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1. 二维欧拉方程在Yudovich正则性下剪切流的渐进稳定性

Asymptotic stability of shear flows for 2D Euler equations at Yudovich regularity

作者: Dengjun Guo, Xiaoyutao Luo

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20065v1

摘要翻译: 二维欧拉方程中剪切流的非线性渐进稳定性在传统上与周期情形下的无粘阻尼现象相关联。由于抑制"回声"现象需要Gevrey正则性，因此人们已知在Sobolev空间中渐进稳定性是无法实现的。 本文在无限通道中识别出了一种独特的稳定化机制：涡量向空间无穷远处的平流。我们在无限通道$\mathbb{R}\times[0,1]$上，针对Yudovich类（$L^{\infty}$涡量）的最小正则性，建立了二维欧拉方程的非线性渐进稳定性。具体而言，对于一类具有曲率界的非负剪切流，任意$L^{\infty}$小、紧支撑的涡量扰动都会在紧子集上产生衰减并弱收敛到零。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20065v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是二维不可压缩理想流体在无限通道 $\mathbb{R}\times[0,1]$ 中的剪切流动稳定性问题。剪切流动是2D Euler方程的基本相干定态解，其稳定性研究自19世纪末Kelvin和Rayleigh的经典线性分析以来一直是流体力学中的核心课题。

传统上，2D Euler方程中剪切流动的非线性渐近稳定性研究与周期性设置中的无粘性阻尼机制密切相关。Bedrossian和Masmoudi在2015年的开创性工作中首次建立了Couette流的非线性渐近稳定性，但这一结果以及后续的相关研究都局限于周期性域 $\mathbb{T}\times\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{T}\times[0,1]$，并且强烈依赖于Gevrey正则性假设。这种正则性要求的必要性已被证明是尖锐的：低于特定Gevrey类时会出现长时间不稳定性，而在Sobolev空间中，与剪切流动任意接近的非平凡定态可以持续存在，从而排除渐近松弛的可能性。

这一严格正则性要求与理想流体的物理现实形成鲜明对比。1930年代Wolibner和Hölder的经典工作已证明光滑初值的整体适定性，而Yudovich在1963年的突破性工作进一步表明，仅具有有界涡量（$L^1\cap L^\infty$）的初值即可保证整体存在唯一性，完全不需要Sobolev或Hölder正则性约束。这种函数空间现在被称为Yudovich类，它更贴近Euler方程的底层欧拉动力学特征——涡量沿着流体质点轨迹传输。

然而，尽管Yudovich理论已确立六十多年，将渐近稳定性拓展到如此粗糙的数据仍然是一个重大挑战。这一困难反映了非线性偏微分方程分析中的一个更广泛现象：非线性系统在恰好达到其适定性阈值时表现出渐近稳定性是极其罕见的，特别是当系统缺乏耗散机制时。由于Euler方程没有任何平滑机制，粗糙扰动将永远保持粗糙，实际上，2D Euler方程的一个标志性特征是无限时间范围内光滑性的"一般性"丧失和小尺度形成。

本文的核心问题是：是否存在2D Euler方程的某些定态在Yudovich正则性下是渐近稳定的？作者对这一问题给出了肯定的回答，在无限通道 $\mathbb{R}\times[0,1]$ 中针对一大类剪切流动建立渐近稳定性，从而首次在Yudovich正则性下证明了2D Euler方程的渐近稳定性结果。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是建立无限通道中2D Euler方程在Yudovich类最低正则性下的非线性渐近稳定性。

首先定义 admissible 剪切流动轮廓的函数类 $\mathcal{F} \subset C^2([0,1])$。设 $C > 0$ 为待确定的通用常数，并记 $d_*(y) := \min\{y, 1-y\}$ 为到通道边界 $\partial\Omega$ 的距离。若存在 $\delta > 0$ 使得以下两个条件成立，则 $f \in \mathcal{F}$：

非负性条件（H1）：$f(y) \geq \delta d_*(y)$

曲率界条件（H2）：$|f''(y)| \leq C \delta d_*(y)$

定理1.1（渐近稳定性）：存在通用常数 $C_* > 0$，使得对任意剪切流动 $f \in \mathcal{F}$，方程（1.1）在无限通道 $\Omega = \mathbb{R} \times [0,1]$ 上关于紧支撑Yudovich扰动是渐近稳定的。更准确地说，对任意 $f \in \mathcal{F}$，存在 $\epsilon = \epsilon(f) > 0$，使得对任意紧支撑 $\omega_{\text{in}} \in L^\infty(\Omega)$ 满足 $\|\omega_{\text{in}}\|_{L^\infty(\Omega)} \leq \epsilon$，方程（1.1）的唯一Yudovich解 $\omega(t)$ 满足：对任意紧集 $K \subset \Omega$，有 $\lim_{t \to \infty} \|\omega(t)\|_{L^\infty(K)} = 0$。进而，$\omega(t) \rightharpoonup 0$ 在 $L^p(\Omega)$ 中对所有 $1 < p < \infty$ 弱收敛于 $t \to \infty$。

这个定理建立了有限区域边界附近衰减的紧集上逐点衰减，以及整体弱收敛到一个稳定状态。

定理1.5（非停滞流动的指数衰减）：在非停滞流动情况下，即存在 $c > 0$ 使得 $f(y) \geq c > 0$，稳定性机制产生涡量的局部指数衰减。存在通用常数 $C > 0$ 使得以下结论成立：设 $f \in C^2([0,1])$ 满足 $m = \inf_{y \in [0,1]} f(y) > 0$ 且 $\|f''\|_{L^\infty([0,1])} \leq C_* m$，则对任意紧支撑 $\omega_{\text{in}} \in L^\infty(\Omega)$ 满足 $\|\omega_{\text{in}}\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C_* m$，方程（1.1）的唯一Yudovich解 $\omega(t)$ 对任意 $R > 0$ 满足：$\|\omega(t)\|_{L^\infty((-\infty,R] \times [0,1])} \lesssim_R e^{-\frac{1}{2}m_f t}$，其中 $m_f = m$。

这个指数衰减率体现了无限通道中Dirichlet Green函数的指数衰减性质。

定理1.8（紧致性丧失）：设 $\omega : \Omega \times [0,\infty) \to \mathbb{R}$ 是某背景剪切流 $f \in C^2$ 和紧支撑初值的Yudovich解，记 $u$ 为其相关速度场。若 $\omega(t) \rightharpoonup 0$ 在 $L^p(\Omega)$ 中对所有 $1 < p < \infty$ 弱收敛于 $t \to \infty$，则根据剪切轮廓 $f(y)$ 的不同有以下紧致性丧失陈述。对于Couette流 $(y,0)$：轨迹 $t \mapsto \omega(t)$ 在 $L^p(\Omega)$ 中对任意 $1 \leq p \leq \infty$ 不相对紧致；若初始剩余能量非零，则 $t \mapsto u(t)$ 在 $L^1(\Omega)$ 中不相对紧致。对于一般剪切流：若初始剩余熵非零，则 $t \mapsto \omega(t)$ 在 $L^1(\Omega)$ 中不相对紧致；若初始剩余能量非零，则 $t \mapsto \omega(t)$ 和 $t \mapsto u(t)$ 均在 $L^1(\Omega)$ 中不相对紧致。

这些紧致性丧失结果是弱收敛与守恒量（剩余能量和剩余熵）共存导致的必然结果，体现了无限通道中涡量逃逸机制的宏观表现。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的方法引入了一个独特的稳定范式：追踪涡量"下游"的宏观逃逸。发展了两种基于这一平流机制和传输估计的Euler方法，完全绕过了Gevrey正则性壁垒，并在最低的Yudovich（$L^\infty$）正则性下闭合稳定性估计。

Green函数与Biot-Savart定律：在无限通道 $\Omega = \mathbb{R} \times [0,1]$ 中，关键在于Green函数的指数衰减性质。 Dirichlet Green函数 $G(z,z')$ 满足 $\Delta G(z,z') = \delta(z-z')$ 且 $G(z,z') = 0$ 当 $z,z' \in \partial\Omega$。边界条件（$y=0,1$）诱导了一个谱间隙，迫使Green函数指数地筛选相互作用。Green函数有显式表达式：

$$ G(x,y,x',y') = -\frac{1}{4\pi} \ln \frac{\cosh[\pi(x-x')] - \cos[\pi(y+y')]}{\cosh[\pi(x-x')] - \cos[\pi(y-y')]} $$

速度场通过Biot-Savart定律恢复：$\hat{u}(z) = \nabla^\perp \Delta^{-1}\omega = \int_\Omega K(z,z')\omega(z')dz'$，其中核 $K$ 满足指数衰减估计：

$$ |K(z,z')| \lesssim \begin{cases} |z-z'|^{-1} & \text{若 } |z-z'| \leq 1 \\ e^{-\pi|x-x'|} & \text{若 } |z-z'| \geq 1 \end{cases} $$

这种指数筛选效应使得即使仅假设有界初数据，速度场也有定义，从而在Yudovich理论中可以放弃通常的 $L^1$ 条件。

Yudovich解理论：在无限通道中，Yudovich解的存在唯一性遵循标准论证。Biot-Savart核的指数衰减确保速度场定义良好（仅假设有界初数据），因此通常Yudovich理论中的 $L^1$ 条件可以放弃。主要结果为：对任意 $f \in C^2([0,1])$ 和 $\omega_{\text{in}} \in L^\infty(\Omega)$，存在方程（1.1）的唯一Yudovich解 $\omega \in C_w([0,+\infty);L^\infty(\Omega))$，其速度场按（2.2）对数-Lipschitz。若附加 $\omega_{\text{in}} \in L^p(\Omega)$ 对某 $1 \leq p < \infty$，则 $\omega \in C([0,+\infty);L^p(\Omega))$。

关键估计表明，由于总涡量由流传输，对任意 $(x,y)$ 存在 $(X,Y)$ 使得 $\omega(x,y,t) - f'(y) = \omega_{\text{in}}(X,Y) - f'(Y)$，从而有 $\|\omega(t)\|_{L^\infty} \leq \|f''\|_{L^\infty} + \|\omega_{\text{in}}\|_{L^\infty}$ 和 $\|u(t)\|_{L^\infty} \lesssim \|\omega(t)\|_{L^\infty}$。

指数权重下的最大模原理：对于非停滞流动（$f \geq c > 0$），强指数衰减性质和Biot-Savart核的指数衰减使得能够提取传输项 $f(y)\partial_x \omega$ 的局部阻尼效应。固定权重指数 $a = \frac{\pi}{2}$ 并回忆 $m_f = \inf f(y) > 0$，加权涡量定义为 $\Phi(x,y,t) = \omega(x,y,t)e^{-a(x - \frac{1}{2}m_f t)}$。在拉格朗日坐标下消除传输项后，$\Phi$ 满足方程（2.9），通过选择足够小的通用常数 $C_* > 0$，可以确保 $\partial_t \Phi < 0$ 在 $\Phi$ 接近其上确界的点处成立，从而得到最大模原理 $\|\Phi(t)\|_{L^\infty} \leq \|\Phi(0)\|_{L^\infty}$。

由加权的指数时间衰减 $\omega e^{-ax}$，标准推导可得到关联速度的类似衰减估计。

重整化框架与守恒量分析：建立重整化框架以处理Yudovich解的能量论证。采用DiPerna-Lions重整化框架并分析系统的自然守恒量。剩余能量和剩余熵是标准守恒量在无限通道设置（具有非衰减背景剪切）下的自然类比。这些守恒量与弱收敛的结合直接导致紧致性丧失结果。

加权 $L^1$ 质量泛函的构造：对于边界退化的临界情况（背景速度在边界处消失），由于与粗糙 ($L^\infty$) 扰动相关的退化点无法应用逐点最大模原理，采用重整化能量方法。构造加权 $L^1$ 质量泛函来追踪涡量的整体质量，关键技术创新在于：非线性估计 $L^1$ 加权质量类似于双重相互作用能量积分，从而具有有利的对称性——这是其他 $L^p$ 能量泛函（$p > 1$）所不具备的特征。这种关键对称性，结合对Biot-Savart核的仔细分析，证明背景剪切足够强以克服感应回流并"剥离"边界层。

4. 与之前工作的比较

本文结果置于2D Euler方程流体动力学稳定性和长时间动力学的背景下，与现有文献有显著区别。

稳定性机制的根本差异：现有非线性稳定性结果（如Bedrossian-Masmoudi [8]、Lin-Zeng [21,23]、Wei-Zhang [30]）都局限于周期性设置，依赖于无粘性阻尼机制，扰动需要Gevrey正则性。这种高正则性要求在周期性设置中是必要的：低于特定Gevrey类时会出现长时间不稳定性[12]，而在Sobolev空间中非平凡定态可以任意接近剪切流动[29,10]，排除渐近松弛的可能性。本文提出的新机制——涡量向空间无穷远的平流（称为"涡量逃逸"）——仅在无限通道中可用，代表了渐近稳定的截然不同范式。

正则性要求的突破：本文达到Yudovich类——2D Euler方程适定性所需的最低正则性。这与物理现实一致：经典工作在1930年代已证明光滑数据的整体适定性，而Yudovich在1963年的工作表明仅需有界涡量即可保证整体存在唯一性。超过六十年来，将渐近稳定性拓展到如此粗糙数据一直是重大挑战，本文首次在Yudovich正则性下建立渐近稳定性。

无限通道vs周期性设置：在无限通道中，边界条件（$y=0,1$）诱导谱间隙，迫使Green函数指数筛选相互作用。这种几何设置使涡量逃逸成为可能——宏观现象本质上形成类似行波的结构。在周期性设置中，涡量被限制，稳定性需要高Gevrey正则性；而在无限通道中，同样的机制不需要额外正则性，因为平流自然地将涡量输送到远离关心区域的位置。

收敛速率比较：对于非停滞流动（$\inf f > 0$），本文得到指数衰减率，这反映了Dirichlet Green函数在无限通道中的指数衰减。对于退化情况（背景剪切在边界处消失），定理1.1仅提供衰减到零而没有收敛率。边界附近的退化阻碍了均匀衰减率。

紧致性丧失机制：在周期性设置中，紧致性丧失是无穷时间相位混合的结果，而在无限通道设置中，紧致性丧失源于整体涡量向空间无穷远的宏观传输。这两种机制有本质区别：相位混合是时间尺度上的振荡效应，而涡量逃逸是空间尺度上的输运效应。

本文的稳定性结果表格总结如下：

设置机制扰动正则性参考文献
Gevrey剪切流 $\mathbb{T} \times \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{T} \times [0,1]$相位混合Gevrey[8,23,30]
点涡 $\mathbb{R}^2$相位混合Gevrey[22]
0-齐次m-重螺旋不适用-[36]
$C^2$剪切流 $\mathbb{R} \times [0,1]$平流$L^\infty$本文

与先前工作的核心区别在于：本文完全绕过了Gevrey正则性壁垒，在流体方程适定性所需的最低正则性下建立渐近稳定性，开创了利用无界域中涡量逃逸机制进行稳定性分析的新途径。

2. 广义牛顿流体的三维正则性准则

Regularity criterion for the 3D generalized Newtonian fluids

作者: Qiao Liu, Xincheng Shi

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19941v1

摘要翻译: 在本文中，我们证明了广义牛顿流体三维非定常流动Cauchy问题的弱解在 $\frac{5}{3} < p < \frac{11}{5}$ 条件下成为强解，前提是速度梯度 $\nabla \boldsymbol{u}$ 属于临界空间 $L^{\frac{2}{2-(3-p)a}}(0,T;\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3))$，其中当 $p \in (\frac{5}{3}, 2)$ 时，$a \in (\frac{3}{2}, \frac{2}{3-p})$；当 $p \in [2, \frac{11}{5})$ 时，$a \in (\frac{1}{p}, \frac{2}{3-p})$。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19941v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是三维非定常广义牛顿流体的Cauchy问题（初值问题）。广义牛顿流体是复杂流体的重要模型，能够描述血液、聚合物熔体和酸奶等具有剪切依赖粘度的流体行为。广义牛顿流体的控制方程组由连续性方程和动量方程组成，其中本构关系体现了剪切依赖的粘度特性，即有效粘度依赖于速度梯度的对称部分 $Du = \frac{1}{2}(\nabla u + (\nabla u)^T)$。

该模型中的指数 $p > 1$ 表征了流体的流动行为：当 $1 < p < 2$ 时，流体为剪切变稀流体；当 $p = 2$ 时，退化为经典的牛顿流体，对应著名的Navier-Stokes方程组；当 $p > 2$ 时，流体为剪切增稠流体。本文主要关注 $5/3 < p < 11/5$ 这一参数范围，研究的核心数学问题是：在何种条件下，广义牛顿流体的弱解能够成为强解，从而保证解的正则性和唯一性。

Navier-Stokes方程弱解的正则性问题一直是数学研究中的核心难题。即使在经典的牛顿流体情形（$p=2$），Leray和Hopf建立的弱解是否存在至今悬而未决。对于广义牛顿流体，虽然弱解的存在性已在p > 1的范围内得到证明，但弱解何时成为强解的正则性问题仍然是一个精细而困难的问题。本文的研究动机正是要建立关于速度梯度在Besov空间中的临界型正则性准则，以推广和改进现有的结果。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是Theorem 1.1，其内容可概括如下：设 $5/3 < p < 11/5$，$u_0 \in W^{1,2}(\mathbb{R}^3) \cap W^{1,p}(\mathbb{R}^3)$，假设 $u$ 是Cauchy问题的一个弱解，且速度梯度 $\nabla u$ 属于临界Besov空间

$$ \nabla u \in L^{\frac{2}{2-(3-p)a}}\left(0,T;\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3)\right) $$

其中参数 $a$ 满足特定条件：当 $p \in (5/3, 2)$ 时，$a \in (3/2, 2/(3-p))$；当 $p \in [2, 11/5)$ 时，$a \in (1/p, 2/(3-p))$，则该弱解 $u$ 是定义在 $\mathbb{R}^3 \times (0,T]$ 上的强解。

该结果具有重要的理论意义。首先，这一准则关于方程的缩放变换是不变的，体现了临界空间特征。具体来说，广义牛顿流体方程组具有缩放不变性：如果 $(u,\pi)$ 是对应初值 $u_0$ 的解，则经过特定变换后的函数族仍是解，而本文的条件在这种变换下保持不变。其次，该定理统一并推广了之前的多项工作：当 $p=2$ 时，条件退化为Zhang和Yang在Navier-Stokes方程情形得到的结果；当取特定的Besov空间参数时，可以推导出关于速度梯度的Lebesgue空间型正则性准则。此外，论文还给出了一个等价的正则性准则（Remark 1.1中的(1.15)），将条件表述为速度本身在Besov空间中的性质。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明采用了现代调和分析中的多种精细技术，主要包括以下几个核心工具和方法。

齐次Besov空间理论是本文的基础框架。论文采用Littlewood-Paley分解技术定义齐次Besov空间 $\dot{B}^s_{q,r}(\mathbb{R}^3)$，并利用其上的嵌入性质和插值不等式。Besov空间的负指数正则性指标是本文的关键：$\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3)$ 作为临界空间，能够以比Lebesgue空间更精细的方式捕捉解的奇性行为。

改进的Gagliardo-Nirenberg不等式（Lemma 2.3）是本文的核心技术工具。该不等式建立了函数在Lebesgue空间 $L^m(\mathbb{R}^3)$ 的范数与其在Besov空间 $\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3)$ 和另一Lebesgue空间 $L^n(\mathbb{R}^3)$ 范数之间的插值估计。设 $0 < a \leq 3$ 且 $3 < m < n < \infty$，则

$$ \|f\|_{L^m} \leq c \|f\|_{\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}}^{\theta} \|f\|_{L^n}^{1-\theta} $$

其中 $\theta = \frac{\frac{1}{m} - \frac{1}{n}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{3} - \frac{1}{n}}$。这个不等式的证明依赖于Bernstein引理和Besov空间的定义，通过对Littlewood-Paley分解的不同频段进行精细估计，再对频率分割参数进行优化选择得到最优估计。

能量估计方法是处理偏微分方程正则性问题的标准技术。论文通过将方程与 $\Delta u$ 做内积并进行分部积分，得到关于 $\|\nabla u\|_{L^2}$ 的微分不等式。关键的挑战在于估计非线性项 $\int_{\mathbb{R}^3} (u\cdot\nabla)u \cdot \Delta u \, dx$，该估计通过上述改进的Gagliardo-Nirenberg不等式完成。

论文根据参数 $p$ 的不同范围采用了两套不同的技术路线。对于 $5/3 < p < 2$（剪切变稀情形），利用 $L^3(\mathbb{R}^3) \subseteq L^{3p}(\mathbb{R}^3) \cap L^q(\mathbb{R}^3)$ 的嵌入关系进行插值；对于 $2 \leq p < 11/5$（剪切增稠情形），则利用 $L^3(\mathbb{R}^3) \subseteq L^2(\mathbb{R}^3) \cap L^q(\mathbb{R}^3)$ 的嵌入关系。通过这种方式，最终将非线性项估计转化为包含Besov范数的项。

Grönwall不等式用于从微分不等式中提取积分估计。论文得到的微分不等式形式为

$$ \frac{d}{dt}\|\nabla u\|_{L^2}^2 + S \leq c \|\nabla u\|_{\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}}^2 \|\nabla u\|_{L^2}^2 $$

其中 $S = \int_{\mathbb{R}^3} |Du|^{p-2} |\nabla^2 u|^2 \, dx$。应用Grönwall不等式并结合给定的Besov空间条件，可以得到 $S$ 的有限性，进而验证强解的定义条件。

4. 与之前工作的比较

本文的正则性准则与之前多个研究工作存在深刻的联系和重要的改进。

在经典的Navier-Stokes方程情形（$p=2$），Serrin建立了著名的 $L^\beta(0,T;L^\alpha(\mathbb{R}^3))$ 型正则性准则，其中 $\frac{2}{\beta} + \frac{3}{\alpha} = 1$，$3 < \alpha \leq \infty$。后来Kozono和Shimada通过建立齐次Besov空间中的双线性Hölder估计，将Serrin准则改进为 $u \in L^{1-2a}(0,T;\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3))$ 的形式（$0 < a < 1$）。本文的主要结果在 $p=2$ 时恰退化为Zhang和Yang得到的更精细准则 $u \in L^{2-3a}(0,T;\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3))$（$1/2 < a < 2/3$），体现了对经典结果的一致性推广。

对于广义牛顿流体（$p \neq 2$）的正则性问题，前人已做了大量研究。Bae等人针对 $8/5 < p < 2$ 的情形建立了关于速度的Serrin型准则。Zhang和Wang（$8/5 < p < 2$）、Sin和Barnovskii（$2 < p < 11/5$）给出了关于速度的正则性准则Fan等人（$7/5 < p < 2$）、Bae等人（$2 < p < 11/5$）则建立了关于速度梯度的正则性准则。本文的一个重要贡献在于将这些分散的结果统一到同一个框架下，通过Besov空间中的临界型条件将它们有机地联系起来。

本文相对之前工作的创新性主要体现在以下几个方面：第一，本文建立了关于速度梯度的Besov空间型正则性准则，而非传统的Lebesgue空间型准则，这从函数空间的嵌入角度看是对经典结果的本质改进；第二，通过选择适当的Besov空间参数，本文的结果蕴含了之前的多项结果，包括难以处理的 $5/3 < p \leq 8/5$ 情形；第三，本文给出了一种基于旋度的等价正则性准则（利用等范数性质 $\|\nabla \times u\|_{\dot{B}^s_{q,r}} \sim \|u\|_{\dot{B}^s_{q,r}} \sim \|\nabla u\|_{\dot{B}^s_{q,r}}$），扩大了结果的应用范围。

在技术方法上，本文与之前工作（如Bae等人和Fan等人的工作）的主要区别在于非线性项的估计策略。过往工作多采用双线性估计方法，而本文通过建立和改进Gagliardo-Nirenberg不等式在Besov空间中的应用，实现了对速度梯度范数的精细控制。这种方法在处理 $p$ 接近临界值 $5/3$ 时的奇性行为时显示出独特优势。

3. 小间隙条件下对流圆柱的库埃特-泰勒不稳定性

Couette Taylor instabilities for counter-rotating cylinders in the small-gap regime

作者: Dongfen Bian, Emmanuel Grenier, Gérard Iooss, Zhuolun Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19704v1

摘要翻译: 我们研究了不可压缩粘性流体在两同轴圆柱（半径近乎相等）之间的库埃特-泰勒不稳定性，允许以转速比 $\mu\in [-1,1]$ 进行对流旋转。在旋转参考系、小间隙和小粘度条件下，我们推导了相应的极限纳维-斯托克斯系统，并分析了库埃特流动的线性稳定性。特别地，我们数值计算了一般扰动下的临界泰勒数，并在 $\mu_c \approx -0.8$ 附近识别出一种转变：对于 $\mu > \mu_c$，最不稳定模态是轴对称的；而对于 $\mu < \mu_c$，最不稳定模态是非轴对称的。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19704v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是粘性流体在两个半径几乎相等的同轴圆柱体之间的流动问题。具体而言，考虑在圆柱坐标系 $(r,\phi,z)$ 定义的区域 $\Omega = \{(r,\phi,z) \mid r_i < r < r_o\}$ 中，不可压缩粘性流体在内外圆柱以角速度 $\omega_i$ 和 $\omega_o$ 旋转时的流动行为。流体在边界处与圆柱"粘附"，即速度等于圆柱表面的速度。

研究关注的核心参数包括间隙 $d = r_o - r_i$、半径比 $\eta = r_i/r_o$ 以及旋转速率比 $\mu = \omega_o/\omega_i$。其中 $\mu < 0$ 的情况对应于反同向旋转，这是本文的重点研究对象。

研究在旋转参考系中进行，旋转角速度 $\Omega_{rf} = \frac{\omega_i + \omega_o}{2} = \omega_i \frac{1+\mu}{2}$。在此参考系下，Couette流动的表达式为 $U(r) = r\Omega_{rf} - \frac{B}{r}$，其中 $A$ 和 $B$ 是由边界条件确定的常数。

研究采用的小间隙和小粘度 scaling 假设为 $\nu \ll 1$，$1-\eta = O(\nu^{2/3})$，在此极限下雷诺数 $R = O((1-\eta)^{-1/2})$，Taylor数 $T = O(1)$。这与之前 $\mu=1$ 的研究工作形成对比，后者在文献[1]中已有详细讨论。

2. 主要定理或主要结果

本文获得了一系列重要的理论成果，揭示了反同向旋转圆柱系统中Couette流动的稳定性特征。

首先，在线性稳定性分析方面，论文数值计算了临界Taylor数 $T_c(\mu,B)$ 作为 $\mu$ 和 $B = \beta R$ 的函数，发现存在一个重要的转折点 $\mu_c \approx -0.8$。当 $\mu > \mu_c$ 时，$T_c(\mu,B)$ 曲线关于 $B$ 是凸的，最不稳定模式是轴对称的，因此 $T_c(\mu,0) = \min_B T_c(\mu,B)$。当 $\mu < \mu_c$ 时，$T_c(\mu,B)$ 曲线在小的 $B$ 处是凹的而在较大 $B$ 处是凸的，导致最不稳定模式变为非轴对称的，此时 $T_c(\mu,0) > \min_B T_c(\mu,B)$。特别地，当 $\mu = 1$ 时，恢复经典的临界Taylor数 $T_c(1,0) \approx 1707$。

其次，在非线性稳定性分析方面，论文证明在临界点附近，缓慢变化的行波可以用时间无关的Ginzburg-Landau方程描述。通过分析该方程，发现非线性系数 $c$ 在 $\hat{\mu}_c \approx -0.65$ 附近改变符号：对于 $\mu > \hat{\mu}_c$，有 $c > 0$，分叉是超临界的；对于 $\mu_c < \mu < \hat{\mu}_c$，有 $c < 0$，分叉是亚临界的。

在亚临界分叉情形下，论文详细分类了小振幅稳态解：除了平凡的Couette解 $A=0$ 外，还存在Taylor涡流（TVF），其振幅 $A$ 为常数；波状涡流（WV），其振幅在 $y$ 方向呈周期分布；更复杂的拟周期流；以及在 $T < T_c(\mu,0)$ 时存在的局部行波扰动解。

论文进一步考虑了 $\mu$ 接近 $\mu_c$ 且 $T$ 接近 $T_c(\mu_c,0)$ 的情形，引入两个分叉参数 $\tau$ 和 $\sigma$，得到了四阶Ginzburg-Landau方程，并详细描述了 $(\tau,\sigma)$ 平面不同区域中的稳态解。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本研究采用了渐近分析、数值计算和空间动力学理论相结合的综合方法。

在推导限制性Navier-Stokes系统时，研究者首先对方程进行无量纲化和尺度分析。通过引入重标度变量 $\hat{x} = \frac{2r - r_o - r_i}{2d}$，$\hat{y} = \phi$，$\hat{z} = \frac{z}{d}$，将物理区域映射到固定的计算区域。关键的观察是，在极限 $\eta \to 1$ 下，$y$ 方向的周期长度趋于无穷，这要求考虑在 $y$ 方向缓慢变化的解，即 $B = \beta R = O(1)$ 的模式。

在此框架下，$R\partial_y$ 算子保持有界，因而在线性项中必须保留；而在非线性项中，涉及 $R\partial_y$ 的项可以忽略。最终得到的限制性Navier-Stokes系统包含三个主方程，分别描述 $(x,z)$ 平面内的速度分量 $u_\perp = (u_x, u_z)$、$y$ 方向速度 $u_y$ 以及压力场。

数值计算方面，论文通过求解广义特征值问题来计算临界Taylor数。对于轴对称情形，特征值问题归结为方程 (16)-(17)，边界条件为 $x = \pm 1/2$ 处 $u_x = D u_x = u_y = 0$。对于非轴对称情形，则需要求解包含 $B$ 的更复杂特征值系统。数值结果通过图1和图2展示，分别给出了临界Taylor数和临界波数随 $\mu$ 的变化，以及 $T_c(\mu,B)$ 随 $B$ 的依赖关系。

空间动力学理论在本研究中扮演了核心角色。该理论将 $y$ 方向视为"时间"，将原来的偏微分方程转化为一个无限维动力系统。通过分析相应常微分方程的周期解、同宿轨和异宿轨，可以获得原问题的稳态解。特别地，时间无关的Ginzburg-Landau方程 $\alpha_1 A + \alpha_3 \partial_{yy} A - c|A|^2 A = 0$ 在此框架下被研究，其解对应于原限制性系统的行波解。

4. 与之前工作的比较

本文的工作建立了 $\mu = 1$ 情形与反同向旋转情形之间的系统性联系，并在多个方面超越了既有研究。

与文献[1]的比较最为直接和深入。在 $\mu = 1$ 的特例中，非线性系数 $c > 0$，分叉始终是超临界的。本文发现当 $\mu$ 降低时，$c$ 的符号在 $\hat{\mu}_c \approx -0.65$ 处发生变化，从而出现了亚临界分叉 regime。这是反同向旋转带来的全新物理现象，在 $\mu = 1$ 的对称情形中不存在。

更重要的是，本文揭示了线性稳定性特征的根本转变。当 $\mu > \mu_c$ 时，轴对称模式是最不稳定的，这与标准Couette-Taylor问题中Taylor涡流的形成机制一致。然而，当 $\mu < \mu_c$ 时，非轴对称模式占据主导地位，这意味着波状涡流或更复杂的螺旋模式将首先出现。这一转变与线性算子在 $B$ 展开的系数 $a_4(\mu)$ 的符号变化直接相关：当 $\mu > \mu_c$ 时 $a_4 > 0$，当 $\mu < \mu_c$ 时 $a_4 < 0$。

文献[10]中的Nagata研究了类似的小间隙情形，但主要关注 $\mu = 1$ 的情况。本文将分析推广到完整的 $\mu \in [-1,1]$ 区间，特别强调了反同向旋转引入的新效应。

此外，本文的结果与经典Couette-Taylor实验中观察到的亚临界分叉现象存在关联。文献[2]中报告了参数 $\Omega = \mu = -0.65$、$\eta = 0.95$ 时的亚临界Taylor涡流分叉。本文通过理论推导确认了这种亚临界行为的普遍性，并精确给出了发生亚临界分叉的参数范围 $\mu_c < \mu < \hat{\mu}_c$。

在数学严格性方面，本文援引了Schneider关于时间依赖Ginzburg-Landau方程的严格数学结果，以及Ch代表空间动力学方法的严格 justification，确保从限制性系统到Ginzburg-Landau方程的推导在数学上是可靠的。

4. 具有一般涡量的大振幅稳态孤立水波

Large-Amplitude Steady solitary water waves with general vorticity

作者: Jifeng Chu, Zihao Wang, Yong Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19699v1

摘要翻译: 本文研究在有限深度流体表面上传播的二维稳态孤立重力波。特别地，本文能够处理一般涡量分布和悬垂波形问题。通过共形映射，我们将问题重新表述为一个固定带状区域上的超定椭圆方程组与一个椭圆边值问题的耦合形式。为了避免对涡量函数施加额外约束，我们进一步将问题重塑为抽象算子的形式。基于上述表述，我们利用中心流形约化方法证明了小振幅孤立波的存在性，而大振幅波则通过解析全局分歧定理获得。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19699v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维稳态孤立重力波在有限深度流体表面的传播问题。与以往研究主要关注无旋流或特定涡度分布不同，本文考虑更一般的情形，即流体具有任意涡度分布，并且波面可以呈现悬垂（overhanging）形态，这意味着自由表面不再是某函数的图像。

从物理背景来看，旋转水波比无旋水波更接近自然现象，涡度是非均匀流的标志。研究孤立水波的数学历史可追溯至18世纪，Stokes在无限深度情况下研究了水波问题并提出著名猜想。Friedrichs和Hyers在1954年首次证明了孤立波的存在性，Mielke则发展了空间动力学方法。对于无旋大振幅情形，Amick和Toland证明了极端波的存在性，解决了Stokes猜想。

对于旋转水波，Groves和Wahlén利用中心流形技术证明了小振幅波的存在性，Constantin和Strauss首次建立了大振幅旋转波的严格数学结果，Wheeler则给出了具有任意涡度分布的精确孤立波构造。然而，此前所有结果都排除了临界层和悬垂波形的可能性。近年来，Constantin、Strauss和Varvaruca构造了具有非零常涡度的大振幅悬垂周期波，Haziot和Wheeler则基于解析全局分岔理论构造了允许内部驻点和悬垂波形的孤立波解。本文正是在这些工作的基础上，进一步将涡度推广到一般分布情形。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是构造了具有一般涡度分布的大振幅孤立重力波，且这些波可以呈现悬垂形态。具体而言，研究证明了以下存在性结果：对于满足适当条件的一般涡度函数，存在连通的大振幅孤立波解分支。

该研究克服了两个主要困难：一是来自无界域的紧致性缺乏，二是处理一般涡度分布带来的额外复杂性。研究采用新的泛函形式，并应用Chen、Walsh和Wheeler引入的奇分岔论证。研究还构造了小振幅孤立波（通过中心流形约简定理证明）和大振幅孤立波（基于解析全局分岔定理），从而建立了完整的解分支结构。

此外，研究在共形变量下给出了速度表达式，并证明了满足单调性性质（节点性质）。通过构造称为"流动 Force"的不变量，证明不存在"Bore"解，从而获得了紧致性性质，这对处理无界域问题至关重要。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文采用的核心方法论包括以下几个层面。首先，通过共形映射将原问题重述为固定带状域中的超定椭圆系统耦合椭圆边值问题。具体而言，引入映射 $H(x+iy) = \xi(x,y)+i\eta(x,y)$，将物理区域 $\Omega$（$X$坐标方向无界，有限深度，有平坦底部和自由表面）映到标准带状区域 $R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < y < 1\}$。在此变换下，稳态Euler方程、边界条件和Bernoulli方程被转化为关于流函数 $\psi$ 和映射的虚部 $\eta$ 的耦合方程组。

其次，为避免对涡度函数施加额外约束，研究进一步将问题重述为抽象算子形式。定义 Banach 空间 $X$ 和 $Y$，以及开集 $U$，引入算子 $A(\phi,w,\alpha)$，使得原问题等价于 $F(\phi,w,\alpha) = 0$。其中 $F = (F_1, F_2)$，$F_1$ 对应椭圆方程，$F_2$ 对应自由表面条件。

第三，小振幅波的存在性通过中心流形约简方法证明。该方法将准线性偏微分方程系统约简为具有自由度的局部等价Hamilton系统，从而获得解的分岔。

第四，大振幅波通过解析全局分岔定理构造。该方法依赖于对线性化算子的谱分析，以及流 Force 不变量的使用来建立紧致性。研究构造了不变量的具体形式，并通过其不变性证明不存在 Bore 解，从而确保解序列的紧致性。

4. 与之前工作的比较

本文的研究建立在水波理论的重要进展之上，同时在多个方面实现了突破。与早期无旋水波研究（如Friedrichs-Hyers、Mielke、Amick-Toland的工作）相比，本文考虑的是更一般的旋转流情形，涡度可以是任意分布而非恒为零。

与Groves-Wahlén关于小振幅旋转孤立波的研究相比，本文不仅证明了小振幅解的存在，还进一步构造了全局的大振幅解分支。与Constantin-Strauss关于大振幅旋转周期波的工作相比，本文处理的是孤立波（无界域）而非周期波（有界域），因此面临更大的紧致性困难。

与Wheeler关于一般涡度大振幅孤立波的工作相比，本文允许波面悬垂，这是此前工作未能实现的关键突破。Haziot和Wheeler在2022年的工作首次构造了近似圆盘通过细颈连接到带状域的悬垂孤立波，但该工作仅限于常涡度情形。本文将涡度推广到任意分布，大大拓展了理论的应用范围。

与Constantin-Strauss-Varvaruca关于悬垂周期波以及Hur-Wheeler关于弱重力下悬垂周期波的工作相比，本文针对孤立波而非周期波。由于孤立波的无界性导致紧致性问题更难处理，研究方法和技术手段有所不同。本文采用Chen-Walsh-Wheeler的奇分岔理论作为关键工具，这与之前的工作形成了方法论上的区别。

5. 关于一维欧拉-泊松方程小非平凡紧解不存在性的注记

A note on the non-existence of small non-trivial compact solutions for Euler-Poisson equation in 1D

作者: Masaya Maeda, Tetsu Mizumachi

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19662v1

摘要翻译: 在这篇短注中，我们证明了一维欧拉-泊松系统中慢、快两类小非平凡紧解的不存在性。证明基于virial估计，该估计给出了有界小解在空间局部上的平均衰减性质。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19662v1

1. 研究对象和背景

本文研究一维Euler-Poisson系统在离子动力学中的行为。该系统描述了离子的速度、密度、电场和电势的演化，由以下方程组给出：

$$ \begin{cases} \partial_t \rho = -\partial_x (\rho u) \\ \partial_t u = -u\partial_x u - \rho^{-1}\partial_x (p(\rho)) - \partial_x \phi \\ -\partial_x^2 \phi + e\phi = \rho \end{cases} $$

其中$p \in C^\infty((0,\infty),\mathbb{R})$是满足$p'(s) > 0$和$p''(s) \geq 0$的压力函数，$u$、$\rho$和$\phi$分别表示速度、密度和电势。边界条件为当$|x| \to \infty$时$(u,\rho,\phi) \to (0,1,0)$。

作者引入了新的未知函数$n = \rho - 1$和$w$，将原方程组改写为更便于分析的形式。定义$L^2$-紧解的概念：一个全局经典解$(n,u,\phi)$被称为$L^2$-紧解，如果存在$y \in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$使得对任意$\epsilon > 0$，存在$R > 0$满足当$|x - y(t)| > R$时，$(n,u)$的范数积分小于$\epsilon$。这类紧解与KdV型方程和非线性薛定谔方程中的紧解概念密切相关，在研究孤立子的渐近稳定性和大解的散射理论中具有重要作用。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是证明了两类小非平凡$L^2$-紧解的不存在性。

定理1.3（慢速小紧解的不存在性）：对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得如果$(n,u,\phi)$是一个$L^2$-紧解，满足

$$ \sup_{t \in \mathbb{R}} \|u\|_{L^2} < \infty, \quad \sup_{t \in \mathbb{R}} \|n\|_{L^2 \cap L^\infty} < \delta, \quad \sup_{t \in \mathbb{R}} |\dot{y}(t)| < \frac{k}{\sqrt{1+k} - \epsilon} $$

其中$k = p'(1) > 0$是常数，且能量$E$守恒，则$(n,u,\phi) = 0$。这个结果表明，当质点的运动速度远小于某个临界速度时，不存在非平凡的紧解。

定理1.4（快速小紧解的不存在性）：对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得如果$(n,u,\phi)$是一个$L^2$-紧解，满足

$$ \inf_{t \in \mathbb{R}} |\dot{y}(t)| > \sqrt{1+k+\epsilon}, \quad \sup_{t \in \mathbb{R}} \|(n,u)\|_{H^1} < \delta $$

且能量$E$守恒，则$(u,n,\phi) = 0$。这个定理表明，当质点的运动速度超过某个临界速度时，同样不存在非平凡的紧解。

值得注意的是，典型的一维Euler-Poisson系统的紧解例子是孤立子，即局部化的行波解。在二维和三维情况下，已有关于非平凡孤立子存在性的证明。在一维情况下，存在速度$c \in (\sqrt{1+k}, c_*)$的孤立子，其中$c_* > \sqrt{1+k}$。当$c \to \sqrt{1+k}+0$时，孤立子解趋于零，因此定理1.4在这类意义下是最佳的。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心方法是virial估计方法，该方法通过构造适当的virial泛函来证明小解的衰减性质，从而导出紧解的不存在性。

能量泛函的构造：定义能量密度

$$ e[n,u,\phi](x) = \frac{1}{2}(1+n(x))u(x)^2 + W(n(x)) + \frac{1}{2}\phi'(x)^2 + R(\phi(x)) $$

和能量

$$ E[n,u,\phi] = \int_{\mathbb{R}} e[n,u,\phi](x) \, dx $$

其中$W(n) = \int_0^n w(s) \, ds$，$R(\phi) = \int_0^\phi s q(s) \, ds$，$q(\phi) = e^\phi - 1$。引理2.1证明了该能量密度是非负的，且$e[n,u,\phi] = 0$当且仅当$(n,u,\phi) = 0$。

Virial泛函的构造：对于慢速解的情况（定理1.3），构造

$$ J(t) = \int_{\mathbb{R}} \varphi_A(x - y(t)) m[n(t),u(t)](x) \, dx $$

其中$m[n,u] = nu$是动量密度，$\varphi_A(x) = A \tanh(x/A)$是virial函数。引理3.2计算了$J$的时间导数，得到的表达式包含主要项和控制项。对于一般的$k > 0$情形，还需要添加额外的泛函

$$ K(t) = -\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} \varphi_A'(x - y(t)) u(t,x) \phi'(t,x) \, dx $$

引理3.3计算了$K$的导数，并估计了高阶误差项。

关键估计工具：作者在第2节建立了若干技术性引理。引理2.4证明当$\|n\|_{L^2}$充分小时，方程$-\phi'' + q(\phi) = n$存在唯一解，且$\|n\|_{L^2} \sim \|\phi\|_{H^2}$。引理2.5证明如果$n$在$L^2$中一致衰减，则相应的$\phi$也一致衰减。引理2.6说明在小解假设下，能量泛函等价于$(n,u)$的$L^2$范数平方。引理2.7和引理2.8建立了关于sech权重的算子有界性估计，这些是控制非线性项的关键工具。

主要命题与证明思路：命题3.1是核心估计：对满足条件的解，有

$$ \|e^{-|x - y(t)|/A}(n,u)\|_{L^2}^2 \lesssim A \|u\|_{L^\infty L^2} \|n\|_{L^\infty(L^2 \cap L^\infty)} $$

由此可导出紧解的不存在性：假设存在非平凡紧解，则能量$E[n,u,\phi] > 0$；另一方面，对大$T$积分左边得到有限的界，导出矛盾。

4. 与之前工作的比较

本文的研究背景和动机与KdV型方程和非线性薛定谔方程中关于紧解（solitons）的渐近稳定性和散射理论密切相关。在这些经典可积或近可积系统中，紧解理论是研究长时间动力学的核心工具。本文将类似的技术方法应用于Euler-Poisson系统，拓展了virial方法的应用范围。

在Euler-Poisson系统本身的研究中，已有的工作主要集中在孤立子（traveling wave solutions）的存在性和稳定性。在二维和三维情况下，文献[2]证明了非平凡孤立子的存在性。在一维情况下，文献[3]证明了速度$c \in (\sqrt{1+k}, c_*)$的孤立子存在性。本文与这些工作的关系在于：一方面承认孤立子作为紧解的存在性，另一方面通过virial估计证明当孤立子的振幅（速度）足够小（即接近临界速度$\sqrt{1+k}$）时，不存在非平凡的紧解结构。

特别地，定理1.4的最优性与孤立子理论相关：当$c \to \sqrt{1+k}+0$时，一维孤立子解的振幅趋于零，这意味着在"小振幅-接近临界速度"这个参数区域内确实不存在非平凡的紧解。本文的结果填补了这一理论空白，表明临界速度两侧的紧解行为存在本质差异。

从方法论角度看，本文使用的virial技术借鉴了FPU晶格研究中孤立子渐近稳定性的工作（文献[10]），并针对Euler-Poisson方程的耦合结构进行了适当修改（如添加额外的泛函$K$来处理一般$k > 0$的情形）。这种方法的成功表明virial估计在研究具泊松耦合的流体动力学系统中的解的衰减性质方面具有普适价值。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 一维空间中具有独立对流的交叉扩散系统的整体解

Global solutions to cross-diffusion systems with independent advections in one dimension

作者: Jakub Skrzeczkowski

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20153v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20153v1

摘要翻译

中文标题: 一维空间中具有独立对流的交叉扩散系统的整体解

摘要翻译:

本文研究描述两种物种$u$和$v$演化的交叉扩散系统，其中物种的运动服从达西定律，压力定律为$p(s) = \frac{1}{α-1} s^{α-1}$，这里$s = u + v$。该领域中最具挑战性的问题之一是在存在额外对流场的情况下构造问题的解，而不施加任何人工结构（例如防止物种混合）。尽管对流在这些模型中自然产生，但它破坏了系统的对称性，使得近年来发展的技术无法应用。本文提出了一种在一维空间中构造解的新方法，该方法统一适用于所有压力指数$α \in (0,\infty)$和任意初始数据（分离态、混合态或部分混合态）。特别地，在$α > 1$的 regime下，这是首个在没有任何结构假设条件下获得的存在性结果。我们通过消失粘性近似$(u_{\varepsilon}, v_{\varepsilon})$的极限来构造解。主要挑战在于识别$u_{\varepsilon} \, \partial_x p(s_{\varepsilon})$的极限，其中$s_{\varepsilon} = u_{\varepsilon} + v_{\varepsilon}$。关键的创新洞察在于$u_\varepsilon$和$\partial_x p(s_\varepsilon)$的可能振荡是相关的，这简化了补偿紧致性论证中的Young测度分析，从而使得极限能够被识别。

2. 分数阶薛定谔方程在 $\mathbb{R}^N$ 中近乎临界指数情形下多峰解的存在性、非退化性与局部唯一性

Existence, non-degeneracy and local uniqueness of multi-peak solutions to the fractional Schrödinger equation with nearly critical exponent in $\mathbb{R}^N$

作者: Yanyan Guo, Ying Li, Zhongyuan Liu, Pingping Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19868v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19868v1

摘要翻译

中文标题: 分数阶薛定谔方程在 $\mathbb{R}^N$ 中近乎临界指数情形下多峰解的存在性、非退化性与局部唯一性

摘要翻译: 本文研究如下分数阶薛定谔方程 \begin{equation*} \left{ \begin{array}{lcl} (-\Delta)^{s}u+V(x)u=u^{p_s-\varepsilon}\ \ \ &\text{在}\ \mathbb{R}^N\text{中},\ u>0\ \ \ &\text{在}\ \mathbb{R}^N\text{中}, \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $0<s<1$，$\varepsilon>0$，$p_s=(N+2s)/(N-2s)$，$N>4s$，且 $V(x)\in C^1(\mathbb{R}^N)\cap L^\infty(\mathbb{R}^N)$ 非负。首先，当 $V(x)$ 存在 $k$ 个稳定临界点时，我们利用 Lyapunov-Schmidt 约化方法构造上述方程的多峰解。随后，对于 $\frac{1}{2}<s<1$ 且 $N\geq 6s$ 的情形，通过基于多种局部 Pohozaev 恒等式的爆破论证方法，证明了多峰解的非退化性与局部唯一性。由于分数阶拉普拉斯算子的非局部性质，我们需要对近似解进行精细分析，并为相应的调和扩张（而非 $u$ 本身）建立局部 Pohozaev 恒等式。该方法不仅要求对局部 Pohozaev 恒等式中的若干积分建立精细估计，还需要以一种显著不同的方式应用 Pohozaev 恒等式。

3. 燃烧反应扩散方程的弯曲前缘

Curved fronts of combustion reaction-diffusion equations

作者: Wei-Jie Sheng, Xin-Tian Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19767v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19767v1

摘要翻译

中文标题: 燃烧反应扩散方程的弯曲前缘

摘要翻译: 本文研究 $\mathbb{R}^N$（$N\geq2$）空间中燃烧反应扩散方程的弯曲前缘。通过混合有限平面前缘并构造适当的上解和下解，我们证明了 $\mathbb{R}^N$ 中多面体状弯曲前缘的存在性、唯一性和稳定性。此外，我们证明了这些弯曲前缘是过渡前缘。

4. Beckmann参数最优传输问题的解的正则性

Regularity of Solutions to Beckmann’s Parametric Optimal Transport

作者: Hanno Gottschalk, Tobias J. Riedlinger

类别: math.AP, stat.ML

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19755v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19755v1

摘要翻译

中文标题: Beckmann参数最优传输问题的解的正则性

摘要翻译:

Beckmann最优传输问题最小化从源分布到目标分布的连续传输问题中的总平方通量。本文利用无约束拉格朗日 formulation 并求解变分一阶最优性条件，发展了Beckmann最优传输问题解的正则性理论。结果表明，强制执行Beckmann散度约束的拉格朗日乘子满足泊松方程，通量向量场作为势函数的梯度获得。利用椭圆正则性理论中的Schauder估计，在有界正则域上源密度和目标密度的Hölder正则性基础上，推导出势函数、通量以及生成流的精确Hölder正则性。当目标分布依赖于参数时——如条件(“可提示”)生成学习中的情形——我们给出了结果向量场在参数维和数据维上分别连续以及联合连续的充分条件。根据Belomnestny等人最近的这一结果，人们可以用深度ReQu神经网络在C^(k,α)-Hölder范数下逼近此类向量场。我们还表明该方法可推广到其他概率路径，如Fisher-Rao梯度流。

5. 2-Hessian问题的极值原理与先验估计

Minimum principles and a priori estimates for 2-Hessian problems

作者: Cristian Enache

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19740v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19740v1

摘要翻译

中文标题: 2-Hessian问题的极值原理与先验估计

摘要翻译:

本文研究了一类2-Hessian方程，并在L.E. Payne意义下的P函数（参见R. Sperb \cite{Sp81}）上建立了极值原理。该分析基于一个最优矩阵不等式，该不等式给出了解的二阶偏导数的适当组合的估计。利用这一估计，我们导出了相关P函数的微分不等式，并在凸性假设下得到了高维情形下的极值原理。作为本文结果的应用，结合X.-N. Ma和L. Xu \cite{MX08}、P. Liu、X.-N. Ma和L. Xu \cite{LMX10}、P. Salani \cite{Sa12}以及Y. Ye \cite{Ye13}中建立的凸性结果，我们推导出了若干经典2-Hessian边值问题解的先验界。

6. 无限维偏微分方程和最优控制的深度希尔伯特-伽辽金方法

Deep Hilbert–Galerkin Methods for Infinite-Dimensional PDEs and Optimal Control

作者: Samuel N. Cohen, Filippo de Feo, Jackson Hebner, Justin Sirignano

类别: cs.LG, math.AP, math.NA, math.OC, math.PR

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19463v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19463v1

摘要翻译

中文标题: 无限维偏微分方程和最优控制的深度希尔伯特-伽辽金方法

摘要翻译:

我们开发了基于深度学习的近似方法，用于可分希尔伯特空间上的完全非线性二阶偏微分方程（如无限维控制的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程），通过希尔伯特-伽辽金神经算子（HGNOs）对解进行参数化。我们证明了首批通用逼近定理（UATs），这些定理足够强大以解决上述问题，其基于关于Hessian项的新型拓扑以及关于完全非线性算子的新型连续性假设。这些拓扑是非序列的且不可度量的，这使得问题变得极为精细。特别是，我们证明了关于希尔伯特空间函数的通用逼近定理，包含其一阶和二阶Fréchet导数，以及应用于一阶导数的无界算子的逼近性，确保HGNOs能够近似所有的偏微分方程项。对于控制问题，我们进一步证明了关于最优反馈控制的通用逼近定理，该定理基于我们用HGNO近似的值函数。

我们针对这些问题开发了数值训练方法，称之为深度希尔伯特-伽辽金方法和希尔伯特Actor-Critic（强化学习）方法，通过最小化整个希尔伯特空间上PDE残差的$L^2_μ(H)$-范数（而非仅将PDE投影到有限维空间）来进行训练。本文首次提出了这种方法。所考虑的模型出现在许多应用科学中，例如物理学中的函数微分方程、受控PDE、随机PDE、路径依赖系统、部分可观测随机系统和平均场SDE相关的Kolmogorov和HJB偏微分方程。我们数值求解了与确定性热方程和Burgers方程以及随机热方程和Burgers方程的最优控制相关的Kolmogorov和HJB偏微分方程，展示了我们的深度学习方法的前景。

7. 一类超定问题的构造性方法

A Constructive Approach to a Class of Overdetermined Problems

作者: Alessandro Fortunati, Filomena Pacella

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19446v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19446v1

摘要翻译

中文标题: 一类超定问题的构造性方法

摘要翻译:

本文研究了一个超定问题，该问题与J. Serrin所研究的经典扭转问题直接相关。我们通过使用渐近级数以及借自著名Nekhoroshev定理的工具来处理该问题的扰动版本。与这类结果的研究方式类似，我们证明了扰动问题解的存在性，并建立了无穷多个近似逼近元，这些逼近元的误差之小，使得在实际应用中可以被忽略不计。该方法是完全构造性的，这一特点在最后一节通过一个具体例子得到了充分验证。

8. 伪Calabi流正则性结果的改进

An improvement of regularity result for pseudo Calabi flow

作者: Jingrui Cheng, Junhao Tian

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19405v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19405v1

摘要翻译

中文标题: 伪Calabi流正则性结果的改进

摘要翻译: 本文观察到，如果伪Calabi流的初始数据在体积形式上与光滑体积形式C^0接近，则当t>0时该流立即光滑。作为应用，我们证明了如果初始数据的体积形式与cscK度量的体积形式C^0接近，则伪Calabi流在t∈(0,+∞)上存在。此外，当体积形式有界且陈类接近c_1(M)时，我们还在Fano流形上的伪Calabi流证明了类似的正则性改进及长时间存在性结果。

不相关论文（基本信息）

1. 分数阶Orlicz-Sobolev空间中不带Δ₂条件的非局部拟线性各向异性方程的特征值问题

An eigenvalue problem for a nonlocal quasilinear anisotropic equation in fractional Orlicz Sobolev spaces without the $Δ_2$–condition

作者: Julian Fernandez Bonder, Martin Guzman, Juan F. Spedaletti

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20095v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20095v1

摘要: In this paper we analyze an eigenvalue problem associated to fractional operators of the form

$$ L_a^s u(x)=2 \text{p.v.}\int_{\mathbb{R}^n}a(x,y,D^su(x,y))\,\frac{dy}{|x-y|^{n+s}}, $$

which represents a generalization model for nonlocal, nonstandard growth diffusion problems. We study this problem in the context of the fractional Orlicz Sobolev spaces without assuming the so-called $Δ_2$–condition on the Young functions involved. We show existence of a sequence of eigenpairs $(u_k,λ_k)\to (0,+\infty)$.

2. 闭且可定向黎曼流形上椭圆算子主特征值的渐近分析

Asymptotics of the principal eigenvalue of an elliptic operator on closed and orientable Riemannian manifolds

作者: Xin Xu, Kexin Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19861v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19861v1

摘要: This paper investigates the asymptotic behavior of the principal eigenvalue $λ(s)$, as $s\to+\infty$, for the following elliptic eigenvalue problem \begin{equation*}\label{E} -Δ_{M}u-s\langle \nabla_M f, \nabla_M u\rangle_g +c u=λ(s)u, \end{equation*} defined on an orientable and closed Riemannian manifold $(M,g)$. Assuming $f$ is a Morse function defined on $M$, we find that the limit $\lim\limits_{s\to+\infty} λ(s)$ is determined by the minimum value of the function $c$ over the set of the maximum points of $f$, a result that is independent of the curvature of manifold.

3. 两相老化偏微分方程模型的稳定性分析与长时间收敛

Stability analysis and long-time convergence of a partial differential equation model of two-phase ageing

作者: Luce Breuil

类别: math.AP, math.DS, q-bio.PE

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19814v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19814v1

摘要: Recent biological evidence suggests the presence of a two-phase ageing process in several species. We introduce a system of two age-structured partial differential equations (PDE) representing two phases of ageing of a wild population. The model includes a coupling of both equations through birth and transition between phases and non-linearities due to competition. We show the existence, positivity and uniqueness of weak solutions in a general setting. For a simplified system of ordinary differential equations (ODE), we show existence and uniqueness of a strictly positive steady state attracting all trajectories. We study another simplification, a coupled PDE-ODE model, for which we prove existence, uniqueness and local asymptotic stability of a strictly positive steady state. Under further assumptions, but without assuming weak non-linearities, we show the global asymptotic stability of that steady state. The uniqueness of steady states and absence of oscillations in these systems show that the proportion of individuals in each phase at equilibrium is a unique feature of the model. This paves the way to ecological applications as the experimental measure of such a proportion could help gain some insight on the health of a wild population.

4. 双时间尺度学习动力学：神经网络训练的群体视角

Two-Time-Scale Learning Dynamics: A Population View of Neural Network Training

作者: Giacomo Borghi, Hyesung Im, Lorenzo Pareschi

类别: cs.LG, math.AP, stat.ML

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19808v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19808v1

摘要: Population-based learning paradigms, including evolutionary strategies, Population-Based Training (PBT), and recent model-merging methods, combine fast within-model optimisation with slower population-level adaptation. Despite their empirical success, a general mathematical description of the resulting collective training dynamics remains incomplete. We introduce a theoretical framework for neural network training based on two-time-scale population dynamics. We model a population of neural networks as an interacting agent system in which network parameters evolve through fast noisy gradient updates of SGD/Langevin type, while hyperparameters evolve through slower selection–mutation dynamics. We prove the large-population limit for the joint distribution of parameters and hyperparameters and, under strong time-scale separation, derive a selection–mutation equation for the hyperparameter density. For each fixed hyperparameter, the fast parameter dynamics relaxes to a Boltzmann–Gibbs measure, inducing an effective fitness for the slow evolution. The averaged dynamics connects population-based learning with bilevel optimisation and classical replicator–mutator models, yields conditions under which the population mean moves toward the fittest hyperparameter, and clarifies the role of noise and diversity in balancing optimisation and exploration. Numerical experiments illustrate both the large-population regime and the reduced two-time-scale dynamics, and indicate that access to the effective fitness, either in closed form or through population-level estimation, can improve population-level updates.

5. 双相拟凸泛函及其偏正则性理论

Double phase quasiconvex functionals and their partial regularity theory

作者: Sunwoo Jeong, Jihoon Ok

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19696v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19696v1

摘要: We consider degenerate nonautonomous energies

$$ \int_Ωf(x, Dv)\, dx, $$

for vector-valued functions $v \in W^{1,1}(Ω, \mathbb{R}^N)$, where the integrand $f(x,P)$ satisfies growth and weak uniform quasiconvexity assumption associated with the double phase function $H(x,t)=t^p + a(x)t^q$. We establish partial Hölder regularity for the gradients of minimizers under suitable, and possibly minimal, regularity assumptions on $H$ and $f$. Our approach relies on two approximation results: $\mathcal{A}$-harmonic approximation and a variational version of the $φ$-harmonic approximation.

6. 临界$p$-拉普拉斯Patlak-Keller-Segel模型中的自相似动力学：收缩爆破与扩展传播

Self-similar Dynamics in the Critical $p$-Laplacian Patlak-Keller-Segel Model: Shrinking Blow-up and Expanding Propagation

作者: Chunhua Jin, Fengqing Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19679v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19679v1

摘要: In this paper, we study the following Patlak-Keller-Segel model with $p$-Laplacian diffusion \begin{align*} \left{ \begin{aligned} &ρ_t=\nabla \cdot \left( \left| \nabla ρ\right|^{p-2}\nabla ρ\right) -χ\nabla \cdot \left( ρ\nabla c \right), &0=\varDelta c+ρ^m, \end{aligned}\right. \end{align*} and the exponent $m>0$ is chosen as

$$ m = \frac{(p-2)N + p}{N}. $$

This relation ensures the scale invariance of the system and is conjectured to be the critical exponent that separates global boundedness from finite-time blow-up. We prove that, at the critical threshold $m=\frac{(p-2)N + p}{N}$, the system indeed admits finite-time blow-up solutions. More precisely, in the slow diffusion regime $p>2$, there exist backward self-similar blow-up solutions that are radially decreasing, compactly supported, and concentrate into a Dirac $δ$-measure at the blow-up time $T$; and their supports shrink toward the origin at the rate $(T-t)^{\frac1{mN}}$. For the fast diffusion case $1<p\le 2$, we show that there are no backward self-similar blow-up solutions with finite-mass. Additionally, we also explore forward self-similar solutions in both the slow diffusion and fast diffusion cases. These solutions also carry finite mass and exhibit a Dirac $δ$-singularity at the initial moment. Specifically, in the slow diffusion case, the support expands at the rate $t^{\frac1{mN}}$, whereas in the fast diffusion case, the solution becomes strictly positive for all positive times. Our work provides the first blow up analysis for the $p$-Laplacian Keller-Segel system when $p\ne 2$, and it confirms that the exponent $m$ given above is indeed the sharp threshold between global existence and finite time singularity formation.

7. 信号消耗Keller-Segel模型中大质量自相似奇异解的分类

Classification of self-similar singular solutions with large mass for Keller-Segel model with signal consumption

作者: Chunhua Jin

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19663v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19663v1

摘要: In this paper, we concentrate on investigating the self-similar singular solutions of Keller-Segel model with signal consumption ($-uv^α$) and singular sensitivity. We perform a detailed exploration into the existence and decay rate of self-similar solutions, particularly, the permissibility of arbitrary mass for these solutions across all possible cases. Based on these findings, we can delve deeper into verifying that these self-similar solutions $(u, v)$ exhibit varying degrees of singularity depending on the value of $α$ and the spatial dimension. Our analysis reveals that the component $u$ (with arbitrary mass) of the solution consistently behaves analogous to heat kernel, that is, $u$ exhibiting a Dirac $δ$ initial singularity identical to that of the fundamental solution, and converges to $0$ in the sense of the $L^p$-norm ($p>1$) as time approaches infinity. However, the initial behavior of the other component $v$ varies significantly based on the value of $α$ and the spatial dimension, exhibiting regularity (not singular), less singularity, or strong singularity (more singular than fundamental solution). Moreover, both $u$ and $v$ undergo instantaneous smoothing, becoming smooth immediately after $t>0$. This phenomenon reveals the adaptive strategies of cells in high-density aggregation environments to prevent resource depletion, reflecting an optimization process of self-organizing behavior.

8. 接触型哈密顿-雅可比方程的半群交换性质

Commutation Properties of Semi-groups for Contact Type Hamilton-Jacobi Equation

作者: Guyu Jin

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19650v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19650v1

摘要: We know that there exist semi-groups for contact type Hamilton-Jacobi equations, which refers to \cite{KLJ2}. Guy Barles and Agnès Tourin give a proof of the commutation properties for normal Hamilton-Jacobi equations at \cite{GA}. In this article, we provide a proof of the commutation property of semi-groups for contact type Hamilton-Jacobi equations.

9. 嘉当-哈达玛德3维空间中的精确明可夫斯基型不等式

Sharp Minkowski Type Inequality in Cartan-Hadamard 3-Spaces

作者: Fang Hong

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19646v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19646v1

摘要: In this paper, we proved a sharp Minkowski type inequality in Cartan-Hadamard 3-spaces by harmonic mean curvature flow and improves the known estimates for total mean curvature in hyperbolic 3-space. In particular, we sharpened Ghomi-Spruck’s result. As a corollary, we also get a comparison theorem between total mean curvature in Cartan-Hadamard 3-spaces with that of the geodesic sphere in hyperbolic 3-space with constant curvature.

10. 具有临界幂次非线性的Euler-Poisson-Darcy方程解的爆破

Blow-up of solutions to the Euler-Poisson-Darbox equation with critical power nonlinearity

作者: Mengting Fan, Ning-An Lai, Hiroyuki Takamura

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19614v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19614v1

摘要: In our recent precious work, we established the finite time blow up result and upper bound of lifespan estimate to the singular Cauchy problem of semilinear Euler-Poisson-Darboux equation in R^n with subcritical power type nonlinearity. By introducing an improved test function, we obtain an enhanced lower bound for the functional including the spacetime integral of the nonlinear term with an additional logarithmic growth, which finally yields the blow up result and upper bound of lifespan estimate for the corresponding Cauchy problem with “critical” nonlinear power. And this gives some partial answer to the open problem 1 posed by D’Abbicco (J. Differential Equations 286 (2021), 531-556).

11. 非自治退化抛物型方程的扩散估计

Diffusion bounds for non-autonomous degenerate parabolic equations

作者: Marius Lemm, Israel Michael Sigal, Jingxuan Zhang

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.19540v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19540v1

摘要: We prove the Davies-Gaffney (i.e., integrated Nash-Aronson) type diffusive upper bounds on the propagators of parabolic equations in $L^p$-sense for all $1\le p\le\infty$. Our approach is based on a simple exponential deformation argument that does not require hypoellipticity. It provides a unified approach to diffusive upper bounds that covers a wide class of problems including degenerate, non-autonomous, and non-linear equations.

12. 耦合三维-一维输运问题的数值分析

Numerical Analysis of a Coupled 3D-1D Transport Problem

作者: Alyssa Taylor-LaPole, Uzochi Gideon, Beatrice Riviere, Duygu Vargun

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-03-19

arXiv ID: 2603.19395v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.19395v1

摘要: A finite element solution coupled with an interior penalty discontinuous Galerkin solution are defined for the approximation of the coupled 3D-1D solute transport problem. Under sufficient regularity for the weak solutions, optimal error bounds are derived for the 3D concentration and 1D concentration, that are optimal with respect to the time step size and the mesh sizes. Numerical results verify the theoretical results.