这些模型耦合了底部粗糙性与非零边界条件的影响。在各种情况下，我们都给出了相应的微极型雷诺方程。进一步地，我们将所得结果应用于一类由微极流体润滑的挤压膜轴承模型的数值研究。模拟结果揭示了粗糙形貌与非零边界条件共同作用对轴承性能的影响，并表明引入粗糙几何结构可能有助于提升装置的力学性能。

2. 粗糙界面对热微极流体在薄域中流动的影响

Roughness-induced effects on the thermomicropolar fluid flow through a thin domain

作者: Igor Pažanin, Francisco J. Suárez-Grau

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17829v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17829v1

摘要翻译

中文标题: 粗糙界面对热微极流体在薄域中流动的影响

摘要翻译: 本文研究了热微极流体在具有粗糙边界的薄通道中流动的渐近行为。流动由通道两端给定的压力差驱动，且允许通过粗糙壁面进行热量交换。根据通道厚度与粗糙特征波长之比的不同极限情况，我们严格推导出若干不同的渐近模型，清晰揭示了边界粗糙性对平均速度和微旋转效应的影响。为此，我们采用了针对薄域情形改进的展开方法（unfolding method）。

3. Mathematical Modeling of Biofilm Eradication Using Optimal Control

作者: Rehan Akber, Adnan Khan

类别: q-bio.PE, math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17825v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17825v1

摘要翻译

翻译出错: AI API调用失败 (qwen): You have exceeded your current request limit. For details, see: https://help.aliyun.com/zh/model-studio/error-code#rate-limit

4. On the classification of capillary graphs in Euclidean and non-Euclidean spaces

作者: Giulio Colombo, Alberto Farina, Marco Magliaro, Luciano Mari, Marco Rigoli

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17813v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17813v1

摘要翻译

翻译出错: AI API调用失败 (qwen): You have exceeded your current request limit. For details, see: https://help.aliyun.com/zh/model-studio/error-code#rate-limit

5. 一个关于测度-$L^\infty$的散度-旋度引理

A measure-$L^\infty$ div-curl lemma

作者: Valeria Banica, Nicolas Burq

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17798v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17798v1

摘要翻译

中文标题: 一个关于测度-$L^\infty$的散度-旋度引理

摘要翻译: 在本文中，我们给出了在极限共轭情形 $\mathcal{M}-L^\infty$ 下散度-旋度引理的一个非常简短的证明，其中 $\mathcal{M}$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 上的Radon测度空间。该证明沿用经典方法，通过非唯一的微局域Hodge分解，在分布意义下定义乘积而完成。该结果不仅适用于 $\mathcal{M}-L^\infty$，还可推广至许多其他函数空间，包括经典的 $L^p-L^{p'}$ 散度-旋度引理情形（其中 $1<p<\infty$），以及具有非共轭正则性的函数空间。

6. 临界指数下Keller-Segel系统的Li-Yau与Aronson-Bénilan方法

A Li-Yau and Aronson-Bénilan approach for the Keller-Segel system with critical exponent

作者: Charles Elbar, Alejandro Fernández-Jiménez, Filippo Santambrogio

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17772v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17772v1

摘要翻译

中文标题: 临界指数下Keller-Segel系统的Li-Yau与Aronson-Bénilan方法

摘要翻译: 我们证明了具有临界指数 $m=2-\frac{2}{d}$ 的抛物-椭圆型Keller-Segel系统满足Li-Yau型和Aronson-Bénilan型估计，即在任意空间维数下，对某种适当定义的压力的拉普拉斯算子建立了下界估计。我们进一步证明，这些估计可导出密度函数的 $L^{\infty}$ 估计，该估计依赖于初始质量，且适用于维度 $d \in \{2, 3\}$ 下直至临界质量的情形。基于上述结果，我们得出光滑解整体存在的两个情形：其一，当初值仅为一个测度但其质量足够小时；其二，当初值的自由能量有界，且总质量处于次临界或临界状态时。本文论证的关键在于对模型中出现的Liouville方程与Lane-Emden方程的次解进行细致分析。

7. 具边界区域上多维热弹性问题中正则解的存在性、唯一性及时间渐近行为

Existence, uniqueness, and time-asymptotics of regular solutions in multidimensional thermoelasticity on domains with boundary

作者: Piotr Michał Bies

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17767v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17767v1

摘要翻译

中文标题: 具边界区域上多维热弹性问题中正则解的存在性、唯一性及时间渐近行为

摘要翻译: 本文研究了在二维和三维凸且有界区域上的非线性热弹性模型。我们为位移提出了新的边界条件，这些条件在热弹性理论中并不常见；而对于温度，则采用诺伊曼（Neumann）边界条件。我们证明了当初始数据较小时，全局唯一解的存在性，并证明了温度的正性。接着，我们研究了解的长时间行为：结果表明，位移的无散部分会发生振荡；而另一方面，位移的势部分与温度之间存在强耦合关系，其中无旋部分受到热传播的显著影响，并随着 $x$ 趋于无穷时趋于零。此外，温度收敛到一个常数函数。

我们的方法基于从 {\sc Bies, P. M., Cieślak, T., Fuest, M., Lankeit, J., Muha, B., and Trifunović, S.} 的工作 \emph{Existence, uniqueness, and long-time asymptotic behavior of regular solutions in multidimensional thermoelasticity}, arXiv: 2507.20794, 2025 中引入的泛函 $\F$。该泛函结合了费希尔（Fisher）信息以及位移的高阶导数，能够很好地适应所提出的新边界条件，从而使我们得以闭合先验估计。在此过程中，我们还需对温度建立 $L^{\infty}$ 估计，这通过Moser迭代方法得以实现。

我们对位移应用了亥姆霍兹（Helmholtz）分解，此时边界条件起到关键作用：在计算过程中出现的边界积分项恰因这些条件而消失，从而使得我们可以将原问题分解为两个相互独立的子问题，每个子问题分别对应于亥姆霍兹分解中的一个分量部分。

8. 噪声导致的奇异随机偏微分方程的路径唯一性

Pathwise uniqueness by noise for singular stochastic PDEs

作者: Davide Addona, Davide Bignamini, Carlo Orrieri, Luca Scarpa

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17736v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17736v1

摘要翻译

中文标题: 噪声导致的奇异随机偏微分方程的路径唯一性

摘要翻译: 在关于噪声正则化效应的近期研究中，具有微分形式漂移项的随机偏微分方程的路径唯一性是一个主要的公开问题。本文在可分希尔伯特空间上的随机演化方程框架下建立了一个自洽的理论体系，并提供了首个用于处理该问题的结果。由于漂移项的奇异性，本文结果为若干类模型首次实现了新颖的唯一性结论，这些模型涵盖从流体动力学至相分离系统的多个领域。

9. 通过数值实验研究带约束随机Allen-Cahn方程的TPFA格式

Study of a TPFA scheme for the stochastic Allen-Cahn equation with constraint though numerical experiments

作者: Niklas Sapountzoglou, Aleksandra Zimmermann

类别: math.NA, math.AP, math.PR

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17712v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17712v1

摘要翻译

中文标题: 通过数值实验研究带约束随机Allen-Cahn方程的TPFA格式

摘要翻译: 本文针对一类有限体积格式进行了数值实验，该格式用于逼近具有齐次诺伊曼边界条件的带约束随机Allen-Cahn方程。逼近过程通过次微分算子的Yosida逼近实现。问题定义在二维或三维的多边形有界区域上。由于投影项具有非线性特性，该格式的实现面临挑战。为此，我们提出了一种针对该有限体积格式的分裂方法，并验证了该分裂方法具有较高的精度。计算误差估计结果表明，在噪声项足够小的情况下，关于时间的平方 $L^2$-误差收敛阶为1；当噪声项较大时，时间方向的收敛阶可能有所下降。

10. 基于特征值下界的相对套利问题

Relative arbitrage problem under eigenvalue lower bounds

作者: Jou-Hua Lai, Mykhaylo Shkolnikov, H. Mete Soner

类别: q-fin.MF, math.AP, math.DG, math.OC, math.PR

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17702v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17702v1

摘要翻译

中文标题: 基于特征值下界的相对套利问题

摘要翻译: 我们对随机投资组合理论中的相对套利问题提出了一个新的表述，该问题寻求一个时间 horizon，在此之后，在所有“足够波动”的市场中均存在相对于市场的套利机会。在我们的框架中，“足够波动”被解释为瞬时协变矩阵的某个有序特征值具有下界，这一量在实证金融文献中已被广泛研究。通过将该问题置于随机最优控制的语言框架下，我们刻画了所关注的时间 horizon，并将其表征为一个完全非线性椭圆型偏微分方程（PDE）的唯一上半连续粘性解。在一种特殊情形下，该偏微分方程退化为Ambrosio-Soner余维平均曲率流的到达时间形式。除了随机投资组合理论的背景之外，得益于对瞬时协变矩阵施加的有界性假设，该随机最优控制问题还可针对任意紧致、可能非凸的区域进行分析。

11. 主动布朗粒子模型的稳定性分析

Stability analysis for active Brownian particle models

作者: Michele Coti Zelati, Lucas Ertzbischoff, David Gerard-Varet

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17649v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17649v1

摘要翻译

中文标题: 主动布朗粒子模型的稳定性分析

摘要翻译: 本文对主动布朗粒子系统在恒定均匀态附近的线性稳定性进行了全面分析。这类标量模型作为活性物质连续描述的重要原型，是位置-取向空间中的Fokker-Planck型方程，已知可产生运动诱导的相分离现象。我们完整刻画了系统的线性稳定与不稳定区域，并给出了明确的临界阈值，该阈值显式依赖于粒子的有效速度。由此，我们从数学上严格证实了物理学及应用科学文献中关于此类相分离现象的一个长期猜想。所得到的精确且定量的（非）稳定性结果，既适用于无扩散情形，也适用于小角扩散情形。在稳定的无扩散区域，我们发现了一种类似于Vlasov方程中朗道阻尼的混合机制，但其衰减速率显著更弱。这种衰减在时间上是非可积的，导致严重的数学困难；特别是，它阻碍了使用经典的微扰方法来处理小角扩散的情形。

12. 云层高度大气行波的分类

Classification of atmospheric traveling waves at cloud level

作者: Adrian Constantin, Zhiwu Lin, Hao Zhu

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17627v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17627v1

摘要翻译

中文标题: 云层高度大气行波的分类

摘要翻译: 本文在准地转框架下，依据波速对行星大气云层高度上纬向带内所有类型的行波进行分类。该分类适用于任意振幅的波，突破了小振幅微扰范畴的限制。它提供了一个结构上稳健的判据，用于确定哪些行波形态在动力学上是可能实现的；我们证明了每一类行波均已在木星或土星上被观测到。基于此分类，我们进一步研究了大振幅行波以及在切变流附近传播的行波所涉及的动力学刚性问题。本研究为行星大气流动在准地转 regime 下行波所受的内在约束提供了统一的定量刻画。

13. 量子-经典对应成立的阈值为 $D \sim \hbar^{\frac{4}{3}}$

The threshold for quantum-classical correspondence is $D \sim \hbar^{\frac43}$

作者: Felipe Hernández, Daniel Ranard, C. Jess Riedel

类别: quant-ph, math-ph, math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17623v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17623v1

摘要翻译

中文标题: 量子-经典对应成立的阈值为 $D \sim \hbar^{\frac{4}{3}}$

摘要翻译: 在混沌量子系统中，即使在 $\hbar \to 0$ 的极限下，一个初始局域化的量子态在超过埃伦费斯时间 $t_{\mathrm{E}} \sim \log(\hbar^{-1})$ 后，仍可能显著偏离相应的经典相空间分布。环境引起的退相干常被用来解释在更长时间尺度上量子与经典行为之间对应关系的持续存在。最近关于具有相空间扩散强度 $D$ 的林德布拉德动力学的严格结果表明，只要 $D \gg \hbar^{\frac{4}{3}}$（以经典哈密顿量所设定的单位），量子与经典的演化在远超埃伦费斯时间的指数长时间内仍能保持相近。与此同时，一些启发性论证却提出较弱的条件 $D \gg \hbar^{2}$ 始终已足够。本文构造了一个具体的林德布拉迪安模型，证明了在埃伦费斯时间之后，量子-经典对应的真正阈值确实是 $D \sim \hbar^{\frac{4}{3}}$。我们的例子采用光滑的时间依赖哈密顿量以及产生均匀各向同性扩散的线性林德布拉德算符，并且当 $D \ll \hbar^{\frac{4}{3}}$ 时，在埃伦费斯时间处会出现与 $\hbar$ 无关的量子-经典偏差，即使针对的是与 $\hbar$ 无关的“宏观”光滑观测量亦是如此。

14. 通过零滑移极限得到的薄膜方程解

Solutions of the thin film equation obtained in the limit of vanishing slip

作者: Hans Knuepfer, Juan Velazquez

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17463v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17463v1

摘要翻译

中文标题: 通过零滑移极限得到的薄膜方程解

摘要翻译: 我们分析了在液体-固体界面具有不同滑移条件的情况下，薄液滴在润滑近似下的演化行为。受经典“无滑移悖论”的启发——该悖论指出，Navier-Stokes方程结合无滑移边界条件会导致液滴铺展过程中出现非物理的无限耗散——我们重点研究滑移趋于零的极限情形。我们证明，在无滑移极限下，会趋近于三种本质不同的解类，每一类对应于微观接触角随正则化参数趋于零时的不同尺度律。这些结果表明，若将无滑移的薄膜方程理解为具有正则化滑移条件模型的渐近极限，则该方程支持一族丰富的物理上可接受的解。尽管其中某些解所对应的表观接触角较大，似乎与润滑近似不相容，但更精细的分析表明，其内在的物理变量仍与润滑近似的假设保持一致。

15. 关于具有多项式体积增长的黎曼模型上的次临界Lane-Emden方程

On the subcritical Lane-Emden equation on Riemannian models with polynomial volume growth

作者: Alessandra De Luca, Matteo Muratori, Nicola Soave

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17428v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17428v1

摘要翻译

中文标题: 关于具有多项式体积增长的黎曼模型上的次临界Lane-Emden方程

摘要翻译: 本文研究在某些具有渐近负曲率的黎曼流形（主要是模型流形）上Sobolev-次临界Lane-Emden方程正解的存在性与非存在性问题。从测地球体积增长的角度来看，这些流形可被视为介于欧几里得空间与双曲空间之间的中间情形。
在此过程中出现了若干有趣的现象：次临界区域自然地进一步划分为三个区间，分别表现为存在性现象（弱次临界）、非存在性现象（强次临界），以及一种混合行为——在此区间内解的存在与否强烈依赖于流形的额外假设（中间情形）。在中间情形下，我们进一步证明，在测地球上的径向齐次Dirichlet问题可能具有多个正解，从而揭示了该情形与欧几里得空间及双曲空间情形之间在本质上的显著差异。

16. 具有球形阴极发射的高压电离气体

High-Voltage Ionized Gas with Spherical Cathode Emission

作者: Walter A. Strauss, Masahiro Suzuki

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17159v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17159v1

摘要翻译

中文标题: 具有球形阴极发射的高压电离气体

摘要翻译: 本文研究由高电压差产生的等离子体，该现象称为汤森德气体放电。等离子体被限制在两个同心球面之间的区域，其中一个球面为阴极，另一个为阳极。等离子体内部通过碰撞产生离子-电子对，而额外的电子则由离子与阴极碰撞后释放进入等离子体。我们在一定条件下证明，存在大量呈现气体放电现象的稳态解，这些解始于某一“击穿”电压。事实上，这些稳态构成一个解析的单参数族，该参数族将未电离气体连续连接到具有任意高度电离或任意高电势的等离子体状态；或者，该参数族终止于某一“反击穿”电压。

17. The Vicsek-Kuramoto model in collective dynamics: macroscopic equations and pattern formation

作者: Sara Merino-Aceituno, Carmela Moschella

类别: math-ph, math.AP, nlin.AO

发布日期: 2025-12-18

arXiv ID: 2512.17035v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17035v1

摘要翻译

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18. 关于与某一锥体相关的一些变换

On Some Transformations Associated to a Certain Cone

作者: Vladimir Vasilyev, Denis Tokarev

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2025-12-18

arXiv ID: 2512.16840v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.16840v1

摘要翻译

中文标题: 关于与某一锥体相关的一些变换

摘要翻译: 在四面锥上，研究了Sobolev–Slobodetskii空间中的一类椭圆型拟微分方程。计算了该锥体的Bochner核，并在对符号施加一定限制的条件下，给出了所考虑方程唯一解的显式表达式。进一步考虑了一类带有附加积分条件的边值问题，并证明了该边值问题的唯一可解性。

不相关论文（基本信息）

1. 零模方程的共形不变量

Conformal invariants for the zero mode equation

作者: Guofang Wang, Mingwei Zhang

类别: math.DG, math-ph, math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17854v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17854v1

摘要: For non-trivial solutions to the zero mode equation on a closed spin manifold

$$ D \varphi=iA\cdot \varphi, $$

we first provide a simple proof for the sharp inequality \eq{ \norm{A}_{L^n}^2 \ge \frac {n}{4(n-1)} Y(M,[g]), } where $Y(M,[g])$ is the Yamabe constant of $(M,g)$, which was obtained by Frank-Loss and Reuss. Then we classify completely the equality case by proving that equality holds if and only if $\varphi$ is a Killing spinor, and if and only if $(M,g)$ is a Sasaki-Einstein manifold with $A$ (up to scaling) as its Reeb field and $\varphi$ a vacuum up to a conformal transformation. More generalizations have been also studied.

2. 从含时变外电磁场的狄拉克方程到相对论性Vlasov方程的半经典极限

The Semi-Classical Limit from the Dirac Equation with Time-Dependent External Electromagnetic Field to Relativistic Vlasov Equations

作者: François Golse, Nikolai Leopold, Norbert J. Mauser, Jakob Möller, Chiara Saffirio

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17849v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17849v1

摘要: We prove the mathematically rigorous (semi-)classical limit $\hbar \to 0$ of the Dirac equation with time-dependent external electromagnetic field to relativistic Vlasov equations with Lorentz force for electrons and positrons. In this limit antimatter and spin remain as intrinsically relativistic effects on a classical level. Our global-in-time results use Wigner transforms and a Lagrange multiplier viewpoint of the matrix-valued Wigner equation. In particular, we pass to the limit in the ‘‘full" Wigner matrix equation without projecting on the eigenspaces of the matrix-valued symbol of the Dirac operator. In the limit, the Lagrange multiplier maintains the constraint that the Wigner measure and the symbol of the Dirac operator commute and vanishes when projected on the electron or positron eigenspace. This is a different approach to the problem as discussed in [P. Gérard, P. Markowich, N.J. Mauser, F. Poupaud: Comm. Pure Appl. Math. 50(4):323–379, 1997], where the limit is taken in the projected Wigner equation. By explicit calculation of the remainder term in the expansion of the Moyal product we are able to generalize to time-dependent potentials with much less regularity. We use uniform $L^2$ bounds for the Wigner transform, which are only possible for a special class of mixed states as initial data.

3. Landau-Lifshitz-Bloch方程的时间最优控制问题

Time Optimal Control Problem for the Landau-Lifshitz-Bloch equation

作者: Sidhartha Patnaik, Kumarasamy Sakthivel

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17839v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17839v1

摘要: This paper investigates the time-optimal control problem for the Landau-Lifshitz-Bloch (LLB) equation, a macroscopic model that characterizes magnetization dynamics in ferromagnetic materials across a wide temperature range, including near and above the Curie temperature. We analyze the LLB system on bounded domains in one, two, and three dimensions, establishing the existence of optimal controls that drive the magnetization to a desired target state within a minimal time frame. Utilizing a Lagrange multiplier approach and an adjoint-based framework, we derive first-order necessary optimality conditions. Furthermore, we establish second-order sufficient conditions for local optimality, addressing the mathematical challenges posed by the system’s inherent nonlinearities and the nonlinear appearance of the control in the effective magnetic field. These results provide a rigorous theoretical basis for the rapid manipulation of magnetic states, offering insights into the fundamental limits of control for nonlinear diffusion-relaxation processes in magnetism. Such findings are essential for advancing high-speed magnetic memory technologies and optimizing thermal magnetic switching in next-generation storage technologies.

4. Trapped modes in electromagnetic waveguides

作者: Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnel, Sonia Fliss

类别: math.AP, math.SP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17763v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17763v1

摘要: We consider the Maxwell’s equations with perfect electric conductor boundary conditions in three-dimensional unbounded domains which are the union of a bounded resonator and one or several semi-infinite waveguides. We are interested in the existence of electromagnetic trapped modes, i.e. $L^2$ solutions of the problem without source term. These trapped modes are associated to eigenvalues of the Maxwell’s operator, that can be either below the essential spectrum or embedded in it. First for homogeneous waveguides, we present different families of geometries for which we can prove the existence of eigenvalues. Then we exhibit certain non homogeneous waveguides with local perturbations of the dielectric constants that support trapped modes. Let us mention that some of the mechanisms we propose are very specific to Maxwell’s equations and have no equivalent for the scalar Dirichlet or Neumann Laplacians.

5. 两个圆盘交集处的牛顿核

The Newtonian kernel at the intersection of two discs

作者: Andrés Miniguano-Trujillo

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17734v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17734v1

摘要: We present an exact, closed-form expression for the Newtonian potential of the characteristic function associated with two overlapping discs in the plane. This setting naturally arises when discretising nonlocal interaction terms present in models of phase separation, aggregation dynamics, and quantum systems. We characterise the convolution integral as a piecewise function on the distance between the disc centres, with transitions dictated by the geometry of the overlapping region. Additionally, we derive detailed asymptotic expansions for the small-overlap regime, which allows us to provide stable double-precision codes.

6. 一类随机非线性抛物方程有限体积格式的收敛速率

Convergence rates for a finite volume scheme of a stochastic non-linear parabolic equation

作者: Kavin Rajasekaran, Niklas Sapountzoglou

类别: math.NA, math.AP, math.PR

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17728v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17728v1

摘要: In this contribution, we provide convergence rates for a finite volume scheme of a stochastic non-linear parabolic equation with multiplicative Lipschitz noise and homogeneous Neumann boundary conditions. More precisely, we give an error estimate for the $L^2$-norm of the space-time discretization by a semi-implicit Euler scheme with respect to time and a two-point flux approximation finite volume scheme with respect to space and the variational solution. The only regularity assumptions additionally needed is spatial regularity of the initial datum and smoothness of the diffusive term.

7. 分数阶Stefan问题：有界自相似解的全局正则性

The Fractional Stefan Problem: Global Regularity of the Bounded Selfsimilar Solution"

作者: Marcos Llorca, Juan Luis Vázquez

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17725v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17725v1

摘要: We study the regularity of the bounded self-similar solution to the one-phase Stefan problem with fractional diffusion posed on the whole line. In terms of the enthalpy $h(x,t)$, the evolution problem reads

$$ \begin{cases} \partial_t h + (-Δ)^s Φ(h) = 0 & \text{in } \mathbb{R}^n \times (0,T),\\[2mm] h(\cdot,0) = h_0 & \text{in } \mathbb{R}^n , \end{cases} $$

where $u = Φ(h) := (h-L)_+ = \max\{h-L,0\}$ denotes the temperature, $L>0$ is the latent heat, and $s \in (0,1)$. We prove that the regularity of the self-similar solution depends on $s$, with a critical threshold at $s = 1/2$. More precisely, in the subcritical case $0 < s < 1/2$, the self-similar solution exhibits at least $C^{1,α}$ regularity, with Hölder exponent $α>0$. In contrast, we show that the enthalpy of the self-similar solution is not Lipschitz continuous at the free boundary in the critical case $s=1/2$, as well as in the supercritical case $1/2 < s < 1$. Additional results are also established concerning the lateral regularity at the free boundary and the asymptotic behavior of the solution profile as $x \to \pm\infty$.

8. 具有权重指数型非线性的双调和方程中的对称性破缺

Symmetry Breaking in Biharmonic Equations with Weighted Exponential Nonlinearities

作者: Calanchi M., Tarsi C

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17611v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17611v1

摘要: nonlinearities and spatial weights of Hénon type. Motivated by the symmetry-breaking phenomena observed in semilinear second-order problems – such as those governed by the Hénon equation – we consider weighted functionals of the form \begin{equation*} F_m(u) = \int_B |x|^α\left( e^{σ|u|^2} - \sum_{k=0}^m \frac{σ^k}{k!} |u|^{2k} \right) dx, \end{equation*} defined on the unit ball $ B \subset \mathbb{R}^4 $, where $m\in \mathbb N_0$ $ α> 0 $, $ σ>0$ are suitable parameters. We first establish an Adams-type inequality with weight, characterizing the sharp threshold for the boundedness of $ F $ on the unit sphere of the biharmonic Sobolev space. Then, we prove that for large values of the weight exponent $ α$, radial symmetry of maximizers is broken. %, i.e., the supremum of the functional is strictly larger when taken over the full space compared to the radial subspace. These results extend classical findings in the second-order setting (e.g., Trudinger–Moser-type functionals and the weighted Hénon equation) to the biharmonic context and offer new insights into the interplay between weights, nonlinearity, and symmetry in higher-order PDEs.

9. A quantitative Hopf-Oleinik lemma for degenerate fully nonlinear operators and applications to free boundary problems

作者: Davide Giovagnoli, Enzo Maria Merlino, Diego Moreira

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17543v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17543v1

摘要: We prove a quantitative inhomogeneous Hopf-Oleinik lemma for viscosity solutions of

$$ |\nabla u|^αF(D^{2}u)=f $$

and, more generally, for viscosity supersolutions of $|\nabla u|^α\,{M}^-_{λ,Λ}(D^{2}u)\le f$. The result yields linear boundary growth with universal constants depending only on the structural data. We also exhibit a counterexample showing that the Hopf lemma fails for equations that act only in the large-gradient regime (in the sense of Imbert and Silvestre), thereby delineating the scope of our theorem. As applications, we obtain Lipschitz regularity for viscosity solutions of one-phase Bernoulli free boundary problems driven by these degenerate fully nonlinear operators and derive $\varepsilon$-uniform Lipschitz bounds for a one-phase flame propagation model.

10. 一类轻微可压缩粘弹塑性模型的解的概念

Solution concepts for a model of visco-elasto-plasticity with slight compressibility

作者: Thomas Eiter

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17464v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17464v1

摘要: We study a model for the deformation of a visco-elasto-plastic material that is nearly incompressible. It originates from geophysics, is given in the Eulerian description and combines a Kelvin-Voigt rheology in the spherical part with a Jeffreys-type rheology in the deviatoric part. Despite a constant density, the model allows for non-isochoric deformation and the propagation of pressure waves. An additive decomposition of the strain rate into elastic and inelastic parts leads to an evolution equation for the small elastic strain, which is coupled with an adapted momentum equation. As plasticity is modeled through a non-smooth dissipation potential, we introduce a weak formulation in terms of a variational inequality. Since the well-posedness in such a weak setting is out of reach, we study two possible modifications: the regularization in terms of stress diffusion, and the relaxation of the solvability concept by transition to energy-variational solutions. In both cases, solutions are constructed by the same time-discrete scheme, consisting of solving a saddle-point problem in each time step.

11. 第一特征值与扭转刚度：分数阶拉普拉斯算子的等周不等式

First Eigenvalue and Torsional Rigidity: Isoperimetric Inequalities for the Fractional Laplacian

作者: Barbara Brandolini, Ida de Bonis, Vincenzo Ferone, Gianpaolo Piscitelli, Bruno Volzone

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17400v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17400v1

摘要: We present a fractional counterpart of a generalized Kohler-Jobin inequality, showing that, among all bounded, open sets $Ω\subset \mathbb{R}^N$ with Lipschitz boundary, having the same fractional torsional rigidity, the first Dirichlet eigenvalue $λ_1(Ω)$ of the fractional Laplacian attains its minimum on balls. With the same arguments we also establish a reverse Hölder inequality for an eigenfunction corresponding to $λ_1(Ω)$.

12. 关于 $m$ 阶仿射 $p$-Laplace 算子第一特征值的仿射等周不等式

Affine isoperimetric inequalities for the first eigenvalue of the $m$-th order Affine $p$-Laplace Operator

作者: Dylan Langharst, Michael Roysdon

类别: math.FA, math.AP, math.MG

发布日期: 2025-12-19

arXiv ID: 2512.17237v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17237v1

摘要: Recently, Haddad, Jiménez, and Montenegro introduced the affine $p$-Laplace operator, $p>1$, and studied associated affine versions of the isoperimetric inequalities for the first eigenvalue of the affine $p$-Laplace operator, including the affine Faber-Krahn inequality and affine Talenti inequality. In this work, we introduce the $m$th-order $p$-Laplace operator $Δ_{Q,p}^\mathcal{A} f$, which recovers the affine $p$-Laplace operator when $m=1$ and $Q$ is a symmetric interval. Given $n,m \in \mathbb{N}$, a sufficiently smooth convex body $Q \subset \mathbb{R}^m$, a bounded, open set $Ω\subset \mathbb{R}^n$ and $p >1$, we investigate the eigenvalue problem

$$ \begin{cases} Δ_{Q,p}^\mathcal{A} f = λ_{1,p}^\mathcal{A}(Q,Ω) |f|^{p-2} f &\text{ in } Ω; \\ f=0 & \text{ on } \partial Ω, \end{cases} $$

for $f \in W^{1,p}_0(Ω)$. Finally, we establish $m$th-order extensions of the affine Talenti inequality and affine Faber-Krahn inequality, which, upon choosing $m=1$, yield new, asymmetric versions of those aforementioned inequalities.

13. 双曲空间中凸区域上的基本间隙极小化问题不以常值势函数为解

Constant potentials do not minimise the fundamental gap on convex domains in hyperbolic space

作者: Julie Clutterbuck, Frieder Jäckel, Xuan Hien Nguyen

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2025-12-18

arXiv ID: 2512.17103v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17103v1

摘要: We show that for every $n \geq 2$ and $D > 0$ there exist a convex domain $Ω\subseteq \mathbb H^n$ with diameter $D$ and a convex potential $V$ on $Ω$ such that the fundamental gap of the operator $-Δ+V$ is strictly smaller than the fundamental gap of $-Δ$. In comparison to previous work, this result requires more refined control of the eigenfunctions.

14. On the existence of solutions to the multi-species Landau equation

作者: Jonathan Junné, Raphael Winter, Havva Yoldaş

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2025-12-18

arXiv ID: 2512.17082v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.17082v1

摘要: We consider the spatially homogeneous Landau equation for multiple species with different masses. As in the single-species case, the singularity of the collision operator is determined by a parameter $γ\in [-3,1]$, where $γ= -3$ corresponds to Coulomb interactions. We prove that if $γ\geq -\sqrt{8}$ in the cross-interaction operators, then there exists a natural multi-species generalization of the Fisher information which is a Lyapunov functional for the multi-species Landau system. On the other hand, we give a counterexample showing that the Fisher information is in general no longer a Lyapunov functional below the threshold $(γ< - \sqrt{8})$ for the two-species system if one species has infinite mass. However, we are able to provide a new method to show global well-posedness, by constructing a different Lyapunov functional based on the spherical Fisher information.