生成时间: 2025年12月24日 03:49:42

重点关注论文数量: 1

了解领域论文数量: 7

不相关论文数量: 8

重点关注论文（完整分析）

1. 关于系统 $\bu_t+(\bu\cdot\nabla)\bu=μΔ{\bf u}$ 的非唯一性研究

On non-uniqueness for the system $\bu_t+(\bu\cdot\nabla)\bu=μΔ{\bf u}$

作者: Helge Kristian Jenssen

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-22

arXiv ID: 2512.19878v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.19878v1

详细分析

中文标题: 关于系统 $\bu_t+(\bu\cdot\nabla)\bu=μΔ{\bf u}$ 的非唯一性研究

研究对象和背景

本文研究的数学对象是如下定义的 $n$ 维半线性抛物型方程组（Cauchy 问题）：

其中，未知函数 $\bu = (u_1, \dots, u_n)^T: [0, \infty) \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n \times 1}$ 是向量值函数，$\mu > 0$ 是固定的常数（粘性系数）。算子 $(\bu \cdot \nabla)\bu$ 等价于 Jacobian 矩阵 $D_{\bx} \bu$ 与向量 $\bu$ 的乘积，即 $(D_{\bx} \bu)\bu$，而 $\Delta$ 作用在向量的每个分量上。

作者将该系统称为 Cole 系统 (Cole system)，而在流体力学背景下，这也被称为 向量 Burgers 方程 (vector Burgers equation) 或 $n$ 维 Burgers 系统。该系统可以被视为不可压缩 Navier-Stokes 方程组忽略压力项后的简化模型，或者是可压缩流体方程组的一种形式。由于其结构与流体力学基本方程组的相似性，研究该系统的解的性质（特别是存在性、唯一性和正则性）具有重要的理论意义。

背景与问题来源： 该方程组的一个关键特性是其结构允许通过 Cole-Hopf 变换 将非线性系统转化为线性方程。对于无旋（irrotational）解，即满足 $\partial_{x_i} u_j = \partial_{x_j} u_i$ 的解，若定义标量函数 $\theta(t, x)$，则变换公式为：

若 $\theta(t, x)$ 是如下 $n$ 维热传导方程的解：

则通过 (1.2) 得到的 $\bu$ 即为 Cole 系统 (1.1) 的解。需要注意的是，当 $\theta$ 为零时，$\bu$ 会出现奇异性。

尺度不变性与临界空间： Cole 系统具有尺度不变性。若 $\bu(t, \bx)$ 是解，则 $\bu_\lambda(t, \bx) := \lambda \bu(\lambda^2 t, \lambda \bx)$ 也是解。利用此性质，可以分析不同函数空间中的适定性。对于 $L^p$ 空间，$\|\bu_\lambda(t)\|_{L^p} = \lambda^{1 - n/p} \|\bu(t)\|_{L^p}$。因此，$p = n$ 是 $L^p$ 的临界空间；对于 Sobolev 空间 $W^{k, p}$，临界指数为 $p = \frac{n}{k+1}$。本文主要关注的是 超临界 (supercritical) 区域，即 $p$ 小于这些临界值的情况。在超临界区域，通常预期会出现不适定性（ill-posedness），本文的目的即是提供明确的非唯一性反例。

研究的特殊性与定义： 本文的核心在于研究 非唯一性 (Non-uniqueness) 现象，具体而言，是寻找与零解 $\bu \equiv 0$ 具有相同初始数据（即初始数据为零）的非平凡解。为了解释这些解的性质，作者引入了 $L^p$-可接受解 ($L^p$-acceptable solutions) 的定义：

1. $\bu, D_{\bx} \bu, \Delta \bu \in C(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n)$（光滑性）。
2. $\bu$ 在 $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n$ 上经典地满足方程 (1.1)。
3. 当 $t \to 0^+$ 时，$\bu(t)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 范数下收敛到初始数据 $\bu_0$。

这一定义允许解在 $L^p$ 意义下收敛到零，但在 $L^\infty$ 意义下可能在 $t \to 0^+$ 时爆破（blow up）。本文构建的解均为径向对称（radial）且无旋的，形式为 $\bu(t, x) = u(t, r) \hat{r}$，其中 $r = |x|$。

主要定理或主要结果

本文通过构造具体的显式解（利用 Cole-Hopf 变换从热方程解得到），证明了 Cole 系统在超临界函数空间中的非唯一性。主要结果如下：

主要命题 (Proposition 2.4): 考虑维度 $n \geq 2$ 的 Cole 系统 (1.1)。对于任意满足 $1 \leq p < n$ 的 $p$，存在无穷多个非平凡的 $L^p$-可接受解，其初始数据为零。

具体结果细节： 除了上述 $L^p$ 空间中的非唯一性，论文还给出了在 Sobolev 空间中的相应结果：

1. $L^p$ 空间 ($n \geq 2$)： 当 $1 \leq p < n$ 时，存在非零解 $\bar{u}(t, x)$，满足 $\bar{u}(t) \to 0$ (在 $L^p$ 中)，且 $\bar{u}(0, x) = 0$。
   • 具体的解由 $\theta(t, r) = a + G_n(t, r)$ 生成，其中 $G_n$ 是热核。对应的径向速度场为：
     $$ \bar{u}(t, r) = \frac{r}{t(1 + a(4\pi\mu t)^{n/2} \exp(r^2/4\mu t))} $$
2. $W^{1,p}$ 空间 ($n \geq 2$)： 当 $1 \leq p < n/2$ 时，同样的解提供了在 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ 中的非唯一性。
3. $W^{2,p}$ 空间 ($n \geq 2$)： 当 $1 \leq p < n/3$ 时，同样的解提供了在 $W^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ 中的非唯一性。

其他结果（奇异解）： 除了上述经典的 $L^p$-可接受解，论文还探讨了两类更奇异的非唯一性情形：

• 自相似解 (Self-similar solutions)： 构造了形式为 $u(t, r) = \frac{1}{\sqrt{t}} \phi(r/\sqrt{t})$ 的解，这些解在 $r=0$ 处有奇异性，但在 $L^p$ ($1 \leq p < n$) 中收敛到零。
• 静止解 (Stationary solutions)： 对于 $n=3$，证明了从奇异的初始数据 $u_0(x) = \frac{2\mu x}{|x|^2}$ 出发，可以非唯一地延拓解。

这些结果共同表明，该系统的超临界区域存在严重的适定性问题，且这种非唯一性并非源于热方程本身的 Tikhonov 非唯一性现象（因为文中使用的热方程解对应的是不同的初值）。

研究方法、关键技术和核心工具

本文的研究方法属于构造性分析。作者并未使用抽象的不动点定理或紧性方法来证明存在性，而是直接构造显式解来展示非唯一性。核心技术围绕 Cole-Hopf 变换 展开，并辅以精细的渐近分析来处理解在 $t \to 0^+$ 时的奇异性行为。

a) 核心分析学工具

1. Cole-Hopf 变换 (Cole-Hopf Transform)： 这是全文的基石。通过映射 $\bu = -\frac{2\mu}{\theta} \nabla \theta$，将非线性系统 (1.1) 转化为线性热方程 (1.3)。这一变换允许利用热方程丰富的解结构（如热核）来生成 Burgers 系统的解。对于径向对称解，变换公式具体化为：

   $$ u(t, r) = -2\mu \frac{\partial_r \theta}{\theta} $$

   这使得复杂的非线性 PDE 分析转化为对特定标量函数 $\theta$ 的热方程解的性质分析。

2. 加权 $L^p$ 空间与积分估计： 为了验证生成的解 $\bar{u}$ 是否属于 $L^p$ 或 Sobolev 空间并收敛到零，需要计算 $\|\bar{u}(t)\|_p^p = \int_0^\infty |\bar{u}(t, r)|^p r^{n-1} dr$。这转化为估计如下类型的积分：

   $$ I(t) = \int_0^\infty \frac{r^{p+n-1} dr}{(1 + C t^{n/2} e^{r^2/4\mu t})^p} $$

   由于被积函数的分母中含有 $t^{n/2} e^{r^2/4\mu t}$，这是一个随 $t$ 变化且快速衰减的项。证明的核心在于分析当 $t \to 0^+$ 时该积分的极限。作者利用了变量代换（如 $s = r^2/4\mu t$）将积分转化为关于 $s$ 的积分，从而分离 $t$ 的幂次，证明当 $p < n$ 时，积分随 $t$ 消失。这本质上是一种Hardy-Littlewood-Sobolev 型的加权积分估计。

b) 解决技术性难题的技巧

1. 处理 $t \to 0^+$ 的点态与范数收敛差异： 论文构造的核心难点在于证明解在 $L^p$ 范数下收敛到零，但在 $L^\infty$ 下爆破。这种现象表明解在 $t=0$ 附近的能量集中在极小的区域（$r \sim \sqrt{t}$）。

   • 技巧： 作者在 Lemma 2.1 和 Lemma 2.2 中给出了一般性的积分极限引理。通过精细的分段估计（将积分区间分为 $[0, \log(1/A(t))]$ 和 $[\log(1/A(t)), \infty)$），证明了形如 $\int_0^\infty \frac{t^q s^k}{(1+A(t)e^s)^\ell} ds$ 的积分在 $t \to 0$ 时趋于零，只要参数满足特定不等式（$p < n$ 对应的条件）。这解决了如何量化“能量随时间扩散并衰减”的问题。

2. 证明解在原点的光滑性与经典解的存在性： 对于 $\bar{u}(t, x)$，虽然 $u(t, r)$ 在 $r=0$ 处由 $0$ 补充定义，但必须验证其满足 $C^2$ 连续性且满足原方程。直接代入 $r=0$ 会遇到 $0/0$ 型不定式。

   • 技巧： 作者使用了泰勒展开和极坐标下的 L’Hôpital 法则。
     • 计算 $u(t, r)$ 对 $r$ 的一阶和二阶导数。
     • 证明当 $r \to 0$ 时，$\partial_r u \to \frac{1}{t(1+A)}$，$\partial_{rr} u \to 0$。
     • 由于 $u$ 是径向的，$\Delta u = u_{rr} + \frac{n-1}{r} u_r$。利用 $u_r \sim \text{const}$ 以及 $1/r$ 的因子，结合 $u$ 在原点为 $0$ 的事实，证明了 $\Delta u$ 在原点连续且有限。
     • 最后，验证方程 $u_t = \mu \Delta u - u u_r$ 在原点的极限。通过计算 $u_t$ 的显式表达并利用 $\Delta u$ 和 $u u_r$ 的极限值，证明方程在 $t>0$ 的所有点（包括原点）均经典成立。

3. 区分 Tikhonov 现象： 为了说明非唯一性不是由热方程的多解性导致的，作者进行了逻辑分析。

   • 技巧： 作者指出，虽然 Cole-Hopf 变换可以将热方程的多解映射为 Burgers 方程的多解，但这种情况要求热方程解 $\theta_1, \theta_2$ 具有相同的初值但对 $t>0$ 不同。根据 Widder 定理，这样的解必然有一个变号，导致变换后的 $\bu$ 出现奇点（分母为零）。
   • 本文的构造使用的是不同初值的热方程解：$\theta_1 = a$（常数，对应 $\bu=0$）和 $\theta_2 = a + G_n$（对应非平凡解）。这两个热方程解本身是唯一的，只是初值不同。在 $L^p$ 范数下，由于 $p < n$，热核 $G_n$ 在 $t \to 0$ 时 $L^p$ 范数趋于 0，因此这两个解在 $L^p$ 意义下具有相同的初始数据（零）。这揭示了一种深刻的结构：在低正则性空间中，线性化算子（热方程）的解可以通过不同的初值（在 $L^p$ 等价类中）产生非线性系统的非唯一性。

与之前工作的比较

本文在流体力学方程组的适定性理论及反例构造方面，与经典文献和现代结果进行了多方面的比较，突出了其在超临界空间中的贡献。

a) 与经典适定性理论的比较：正则性门槛的降低

1. 突破了高 Sobolev 正则性的限制：

   • 先前工作： 对于对称化抛物系统（如 Cole 系统），标准的存在唯一性定理（如 Kawashima, Matsumura, Nishida 等人的工作）通常要求初始数据在高阶 Sobolev 空间 $H^s$ ($s > n/2 + 1$) 中。
   • 本文改进： 本文证明了在 $L^p$ ($p < n$) 和低阶 Sobolev 空间 ($W^{1,p}, W^{2,p}$ 且 $p$ 远小于临界值) 中，零解不是唯一的。这明确展示了标准理论中 $s > n/2 + 1$ 的门槛是不可改进的，或者说，在该门槛之下的空间中，初值问题确实是不适定的。

2. 与弱解理论的对比：

   • 先前工作： 类似 Lions 等人关于 Navier-Stokes 或相关系统的弱解理论，通常定义在能量空间 $L^\infty(0, T; L^2) \cap L^2(0, T; H^1)$。对于 Cole 系统，虽然其能量估计与 Navier-Stokes 相似，但弱解的定义面临困难（因为方程非散度形式）。
   • 本文改进： 作者定义了一个严格的“$L^p$-可接受解”概念，要求 $t>0$ 时为经典解，仅在 $t \to 0$ 时 $L^p$ 收敛。这比一般的弱解定义更强（因为要求了 $t>0$ 的解析性），但允许初值具有极低的正则性（甚至是无界的，尽管本例中初值为0）。这提供了一种在低正则性初值下讨论经典解行为的新视角。

b) 与非唯一性反例文献的比较：构造的新颖性与排除 Tikhonov 效应

1. 与 Tikhonov 非唯一性的区别：

   • 相关工作： 热方程本身存在 Tikhonov 现象（即对于给定的零初值，存在无穷多个无界增长的解）。通过 Cole-Hopf 变换，这些解理论上可以生成 Burgers 方程的非唯一性。
   • 本文突破： 本文明确指出并证明了其构造的非唯一性不来源于 Tikhonov 现象。文中指出，若利用 Tikhonov 多解，热方程解必然变号，导致 Burgers 解出现奇点（$\theta=0$）。而本文构造的解 $\theta = a + G_n$ 始终为正（$a>0$），因此生成的 $\bu$ 在 $t>0$ 处处光滑（Classical）。这说明在正解（Positive solutions）的框架下，依然存在非唯一性。这比利用 Tikhonov 现象产生的反例更为深刻，因为它表明系统本身的非线性结构在正解范围内就存在不稳定性。

2. 与 1 维 Burgers 方程反例的比较：

   • 先前工作： 对于 1 维 Burgers 方程 ($n=1$)，已知存在多种非唯一性反例，包括通过复值解展示 $L^\infty$ 爆破的工作（如 [11]）。
   • 本文改进： 本文聚焦于 $n \geq 2$ 的多维情形。多维情形下的压力项缺失（相对于 Navier-Stokes）或者几何结构（径向对称）带来了新的挑战。作者指出，对于 1 维复值解，最大原理不适用，可能导致爆破；但对于本文讨论的 $n \geq 2$ 的实值径向解，最大原理限制了某些类型的爆破（如通过“向下凹陷”驱动聚焦导致的爆破被阻断）。然而，本文展示了另一种形式的爆破：$L^\infty$ 爆破但 $L^p$ 能量保持为零。这补充了多维情形下适定性理论的拼图。

3. 与近期弱解奇异性的比较 (如 [5])：

   • 最近工作： 文献 [5] 详细分析了 Cole 系统的静止解和弱解，允许沿 $t>0, x=0$ 的奇异性，并建立了稳定性。
   • 本文贡献： 本文的结果与 [5] 并不冲突，而是互补的。[5] 关注的是允许奇异性存在的广义弱解框架；而本文关注的是 $L^p$-可接受解（在 $t>0$ 光滑，仅在 $t=0$ 有 $L^p$ 奇异性）。此外，本文在 Section 3.2 中构造的非唯一性例子（从奇异静止解出发的非静止延拓）实际上是在 [5] 的框架之外展示了新的动力学行为，表明即使在存在奇异稳态解的情况下，系统仍可能演化出非静止的、但在 $L^p$ 意义下收敛到该稳态的解。

综上所述，Jenssen 的这篇论文通过构造具体的显式解，严格证明了 Cole 系统在超临界函数空间中的非唯一性。其方法巧妙地利用了 Cole-Hopf 变换和热核的渐近性质，其结果不仅确立了该系统适定性的正则性阈值，而且通过排除 Tikhonov 现象的干扰，揭示了该非线性系统内在的不稳定性本质。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 带点耗散的Signorini问题的全局吸引子

Global attractors for the Signorini problem with pointwise damping

作者: Jaime E. Muñoz Rivera, Maria Grazia Naso

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20549v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20549v1

摘要翻译

好的，请看以下翻译：

中文标题: 带点耗散的Signorini问题的全局吸引子

摘要翻译: 本文研究了带点耗散的Signorini问题的全局吸引子的存在性。研究表明，半线性Signorini问题和具有法向柔度的弹性障碍问题均表现出指数衰减至零的特性，并拥有紧的全局吸引子。为建立这些结论，我们通过一个混合PDE-ODE系统对原问题进行近似，从而能够严格分析其解的适定性和长时间行为。

2. 受单调随机演化方程控制的系统的最优性条件

Optimality Conditions for Control Systems Governed by Monotone Stochastic Evolution Equations

作者: Ioana Ciotir, Nicolas Forcadel, Piero Visconti, Hasnaa Zidani

类别: math.OC, math.AP, math.PR

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20505v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20505v1

摘要翻译

中文标题: 受单调随机演化方程控制的系统的最优性条件

摘要翻译: 我们研究了在特定强制性和线性增长条件下，由单调型非线性随机方程支配的一类最优控制问题。我们给出了最优性的一阶必要条件。当扩散项不依赖于控制时，可以恢复随机庞特里亚金原理。我们给出了若干应用，最显著的是针对Lipschitz情形下的随机多孔介质方程。

3. 伪相对论非自治薛定谔方程在光锥之外的指数衰减

Exponential Decay outside of the Light Cone for the Pseudo-Relativistic Non-Autonomous Schrödinger Equation

作者: Sébastien Breteaux, Jérémy Faupin, Viviana Grasselli

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20488v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20488v1

摘要翻译

中文标题: 伪相对论非自治薛定谔方程在光锥之外的指数衰减

摘要翻译: 我们为一个在外加含时势场中的伪相对论量子粒子建立了一个最大速度限制。我们的估计表明，一个在 $t=0$ 时刻位于凸集 $X\subset\mathbb{R}^d$ 的粒子，若要在 $t>0$ 时刻到达凸集 $Y\subset\mathbb{R}^d$，其概率被 $e^{-2δ}$ 所界定，其中 $δ$ 是 $Y$ 到由 $X$ 生成的光锥在时刻 $t$ 的截面的距离。

4. 具有范德瓦尔斯状态方程的二维欧拉方程的超音速声速片解

Supersonic sonic patch solution for the two-dimensional Euler equations with a van der Waals equation of state

作者: Anamika Pandey, T. Raja Sekhar

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20484v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20484v1

摘要翻译

好的，请看以下翻译：

中文标题: 具有范德瓦尔斯状态方程的二维欧拉方程的超音速声速片解

摘要翻译: 我们研究了由多方范德瓦尔斯状态方程控制的二维可压缩欧拉方程中的超声速跨声速现象。与理想气体情形不同，非理想压力定律引入了更强的非线性效应，并改变了声速状态附近的退化结构，这显著地使跨声速流的解析处理变得复杂。在与四态黎曼问题相关的自相似框架下，我们构造了一条超音速声速片解，该解沿着一条伪流线将严格超声速区域与声速边界连接起来。该分析基于特征分解与部分速端曲线变换的结合，通过该变换，问题被重新表述为一个退化双曲系统。我们建立了一个全局定义的超声速解的存在性，并证明了其直到声速曲线都具有一致的正则性。此外，我们还研究了所得声速边界的正则性性质。我们的结果将超声速声速片的理论从多方气体推广到了一个现实的非理想气体模型。

5. 有界区域中异常扩散极限下的分数阶弱耗散性

Fractional hypocoercivity in bounded domains in the anomalous diffusion limit

作者: Maxime Herda, Marc Pegon, Isabelle Tristani

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20222v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20222v1

摘要翻译

中文标题: 有界区域中异常扩散极限下的分数阶弱耗散性

摘要翻译: 本文针对具有重尾平衡态的若干耗散线性动力学方程，给出了指数稳定性的结果。该方法受所谓的 $L^2$-弱耗散性（hypocoercivity）方法启发，具有较强的稳健性，能够在异常扩散极限下提供一致的估计。此外，该方法能够处理具有周期性边界条件或一般麦克斯韦边界条件（从纯镜面反射情形到纯漫反射情形）的有界区域。再者，我们的框架适用于同时作用于速度变量和空间变量的线性碰撞算子。

6. 二维泰勒-库埃特流的玻尔兹曼方程

The Boltzmann Equation for 2D Taylor-Couette Flow

作者: Renjun Duan, Weiqiang Wang, Yong Wang

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20036v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20036v1

摘要翻译

中文标题: 二维泰勒-库埃特流的玻尔兹曼方程

摘要翻译: 本文研究稀薄气体在两个同轴旋转圆柱体之间的二维泰勒-库埃特流的存在性问题。该流动的特征在于外边界 $\{r=1\}$ 和内边界 $\{r=r_{1}>0\}$ 具有不同的角速度，其相对强度较小，记为 $α$。我们利用极坐标下的定常玻尔兹曼方程来描述该问题，并寻求一个在旋转下保持不变的解。我们假设定常态具有特定形式 $F(r,v_{r},v_φ-α\frac{r-r_{1}}{1-r_{1}},v_{z})$，其中平移角速度 $α\frac{r-r_{1}}{1-r_{1}}$ 沿径向呈线性剪切。基于这一假设，问题被简化为求解带有几何修正项的非线性定常玻尔兹曼方程，该方程受到强度为 $α$ 的外加剪切力作用，并满足齐次静止漫反射边界条件。通过 Caflisch 分解，并辅以基于 Guo 的 $L^{\infty} \cap L^2$ 框架的仔细一致估计，我们确立了对于任意足够小的剪切率 $α$，非平衡定常解的存在性。该定常分布在大速度处呈现出多项式尾部行为。在证明过程中，我们构建了一种精细的双参数 $(ε,σ)$-近似论证来构造解。特别地，对于接近 1 的 $\sigma\in [0,1)$，我们在无质量守恒的情况下获得了均匀的宏观耗散估计。此外，由于非平凡的几何效应，我们通过求解带有几何修正的二阶常微分方程（ODE），巧妙地构造了测试函数，以建立宏观耗散。最后，我们通过证明定常分布在径向扰动下具有指数收敛速率的长时间渐近稳定性，证实了其非负性。

7. 双曲型随机偏微分方程的 Milstein 型格式

Milstein-type Schemes for Hyperbolic SPDEs

作者: Felix Kastner, Katharina Klioba

类别: math.NA, math.AP, math.FA, math.PR

发布日期: 2025-12-22

arXiv ID: 2512.19647v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.19647v1

摘要翻译

好的，作为专业的学术翻译专家，我将为您精确翻译这篇论文的标题和摘要。

中文标题: 双曲型随机偏微分方程的 Milstein 型格式

摘要翻译: 本文研究了具有乘性高斯噪声的半线性双曲型随机演化方程的 Milstein 型格式时间离散。我们将“双曲型”一词定义为其主算子生成一个压缩的（未必解析的）$C_0$-半群。我们在一个 Hilbert 空间 $X$ 上，对 $p\in [2,\infty)$，推导了路径一致强误差

的最优收敛阶。其中，$U$ 是温和解，$u_j$ 是其在时间点 $t_j=jh$ 处的 Milstein 离散近似，$h>0$ 为步长，$T=Mh>0$ 为终止时间。对于足够光滑的非线性项和噪声，我们建立了一阶强收敛性，其误差满足：对于有理 Milstein 格式，$E_h^\infty\lesssim h\sqrt{\log(T/h)}$；而对于指数 Milstein 格式，$E_h^\infty \lesssim h$。此结果将之前的研究从抛物型 SPDEs 推广至双曲型 SPDEs，并从指数 Milstein 格式推广至有理 Milstein 格式。同时，将均方误差估计加强为路径一致估计。数值实验验证了随机薛定谔方程的收敛阶。文中还包含了对麦克斯韦方程组和输运方程的进一步应用。

不相关论文（基本信息）

1. 一类分支中等相互作用粒子系统对Keller–Segel偏微分方程的定量逼近及爆破抑制

Quantitative approximation of a Keller–Segel PDE by a branching moderately interacting particle system and suppression of blow-up

作者: Thomas Cavallazzi, Alexandre Richard, Milica Tomasevic

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20504v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20504v1

摘要: The Keller–Segel PDE is a model for chemotaxis known to exhibit possible finite-time blow-up. Following a seminal work by Tello and Winkler, a logistic damping term is added in this PDE and local well-posedness of mild solutions is proven. When the space dimension is $2$ or when the damping is strong enough, the solution is global in time. In the second part of this work, a microscopic description of this model is introduced in terms of a system of stochastic moderately interacting particles. This system features two main characteristics: the interaction between particles happens through a singular (Coulomb-type) kernel which is attractive; and the particles are subject to demographic events, birth and death due to local competition with other particles. The latter induces a branching structure of the particle system. Then the main result of this work is the convergence of the empirical measure of the particle system towards the Keller–Segel PDE with logistic damping, with a rate of order $N^{-\frac{1}{2(d+1)}}$.

2. 空间弹性弦、弹簧与质量块网络的非对称精确可控性

Asymmetric exact controllability for networks of spatial elastic strings, springs and masses

作者: Günter Leugering, Charlotte Rodriguez, Yue Wang

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20462v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20462v1

摘要: We consider networks of elastic strings with end masses, where the coupling is modeled via elastic springs. The model is representative of a network of nonlinear strings, where the strings are coupled to elastic bodies. The coupled system converges to the classical string network model with Kirchhoff and continuity transmission conditions as the spring stiffness terms approach infinity and the masses at the nodes vanish. Due to the presence of point masses at the nodes, the boundary conditions become dynamic, and consequently, the corresponding first-order system of quasilinear balance laws exhibits nonlocal boundary conditions. We demonstrate well-posedness in the sense of semi-global classical solutions \cite{li} (i.e., for arbitrarily large time intervals provided that the initial and boundary data are small enough) and observe extra regularity at the masses as in \cite{WangLeugeringLi2017,WangLeugeringLi2019}. We prove local and global-local exact boundary controllability of a star-like network when control is active at the endpoints of the string-spring-mass system, except for one clamped end. In this case, at multiple nodes, a complex smoothing pattern appears, leading to asymmetric control spaces when the springs and masses are present. Furthermore, the rank of the Laplacian matrix at the junction is crucial for the controllability property, particularly in models containing wave equations with degeneration at dynamic boundaries, which can be interpreted as damage in mechanical vibration systems where parts of the springs are missing.

3. 退化 Timoshenko 梁的精确边界可控性与可镇定性

Exact boundary controllability and stabilizability of a degenerated Timoshenko beam

作者: Günter Leugering, Yue Wang, Qiong Zhang

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20446v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20446v1

摘要: This paper investigates the boundary controllability and stabilizability of a Timoshenko beam subject to degeneracy at one end, while control is applied at the opposite boundary. Degeneracy in this context is measured by the real parameters for $μ_a\in [0,2)$ for $a\in\{K,EI\}$, where $K(x)$ denotes shear stiffness and $EI(x)$ bending stiffness. We differentiate between weak degeneracy $μ_a\in [0,1)$ and strong degeneracy $μ_a\in [1,2)$, which may occur independently in shear and bending. Our study establishes observability inequalities for both weakly and strongly degenerate equations under Dirichlet, Robin, and Neumann boundary conditions. Using energy multiplier techniques and the Hilbert Uniqueness Method (HUM), we derive conditions for exact boundary controllability and show that appropriate boundary state and velocity feedback controls at the non-degenerate end can stabilize the system exponentially. Extending results previously obtained for the 1-dimensional wave equation in \cite{AlabauCannarsaLeugering2017}, this study highlights new control strategies and stabilization effects specific to the degenerate Timoshenko beam system, addressing challenges pertinent to real-world structural damping and control applications.

4. 带权双重退化抛物型方程的上解方法

A supersolution approach to doubly degenerate parabolic equations with weights

作者: Daniele Andreucci, Anatoli F. Tedeev

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20373v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20373v1

摘要: We consider the Cauchy problem in the Euclidean space for a doubly degenerate parabolic equation with a space-dependent exponential weight, where the exponent satisfies the doubling condition. In particular, both the so called logconvex and logconcave cases may be considered. Under the additional natural assumptions we construct supersolutions and subsolutions allowing us to control the precise sharp temporal decay bounds. We apply our results also to an equation with inhomogeneous density, via a suitable variable transformation.

5. 半平面上Bloch-Torrey算子本征函数的局域化

Localization of the eigenfunctions of a Bloch-Torrey operator on the half-plane

作者: Martin Averseng, Nicolas Frantz, Frédéric Hérau, Nicolas Raymond

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20202v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20202v1

摘要: We consider a non-self adjoint operator of the form $-h^2 Δ+ i(V(x) + α(x)y)$ on the upper half plane $y > 0$ with Dirichlet boundary conditions on $\{y = 0\}$ with $V \geq 0$, $V$ admitting a non-degenerate minimum at $x = 0$ and $α'(0) = 0$. We study its eigenfunctions associated to the smallest eigenvalues in magnitude in the semiclassical limit $h \to 0$. Elementary variational estimates show that these eigenfunctions are localized near the point $(0,0)$ at the scales $O(h^{1/3})$ in $x$ and $O(h^{2/3})$ in $y$. In this paper, we show that the $O(h^{1/3})$ localization in $x$ is not optimal; more precisely, we establish that the eigenfunctions are concentrated in a neighborhood of size $O(h^{1/2})$ of the axis $\{x = 0\}$, and this scale is shown to be sharp. The proof relies on the symbolic calculus of operator-valued pseudodifferential operators.

6. 带权Robin特征值问题与梯度具一般增长的非线性椭圆方程

Weighted Robin eigenvalue problems and nonlinear elliptic equations with general growth in the gradient

作者: Francesco Della Pietra, Giuseppina di Blasio, Giuseppe Riey

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-23

arXiv ID: 2512.20192v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.20192v1

摘要: We prove an existence result for Robin boundary value problems modeled on

where $Ω$ is a bounded, sufficiently smooth open set in $\mathbb R^N$, $f(x)$ belongs to the Marcinkiewicz space $M^{\frac N2}$ and {$β>0$}, under a smallness assumption on the datum $λ$. In order to study such problem, we will show several properties of the weighted, singular Robin eigenvalue problem

7. 具有非局部指数非线性椭圆方程爆破解序列的量子化

Quantization for sequences of blow-up solutions to an elliptic equation having nonlocal exponential nonlinearity

作者: Mathew Gluck

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-22

arXiv ID: 2512.19865v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.19865v1

摘要: This work provides a description of the asymptotic behavior of sequences of solutions to an elliptic equation with a nonlocal exponential nonlinearity of Choquard type. The equation under consideration is a nonlocal analog of the classical prescribed Gaussian curvature equation. A concentration-compactness alternative is established for sequences of solutions to the equation under consideration whenever suitable integrability assumptions on the solutions and the curvature functions are satisfied. Under further regularity assumptions on the curvature functions, and when blow-up occurs in the concentration-compactness alternative, an energy quantization result is established.

8. 异质扩散中的逃逸现象

Escape from heterogeneous diffusion

作者: Hwai-Ray Tung, Sean D Lawley

类别: cond-mat.stat-mech, math.AP, math.PR

发布日期: 2025-12-22

arXiv ID: 2512.19646v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.19646v1

摘要: Many physical processes depend on the time it takes a diffusing particle to find a target. Though this classical quantity is now well-understood in various scenarios, little is known if the diffusivity depends on the location of the particle. For such heterogeneous diffusion, an ambiguity arises in interpreting the stochastic process, which reflects the well-known Itô versus Stratonovich controversy. Here we analytically determine the mean escape time and splitting probabilities for an arbitrary heterogeneous diffusion in an arbitrary three-dimensional domain with small targets that can be perfectly or imperfectly absorbing. Our analysis reveals general principles for how search depends on heterogeneous diffusion and its interpretation (e.g. Itô, Stratonovich, or kinetic). An intricate picture emerges in which, for instance, increasing the diffusivity can decrease, not affect, or even increase the escape time. Our results could be used to determine the appropriate interpretation for specific physical systems.