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重点关注论文（完整分析）

1. Navier滑移边界条件下Navier-Stokes方程的非线性不稳定性结果

A nonlinear instability result to the Navier-Stokes equations with Navier slip boundary conditions

作者: Tien-Tai Nguyen

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.23946v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.23946v1

详细分析

中文标题: Navier滑移边界条件下Navier-Stokes方程的非线性不稳定性结果

研究对象和背景

本文主要研究不可压缩粘性流体在Navier滑移边界条件下的非线性不稳定性（nonlinear instability）。具体而言，作者关注的是平凡稳态解（即流体速度为零的状态）$u=0, p=p_s$（其中 $p_s$ 为常数）在该边界条件下的稳定性问题。

1. 数学模型与方程组 研究区域为水平的平板区域 $\Omega = 2\pi L \mathbb{T} \times (-1, 1)$，其中 $\mathbb{T}$ 代表一维环面（周期性边界），$L>0$ 是周期性的长度。流体由二维不可压缩Navier-Stokes方程控制：

$$ \begin{cases} \partial_t u + u \cdot \nabla u + \nabla p - \mu \Delta u = 0, & \text{in } \Omega, t \ge 0, \\ \nabla \cdot u = 0, & \text{in } \Omega, t \ge 0, \end{cases} $$

其中 $u(x_1, x_2, t) = (u_1, u_2)$ 是速度场，$p$ 是压力，$\mu > 0$ 是流体的动力粘性系数。

2. 边界条件 本文考虑的是Navier滑移边界条件（Navier-slip boundary conditions），最早由Navier于1827年提出。这种边界条件允许流体在边界处存在滑动，更符合某些物理现象。在边界 $\Sigma_+ = \{x_2=1\}$ 和 $\Sigma_- = \{x_2=-1\}$ 上，边界条件表述为：

$$ \begin{cases} u \cdot n = 0, \\ \left[ -pI + \mu(\nabla u + \nabla u^T) \right] \cdot n \cdot \tau = \xi(x) u \cdot \tau, \end{cases} $$

在本文的简化模型中，$\xi(x)$ 取常数值 $\xi_+$ 和 $\xi_-$。具体写为：

$$ \begin{cases} u_2 = 0, & \text{on } \Sigma_{\pm}, \\ \mu \partial_{x_2} u_1 = \xi_+ u_1, & \text{on } \Sigma_+, \\ \mu \partial_{x_2} u_1 = -\xi_- u_1, & \text{on } \Sigma_-. \end{cases} $$

这表明法向速度为零，切向应力与切向速度成正比（比例系数为 $\mu \xi$）。

3. 不稳定性与阈值 文章的核心背景是寻找一个临界粘性系数 $\mu$ 的阈值，这被称为亚临界状态（subcritical regime）。如果实际粘性系数 $\mu$ 小于这个临界值 $\mu_c(\Xi)$，则平凡稳态解是不稳定的；反之则是稳定的。这个临界值 $\mu_c$ 依赖于滑移参数 $\Xi = (\xi_+, \xi_-)$。

4. 函数空间 研究涉及的函数空间主要是Sobolev空间，如 $H^s$ 空间，以及加权空间 $\tilde{H}^s = \{ \phi \in H^s, \phi(\pm 1) = 0 \}$。由于是周期性区域，变量 $x_1$ 可以进行Fourier展开，从而将PDE问题降维为关于 $x_2$ 的常微分方程（ODE）问题。

主要定理或主要结果

本文主要包含两个核心定理，分别确立了线性不稳定性和非线性不稳定性。

1. 线性不稳定性定理 (Theorem 2.1)

  • 假设条件：固定波数 $k \in L^{-1}\mathbb{Z} \setminus \{0\}$，且粘性系数满足 $\mu \in (0, \mu_c(k, \Xi))$（即处于亚临界状态）。
  • 结论：存在一个无穷序列 $(\lambda_n, \phi_n)_{n \ge 1}$，其中 $\lambda_n(k) > 0$ 是特征值（characteristic values），且随着 $n \to \infty$ 单调递增趋向于无穷大。$\phi_n$ 是非平凡函数，属于 $H^4((-1,1))$，满足线性化方程组的ODE形式（方程(2.7)-(2.8)）。
  • 意义：这证明了线性化算子存在具有正实部的谱，从而在谱层面确立了线性不稳定性。

2. 非线性不稳定性定理 (Theorem 2.2)

  • 假设条件：粘性系数满足 $\mu \in (0, \mu_c(\Xi))$，其中 $\mu_c(\Xi) = \sup_{k} \mu_c(k, \Xi)$。
  • 结论：平凡稳态解是非线性不稳定的。具体表现为： 存在两个足够小的正数 $\delta_0, \varepsilon_0$，使得对于任意 $\delta \in (0, \delta_0)$，方程存在两个解 $u_{1,\delta}$ 和 $u_{2,\delta}$，满足：
    1. 初始值在 $H^2$ 范数下都很小：$\|u_{1,\delta}(0)\|_{H^2} + \|u_{2,\delta}(0)\|_{H^2} \le \delta$。
    2. 在某个时间 $T_\delta$（当 $\delta \to 0$ 时 $T_\delta \to 0$），这两个解在 $L^2$ 范数下产生分离：$\|u_{1,\delta}(T_\delta) - u_{2,\delta}(T_\delta)\|_{L^2} \ge m \varepsilon_0 > 0$。

3. 临界粘性阈值 (Proposition 2.1 & 3.3)

  • 文章给出了亚临界粘性系数 $\mu_c(k, \Xi)$ 和全局阈值 $\mu_c(\Xi)$ 的显式表达式。
  • $\mu_c(\Xi) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\xi_+^2 - \xi_+\xi_- + \xi_-^2} + \xi_+ + \xi_- \right)$。这个公式量化了稳定性与不稳定性之间的界限。

研究方法、关键技术和核心工具

本文采用了一种结合算子谱理论和动力系统扰动方法的策略，这是处理流体不稳定性问题的经典现代框架，但在此处针对Navier滑移边界进行了具体化和改进。

a) 核心分析学工具

1. 正规模分析 (Normal Mode Analysis) 这是处理线性稳定性问题的第一步。作者通过Fourier变换将空间变量 $x_1$ 去掉，假设解具有形式 $u = e^{\lambda t} \text{osc}(kx_1) \phi(x_2)$。这将原始的二维线性偏微分方程组 (2.3) 转化为四阶常微分方程 (2.7)：

$$ \lambda(k^2\phi - \phi'') + \mu(\phi'''' - 2k^2\phi'' + k^4\phi) = 0 $$

配合边界条件 (2.8)。寻找 $\lambda$ 的实部大于零的解即为线性不稳定性的判定标准。

2. 变分法与双线性形式 (Variational Method and Bilinear Forms) 为了找到上述ODE的特征值，作者引入了双线性形式 $B_k(\vartheta, \varrho)$（见 Proposition 3.1）：

$$ B_k(\vartheta, \varrho) = \xi_+\vartheta'(1)\varrho'(1) + \xi_-\vartheta'(-1)\varrho'(-1) - \mu \int_{-1}^1 (\vartheta''\varrho'' + 2k^2\vartheta'\varrho' + k^4\vartheta\varrho) dx $$

这个形式定义在 $\tilde{H}^2$ 空间上。关键技术点在于证明当 $\mu < \mu_c(k, \Xi)$ 时，$B_k$ 是连续且强制（coercive）的。这意味着 $B_k$ 定义了一个等价范数，从而可以利用Riesz表示定理定义算子 $Y_k$。

3. 紧算子与谱理论 (Compact Operators and Spectral Theory) 为了求解特征值问题，作者构造了一个算子 $S_k := Q_k^{1/2} Y_k^{-1} Q_k^{1/2}$（Proposition 3.2），其中 $Q_k = -\partial_{x_2}^2 + k^2$。

  • 紧性与自伴性：证明 $S_k$ 是从 $H^1$ 到自身的紧自伴算子。
  • 谱分解：根据谱理论，紧自伴算子有离散的特征谱 $\{\gamma_n(k)\}$。作者建立了 $\gamma_n$ 与原问题特征值 $\lambda_n$ 的关系：$\lambda_n = 1/\gamma_n$。由于 $\gamma_n$ 可以通过变分原理（瑞利商）得到，作者推导出了 $\lambda_1$ 的变分表达式 (3.4)，这直接给出了临界粘性系数 $\mu_c$ 的计算公式。

4. 能量估计 (Energy Estimates) 在线性部分，利用变分不等式推导出了关于 $\Lambda = \max \lambda_1(k)$ 的不等式 (3.8)。这个不等式联系了粘性项、边界滑移项与 $L^2$ 范数，是后续非线性分析中的关键估计。

b) 解决技术性难题的技巧

1. 非线性不稳定性框架 (Desjardins-Grenier Framework) 不同于传统基于Lyapunov函数或纯$L^2$能量耗散的方法（如Guo-Strauss方法），本文采用了Desjardins和Grenier (2003) 的框架。核心思想是：线性不稳定性只保证了微小扰动在初始时刻指数增长，但这会被非线性项截断。为了证明长时间的分离，需要构造两个特定的解。

2. 线性模式的精细选取 (Truncation of Normal Modes) 由于有无穷多个不稳定的特征值（$\lambda_n \to \infty$），作者并没有使用所有模式。关键技巧在于选取一个有限的 $N$，使得 $\lambda_N > \Lambda/2$（其中 $\Lambda = \max \lambda_1$）。这样做的目的是为了让线性增长速度超过后续分析中的耗散项 $\Lambda$。利用这些模式构造线性解 $v_N(t)$。

3. 范数空间的控制 (Shrinking Space / Maximal Time Argument) 为了处理非线性项 $u \cdot \nabla u$，文章定义了两个最大存在时间 $T^\star$ 和 $T^{\star\star}$：

  • $T^\star$ 控制 $H^2$ 范数保持较小（小扰动假设）。
  • $T^{\star\star}$ 控制 $L^2$ 范数不超过线性增长的幅度。 通过这种方法，可以在 $T_\delta = \min(T^\star, T^{\star\star}, T_{esc})$ 这个时间段内，控制非线性项对线性增长的干扰，将其视为高阶小量。

4. 差分解的能量估计 (Difference Function Estimates) 令 $v_d = v_\delta - \delta v_N$ 为非线性解与线性近似解的差。推导 $v_d$ 的方程（包含非线性项）并利用Gronwall不等式。

  • 这里的难点在于估计非线性项 $(v_\delta \cdot \nabla v_\delta) \cdot v_d$。
  • 技巧在于利用 $v_\delta$ 的小 $L^2$ 范数（由 $v_N$ 控制）和 $v_d$ 的初值为零，证明 $v_d$ 的增长速度慢于线性部分 $v_N$ 的增长速度。具体来说，证明了 $\|v_d\|_{L^2} \le C \delta^2 F_N(t)^2$（二次增长）。
  • 这意味着在时间 $T_\delta$，总解 $v_\delta$ 的行为主要由线性部分 $\delta v_N$ 主导，从而两个不同线性组合构造的解 $u_{1,\delta}$ 和 $u_{2,\delta}$ 会分离开来。

与之前工作的比较

本文旨在改进Ding, Li, Xin (2018) 的工作，并提供一种不同于Guo-Strauss方法的新视角。

1. 方法论的差异 (Methodological Divergence)

  • Ding, Li, Xin (2018)：他们使用的是Guo-Strauss的方法。这种方法通常依赖于构造一个特定的能量泛函（Lyapunov泛函），证明该泛函在长时间演化中会负向增长，从而导致不稳定性。这种方法往往比较复杂，需要针对具体方程定制能量函数，且有时难以捕捉高频模态的精细结构。
  • 本文 (Nguyen)：采用了Desjardins-Grenier的方法。这种方法更侧重于动力系统的观点：利用线性方程的不稳定性（通过谱理论找到的快速增长模态）来“驱动”非线性方程。它不需要复杂的Lyapunov函数，而是通过线性近似与非线性剩余项之间的平衡来证明分离。这种方法在处理边界层不稳定性时具有更强的通用性。

2. 物理机制的揭示：高频模态的作用 (Role of High-Frequency Modes)

  • 之前的工作：通常关注最低的不稳定模态（Fundamental mode），因为它通常增长最快。
  • 本文的改进：文章证明了线性化方程存在无穷多个不稳定的特征值（Theorem 2.1）。虽然 $\lambda_1$ 是最大的单个特征值，但在构造非线性解的差分估计时，作者利用了 $\lambda_N$ 的增长性来克服全局的耗散界限 $\Lambda$。这表明高频模态在维持非线性不稳定性中起到了关键作用。相比于Ding等人，这种处理方式更彻底地挖掘了线性算子的谱性质。

3. 临界阈值的推导 (Derivation of the Threshold)

  • Ding等人的工作主要关注于证明存在一个阈值 $\mu_c$，并证明在亚临界区的不稳定性。
  • 本文通过变分法（Proposition 2.1 和 3.3）给出了 $\mu_c$ 的显式表达式。更重要的是，本文给出的 $\mu_c$ 表达式是基于谱分析的直接结果。文章指出，如果 $\mu > \mu_c$，则双线性形式 $B_k$ 变号，算子 $S_k$ 的性质改变，从而不再有正实部的谱。这提供了一个更数学、更结构性的“开关”来解释稳定性的转变，而不仅仅是数值上的阈值。

4. 边界条件的处理 (Handling of Boundary Conditions)

  • 对于Navier滑移边界，传统的Dirichlet边界（无滑移）通常导致更强的阻尼，而滑移边界引入了切向应力的耦合。本文成功地将边界条件 $\mu \partial_{x_2} u_1 = \xi u_1$ 整合进双线性形式 $B_k$ 中，使得边界项 $\xi (u_1')^2$ 成为能量的一部分。这种处理使得边界条件对稳定性的影响（即 $\xi$ 的大小）直接进入临界粘性 $\mu_c$ 的公式中，物理图像非常清晰。

总结 Tien-Tai Nguyen的这篇论文通过引入算子谱分析和Desjardins-Grenier的非线性动力学框架，为Navier滑移边界条件下的流体不稳定性提供了一个现代且严谨的证明。它不仅复现了Ding等人的结果，更重要的是通过无穷多特征值的存在性和变分估计，加深了对亚临界不稳定性物理机制的理解，展示了高频模态在非线性演化中的关键作用。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 具有非线性速度对齐的确定性与随机群体模型的平均场极限

Mean-Field Limits of Deterministic and Stochastic Flocking Models with Nonlinear Velocity Alignment

作者: Vinh Nguyen, Roman Shvydkoy, Changhui Tan

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.24383v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.24383v1

摘要翻译

好的，遵照您的要求，以下是该论文摘要的学术翻译。

中文标题: 具有非线性速度对齐的确定性与随机群体模型的平均场极限

摘要翻译: 我们研究了一类描述具有非线性速度对齐的群体行为的基于智能体模型的平均场极限。每个智能体通过一个通信协议 $φ$ 和一个由幂律 $A(\bv) = |\bv|^{p-2}\bv$ ($p > 2$) 给出的速度非线性耦合进行交互。我们在两种设定下证明了平均场极限——确定性和随机性。随后，对于确定性情形，在经典厚尾核（fat-tailed kernels）的情形下，我们提供了混沌传播的定量估计，表明了k粒子边际分布到相应Vlasov方程解的收敛速率得到了提升。随机版本则通过一个依赖于局部交互强度的乘性噪声来处理，这导致了相关的Fokker-Planck-对齐方程。我们的结果将经典的Cucker-Smale理论推广到了非线性框架，该框架近来在文献中受到了相当多的关注。

2. 中等软势下齐次玻尔兹曼方程的混沌传播

Propagation of chaos for the homogeneous Boltzmann equation with moderately soft potentials

作者: Nicolas Fournier, Stéphane Mischler

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.24065v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.24065v1

摘要翻译

好的，遵照您的要求，以下是该论文摘要的学术翻译：

中文标题: 中等软势下齐次玻尔兹曼方程的混沌传播

摘要翻译: 我们证明了，在粒子数趋于无穷时，Kac粒子系统收敛到齐次玻尔兹曼方程的解，此结论在中等软势（参数为 $γ\in (-2,0)$）的条件下成立。这一结果证明了混沌传播现象。我们借鉴了Imbert、Silvestre和Villani近期的研究工作，证明了沿着Kac主方程的解，Fisher信息（费雪信息）随时间非递增。这一估计使我们能够控制相互作用的奇异性。

3. 加权混合范数索博列夫-齐格蒙德空间中的二阶抛物型偏微分方程正则性理论

A regularity theory for second-order parabolic partial differential equations in weighted mixed norm Sobolev-Zygmund spaces

作者: Jae-Hwan Choi, Junhee Ryu

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.24020v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.24020v1

摘要翻译

好的，作为一名专业的学术翻译专家，我将为您翻译这篇关于抛物型偏微分方程正则性理论的论文摘要。

翻译如下：

中文标题: 加权混合范数索博列夫-齐格蒙德空间中的二阶抛物型偏微分方程正则性理论

摘要翻译: 我们在加权混合范数索博列夫-齐格蒙德空间中，为抛物型偏微分方程建立了一套最优的正则性理论。该结果将经典的绍德尔估计推广到了系数仅为时间可测的情形，并涵盖了整数阶正则性的临界情况。此外，通过一个精确的迹定理，我们处理了位于最优迹空间中的非零初值问题。

4. 关于源项在 $L^2(Q)$ 中的波动方程的时空变分公式的一个注记

A note on the space-time variational formulation for the wave equation with source term in $L^2(Q)$

作者: Marco Zank

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2025-12-29

arXiv ID: 2512.23807v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.23807v1

摘要翻译

中文标题: 关于源项在 $L^2(Q)$ 中的波动方程的时空变分公式的一个注记

摘要翻译: 我们在有界Lipschitz区域和齐次初始条件下，推导了二阶形式的标量波动方程的变分公式。针对源项位于 $L^2(Q)$ 的情况，我们在有界的时空圆柱体 $Q$ 中，基于新的解空间和测试空间 $L^2(Q)$，研究了一种变分框架。利用 $H^1(Q)$ 中的存在性和唯一性结果，我们证明了该变分设定符合 inf-sup 理论，并包含一个作为解算子的同构映射。此外，我们还证明了这个新的解空间不是 $H^2(Q)$ 的子空间。这一新的唯一性和可解性结果不仅对于使用时空方法（包括最小二乘法）的离散化至关重要，而且对于正则性结果和相关时空边界积分方程的分析也非常重要，后者构成了时空边界元方法的基础。

5. PDE约束优化的随机Galerkin方法与分层预处理

Stochastic Galerkin Method and Hierarchical Preconditioning for PDE-constrained Optimization

作者: Zhendong Li, Akwum Onwunta, Bedřich Sousedík

类别: math.OC, math.AP, math.NA

发布日期: 2025-12-29

arXiv ID: 2512.23804v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.23804v1

摘要翻译

中文标题: PDE约束优化的随机Galerkin方法与分层预处理

摘要翻译: 针对由不确定系数主导的偏微分方程最优控制问题，我们开发了高效的分层预处理器。本方法采用“先离散后优化”的框架，结合了有限元离散、随机Galerkin逼近以及先进的时间离散格式，旨在解决不确定性量化中出现的大规模、病态线性系统难题。通过利用广义多项式混沌展开中固有的稀疏性，我们基于截断随机推导出了分层预处理器，在计算成本与预处理质量之间实现了有效的平衡。数值实验表明，与现有方法相比，所提出的预处理器能显著加速迭代求解器的收敛，为不确定性下的稳态及时变最优控制应用提供了鲁棒且高效的求解器。

不相关论文（基本信息）

1. 非对称系数次线性椭圆方程的多峰解

Multi-bump solutions for sublinear elliptic equations with nonsymmetric coefficients

作者: Chengxiang Zhang, Xu Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.24234v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.24234v1

摘要: We investigate the existence of nonnegative bump solutions to the sublinear elliptic equation

$$ \begin{cases} -Δv - K(x)v + |v|^{q-2}v = 0 & \text{in } \mathbb{R}^N, \\ v(x) \to 0 & \text{as } |x| \to \infty, \end{cases} $$

where $q \in (1,2)$, $ N \geq 2$, and the potential $K \in L^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^N)$ with $p > N/2$ is a function without any symmetry assumptions. Under the condition that $\|K - 1\|_{L^p_{\mathrm{loc}}}$ is sufficiently small, we construct infinitely many solutions with arbitrarily many bumps. The construction is challenged by the sensitive interaction between bumps, whose limiting profiles have compact support. The key to ensuring their effective separation lies in obtaining sharp estimates of the support sets. Our method, based on a truncated functional space, provides precisely such control. We derive qualitative local stability estimates in region-wise maximum norms that govern the size of each bump’s essential support, confining its core to a designated region and minimizing overlap. Crucially, these estimates are uniform in the number of bumps, which is the pivotal step in establishing the existence of solutions with infinitely many bumps.

2. 关于 Frobenius 定理中可微性阶数的一个等价结果

An Equivalence Result on the Order of Differentiability in Frobenius’ Theorem

作者: Yuhki Hosoya

类别: math.AP, math.OC

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.24218v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.24218v1

摘要: This paper examines the simplest case of total differential equations that appears in the theory of foliation structures, without imposing the smoothness assumptions. This leads to a peculiar asymmetry in the differentiability of solutions. To resolve this asymmetry, this paper focuses on the differentiability of the integral manifold. When the system is locally Lipschitz, a solution is ensured to be only locally Lipschitz, but the integral manifolds must be $C^1$. When the system is $C^k$, we can only ensure the existence of a $C^k$ solution, but the integral manifolds must be $C^{k+1}$. In addition, we see a counterexample in which the system is $C^1$, but there is no $C^2$ solution. Moreover, we characterize a minimizer of an optimization problem whose objective function is a quasi-convex solution to a total differential equation. In this connection, we examine two necessary and sufficient conditions for the system in which any solution is quasi-convex.

3. 一维非线性薛定谔方程中的狄拉克孤子

Dirac solitons in one-dimensional nonlinear Schrödinger equations

作者: William Borrelli, Elena Danesi, Simone Dovetta, Lorenzo Tentarelli

类别: math.AP, math-ph, math.FA

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.24089v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.24089v1

摘要: In this paper we study a family of one-dimensional stationary cubic nonlinear Schrödinger (NLS) equations with periodic potentials and linear part displaying Dirac points in the dispersion relation. By introducing a suitable periodic perturbation, one can open a spectral gap around the Dirac-point energy. This allows to construct standing waves of the NLS equation whose leading-order profile is a modulation of Bloch waves by means of the components of a spinor solving an appropriate cubic nonlinear Dirac (NLD) equation. We refer to these solutions as Dirac solitons. Our analysis thus provides a rigorous justification for the use of the NLD equation as an effective model for the original NLS equation.

4. $L^p$ 估计：哈密顿-雅可比方程的数值逼近

$L^p$ Estimates for Numerical Approximation of Hamilton-Jacobi Equations

作者: Alessio Basti, Fabio Camilli

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2025-12-30

arXiv ID: 2512.24051v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.24051v1

摘要: We establish $L^p$ error estimates for monotone numerical schemes approximating Hamilton-Jacobi equations on the $d$-dimensional torus. Using the adjoint method, we first prove a $L^1$ error bound of order one for finite-difference and semi-Lagrangian schemes under standard convexity assumptions on the Hamiltonian. By interpolation, we also obtain $L^p$ estimates for every finite $p>1$. Our analysis covers a broad class of schemes, improves several existing results, and provides a unified framework for discrete error estimates.

5. 带泛函初值条件的Banach空间中半线性微分方程的一个正特征值结果

A positive eigenvalue result for semilinear differential equations in Banach spaces with functional initial conditions

作者: Gennaro Infante, Paola Rubbioni

类别: math.CA, math.AP

发布日期: 2025-12-29

arXiv ID: 2512.23876v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.23876v1

摘要: We study the existence of positive eigenvalues with associated nonnegative mild eigenfunctions for a class of abstract initial value problems in Banach spaces with functional, possibly nonlocal, initial conditions. The framework includes periodic, multipoint, and integral average conditions. Our approach relies on nonlinear analysis, topological methods, and the theory of strongly continuous semigroups, yielding results applicable to a wide range of models. As an illustration, we apply the abstract theory to a reaction-diffusion equation with a nonlocal initial condition arising from a heat flow problem.

6. 分形Mehler核与非线性几何流

Fractal Mehler kernels and nonlinear geometric flows

作者: Nicola Garofalo

类别: math.AP

发布日期: 2025-12-29

arXiv ID: 2512.23830v1

链接: http://arxiv.org/abs/2512.23830v1

摘要: In this paper we introduce a two-parameter family of Mehler kernels and connect them to a class of Baouendi-Grushin flows in fractal dimension. We also highlight a link with a geometric fully nonlinear equation and formulate two questions.