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1. 临界数据下5维磁流体动力学方程光滑解的非唯一性

Non-uniqueness of smooth solutions of the 5D magnetohydrodynamic equations from critical data

作者: Zipeng Chen, Song Liu, Zhaoyang Yin

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21800v1

摘要翻译: 最近，Coiculescu 和 Palasek \cite{Coiculescu2025} 证明了具有 $BMO^{-1}$ 初始数据的3维不可压缩纳维-斯托克斯方程解的非唯一性。受其突破性工作的启发，我们将他们的方法推广到不可压缩磁流体动力学方程，并在5维情形下得到了类似的结果。更准确地说，我们构造了两个具有相同初始数据的不同整体解，该初始数据在 $BMO^{-1}(\mathbb{T}^5)$ 空间中具有非零速度场和磁场。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21800v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是5维磁流体动力学（Magnetohydrodynamic, MHD）方程的解的唯一性问题。MHD方程描述了导电流体与磁场之间的动力学耦合，统一了流体力学和电磁学的原理，源自天体物理学和地球物理学的研究，用于建模等离子体、液态金属、盐水等电离流体的运动。考虑以下5维不可压缩MHD方程系统：

$$ \begin{cases} \partial_tu - \Delta u + \text{div}(u\otimes u - b\otimes b) + \nabla p = 0, \\ \partial_tb - \Delta b + \text{div}(u\otimes b - b\otimes u) = 0, \\ \text{div}u = \text{div}b = 0, \end{cases} $$

其中 $u, p, b$ 分别表示流速、标量压力和磁场，定义在 $[0, \infty) \times \mathbb{T}^5$ 上。

当磁场 $b=0$ 时，该系统退化为著名的不可压缩Navier-Stokes方程。Leray在1934年的开创性工作中证明了对于任意 $L^2$ 散度自由初始数据，存在满足能量不等式的弱解（即Leray-Hopf弱解）。对于MHD方程，Sermange和Temam也得出了类似的弱解结果。然而，至今Navier-Stokes方程在高维情况下的弱解唯一性问题仍未解决，这是流体动力学领域的核心难题之一。

本文的灵感来源于Coiculescu和Palasek在2025年的突破性工作，他们首次构造了具有BMO^{-1}空间初始数据的3维Navier-Stokes方程的两个不同的整体解。本文将这一结果推广到5维MHD方程的情形。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是定理1.1，表述如下：存在散度自由的初始数据 $(U_0, B_0) \in \text{BMO}^{-1}(\mathbb{T}^5)$，使得MHD方程承认两个不同的整体解 $(v̄^{(1)}, b̄^{(1)})$ 和 $(v̄^{(2)}, b̄^{(2)})$，它们属于空间 $C^\infty((0, \infty) \times \mathbb{T}^5) \cap L^\infty([0, \infty); \text{BMO}^{-1}(\mathbb{T}^5)) \cap C_0([0, \infty); \dot{W}^{-1,p}(\mathbb{T}^5))$。

这里 $\text{BMO}^{-1}$ 范数是Koch和Tataru在2001年引入的临界空间范数，定义为：

$$ \|u\|_{\text{BMO}^{-1}} \triangleq \sup_{R>0} \sup_{x_0 \in \mathbb{R}^d} \left( R^{-2} \int_0^{R^2} \int_{B(x_0,R)} |e^{t\Delta}u|^2 \, dx \, dt \right)^{1/2}. $$

通过Carleson测度特征化，$u \in \text{BMO}^{-1}$ 当且仅当 $u = \text{div}f$，其中 $f$ 是某个属于 $(\text{BMO})^d$ 的向量场。

值得注意的是，本文的结果揭示了一个重要现象：非唯一性不仅存在于5维MHD方程中，当向剩余维度添加零分量时，该结果可以推广到更高维的MHD方程。然而，由于系统(1.1)的几何结构和Mikado流的性质，该方法在低于5维的情况下似乎无法应用，这与2维Navier-Stokes方程和2维Euler方程Onsager猜想所面临的困难类似。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心方法是借鉴Coiculescu-Palasek的构造方案，并将其推广到MHD方程系统。该方法的主要构造思路包含以下几个关键组成部分：

两类流动的构造： 作者构造了两种类型的流动来构建解的"主部"。第一类是热主导流（heat-dominated flow），它是热方程的解（忽略低阶项），满足指数衰减：

$$ \|(v_k, v_k^B, b_k)\|_{L^\infty(\mathbb{T}^5)} \lesssim N_k e^{-N_k^2 t}. $$

第二类是逆级联主导流（inverse cascade-dominated flow），其时间偏导数抵消了热主导流的非线性自相互作用，具有较慢的指数衰减：

$$ \|(v̄_k, b̄_k)\|_{L^\infty(\mathbb{T}^5)} \lesssim N_k e^{-N_k^{2+1} t}. $$

解的主部构造： 利用这两类流动，作者构造了两个候选解的主部：

$$ v^{(1)} \triangleq \sum_{k \geq 0 \text{ even}} (v_k + v_k^B) + \sum_{k \geq 0 \text{ odd}} v̄_k, \quad b^{(1)} \triangleq \sum_{k \geq 0 \text{ even}} b_k + \sum_{k \geq 0 \text{ odd}} b̄_k, $$
$$ v^{(2)} \triangleq \sum_{k \geq 0 \text{ odd}} (v_k + v_k^B) + \sum_{k \geq 0 \text{ even}} v̄_k, \quad b^{(2)} \triangleq \sum_{k \geq 0 \text{ odd}} b_k + \sum_{k \geq 0 \text{ even}} b̄_k. $$

由于热主导流和逆级联主导流之间的抵消效应，可以推导出剩余项 $(F^{(i)}, G^{(i)})$ 在某些次临界范数下可以任意小。

Mikado流的构造： Mikado流是关键的建筑模块，最初由Daneri和Székelyhidi引入。它保证初始数据属于 $\text{BMO}^{-1}$ 空间。对于5维情况，通过精心选择支撑集，可以使不同Mikado流的支撑互不相交。具体而言，定义Mikado势函数：

$$ \Psi_0^{\xi,k}(x) \triangleq N_k^{-2} \phi_{\xi,k}(x) \sin(N_k(x-x_\xi) \cdot \xi) \xi_1, \quad \forall \xi \in \Lambda_U, $$
$$ \Phi_0^{\xi,k}(x) \triangleq N_k^{-2} \phi_{\xi,k}(x) \sin(N_k(x-x_\xi) \cdot \xi) \xi_1, \quad \forall \xi \in \Lambda_B, $$
$$ \Theta_0^{\xi,k}(x) \triangleq N_k^{-2} \phi_{\xi,k}(x) \sin(N_k(x-x_\xi) \cdot \xi) \xi_2, \quad \forall \xi \in \Lambda_B. $$

这些Mikado势函数是散度自由的，并且满足一些稳态方程，如 $\text{div}(\Psi_0^{\xi,k} \otimes \Psi_0^{\xi,k}) = 0$。

扰动的固定点论证： 在最后一步，通过添加扰动 $(\omega^{(i)}, \rho^{(i)})$ 来修正误差，使最终解 $\bar{v}^{(i)} \triangleq v^{(i)} + \omega^{(i)}$ 和 $\bar{b}^{(i)} \triangleq b^{(i)} + \rho^{(i)}$ 成为MHD方程的真解。扰动需要满足扰动的MHD方程系统，利用 $(F^{(i)}, G^{(i)})$ 在某些次临界空间中的小性，通过固定点论证建立 $(\omega^{(i)}, \rho^{(i)})$ 的存在性。

参数设置： 为量化剩余项的次临界性，引入参数 $\alpha \in (0,1)$，并定义振幅和频率参数 $M_k \triangleq \lfloor A^{b^k} \rfloor$，$N_k \triangleq M_k \lfloor M_k^{\gamma-1} \rfloor$，其中 $b > 10 \vee 1$ 且 $1 < \gamma < 1$，以及小的Hölder指数 $\kappa \in (0, (1 - \sqrt{1-2\alpha}) \wedge \alpha)$。

4. 与之前工作的比较

本文与多个重要研究方向相关，但具有独特贡献：

与Coiculescu-Palasek工作的比较： Coiculescu和Palasek在2025年首次构造了具有 $\text{BMO}^{-1}$ 初始数据的3维Navier-Stokes方程的两个不同的整体解。本文直接受到这一工作的启发，将构造方案推广到5维MHD方程系统。由于MHD方程额外的磁场分量和流体-磁场耦合，推广工作面临着额外的复杂性，需要处理额外的非线性项如 $\text{div}(u \otimes b - b \otimes u)$。

与Navier-Stokes方程非唯一性结果的比较： 在过去的十年中，凸积分技术的发展催生了大量关于Navier-Stokes方程在超临界空间中的非唯一性结果。Buckmaster和Vicol（2019年）利用基于 $L^2$ 的间歇性空间建筑模块证明了3维Navier-Stokes方程有限能量弱解的非唯一性。Cheskidov和Luo（2021年）在 $L^\infty_t L^q_x$ 空间中建立了2维Navier-Stokes方程的非唯一性。与这些超临界空间的结果不同，本文关注的是临界空间 $\text{BMO}^{-1}$ 中的非唯一性。

与MHD方程非唯一性结果的比较： 由于MHD方程的几何结构，Navier-Stokes方程中的非唯一性结果不能完全推广到MHD方程的情形。本文填补了这一空白，在5维临界空间中建立了MHD方程的非唯一性。结果的维度限制（5维）是关键的技术限制，原因在于Mikado流的构造依赖于足够的空间维度来确保不同频率成分的支撑互不相交。

数学工具的继承与发展： 本文综合运用了多种数学工具，包括Mikado流的构造技术、BMO空间的Carleson测度特征化、扰动MHD方程的适定性理论（通过固定点论证）以及凸积分方法中的相关技术。论文附录提供了凸积分工具、扰动MHD系统的存在性结果以及Gronwall不等式和热核估计等辅助工具。

2. 半平面中点涡的粘性演化

Viscous evolution of a point vortex in a half-plane

作者: Anne-Laure Dalibard, Thierry Gallay

类别: math.AP, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21796v1

摘要翻译: 作为涡-壁相互作用的模型，我们考虑半平面 $R^2_+$ 中具有无滑移边界条件且以点涡为初始数据的二维不可压缩纳维-斯托克斯方程。我们关注的是静止流体中单个涡这一典型例子，从数学角度来看这已颇具挑战性。我们证明了该系统对所有雷诺数 $|Γ|/ν$（其中 $Γ$ 为涡的环量，$ν$ 为流体的运动粘度）都存在唯一的整体解。我们所构造的解在正时间具有有限能量，且当 $t \to +\infty$ 时在能量范数下收敛到零。唯一性在解在小时间接近Lamb-Oseen涡的假设下成立。据我们所知，之前所有涉及有界区域的结果都假设初始涡度具有小或零的原子部分。在我们的特殊情形中，我们通过将解分解为涡和边界层项来消除小性条件，从而可以应用在全平面 $R^2$ 中发展的技术，以避免与涡的大环量相关的困难。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21796v1

1. 研究对象和背景

本研究关注的是流体力学中一个基础而重要的问题：涡旋与固体边界之间的相互作用。这种相互作用在现实应用中具有重要意义，例如飞机着陆时尾流中的涡旋对会在近地面处因与边界层中产生的次级涡旋结构相互作用而产生反弹效应。类似的现象也发生在涡旋环与法向固体壁面的正面碰撞过程中。尽管在真实实验中需要考虑三维效应如Crow不稳定性和椭圆不稳定性，但反弹现象本身是一个真正的二维现象，因为当涡旋偶极子在二维域中接近边界时就可以观察到该现象。

从建立严格数学结果的角度来看，更简单的情形是研究单个涡旋在边界存在时的自诱导运动。这种运动源于涡旋与其自身产生的边界层之间的相互作用。本文的目标是为上述物理现象提供一个数学研究框架。为了使问题尽可能简单，研究者假设流体域是上半平面 $\mathbb{R}^2_+ = \mathbb{R} \times (0,+\infty)$，并且流体速度在边界 $\partial\mathbb{R}^2_+ = \mathbb{R} \times \{0\}$ 上满足无滑移条件。值得注意的是，在上半平面中，具有无滑移边界的二维不可压缩Navier-Stokes方程的初边值问题在能量类中是整体适定的。

然而，现有的数学结果存在一个重要限制。 Abe在2021年的研究表明，当初始涡量是Radon测度且其原子部分与流体的运动粘度 $\nu > 0$ 相比很小时，存在唯一整体解。特别地，初始涡量可以是有限个点涡的集合，只要 $|\Gamma_1| + \cdots + |\Gamma_N| \leq c_0 \nu$ 对于某个通用常数 $c_0 > 0$ 成立。不幸的是，这一限制对于研究涡旋的自诱导运动或涡旋偶极子的反弹现象并不适用，因为这些物理现象发生在涡旋环量与粘度相比很大的相反情形。因此，有必要扩展Abe的结果，以消除对初始涡量原子部分的小性假设。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是证明了上半平面中带无滑移边界的二维Navier-Stokes方程初边值问题在初始涡量为任意环量 $\Gamma \in \mathbb{R}$ 的单个点涡时的整体适定性。该点涡可以位于 $\mathbb{R}^2_+$ 中的任意点 $z$ 处。这是整个平面 $\mathbb{R}^2$ 中Cauchy问题适定性结果在有界域情形的重要推广。

主定理1.4表明，对于任意 $\alpha \in \mathbb{R}$ 和 $z = (0,1)$，存在足够小的 $T > 0$，使得方程在时间区间 $(0,T)$ 上存在唯一的温和解 $\omega$，该解属于空间 $C_0((0,T), L^1(\mathbb{R}^2_+) \cap L^{4/3}(\mathbb{R}^2_+))$，且满足 $\omega(t) \rightharpoonup \alpha \delta_z$ 当 $t \to 0$，以及以下尺度不变界：

$$ \sup_{0<t<T} \|\omega(t)\|_{L^1} < \infty, \quad \sup_{0<t<T} t^\beta \|\omega(t) - \alpha G_t(\cdot - z)\|_{L^{4/3}} < \infty $$

对某个 $\beta < 1/4$ 成立。实际上，估计式可以取 $\beta = 1/8$，并且对所有 $p \in [1,+\infty]$ 和 $q \in (2,+\infty]$ 有：

$$ \sup_{0<t<T} t^{1-1/p} \|\omega(t)\|_{L^p} < \infty, \quad \sup_{0<t<T} t^{1/2-1/q} \|u(t)\|_{L^q} < \infty $$

其中 $u(t) = \text{BS}[\omega(t)]$ 是由Biot-Savart公式给出的速度场。此外，估计式(1.17)实际上蕴含了涡量在 $L^1$ 和 $L^{4/3}$ 中的有界性，从而通过对所有 $p \in [1,4/3]$ 插值得到相关范数的有界性。

命题1.6进一步给出了解的全局存在性和长时间行为。定理1.4中构造的局部解可以延拓为全局解，满足 $\omega \in C_0((0,+\infty), L^1(\mathbb{R}^2_+) \cap L^q(\mathbb{R}^2_+))$ 和 $u \in C_0((0,+\infty), L^q(\mathbb{R}^2_+))$ 对任意 $q > 1$ 成立。当 $t \to +\infty$ 时，解以最优衰减率趋于零：

$$ \|\omega(t)\|_{L^1} + \|u(t)\|_{L^2} = O(t^{-1/2}) $$

这些衰减率与Stokes解 $\omega(t) = S(t)\delta_z$ 的衰减率一致。

命题1.7给出了涡旋中心在初始时刻的平移速度。通过定义涡旋位置 $Z(t) = \frac{1}{\alpha} \int_{\mathbb{R}^2_+} \chi(x) x \omega(x,t) \, dx$，其中 $\chi$ 是光滑截断函数，研究者证明了：

$$ Z'(t) = V_\infty + O(t^{1/8}) \quad \text{当} \quad t \to 0 $$

其中 $V_\infty = \frac{\alpha}{4\pi} \frac{z_\perp}{|z|^2}$。值得注意的是，$V_\infty$ 恰好是位于点 $z$ 处、环量为 $\alpha$ 的点涡在"镜像涡"影响下的速度，镜像涡位于其共轭点 $z^*$ 处，环量为 $-\alpha$。换言之，在 $t \to 0$ 时，粘性边界层对涡旋位置的影响正确地由虚构镜像涡的作用描述，与无粘情形下的物理图像一致。据研究者所知，这是首次对有界域中二维Navier-Stokes方程的集中涡旋运动给出严格证明。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本研究的方法论核心依赖于对Stokes半群在涡量表述下的半显式表达。该表达式由Maekawa和Abe在前人Solonnikov和Ukai工作的基础上导出。研究采用的核心工具包括Duhamel公式、不动点Argument，以及将解分解为集中涡旋部分和边界层修正部分的技巧。

Stokes半群的积分核由以下公式给出：

$$ K(x,y,t) = G_t(x-y) - G_t(x-y^*) - K_0(x,y,t) $$

其中 $G_t(x) = \frac{1}{4\pi t} e^{-|x|^2/(4t)}$ 是高斯函数，$K_0(x,y,t)$ 是边界层修正项。这一分解启发了对解的分解 $\omega(t) = \omega_1(t) + \omega_2(t)$，其中 $\omega_1(t)$ 对应来自初始数据中Dirac质量的集中涡旋，$\omega_2(t)$ 修正边界层中涡量的产生。

具体而言，研究引入分解 $S(t) = S_1(t) + S_2(t)$，其中：

$$ S_1(t)\omega_0(x) = \int_{\mathbb{R}^2_+} G_t(x-y)\omega_0(y) \, dy $$
$$ S_2(t)\omega_0(x) = \int_{\mathbb{R}^2_+} K_2(x,y,t)\omega_0(y) \, dy $$

这里 $K_2(x,y,t) = -G_t(x-y^*) - K_0(x,y,t)$。选择这一分解的原因在于，当应用于支撑在 $\mathbb{R}^2_+$ 中的初始数据时，$S_1(t)$ 与整个平面 $\mathbb{R}^2$ 中的热半群 $\Delta$ 一致，从而允许使用整个平面中的技术。

涡旋部分 $\omega_1(t)$ 通过以下积分方程定义：

$$ \omega_1(t) = \alpha S_1(t)\delta_z - \int_0^t S_1(t-s) \nabla \cdot (\chi u(s) \omega(s)) \, ds $$

其中 $\chi$ 是紧支撑于 $\mathbb{R}^2_+$ 的局部化函数，在 $z = (0,1)$ 的小邻域中等于1。这一积分方程可以延拓到整个平面 $\mathbb{R}^2$，从而利用文献中为避开大环量Dirac质量初始数据困难而开发的技术。这种方法在 $\omega_1(t)$ 与Lamb-Oseen涡旋 $\alpha G_t(\cdot - z)$ 相当接近时有效，这正是假设(1.17)中第二个条件的原因。

另一方面，修正部分 $\omega_2(t) = \omega(t) - \omega_1(t)$ 的积分方程涉及算子 $S_2(t)$。引理2.7表明，对于小时间，$S_2(t)$ 比 $S_1(t)$ 满足更好的估计，或涉及非线性项 $(1-\chi)u\omega$，其中通过截断函数过滤掉了解的主要部分。

不动点Argument应用于由 $\hat{\omega}_1(t) = \omega_1(t) - \alpha S_1(t)\delta_z$ 和 $\omega_2(t)$ 构成的函数对，从而同时得到定理1.4中的存在性和唯一性结论。对核 $K_0$ 和 $K_2$ 的精确估计表明，其贡献在小时间集中于边界 $x_2 = 0$ 附近、大小为 $O(\sqrt{t})$ 的邻域内。“镜像项” $-G_t(x-y^*)$ 也具有相同的性质，只是它在 $y_2 = 0$ 处不消失。

4. 与之前工作的比较

本研究建立在多个先前研究的基础之上，同时在多个重要方面实现了实质性突破。与整个平面 $\mathbb{R}^2$ 中的经典结果相比，本文处理的是有界域（半平面）情形，这带来了额外的数学挑战。

Abe在2021年的工作是本文最重要的起点。Abe证明了当初始涡量是Radon测度且其原子部分与粘度相比很小时，Navier-Stokes方程在带无滑移边界的有界域中存在唯一整体解。特别地，初始涡量可以是有限个点涡的集合，只要其总环量满足 $|\Gamma_1| + \cdots + |\Gamma_N| \leq c_0 \nu$。然而，Abe的方法依赖于不动点Argument，当 $| \Gamma | / \nu$ 较大时必然失效。本文通过将解分解为涡旋部分和边界层部分，巧妙地移除了这一小性假设，从而适用于大环量情形——这正是自诱导涡旋运动和涡旋偶极子反弹发生的物理 regime。

整个平面 $\mathbb{R}^2$ 中的Cauchy问题结果为本文提供了方法论模板。Gallay和Wayne在2005年的开创性工作建立了Lamb-Oseen涡旋是满足涡量在 $L^1(\mathbb{R}^2)$ 中有界且在 $t \to 0$ 时弱收敛到 $\alpha \delta$ 的Navier-Stokes方程的唯一解。随后Maekawa和Gallay将这一结果推广到更一般的初始数据。本文借鉴了这些技术，但需要针对半平面边界条件进行调整。

从概念上讲，理解大雷诺数 $Re = \Gamma / \nu$ 下涡旋与固体壁面相互作用的困难与边界层内不稳定性的发展有关。近期工作构造的不稳定模式负责在壁面附近产生涡量。这些模式对应于阶为 $Re^\beta$（$\beta > 0$）的高切向波数，通常位于Prandtl层的小子层内，大小为 $Re^{1/2}$。这些小尺度结构虽然在向湍流过渡中起重要作用，但在物理空间中仍缺乏精确描述。本文希望所考虑的模型情形将为边界层理论的进一步发展做出贡献。

在延拓和推广方面，本文的证明可以相对直接地修改以包含有限个Dirac质量作为初始涡量。将点涡与涡旋层或涡旋块等更规则结构结合更具挑战性，但应可使用本文发展的技术进行分析。这为移除Abe一般结果中关于初始涡量原子部分大小的限制提供了前景。

3. 气体混合物Boltzmann方程的声学极限

Acoustic limit of Boltzmann equations for gas mixture

作者: Gaofeng Wang, Tianfang Wu, Linjie Xiong

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21646v1

摘要翻译: 本文研究具有位势γ∈(-3, 1]的双组分气体混合物Boltzmann方程的流体动力学极限和声学极限。由于粒子质量不同，导致线性化碰撞算子对称性丧失。本文通过建立基于向量值函数的框架精确解决了这一问题。当Knudsen数较小时，我们基于Hilbert展开方法构建了双组分流体动力学极限。关键在于精确刻画线性化碰撞算子的性质，包括由不同粒子质量(m^A ≠ m^B)所引起的额外算子。此外，通过假设初始数据强度依赖于Knudsen数，我们严格证明了气体混合物Boltzmann方程的声学极限。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21646v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是两种气体混合物Boltzmann方程的流体动力学极限和声学极限。考虑两种粒子A和B，其密度分布函数分别为$F_A(t,x,v)$和$F_B(t,x,v)$，粒子质量分别为$m_A$和$m_B$。方程组形式为

$$ \partial_t F_\alpha + v \cdot \nabla_x F_\alpha = \frac{1}{\varepsilon} \sum_{\beta=A,B} Q_{\alpha\beta}(F_\alpha, F_\beta), $$

其中$\alpha \in \{A,B\}$，$\varepsilon$为Knudsen数，与平均自由程成正比。碰撞算子$Q_{\alpha\beta}$描述了$\alpha$-$\beta$粒子对之间的碰撞行为，假设碰撞核$B_{\alpha\beta}(|v-v^*|,\theta)$满足对称性条件$B_{\alpha\beta}=B_{\beta\alpha}$，并可分解为动能部分和角度部分的乘积，动能部分具有形式$\Phi_{\alpha\beta}(|v-v^*|)=C_{\Phi}|v-v^*|^\gamma$，其中$\gamma \in (-3,1]$。

本研究的核心困难在于粒子质量不同这一物理事实，即$m_A \neq m_B$。这导致线性化碰撞算子失去了对称性，而之前的数学理论框架大多建立在质量相等的基础之上。因此，建立一套适用于质量不同情形的向量值函数理论框架成为本文的关键突破点。

2. 主要定理或主要结果

本文建立了两个主要定理，分别给出了流体动力学极限和声学极限的严格数学证明。

定理1.1（可压缩Euler极限）：设初始数据满足特定的Sobolev范数有界性条件，存在与$\varepsilon$无关的常数$\delta_0 > 0$，使得对于$0 < \delta < \delta_0$，Boltzmann方程组的解可以表示为Hilbert展开形式

$$ F_\alpha(t) = F_\alpha^0(t) + \sum_{k=1}^5 \varepsilon^k F_\alpha^k(t) + \varepsilon^3 F_\alpha^R(t), $$

其中余项$F^R$满足加权$L^2$和$L^\infty$范数的统一估计。具体而言，存在常数$C > 0$使得

$$ \sup_{0 \leq t \leq \tau_\delta} \sum_{\alpha=A,B} \left\{ \sqrt{\varepsilon} \left\| \frac{F_\alpha^R(t)}{\sqrt{\mu_\alpha^\delta}} \right\|_{L^2_{x,v}} + \varepsilon^2 \left\| \langle v \rangle^l F_\alpha^R(t) \right\|_{L^\infty_{x,v}} \right\} \leq C, $$

且当$\varepsilon \to 0$时，解收敛到由密度$n_\alpha$、整体速度$u$和温度$\theta$描述的双组分可压缩Euler方程组。

定理1.2（声学极限）：在定理1.1的框架下，进一步假设初始扰动强度$\delta$满足$\delta \to 0$（例如取$\delta = \varepsilon^{\tilde{m}}$，$0 < \tilde{m} < 1$），则解$G^\varepsilon = (G_A^\varepsilon, G_B^\varepsilon)^\top$收敛到声学系统的解$G = (G_A, G_B)^\top$。估计式为

$$ \sup_{0 \leq t \leq \tau} \sum_{\alpha=A,B} \left\{ \left\| G_\alpha^\varepsilon - G_\alpha \right\|_{L^2_{x,v}} + \left\| G_\alpha^\varepsilon - G_\alpha \right\|_{L^\infty_{x,v}} \right\} \leq C\varepsilon + C\delta, $$

最优结果在$\delta = \varepsilon$时取得。声学系统描述了平衡态$(1,1,0,1)$附近的小扰动传播规律。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本研究采用的核心方法是Hilbert展开法结合精细的线性算子谱分析。

Hilbert展开框架：将解表示为关于$\varepsilon$的渐近展开式，通过比较$\varepsilon$各次幂的系数，依次求解各级近似方程。零阶近似$F^0$为双Maxwellian分布，其参数$n_A, n_B, u, \theta$由可压缩Euler方程组确定；一阶至五阶修正项通过求解线性化方程获得；余项$F^R$满足一个复杂的输运-碰撞方程组。

向量值函数理论框架：针对质量不等这一特殊困难，本文建立了向量值函数理论来处理双组分系统的线性化算子。定义向量形式的碰撞算子

$$ \mathcal{C}F = \begin{pmatrix} Q_{AA}(F_A, F_A) + Q_{AB}(F_A, F_B) \\ Q_{BA}(F_B, F_A) + Q_{BB}(F_B, F_B) \end{pmatrix}, $$

相应的线性化算子$L$在加权空间$(L^2(\mathbb{R}^3_v))^2$上自伴，且其核空间由六个线性无关的向量函数张成，分别对应质量、动量和能量守恒。

关键算子分解：本文最重要的技术贡献是发现了线性算子$K_{\alpha,1-\chi}^{(M,2,w)}$的精确性质。该算子可分解为两部分

$$ K_{\alpha,1-\chi}^{(M,2,w)} = K_{\alpha,1-\chi}^{(M,2,w),(1)} + K_{\alpha,1-\chi}^{(M,2,w),(2)}, $$

其中"典型部分"(Typical part)具有与等质量情形类似的性质，而"混合部分"(Hybrid part)由一个退化部分（当$m_\alpha = m_\beta$时出现）和一个指数衰减部分（当$m_\alpha \neq m_\beta$时显著）组成。这个指数衰减部分是质量差异导致的主要差异，对建立多组分气体系统的谱分析至关重要。

$L^2$-$L^\infty$估计方法：利用Guo发展的$L^2$-$L^\infty$方法，通过Hilbert展开将问题归结为余项的估计。结合$L^2$能量估计和沿特征线的$L^\infty$估计，配合加权技术，建立余项的一致有界性。在软势情形（$-3 < \gamma < 0$）和硬势情形（$0 \leq \gamma \leq 1$）下，算子$L$的 coercivity 性质分别由不同文献保证。

4. 与之前工作的比较

与单气体Boltzmann方程的研究相比，双组分系统的研究相对较少，且大多数工作都假设粒子质量相等。

等质量情形的研究现状：在质量相等的假设下，Wang等人研究了周期边界条件下的扩散极限并量化了衰减率；Aoki、Bardos和Takata研究了Knudsen层的存在性；Guo建立了硬球模型下的Euler-Maxwell极限；Duan和Liu研究了一维Euler-Poisson极限；Fang和Qi最近研究了流体混合物系统的 hydrodynamic limit。这些工作都依赖于等质量假设下线性算子的良好对称性。

本文的突破：本文首次系统性地研究了质量不等（$m_A \neq m_B$）情况下双组分Boltzmann方程的流体极限和声学极限。核心困难在于质量差异破坏了线性化算子的对称性，导致核空间的正交分解和 coercivity 估计需要重新建立。本文通过精确分析$K_{\alpha,1-\chi}^{(M,2,w)}$算子的分解结构，揭示了质量差异引入的指数衰减机制，为多组分气体系统中具有质量差异的线性Boltzmann算子的谱分析提供了理论基础。

理论意义：本文的可压缩Euler极限结果（定理1.1）推广了之前文献[32]中的估计，将线性算子的估计建立在严格的证明之上，而非简单借用单组分系统的结果。声学极限结果（定理1.2）则提供了多组分气体混合物在平衡态附近小扰动传播的严格数学描述，最优收敛阶$\mathcal{O}(\varepsilon)$表明了该极限的精确性。这些结果对于理解多组分气体动力学从动力学尺度到连续介质尺度的跨尺度耦合具有重要的理论价值。

4. 三维欧拉方程中时间周期性的穿套涡环

Time-periodic leapfrogging vortex rings in the 3D Euler equations

作者: Claudia García, Zineb Hassainia, Taoufik Hmidi

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21644v1

摘要翻译: 我们证明了三维不可压缩欧拉方程存在时间周期性的穿套涡环，从而为亥姆霍兹(1858)首次推测的现象提供了严格的数学实现。在穿套运动中，两个同轴涡环周期性地交换位置，这种引人注目的行为在实验和数值模拟中被反复观测，但此前缺乏完整的数学论证。我们的构型依赖于轮廓动力学框架中两个相互作用的涡丝的去正则化，这给出了近同心涡环的哈密顿描述。主要困难源于线性化输运动力学中出现的奇异小除数问题，其中有效时间尺度随涡环厚度参数退化。为克服这一障碍，我们发展了退化KAM型分析结合伪微分算子技术来控制对称构型附近的线性动力学。将这些工具与Nash-Moser迭代格式相结合，我们在几乎均匀平移的框架中构造出非平凡时间周期解族。这建立了无旋轴对称欧拉流中经典穿套运动的第一个严格构造，且对存在时间区间没有任何限制。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21644v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是三维不可压缩欧拉方程中涡环的动力学行为，特别是跳跃涡环（leapfrogging vortex rings）这一经典现象的严格数学构造。涡环是流体力学中一类基本的相干结构，其涡量集中在闭合回路上，在轴对称情形下通常为圆形，产生环状旋转流体并在周围介质中稳定传播。自十九世纪Helmholtz和Kelvin的经典工作以来，涡环因其显著的稳定性和自推进特性成为涡旋动力学研究的核心对象。

跳跃涡环运动是两个同轴涡环之间最引人注目且视觉上最引人入胜的相互作用模式之一。在这种运动中，两个强度相近的涡环保持近似稳态的形状，并周期性地交换位置。具体而言，后方的涡环收缩、加速并穿过前方的涡环，而前方的涡环则同时膨胀和减速。这一周期性的交换行为最早由Helmholtz在他的涡旋动力学开创性工作中识别，后来由Dyson通过简化系统进行建模，将每个涡环理想化为轴对称变量中的狄拉克质量，即圆形涡旋丝，从而在点涡动力学层面观察到跳跃现象。该现象也在实验和数值模拟中得到广泛验证，例如通过在受控实验室条件下产生空气或烟雾涡环进行观察。

然而，在欧拉方程经典解水平上对这一现象的严格证明一直是一个极具挑战性的数学问题。尽管在实验和数值上已被反复观察，但此前仅有一些局部时间的结果，例如Dávila-Del Pino-Musso-Wei、Buttà-Cavallaro-Marchioro以及Donati-Hientsch-Lacave-Miot的工作，仅能在局部时间内观察到跳跃动力学。本文的目标是在没有任何时间区间限制的情况下，提供跳跃涡环运动的第一个严格解析构造，建立在平移参考系中的时间周期解。

研究背景还包括轴对称无旋情形下的三维欧拉方程的特殊性质。在这一设定中，速度场在圆柱坐标系中与方位角无关且角分量为零，这使得系统保持Hamiltonian结构，为分析涡环动力学提供了自然且强大的框架。在此设置下，涡环的运动可以被视为由等值面动力学或丝动力学支配的集中涡量分布的演化，具体取决于集中程度。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是严格构造三维不可压缩欧拉方程在轴对称无旋假设下存在时间周期跳跃涡环解。该定理提供了对Helmholtz在1858年首次推测的跳跃现象的严格实现。

设固定参数 $0 < a < b$ 和 $\kappa > 0$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 使得当每个 $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0)$ 时，存在一个Borel集 $C_\varepsilon \subset (a,b)$ 具有渐近满的Lebesgue测度：

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} |C_\varepsilon| = b - a $$

对于每个 $\lambda \in C_\varepsilon$，存在轴对称欧拉方程的如下形式的整体解：

$$ q(t,\varrho,z) = \frac{1}{\varepsilon^2} \mathbf{1}_{D_1(t)} + \frac{1}{\varepsilon^2} \mathbf{1}_{D_2(t)} $$

其中两个有界域由下式给出：

$$ D_j(t) = \left( P_j + \varepsilon D_j + i\varepsilon|\ln\varepsilon|^{-1}V_j \right)(|\ln\varepsilon|t), \quad j = 1,2 $$

每个 $D_j$ 是单连通域，满足时间周期条件：

$$ \forall \tau \in \mathbb{R}, \quad D_j(\tau + T) = D_j(\tau) $$

其边界具有参数化形式：

$$ \gamma_1(\tau,\theta) = \sqrt{1+2\varepsilon f(\tau,\theta)} \left( (2p_{1,1}(\tau))^{1/4} \cos\theta, (2p_{1,1}(\tau))^{-1/4} \sin\theta \right) $$
$$ \gamma_2(\tau,\theta) = \gamma_1\left(\tau + \frac{T}{2},\theta\right) $$

映射 $\tau \mapsto f(\tau,\cdot) \in H^s(\mathbb{T})$ 对某个足够大的Sobolev指标 $s$ 是 $T$ 周期的，实值函数 $\tau \mapsto V_j := V_j(\varepsilon,f)(\tau)$ 表示依赖于剖面 $f$ 的调制速度。这里 $T$ 表示涡旋丝系统的周期。

在近似模型中，跳跃涡环的动力学由以下Hamiltonian系统描述：

$$ |\ln\varepsilon|\dot{P}_j(\tau) = \nabla_{\perp} H(P_1,P_2), \quad j = 1,2 $$

其中Hamiltonian函数为：

$$ H(P_1,P_2) := \sqrt[4]{\frac{p_{1,1}p_{2,1}}{8}} \sqrt{(p_{1,1} - p_{2,1})^2 + (p_{1,2} - p_{2,2})^2} + \sum_{j=1}^2 \sqrt{p_{j,1}} \left( \frac{7}{8} |\ln\varepsilon| - \frac{5}{4} + \frac{1}{4}\ln(8) + \frac{1}{4}\ln(p_{j,1}) \right) $$

质心 $C = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)$ 沿垂直线 $\rho = \kappa$ 演化，具有分解：

$$ C(\tau) = (\kappa,0) + (0,U_\varepsilon\tau + W_\varepsilon(\tau)) $$

其中 $W_\varepsilon(\tau) = O(|\ln\varepsilon|^{-1})$ 是 $T$ 周期的，常数漂移速度满足渐近展开：

$$ U_\varepsilon = 4\sqrt{\frac{1}{2\kappa}} + O\left(\frac{\ln|\ln\varepsilon|}{|\ln\varepsilon|}\right) $$

特别地，在物理时间变量 $t$ 中，该速度表现出 $|\ln\varepsilon|$ 奇异性增长。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本研究采用了多种非线性分析和动力系统的先进技术，构建了一个完整的数学框架来严格证明跳跃涡环的存在性。

首先是去奇异化方法。本文通过等值面动力学（contour dynamics）公式对两个相互作用的涡旋丝进行去奇异化处理。在标准轴对称变量中，涡环的运动方程是奇异且高度非线性的传输方程。通过引入坐标变换：

$$ \varrho = \frac{1}{2r^2}, \quad q(t,r,z) = q(t,\varrho,z), \quad \psi(t,r,z) = \Psi(t,\varrho,z) $$

将方程转化为Hamiltonian形式：

$$ \partial_t q + \nabla_{\perp}\Psi \cdot \nabla q = 0, \quad \nabla_{\perp} = (-\partial_z, \partial_\varrho) $$

这种变换在数值系数中诱导非齐次变形，将涡旋丝去奇异化为具有椭圆核的涡环，从而避免了奇异性问题。

其次是退化KAM型分析。主要困难源于线性化传输动力学中出现的小除数问题，有效时间尺度随环厚度参数退化。具体而言，第一Fourier模式的线性化算子具有退化性，导致谱间隙消失和小除数现象。为克服这一障碍，本文发展了一种退化KAM型分析，结合伪微分算子技术来控制对称构型周围的线性化动力学。这种分析允许处理时间尺度退化带来的本质困难。

第三是伪微分算子技术。本文构建了环面上的伪微分算子系统，建立了完整的函数空间理论、符号类拓扑、非齐次Fourier乘子理论以及基本引理。这些工具在处理线性化算子的可逆性问题和化简过程中起着关键作用。特别地，对于余弦模式的反演归结为求解复杂的非局部积分-微分方程，通过谱分析可以得出该方程的可逆性结论。

第四是Nash-Moser迭代方案。结合上述工具，本文使用Nash-Moser迭代方案在几乎均匀平移的框架中构造非平凡时间周期解族。Nash-Moser框架需要构造线性化算子在适当函数空间尺度内的近似右逆，以补偿小除数机制带来的导数损失。线性化产生退化拟线性传输算子，其时间和空间周期系数继承自底层点涡动力学。通过四步连续的共轭实现KAM型可约化方案，每个步骤都显著简化线性化动力学。

具体而言，可约化过程包括四个步骤：首先是平直化传输部分，构造合适的坐标变换将时间依赖传输项化为常数系数；其次化简零阶项，消除主要的时间依赖性；第三步消除反对角项；最后消除零阶时间依赖性。通过这一系列操作，线性化算子被简化为对角形式，从而可以明确分析其谱性质并构造其右逆。

此外，本文还采用了对称性约化技术。通过利用系统沿垂直轴的平移不变性，引入依赖于 $(\varepsilon,f)$ 的传播速度调制 $V_j$，以部分消除线性化算子在第一Fourier模式的退化性。调制被选择为从非线性方程中消除第一正弦Fourier模式，尽管相应的余弦模式在 $\varepsilon$ 的主导阶仍存在退化性。进一步的展开和谱分析揭示了这种退化性可以在更小尺度上被提升。

4. 与之前工作的比较

本文的工作与之前关于涡环的多项研究有着深刻而显著的区别，既体现在问题的数学难度上，也体现在所采用的技术方法和获得的结论上。

在涡旋丝的早期研究中，Helmholtz和Kelvin的开创性工作以及随后的Pocklington、Love和Hicks的研究建立了描述同轴涡旋丝相互作用的近似模型。更精细的渐近和动力学模型由Moore和Saffman以及Klein、Majda和Damodiran推导。Marchioro和Negrini建立了这种简化丝动力学与完整三维欧拉方程之间的联系。本文的方法通过等值面动力学公式进行去奇异化，与这种传统方法有着根本性的区别。

关于Hill的球形涡旋这一三维中的原型稳态涡旋结构，随后的扰动和变分构造产生了由Fraenkel、Fraenkel-Berger和Norbury获得的稳态平移涡环的著名族。一些稳定性性质由Widnall-Sullivan、Choi、Cao等人以及Guo等人研究。在通过圆形涡旋丝去奇异化获得平移涡环的扰动构造中，传播速度表现出对环小核心半径的对数奇异性依赖。本文关注的不是稳态涡环，而是动态跳跃涡环，其时间周期行为需要完全不同的分析技术。

在多细涡环动力学方面，Vasilyev、Dyson和Borisov等人发展了相关Hamiltonian结构。在此框架中，理想环的相互作用由高度非线性的有限维Hamiltonian系统描述。虽然由此产生的动力学可能很复杂，但特殊机制允许经典跳跃运动的涌现，即两个同轴环周期性地交换位置。数值模拟进一步支持在长时间间隔内对足够集中的涡环保持跳跃行为的可能性。本文提供了这一现象的第一个严格数学证明，而非仅依赖数值验证。

跳跃涡环运动的渐近机制在核心半径、丝厚度及其相互分离之间的相对标度上有着微妙的依赖。对于两个涡旋丝，需要在核心半径和相互分离之间的适当 $\varepsilon$ 标度来平衡每个Lamb环的对数奇异性自感应速度与另一丝引起的相互作用。这种平衡对于周期运动的涌现至关重要。Buttà-Cavallaro-Marchioro在薄核心机制中建立了跳跃运动的局部时间去奇异化，其中丝厚度为 $\varepsilon$ 阶而环半径标度为 $|\ln\varepsilon|$。Dávila-Del Pino-Musso-Wei以及Donati-Hientsch-Lacave-Miot分析了另一种机制，其中环半径为一阶而环间分离标度为 $|\ln\varepsilon|^{-1/2}$。后者正是本文采用的机制，适合去奇异化程序和KAM理论的实现。

重要的是，所有前述跳跃涡环的构造都是局部时间的。将这些结果扩展到整体时间框架仍然是一个主要的分析挑战，主要由于难以克服的内在不稳定性机制。本文通过建立时间周期设置下的第一个长期结果克服了这一困难，与之前仅能保证局部时间存在性的工作形成鲜明对比。

在二维欧拉方程的背景下，最近由后两位作者与Masmoudi建立的二维跳跃偶极子去奇异化工作为本文提供了重要的方法论启发。他们利用等值面动力学公式结合KAM理论和Nash-Moser迭代方案。本文将类似的技术扩展到三维轴对称情形，但面临着本质上更困难的挑战，包括更高维度的相空间、退化的传输动力学以及需要处理的时间周期和空间周期条件之间的相互作用。

KAM理论在Hamiltonian偏微分方程中有着悠久而富有成效的历史，已成功应用于非线性薛定谔方程、水波系统和二维欧拉方程等模型，在平凡平衡态附近构造有限维不变环。本文将退化KAM理论应用于轴对称欧拉方程，在处理涡环动力学时需要适应拟线性传输算子的特殊结构，这与通常的色散或超弹性方程有着根本区别。

5. 一般不可压缩Navier-Stokes-Fourier系统自由边界问题的行波解

Traveling wave solutions to a general incompressible Navier-Stokes-Fourier system with free boundary

作者: Jae Ho Choi, Ian Tice

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21434v1

摘要翻译: 本文研究了与广义Navier-Stokes-Fourier系统相关的自由边界问题的行波解，该系统描述了一种粘性、不可压缩的导热流体。假设流体占据一个具有平坦刚性底部和移动上表面的水平无限带状区域。流体受到重力作用，以及外部体力源、边界应力源和外部热源的影响。此外，我们考虑了温度依赖的粘性系数和毛细系数，后者会在自由表面上产生马朗戈尼应力。我们建立了Sobolev空间中的小数据适定性理论，证明当力源、应力源和热源足够小时，存在唯一解，且该解连续依赖于这些数据。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21434v1

1. 研究对象和背景

本文研究一个广义Navier-Stokes-Fourier系统的自由边界问题，该系统建模粘性、不可压缩的导热流体。流体力学中的自由边界问题一直是数学研究的核心挑战之一，涉及流体的复杂动力学行为和边界演化。

研究的具体物理场景是流体占据一个水平无限的带状区域，该区域底部由平坦的刚性表面界定，上表面为与大气接触的自由表面。设空间维数为 $n \geq 2$，使用坐标表示 $x = (x',x_n) \in \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}$，则流体区域定义为 $\Omega_{b+\zeta(\cdot,t)} = \{x \in \mathbb{R}^n \mid 0 < x_n < b + \zeta(x',t)\}$，其中 $b > 0$ 是平衡深度参数，$\zeta: \mathbb{R}^{n-1} \times [0,\infty) \to (-b,0)$ 是描述自由表面的函数。

系统考虑的外力包括：重力（大小为 $g > 0$ 的常数重力场）、外体力源 $f_r$、外边界应力源 $t^{ext}$，以及外热源 $h^{ext}$。特别值得注意的是，本文允许粘性系数和毛细管系数依赖于温度，这使得模型更加贴近真实物理情况。当毛细管系数依赖于温度时，会在自由表面上产生Marangoni应力，这是一种由表面张力梯度引起的机械效应。

本研究的数学意义在于：之前的工作已经表明外体力 $f_r$ 和外边界应力 $t^{ext}$ 可以作为产生行波的机制，但本文首次证明仅凭热源 $h^{ext}$ 本身就能驱动粘性不可压缩流体进入行波状态，这是一个全新的物理发现。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果集中在两个核心定理的证明上。

定理1.1 建立了一个小数据良好条件理论。设 $s \geq 1 + \lfloor n/2 \rfloor$，定义解空间 $X_s = \{(u,\psi,p,\eta) \in H^{s+2}(\Omega;\mathbb{R}^n) \times H^{s+2}(\Omega;\mathbb{R}) \times H^{s+1}(\Omega;\mathbb{R}) \times X_{s+5/2}(\mathbb{R}^{n-1};\mathbb{R})\}$，其中 $X_{s+5/2}$ 是论文中专门定义的自由表面函数空间。如果物理参数 $(\mu,\kappa,\sigma'(0))$ 满足某些开集条件（由双线性形式 $Q_1$ 和 $Q_2$ 的范数控制），则存在开集 $\mathcal{U}_s$（包含小数据）和 $\mathcal{O}_s$（包含零解），使得对每个 $(\gamma,f,f,T,T,H,H) \in \mathcal{U}_s$，存在唯一的解 $(u,\psi,p,\eta) \in \mathcal{O}_s$。该解连续依赖于初始数据，且具有 $C^1$ 和局部Lipschitz性质。

定理1.2 确保了从平坦化坐标系到原始Eulerian坐标系的变换能够保持解的正则性。具体而言，对于 $(\gamma,f,f,T,T,H,H) \in \mathcal{U}_s$，存在自由表面函数 $\eta$、速度场 $w$、温度 $\phi$ 和压力 $q$，使得它们在原始自由边界问题中经典求解，并且变换后的函数属于 $\mathcal{O}_s \subseteq X_s$。

一个关键的物理结论是：当体力 $f_r$、边界应力 $t^{ext}$ 和温度相关应力项都为零时，只要热源 $h^{ext}$ 不为零，就能产生非平凡的行波解。这验证了论文的核心主张——行波热源可以独立驱动粘性不可压缩流体进入行波状态。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文采用的核心数学框架是隐函数定理的应用。为将问题置于隐函数定理框架下，研究者首先通过行波变换将自由边界问题转化为固定区域上的问题。设行波速度为 $\gamma e_1 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$，引入变换 $\zeta(x,t) = \eta(x - \gamma t e_1)$、$v(x,t) = w(x - \gamma t e_1)$、$\theta(x,t) = \theta_0 + \phi(x - \gamma t e_1)$，其中 $\theta_0$ 是参考温度。

Fourier乘子技术是本文的关键工具之一。通过对水平变量 $x' \in \mathbb{R}^{n-1}$ 进行Fourier变换，研究者将偏微分方程组转化为常微分方程组，并定义了与问题相关的Fourier符号 $\omega_v, \omega_q, \omega_\phi, \omega_{v|_{\Sigma_b}}, \omega_{\phi|_{\Sigma_b}}, \omega_{v_n|_{\Sigma_b}}$。

双线性形式的构造是证明可解性的核心步骤。定义双线性形式 $B_{\gamma,\mu,\kappa,\alpha_1,\alpha_2}$ 用于弱形式 formulation：

$$ B_{\gamma,\mu,\kappa,\alpha_1,\alpha_2}((w,\theta),(v,\psi)) = \int_\Omega \left[ -\gamma \partial_1 v \cdot w + \frac{\mu}{2} Dv : Dw - \gamma \partial_1 \psi \theta + \kappa \nabla \psi \cdot \nabla \theta \right] dx - \alpha_1 Q_1(v,\theta) + \alpha_2 Q_2(w,\psi) $$

其中 $Q_1$ 和 $Q_2$ 是由下式定义的辅助双线性形式：

$$ Q_1(v,\theta) = \int_{\Sigma_b} 2\pi i \xi \mathcal{F}(\theta|_{\Sigma_b})(\xi) \cdot \mathcal{F}(v|_{\Sigma_b})(\xi) d\xi, \quad Q_2(w,\psi) = \int_{\Sigma_b} 2\pi i \xi \mathcal{F}(w|_{\Sigma_b})(\xi) \cdot \mathcal{F}(\psi|_{\Sigma_b})(\xi) d\xi $$

Lax-Milgram定理与正则性理论结合使用，证明线性化系统的弱解存在性和正则性。研究者证明了有界线性算子 $\Phi_{\gamma,\mu,\kappa,\alpha_1,\alpha_2}$ 是Banach空间之间的同构：

$$ \Phi_{\gamma,\mu,\kappa,\alpha_1,\alpha_2}: H^{s+2}(\Omega;\mathbb{R}^n) \times H^{s+2}(\Omega;\mathbb{R}) \times H^{s+1}(\Omega;\mathbb{R}) \to H^s(\Omega;\mathbb{R}^n) \times H^{s+1}(\Omega;\mathbb{R}) \times H^s(\Omega;\mathbb{R}) \times H^{s+1/2}(\Sigma_b;\mathbb{R}^n) \times H^{s+1/2}(\Sigma_b;\mathbb{R}) $$

伴随问题分析用于处理超定系统的可解性条件。通过构造形式伴随系统并分析其核，研究者得到了相容性条件，包括伴随核相容条件和散度-迹相容条件：

$$ \int_\Omega f \cdot v - g q + l \phi = \int_{\Sigma_b} k \cdot v - m \phi - h \chi $$

以及

$$ h(\cdot,x_n) - \int_0^b g(\cdot,x_n) dx_n \in \dot{H}^{-1}(\mathbb{R}^{n-1};\mathbb{R}) $$

4. 与之前工作的比较

本文的研究建立在多个先前工作的基础上，同时引入了重要的创新。

与无热传导模型的比较：最早关于粘性流体行波解的适定性理论建立于文献[13]，该工作研究了无热传导版本的Navier-Stokes系统。后续工作将理论推广到多层流体、倾斜和周期流体、具有Navier-slip边界条件的流体、静止流体以及可压缩流体。然而，这些工作都未考虑热传导效应。本文首次将完整的热耦合（Navier-Stokes-Fourier系统）纳入自由边界行波问题的框架，这使得分析变得更加复杂，因为热传导方程与流体动力学方程之间存在强耦合。

技术挑战的升级：在无热传导模型中，线性化系统的分析相对直接。但本文中，由于温度方程的引入，线性化系统（1.19）的分析和Fourier符号的渐近行为变得更加复杂。研究者在第4和第5节中通过Fourier乘子技术与显式常微分方程解的精细综合，深入研究了 $W(\xi)$ 和 $\rho(\xi)$ 的渐近性质。

物理洞见的创新：之前的工作普遍认为行波的产生需要机械力（体力或边界应力）的驱动。本文证明了仅凭热源就能产生行波，这是一个全新的物理发现。这意味着温度梯度可以通过Marangoni效应和热对流机制引发流体的定向运动。

与Darcy流和Saint-Venant问题的比较：在Darcy流问题[17,14,4,16]和粘性Saint-Venant问题[18,23]中，也研究了行波解。但这些模型采用了不同的本构关系（如Darcy定律代替Navier-Stokes方程），数学分析技术有所不同。

理论框架的扩展：本文发展的自由表面函数空间 $X_{s+5/2}(\mathbb{R}^{n-1};\mathbb{R})$ 最初在[13]中被识别，并在此后的工作中作为 $\eta$ 的容器空间。本文确认这一空间选择对于包含热耦合的更一般系统仍然是合适的。

总体而言，本文在数学上推广了已有行波理论到热耦合系统，在物理上揭示了热驱动行波的新机制，在技术上发展和精炼了处理自由边界问题的分析工具。

6. 具有分数电阻率的2.5维电子磁流体动力学的半强不适定性

Half Strong Ill-Posedness of $2 \frac{1}{2}$D Electron Magnetohydrodynamics with Fractional Resistivity

作者: Xiaotong, Yang, Haoming Zhu

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20477v1

摘要翻译: 我们研究了2.5维电子磁流体动力学（MHD）：即具有三维磁场但不依赖于z变量的电子MHD系统。我们在超临界索伯列夫空间 $H^β\times H^{β-1}$（其中 $3<β<4-2α$）下，建立了具有分数电阻率 $(-Δ)^α$ 的2.5维电子MHD的"半"强不适定性结果。具体而言，我们构造了小的初始数据 $(a_0,b_0)$，其解在a中产生范数膨胀，而b的范数保持有界。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20477v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是$2\frac{1}{2}$维电子磁流体动力学（Electron MHD）系统，这是一个具有三维磁场但独立于$z$变量的特殊模型。在等离子体物理中，电子磁流体动力学系统能够很好地近似描述真实等离子体的演化行为，特别是当粒子速度可以忽略不计时更为适用。电子磁流体动力学中的Hall项$\nabla\times((\nabla\times B)\times B)$对于理解磁重联等物理现象具有重要意义，但由于该非线性项比Euler型非线性$B\cdot\nabla B$更加奇异，因此在数学分析上更具挑战性。

当进一步假设等离子体在某个方向（如$z$方向）上均匀分布时，例如在长管或环形管（托卡马克装置）中，$2\frac{1}{2}$维电子磁流体动力学系统便自然产生。该系统可以通过平面磁势$A = A(t,x,y)$来描述，其磁场结构为$B = \nabla\times(Ae_z) + be_z$。本文考虑的是更一般的具有分数磁电阻率$(-∆)^α$的$2\frac{1}{2}$维电子磁流体动力学系统，其缩放不变性表明临界Sobolev空间为$a\in \dot{H}^{4-2α}$和$b\in \dot{H}^{3-2α}$，因此在超临界空间中可能出现不适定性问题。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是建立了$2\frac{1}{2}$维电子磁流体动力学系统的"半强"（half strong）不适定性定理。

定理1.1（广义$2\frac{1}{2}$维电子磁流体动力学的半强不适定性）：设$3 < β < 4-2α$且$0 ≤ α < 1/2$，则对任意小的$\epsilon > 0$、任意大的$\Lambda > 0$以及任意小的时刻$t_* > 0$，存在光滑的初始数据$(a_0, b_0)$满足$\|a_0\|_{H^β} + \|b_0\|_{H^{β-1}} < \epsilon$，使得广义$2\frac{1}{2}$维电子磁流体动力学系统的解满足范数膨胀$\|a(t_*)\|_{\dot{H}^β} > \Lambda$，而$b$的范数保持有界：$\|b(t)\|_{H^{β-1}} < \epsilon$对所有$t \in [0, t_*]$成立。

这个结果被称为"半强"不适定性的原因在于，虽然$a$分量发生了范数膨胀，但$b$分量的范数始终保持较小。该结果还可以推广到无粘性的情况，即当去掉所有耗散项后，定理1.1仍然成立，给出$3 < β < 4$时的半强不适定性。特别地，该结果可以从$R^2 \times \mathbb{T}$的角度解释为在$2 < s < 3-2α$的Sobolev空间中对磁场$B \sim (\nabla a, b)$的不适定性。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文证明半强不适定性的方法主要包含三个步骤：构造合适的初始数据、构造近似解并证明其范数膨胀、以及估计真实解与近似解之间的误差。

初始数据的构造：作者在极坐标系$(r, θ)$中选取光滑的径向截断函数$g \in C^\infty((2,3))$和$h \in C^\infty((1,4))$，令初始数据具有如下形式：

$$ a_0(r,θ) = \epsilon λ^{1-β} N^{-β} g(λr) \cos(Nθ), $$

$$ b_0(r,θ) = \epsilon λ^{2-β} h(λr), $$

$$ u_0 := \nabla_\perp b_0 = \epsilon λ^{3-β} h'(λr) e_θ. $$

其中$\lambda \gg 1$和$N \gg 1$是较大的参数，且满足关系$\lambda^{β+2α-4} = N^{-100}$。该构造的关键在于当$\lambda \to \infty$时，$u_0$的$C^1$范数趋于无穷大，从而导致非Lipschitz性，这正是引发正则性丧失和范数膨胀的根源。

近似解的构造与范数膨胀：作者考虑无粘性输运方程的解作为近似解：

$$ \bar{a}_t + \bar{u} \cdot \nabla \bar{a} = 0, \quad \bar{a}(0) = a_0, $$

$$ \bar{u}_t + \nabla_\perp(\nabla_\perp \bar{a} \cdot \nabla \Delta \bar{a}) = 0, \quad \bar{u}(0) = u_0. $$

通过显式计算，在极坐标下有$\bar{a}(t,r,θ) = \epsilon λ^{1-β} N^{-β} g(λr) \cos(Nθ - \epsilon N λ^{4-β} t h'(λr)/r)$。快速的角度剪切效应$\partial_r b_0 \sim \epsilon λ^{4-β}$驱动$\bar{a}$在时刻$t_* = \epsilon^{-2} λ^{β-4}$发生范数膨胀，且当$s = β$时有$\|\bar{a}(t_*)\|_{\dot{H}^β} \simeq \epsilon^{1-β} > \Lambda$。

误差估计与bootstrap论证：设$A := a - \bar{a}$为真实解与近似解的误差，通过推导误差方程并应用标准的能量估计方法，作者得到关于$A$的积分估计。关键的技术难点在于控制$u - u_0$和$u$的范数，这需要利用$\nabla_\perp \bar{a}$和$\nabla \Delta \bar{a}$之间的正交消元性质（公式(3.8)），该性质使得主要增益因子从$(\lambda N)^4$降低为$\lambda^4 N^3$，从而丢失了一个$N$的因子。通过选取$\lambda$和$N$满足特定的关系，并应用bootstrap论证，作者最终证明了误差$A$在$t_*$时刻的范数界$\|A(t_*)\|_{\dot{H}^s} \lesssim λ^{s-β} N^{s-β-1}$，以及$u$在$H^{β-2}$范数下的有界性。

4. 与之前工作的比较

本文的结果与多个相关研究存在重要的联系和区别。

在电子磁流体动力学的适定性研究方面，Chae、Wan和Wu[2]证明了当$\alpha > 1/2$时，Hall-MHD系统在$H^{1+d/2+}$空间中局部适定。Dai[6]研究了具有完整速度耗散和分数磁电阻率的Hall MHD，在$\alpha > 1/2$的条件下证明了$H^{2+d/2-2α+}$空间中的局部适定性。Zhang和Zhao[13]则在$\alpha = 1/2$和小初始数据的假设下，在$H^{5/2+}(\mathbb{R}^3)$中证明了全局适定性。然而，当$\alpha = 1/2$时，Hall或电子MHD的局部适定性仍然是开放问题。

在不适定性研究方面，Jeong和Oh的系列工作[12]和[11]建立了无粘性电子磁流体动力学在$H^{7/2+}(\mathbb{R}^3)$中不存在解的结果。Dai[5]则通过对$H^β(\mathbb{R}^2) \times H^{β-1}(\mathbb{R}^2)$（$1 < β < 4$）中的范数膨胀建立了无粘性$2\frac{1}{2}$维电子磁流体动力学的不适定性。对于具有分数电阻率的电子磁流体动力学，Jeong和Oh[12]证明了在$s ≥ 3$和$0 ≤ α < 1/2$时的强不适定性。

本文的贡献在于将不适定性结果推广到$2\frac{1}{2}$维情形，并在超临界空间$H^β \times H^{β-1}$（$3 < β < 4-2α$）中建立了半强不适定性。与Jeong和Oh[12]的结果相比，本文在$2\frac{1}{2}$维对称性下建立了不同的不适定性区间（$2 < s < 3-2α$），这可以解释为在$R^2 \times \mathbb{T}$上对磁场的不适定性。然而，本文尚未克服$\alpha = 1/2$的障碍，这可能需要更精细的误差估计。此外，本文的方法停留在强不适定性而未能推广到不存在性（non-existence），这与Euler方程和gSQG方程的相关工作形成对比，后者在类似情形下通过粘合论证可以建立不存在性。

7. 正压纳维-斯托克斯系统的数据同化

Data assimilation for the barotropic Navier-Stokes system

作者: Eduard Feireisl

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20440v1

摘要翻译: 本文研究了正压纳维-斯托克斯系统的连续数据同化方法。假设观测解在整个观测时间段上是有界的，而同步解（通常由数值方法提供）属于耗散解范畴，其范围比传统弱解范畴更为宽泛。结果表明，只要适当选择松弛参数，就能在任意紧致预测区间上实现完全同步。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20440v1

1. 研究对象和背景

本文研究可压缩（条形）Navier-Stokes系统的连续数据同化方法。该系统的物理背景是描述可压缩粘性流体的质量密度和速度场的时间演化。数据同化技术的数学基础近年来受到广泛关注，特别是在气象学的实际应用中。由Azouani、Olson和Titi开创的早期工作主要集中于二维不可压缩Navier-Stokes系统，而将类似技术应用于三维物理相关几何形状面临Navier-Stokes系统适定性方面的已知困难。

数据同化过程的目标是通过知识同化期间收集的观测数据来恢复观察到解的物理模型。观察到解存在于观测时间段 $(T_-,T_+)$，而可观测数据在数据同化（前预测）期间 $[T_0,T]$ 可用。目标是构建一个在 $[T_0,T_+]$ 上定义的同步解，以便在预测（预报）期间 $(T,T_+)$ 提供对观察到解的理想逼近。本文设定数据同化期的起点 $T_0 = 0$ 以简化符号表示。

本文的结果基于两个工作假设：观察到解在整个观测期间 $(T_-,T_+)$ 有界，且观察到解在初始时刻 $T_-$ 是正则（光滑）的。与观察到解不同，实践中通过数值模拟获得的同步解被理解为广义耗散解，它超越了标准弱解的框架。这种解的概念自然是一致数值逼近的极限。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是定理2.2，关于可压缩Navier-Stokes系统的同步化。设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 是 $C^4$ 类有界域，压力-密度状态方程 $p = p(\rho)$ 满足假设（2.11）、（2.12）以及增长限制（2.17），其中 $\gamma > 6/5$。假设观察到解 $(r,U)$ 属于正则性类（2.19）、（2.20）。

设 $(\rho,u)$ 是同步系统（2.7）-（2.9）在定义2.1意义下的耗散解。则存在非减函数 $\Gamma: (0,\infty) \to [1,\infty)$，使得当满足条件（2.22）时，不等式（2.21）成立。这意味着在适当的nudging参数选择下，在任何紧预测区间 $[T,T_+]$ 上可以实现观察到解与同步解之间的完全同步。

具体而言，当 nudging 参数满足：

$$ \Lambda_\rho \geq \Gamma(\|\text{data}\|)\Lambda_\rho, \quad \delta\Lambda_u \Gamma(\|\text{data}\|) \leq 1, \quad \frac{1}{\Lambda_\rho} + \exp(-\Lambda_\rho T) \Gamma(\|\text{data}\|) < \varepsilon $$

时，相对能量的本质上确界加上雷诺应力迹的积分可以被控制在任意小的 $\varepsilon$ 范围内。注记2.3指出，如果观察到解的初始值 $r(T_-,\cdot)$、$U(T_-,\cdot)$ 更正则，条件 $\gamma > 6/5$ 可以放宽为 $\gamma > 1$。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文采用的研究方法基于三个关键技术支柱。

第一个技术是条件正则性结果。对于条形Navier-Stokes系统，Sun、Wang和Zhang在开创性工作中表明，任何从光滑初始数据发出且密度一致有界的弱解实际上是正则的。本文使用其$L^q$变体，即命题3.1：如果观察到解在 $(T_-,T_+)$ 上一致有界，则它属于类（3.1），具有估计（3.2）。该结果使得假设（2.19）和（2.20）能够推导出观察到解导数的界。

第二个核心技术是相对能量不等式。相对能量定义为：

$$ E_{\rho,u|r,U} = \frac{1}{2}\rho|u-U|^2 + P(\rho) - P'(r)(\rho-r) - P(r) $$

这可以被解释为Bregmann散度，即量 $(\rho,u)$ 和 $(r,U)$ 之间的广义距离。通过将 $U$ 作为动量平衡弱形式中的测试函数，以及 $\frac{1}{2}|U|^2 - P'(r)$ 作为连续方程弱形式中的测试函数，可以推导出管理同步系统相对能量时间演化的公式（3.3）。

第三个关键技术是插值算子和nudging项。本文考虑基于在时空特定点收集观察到解精确值的数据逼近。插值算子 $I_\delta$ 通过将时空圆柱体分解为直径最多为 $\delta$ 的区域，并在每个区域的控制点取函数值来定义。同步系统在数据同化期间（0,T）受到nudging项的扰动，这些项迫使观察到解和同步解接近。值得注意的是，nudging项仅作用于观察到解而非同步解，这有两个原因：同步解的低正则性以及补偿物理模型在质量密度层面提供的耗散不足。

本文还引入了耗散解的概念，该概念预期了数值解序列中可能出现的振荡/集中，这些振荡/集中被编码在雷诺应力张量 $R$ 中。通过仔细估计相对能量的时间导数，并利用Korn-Poincaré不等式和Fenchel-Young不等式，最终得到同步化的结论。

4. 与之前工作的比较

本文的工作建立在数据同化数学理论发展的基础上，但与之相比具有若干重要进展。

在问题维度方面，之前的大多数结果主要关注二维不可压缩Navier-Stokes系统，如Biswas等人、Foias Mondaini和Titi、Foias和Mondaini的工作，或相关Oberbeck-Boussinesq近似的研究。本文将研究范围扩展到三维可压缩Navier-Stokes系统，这在物理上更接近气象学模型。

在解的概念方面，Balakrishna和Biswas为三维不可压缩Navier-Stokes系统提出了基于观察到解插值知识的新正则性准则，但该信息在随后的预测期间仍然缺失。本文通过考虑耗散解来规避这一问题，耗散解的框架比传统弱解更广泛，能够自然地处理数值模拟中可能出现的振荡和集中现象。

在物理模型方面，本文专门研究条形系统，忽略了热效应，但作者认为相同的方法可以应用于完整的（温度依赖的）Navier-Stokes-Fourier系统，该系统在气象学模型中具有物理相关性。本文的核心技术创新在于使用相对能量不等式来估计观察到解与同步解之间的距离，并通过适当调整nudging参数来实现预测期间的同步化。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 带表面活性剂的Cahn-Hilliard-Darcy-Forchheimer系统：全局弱解的存在性与长时间行为

The Cahn–Hilliard–Darcy–Forchheimer system with surfactant: Existence and long-time behavior of global weak solutions

作者: Maurizio Grasselli, Bohan Ouyang, Andrea Poiatti, Hao Wu

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22172v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22172v1

摘要翻译

中文标题: 带表面活性剂的Cahn-Hilliard-Darcy-Forchheimer系统：全局弱解的存在性与长时间行为

摘要翻译:

本文研究有界多孔介质中可溶性表面活性剂作用下的两相不可压缩粘性流体 diffuse-interface模型。该流体动力学系统由渗流速度 $\boldsymbol{u}$ 的Darcy-Forchheimer方程与两个Cahn-Hilliard方程耦合而成，其中Cahn-Hilliard方程涉及Flory-Huggins型奇异势：一个用于描述两流体体积分数之差的相场变量 $φ$，另一个用于描述表面活性剂浓度 $ψ$。我们研究二维或三维空间中的初边值问题，其中 $\boldsymbol{u}$ 满足不可渗透边界条件，$(φ, ψ)$ 及其对应的化学势满足齐次Neumann边界条件。首先，我们基于能量耗散律，通过隐-显式时间离散格式建立全局弱解的存在性。此外，利用第一和第三作者在文献（arXiv:2510.17296）中的开创性结果，我们证明了满足能量不等式的每一个弱解当时间趋于无穷时收敛到单一平衡态。与现有文献中类似模型的研究结果形成鲜明对比，本文中仅需弱解即可保证渐近极限的唯一性，无需任何额外的正则化假设。

2. 具对数非线性的耦合波动-MGT系统的全局适定性与条件渐近稳定性

Global Well-Posedness and Conditional Asymptotic Stability for a Coupled Wave-MGT System with Logarithmic Nonlinearity

作者: Tae Gab Ha

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22076v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22076v1

摘要翻译

中文标题: 具对数非线性的耦合波动-MGT系统的全局适定性与条件渐近稳定性

摘要翻译:

本文研究有界区域上由保守波动方程与耗散的Moore-Gibson-Thompson（MGT）方程耦合而成的系统。波动分量由对数源项 $f(u)=|u|^{γ-2}u\ln|u|$ 驱动，其中 $2<γ<\frac{2(n-1)}{n-2}$，且不含直接阻尼。本文摒弃交叉乘子方法，引入耦合变量 $w=v+τv_{t}$，由此揭示了与相互作用项相关的精确能量结构。该表述得到了一个真正的耦合能量以及一个强制的二次型 $Q_α(u,w)=\norm{\nabla u}_{2}^{2}+\norm{\nabla w}_{2}^{2}+2α(u,w)$，其中 $|α|<λ_{1}$。基于此结构，本文构建了耦合势井，并证明了当初始数据位于相应势井深度以下且处于稳定集内时，弱解的全局适定性。此外，本文还证明了能量通过MGT分量严格耗散。同时，对线性化系统的模态分析识别出一致指数衰减的高频谱障碍，量化了耗散向波动分支传递的弱性。最后，在假设轨迹在自然能量空间中相对紧致且满足 $0<|α|<λ_1$ 的条件下，本文应用LaSalle不变性原理建立了零平衡态的条件渐近稳定性。该结果为耦合波动-MGT动力学提供了一个结构一致的间接稳定性定理，且不依赖于未经证实的一致指数衰减结论。

3. 抛物分数阶$p$-拉普拉斯方程的李普希茨正则性

Lipschitz regularity for parabolic fractional $p$-Laplace equations

作者: Harsh Prasad

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21956v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21956v1

摘要翻译

中文标题: 抛物分数阶$p$-拉普拉斯方程的李普希茨正则性

摘要翻译:

我们证明了当$sp > p-1$时，对于任意$1<p<\infty$和$s \in (0,1)$，非局部抛物$p$-拉普拉斯方程的局部弱解在空间上具有局部李普希茨连续性，且在时间上具有一致性。我们的结果适用于满足标准椭圆性界条件、对称且平移不变的核函数，包括那些可能不连续的核函数，且仅需解的尾部有界即可。在线性情形下，我们的证明提供了一条不同于传统方法的路径，避免了爆破论证和刘维尔定理的使用。

4. 周期均匀化中的大尺度调和测度与非切向极大函数

Large-scale harmonic measures and nontangential maximal functions in periodic homogenization

作者: Zhongwei Shen, Jinping Zhuge

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21902v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21902v1

摘要翻译

中文标题: 周期均匀化中的大尺度调和测度与非切向极大函数

摘要翻译: 本文研究具有周期系数的有界区域Ω上的椭圆算子$\mathcal{L}_\varepsilon = -\nabla\cdot (A(X/\varepsilon) \nabla )$，其中系数$A = A(Y)$不满足任何局部光滑性假设，$\varepsilon \ll \text{diam}(Ω)$为微观尺度。由于系数在$\varepsilon$尺度上的不规则性，我们引入了正确的形式来定义大尺度非切向极大函数，用于迪里希雷问题、诺依曼问题和正则性问题，以刻画解在距离边界$\varepsilon$范围内的行为。我们建立了这些非切向极大函数关于$\varepsilon$一致的$L^p$估计，其$p$的取值范围与利普希茨区域或$C^1$区域上拉普拉斯算子的最优范围相同。在对系数附加某些正则性假设的条件下，大尺度估计与小尺度估计相结合，可以恢复非切向极大函数的经典完整尺度估计。我们的证明基于大尺度$\mathcal{L}_\varepsilon$-调和测度的概念、算子在边界横截方向的周期结构以及均匀化工具，包括收敛速率和大尺度正则性。

5. 覆盖函数图像的直线并集的豪斯多夫维数：偏微分方程应用

Hausdorff Dimension of Union of Lines that Cover a Function Graph: Applications to PDEs

作者: Hanwen Liu

类别: math.AP, math.CA

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21731v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21731v1

摘要翻译

中文标题: 覆盖函数图像的直线并集的豪斯多夫维数：偏微分方程应用

摘要翻译:

几何测度论领域的最新研究探讨了覆盖平面曲线的直线并集的最小豪斯多夫维数。尽管已知非线性$C^2$曲线的覆盖直线并集的豪斯多夫维数恰好为2，但如果曲线仅满足连续可微条件，该维数可降至1。本文通过建立中间Hölder正则性的最佳维数界，弥合了这两类正则性之间的差距。我们证明：对于任意非线性函数$f\in C^{1,\alpha}([0,1])$，其中$0<\alpha\leq 1$，覆盖$f$在某个满测度子集上图像的任意直线族，其并集的豪斯多夫维数至少为$1+\alpha$。我们利用分形魔鬼阶梯构造了一个函数图像及其相应的覆盖直线族，其并集的豪斯多夫维数恰好为$1+\alpha$，从而证明该下确界是严格达到的。最后，我们将该几何框架应用于非线性偏微分方程，证明了与无粘性伯格斯方程的所有特征线相交的任意时空可观测集的豪斯多夫维数至少为$\alpha$。

6. 极大值不等式与测度傅里叶变换的衰减

Maximal inequalities and the decay of Fourier transforms of measures

作者: Terence L. J. Harris

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21474v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21474v1

摘要翻译

中文标题: 极大值不等式与测度傅里叶变换的衰减

摘要翻译:

本文证明了分形上的薛定谔极大值不等式等价于抛物面上分形测度的傅里叶变换的$L^2$衰减率。同样地，我们在波动方程与锥平均之间建立了类似的联系。

其中一个方向是已知结论，可由柯尔莫哥洛夫-谢利维斯特洛夫-普列斯涅尔方法导出；而另一个方向则是非平凡的，它依赖于马尔斯特兰德投影定理的变体。

证明的思路是在卢卡和罗杰斯的一个证明中引入一个额外的平均化参数。卢卡和罗杰斯在他们的证明中使用了定量遍历引理而非马尔斯特兰德投影定理。卢卡和罗杰斯给出了布尔甘关于薛定谔方程解的必要条件的第二种证明：即在$\mathbb{R}^{n+1}$中，当时间趋于零时，薛定谔方程的解几乎处处逐点收敛到初始数据的布尔甘必要条件$s\geq \frac{n}{2(n+1)}$。本文主要定理的一个应用是给出布尔甘必要条件的一个不依赖遍历理论或数论的证明。

7. 具有Hölder连续势的椭圆方程的定量唯一延拓

Quantitative unique continuation for elliptic equations with Hölder continuous potentials

作者: Long Teng, Zhiwei Wang, Jiuyi Zhu

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21392v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21392v1

摘要翻译

中文标题: 具有Hölder连续势的椭圆方程的定量唯一延拓

摘要翻译: 我们通过加权频率函数方法研究了具有Hölder正则性低阶项的二阶椭圆方程的定量唯一延拓问题。我们建立了具有Hölder势和Hölder梯度项的薛定谔方程的定量三球不等式及相应的消失阶估计，并得到了具有变系数主部的椭圆方程的相应结果。我们的结果具有定量性，在三球不等式中明确给出了Hölder范数的依赖关系。这些结果填补了有界势与C^1势之间定量唯一延拓理论的空白。

8. 双曲空间上Brezis-Nirenberg问题的解的多重性

Multiplicity of Solutions to the Brezis-Nirenberg Problem on Hyperbolic Spaces

作者: Sekhar Ghosh, Vishvesh Kumar, Tapendu Rana

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21171v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21171v1

摘要翻译

中文标题: 双曲空间上Brezis-Nirenberg问题的解的多重性

摘要翻译: 本文研究了$N \ge 4$维双曲空间$\mathbb{B}^N$中光滑有界域上Brezis-Nirenberg问题的解的多重性。具体而言，我们研究了临界半线性方程$-Δ_{\mathbb{B}^N} u = λu + |u|^{2^*-2}u$在$λ > \frac{N(N-2)}{4}$条件下满足Dirichlet边界条件的情形。通过克服双曲几何结构诱导的分析困难以及Palais-Smale序列的复杂集中轮廓，我们建立了多对非平凡解的存在性。利用等变Ljusternik-Schnirelmann范畴，我们根据参数$\lambda$相对于Laplace-Beltrami算子的Dirichlet谱的位置，得到了解的个数的下界估计。

9. 广义Benjamin-Bona-Mahony方程的适定性研究

Well-posedness issues for the generalized Benjamin–Bona–Mahony equation

作者: Seunghyun Kim, Chulkwang Kwak

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21060v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21060v1

摘要翻译

中文标题: 广义Benjamin-Bona-Mahony方程的适定性研究

摘要翻译: 本文研究一维广义Benjamin-Bona-Mahony (gBBM)方程

$$ (1-\partial_x^2)u_t+(u+u^p)_x=0,\qquad p=2,3,4,\dots, $$

该方程可在实直线$\mathbb R$或环面$\mathbb T$上考虑。作为描述长峰表面水波传播的正则化模型，本文的主要结果包含以下三个方面：

首先，对于$s\ge \frac{p-2}{2p}$，我们在$C([0,T];H^s)$空间中建立了无条件局部适定性，无需附加任何辅助空间，且该结果在多重线性估计最优的意义下是最优的。此外，我们证明了所有分布在$L^\infty((0,T);H^s)$中的解的无条件唯一性。

其次，我们证明了低于该正则性阈值时，流映射不属于$C^p$类。具体而言，若流映射在每个$s<\frac{p-2}{2p}$下于原点附近从$H^s$到$C([0,T];H^s)$良定且连续，则其在原点处不属于$C^p$类。该证明基于高低频相互作用，在$\mathbb R$和$\mathbb T$上采用不同的实现方式。

第三，在奇数次幂的情形下，我们证明了低于$H^1$的全局适定性：$p=3$时要求$s\ge \frac14$，$p=5$时要求$s>\frac12$。据我们所知，这是广义BBM方程在Sobolev框架下低于$H^1$的首个全局适定性结果。其论证基于Bona–Tzvetkov方法 \cite{BT}，并最初受到Bourgain的高低频方法 \cite{Bourgain1998, Bourgain1999}的启发。一个关键的新要素是在$H^1$能量水平以下利用哈密顿守恒律，这使得我们能够在能量估计中控制高阶非线性项，从而防止Grönwall迭代发散。

10. 一类弱耗散非线性色散波方程的全局保守弱解和全局强解

Global conservative weak solutions and global strong solutions for a class of weakly dissipative nonlinear dispersive wave equations

作者: Yiyao Lian, Zhenyu Wan, Zhaoyang Yin

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-21

arXiv ID: 2603.20649v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20649v1

摘要翻译

中文标题: 一类弱耗散非线性色散波方程的全局保守弱解和全局强解

摘要翻译:

本文研究一类弱耗散非线性色散波方程 $u_t-u_{xxt}+(f\left(u\right))_x-(f\left(u\right))_{xxx}+\left(g\left(u\right)+\frac{f^{\prime\prime}\left(u\right)}{2}u_x^2\right)_x+λ\left(u-u_{xx}\right)=0$ 的Cauchy问题解的全局存在性。该方程以弱耗散Camassa-Holm方程和弱耗散超弹性杆波方程作为特例。具体而言，我们建立了三个全局存在性结果：一个是关于时间加权 $H^1$ 空间中的能量保守弱解，另外两个是关于强解的结果，包含小初值情形和符号改变初值情形。我们的结果恢复并推广了许多经典模型的相关已知结果。

不相关论文（基本信息）

1. 行列式约束下的内聚膜

Cohesive Membranes under determinant constraints

作者: Nicola Pio Melillo, Dario Reggiani

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22265v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22265v1

摘要: This paper is devoted to the variational derivation of reduced models for elastic membranes with fracture under constraints on the determinant of the deformation gradient. We consider two physically relevant settings: the non-interpenetration regime, in which the deformation is required to be orientation-preserving ($\det \nabla u > 0$), and the incompressible regime, in which the deformation preserves volume ($\det \nabla u = 1$). In both cases, the surface energy density is allowed to depend on the jump amplitude, thus encompassing cohesive fracture models with activation threshold. The main technical contribution is the construction of recovery sequences that simultaneously satisfy the determinant constraint and optimize the surface energy. This is achieved through a combination of $C^\infty$ diffeomorphisms converging to the identity (which rotate the normal to the jump set so as to minimize the reduced surface energy), and a new smooth approximation result for $GSBV^p$ functions.

2. 交叉扩散与快速反应在图案形成中的作用：结构分析

Cross-diffusion and fast-reaction in pattern formation: a structural analysis

作者: Brocchieri Elisabetta, Soresina Cinzia

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22177v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22177v1

摘要: Cross-diffusion systems play a central role in mathematical modelling, in which density-dependent dispersal and multiscale mechanisms can lead to spatial segregation and diffusion-driven instabilities. In several relevant examples, including generalised SKT-type competition models, cross-diffusion terms can be rigorously derived as fast-reaction limits, thereby providing a clear biological interpretation while posing significant analytical challenges. In this work, we investigate the impact of biologically derived cross-diffusion on Turing instability. For a generalised SKT framework, we characterise instability conditions for a broad class of cross-diffusion functions arising from fast-reaction mechanisms. We then propose an alternative fast-reaction formulation leading to a different diffusion structure and show that, in this case, diffusion-driven pattern formation is prevented. We further discuss an example motivated by dietary diversity and starvation dynamics, and analyse how the sign structure of the reaction Jacobian interacts with cross-diffusion in determining the onset of patterns. Our results clarify structural features that promote or inhibit spatial self-organisation in competitive systems.

3. 非局部费舍尔信息：提升、局部极限定理与Blachman-Stam不等式

Nonlocal Fisher information: lifting, local limit, and the Blachman-Stam inequality

作者: Fabian Merz, Rico Zacher

类别: math.AP, cs.IT, math.PR

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22079v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22079v1

摘要: We show that the nonlocal Fisher information - defined as the entropy dissipation of the Boltzmann entropy for nonlocal heat equations - admits a natural lifting in the sense of Guillen and Silvestre (2025). Important examples include the discrete Fisher information arising in Markov chains and the fractional Fisher information $i_s$ associated with the fractional Laplacian $(-Δ)^{s}$ on $\mathbb{R}^d$, $s\in (0,1)$. We further establish a Blachman-Stam inequality (BSI) for the fractional Fisher information $i_s$, and prove that, for a large class of functions, $i_s$ converges to the classical Fisher information as $s\to 1$. Through this nonlocal-to-local limit, we recover the classical BSI and the lifting property of the classical Fisher information.

4. 扭曲积流形上的等周不等式及谱结果

Isoperimetric inequalities and spectral consequences in warped product manifolds

作者: Avas Banerjee

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22069v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22069v1

摘要: In this article, we investigate the centered isoperimetric inequality on Cartan-Hadamard manifolds endowed with a warped product structure, namely, among all bounded measurable sets of finite perimeter and prescribed volume, the geodesic ball centered at the pole minimizes the perimeter. Exploiting the interplay between this inequality and the underlying warped product structure, we derive several necessary geometric conditions, some of which are closely related to and comparable with phenomena identified in the work of Simon Brendle [Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117 (2013)]. We also establish a sufficient condition ensuring the validity of the centered isoperimetric inequality in this setting. Furthermore, by introducing a suitable isoperimetric-type quotient, we obtain an improvement of the classical Cheeger inequality for a broad class of manifolds. Finally, we derive a quantitative lower bound for the first nonzero Dirichlet eigenvalue of geodesic balls centered at the pole, valid for a certain class of Riemannian manifolds.

5. 具有Ahlfors正则边界的域上的泊松问题

The Poisson problem in domains with Ahlfors regular boundary

作者: Ariel Barton, Svitlana Mayboroda, Alberto Pacati

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22067v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22067v1

摘要: We establish well posedness of the Poisson problem in weak local John domains, for linear second order elliptic equations with real coefficients, and with data in weighted Lebesgue spaces with a very broad range of acceptable parameters.

6. 凸区域外的精确毛细管索伯列夫不等式和莫泽-特鲁丁格不等式

Sharp capillary Sobolev inequality and Moser-Trudinger inequality outside convex domain

作者: Lu Chen, Jiali Lan

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.22052v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.22052v1

摘要: The theory of sharp geometric inequality in $\mathbb{R}^n$ and inside convex cone has been well-developed, much less known for sharp capillary geometric inequality outside convex domain. Recently, Fusco-Julin-Morini-Pratelli \cite{FJMP} obtained sharp capillary isoperimetric inequality and make it possible to obtain the sharp capillary geometric inequality outside convex domain. In this paper, we establish the sharp capillary Sobolev inequality and Moser-Trudinger inequality outside convex domain, which can be seen as geometric inequality on the Finsler manifold to some extent. Our method is based on constructing capillary Pálya-Szegö rearrangement inequality outside convex domain. Finally, we also consider the capillary Talenti-Comparison principle and Bossel-Daners inequality.

7. 余维一流形的二次平坦性与具有有界各向异性第一变分的正则性 第二部分

Quadratic flatness and Regularity for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic First Variation Part II

作者: Sławomir Kolasiński, Mario Santilli

类别: math.AP, math.OC

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21983v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21983v1

摘要: In a previous paper we proved quadratic flatness and $\mathscr{C}^{2}$-rectifiability for codimension one varifolds $ V $ on open subsets of $ \mathbf{R}^{n+1} $ with bounded anisotropic mean curvature, under the hypothesis that $ \operatorname{spt} \| V \| $ has locally finite $ \mathscr{H}^{n} $ measure. In this paper we explore some fundamental consequences of this result. In particular, we extend Brakke’s perpendicularity theorem to the anisotropic setting and we deduce the locality of the anisotropic mean curvature vector.

8. 关于无界势磁薛定谔方程的适定性

On the Well-posedness of Magnetic Schrödinger Equations with Unbounded Potentials

作者: Dorothee Frey, Siliang Weng

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21962v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21962v1

摘要: We consider magnetic Schrödinger equations with sublinear magnetic potentials and subquadratic electric potentials on $\mathbb{R}^{d}$, as well as generalizations thereof. We obtain new results on the global well-posedness of the Cauchy problem with initial data in magnetic modulation spaces $M^{p}_{A}(\mathbb{R}^{d})$. Our results are achieved by approximating the solution in phase space using the magnetic Hamiltonian flow. This method includes the potentials as part of the generalized Schrödinger operator instead of treating them as perturbations, and thereby allows us to deal with unbounded potentials. For $A \equiv 0$, the space $M^{p}_{A}(\mathbb{R}^{d})$ reduces to the usual modulation space $M^{p}(\mathbb{R}^{d})$, for which relevant known results for the usual Schrödinger equation can be recovered.

9. 奇异径向AKNS算子的逆谱分析

Inverse Spectral Analysis of Singular Radial AKNS Operators

作者: Damien Gobin, Benoît Grébert, Bernard Helffer, François Nicoleau

类别: math.AP, math-ph, math.SP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21961v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21961v1

摘要: We study an inverse spectral problem for singular AKNS operators based on spectral data associated with two distinct values of the effective angular momentum parameter $κ\,$. Our main focus is the local inverse problem near the zero potential. For the pairs $(κ_1,κ_2)=(0,1)$, $(1,2)$ and $(0,3)\,$, we establish local uniqueness. For $(0,2)\,$, we prove that the Fréchet differential of the spectral map at the origin is injective, while the question whether its range is closed remains open.

10. 无界阻尼波动方程的半群衰减

Semigroup decay for the wave equation with unbounded damping

作者: Antonio Arnal, Borbala Gerhat, Julien Royer, Petr Siegl

类别: math.AP, math-ph, math.FA

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21805v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21805v1

摘要: We study the damped wave equation with a damping coefficient which is possibly singular and unbounded at infinity. In general, zero belongs to the spectrum of the corresponding generator, which prevents a uniform (exponential) decay for the energy. However, for initial conditions in a suitable subspace, a detailed analysis of the resolvent norm for low frequencies leads to sharp polynomial time-decay rates for the solution and its energy.

11. 时滞对于通过内部控制实现波动方程指数稳定化的必要性

Delay is Necessary for a Potential to Achieve Exponential Stabilization of the Wave Equation via Internal Control

作者: Crédo Roselin Fanou, Kaïs Ammari, Islam Boussaada

类别: math.AP, math.OC

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21777v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21777v1

摘要: In this work, we study the stabilization of the wave equation using an internal delayed potential. Interestingly, the stabilization mechanism is entirely induced by the delay, since exponential stabilization cannot be achieved in its absence. We first prove the well-posedness of the associated initial–boundary value problem. Then, thanks to the parametric analysis of the corresponding quasipolynomial, we design a delayed po tential feedback law which, together with appropriate initial conditions, ensures the exponential decay rate for the resulting closed-loop system. The control of the transverse vibration of a string illustrates the effectiveness of the result.

12. 三维能量临界波动方程多气泡径向解的不存在性

Nonexistence of multi-bubble radial solutions to the 3D energy critical wave equation

作者: Ruipeng Shen

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21602v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21602v1

摘要: In this work we consider the focusing, energy-critical wave equation in 3D radial case. It has been verified that any global or type II blow-up solution decomposes into a superposition of several decoupled grounds states, a free wave and a small error, as time tends to infinity or the blow-up time. This is usually called soliton resolution. However, all known examples of soliton resolution in the 3D radial case come with no more than one soliton. In this work we prove the nonexistence of any global or type II blow up solution with two or more solitons, thus give a complete classification of asymptotic behaviours of radial solutions.

13. 光滑有界区域上抛物型拉梅系统的高阶导数估计

Higher-order derivative estimates for the parabolic Lamé system on a smooth bounded domain

作者: Yoshinori Furuto, Tsukasa Iwabuchi

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21593v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21593v1

摘要: We consider the parabolic Lamé system on a bounded domain. We focus on two types of inequalities for higher-order derivatives of solutions. The first is related to an $L^p$-$L^p$ estimate locally in time in the Lebesgue space setting, which includes the endpoint cases $p=1$ and $p=\infty$. The second concerns an equivalent norm of Besov spaces by means of the solution of the parabolic Lamé system.

14. 论支撑板逆双调和散射问题的采样方法

On Sampling Methods for Inverse Biharmonic Scattering Problems in Supported Plates

作者: Carlos Borges, Rafael Ceja Ayala, Peter Nekrasov

类别: math.NA, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-03-23

arXiv ID: 2603.21477v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21477v1

摘要: We study the inverse problem of qualitatively recovering a supported cavity in a thin elastic plate governed by the flexural (biharmonic) wave equation, using far-field pattern measurements. We derive a reciprocity principle and a factorization of the far-field operator for the supported plate boundary conditions, and we analyze its range properties to justify both the linear sampling method (LSM) and the direct sampling method (DSM). Numerical experiments assess the performance of LSM and DSM under noise, a limited amount of data, multiple scattering, and variations in the Poisson’s ratio. The results show that both methods robustly recover the obstacle’s location and convex hull, with DSM offering improved stability and reduced computational cost.

15. 黎曼流形上的谱综合

Spectral synthesis on Riemannian manifolds

作者: A. Iosevich, A. Mayeli, E. Wyman

类别: math.CA, math.AP, math.SP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21451v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21451v1

摘要: We study spectral synthesis for measures supported on thin subsets of compact Riemannian manifolds. We prove that under natural non-concentration conditions, such measures admit quantitative spectral synthesis, with explicit stability bounds. We show that this phenomenon depends strongly on the underlying geometry. On the torus, synthesis holds under broad assumptions, while on the sphere we establish rigidity results demonstrating that synthesis can fail in a sharp sense. As consequences, we obtain quantitative approximation results and uncertainty principles for functions with thin spectral support. These results provide a unified framework connecting spectral synthesis, geometric structure, and stability on compact manifolds.

16. 波前上的微积分

Calculus on Wave Fronts

作者: Oliver Knill

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21367v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21367v1

摘要: We define a deformation of the exterior derivative that is a bounded operator and preserves the symmetries of the geometry. It satisfies a modified wave equation that honors the strong Huygens principle in all dimensions.

17. 通过最优传输的Brascamp-Lieb正则化不等式及等号情形研究

Regularized Brascamp-Lieb inequalities via Optimal Transport and Study of Equality Cases

作者: Bader Ammari

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21267v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21267v1

摘要: We consider regularized Brascamp-Lieb inequalities using the theory of optimal transportation, more precisely an anisotropic version of Caffarelli’s contraction theorem. Furthermore, we provide a full picture concerning the issues of finiteness of the Brascamp-Lieb constant and of the existence of Gaussian extremizers. Finally, we find all optimizers for these regularized Brascamp-Lieb inequalities by employing heat flow methods that were already used to settle this question for the non-regularized Brascamp-Lieb inequality, and give some interesting applications.

18. 广义相对论中具有正Yamabe不变量和任意平均曲率的初始数据构造的一种新方法

A new approach towards the construction of initial data in general relativity with positive Yamabe invariant and arbitrary mean curvature

作者: Armand Coudray, Romain Gicquaud

类别: gr-qc, math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21214v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21214v1

摘要: This paper revisits the classical construction of initial data using the conformal method, as originally proposed by Holst, Nagy, and Tsogtgerel and later refined by Maxwell. We demonstrate that the existence of the solution can be proven using the Banach fixed point theorem, whereas the original proof relied on the Schauder fixed point theorem. This new approach has two main advantages: it guarantees the uniqueness of the solution to the equations of the conformal method as soon as one imposes a bound on the physical volume of it and it provides an explicit construction of the solution.

19. 均值场控制与停止

Mean field control with stopping

作者: Pierre Cardaliaguet, Joe Jackson, Panagiotis E. Souganidis

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21204v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21204v1

摘要: We study a high-dimensional stochastic optimization problem which features both control and stopping. In particular, a central planner steers a large population of particles, and can also remove particles at any time by paying a penalty. In the limit, we obtain a mean field control problem with discontinuous dynamics, in the sense that the controlled Fokker-Planck equation can have jumps. The value of the N-particle problem is characterized by a hierarchy of non-linear obstacle problems. The value of the limiting problem, meanwhile, solves an infinite-dimensional quasi-variational inequality (QVI). We introduce a notion of viscosity solution for this QVI, and obtain a comparison principle. Together with various regularity estimates, this comparison principle allows us to characterize the mean field value function as the unique viscosity solution of the QVI, and to establish the convergence of the N-particle value functions to the mean field value function.

20. 平面Choné-Rochet模型中的整体正则性与自由边界几何

Global regularity and free boundary geometry in the planar Choné-Rochet model

作者: Shibing Chen, Alessio Figalli, Yi Ru-Ya Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21196v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21196v1

摘要: In this paper, we study minimizers of the Choné–Rochet variational problem in dimension two. We first establish global $C^1$ regularity on arbitrary bounded convex domains, and then prove global $C^{1,1}$ regularity on bounded strictly convex domains or, more generally, whenever the zero set of $u$ has positive measure. Next, we construct smooth bounded convex domains with a flat boundary segment for which no prescribed modulus of continuity controls the gradient; this shows that, without additional geometric assumptions, global $C^1$ regularity is optimal. Finally, we prove that the tamed free boundary (that is, the interface between the strictly convex and non-strictly convex regions of the solution) is locally a $C^1$ embedded curve, significantly strengthening previously known regularity results.

21. 球面上的共形分数阶-对数拉普拉斯算子：Yamabe问题与最佳不等式

The Conformal Fractional–Logarithmic Laplacian on the Sphere: Yamabe Problems and Sharp Inequalities

作者: Huyuan Chen, Rui Chen, Daniel Hauer

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21146v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21146v1

摘要: In this paper, we introduce the conformal fractional–logarithmic Laplacian on the unit sphere, defined as the derivative of the conformal fractional Laplacian with respect to the order parameter $s\in(0,1)$. We investigate its fundamental analytic and spectral properties, including its relation to the conformal logarithmic Laplacian, its spectral representation, and the explicit form of its eigenvalues and eigenfunctions. We further establish its conformal covariance law and derive the associated Yamabe-type equation, proving its equivalence to the corresponding conformal equation in $\mathbb R^N$ through stereographic projection. Finally, we apply this framework to sharp Sobolev-type inequalities, recovering the sharp logarithmic Sobolev inequality, revealing the failure of a naive fractional–logarithmic analogue, and establishing new sharp fractional–logarithmic inequalities.

22. 消除探针法B侧中的小波数约束

Removing small wavenumber constraints in Side B of the Probe Method

作者: Masaru Ikehata

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21124v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21124v1

摘要: The Probe Method is an analytical reconstruction scheme for inverse obstacle problems utilizing the Dirichlet-to-Neumann map associated with the governing partial differential equation. It consists of two distinct parts: Side A and Side B. Both are based on the indicator sequence which is calculated from the Dirichlet-to-Neumann map acting on “needle-like” specialized solution of the governing equation for the background medium, whose energy is concentrated on an arbitrary given needle inside. In Side A, the limit of the indicator sequence-referred to as the indicator function-is computed before the needles touch the obstacle, and the boundary is identified as the point where this function first blows up. In contrast, Side B states the blow-up of the indicator sequence after the needles have come into contact with the obstacle. For the Helmholtz equation, the validity of Side B has long required a small wavenumber constraint. This paper finally removes this long-standing restriction, establishing the method’s applicability for broader cases.

23. 非局部$W^{s,1}$-极小化子的弱Harnack不等式与Cartan性质

Weak Harnack inequality and Cartan property for nonlocal $W^{s,1}$-minimizers

作者: Panu Lahti, Yuxin Li, Khanh Nguyen

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-03-22

arXiv ID: 2603.21121v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.21121v1

摘要: We establish a weak Harnack inequality for nonlocal $W^{s,1}$-subminimizers in a complete, connected, doubling metric measure space where $0<s<1$. As a corollary, we prove that $W^{s,1}$-subminimizers are semicontinuous, up to a suitable choice of pointwise representative. We then prove \emph{Cartan-type properties} for $W^{s,1}$-superminimizers. The theory turns out to be mostly analogous with the local case of BV super- and subminimizers. Our results seem to be new even in the classical Euclidean setting.

24. 广义可约性与索伯列夫范数的增长

Generalized Reducibility and Growth of Sobolev Norms

作者: Zhenguo Liang, Zhiyan Zhao

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2026-03-21

arXiv ID: 2603.20834v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20834v1

摘要: We introduce the concept of {\it generalized reducibility}, which provides a flexible framework for analyzing the long-time behavior of solutions to quadratic quantum Hamiltonians. As an application of this notion, for many prescribed sub-exponential growth rates $f(t)$, either monotone or oscillatory, we explicitly construct time-decaying perturbations of the one-dimensional quantum harmonic oscillator such that the Sobolev norms of solutions grow at rate $f(t)$.

25. 利普希茨 $Q$-图检验对的一致多凸性与Almgren一致椭圆性的等价性

Equivalence of Uniform Polyconvexity and Almgren Uniform Ellipticity for Lipschitz $Q$-Graph Test Pairs

作者: Maciej Lesniak

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-21

arXiv ID: 2603.20788v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20788v1

摘要: We investigate the relationship between uniform polyconvexity of anisotropic geometric integrands and Almgren’s uniform ellipticity. We first establish the converse implication for uniform ellipticity with respect to polyhedral test pairs, thereby strengthening earlier results. Our main theorem shows that uniform polyconvexity is equivalent to Almgren’s uniform ellipticity with respect to Lipschitz $Q$-graph test pairs, building on techniques developed by De Rosa, Lei, and Young. As a consequence, we show that for a classical integrand, uniform polyconvexity is equivalent to uniform quasiconvexity of the associated $Q$-integrand for every~$Q \in \natp$.

26. 对数非线性抛物-抛物型趋化模型的近似分析

Approximation Analysis of a Parabolic-Parabolic Chemotaxis Model with Logarithmic Nonlinearity

作者: Shijun Li, Yashuang Zhao, Shaopeng Xu, Shengjun Li

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-21

arXiv ID: 2603.20675v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20675v1

摘要: We consider the Keller-Segel system with logical source \begin{align*} \begin{cases} u_t = \nabla \cdot (φ(u)\nabla u) - \nabla \cdot (ψ(u)\nabla v)+f(u), & x \in Ω, ; t > 0, v_t = Δv - v + u, & x \in Ω, ; t > 0, \end{cases} \end{align*} in a smooth bounded domain $Ω\subset \mathbb{R}^n$ with $n \geq 2$, the Neumann initial-boundary value problem admits a globally defined, uniformly bounded classic solution for all sufficiently regular non-negative initial data $u_0$ and $v_0$. In the first equation, assume that $φ$ and $ψ$ are dominated by a logarithmic function and a polynomial respectively. The logical source $f$ representing the natural growth and decay of cells satisfies $f \in W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}(Ω)$ and $f(0) \geq 0$. Then we will see that the unique solution $u \in C^{2,1}((\overlineΩ) \times [0,T] )$ and $v \in W^{1,q}([0,T] ; C^{2,1}(\overlineΩ))$.

27. 具有分数阶阻尼和记忆效应的悬索桥板模型的稳定性与爆破

Stability and blow-up for a suspension bridge plate model with fractional damping and memory

作者: Iqra Kanwal, Jianghao Hao, Muhammad Fahim Aslam, Zayd Hajjej, Mauricio Sepúlveda-Cortés, Rodrigo Vejár-Asem

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20566v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20566v1

摘要: We investigate a suspension bridge model described by a nonlinear plate equation incorporating internal fractional damping and infinite memory effects. The system also includes a nonlinear source term that may induce instability. Using semigroup theory, we first establish the local well-posedness of solutions in an appropriate energy space. We then derive conditions ensuring global existence and exponential stability of solutions. In contrast, when the initial energy is negative, we prove that solutions blow up in finite time, revealing a threshold phenomenon governing the long-term dynamics of the system. To complement the analytical results, we construct a numerical approximation using Summation-By-Parts finite differences with Simultaneous Approximation Terms (SBP-SAT) for spatial discretization and a Newmark scheme for time integration. The scheme preserves the structural properties of the continuous energy framework. Numerical experiments illustrate the stability and blow-up regimes predicted by the theoretical analysis.

28. 椭圆方程稳定解的内部 $L^q$ 界缺失

Lack of interior $L^q$ bounds for stable solutions to elliptic equations

作者: Salvador Villegas

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-20

arXiv ID: 2603.20427v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.20427v1

摘要: We consider stable solutions of semilinear elliptic equations of the form $-Δu=f(u)$ in a bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^N$. In a well-known paper \cite{cfrs}, Cabré, Figalli, Ros-Oton and Serra obtained interior estimates for the $W^{1,2}$-norm of $u$ in terms of the $L^1$-norm of $u$ and proved interior Hölder regularity for dimensions $N\leq 9$. All these results rely on the assumption that $f$ is nonnegative. We show that, for general nonlinearities $f\in C^\infty(\mathbb{R})$, it is impossible, in any dimension $N\geq 1$, to obtain an interior $L^q$ estimate in terms of the $L^p$-norm of $u$ whenever $1\leq p<q\leq \infty$.