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1. 2D 欧拉方程在 Yudovich 正则条件下的切流渐近稳定性

Asymptotic stability of shear flows for 2D Euler equations at Yudovich regularity

作者: Dengjun Guo, Xiaoyutao Luo

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20065v1

摘要翻译: 2D 欧拉方程中切流的非线性渐近稳定性传统上与周期性设定下的无粘阻尼相关联。由于抑制“回声”现象需要 Gevrey 正则性，已知在 Sobolev 空间中渐近稳定性是不可能的。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20065v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是二维不可压缩理想流体的欧拉方程在无限通道 Ω = ℝ × [0,1] 上的剪切流（shear flow）的非线性渐近稳定性。剪切流背景速度仅依赖于横坐标 y，形如 (f(y),0)，其中 f ∈ C²([0,1])。扰动 vorticity ω 满足输送方程 ∂ₜω + f(y)∂ₓω + u·∇ω = −f’’(y)u_y，速度场 u 通过 Biot‑Savart 定律从 ω 恢复。传统上，剪切流的渐近稳定性与周期域中的非粘性阻尼（inviscid damping）相关联，但这一机制要求初始扰动具备Gevrey正则性， Sobolev 空间内则不可能获得渐近稳定性。Yudovich 理论表明，欧拉方程在 L¹∩L∞ vorticity（即 Yudovich 类）下具有全局存在和唯一性，这是方程的最低正则性阈值。然而，将渐近稳定性推广到如此低的正则性一直是一个悬而未决的问题，主要原因在于缺乏任何耗散平滑机制，粗糙扰动会保持粗糙，导致“正则性间隙”。本文的核心思想是利用无限通道的几何特性：vorticity 能够被背景剪切流向空间无穷远处输送（vorticity escape），从而实现稳定化，避开了对Gevrey正则性的需求。

2. 主要定理或主要结果

文中首先定义了一类可接受的剪切流背景 f ∈ F，满足非负性 f(y) ≥ δ d(y)（其中 d(y)=min{y,1−y}）和曲率限制 |f’’(y)| ≤ C δ d(y)。在这类背景流下，得到以下主要结论：

  • 定理 1.1（渐近稳定性）：存在普遍常数 C>0，使得对任意 f ∈ F，方程 (1.1) 对于满足 ‖ω‖_{L∞(Ω)} ≤ ε（ε=ε(f)小）且具有紧支撑的 Yudovich 扰动，其唯一解 ω(t) 满足对于任何紧集 K⊂Ω，

    $$ \lim_{t\to\infty}\|\omega(t)\|_{L^\infty(K)} = 0, $$

    因而 ω(t) 在每个 1<p<∞ 的 L^p(Ω) 上弱收敛到零。

  • 定理 1.5（非停滞流的指数衰减）：当背景流满足一致正下界 m = inf_{y∈[0,1]} f(y) > 0 且 ‖f’’‖_{L∞} ≤ C m 时，对相同大小的扰动有

    $$ \|\omega(t)\|_{L^\infty((-\infty,R]\times[0,1])} \lesssim R^{-1} e^{-\frac12 m t}, \qquad t\ge0, $$

    即局部 vorticity 和 velocity 指数衰减。

  • 定理 1.8（弱收敛伴随的非紧致性）：在上述弱收敛的情况下，轨道 t↦ω(t) 在 L^p(Ω) （1≤p≤∞） 上不是相对紧致的；若初始 excess energy 或 excess enstrophy 非零，则对应的速度场也是如此。这表明弱收敛源于宏观的 vorticity 向空间无穷处输送，而非周期情况下的相位混合。

这些结果共同表明，在 Yudovich 正则性下，通过 vorticity 逃逸机制可以实现非线性渐近稳定性，且在非停滞情况下还能获得显式的指数衰减率。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

作者提出了一种基于“vorticity 下游输送”（macroscopic escape of vorticity）的新稳定范式，并发展了两种欧拉方法来控制线性伸展项 −f’’(y)u_y 以及边界处可能出现的回流（back‑flow）。关键技术包括：

  • 指数衰减的 Biot‑Savart 核：利用无限通道的 Dirichlet Green 函数，证明核 K 在 x 方向上具有 e^{-π|x−x’|} 的指数衰减（见 Lemma 2.1），这使得非局部项在加权空间中易于控制。

  • 加权 vortity 的最大原理：定义 Φ(x,y,t)=ω(x,y,t) e^{-a(x−½ m f t)}，在 f≥c>0 且 |f’’|≲f 的条件下，通过朗格朗日坐标变换和杜赫尔原理证明 Φ 的 L∞ 范数随时间非增（Lemma 2.4），从而得到 ω 的指数衰减。

  • 重整化能量方法与 DiPerna‑Lions 框架：在背景速度可能在边界退化的情况下，最大原理失效，作者构建了一个加权 L¹ 质量函数来追踪 vorticity 的 bulk mass。该泛函的非线性估计呈双相互作用能量形式，具备良好的对称性，这在其他 L^p（p>1）泛函中是不具备的。利用该对称性以及 Biot‑Savart 核的精细估计，证明背景剪切足以克服诱导的回流并“剥离”边界层。

  • 守恒量与紧致性论证：通过重整化框架导出系统的守恒量（excess energy、excess enstrophy），并借助弱收敛守恒量的特性，推导出定理 1.8 中的非紧致性陈述。

这些方法共同使得作者能够在最低的 Yudovich 正则性（仅需 L∞ vorticity）下完成稳定性估计，避免了先前工作所必需的 Gevrey 平滑假设。

4. 与之前工作的比较

以往关于 2D 欧拉方程剪切流的非线性渐近稳定性结果（如 Bedrossian‑Masmoudi[8] 及其后续工作[21,23,30]）均依赖于周期域（𝕋×ℝ 或 𝕋×[0,1]）中的非粘性阻尼机制。该机制本质上是通过相位混合（phase mixing）实现的，但它要求初始 vorticity 属于一定的 Gevrey 类；在 Sobolev 空间甚至更低的正则性下，由于 “echo” 现象的存在，渐近稳定性被证明是不可能的。与此不同，本文将研究域从有限或周期的环境转移到无限通道 ℝ×[0,1]，在这种几何结构下，背景剪切流能够将 vorticity 带向空间无穷（vorticity escape），这是一种宏观的输送效应，不依赖于细尺度的相位混合。因此，作者成功将稳定性的正则性门槛降至 Yudovich 类（L∞ vorticity），这正是欧拉方程well‑posedness 的临界阈值。

此外，相较于点涡（point vortex）或零齐度螺旋解的特殊结果，本文的适用范围更为广泛：它涵盖所有满足 (H1)-(H2) 条件的非负剪切流，包括经典的库埃特流（Couette flow） f(y)=y 作为特例。通过引入指数权重和重整化能量，作者还得到了在非停滞流情况下的显式指数衰减估计，而以前的工作在相应设置下只能给出代数或弱收敛结果。总体而言，本文通过提出一种全新的稳定机制——vorticity 向空间无穷的递送——成功地填补了非线性稳定性理论与欧拉方程最低well‑posedness 正则性之间的长期空白。

2. 三维广义牛顿流体的正则性准则

Regularity criterion for the 3D generalized Newtonian fluids

作者: Qiao Liu, Xincheng Shi

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19941v1

摘要翻译: 本文证明，对于三维非稳态广义牛顿流体的柯西问题，若速度梯度 $\nabla \boldsymbol{u}$ 属于临界空间 $L^{\frac{2}{2-(3-p)a}}(0,T;\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3))$，则弱解在 $\frac{5}{3}<p<\frac{11}{5}$ 范围内成为强解。其中，当 $p\in(\frac{5}{3},2)$ 时，$a\in(\frac{3}{2},\frac{2}{3-p})$；当 $p\in[2,\frac{11}{5})$ 时，$a\in(\frac{1}{p},\frac{2}{3-p})$。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19941v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是三维非齐次广义牛顿流体的柯西问题，其控制方程为

$$ \partial_t u-\operatorname{div}(|Du|^{p-2}Du)+(u\cdot\nabla)u+\nabla\pi=0,\quad \operatorname{div}u=0, $$


其中$Du=(\nabla u+(\nabla u)^T)/2$是速度梯度的对称部分，指数$p>1$描述流体的剪切稀薄（$1<p<2$）、牛顿（$p=2$）或剪切增稠（$p>2$）特性。已知在$p=2$时方程退化为经典纳维-斯托克斯方程，而对于广义牛顿流体，弱解的存在性已有文献给出，但弱解的正则性和唯一性仍是悬而未决的问题。本文的目标是在临界齐次贝索夫空间中给出基于速度梯度$\nabla u$的正则性准则，从而推广已有的Prodi-Serrin型和Beirão da Veiga型结果。

2. 主要定理或主要结果设$5<p<11$，$u\in W^{1,2}(\mathbb R^3)\cap W^{1,p}(\mathbb R^3)$是方程(1.1)的弱解。若速度梯度满足

$$ \nabla u\in L^{\frac{2}{2-(3-p)a}}\bigl(0,T;\dot B^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb R^3)\bigr), $$


其中参数$a$的取值范围为

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{3}{2}<a<\frac{2}{3-p}, & \text{当 }\frac{5}{3}<p<2,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{p}<a<\frac{2}{3-p}, & \text{当 }2\le p<\frac{11}{5}, \end{cases} $$

则该弱解实际上是强解，即满足能量不等式及更高阶导数的可平方积分性质（具体见定理1.1及其后续推论）。此外，通过齐次贝索夫空间与勒贝格空间的嵌入关系，该准则还蕴含了早期的梯度型准则（如文献[3,11]中的条件(1.8)）。

2. 主要定理或主要结果

（模型未给出相关内容）

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明主要依赖于能量估计和格朗壁不等式。首先，将方程乘以$\Delta u$并在$\mathbb R^3$上积分，利用自由散度条件得到

$$ \frac12\frac{d}{dt}\|\nabla u\|_{L^2}^2+\int_{\mathbb R^3}|Du|^{p-2}|\nabla^2u|^2\,dx\le c\int_{\mathbb R^3}|\nabla u|^3\,dx. $$

接着，对非线性项$\int|\nabla u|^3$进行分案估计：

  • 对于$5/3<p<2$，通过在$L^{3p}$与$L^q$（$1<q<2$）之间的插值以及改进的Gagliardo-Nirenberg不等式（引理2.3），得到
    $$ \int|\nabla u|^3\le \varepsilon\|\nabla u\|_{L^{3p}}^p +c\|\nabla u\|_{L^2}^2\|\nabla u\|_{\dot B^{-a}_{\infty,\infty}}^{2-(3-p)a}. $$
  • 对于$2\le p<11$，则在$L^2$与$L^q$（$q>3$）之间插值，同样应用引理2.3，得到类似的上界。

在两种情况下，均选择恰当的插值指数$\theta$使得非线性项能够被吸收到耗散项中，从而导致微分不等式

$$ \frac{d}{dt}\|\nabla u\|_{L^2}^2+\int|Du|^{p-2}|\nabla^2u|^2\le c\|\nabla u\|_{\dot B^{-a}_{\infty,\infty}}^{2-(3-p)a}\|\nabla u\|_{L^2}^2. $$


最后应用格朗壁不等式以及最初的能量不等式（公式(1.9)），即可得到$\nabla u$在相应时空区域上的有界性，进而推出强解的正则性。

4. 与之前工作的比较

已有的正则性准则多基于速度本身或其梯度在勒贝格或BMO空间中的界，例如：

  • Beirão da Veiga的条件$\nabla u\in L^\beta(0,T;L^\alpha)$与$\frac2\beta+\frac3\alpha\le2$；
  • Kozono-Shimada、Zhang-Yang等通过齐次贝索夫空间$\dot B^{-a}_{\infty,\infty}$改进了Prodi-Serrin准则，如
    $$ u\in L^{1-2a}(0,T;\dot B^{-a}_{\infty,\infty}),\quad 0<a<1. $$
  • 对于非牛顿情况，Bae等、Sin-Baranovskii等给出了针对特定$p$区间的速度或梯度在$L^\beta L^\alpha$或BMO中的准则（见文献[2,3,8,9,11,24,25,32]）。

本文的创新在于： 1. 将正则性准则统一到临界齐次贝索夫空间$\dot B^{-a}_{\infty,\infty}$中，并且指数的范围覆盖了整个$5/3<p<11/5$区间；
2. 通过精细的插值和改进的Gagliardo-Nirenberg不等式（引理2.3），成功处理了 shear-thinning（$p<2$）和 shear-thickening（$p>2$）两种情况；
3. 该准则不仅回收了先前的梯度型结果（如文献[3,11]中的条件(1.8)），还通过贝索夫空间与勒贝格空间的嵌入推广了文献[25,32]中的速度型准则(1.7)。

因此，本文所得准则既是对既有方法的改进，也为更一般的非牛顿流体正则性研究提供了新的工具。

3. 小间隙下反向旋转圆柱的Couette‑Taylor不稳定性 摘要翻译: 我们研究了两个近似等半径同轴圆柱之间不可压缩粘性流体的Couette‑Taylor不稳定性，允许反向旋转，旋转速率比为$μ\in[-1,1]$。在旋转坐标系以及小间隙、小粘度极限下，我们推导出相应的极限Navier‑Stokes方程，并分析了Couette流的线性稳定性。特别是，我们通过数值计算得到一般扰动的临界Taylor数，发现临界点附近存在$μ_c\approx-0.8$的转变：当$μ>μ_c$时，最不稳定模式为轴对称；而当$μ<μ_c$时，最不稳定模式为非轴对称。临界附近，缓慢变化的行波由时间无关的Ginzburg‑Landau方程描述。非线性系数在$\hatμ_c\approx-0.65$附近改变符号，由此得到$μ>\hatμ_c$时为超临界（超临界）区域，$μ_c<μ<\hatμ_c$时为亚临界（副临界）区域。在亚临界范围内，我们对小振幅稳态进行了分类，包括Taylor涡流、波动涡、二参数准周期流家族以及Couette流的局部行进扰动。

Couette Taylor instabilities for counter-rotating cylinders in the small-gap regime

作者: Dongfen Bian, Emmanuel Grenier, Gérard Iooss, Zhuolun Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19704v1

摘要: We study the Couette Taylor instabilities for an incompressible viscous fluid between two coaxial cylinders of nearly equal radii, allowing counter-rotation with the ratio of rotation rate $μ\in [-1,1]$. Working in a rotating frame and in a small-gap and small-viscosity regime, we derive the corresponding limiting Navier Stokes system and analyze the linear stability of the Couette flow. In particular, we numerically compute the critical Taylor number for general perturbations and identify a transition near $μ_c \approx -0.8$: for $μ> μ_c$ the most unstable mode is axisymmetric, whereas for $μ< μ_c$ the most unstable mode is non-axisymmetric. Near criticality, slowly varying traveling waves are governed by a time-independent Ginzburg Landau equation. The nonlinear coefficient changes sign near $\hatμ_c \approx -0.65$, yielding a supercritical regime for $μ> \hatμ_c$ and a subcritical regime for $μ_c < μ< \hatμ_c$. In the subcritical range, we classify small-amplitude steady states, including Taylor vortex flows, wavy vortices, a two-parameter family of quasi-periodic flows, and a localized traveling perturbation of the Couette flow.

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19704v1

1. 研究对象和背景

（模型未给出相关内容）

2. 主要定理或主要结果

（模型未给出相关内容）

3. 研究方法、关键技术和核心工具

作者首先采用 asymptotics 方法，在间距比 η → 1 和粘度 ν → 0 的双重极限下，按照缩放（4）对速度、压力和坐标进行重新缩放，从而得到简化的极限纳维-斯托克斯系统（6）–（8）。在线性分析阶段，采用正则模式分解，对轴向 z 和方位 y 方向进行傅里叶变换，将引进的波数记作 α 和 B = βR，得到一个特征值问题，其中系数含有x依赖的函数 g(x)。通过数值特征值求解（如谱方法或有限差离散法），获得临界泰勒数 T_c(µ, B) 作为µ和B的函数。在弱非线性分析中，引入多尺度展开，将慢变幅度 A 作为方程的序量，利用 solvability 条件（Fredholm 替代原理）计算非线性系数c，这一步涉及到临界特征函数和 adjoint 特征函数的内积。随后将幅度方程化为常微分方程，通过相平面分析（将y视为时间）研究其驻点、周期轨道和连接轨道，从而得到 Taylor 涡流、波动涡流、准周期流和局域行波等解的存在性与结构。在µ接近临界点的区间，进一步将方程升阶为四阶 Ginzburg-Landau 形式，并运用空间动力学的中心 manifold 降维技术，讨论四阶系统的驻点及其稳定性，从而得出准周期流、异常管和同轨迹的描述。

4. 与之前工作的比较

已有研究主要集中在同旋（µ = 1）或微小间距但仅考虑轴对称扰动的情况，例如[1]中通过能量方法给出了临界泰勒数的精确值以及超临界分岔的描述，Nagata 在[10]中探讨了小间距下的 Reynolds 数缩放。本文将研究范围扩展到反转情况下的全部µ区间（-1 ≤ µ ≤ 1），并首次系统地考虑一般的非轴对称扰动。与此前工作相比，本文在µ ≈ −0.8 处发现了轴对称与非轴对称最不稳定模式的转变，这在同旋情况下不存在；此外，通过数值计算非线性系数c的符号变化，指出在 μ_c < µ < μ̂ 范围内出现次临界分岔，这一现象在仅考虑 µ ≈ 1 的文献中未被捕捉。在非线性解的结构上，除了 Taylor 涡流和波动涡流之外，本文新准确地描述了二参数族的准周期流以及局域行波扰动，而这些在早期的轴对称或弱非线性分析中未曾出现。方法上，本文采用了空间动力学把方位坐标 y 视为时间的思想，这与 Schneider 等人在相关问题中的做法类似，但由于极限系统中出现x依赖的项 g(x)，导致算子不再自伴，因而需要重新计算特征函数和 adjoint 特征函数，这在先前的自伴情况下是不需要的。总体而言，本文在理论深度（线性与弱非线性结合）、参数覆盖（全范围µ）以及解的分类（包括准周期和局域行波）方面都对先前的 Couette–Taylor 问题研究进行了显著的扩展和细化。

4. 具有一般涡度的大幅度稳态孤立水波

Large-Amplitude Steady solitary water waves with general vorticity

作者: Jifeng Chu, Zihao Wang, Yong Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19699v1

摘要翻译: 本文研究了在有限深度流体表面传播的二维稳态重力孤立波。特别地，我们能够处理一般的涡度分布和悬垂波形。通过共形映射，我们将问题重新表述为在固定带域内耦合的超定椭圆系统与椭圆边值问题。为避免对涡度函数施加额外约束，我们进一步将问题重新表述为抽象算子的形式。基于这些表述，小幅度孤立波的存在由中心流形还原方法得到证明，而大幅度波则利用解析全局分岔定理获得。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19699v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是二维定常孤波在有限深度流体表面上的重力波问题。与以往大部分仅考虑无旋流（即涡度为零）的情况不同，本文允许一般的涡度分布 $\gamma(\psi)$，并且不排除出现过hanging wave profiles（即自由表面不能表示为单值函数 $Y=\eta(X)$）以及临界层（移动框架中的水平流速消失）。孤波被定义为满足在 $|X|\to\infty$ 时趋于一致剪切流的解，研究其存在性需要处理非线性、非局部的自由边界问题以及由于无界域带来的紧致性困难。文中回顾了已有的研究：无旋情况下 Amick&Toland 通过 conformal mapping 构建了大幅度孤波的连续集；旋转情况下 Constantin&Strauss 采用 hodograph 变换将问题化为准线型椭圆方程，利用全局分岔理论获得周期解；Wheeler 进一步推广到任意涡度分布的大幅度孤波；Haziot&Wheeler 则利用解析全局分岔理论允许内部停滞点和overhanging profiles，但其方法仍依赖于特定的涡度形式。本文的创新在于将这些思想统一，针对一般涡度函数构造广义的算子形式，从而在不施加额外限制的情况下证明小幅度和大幅度孤波的存在。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可以概括为两个定理：首先，利用中心流形归纳法（center manifold reduction method）证明在 Froude 数 $F$ 临近某个临界值时存在一族小幅度孤波解；其次，基于解析全局分岔理论（analytic global bifurcation theorem），在不额外约束涡度函数 $\gamma$ 的前提下构造出一条连续的大幅度孤波解曲线，该曲线可以延伸到任意大的振幅，并且允许自由表面出现overhanging以及内部停滞点。更具体地，文中表明在适当的函数空间（如加权 Hölder 空间 $C^{k,\beta}_\tau$）中，算子方程 $F(\phi,w,\alpha)=0$ 在 trivial 解 $(\phi,w,\alpha)=(0,0,\alpha_0)$ 处具备奇异线性化，从而满足中心流形理论的假设；随后通过全局分岔的 Rabinowitz 风格定理（或其解析版本），得到一个不可延伸的连续解集，其中解的幅度可以趋于无限，同时保持流动的单调性（节点性质）和流力不变量的界定，这进一步排除了 bore 解的存在，从而获得所需的紧致性。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术路线包括以下几个步骤：首先，通过无量纲化和 conformal mapping 将原始自由边界问题映射到固定的 strip 域 $R=\{(x,y):0<y<1\}$ 上，引入流函数 $\psi$ 与弧度函数 $\eta$，得到过决定椭圆系统（2.12a）–(2.12d) 伴随 Laplace 方程（2.12e）–(2.12f）以及边界条件（2.12g）–(2.12h）。接着，为了消除对涡度函数 $\gamma$ 的额外限制，文中引入一个抽象算子 $A(\phi,w,\alpha)$ 定义为某个椭圆方程的唯一解，从而将原问题重新表述为算子方程 $F(\phi,w,\alpha)=0$，其中 $F$ 的两个分别对应着流函数的不动点条件和伯努利常数的界条件（见式（2.16）–(2.17)）。随后，在 trivial 解附近计算 Fréchet 导数（式（3.1a）–(3.1b)），并通过引入 $T$-同构（式（3.5））将问题化为标准的泛函分析框架。利用线化算子的谱性质（特别是存在一个简单的零特征值），应用中心流形降维 theorem 得到小幅度解的存在。为获取大幅度解，文中进一步构造了流力不变量（第 6 节），利用其守恒性排除 bore 解，从而在无界域上获得紧致性估计；最后，运用解析全局分岔 theorem（要求解析性和恰当的 Fredholm 性质），在参数 $\alpha$ 的区间内延拓解的连续曲线，直至遇到谱奇点或解的幅度趋于无限，由此得到大幅度 possibly overhanging 孤波。

4. 与之前工作的比较

与先前的研究相比，本文在以下方面实现了突破：一是涡度的一般性。早期的大幅度孤波结果（如 Wheeler [53]）虽然允许任意涡度分布，但其构造依赖于特定的 hodograph 变换或假设涡度为常数；而本文通过抽象算子的引入，避免了对 $\gamma$ 施加额外的结构条件（如单调性或符号限制），因此能处理完全一般的涡度函数。二是 overhanging 和 critical layers 的同时容忍。之前的工作（如 Haziot&Wheeler [32]）可以得到 overhanging 但往往要求涡度具有一定的特殊形式或限制在常数情况；Chen, Walsh and Wheeler [11,12] 的奇异分岔思想虽然处理了一般涡度，但未涉及 overhanging 自由表面。本文将这两个思想结合，利用 conformal mapping 后的过决定系统自然允许 $\eta$ 不是单值函数，从而直接构造出可能的 overhanging 孤波。三是方法上的创新。与 Amick&Toland 的 conformal mapping + 全局紧致性论证不同，本文在 conformal mapping 之后并不尝试直接在物理域上进行紧致性估计，而是通过算子形式和流力不变量获得所需的紧致性，这使得能够在更广泛的参数范围内应用全局分岔理论。總體來說，本文将小幅度的中心流形理论与大幅度的解析全局分岔理论在一般涡度、可能 overhanging 的框架下统一，为旋转孤波的理论提供了更完整和灵活的工具。

5. 关于一维欧拉-泊松方程不存在小的非平凡紧致解的简短注记 摘要翻译: 在本简短注记中，我们证明了一维欧拉-泊松系统不存在慢速和快速的小的非平凡紧致解。证明基于维里亚尔估计，该估计提供了有界小解在空间上的局部平均衰减。

A note on the non-existence of small non-trivial compact solutions for Euler-Poisson equation in 1D

作者: Masaya Maeda, Tetsu Mizumachi

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19662v1

摘要: In this short note, we prove the non-existence of slow and fast small nontrivial compact solutions for the Euler-Poisson system in $1$D. The proof is based on the virial estimate which provides local in space average decay of bounded small solutions.

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19662v1

1. 研究对象和背景

本文研究的一维欧拉-泊松（Euler-Poisson）系统描述了离子的密度、速度和电势场的演化，方程组包括连续性方程、动量方程以及泊松方程。已知压力函数 $p$ 满足 $p'(s)>0$ 且 $p''(s)\ge0$，系统在空间无穷远处趋近于平衡态 $(u,\rho,\phi)=(0,1,0)$。为了研究非平凡的紧致解，作者引入了 $L^2$-紧致解的概念：存在一个平移函数 $y(t)$ 使得在移动坐标下的密度和速度在 $L^2$ 意义上均匀衰减。这类解包括孤波作为典型例子。已有工作表明，在二维和三维情况下，欧拉-泊松系统不存在非平凡孤波；而在一维情况下，曾证明存在速度介于 $\sqrt{1+k}$ 和某个更大值之间的孤波，且当速度趋近于 $\sqrt{1+k}^+$ 时孤波幅度趋于零。因此，作者希望通过virial估计排除在该临界速度附近的小幅非零紧致解，以说明一维情况下孤波的存在性是否在此临界值处失效。

2. 主要定理或主要结果

文章的主要结论包含两个互补的非存在性定理。定理1.3针对“慢”紧致解：对于任意 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得若$L^2$-紧致解 $(n,u,\phi)$ 满足 $\|u\|_{L^\infty_t L^2_x}<\infty$、$\|n\|_{L^\infty_t(L^2_x\cap L^\infty_x)}<\delta$ 以及平移速度的上确界满足 $\sup_{t\in\mathbb{R}}|\dot y(t)|<\sqrt{\frac{k}{1+k}}-\epsilon$ （其中 $k=p'(1)>0$），并且解守恒能量 $E$，则该解必然是平凡解 $(n,u,\phi)=0$。定理1.4则处理“快”紧致解：在同样的 $\epsilon,\delta$ 条件下，若解满足 $\inf_{t\in\mathbb{R}}|\dot y(t)|>\sqrt{1+k}+\epsilon$ 以及 $\|(n,u)\|_{H^1_t}<\delta$ 且守恒能量，则同样得到唯一的零解。这两个定理共同表明，在速度$\sqrt{1+k}$的两侧，足够小的$L^2$-紧致解不存在，因而之前所得的一维孤波家族在速度恰好等于$\sqrt{1+k}$时可能达到极限，且定理1.4的条件在此意义上是最优的。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明过程中，作者采用virial（托雷西アン）论证，构造了适当的virial泛函来捕捉解的空间平均衰减。首先定义了基本的virial泛函

$$ J(t)=\int_{\mathbb{R}} \phi(x-y(t))\, n(t,x)u(t,x)\,dx, $$


其中 $\phi$ 是一个截断函数，在$|x|\le A$时近似线性，在$|x|\ge A$时趋于常数。利用动量密度 $m=n u$ 的演化方程（引理2.3），求导得到

$$ \dot J(t)=\frac12\int \phi'(x-y(t))\big(u^2+k n^2-\phi'^2+\phi^2\big)dx -\dot y(t)\int \phi'(x-y(t)) n u\,dx +R, $$


其中误差项 $R$ 可以通过小量假设 $\|n\|<\delta$ 被估计为与 $\delta$ 成正比的泛函。当 $k>1/8$ 且 $|\dot y|\ll1$ 时，仅有 $J$ 已足够导致衰减估计；然而对于一般的正 $k$，需要引入修正泛函

$$ K(t)=-\frac12\int \phi'(x-y(t))\, u(t,x)\,\phi'(t,x)\,dx, $$

并考虑组合泛函 $I=J+(1-\epsilon)K$（其中 $\epsilon$ 取自 $c^2/k<c<k/(1+k)$ 的区间）。通过计算 $\dot K$（利用方程（1.2）以及李玛尔估计）得到类似的表达式，误差项则受 $\delta$ 和 $A^{-1}$ 的影响。选择足够大的 $A$ 使得主项具有正定性，从而获得

$$ \|e^{-|x-y(t)|/A}(n,u)\|_{L^2_x}^2 \lesssim A\,\|u\|_{L^\infty_t L^2_x}\,\|n\|_{L^\infty_t(L^2_x\cap L^\infty_x)} . $$


结合能量守恒和Lemma 2.6（能量相当于$L^2$范数），对时间积分得到与初始能量成正比的下界，而上界则随时间有限，从而导致矛盾，除非解为零。整个过程中使用了若干技术引理：引理2.1–2.6建立能量的正性、与$L^2$范数的等价性以及势场 $\phi$ 的正则性；引理2.7–2.9提供了带权重的算子估计，为virial泛函的导数提供了所需的界限。

4. 与之前工作的比较

已有研究表明，在更高维度（二维和三维）下，欧拉-泊松系统不存在非平凡孤波（参考文献[2]）。而在一维情况下，文献[3]曾构造了速度 $c$ 属于 $(\sqrt{1+k},\bar c)$ （其中 $\bar c>1+k$）的孤波族，并指出当 $c\to\sqrt{1+k}^+$ 时这些孤波的幅度趋于零，暗示 $\sqrt{1+k}$ 可能是孤波存在的临界速度。本文通过证明在该速度的两侧，足够小的$L^2$-紧致解不存在，进一步证实了一维孤波家族在此临界点处的极端行为，使得定理1.4的条件在此意义上是最优的。与以往利用显式构造或阶线性方法不同，本文采用virial估计和泛函分析的手段，能够在不假设解具有特定对称性或显式形式的情况下排除小幅紧致解，这为研究一维色散方程的紧致性提供了一个新的工具。此外，文章还指出，所用的virial泛函在KdV类方程中的应用有先例（参见[9]），而针对快速紧致解的能量型泛函则类似于研究FPU格子中soliton渐近稳定性的技术（参考文献[10]），表明所发展的方法具有一定的普适性。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 一维独立对流的交叉扩散系统的全局解 摘要翻译: 我们考虑一种交叉扩散系统，该系统描述两种物种 $u$ 和 $v$ 在达西定律下的演化，压力定律为 $p(s)=\frac{1}{\alpha-1}s^{\alpha-1}$，其中 $s=u+v$。在该领域中，构造在存在额外对流场且不施加任何人工结构（例如，防止物种混合）条件下的问题的解是最具挑战性的问题之一。虽然对流在这些模型中自然产生，但它破坏了系统的对称性，从而阻碍了近年来发展出的技术的应用。在此，我们提供了一种新的方法，能够在一维空间中构造解，该方法对所有压力指数 $\alpha\in(0,\infty)$ 和任意初始数据（分离的、混合的或部分混合的）均具有统一性。特别地，在 $\alpha>1$ 的范围内，这给出了此类结果的首个存在性结论，且不需要任何结构假设。我们将解构造为粘度近似 $(u_{\varepsilon},v_{\varepsilon})$ 的零粘度极限。主要的难点在于识别 $u_{\varepsilon}\,\partial_x p(s_{\varepsilon})$ 的极限，其中 $s_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}+v_{\varepsilon}$。关键的新洞察是，$u_{\varepsilon}$ 和 $\partial_x p(s_{\varepsilon})$ 的可能振荡是相关的，这简化了补偿紧致性论证中的Young度量分析，从而使极限的识别成为可能。

Global solutions to cross-diffusion systems with independent advections in one dimension

作者: Jakub Skrzeczkowski

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20153v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20153v1

摘要翻译

中文标题: 一维独立对流的交叉扩散系统的全局解 摘要翻译: 我们考虑一种交叉扩散系统，该系统描述两种物种 $u$ 和 $v$ 在达西定律下的演化，压力定律为 $p(s)=\frac{1}{\alpha-1}s^{\alpha-1}$，其中 $s=u+v$。在该领域中，构造在存在额外对流场且不施加任何人工结构（例如，防止物种混合）条件下的问题的解是最具挑战性的问题之一。虽然对流在这些模型中自然产生，但它破坏了系统的对称性，从而阻碍了近年来发展出的技术的应用。在此，我们提供了一种新的方法，能够在一维空间中构造解，该方法对所有压力指数 $\alpha\in(0,\infty)$ 和任意初始数据（分离的、混合的或部分混合的）均具有统一性。特别地，在 $\alpha>1$ 的范围内，这给出了此类结果的首个存在性结论，且不需要任何结构假设。我们将解构造为粘度近似 $(u_{\varepsilon},v_{\varepsilon})$ 的零粘度极限。主要的难点在于识别 $u_{\varepsilon}\,\partial_x p(s_{\varepsilon})$ 的极限，其中 $s_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}+v_{\varepsilon}$。关键的新洞察是，$u_{\varepsilon}$ 和 $\partial_x p(s_{\varepsilon})$ 的可能振荡是相关的，这简化了补偿紧致性论证中的Young度量分析，从而使极限的识别成为可能。

2. 贝克曼参数最优传输问题解的正则性

Regularity of Solutions to Beckmann’s Parametric Optimal Transport

作者: Hanno Gottschalk, Tobias J. Riedlinger

类别: math.AP, stat.ML

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19755v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19755v1

摘要翻译

中文标题:贝克曼参数最优传输问题解的正则性

摘要翻译: 在最优传输中，贝克曼问题旨在最小化从源分布到目标分布的连续传输过程中的总平方通量。本文通过采用无约束的拉格朗日形式并求解变分的一阶最优性条件，发展了贝克曼最优传输问题解的正则性理论。结果表明，强制贝克曼散度约束的拉格朗日乘子满足泊松方程，而通量向量场可得到为该势函数的梯度。利用椭圆正则性理论的Schauder估计，在有界规则域上，基于源分布和目标分布的Hölder正则性，推导出势函数、通量及其生成流的精确Hölder正则性。若目标分布依赖于参数——正如条件（“可提示的”）生成式学习中的情形——我们给出了在参数维度和数据维度上得到的向量场分别满足以及联合满足Hölder连续性的充分条件。根据Belomnestny等人的最新结果，可以在此基础上利用深度ReQu神经网络在C^(k,α)-Hölder范数下逼近这些向量场。我们还表明，该方法可推广到其他概率路径，例如Fisher-Rao梯度流。

3. 临界 p-拉普拉斯 Patlak-Keller-Segel 模型的自相似动态：收缩爆裂与扩展传播

Self-similar Dynamics in the Critical $p$-Laplacian Patlak-Keller-Segel Model: Shrinking Blow-up and Expanding Propagation

作者: Chunhua Jin, Fengqing Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19679v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19679v1

摘要翻译

中文标题: 临界 p-拉普拉斯 Patlak-Keller-Segel 模型的自相似动态：收缩爆裂与扩展传播

摘要翻译: 在本文中，我们研究以下带有 $p$ 拉普拉斯扩散的 Patlak‑Keller‑Segel 模型

$$ \left\{ \begin{aligned} &\rho_t = \nabla \cdot \bigl( |\nabla\rho|^{p-2}\nabla\rho \bigr) - \chi \nabla \cdot (\rho \nabla c),\\ &0 = \Delta c + \rho^m, \end{aligned} \right. $$

以及指数 $m>0$ 取为

$$ m = \frac{(p-2)N + p}{N}. $$

该关系保证了系统的尺度不变性，并被认为是区分全局有限性与有限时间爆裂的临界指数。我们证明，在临界阈值 $m = \frac{(p-2)N + p}{N}$ 时，系统确实存在有限时间爆裂解。更精确地说，在慢扩散 regime $p>2$ 中，存在向后自相似爆裂解，它们是径向递减、紧支撑的，并在爆裂时间 $T$ 时集中成一个狄拉克 $\delta$ 测度；它们的支撑以速率 $(T-t)^{1/(mN)}$ 收缩到原点。对于快扩散情况 $1<p\le 2$，我们表明不存在具有有限质量的向后自相似爆裂解。此外，我们还在慢扩散和快扩散两种情况下探讨了向前自相似解。这些解同样携带有限质量，并在初始时刻表现出狄拉克 $\delta$ 奇点。具体而言，在慢扩散情况下，支撑以速率 $t^{1/(mN)}$ 扩展；而在快扩散情况下，解在所有正时间上变为严格正的。

我们的工作首次给出了 $p\ne 2$ 时的 $p$ 拉普拉斯 Keller‑Segel 系统的爆裂分析，并证实上述给出的指数 $m$ 确实是全局存在与有限时间奇点形成之间的尖锐阈值。

4. 临界幂非线性下欧拉-泊松-达布劳斯方程解的爆炸

Blow-up of solutions to the Euler-Poisson-Darbox equation with critical power nonlinearity

作者: Mengting Fan, Ning-An Lai, Hiroyuki Takamura

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19614v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19614v1

摘要翻译

中文标题: 临界幂非线性下欧拉-泊松-达布劳斯方程解的爆炸

摘要翻译: 在我们最近的工作中，我们对ℝⁿ上具备亚临界幂型非线性的半线性欧拉-泊松-达布劳斯方程的奇点柯西问题建立了有限时间爆炸结果以及寿命估计的上界。通过引入改进的测试函数，我们获得了包含时空非线性项积分并伴有额外对数增长的泛函的增强下界，从而最终得到对应具有“临界”幂非线性的柯西问题的爆炸结果以及寿命估计的上界。这为D’Abbicco提出的开放问题1给出了部分回答（J. Differential Equations 286 (2021), 531-556）。

不相关论文（基本信息）

1. 在分数阶 Orlicz Sobolev 空间（不满足 Δ₂ 条件）下非局部准线性各向异性方程的特征值问题

An eigenvalue problem for a nonlocal quasilinear anisotropic equation in fractional Orlicz Sobolev spaces without the $Δ_2$–condition

作者: Julian Fernandez Bonder, Martin Guzman, Juan F. Spedaletti

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20095v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20095v1

摘要: In this paper we analyze an eigenvalue problem associated to fractional operators of the form

$$ L_a^s u(x)=2 \text{p.v.}\int_{\mathbb{R}^n}a(x,y,D^su(x,y))\,\frac{dy}{|x-y|^{n+s}}, $$

which represents a generalization model for nonlocal, nonstandard growth diffusion problems. We study this problem in the context of the fractional Orlicz Sobolev spaces without assuming the so-called $Δ_2$–condition on the Young functions involved. We show existence of a sequence of eigenpairs $(u_k,λ_k)\to (0,+\infty)$.

2. 分数阶Schrödinger方程在$\mathbb{R}^N$中近临界指数下的多峰解的存在性、非退化性及局部唯一性

Existence, non-degeneracy and local uniqueness of multi-peak solutions to the fractional Schrödinger equation with nearly critical exponent in $\mathbb{R}^N$

作者: Yanyan Guo, Ying Li, Zhongyuan Liu, Pingping Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19868v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19868v1

摘要: In this paper, we consider the following fractional Schrödinger equation \begin{equation*} \left{ \begin{array}{lcl} (-Δ)^{s}u+V(x)u=u^{{p_s}-ε}\ \ \ &\hbox{in}\ \mathbb{R}^N,\ u>0\ \ \ &\hbox{in}\ \mathbb{R}^N, \end{array} \right. \end{equation*} where $0<s<1$, $ε>0$, $p_s=(N+2s)/(N-2s)$, $N>4s$ and $V(x)\in C^1(\mathbb{R}^N)\cap L^\infty (\mathbb{R}^N)$ is non-negative. We first use the Lyapunov-Schmidt reduction method to construct multi-peak solutions to the above equation provided that $V(x)$ possesses $k$ stable critical points. Then we prove the non-degeneracy and local uniqueness of the multi-peak solutions, for $\frac{1}{2}<s<1$, $N\geq 6s$, via the blow-up argument based on various local Pohozaev identities. Due to the nonlocal property of the fractional Laplacian, we need to make delicate analysis of the approximate solutions and establish the local Pohozaev identities for the corresponding harmonic extension instead of $u$. This approach not only requires to develop refined estimates for several integrals in the local Pohozaev identities, but also to apply Pohozaev identities through a markedly different way.

3. 闭合可定向黎曼流形上椭圆算子主特征值的渐近行为

Asymptotics of the principal eigenvalue of an elliptic operator on closed and orientable Riemannian manifolds

作者: Xin Xu, Kexin Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19861v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19861v1

摘要: This paper investigates the asymptotic behavior of the principal eigenvalue $λ(s)$, as $s\to+\infty$, for the following elliptic eigenvalue problem \begin{equation*}\label{E} -Δ_{M}u-s\langle \nabla_M f, \nabla_M u\rangle_g +c u=λ(s)u, \end{equation*} defined on an orientable and closed Riemannian manifold $(M,g)$. Assuming $f$ is a Morse function defined on $M$, we find that the limit $\lim\limits_{s\to+\infty} λ(s)$ is determined by the minimum value of the function $c$ over the set of the maximum points of $f$, a result that is independent of the curvature of manifold.

4. 两相老化偏微分方程模型的稳定性分析及长时收敛

Stability analysis and long-time convergence of a partial differential equation model of two-phase ageing

作者: Luce Breuil

类别: math.AP, math.DS, q-bio.PE

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19814v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19814v1

摘要: Recent biological evidence suggests the presence of a two-phase ageing process in several species. We introduce a system of two age-structured partial differential equations (PDE) representing two phases of ageing of a wild population. The model includes a coupling of both equations through birth and transition between phases and non-linearities due to competition. We show the existence, positivity and uniqueness of weak solutions in a general setting. For a simplified system of ordinary differential equations (ODE), we show existence and uniqueness of a strictly positive steady state attracting all trajectories. We study another simplification, a coupled PDE-ODE model, for which we prove existence, uniqueness and local asymptotic stability of a strictly positive steady state. Under further assumptions, but without assuming weak non-linearities, we show the global asymptotic stability of that steady state. The uniqueness of steady states and absence of oscillations in these systems show that the proportion of individuals in each phase at equilibrium is a unique feature of the model. This paves the way to ecological applications as the experimental measure of such a proportion could help gain some insight on the health of a wild population.

5. 双时间尺度学习动态：神经网络训练的群体视角

Two-Time-Scale Learning Dynamics: A Population View of Neural Network Training

作者: Giacomo Borghi, Hyesung Im, Lorenzo Pareschi

类别: cs.LG, math.AP, stat.ML

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19808v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19808v1

摘要: Population-based learning paradigms, including evolutionary strategies, Population-Based Training (PBT), and recent model-merging methods, combine fast within-model optimisation with slower population-level adaptation. Despite their empirical success, a general mathematical description of the resulting collective training dynamics remains incomplete. We introduce a theoretical framework for neural network training based on two-time-scale population dynamics. We model a population of neural networks as an interacting agent system in which network parameters evolve through fast noisy gradient updates of SGD/Langevin type, while hyperparameters evolve through slower selection–mutation dynamics. We prove the large-population limit for the joint distribution of parameters and hyperparameters and, under strong time-scale separation, derive a selection–mutation equation for the hyperparameter density. For each fixed hyperparameter, the fast parameter dynamics relaxes to a Boltzmann–Gibbs measure, inducing an effective fitness for the slow evolution. The averaged dynamics connects population-based learning with bilevel optimisation and classical replicator–mutator models, yields conditions under which the population mean moves toward the fittest hyperparameter, and clarifies the role of noise and diversity in balancing optimisation and exploration. Numerical experiments illustrate both the large-population regime and the reduced two-time-scale dynamics, and indicate that access to the effective fitness, either in closed form or through population-level estimation, can improve population-level updates.

6. 燃烧反应-扩散方程的曲面前线

Curved fronts of combustion reaction-diffusion equations

作者: Wei-Jie Sheng, Xin-Tian Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19767v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19767v1

摘要: This paper is concerned with curved fronts of combustion reaction-diffusion equations in $\mathbb{R}^N$ $(N\geq2)$. By mixing finite planar fronts and constructing suitable super- and subsolutions, we prove the existence, uniqueness and stability of polytope-like curved fronts in $\mathbb{R}^N$. Besides, we show that these curved fronts are transition fronts.

7. 最小原理及2-黑塞问题的先验估计

Minimum principles and a priori estimates for 2-Hessian problems

作者: Cristian Enache

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19740v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19740v1

摘要: In this paper we investigate a class of $2$-Hessian equations and establish a minimum principle for a $P$-function in the sense of L.E. Payne (see R. Sperb \cite{Sp81}). The analysis is based on a sharp matrix inequality providing an estimate for a suitable combination of second-order partial derivatives of the solution. Exploiting this estimate, we derive a differential inequality for the associated $P$-function and obtain a minimum principle in higher dimensions under a convexity assumption. As an application of our results, together with convexity results established in X.-N. Ma and L. Xu \cite{MX08}, P. Liu, X.-N. Ma and L. Xu \cite{LMX10}, P. Salani \cite{Sa12}, and Y. Ye \cite{Ye13}, we derive a priori bounds for solutions of several classical $2$-Hessian boundary value problems.

8. 双相准凸泛函及其偏正则理论

Double phase quasiconvex functionals and their partial regularity theory

作者: Sunwoo Jeong, Jihoon Ok

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19696v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19696v1

摘要: We consider degenerate nonautonomous energies

$$ \int_Ωf(x, Dv)\, dx, $$

for vector-valued functions $v \in W^{1,1}(Ω, \mathbb{R}^N)$, where the integrand $f(x,P)$ satisfies growth and weak uniform quasiconvexity assumption associated with the double phase function $H(x,t)=t^p + a(x)t^q$. We establish partial Hölder regularity for the gradients of minimizers under suitable, and possibly minimal, regularity assumptions on $H$ and $f$. Our approach relies on two approximation results: $\mathcal{A}$-harmonic approximation and a variational version of the $φ$-harmonic approximation.

9. 带信号消耗的 Keller‑Segel 模型中大质量自相似奇异解的分类

Classification of self-similar singular solutions with large mass for Keller-Segel model with signal consumption

作者: Chunhua Jin

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19663v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19663v1

摘要: In this paper, we concentrate on investigating the self-similar singular solutions of Keller-Segel model with signal consumption ($-uv^α$) and singular sensitivity. We perform a detailed exploration into the existence and decay rate of self-similar solutions, particularly, the permissibility of arbitrary mass for these solutions across all possible cases. Based on these findings, we can delve deeper into verifying that these self-similar solutions $(u, v)$ exhibit varying degrees of singularity depending on the value of $α$ and the spatial dimension. Our analysis reveals that the component $u$ (with arbitrary mass) of the solution consistently behaves analogous to heat kernel, that is, $u$ exhibiting a Dirac $δ$ initial singularity identical to that of the fundamental solution, and converges to $0$ in the sense of the $L^p$-norm ($p>1$) as time approaches infinity. However, the initial behavior of the other component $v$ varies significantly based on the value of $α$ and the spatial dimension, exhibiting regularity (not singular), less singularity, or strong singularity (more singular than fundamental solution). Moreover, both $u$ and $v$ undergo instantaneous smoothing, becoming smooth immediately after $t>0$. This phenomenon reveals the adaptive strategies of cells in high-density aggregation environments to prevent resource depletion, reflecting an optimization process of self-organizing behavior.

10. 接触型 Hamilton-Jacobi 方程的半群交换性质

Commutation Properties of Semi-groups for Contact Type Hamilton-Jacobi Equation

作者: Guyu Jin

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19650v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19650v1

摘要: We know that there exist semi-groups for contact type Hamilton-Jacobi equations, which refers to \cite{KLJ2}. Guy Barles and Agnès Tourin give a proof of the commutation properties for normal Hamilton-Jacobi equations at \cite{GA}. In this article, we provide a proof of the commutation property of semi-groups for contact type Hamilton-Jacobi equations.

11. Cartan-哈达玛德三维空间中的尖锐Minkowski型不等式

Sharp Minkowski Type Inequality in Cartan-Hadamard 3-Spaces

作者: Fang Hong

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19646v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19646v1

摘要: In this paper, we proved a sharp Minkowski type inequality in Cartan-Hadamard 3-spaces by harmonic mean curvature flow and improves the known estimates for total mean curvature in hyperbolic 3-space. In particular, we sharpened Ghomi-Spruck’s result. As a corollary, we also get a comparison theorem between total mean curvature in Cartan-Hadamard 3-spaces with that of the geodesic sphere in hyperbolic 3-space with constant curvature.

12. 非自治退化抛物方程的扩散界

Diffusion bounds for non-autonomous degenerate parabolic equations

作者: Marius Lemm, Israel Michael Sigal, Jingxuan Zhang

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19540v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19540v1

摘要: We prove the Davies-Gaffney (i.e., integrated Nash-Aronson) type diffusive upper bounds on the propagators of parabolic equations in $L^p$-sense for all $1\le p\le\infty$. Our approach is based on a simple exponential deformation argument that does not require hypoellipticity. It provides a unified approach to diffusive upper bounds that covers a wide class of problems including degenerate, non-autonomous, and non-linear equations.

13. 深度 Hilbert–Galerkin 方法用于无限维偏微分方程及最优控制

Deep Hilbert–Galerkin Methods for Infinite-Dimensional PDEs and Optimal Control

作者: Samuel N. Cohen, Filippo de Feo, Jackson Hebner, Justin Sirignano

类别: cs.LG, math.AP, math.NA, math.OC, math.PR

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19463v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19463v1

摘要: We develop deep learning-based approximation methods for fully nonlinear second-order PDEs on separable Hilbert spaces, such as HJB equations for infinite-dimensional control, by parameterizing solutions via Hilbert–Galerkin Neural Operators (HGNOs). We prove the first Universal Approximation Theorems (UATs) which are sufficiently powerful to address these problems, based on novel topologies for Hessian terms and corresponding novel continuity assumptions on the fully nonlinear operator. These topologies are non-sequential and non-metrizable, making the problem delicate. In particular, we prove UATs for functions on Hilbert spaces, together with their Fréchet derivatives up to second order, and for unbounded operators applied to the first derivative, ensuring that HGNOs are able to approximate all the PDE terms. For control problems, we further prove UATs for optimal feedback controls in terms of our approximating value function HGNO. We develop numerical training methods, which we call Deep Hilbert–Galerkin and Hilbert Actor-Critic (reinforcement learning) Methods, for these problems by minimizing the $L^2_μ(H)$-norm of the residual of the PDE on the whole Hilbert space, not just a projected PDE to finite dimensions. This is the first paper to propose such an approach. The models considered arise in many applied sciences, such as functional differential equations in physics and Kolmogorov and HJB PDEs related to controlled PDEs, SPDEs, path-dependent systems, partially observed stochastic systems, and mean-field SDEs. We numerically solve examples of Kolmogorov and HJB PDEs related to the optimal control of deterministic and stochastic heat and Burgers’ equations, demonstrating the promise of our deep learning-based approach.

14. 一类过定问题的构造性方法

A Constructive Approach to a Class of Overdetermined Problems

作者: Alessandro Fortunati, Filomena Pacella

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19446v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19446v1

摘要: In this paper we study an overdetermined problem which is directly related to the well known torsion problem studied by J. Serrin. A perturbed version of the latter is tackled by using asymptotic series as well as tools borrowed from the celebrated Nekhoroshev Theorem. In a similar fashion to this class of results, we establish the existence of infinitely many approximants for the perturbed problem’s solution, whose approximation error is so small which can be regarded as negligible for practical applications. The approach is fully constructive and this feature is demonstrated via an example in the final section.

15. 伪Calabi流正则性结果的改进

An improvement of regularity result for pseudo Calabi flow

作者: Jingrui Cheng, Junhao Tian

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19405v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19405v1

摘要: In this paper, we observe that if the initial data of pseudo Calabi flow has volume form $C^0$ close to a smooth one, then the flow is immediately smooth for $t>0$. As an application, we show that if the initial data has volume form $C^0$ close to that of a cscK metric, then the pseudo Calabi flow exists for $t\in (0,+\infty)$. We also prove similar improvement of regularity and long time existence result for pseudo Calabi flow on a Fano manifold when the volume form is bounded and the class is close to $c_1(M)$.

16. 耦合3D-1D传输问题的数值分析

Numerical Analysis of a Coupled 3D-1D Transport Problem

作者: Alyssa Taylor-LaPole, Uzochi Gideon, Beatrice Riviere, Duygu Vargun

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19395v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19395v1

摘要: A finite element solution coupled with an interior penalty discontinuous Galerkin solution are defined for the approximation of the coupled 3D-1D solute transport problem. Under sufficient regularity for the weak solutions, optimal error bounds are derived for the 3D concentration and 1D concentration, that are optimal with respect to the time step size and the mesh sizes. Numerical results verify the theoretical results.