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重点关注论文（完整分析）

1. 欧拉方程中广义螺旋性的不守恒性

Non-conservation of a generalized helicity in the Euler equations

作者: Vikram Giri, Hyunju Kwon, Matthew Novack

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05869v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05869v1

详细分析

中文标题: 欧拉方程中广义螺旋性的不守恒性

研究对象和背景

本文主要研究三维不可压缩欧拉方程（3D incompressible Euler equations）在低正则性（low-regularity）弱解环境下的守恒律问题，特别是关于**螺旋性（helicity）**这一物理量的性质。

欧拉方程描述了理想流体（无粘性流体）的运动，其形式如下：

$$ \begin{cases} \partial_t u + \mathrm{div}(u \otimes u) + \nabla p = 0, \\ \mathrm{div} \, u = 0, \end{cases} $$

其中 $u = u(t,x): [0,T] \times \mathbb{T}^3 \to \mathbb{R}^3$ 是速度场，$p = p(t,x)$ 是压强，定义在三维环面 $\mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$ 上。

对于光滑解（$C^1_{t,x}$），存在两个经典的守恒量：动能 $E(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{L^2}^2$ 和螺旋性 $H(u)$。螺旋性的定义为：

$$ H(u) = \int_{\mathbb{T}^3} u \cdot \mathrm{curl} \, u \, dx. $$

螺旋性在流体力学和拓扑学中具有深刻的意义。它描述了速度场（进而涡度场）的**缠绕（linking）和扭曲（twisting）**程度，反映了流体涡丝的拓扑结构。正如 Arnold 所展示的，光滑向量场的螺旋性等同于其涡度轨迹的渐近缠绕数的平均值。

研究背景与问题： 在经典的流体力学中，螺旋性的守恒可以由涡度方程的几何性质推导出来：涡度随流体微团的运动而演化，这种演化是体积保持的微分同胚下的推前（push-forward），而螺旋性是这种变换下的不变量。

然而，欧拉方程的全局光滑解是否存在仍是未解决的难题（千禧年大奖难题之一）。在湍流研究中（如 Onsager 的猜想），人们关注弱解（weak solutions）的存在性，这些解可能具有较低的正则性（例如 $L^\infty_t L^3_x$ 或更低）。在低正则性下，经典螺旋性积分可能不再有定义，或者即使有定义也可能不再守恒。本文的核心动机便是回答以下问题：

  1. 对于低正则性的弱解，如何定义螺旋性使其依然有意义？
  2. 是否存在螺旋性定义明确，但随时间不守恒的弱解？

本文引入了一个**广义螺旋性（Generalized Helicity）**的定义，该定义放宽了对正则性的要求（利用 Littlewood-Paley 投影和光滑化核），并在此框架下构造了具有预定螺旋性时间演化 $h(t)$ 的欧拉方程弱解。

主要定理或主要结果

本文的核心结果是 Theorem 1.4，它证明了在欧拉方程中，广义螺旋性可以被预定并且不守恒。

定理 (Theorem 1.4): 给定 $0 < \beta < 1/2$ 和 $T > 0$。假设光滑函数 $e: [0,T] \to (0, \infty)$ 和 $h: [0,T] \to (-\infty, \infty)$ 给定。则存在欧拉方程的弱解 $u: [0,T] \times \mathbb{T}^3 \to \mathbb{R}^3$，满足：

  1. 正则性： $u \in C([0,T]; (H^\beta \cap L^{1-2\beta})(\mathbb{T}^3))$。
  2. 广义螺旋性定义： $u$ 的广义螺旋性在 Definition 1.1 的意义下是定义良好的。
  3. 动力学性质： 解的动能和广义螺旋性随时间变化且满足预定的函数：
    $$ \frac{1}{2}\|u(t, \cdot)\|_{L^2(\mathbb{T}^3)}^2 = e(t), \quad H(u(t)) = h(t). $$

注： 该解的正则性指数 $\beta$ 接近 $1/3$（当 $\beta \to 1/2$ 时，解属于 $C_t B^{1/3}_{3,\infty,x}$），这使得解处于**Onsager 临界正则性（Onsager-critical regularity）**附近。这意味着在如此低的正则性下，能量和螺旋性都可以是非守恒的。

研究方法、关键技术和核心工具

本文采用的方法是基于凸积分（Convex Integration）和Nash 迭代的技术，特别是结合了 [6, 45] 中发展的**间歇性（intermittent）**Nash 迭代框架。证明过程极其复杂，需要精细地控制高频扰动以同时满足欧拉方程、能量约束和螺旋性约束。

a) 核心分析学工具

  1. 间歇性 Nash 迭代 (Intermittent Nash Iteration): 这是构造 Onsager 临界正则性解的标准工具。通过在频率 $\lambda_q$ 上不断添加高频扰动 $w_q$，使得误差项（雷诺应力 $R_q$）逐渐减小。这里的扰动不是任意的，而是所谓的“间歇性管束（intermittent pipe bundles）”，即局部化的剪切流。这种构造利用了 $L^3$ 范数的尺度不变性。

  2. Littlewood-Paley 理论与正则性空间: 为了处理螺旋性，文章大量使用了 Fourier 分析和 Littlewood-Paley 投影。广义螺旋性的定义（Definition 1.1）本质上依赖于频率分解：它要求在每一个 Littlewood-Paley 壳层（shell）上的螺旋性绝对可求和，且定义与光滑化核的选择无关。

  3. 参数层级: 迭代过程中涉及一系列精细调整的参数：频率 $\lambda_q$，振幅 $\delta_q$，间歇性半径 $r_q$，时间尺度 $\tau_q$ 和 $\mu_q$，以及尺度因子 $\Gamma_q$。这些参数满足特定的代数关系，以保证迭代收敛（例如 $\delta_q \to 0$）。

b) 解决技术性难题的主要技巧

文章面临的最大挑战在于：标准的间歇性扰动虽然能控制能量和欧拉方程，但它们的螺旋性通常很大或者难以控制。为了实现预定螺旋性，作者引入了几个关键的创新点：

  1. 螺旋性为零的高维建筑块 (Mikado Flows with Zero Helicity):

    • 技巧： 文章首先指出，标准的间歇性 Mikado 流（管道状的剪切流）本质上是局部剪切流的乘积。对于剪切流，速度场 $u$ 和涡度 $\omega = \mathrm{curl} \, u$ 是正交的（$u \perp \omega$），因此其螺旋性为零。
    • 作用： 这一性质意味着，作为主扰动的高频建筑块本身不会产生显著的螺旋性，从而允许作者在后续步骤中更自由地“注入”螺旋性。

  2. 缩短时间尺度 (Shortening of the Time-Scale):

    • 难题： 高频扰动 $w_q$ 需要被低频背景流 $\Phi$（由 $u_{<q}$ 生成）输运。如果背景流的变形过大（D$\Phi$ 远离恒等映射），被变形后的剪切流可能会产生不可控的螺旋性（$\approx O(1)$）。
    • 技巧： 作者引入了一个新的时间尺度 $\mu_q \ll \tau_q$。虽然背景流的 Lipschitz 范数不变，但扰动仅在极短的时间区间 $\mu_q$ 内被输运。这使得流的变形量 $\|D\Phi - Id\| \sim \tau_q^{-1} \mu_q$ 变得很小，从而保证了变形后的建筑块产生的螺旋性误差是高阶小量（例如 $(\tau_q^{-1} \mu_q) \lambda_q \delta_q$）。

  3. 新的螺旋性建筑块 (New Helical Building Blocks):

    • 难题： 为了精确预定螺旋性 $h(t)$，需要在迭代的每一步添加修正项 $w^h$，以消除当前螺旋性与目标值的偏差。修正项必须足够大以产生所需的螺旋性（在 $H^{1/2}$ 意义下），但又必须足够小以不破坏 $L^2$ 能量估计和欧拉方程的闭合。
    • 技巧： 作者设计了一种新的结构 $w^h$，它不再是简单的剪切管束，而是螺旋状（helical）的流。这些流支持在一个小螺旋线 $t \mapsto (r \cos(2\pi \lambda_* t), r \sin(2\pi \lambda_* t), t)$ 的附近。
    • 参数选择： 螺旋的“波长” $\lambda_*$ 被精心选择（$\lambda_q \ll \lambda_* \ll \lambda_{q-1}$），使得这些螺旋块既能产生足够的螺旋性（通过特定的几何结构），又能满足“躲避（dodging）”假设（即不同频率的扰动在时空上不重叠）。

  4. 正则性的权衡 (Regularity Trade-offs):

    • 文章中存在两个互相冲突的正则性约束：
      1. 缩短时间尺度和处理低阶项（如散度校正项）要求解具有较高的正则性 $\beta$（需要 $\beta$ 足够大，具体依赖于参数 $b$）。
      2. Nash 迭代中的振荡误差（Oscillation error）限制了 $\beta$ 的上限，使其必须小于 $1/2$。
    • 作者通过在迭代开始前选择合适的参数 $b$ 和 $\bar{b}$ 来平衡这些约束，使得迭代能够收敛到一个特定的 $\beta \in (0, 1/2)$。

与之前工作的比较

a) 突破与改进

  1. 广义螺旋性的定义 (Extension of Helicity Definition):

    • 先前工作： 经典的螺旋性定义 $H(u) = \int u \cdot \mathrm{curl} u$ 仅在正则性至少为 $H^{1/2}$ 的空间中通过迹定理或对偶性有定义（因为 $\mathrm{curl} u \in H^{-1/2}$）。在更低的正则性（如 $L^3$ 甚至 $L^\infty_t L^3_x$）中，该积分可能发散或无定义。
    • 本文改进： 定义 1.1 提出了一个基于 Littlewood-Paley 分解和光滑化核极限的广义定义。这个定义不依赖于简单的对偶配对，而是要求在每个频率壳层上的螺旋性之和收敛。这使得在 Onsager 临界空间（$L^3$）甚至更低的正则性中讨论螺旋性成为可能。

  2. 打破螺旋性守恒定律 (Breaking Conservation Laws):

    • 先前工作： 在 3D Euler 方程的弱解理论中，存在著名的 Onsager 猜想，即能量守恒在 Hölder 空间 $C^{1/3}$ 以下失效。对于螺旋性，已知在较高正则性（如 $L^\infty_t H^{1/2}_x$ 或 $L^3_t B^{2/3}_{3,c(N)}$）下是守恒的。长期以来，一个核心问题是：是否存在螺旋性定义良好但不守恒的解？
    • 本文改进： 本文给出了肯定的回答。通过构造，作者证明了即使在螺旋性定义良好的情况下（广义意义下），其值也可以随时间任意演化（$H(u(t)) = h(t)$）。这表明螺旋性守恒律比能量守恒律更早地在较低的正则性下被破坏，或者至少在临界正则性附近是可失效的。

b) 技术层面的对比

  • 对比 [6, 45] (Integrand-convex integration): [6, 45] 发展的间歇性迭代主要用于构造能量守恒但几何复杂的解（或验证 Onsager 猜想）。本文在此基础上引入了额外的约束（螺旋性）。这迫使作者不仅仅关注欧拉方程的代数结构（$u \otimes u$），还必须关注微分结构（$u \cdot \mathrm{curl} u$）。
  • 对比 [29, 30] (Continuous scheme): [29, 30] 引入的连续方案简化了迭代过程，避免了离散时间步长的复杂性。本文继承了这一框架，但增加了处理螺旋性的复杂性，特别是“缩短时间尺度”这一技巧，是为了解决被输运的扰动在几何变形下的螺旋性增长问题，这是前人工作中未曾遇到的障碍。

总结： 这篇文章通过引入广义螺旋性的定义和一套复杂的 Nash 迭代技术（包含缩短时间尺度和定制的螺旋修正块），解决了低正则性下螺旋性是否必须守恒的长期问题。它证明了在接近 Onsager 临界正则性的空间中，欧拉方程允许螺旋性随时间任意变化的弱解，从而丰富了我们对湍流中守恒律失效的理解。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 蒸发、沉降和溶质结晶对多尺度气溶胶粒径分布动力学的综合影响

Combined effects of evaporation, sedimentation and solute crystallization on the dynamics of aerosol size distributions on multiple length and time scales

作者: Sina Zendehroud, Ole Kleinjung, Philip Loche, Lydéric Bocquet, Roland R. Netz, Erica Ipocoana, Dirk Peschka, Marita Thomas

类别: physics.flu-dyn, math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05876v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05876v1

摘要翻译

好的，作为专业的学术翻译专家，我将为您准确、严谨地翻译这份物理学领域的论文摘要。

中文标题: 蒸发、沉降和溶质结晶对多尺度气溶胶粒径分布动力学的综合影响

摘要翻译: 本文在不同长度和时间尺度上，研究了气溶胶介导的空气传播病毒感染机制的三个方面。首先，我们采用尖锐液滴-空气界面模型，探讨了经历蒸发和沉降的非相互作用液滴系综的粒径分布演化。通过求解演化方程的精确解，我们推导出空气中的病毒载荷，并证明其对相对湿度高度敏感。其次，我们从分子动力学模拟中提取了单个水分子在水-空气界面的分子反射系数。该参数决定了液滴表面的水蒸气凝结和蒸发速率，进而影响含水液滴的蒸发率。研究发现，在室温下水的反射可以忽略不计，但在较高温度和掠射角下会显著增加。第三，我们为含溶质液滴推导了一个热力学上自洽的三维扩散界面模型，该模型被表述为一个三相Cahn-Hilliard/Allen-Cahn系统。通过数值求解耦合的方程组，我们探索了代表性情景，结果表明该模型再现了尖锐界面模型的特征并对其进行了推广。这些关于气溶胶液滴蒸发动力学的相互关联的研究，对于定量评估变化环境条件下的空气传播感染风险具有重要意义。

2. 两个部分分离系统中的相同自由边界

Identical Free Boundaries in two partially Segregated Systems

作者: Farid Bozorgnia

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05682v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05682v1

摘要翻译

好的，请看以下翻译：

中文标题: 两个部分分离系统中的相同自由边界

摘要翻译: 我们比较了两个用于模拟部分相分离的奇异扰动椭圆系统。尽管这两个系统的方程形式存在本质差异，但我们证明了它们极限构型的自由边界是相同的。该结果表明，界面几何形状仅取决于极限分离的基本结构特性（即在正性集中的调和性）及边界数据，而极限解的函数值可能有所不同。数值实验也证实了这一理论发现。

3. 非线性演化方程的Harnack型不等式

Harnack-type inequalities for nonlinear evolution equations

作者: Jessica Slegers

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05642v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05642v1

摘要翻译

好的，遵照您的要求，以下是该论文标题和摘要的专业学术翻译。

中文标题: 非线性演化方程的Harnack型不等式

摘要翻译: Harnack不等式是理解偏微分方程性质的有效定性工具。Harnack不等式最初是作为调和函数的一个性质被发现的，此后被广泛研究并应用于更广泛的椭圆型和抛物型问题的解。在本专著中，我们特别关注推导非线性演化方程解的Harnack不等式。我们重点探讨由Li和Yau在线性热方程情形下引入，并由Auchmuty和Bao推广到非线性问题的方法。在展示这些结果之前，我们研究了一个在证明中自然出现的最小化问题。在建立了由Auchmuty和Bao提出的一系列三个一般性Harnack不等式结果之后，我们研究了其在推导多孔介质方程的解以及与$p$-Laplace算子相关的抛物型问题的弱解（我们在此称之为$p$-扩散方程）所满足的Harnack不等式中的应用。最后，我们通过证明一类线性演化问题解的局部时空Hölder连续性，展示了Harnack不等式的一个常见应用。该证明基于Moser在其1960年代关于Harnack不等式的开创性工作中所引入的方法。最后，我们就本文讨论的主题，为未来的工作提出了潜在的研究机会。

4. 一种细胞趋力性动力学方程的多尺度分析

Multiscale analysis of a kinetic equation for mechanotaxis

作者: Benoît Perthame, Francesco Salvarani, Shugo Yasuda

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05532v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05532v1

摘要翻译

好的，作为一名专业的学术翻译专家，我将为您准确、严谨地翻译这篇关于细胞趋力性的动力学方程的摘要。

中文标题: 一种细胞趋力性动力学方程的多尺度分析

摘要翻译: 我们提出了一种新的动力学方程，用于描述由细胞与基质间机械相互作用所驱动的细胞迁移。此前动力学模型尚未捕捉到这种效应，但它对于解释诸如细菌菌落中观察到的集体行为至关重要。该模型引入了一个加速项，用以描述运动细胞在趋力性（mechanotaxis）过程中的动力学行为，在该过程中，细胞外信号会调节由细胞-基质相互作用产生的力。基于此方程，我们推导出一族宏观极限方程并分析其主要性质。特别地，我们通过理论分析，并结合数值模拟，研究了这些方程的线性稳定性和图式形成能力。

5. 基于加权Weyl-Sonine算子的老化、异质及分布阶系统的统一谱框架

A Unified Spectral Framework for Aging, Heterogeneous, and Distributed Order Systems via Weighted Weyl-Sonine Operators

作者: Gustavo Dorrego

类别: math.FA, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-01-08

arXiv ID: 2601.05423v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05423v1

摘要翻译

中文标题: 基于加权Weyl-Sonine算子的老化、异质及分布阶系统的统一谱框架

摘要翻译: 标准分数阶微积分已成功地模拟了具有幂律记忆的系统。然而，异质介质中的复杂现象往往表现出多尺度记忆效应和老化特性，这是经典算子无法捕捉的。在这项工作中，我们通过定义加权Weyl-Sonine算子 (Weighted Weyl-Sonine Operators) 构建了一个统一框架。该形式体系提供了分数阶微积分的基础推广，使理论摆脱了幂律记忆（通过Sonine核）、时间平移不变性（通过尺度和权重函数）以及人为历史截断（通过Weyl积分）的限制。

主要成果是一个广义谱映射定理，证明了加权傅里叶变换 (Weighted Fourier Transform) 可作为这些算子的通用对角化映射。我们通过完全伯努利函数 (Complete Bernstein Functions) 类严格刻画了可接受的记忆核，确保所得算子保留了正性和单调性等基本性质。此外，我们在Sonine的代数定义与涉及Lévy测度的Marchaud分析表示之间建立了一座理论桥梁。

最后，我们应用该理论求解广义松弛方程和加权分布阶 (Weighted Distributed Order) 演化问题，证明了超慢扩散和滞后老化现象可以在这一统一谱框架内得到显式处理。

6. 三维三次非齐次非线性薛定谔方程的阈值解：能量临界情形

Threshold solutions for the $3d$ cubic INLS: the energy-critical case

作者: Luccas Campos, Luiz Gustavo Farah, Jason Murphy

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-08

arXiv ID: 2601.05349v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05349v1

摘要翻译

好的，遵照您的要求，以下是该论文标题和摘要的专业学术翻译。

中文标题: 三维三次非齐次非线性薛定谔方程的阈值解：能量临界情形

摘要翻译: 我们研究了能量临界的三维三次非齐次非线性薛定谔方程 $i\partial_t u + Δu + |x|^{-1}|u|^2 u=0$。在本文中，我们证明了存在一类特殊解 $W^\pm$，其能量等于基态 $W$ 的能量，并利用这些解来刻画能量处于基态能级的解的行为。非线性项中的奇异因子 $|x|^{-1}$ 严重限制了基态的正则性，并促使我们采用一种新颖的调制分析方法。

不相关论文（基本信息）

1. 临界增长椭圆方程中Profile分解定理的应用

Application of a profile decomposition theorem to elliptic equations with critical growth

作者: Diego Ferraz

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05959v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05959v1

摘要: This paper introduces new variational methods centered on the direct application of a profile decomposition theorem for bounded sequences in Sobolev spaces. We employ these methods to prove the existence of ground state solutions for a class of semilinear elliptic equations in $\mathbb{R}^N$ with critical Sobolev growth, set in an asymptotically periodic framework where the coefficients converge to periodic functions at infinity. Our approach successfully addresses highly general nonlinearities, including a subcritical term that does not need to satisfy the classical Ambrosetti-Rabinowitz condition and a critical term that extends far beyond the standard pure power assumption to include functions with oscillatory behavior. We prove the existence of ground states under two alternative conditions: either a strict energy gap between the minimax levels of the original and asymptotic problems or a direct energy comparison between the associated functionals. Some restrictive assumptions, such as specific decay rates for the coefficients or monotonicity properties of the nonlinearities, are not required in our results.

2. 一类临界维度驱动扩散系统的超扩散中心极限定理

Superdiffusive central limit theorem for a class of driven diffusive systems at the critical dimension

作者: Giuseppe Cannizzaro, Tom Klose, Quentin Moulard

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05945v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05945v1

摘要: We study the large-scale behaviour of a class of driven diffusive systems modelled by a Stochastic Partial Differential Equation, the Stochastic Burgers Equation (SBE) with general nonlinearity, at the critical dimension and in infinite volume. Our main result shows that, under a logarithmically superdiffusive space-time scaling, it is given by the same explicit Gaussian Fixed point obtained in [G. Cannizzaro, Q. Moulard, & F. Toninelli, arxiv.org/abs/2501.00344, 2025] for the quadratic SBE, but with suitably renormalised coefficients, thereby rigorously justifying and partly correcting the classical Physics derivation of the SBE in [H. van Beijeren, R. Kutner, & H. Spohn, Phys. Rev. Lett., 1986] based on Spohn’s theory of nonlinear fluctuating hydrodynamics. Besides, ours is the first universality-type result for out-of-equilibrium systems and the first extension of [M. Hairer, J. Quastel, Forum of Mathematics, Pi, Vol. 6, 2018, e3], to the critical dimension and beyond weak coupling. The major challenge in our work is the mild growth condition on the nonlinearity which renders even the well-posedness of the microscopic equation non-trivial. Additional key novelties include the derivation of fine estimates on the non-quadratic part of the generator as well as a new approximation for the resolvent associated to the solution of the quadratic SBE.

3. 具有奇异扩散的细胞运动随机相场模型研究

On a stochastic phase-field model of cell motility with singular diffusion

作者: Amjad Saef, Wilhelm Stannat

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05881v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05881v1

摘要: We study existence of solutions in the variational sense for a class of stochastic phase-field models describing moving boundary problems. The models consist of stochastic reaction-diffusion equations with singular diffusion forced by a phase-field. We investigate both the case of an independently evolving phase-field and of coupled phase-field evolution driven by a viscous Hamilton-Jacobi equation. Such systems are used in the modelling of single-cell chemotaxis, where the contour of the cell shape corresponds to a level set of the phase-field. The technical challenge lies in the singularities at zero level sets of the phase-field. For large classes of initial data, we establish global existence of probabilistically weak solutions in $L^2$-spaces with weights which compensate for the singularities.

4. 非凸能量率独立系统最优控制问题的粘性近似

Viscous Approximation of Optimal Control Problems Governed by Rate-Independent Systems with Non-Convex Energies

作者: Merlin Andreia, Christian Meyer

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05862v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05862v1

摘要: We consider an optimal control problem governed by a rate-inde-pendent system with non-convex energy. The state equation is approximated by means of viscous regularization w.r.t.\ to hierarchy of two different Hilbert spaces. The regularized problem corresponds to an optimal control problem subject to a non-smooth ODE in Hilbert space, which is substantially easier to solve than the original optimal control problem. The convergence properties of the viscous regularization are investigated. It is shown that every sequence of globally optimal solutions of the viscous problems admits a (weakly) converging subsequence whose limit is a globally optimal solution of the original problem, provided that the latter admits at least one optimal solution with an optimal state that is continuous in time.

5. 非局域扰动下反应扩散系统平面波前的稳定性与动力学

Stability and dynamics of planar fronts in reaction-diffusion systems under nonlocalized perturbations

作者: Björn de Rijk, Joris van Winden

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05832v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05832v1

摘要: We analyze the stability and dynamics of bistable planar fronts in multicomponent reaction-diffusion systems on $\mathbb{R}^{d}$. Under standard spectral stability assumptions, we establish Lyapunov stability of the front against fully nonlocalized perturbations. Such perturbations could previously be treated only for scalar equations via comparison principles. We also prove that the leading-order dynamics of the perturbed front are governed by a modulation that tracks the motion of the front interface and evolves according to a viscous Hamilton-Jacobi equation. This effective description reveals that asymptotic orbital stability does not hold in general. However, asymptotic stability can be recovered by imposing localization of perturbations in the transverse spatial directions. The treatment of nonlocalized perturbations on $\mathbb{R}^{d}$ poses significant challenges, both at the linear and nonlinear level. At the linear level, the neutral translational mode gives rise to continuous spectrum which touches the origin and cannot be projected out by conventional means, resulting in merely algebraic decay rates for the residual. Our linear estimates are necessarily $L^{\infty}$-based, yielding significantly weaker decay rates than those available for $L^p$-localized perturbations. At the nonlinear level, quadratic gradient terms decay at a critical rate and cannot be treated perturbatively. We overcome these challenges by carefully decomposing the linearized dynamics, blending semigroup methods with ideas from the stability analysis of viscous shock waves, and introducing a novel nonlinear tracking scheme that combines spatiotemporal modulation with forcing techniques and the Cole-Hopf transform.

6. 基于极小极大方法的非平凡 $n$-调和映射的存在性

Existence of nontrival $n$-harmonic maps via min-max methods

作者: Dorian Martino, Katarzyna Mazowiecka, Armin Schikorra

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05700v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05700v1

摘要: For any $n \geq 3$ and any closed manifold $\mathcal{N}$ with $π_{n+k}(\mathcal{N}) \neq \{0\}$ for some $k \geq 0$, we establish the existence of nontrivial $n$-harmonic maps from $\mathbb{S}^n$ into $\mathcal{N}$. When $k\geq 1$, these maps naturally appear as bubbling limits of $p$-harmonic maps with $p > n$, obtained by min-max constructions in the limit $p \to n^+$.

7. 粗粒度椭圆性与De Giorgi-Nash-Moser理论

Coarse-grained ellipticity and De Giorgi-Nash-Moser theory

作者: Scott Armstrong, Benny Avelin, Cristiana De Filippis, Tuomo Kuusi, Giuseppe Mingione

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05690v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05690v1

摘要: We prove local boundedness and a Harnack inequality for nonnegative weak solutions of the equation $-\nabla\cdot(\mathbf{a}(x)\nabla u)=0$ under a coarse-grained ellipticity assumption on the symmetric coefficient field $\mathbf{a}$. Coarse-grained ellipticity is a scale-dependent condition, defined for fields with only $\mathbf{a},\mathbf{a}^{-1}\in L^1$, in terms of families of effective diffusion matrices on triadic cubes of all sizes, and our estimates depend quantitatively on a corresponding coarse-grained ellipticity ratio. We show that coarse-grained ellipticity can be enforced by purely negative Sobolev regularity hypotheses: if $\mathbf{a}\in L^1\cap W^{-s,p}(U)$ and $\mathbf{a}^{-1}\in L^1\cap W^{-t,q}(U)$ for exponents $p,q\in[1,\infty]$ and $s,t\in[0,1)$ satisfying $s<1-\frac{1}{p}$, $t<1-\frac{1}{q}$ and

$$ \frac{s+t}{2} + \frac{d}{2}\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\Bigr) < 1, $$

then $\mathbf{a}$ is coarse-grained elliptic in $U$ and every nonnegative solution satisfies a quantitative unit-scale Harnack inequality. In particular, when $s=t=0$ we recover Trudinger’s classical result under the integrability condition $\mathbf{a}\in L^p$, $\mathbf{a}^{-1}\in L^q$ with $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{2}{d}$, and we obtain the sharp scaling of the Harnack constant in terms of $\|\mathbf{a}\|_{L^p}$ and $\|\mathbf{a}^{-1}\|_{L^q}$. More importantly, our criteria apply to new classes of degenerate and singular coefficient fields for which $\mathbf{a},\mathbf{a}^{-1}\notin L^{1+δ}$ for all $δ>0$, including examples generated by singular fractal measures and Gaussian multiplicative chaos, beyond the reach of previous approaches based solely on integrability assumptions.

8. 利普希茨区域上 $H^{1/2}$ 和 $H^{3/2}$ 调和函数的迹

On the traces of harmonic functions $H^{1/2}$ and $H^{3/2}$ in Lipschitz domains

作者: Chérif Amrouche, Mohand Moussaoui

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05610v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05610v1

摘要: In this work, we revisit the following estimate due to Dahlberg \cite{Dahl}. Let $\textit{\textbf x}_0$ a fixed point in a bounded Lipschitz domain $Ω$. Then there exists a constant $C > 0$ such that if $u$ is a harmonic function in $Ω$ and vanishes at $\textit{\textbf x}_0$, then \begin{equation*} C^{-1} \Vert u \Vert_{L^2(Γ)} \leq \Big(\int_Ω\varrho\vert \nabla u \vert^2\Big)^{1/2} \leq C \Vert u \Vert_{L^2(Γ)}, \end{equation*} where $\varrho$ is the distance to the boundary of $Ω$. Using Grisvard’s work and interpolation theory for subspaces, we complete the solvability of the inhomogeneous Dirichlet problem:

$$ (\mathscr{L}_D^0)\ \ \ \ -Δu = f\quad \ \mbox{in}\ Ω\quad \mbox{and } \quad u = 0 \ \ \mbox{on }Γ, $$

in a framework of fractional Sobolev spaces $H^s(Ω)$, when $Ω$ is a polygon or a polyhedron domain and $1/2 \leq s \leq 2$. Thanks to these regularity results and an explicit function given by Ne$\mathrm{\check{c}}$as, we show that the above inequalities cannot be valid in their current form. On the other hand, we identify a functional space which satisfies the embeddings $H^{1/2}_{00}(Ω)\hookrightarrow E(\nabla;\, Ω) \hookrightarrow H^{1/2}(Ω)$ and the trace operator $γ_0$ from $E(\nabla;\, Ω)$ into $L^2(Γ)$ is well-defined and continuous. This leads to an alternative to the functions $H^{1/2}(Ω)$, non necessarily harmonic, for having a trace in $L^2(Γ)$ and also to a new characterization of $H^{1/2}_{00}(Ω)$ as the kernel of this operator. However, we show that if the domain $Ω$ is of class $\mathscr{C}^{1, 1}$, then the above inequalities are valid.

9. 一类柯西问题及其在非线性偏微分方程中的应用

On a class of Cauchy problems with applications in nonlinear partial differential equations

作者: Feida Jiang, Neil S. Trudinger, Qiao-Qiao Xu

类别: math.AP, math.CA

发布日期: 2026-01-09

arXiv ID: 2601.05550v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05550v1

摘要: In this paper, we investigate the existence and nonexistence of entire solutions to a general class of Cauchy problems in the positive half line. Our results provide a unified approach to proving sharp local and entire solvability of nonlinear partial differential equations in n-dimensional Euclidean space. As applications of the general framework, we present such results for two series of nonlinear equations: a series of k-Hessian type equations and a new series of P-k-Hessian type equations. These results are also proved for the more general p-Hessian matrices, with p > 1, and degenerate non homogeneous terms.

10. FitzHugh-Nagumo 系统中相波的扩散同步

Diffusive synchronization of phase waves in the FitzHugh-Nagumo system

作者: Montie Avery, Paul Carter, Björn de Rijk, Arnd Scheel

类别: math.AP, math.DS, nlin.PS

发布日期: 2026-01-08

arXiv ID: 2601.05377v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05377v1

摘要: We analyze synchronization of relaxation oscillations in multiple-timescale reaction-diffusion systems. Interpreting synchronization as convergence to frequency-synchronized wave-train solutions, we resolve for the first time the case of phase waves. These waves are nearly phase-synchronized relaxation oscillations, featuring quasistationary plateaus of length $\varepsilon^{-1}$ separated by fast transition layers, where $\varepsilon\ll1$ is the timescale separation parameter. Tracking the decay of modulations via a Bloch-wave eigenfunction analysis, we find a remarkably weak interaction strength of order $\varepsilon^{8/3}$. This weak layer interaction and many of the technical difficulties arise from repeated scattering of eigenfunctions through fold points at the ends of the quasistationary plateaus. We capture this by combining a novel geometric desingularization approach with Lin’s method, exponential trichotomies, and the Riccati transform. While our spectral stability analysis yields diffusive synchronization of all phase waves in the FitzHugh-Nagumo system, it also identifies potential finite-wavelength instabilities, which we realize in a system variant.

11. 三维立方非线性薛定谔方程的阈值解：能量亚临界情形

Threshold solutions for the $3d$ cubic INLS: the energy-subcritical case

作者: Luccas Campos, Luiz Gustavo Farah, Jason Murphy

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-08

arXiv ID: 2601.05341v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05341v1

摘要: We revisit the work [L. Campos and J. Murphy, SIAM J. Math. Anal., 55 (2023), pp. 3807–3843], which classified the dynamics of $H^1$ solutions at the ground state threshold for cubic inhomogeneous nonlinear Schrödinger equations of the form $i\partial_t u + Δu + |x|^{-b}|u|^2 u = 0$ in the range $b\in(0,\tfrac12)$. By modifying the modulation analysis and using Strichartz estimates in place of pointwise bounds, we extend the result to the full energy-subcritical range $b\in(0,1)$. This strategy is expected to carry over to other dispersive equations with singular potentials.

12. 营养趋向性系统中与维数无关的临界指数

A dimension-independent critical exponent in a nutrient taxis system

作者: Michael Winkler

类别: math.AP

发布日期: 2026-01-08

arXiv ID: 2601.05338v1

链接: http://arxiv.org/abs/2601.05338v1

摘要: In a ball $Ω\subset R^n$ with arbitrary $n\ge 1$, the chemotaxis-consumption system

$$ \left\{ \begin{array}{l} u_t = \nabla \cdot \big(D(u)\nabla u\big) - \nabla \cdot (u\nabla v), \\[1mm] 0 = Δv - uv, \end{array} \right. $$

is considered under no-flux boundary conditions for $u$, and for prescribed constant positive boundary data for $v$. Under the assumption that $D\in C^3([0,\infty))$ satisfies

$$ D(ξ)\ge k_D (ξ+1)^{-α} \qquad \mbox{for all } ξ\ge 0 \qquad \qquad (\star) $$

with some $α<1$ and some $k_D>0$, it is shown that for each nonnegative and radially symmetric $u_0\in \bigcup_{q>\max\{2,n\}} W^{1,q}(Ω)$, a uniquely determined global bounded classical solution exists. This complements a previous result according to which given any positive $D\in C^3([0,\infty))$ fulfilling $D(ξ) \le K_D (ξ+1)^{-α}$ with some $α>1$ and $K_D>0$, one can find nonnegative radial initial data $u_0\in C_0^\infty(Ω)$ such that no global solution exists.