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1. 论二维Navier-Stokes方程向前自相似解的存在性

On the existence of forward self-similar solutions to the two-dimensional Navier-Stokes equations

作者: Changfeng Gui, Hao Liu, Chunjing Xie

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03833v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03833v1

详细分析

中文标题: 论二维Navier-Stokes方程向前自相似解的存在性

研究对象和背景

本文研究的对象是二维不可压缩Navier-Stokes方程（以下简称N-S方程）的向前自相似解（forward self-similar solutions）的存在性问题。Navier-Stokes方程是流体力学中描述粘性流体运动的最核心方程组，其二维形式如下：

$$ \begin{cases} \partial_t u - \Delta u + u \cdot \nabla u + \nabla \pi = 0, \\ \operatorname{div} u = 0, \end{cases} $$

其中 $u(x,t): \mathbb{R}^2 \times [0, +\infty) \to \mathbb{R}^2$ 是速度场，$\pi(x,t): \mathbb{R}^2 \times [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ 是压力。该方程组配备了初始条件 $u(x,0) = u_0(x)$。

研究背景主要围绕自相似解在偏微分方程理论中的重要性。自相似解是指在特定的伸缩变换下保持不变的解。具体来说，对于N-S方程，其伸缩不变性体现为： 若 $u(x,t)$ 是解，则对于任意 $\lambda > 0$，

$$ u_\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t) $$

也是解。如果一个解 $u$ 满足 $u(x,t) = u_\lambda(x,t)$ 对所有 $\lambda > 0$ 成立，则称其为自相似解。类似的，如果初始速度场 $u_0$ 满足 $\lambda u_0(\lambda x) = u_0(x)$，则称其为自相似初始数据。

自相似解在理解N-S方程解的结构（特别是奇点的形成）和长时间渐近行为中扮演着基础角色。在三维情形下，（反向）自相似解常被视为爆破解（blow-up solutions）的自然候选轮廓。而对于二维情形，虽然N-S方程已知对光滑且有限能量的数据是全局适定的，但研究具有奇异初始数据的向前自相似解提供了一个检验理论鲁棒性的“临界”场景。

本文特别关注二维情形的特殊性。在三维空间中，度为 $-1$ 的齐次向量场在局部是平方可积的（$L^2_{loc}$），这使得经典的能量估计方法适用。然而，在二维空间中，度为 $-1$ 的齐次向量场（即 $|u_0(x)| \sim 1/|x|$）并不属于 $L^2_{loc}(\mathbb{R}^2)$，其初始动能在原点附近是局部无穷的。同时，其对应的初始涡度（vorticity）$|curl u_0(x)| \sim 1/|x|^2$ 也不是局部可积的，甚至不能被视为一个有限的测度。这种临界性质使得经典的局部能量估计无法直接应用，构成了证明全局存在性的主要障碍。

此外，对于二维情形，已知一类特殊的自相似解——Oseen涡（Oseen vortices）主导了具有可积涡度初值的方程的长时间行为。然而，对于具有非可积涡度的大初始数据，是否存在自相似解一直是未解决的问题。本文正是要填补这一空白。

主要定理或主要结果

本文的主要结果是证明了对于一大类非光滑且能量无穷的自相似初始数据，二维N-S方程存在全局光滑的向前自相似解。

定理 1.1 (Theorem 1.1) 假设初始速度场 $u_0(x) \in C^{0,\beta}_{loc}$（其中 $0 < \beta \le 1$）是定义在 $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ 上的散度为零的自相似数据，并且满足无通量条件 $\int_{\partial S^1} u_0 \cdot n d\sigma = 0$。记 $A = \|u_0\|_{C^{0,\beta}(S^1)} < \infty$。则存在一个全局光滑的自相似解 $u(x,t) \in C^\infty(\mathbb{R}^2 \times (0, \infty))$ 满足方程组及初始条件。此外，该解是“能量扰动解”（energy perturbed solution），满足如下点点估计：

$$ |u(x,t)| \le \frac{C(A,\beta)\sqrt{t}}{|x| + \sqrt{t}}, \quad |u(x,t) - e^{t\Delta}u_0| \le \frac{C(A,\beta)}{|x|^2 + t}, $$

以及

$$ |\nabla u(x,t) - \nabla e^{t\Delta}u_0| \le \frac{C(A,\beta)\sqrt{t}}{(|x|+\sqrt{t})^{2+\beta}}. $$

如果进一步假设初始数据 $u_0$ 属于 $C^2(S^1)$，则可以得到最优的衰减率估计：

$$ |u(x,t) - e^{t\Delta}u_0| \le C(\|u_0\|_{C^2(S^1)}) \frac{\sqrt{t} \ln(1 + \frac{|x|}{\sqrt{t}})}{(|x|+\sqrt{t})^3}. $$

研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明综合运用了线性与非线性分解、加权能量估计、结构恒等式以及不动点理论。其核心逻辑在于如何处理初始数据在 $L^2$ 意义下的“奇异性”。

a) 核心分析学工具

  1. 自相似变量 (Self-similar Variables): 为了研究解的全局行为，文章引入了自相似变量变换。令

    $$ y = \frac{x}{\sqrt{t}}, \quad s = \ln t. $$

    并定义 $v(y,s)$ 使得 $u(x,t) = t^{-1/2} v(y, s)$。在这个变换下，原本关于 $t$ 的演化方程转化为关于 $s$ 的椭圆型方程（Leray方程）：

    $$ -\Delta v - \frac{1}{2} v - \frac{1}{2} y \cdot \nabla v + v \cdot \nabla v + \nabla q = 0. $$

    寻找自相似解等价于寻找上述方程的稳态解（即 $v$ 不依赖于 $s$）。这种变换将时间依赖性转化为尺度依赖性，使得问题更适合利用椭圆正则性理论。

  2. Leray-Schauder 不动点理论 (Leray-Schauder Degree Theory): 为了构造解的存在性，文章最终采用了 Leray-Schauder 不动点定理（或相关的度理论）。这通常包含两个步骤：

    • 先验估计 (A priori Estimates): 证明所有可能解在某个函数空间（这里是能量空间）中都有与参数无关的界。这是本文工作的核心难点。
    • 紧性与近似: 构造一系列近似问题（或利用紧性原理），结合先验估计，证明不动点存在。 本文通过证明“能量扰动部分”的 $H^1$ 有界性，结合线性部分的显式计算，获得了构造不动点所需的紧性。

  3. 能量估计与加权 Sobolev 空间 (Weighted Sobolev Spaces): 由于直接能量估计失效，文章引入了加权空间。为了获得解的点点衰减估计，文章利用了形如 $w(y) = (1+|y|^2)^{\alpha/2} v(y)$ 的加权函数，并证明了 $w(y) \in H^2(\mathbb{R}^2)$。这一步依赖于对 Stokes 算子的加权估计和先验的 $L^p$ 估计。

b) 解决技术性难题的主要技巧

论文的核心贡献在于处理了二维情形下初始数据的临界奇异性，具体技巧如下：

  1. 线性-非线性分解策略 (Decomposition Strategy): 由于初始速度 $u_0 \sim 1/|x|$ 不属于 $L^2_{loc}$，直接在原方程上做能量估计会遇到发散的积分项。作者将解 $u$ 分解为：

    $$ u(x,t) = e^{t\Delta}u_0(x) + u_{re}(x,t). $$
    • 线性部分 $e^{t\Delta}u_0$: 即热方程的解。虽然它本身不属于 $L^2$，但它是显式已知的，且光滑。在自相似变量下，线性部分 $v_0(y) = e^{\Delta}u_0(y)$ 满足一个线性的 Leray 方程。
    • 扰动部分 $u_{re}$ (或 $v_{re}$): 作者的策略是证明这个扰动部分拥有更好的衰减性质（如属于 $L^2$ 或 $H^1$）。如果能控制 $u_{re}$，就能通过叠加原理获得原方程的解。

  2. 结构性恒等式 (Crucial Structural Identity): 这是本文最精彩的技巧之一。通常的能量估计会遇到非线性项 $(v \cdot \nabla v_0) \cdot v_{re}$ 的控制困难，因为无法保证 $v_{re}$ 的 $L^\infty$ 小性。 作者巧妙地利用了 $v_0$ 和 $v_{re}$ 各自满足的方程结构。作者将扰动方程乘以 $v_0$，并将 $v_0$ 的方程乘以 $v_{re}$，相加后积分，得到了如下的关键恒等式（对应文中 2.10 式）：

    $$ \int_{\mathbb{R}^2} |\nabla v_{re}|^2 dy + 2 \int_{\mathbb{R}^2} \nabla v_0 \cdot \nabla v_{re} dy = 0. $$

    利用柯西不等式（Cauchy-Schwarz）和 $|\nabla v_0| \sim 1/(1+|y|^{1+\beta}) \in L^2$ 的性质，这一恒等式允许作者直接获得 $v_{re}$ 的 Dirichlet 能量（梯度的 $L^2$ 范数）的先验界：

    $$ \int |\nabla v_{re}|^2 \le C \int |\nabla v_0|^2 < \infty. $$

    这一步完全绕过了对非线性相互作用项的直接估计，是闭合能量估计的关键。

  3. 截断与修正剖面 (Cut-off and Modified Profile): 为了进一步控制 $v_{re}$ 的 $L^p$ 范数（特别是 $1 < p < 2$），作者引入了一个“修正剖面” $v_1$。

    • 首先对 $v_0$ 进行截断：$v_0$ 在无穷远处衰减慢，但在有限区域很大。作者构造 $v_1 = \eta_R v_0 + w$，其中 $\eta_R$ 是截断函数，$w$ 是为了保持散度为零的修正项。
    • 通过选取足够大的 $R$，可以使得修正后的 $v_1$ 在整个空间上非常小（一致小）。
    • 这样，将原方程写成关于 $v_2 = v - v_1$ 的方程时，非线性项中涉及 $v_1$ 的部分由于其小性而变得可控。

  4. 自反 Banach 空间的迭代估计: 在获得了 $H^1$ 能量界后，作者利用 Stokes 方程的椭圆正则性理论和加权 Sobolev 嵌入定理，通过“自举法”（Bootstrapping）逐步提高正则性。例如，从 $v_{re} \in H^1$ 推导 $v_{re} \in L^p$，再结合加权估计 $\|(1+|y|^2)v_{re}\|_{H^2} \le C$，最终得到 $|v_{re}(y)| \le \frac{C}{1+|y|^2}$ 的点点衰减。这一衰减快于线性部分的 $\frac{1}{1+|y|}$，从而证明了扰动部分确实在无穷远处“消失”得更快，保证了积分的收敛性。

与之前工作的比较

本文在二维Navier-Stokes方程的自相似解理论方面做出了显著的突破，主要体现在对初始数据正则性和可积性的要求大幅降低。

  1. 突破了 $L^2_{loc}$ 的限制（二维 vs 三维）:

    • 先前工作: 三维情形的奠基性工作（如 Jia & Šverák, 2014）证明了对于任何 Hölder 连续的自相似初值，存在全局光滑解。其证明依赖于“局部 Leray 解”的理论，这在三维中要求初值属于 $L^2_{loc}$。然而，二维情形下，自相似初值 $|x|^{-1}$ 不属于 $L^2_{loc}$。
    • 本文改进: 作者指出，由于 $L^2_{loc}$ 估计失效，必须放弃基于局部能量守恒的传统框架。本文通过引入“能量扰动解”的概念，证明了即使初始动能局部无穷，只要扰动部分具有有限能量，解依然存在。这实际上是克服了维度降低带来的可积性恶化问题。

  2. 超越了 Oseen 涡的框架（可积 vs 不可积涡度）:

    • 先前工作: 对于二维N-S方程，经典的 Oseen 涡（Oseen vortices）理论处理的是涡度 $\omega_0$ 为狄拉克测度 $\alpha \delta$ 或可积函数的情形。这些解对应于特殊的线性初值（单一的点涡）。
    • 本文改进: 本文处理的是更广泛的、非可积的初值。对于一般情况，涡度 $\omega_0 \sim \delta + curl \tilde{u}_0$，其中 $\tilde{u}_0$ 不一定有零散度或零通量。特别是当存在非零通量条件（flux condition）时，传统的 Oseen 涡不存在（或者奇异），本文在一般条件下（甚至在非零通量的特定约束下讨论）构造了新的全局解，将理论推广到了“大”数据情形。

  3. 正则性要求的降低与大数据存在性:

    • 先前工作: 许多关于自相似解的存在性结果（如 Besov 空间或 BMO-1 空间）通常需要“小数据”假设。
    • 本文改进: 本文不需要任何小性假设。只要求初值在单位圆 $S^1$ 上具有局部 Hölder 连续性（$C^{0,\beta}$）且满足无通量条件（这是为了排除 Jeffery-Hamel 解所代表的稳态奇异流）。这是目前已知的关于二维自相似解最强的存在性结果之一。

  4. 最优衰减率的刻画: 本文不仅证明了存在性，还给出了精确的衰减估计。对于更高正则性的初值（$C^2(S^1)$），作者利用 [8] 中的渐近展开技巧，证明了包含对数项的最优衰减率。这比仅能获得代数衰减的一般结果提供了更细致的流体渐近结构信息。

综上所述，本文通过精巧的分解和结构恒等式分析，克服了二维情形特有的临界奇异性，填补了在非可积初值下构造全局自相似解的空白，是该领域的一项重要进展。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 卡诺特群上的分数阶热含量渐近性

Fractional heat content asymptotics for Carnot groups

作者: Rohan Sarkar

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.04088v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.04088v1

摘要翻译

中文标题: 卡诺特群上的分数阶热含量渐近性

摘要翻译: 我们提出了一种新方法，用于研究卡诺特群中 $C^2$ 非特征区域的分数阶热含量的小时间渐近性。记亚拉普拉斯算子为 $\mathcal{L}$，有界区域 $Ω$ 的分数阶热含量定义为 $Q^{(α)}_Ω(t)=\int_Ω u_α(t,x)dx$，其中 $u_α$ 是在 $Ω$ 上满足狄利克雷边界条件的分数阶亚拉普拉斯算子 $\mathcal{L}_α:=\mathcal{L}^{α/2}$ 对应的热方程的解。我们证明，对于 $1\leα\le 2$，存在显式的速率函数 $μ_α: (0,\infty)\to (0,\infty)$，使得

$$ \lim_{t\to 0}\frac{|Ω|-Q^{(α)}_Ω(t)}{μ_α(t)}=|\partialΩ|_H, $$

其中 $|\partialΩ|_H$ 是 $Ω$ 的水平周长。此外，该速率函数 $μ_α$ 与欧几里得情形下的结果一致。

2. 相对论 Vlasov-Maxwell-Boltzmann 方程组真空的全局稳定性

Global stability of vacuum for the relativistic Vlasov-Maxwell-Boltzmann system

作者: Chuqi Cao, Xingyu Li

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.04018v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.04018v1

摘要翻译

中文标题: 相对论 Vlasov-Maxwell-Boltzmann 方程组真空的全局稳定性

摘要翻译: 我们考虑三维相对论 Vlasov-Maxwell-Boltzmann 方程组，其中光速 $c$ 是一个不小于 1 的任意常数。对于小初始数据，我们建立了真空的全局存在性及非线性稳定性，并给出了关于 $c$ 一致的误差估计。该分析基于矢量场方法，并结合了 Glassey-Strauss 对电磁场的分解，且不需要初始数据具有紧支集的假设。证明的一个关键要素是导出了与矢量场对易性质相容的相对论 Boltzmann 碰撞算子的链式法则。这些工具使我们能够控制耦合的动力学与电磁方程，并获得真空附近的全局稳定性。

3. 非线性分数阶薛定谔系统解的唯一性与集中行为

The uniqueness and concentration behavior of solutions for a nonlinear fractional Schrödinger system

作者: Chungen Liu, Zhigao Zhang, Jiabin Zuo

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03968v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03968v1

摘要翻译

中文标题: 非线性分数阶薛定谔系统解的唯一性与集中行为

摘要翻译: 本文研究 $\mathbb{R}$ 上一个包含两个耦合的分数阶薛定谔方程的非线性系统，该系统同时具有种内和种间吸引力相互作用。通过分析一个相关的 $L^2$-约束最小化问题，利用隐函数定理证明了该系统解的唯一性。在某种类型的束缚势下，通过建立细致的能量估计，当种内和种间相互作用的总强度趋于临界值时，我们详细分析了系统的解的集中行为，此时解的每个分量发生爆破并集中于相关束缚势的最平坦的公共最小点。此外，还给出了系统解的最优爆破速率。

4. 带线性漂移项的非线性抛物型偏微分方程的 $BV$-估计

$BV$-Estimates for Non-Linear Parabolic PDE with Linear Drift

作者: El Mahdi Erraji, Noureddine Igbida, Fahd Karami, Driss Meskine

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03755v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03755v1

摘要翻译

好的，遵照您的要求，以下是该论文摘要的专业学术翻译：

中文标题: 带线性漂移项的非线性抛物型偏微分方程的 $BV$-估计

摘要翻译: 本文研究了一类包含线性漂移项的非线性抛物型偏微分方程，建立了其解的空间有界变差（$BV$）正则性。我们在一个有界区域上，考虑混合 Dirichlet-Neumann 边界条件，并对数据施加了合理的假设及一般的非线性项。我们的结果同样涵盖了一个特殊情况，即漂移向量场在边界处指向外的有界区域上的线性输运方程。

5. 关于一维标量守恒律及γ=3的等熵欧拉系统的拟熵解的熵耗散结构与正则性

On the structure of entropy dissipation and regularity for quasi-entropy solutions to 1d scalar conservation laws and to isentropic Euler system with $γ=3$

作者: Fabio Ancona, Elio Marconi, Luca Talamini

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03739v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03739v1

摘要翻译

中文标题: 关于一维标量守恒律及γ=3的等熵欧拉系统的拟熵解的熵耗散结构与正则性

摘要翻译: 本文首先研究了多维空间中标量守恒律的拟熵解。在此情形下，我们为此类解引入了一个合适的拉格朗日表示。随后，我们证明，对于一维空间中满足一般非退化条件的通量 $f$，拟熵解的熵耗散测度集中在一个一维可求长集上。对于 $γ=3$ 的等熵欧拉系统，我们也得到了相同的结果，并且通过利用动能测度的符号，略微改进了现有的分数阶正则性。

6. 临界Sobolev空间下非可积双曲-椭圆Ishimori系统的整体适定性

Global well-posedness of non-integrable hyperbolic-ellptic Ishimori system in the critical Sobolev space

作者: Zexian Zhang, Yi Zhou

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03576v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03576v1

摘要翻译

中文标题: 临界Sobolev空间下非可积双曲-椭圆Ishimori系统的整体适定性

摘要翻译: 我们研究了具有通用解耦常数 $κ\in \mathbb{R}$ 的双曲-椭圆Ishimori系统的柯西问题，并证明了其在临界Sobolev空间中的整体适定性。该证明主要依赖于新的双线性估计，这些估计是通过一种新型的div-curl引理建立的，该引理由第二作者在 \cite{zhou_1+2dimensional_2022} 中首次引入。我们的方法结合了热规范（caloric gauge）技术与 $U^p$-$V^p$ 型Strichartz估计，以处理方程的双曲结构。这些结果将先前关于可积情形 $κ= 1$ 的工作推广到了通用的 $κ$，并提供了一个统一的框架，该框架同样适用于维数 $d \ge 2$ 下的双曲和椭圆Schrödinger映射。

不相关论文（基本信息）

1. 空间宇宙学常数趋于零极限下慢旋转Kerr-de Sitter时空的Teukolsky方程

Teukolsky on slowly-rotating Kerr-de Sitter in the vanishing $Λ$ limit

作者: Allen Juntao Fang, Jérémie Szeftel, Arthur Touati

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.04117v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.04117v1

摘要: We prove energy, Morawetz and $r^p$-weighted estimates for solutions to the Teukolsky equation set on a slowly-rotating Kerr-de Sitter background. The main feature of our estimates is their uniformity with respect to the cosmological constant $Λ>0$ (thus allowed to tend to $0$), while they hold on the whole domain of outer communications, extending up to $r\sim Λ^{-\frac{1}{2}}$. As an application of our result, we recover well-known corresponding estimates for solutions to Teukolsky on a slowly-rotating Kerr background in the limit $Λ\to 0$.

2. 可连接 $C_0$-半群中的时间重参数化与混沌动力学

Time Reparametrization and Chaotic Dynamics in Conformable $C_0$-Semigroups

作者: Mohamed Khoulane, Aziz El Ghazouani, M’hamed El Omari

类别: math.AP, math.DS, math.FA

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.04105v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.04105v1

摘要: Conformable derivatives provide a fractional-looking calculus that remains local and admits a simple representation through classical derivatives with explicit weights. In this paper we develop a systematic operator-theoretic perspective showing that conformable time evolution is, in essence, a classical $C_0$-semigroup observed through a nonlinear clock. We introduce the conformable time map $ψ(t)=t^α/α$ and prove that every $C_0$–$α$-semigroup $\{T_α(t)\}_{t\ge0}$ can be written as $T_α(t)=T(ψ(t))$ for a uniquely determined classical $C_0$-semigroup $\{T(s)\}_{s\ge0}$, with generators agreeing on a common domain. This correspondence yields a one-to-one transfer of mild solutions and shows that orbit-based linear dynamics are invariant under conformable reparametrization. In particular, $α$-hypercyclicity and $α$–chaos coincide with the usual notions for the associated classical semigroup. As a consequence, we obtain a conformable version of the Desch–Schappacher–Webb spectral criterion for chaos. We also place the analysis in the natural functional setting provided by conformable Lebesgue spaces $L^{p,α}$ and their explicit isometric identification with standard $L^p$ spaces, which allows one to transport estimates and spectral arguments without loss. The results clarify which dynamical phenomena in conformable models are genuinely new and which are inherited from classical semigroup dynamics via a nonlinear change of time.

3. 多维舆论形成 / 多维度舆论形成

Multi-Dimensional Opinion Formation

作者: Hanna Bartel, Martin Burger, Marie-Therese Wolfram

类别: physics.soc-ph, math.AP, math.DS

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.04074v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.04074v1

摘要: In this paper we propose and investigate a multi-dimensional opinion dynamics model where people are characterised by both opinions and importance weights across these opinions. Opinion changes occur through binary interactions, with a novel coupling mechanism: the change in one topic depends on the weighted similarity across the full opinion vector. We state the kinetic equation for this process and derive its mean-field partial differential equation to describe the overall dynamics. Analytical computations and numerical simulations confirm that this model generates complex stationary states, and we demonstrate that the final opinion structures are critically determined by the peoples’ opinion weights.

4. 关于对数拉普拉斯算子的Fučík谱

On the Fučík spectrum of the Logarithmic Laplacian

作者: Rakesh Arora, Tuhina Mukherjee

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03865v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03865v1

摘要: In this paper, we investigate the Fučík spectrum $Σ_L$ associated with the logarithmic Laplacian. This spectrum is defined as the set of all pairs $(α,β) \in \mathbb{R}^2$ for which the problem

$$ L_Δu = αu^+-βu^- ~\text{in} ~ Ω\quad \text{and} \quad u=0 ~\text{in} ~\mathbb{R}^N\setminus Ω $$

admits a nontrivial solution $u$. Here, $Ω\subset \mathbb{R}^N$ is a bounded domain with $C^{1,1}$ boundary, $u^\pm = \max\{\pm u,0\}$, and $u = u^+ - u^-$. We show that the lines $λ_1^L \times \mathbb{R}$ and $\mathbb{R} \times λ_1^L$, where $λ_1^L$ denotes the first eigenvalue of $L_Δ$, lies in the spectrum $Σ_L$ and are isolated within the spectrum. Furthermore, we establish the existence of the first nontrivial curve in $Σ_L$ and analyze its qualitative properties, including Lipschitz continuity, strict monotonicity, and asymptotic behavior. In addition, we obtain a variational characterization of the second eigenvalue of the logarithmic Laplacian and show that all eigenfunctions corresponding to eigenvalues $λ> λ_1^L$ are sign-changing. Finally, we address a nonresonance problem with respect to the Fučík spectrum $Σ_L$, employing variational methods and carefully overcoming the difficulties arising from the contrasting features of the first eigenvalue $λ_1^L$.

5. 二维球面上的格林函数刚性

Green function rigidity for two dimensional sphere

作者: Mijia Lai, Chilin Zhang

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03773v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03773v1

摘要: We verify a conjecture proposed by X. Chen and Y. Shi, which arises from their study of the Green function on spheres in Euclidean space. More precisely, let $M\subset \mathbb{R}^3$ be a closed $C^{2}$ embedded surface and suppose that there exists a point $p\in M$ so that its Green function $G$ is of the form $G(p,q)=-\frac{1}{2π} \ln d_{\mathbb{R}^3}(p,q)+c, \forall q\neq p$, then $M$ must be a round sphere.

6. 一般自适应动力学网络上相互作用粒子的平均场极限

Mean-field limits for interacting particles on general adaptive dynamical networks

作者: Nathalie Ayi

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03742v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03742v1

摘要: We study the large-population limit of interacting particle systems evolving on adaptive dynamical networks, motivated in particular by models of opinion dynamics. In such systems, agents interact through weighted graphs whose structure evolves over time in a coupled manner with the agents’ states, leading to non-exchangeable dynamics. In the dense-graph regime, we show that the asymptotic behavior is described by a Vlasov-type equation posed on an extended phase space that includes both the agents’ states and identities and the evolving interaction weights. We establish this limiting equation through two complementary approaches. The first follows the mean-field methodology in the spirit of Sznitman [28]. In this framework, we impose the additional assumption that the weight dynamics is independent of one of the agent’s states, an assumption that remains well motivated from a modeling perspective and allows for a direct derivation of the mean-field limit. The second approach is based on the graph limit framework and is formulated in a deterministic setting. This perspective makes it possible to remove the aforementioned restriction on the weight dynamics and to handle more general interaction structures. Our analysis includes wellposedness and stability results for the limiting Vlasov-type equation, as well as quantitative estimates ensuring the propagation of independence. We further clarify the relationship between the continuum (graph limit) formulation and the mean-field limit, thereby providing a unified description of the asymptotic dynamics of interacting particle systems on adaptive dynamical networks.

7. V-拉普拉斯算子非线性椭圆方程的刘维尔定理与梯度估计

Liouville theorems and gradient estimates of a nonlinear elliptic equation for the V-Laplacian

作者: Yike Jia

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03721v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03721v1

摘要: In this paper we establish gradient estimates for positive solutions to the nonlinear elliptic equation

$$ Δ_{V}u^{m}+μ(x)u+p(x)u^α=0 , \quad m>1 $$

on any smooth metric measure space whose $k$-Bakry-Émery curvature is bounded from below by $-(k-1)K$ with $K \geq 0$. Additionally, we obtain related Liouville theorems and Harnack inequalities. We partially extend conclusions of Wang, when $V=0$, $μ=0$ the equation becomes $Δu^{m}+p(x)u^α=0$. And $V=f$, $μ=c, p=0 $, the equation becomes $Δ_{f}u^{m}+cu=0 $.

8. 平面波的存在性、唯一性与分类

Existence, Uniqueness and Classification of Plane Waves

作者: Robert Milton

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03575v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03575v1

摘要: Existence, uniqueness and classification is established for plane waves supported by an irreversible reaction which is a smooth function of local reactant and product concentrations (or prey and predator populations). Rudimentary analytic techniques are used to guarantee a unique plane wave at every wavespeed $V>V_*$ above some threshold. The result readily extends to cutoff reactions, which are zero below some threshold product concentration. These results are not novel, but the method of proof is.

9. 非均匀环境中定向扩散模型的平均种群水平研究

On average population levels for models with directed diffusion in heterogeneous environments

作者: André Rickes, Elena Braverman

类别: math.DS, math.AP

发布日期: 2026-01-07

arXiv ID: 2601.03473v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.03473v1

摘要: In 2006 (J. Differential Equ.), Lou proved that, once the intrinsic growth rate $r$ in the logistic model is proportional to the spatially heterogeneous carrying capacity $K$ ($r=K^1$), the total population under the regular diffusion exceeds the total of the carrying capacity. He also conjectured that the dependency of the total population on the diffusion coefficient is unimodal, increasing to its maximum and then decreasing to the asymptote which is the total of the carrying capacity. DeAngelis et al (J. Math. Biol. 2016) argued that the prevalence of the population over the carrying capacity is only observed when the growth rate and the carrying capacity are positively correlated, at least for slow dispersal. Guo et al (J. Math. Biol. 2020) justified that, once $r$ is constant ($r=K^0$), the total population is less than the cumulative carrying capacity. Our paper fills up the gap for when $r=K^λ$ for any real $λ$, disproving an assumption that there is a critical $λ^{\ast} \in (0,1)$ at which the tendency of the prevalence of the carrying capacity over the total population size changes, demonstrating instead that the relationship is more complicated. In addition, we explore the dependency of the total population size on the diffusion coefficient when the third parameter of the dispersal strategy $P$ is involved: the diffusion term is $d Δ(u/P)$, not just $d Δu$, for any $λ$. We outline some differences from the random diffusion case, in particular, concerning the profile of the total population as a function of the diffusion coefficient.