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1. 通过相对熵从非等温BGK模型到Euler-Maxwellian分布的流体动力学极限

From nonisothermal BGK to Euler Maxwellians via relative entropy

作者: Nuno J. Alves

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25487v1

摘要翻译: 我们研究非等温BGK模型向光滑Euler-Maxwellian分布的流体动力学极限。对于给定的光滑Euler解，我们推导了BGK解与相应Maxwellian分布之间的相对熵稳定性估计。主要的新要素是控制相对熵恒等式中出现的额外速度三次项。在一致的五次速度矩约束条件下，结合对BGK宏观量的适当估计，我们获得了一致时间的相对熵估计。对于预备良好的初值，这导致了BGK解和局部Maxwellian分布向目标Euler-Maxwellian分布的强$L^1$收敛，同时伴随相应宏观量的收敛。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25487v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是非等温BGK（Bhatnagar-Gross-Krook）模型在流体动力学极限下的行为。BGK模型是一类重要的动力学弛豫方程，其核心思想是使分布函数$f_\varepsilon(t,x,v)$在时间尺度$\varepsilon>0$上弛豫到由其守恒矩确定的局部Maxwellian分布。具体而言，论文考虑的方程为

$$ \partial_t f_\varepsilon + v \cdot \nabla_x f_\varepsilon = -\frac{1}{\varepsilon} \left( f_\varepsilon - M(f_\varepsilon) \right), $$

其中$M(f_\varepsilon)$是与$f_\varepsilon$具有相同质量、动量和动能的五常局部Maxwellian分布。在$d$维空间中，其具体形式为

$$ M(f_\varepsilon)(t,x,v) = \rho_\varepsilon(t,x) \exp\left(-\frac{|v-u_\varepsilon(t,x)|^2}{2\theta_\varepsilon(t,x)}\right) / (2\pi\theta_\varepsilon(t,x))^{d/2}。 $$

相应的宏观量通过积分定义：密度$\rho_\varepsilon = \int_{\mathbb{R}^d} f_\varepsilon dv$，平均速度$u_\varepsilon = \frac{1}{\rho_\varepsilon} \int_{\mathbb{R}^d} v f_\varepsilon dv$（当$\rho_\varepsilon > 0$时），以及温度$\theta_\varepsilon = \frac{1}{d\rho_\varepsilon} \int_{\mathbb{R}^d} |v-u_\varepsilon|^2 f_\varepsilon dv$（当$\rho_\varepsilon > 0$时）。

从物理上看，当$\varepsilon \to 0$时，形式上预期$f_\varepsilon$将趋近于局部Maxwellian分布，相应的矩将满足压力律为$p = \rho\theta$的可压缩Euler方程系统。论文的核心目标是在解保持光滑的时间区间内，通过相对熵方法严格证明这一流体动力学极限。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要定理建立了BGK解与目标Euler-Maxwellian之间的相对熵稳定性估计。

定理2.1：设$f_\varepsilon$是BGK方程在$[0,T) \times \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d$上的光滑非负解，且具有单位总质量。假设满足两组假设条件：(A) BGK族的一致有界性条件，包括速度场$u_\varepsilon$的$L^\infty$范数有界、温度$\theta_\varepsilon$有正的下界和上界、以及第六速度矩的一致有界性；(B) Euler背景解的光滑性条件，包括密度的正性、温度的有界性、以及速度梯度和$\nabla \log\theta$的$L^\infty$有界性。

在上述假设下，存在与$\varepsilon$无关的正常数$C$，使得相对熵满足如下微分不等式

$$ \frac{d}{dt} H(f_\varepsilon | M) \leq C \left( H(f_\varepsilon | M) + \varepsilon \right), $$

其中$M$是给定Euler解$(\rho, u, \theta)$对应的Maxwellian分布。特别地，若初始时刻的相对熵收敛于零，则在整个时间区间$[0,T)$上一致有

$$ \sup_{t \in [0,T)} H(f_\varepsilon(t) | M(t)) \to 0 \quad \text{当} \quad \varepsilon \to 0。 $$

推论2.2：在定理2.1的假设下，初始相对熵收敛于零意味着以下收敛结果：$f_\varepsilon$和局部Maxwellian $M(f_\varepsilon)$在$L^\infty(0,T; L^1(\mathbb{R}^{2d}))$中强收敛于$M$；相应的宏观量密度、动量和能量密度在$L^\infty(0,T; L^1(\mathbb{R}^d))$中分别收敛于$\rho$、$\rho u$和$\rho\theta$。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心方法是相对熵（relative entropy）方法，该方法在稳定性理论和流体动力学极限研究中有着广泛的应用。

相对熵的定义：对于相空间中的非负密度函数$f$和正密度$g$，定义相对熵为

$$ H(f | g) = \iint_{\mathbb{R}^{2d}} f \log\left(\frac{f}{g}\right) dvdx。 $$

在相对熵恒等式的推导中，关键步骤是计算$(\partial_t + v \cdot \nabla_x) \log M$，其中$M$是目标Maxwellian分布。设$c = v - u(t,x)$，直接计算可得

$$ (\partial_t + v \cdot \nabla_x) \log M = \frac{1}{\theta} \left( c \otimes c - \frac{|c|^2}{d} I \right) : \nabla_x u + c \cdot \nabla_x \log \theta - \frac{d+2}{2\theta} |c|^2。 $$

这一计算揭示了相对熵时间导数中的三项：弛豫项、无迹应力张量项，以及新发现的附加速度三次项。

关键技术突破：本文的主要创新在于成功控制了相对熵恒等式中出现的额外速度三次项。通过利用一致的第六速度矩界$\sup_{t} \iint |v|^6 f_\varepsilon dvdx \leq A$以及对BGK宏观量的适当假设，可以在光滑区域内完成该项的控制。最终得到Grönwall型估计

$$ \frac{d}{dt} H(f_\varepsilon | M) \leq - \frac{1}{\varepsilon} D_\varepsilon(t) + R_u(t) + R_\theta(t), $$

其中$D_\varepsilon(t)$是非负的耗散项，$R_u(t)$和$R_\theta(t)$是可以通过相对熵本身控制的余项。

辅助工具：论文使用了多个重要工具，包括Csiszár-Kullback-Pinsker不等式$\|f - g\|_{L^1}^2 \leq 2H(f|g)$、Maxwellian之间的相对熵显式公式、以及一系列辅助不等式用于控制加权距离。

4. 与之前工作的比较

本文的工作建立在前人关于相对熵方法和BGK模型研究的丰富成果基础之上，同时在多个方面取得了实质性进展。

方法论传承：相对熵在稳定性理论中的应用可追溯至Dafermos的工作，并经由Tzavaras系统发展，用于流体动力学极限和双曲弛豫问题。在动力学框架下，Berthelin和Vasseur首次建立了通过相对熵方法证明BGK模型在激波形成前收敛到多维Euler方程的严格结果，针对压力律为$p(\rho) = \rho^\gamma$（$\gamma > 1$）的情形。

主要创新差异：与之前最接近的BGK流体动力学极限结果相比，本文处理的是完整的非等温情形，其中压力$p(\rho,\theta) = \rho\theta$，温度作为额外的未知量参与演化。具体而言，之前的工作主要关注压力仅依赖于密度的简化模型，而本文首次以这种形式处理了完整的非等温BGK极限到Euler-Maxwellian分布的严格证明。论文成功识别并处理了非等温情形相对熵恒等式中额外出现的热通量项，这是等温情形中不存在的技术难点。

相关研究脉络：论文还提及了Berthelin和Bouchut关于BGK系统通过有限能量、动力学熵和不变域方法弛豫到气体动力学模型的一系列研究，以及Berthelin、Tzavaras和Vasseur关于离散速度模型的工作。此外，Choi、Hwang、Koo、Song等人在BGK型模型的弱解、经典解和温和解理论方面也取得了重要进展，这些共同构成了理解BGK模型动力学行为的完整理论框架。

2. 广义Constantin-Lax-Majda模型的自相似有限时间爆破与奇异轮廓：理论与数值研究

Self-similar finite-time blowups with singular profiles of the generalized Constantin-Lax-Majda model: theoretical and numerical investigations

作者: De Huang, Jiajun Tong, Xiuyuan Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25104v1

摘要翻译: 我们研究了带有参数 $a$ 的广义Constantin-Lax-Majda模型的自相似有限时间爆破问题，该问题源于一种新的设定，其中光滑的初始数据满足特定的导数退化条件。在此设定下，我们的数值研究揭示了依赖于参数 $a$ 符号的不同自相似爆破行为。对于 $a>0$ 的情况，我们观察到单尺度自相似爆破，其轮廓是规则的，且在以往研究中未被报道。相比之下，对于 $a\le 0$ 的情况，我们发现了一种新型的双尺度自相似爆破场景，其中外层轮廓在爆破时刻收敛到一个奇异函数，而内层轮廓在更小的尺度上保持规则。相应地，对于 $a<0$ 的情况，我们构造了一个由参数 $a$ 参数化的奇异自相似轮廓族，并给出了明确的表达式，同时证明这些轮廓与数值模拟中得到的极限轮廓吻合良好。特别地，对于 $a=0$ 的特定情况，我们严格证明了外层轮廓在自相似坐标下收敛到一个明确的奇异函数。此外，通过展示外层轮廓奇异点周围的局部内层轮廓行为受一个更小尺度上的行波控制，我们证明了该场景中爆破的双尺度性质。为支持这一观察，我们通过不动点方法严格建立了这种行波解的存在性。

Comment: 55 pages, 19 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25104v1

1. 研究对象和背景

本文研究广义Constantin-Lax-Majda (gCLM) 方程

$$ \omega_t + a u \omega_x = u_x \omega, \quad u_x = \mathcal{H}(\omega) $$

其中 $x \in \mathbb{R}$，$\mathcal{H}(\cdot)$ 表示实数轴上的Hilbert变换。该方程是三维不可压缩Euler方程涡量形式的简化模型，用于研究平流与涡量拉伸之间的竞争关系。在方程中，$\omega$ 表示涡量，非线性项 $u\omega_x$ 和 $u_x \omega$ 分别建模平流项和涡量拉伸项。三维Biot-Savart定律（从涡量恢复速度）的缩放性质与原始Biot-Savart定律相同，这在 $u_x = \mathcal{H}(\omega)$ 中得到体现。

三维不可压缩Euler方程的光滑初始数据有限能量全局正则性问题是流体力学中最具挑战性的开放问题之一。涡量拉伸效应有可能在有限时间内引起涡量的无限增长。Elgindi [Elg21] 在轴对称情形下从 $C^{1,\alpha}$ 初始速度首次构造了（稳定的）自相似有限时间爆破。Chen和Hou [CH22, CH25] 使用严格的计算机辅助证明首次表明，在固体边界存在的情况下，三维涡量拉伸实际上可以主导平流并导致来自光滑初始数据的渐近自相似有限时间奇点。

gCLM模型（参数 $a$ 可调）由Okamoto、Sakajo和Wunsch [OSW08] 引入，用于修改平流在对抗涡量拉伸竞争中的效应。当 $a=0$ 时退化为原始Constantin-Lax-Majda模型 [CLM85]，Demonstrating非局部涡量拉伸项可以在无平流情况下导致有限时间爆破。当 $a=1$ 时退化为DeGregorio模型 [DG90, DG96]。

本文关注的核心问题是：当光滑初始数据满足导数退化条件（即 $\omega'(0) = 0$）时，gCLM方程是否能发展出具有奇异profile的自相似有限时间爆破？这与之前假设初始数据在爆破点处具有非零导数（即 $\omega'(0) \neq 0$）的研究形成对比。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要理论贡献涵盖三个关键方面。

第一，对于 $a=0$ 且具有奇对称退化初始数据的情况，在特定假设和归一化条件下证明了（外层）profile收敛到精确的奇异函数，从而建立了具有奇异profile的渐近自相似爆破。设 $\Omega(X,\tau)$ 为动态重缩放坐标系下的profile函数，则当 $\tau \to +\infty$ 时，$\Omega(X,\tau)$ 收敛到某个奇异极限profile $\bar{\Omega}(X)$，该profile在特定点（如 $X = \pm 1$）处变为无穷大。这建立了渐近自相似爆破形式

$$ \lim_{t \to T^-} (T-t) \cdot \omega((T-t)^\gamma X, t) = \bar{\Omega}(X) $$

其中 $\bar{\Omega} \notin L^\infty$。

第二，对于 $a < 0$，构造了一族精确自相似解，其形式为

$$ \omega(x,t) = (T-t)^{-1} \bar{\Omega}_a\left(\frac{x}{(T-t)^\gamma}\right) $$

具有显式表达的奇异自相似profiles $\bar{\Omega}_a$（参数化为 $a$）。这些profiles给出了精确自相似解的形式（尽管此时 $\omega$ 仅能被理解为弱解）。具体而言，对于每个 $a < 0$，存在一个奇异profile $\bar{\Omega}_a$ 使得上述表达式是gCLM方程的精确解。数值模拟进一步表明，对于初始数据的特定设置，profile $\Omega_a(X,\tau)$ 收敛到这个显式奇异profile。

第三，对于所有 $a < 1$，证明了gCLM模型存在行波解。对于 $a \leq 0$ 的情况，当在（外层）profile $\Omega(X,\tau)$ 的奇点附近放大时，观察到解具有另一个内部（更小）尺度的内层profile，即解具有双尺度行为。设较大尺度为 $(T-t)^\gamma$，并设 $|\omega|$ 最大点的轨迹为 $x = r(t)(T-t)^\gamma$。在该点附近放大后，适当重缩放幅度后的内层profile在次级空间尺度 $(T-t)^{\hat{\gamma}}$（其中 $\hat{\gamma} > \gamma$）上保持正则。因此解呈现双尺度渐近形式

$$ \omega(x,t) = (T-t)^{\hat{\lambda}} \Omega_{\text{inner}}\left(\frac{x - r(t)(T-t)^\gamma}{(T-t)^{\hat{\gamma}}}\right) + o(1) $$

其中 $\Omega_{\text{inner}}$ 是正则内层profile，且 $\hat{\lambda} < -1$。观察到 $\hat{\lambda} < -1$ 表明 $|\omega|$ 的最大值增长速度超过 $(T-t)^{-1}$，这在文献中有时被称为II型爆破。通过形式渐近分析证明了内层profile（如果存在）必须是gCLM模型的精确行波解，并利用不动点方法证明了这类行波解的存在性。

数值结果同样重要。对于 $a > 0$，光滑退化初始数据可以导致具有正则profile的自相似有限时间爆破，这些profile与初始数据具有相同类型的导数退化。对于 $a < 0$，光滑退化初始数据可以导致具有奇异profile的自相似有限时间爆破，在特定设置下profile收敛到显式奇异profile $\bar{\omega}_a$。此外，提供了退化初始数据 $a < 0$ 情况下自相似爆破双尺度行为的数值证据，并表明内层profile在较小尺度上收敛到行波解。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文采用动态重缩放方法研究自相似有限时间爆破。该方法的核心思想是引入时间依赖的变量变换，考虑

$$ \omega(x,t) = C_\omega^{-1}(\tau) \Omega(C_l(\tau) x, \tau) $$

其中累积缩放因子定义为

$$ C_\omega(\tau) = \exp\left(\int_0^\tau c_\omega(s) ds\right), \quad C_l(\tau) = \exp\left(\int_0^\tau c_l(s) ds\right) $$

分别表示 $\omega$ 的幅度爆破和爆破的空间尺度。动态重缩放时间 $\tau$ 与物理时间 $t$ 的关系由 $\tau'(t) = C_\omega(\tau)^{-1}$ 隐式确定。

通过此变换，gCLM方程转化为动态重缩放方程

$$ \Omega_\tau + (c_l X + a U)\Omega_X = (c_\omega + U_X)\Omega, \quad U_X = \mathcal{H}(\Omega) $$

其中 $U$ 由Hilbert变换与 $\Omega$ 关联，积分表达式为

$$ U(X,\tau) = \int_{\mathbb{R}} \ln\left|\frac{X-Y}{Y}\right| \Omega(Y,\tau) dY $$

稳定状态满足自相似profile方程

$$ (c_l X + a \bar{U})\bar{\Omega}_X = (c_\omega + \bar{U}_X)\bar{\Omega}, \quad \bar{U}_X = \mathcal{H}(\bar{\Omega}) $$

其中 $\bar{U}$ 与 $\bar{\Omega}$ 的关系同上。如果稳定状态 $(c_l, c_\omega)$ 收敛到某常数 $(c_l, c_\omega)$，则解 $\omega(x,t)$ 以渐近自相似方式爆破。

关于归一化条件的设置，由于profile方程具有缩放不变性（若 $(\bar{\Omega}, c_l, c_\omega)$ 是解，则 $(\alpha\bar{\Omega}(\beta X), \alpha c_l, \alpha c_\omega)$ 也是解），需要施加两个归一化条件来唯一确定profile。第一个条件是固定profile在爆破点的斜率：$\Omega_X(0,\tau) = \Omega_X(0,0)$，这直接给出 $c_l = c_\omega + (1-a)U_X(0,\tau)$。第二个归一化条件根据具体问题可能有多种选择。

数值模拟方面，本文进行了详细的动态重缩放方程数值求解，通过监测profile $\Omega(X,\tau)$ 的演化来研究爆破行为。关键步骤包括：选择满足导数退化条件 $\Omega'(0) = 0$ 的奇对称初始数据，设置合适的归一化条件，跟踪profile的收敛性，验证外层profile收敛到奇异极限，内层profile收敛到行波解。

对于 $a < 0$ 的显式奇异profile构造，本文给出了封闭形式的表达式。数值验证表明这些显式profiles与动态重缩放模拟中观察到的极限profile高度吻合。

不动点方法用于证明行波解的存在性。通过建立适当的不动点问题，证明对于所有 $a < 1$，存在满足行波方程的解 $\Omega_{\text{TW}}(X)$，并建立这些解的正则性和尾部估计。

4. 与之前工作的比较

在gCLM模型的自相似爆破研究中，本文的工作与之前文献存在显著差异。

从初始数据性质来看，此前的稳定自相似爆破profile（如 [CC09, EJ20, LSS21, Che20, CHH21, HTW23, HQWW24, WBM+25] 中构造的）都是内部光滑或至多Hölder连续，且假设初始数据为奇对称并在预期爆破点具有非零导数（即 $\omega'(0) \neq 0$），这类初始数据被称为非退化初始数据。本文则专门研究退化初始数据（$\omega'(0) = 0$）下的爆破行为，发现了全新的爆破场景。

从profile性质来看，对于 $a > 0$，本文发现的单尺度自相似爆破具有正则profile，但具有与初始数据相同的导数退化特性，这是文献中首次报道的退化自相似profiles。对于 $a \leq 0$，本文发现了具有奇异profile（不在 $L^\infty$ 中）的自相似爆破，这与所有之前研究的非退化初始数据情况下的自相似爆破截然不同。具体而言，外层profile收敛到奇异函数，在特定点（如 $X = \pm 1$）处趋于无穷大，而内层profile保持正则。

从爆破类型来看，本文揭示的双尺度爆破现象特别值得关注。较大尺度（外层）上的profile趋于奇异，而围绕外层profile奇点的较小尺度（内层）上，解呈现行波行为。这与Hou和Huang [HH22] 在三维轴向不可压缩Euler方程中数值观察到的潜在双尺度自相似爆破机制遥相呼应。文献 [HQW25] 对于原始CLM模型（$a=0$）建立了类似的II型爆破机制，但本文进一步严格处理了外层profile的渐近行为。

从理论贡献来看，[HQWW24] 建立了所有 $a \leq 1$ 的内部光滑自相似profiles的统一存在性结果，而本文为 $a < 0$ 额外构造了一族奇异profiles（不在 $L^\infty$ 中）。[CC09] 中构造的通用奇异profile $\bar{\Omega}_1$ 与本文构造的profiles在形式和性质上均不同，且该文未给出从光滑初始数据出发能否达到这种profile的证据。

从方法论角度，本文综合运用了动态重缩放方程的数值模拟、显式解构造、不动点定理以及严格的收敛性证明。数值模拟揭示了全新的现象（单尺度正则profile、双尺度行为、行波内层），理论分析则提供了严格的支持（$a=0$ 时外层profile收敛到奇异函数、$a<0$ 的显式奇异profiles、所有 $a<1$ 的行波解存在性）。

综上，本文的研究不仅扩展了我们对gCLM模型有限时间奇点形成机制的理解，也为理解三维不可压缩Euler方程等更复杂系统的爆破行为提供了重要洞见。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 连续方程（非线性）解之间瓦瑟斯坦距离的新公式

A new formula for the Wasserstein distance between solutions to (nonlinear) continuity equations

作者: José A. Carrillo, Piotr Gwiazda, Jakub Skrzeczkowski

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25634v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25634v1

摘要翻译

中文标题: 连续方程（非线性）解之间瓦瑟斯坦距离的新公式

摘要翻译:

给定两个具有依赖于密度的速度场的连续方程，我们根据在相同密度处取值的速度差，给出其解之间瓦瑟斯坦距离的一个新公式。该公式在推导奇性极限的定量估计和收敛率方面尤为适用。我们通过多个例子予以说明。对于指数为 $m$ 的多孔介质方程，我们证明了关于指数 $m$ 的利普希茨连续性，这是Bénilan和Crandall结果的定量版本。该结果可以推广到一般的聚集-扩散方程。我们还研究了 $m \to \infty$ 的极限（即所谓的台地问题或不可压极限），并得到了收敛率 $1/{\sqrt{m}}$。最后，我们将二次多孔介质方程的非局部到局部收敛的收敛率从最近得到的 $\sqrt{\varepsilon}$ 提升到数值预测的 $\varepsilon$ 级别。

2. 双拉普拉斯算子非自治薛定谔方程的局部衰减估计

Local decay estimates for the bi-Laplacian Nonautonomous Schrödinger equation

作者: Jiayan Wu, Ting Zhang, Ruze Zhou

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25553v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25553v1

摘要翻译

中文标题: 双拉普拉斯算子非自治薛定谔方程的局部衰减估计

摘要翻译: 本文建立了具有时间依赖（特别地，拟周期）势能的双拉普拉斯算子薛定谔方程在空间维度 $n\ge14$ 下的局部衰减估计。此外，在更强的谱正则性假设下，相同结果可推广至维度 $n\ge9$。我们的方法基于渐近完备性和通道波算子的存在性，区别于标准的预解式方法。此外，我们由局部衰减估计推导出全局时间的Strichartz估计。

3. 波-流-地形相互作用的重新审视：建模、分析与渐近分析

Wave-Current-Bathymetry Interaction Revisited: Modeling, Analysis and Asymptotics

作者: Adrian Kirkeby, Trygve Halsne

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25435v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25435v1

摘要翻译

中文标题: 波-流-地形相互作用的重新审视：建模、分析与渐近分析

摘要翻译:

本文研究了线性状态下表面重力波在可变流和地形上的传播问题。主导阶问题以表面变量、表面流和依赖于地形的狄利克雷-诺伊曼（DN）算子的形式进行表述。随后，利用双曲型伪微分算子系统理论建立了该支配偏微分方程的适定性。接下来，本文考虑了波在缓慢变化环境中的渐近分析：证明了依赖于地形的符号 $g_b(X,ξ)=|ξ|\tanh(b(X)|ξ|)$ 的半经典Weyl量子化既具有渐近精确性，又与DN算子的自伴结构相容，并推导了渐近分析所需的关键性质。随后，本文研究了能量动力学，得到了波总能量演化的新方程。此外，基于DN算子Weyl量子化的渐近表面模型能够恢复已知的渐近模型，如波作用方程、缓坡方程、薛定谔方程和作用平衡方程，从而为波-流-地形相互作用的线性理论提供了统一框架。本文 throughout 包含了若干数值实验以说明理论结果。

4. mKdV型方程解析半径的演化研究

Evolution of the radius of analyticity for mKdV-type equations

作者: Renata O. Figueira, Mahendra Panthee

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25427v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25427v1

摘要翻译

中文标题: mKdV型方程解析半径的演化研究

摘要翻译:

本文针对两个初值问题（IVPs），在初始数据属于由双曲余弦权重定义的解析函数空间 $H^{σ,s}(\mathbb{R})$ 的条件下，获得了其解的解析半径演化的新下界。首先，我们研究了修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程的初值问题。针对该问题，我们证明了该解的解析半径 $σ(T)$ 的演化存在代数下界 $cT^{-\frac 12}$（$c>0$ 为某常数），且该结论对任意给定的较大时间 $T>0$ 成立。接下来，我们分析了具有广义色散的mKdV方程（mKdVm）带阻尼项的初值问题。针对该问题，我们确保了其在 $H^{σ,s}(\mathbb{R})$ 空间中的局部适定性，并证明了该局部解可以在时间上整体延拓，且解析半径 $σ(t)$ 随时间趋于无穷大时存在常数下界。本文关于mKdV方程的结果改进了作者此前在文献[R. O. Figueira and M. Panthee, New lower bounds for the radius of analyticity for the mKdV equation and a system of mKdV-type equations, J. Evol. Equ. 24 No. 42 (2024)]中所获得的结果。据我们所知，关于带阻尼项的mKdVm方程的结果是新的。

5. Bukhgeim-Klibanov方法的改进

Arefinement of the Bukhgeim-Klibanov method

作者: Suliang Si

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25205v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25205v1

摘要翻译

中文标题: Bukhgeim-Klibanov方法的改进

摘要翻译: 本文改进了文献[1]中提出的经典Bukhgeim-Klibanov方法，该方法可用于证明双曲型方程逆源问题在子边界测量数据下的条件稳定性证明。我们的证明主要依赖于一个新颖的Carleman估计。该不等式消除了在时间上延拓解的必要性，因此简化了现有证明，并且可广泛应用于各类发展方程。

6. 关于 $ψ_Ω$ 临界点的唯一性

On the uniqueness of the critical point of $ψ_Ω$

作者: Junyuan Liu, Shuangjie Peng, Fulin Zhong

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25096v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25096v1

摘要翻译

中文标题: 关于 $ψ_Ω$ 临界点的唯一性

摘要翻译: 我们证明，对于任意有界凸域 $Ω\subset \mathbb{R}^n$，函数 \begin{equation*} ψ_Ω(ξ) = \int_{\mathbb{R}^n\setminusΩ} \frac{\mathrm{d}x}{|x-ξ|^{2n}}, \quad ξ\inΩ, \end{equation*} 恰好存在一个临界点。这证实了 Clapp、Pistoia 和 Saldaña 在 [J. Math. Pures Appl. 205 (2026), 103783] 中提出的一个猜想。证明利用球坐标表示将 $ψ_Ω$ 写成距离函数 $ρ(ξ,ω)$ 的积分形式。这种方法不仅局限于 $ψ_Ω$，它还提供了一个通用框架来分析一大类涉及边界距离的泛函。我们还研究了非凸域的情形。特别地，单个圆环具有一整圈临界点，而多个同心圆环则产生有限个临界球面。这些例子表明，凸性假设对于唯一性结论是必不可少的。这里发展的处理涉及距离函数的球面积分的方法，在其他几何和分析情境中可能具有广泛应用价值。

7. 一类具有边界点退化的退化抛物型方程的形状设计及其在边界可观控性中的应用

Shape Design for a Class of Degenerate Parabolic Equations with Boundary Point Degeneracy and Its Application to Boundary Observability

作者: Donghui Yang, Jie Zhong

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25028v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25028v1

摘要翻译

中文标题: 一类具有边界点退化的退化抛物型方程的形状设计及其在边界可观控性中的应用

摘要翻译:

我们研究了一类在N≥2维空间中具有边界点退化的退化抛物型方程，并通过形状设计方法研究了相关的边界可观控性问题。虽然文献中已经处理过的一维退化模型，但真正的高维情况仍然更为复杂，因为退化发生在边界点，奇点附近的边界法向迹无法直接提取。我们通过在截断区域上考虑一致抛物型问题族来逼近原退化方程，这些截断区域是通过去除退化点的小邻域得到的。在边界满足几何条件下，我们建立了近似问题的一致估计，证明了其收敛于原退化方程的解，并在额外正则性条件下识别了边界法向导数的收敛性。随后，我们将该逼近格式与近似逆向方程的抛物型Carleman估计相结合，推导出极限退化方程的边界可观控性不等式。由此，我们得到了先前为退化双曲型方程所发展的形状设计程序在抛物型方程中的高维推广。

8. 带扰动的Hartree方程的稳定驻波的最佳指数

Sharp Exponent of Stable Standing Waves for the Perturbated Hartree Equation

作者: Guoyi Fu, Shanshan Fu, Xiaoguang Li, Jian Zhang, Shihui Zhu

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.24978v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.24978v1

摘要翻译

中文标题: 带扰动的Hartree方程的稳定驻波的最佳指数

摘要翻译: 本文研究带有聚焦扰动的质量临界Hartree方程的驻波稳定性问题，采用变分方法进行研究。通过运用轮廓分解理论证明了交叉约束变分问题的可达性，进而推导出两个交叉约束变分问题之间的比较结果。在无任何频率约束的条件下，获得了驻波的爆破最佳准则、轨道稳定性以及强不稳定性结果。该工作改进了Zhang (2005)提出的交叉约束变分方法。

翻译说明：

  • “Sharp"在数学文献中通常译为"最佳"或"最优”，表示精确、尖锐的临界指标
  • “Blowup"在偏微分方程理论中标准译法为"爆破”
  • “Orbital stability"译为"轨道稳定性”，是动力学系统中描述解有界性的标准术语
  • “Cross constrained variational problem"译为"交叉约束变分问题”，对应数学文献中的专业表述
  • “Profile decomposition"译为"轮廓分解”，是调和分析中的标准术语

9. 关于半线性Neumann问题模式的一些注记

Some remarks on patterns for semilinear Neumann problems

作者: Marta Calanchi, Giulio Ciraolo, Francesca Messina

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-25

arXiv ID: 2603.24760v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.24760v1

摘要翻译

中文标题: 关于半线性Neumann问题模式的一些注记

摘要翻译:

我们研究有界区域中带齐次Neumann边界条件的半线性椭圆方程 \begin{equation*} \begin{cases} -Δu = f(u) & \text{在 } Ω \text{ 中}, \ \partial_νu = 0 & \text{在 } \partialΩ \text{ 上}, \end{cases} \end{equation*} 。Casten-Holland和Matano的经典结果表明，在凸区域中稳定的非常数解不可能存在，尽管不稳定的空间模式仍可能出现。本文在不假设稳定性的条件下研究经典解的刚性性质，旨在识别非线性项的结构条件以确保所有解都是常数。我们证明了只要非线性项满足适当的"单调性"条件，Neumann问题的所有经典解就都是常数，该条件涵盖了非线性项具有固定符号或在其中一个零点附近以受控方式变号的情形。这一刚性结果仅依赖于非线性项的结构，而不需要区域具有凸性假设。我们还通过构造存在非常数解的非线性项例子来讨论假设条件的尖锐性。特别地，受Lin-Ni-Takagi方法的启发，我们在维度$N=2$中考虑指数型非线性项，并证明当参数穿过临界阈值时，对于足够小的扩散系数，相应的Neumann问题存在非平凡且非常数的解。

10. 广义Zakharov-Kuznetsov方程在$\mathbb{R} \times \mathbb{T}$上的低正则性整体适定性理论及高阶Sobolev范数的多项式增长

Low-regularity global well-posedness theory for the generalized Zakharov-Kuznetsov equation on $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$ and polynomial growth of higher Sobolev norms

作者: Jakob Nowicki-Koth

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-25

arXiv ID: 2603.24737v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.24737v1

摘要翻译

中文标题: 广义Zakharov-Kuznetsov方程在$\mathbb{R} \times \mathbb{T}$上的低正则性整体适定性理论及高阶Sobolev范数的多项式增长

摘要翻译: 本文研究k-广义Zakharov-Kuznetsov方程（k-gZK）在$\mathbb{R}^2$和$\mathbb{R} \times \mathbb{T}$上的Cauchy问题。通过在I方法框架下应用现有及近期发展的线性和双线性Strichartz型估计，我们得到以下结果：

$\bullet$ Zakharov-Kuznetsov方程在$H^s(\mathbb{R} \times \mathbb{T})$中对所有$s>\frac{11}{13}$是整体适定的。

$\bullet$ 修正的Zakharov-Kuznetsov方程在$H^s(\mathbb{R}^2)$中对所有$s>\frac{2}{3}$是整体适定的，在$H^s(\mathbb{R} \times \mathbb{T})$中对所有$s>\frac{36}{49}$是整体适定的。

此外，我们证明了k-gZK的光滑整体实值解的$H^s(\mathbb{R} \times \mathbb{T})$-范数在时间上至多多项式增长，其中$k\geq 1$。

不相关论文（基本信息）

1. 椭圆性退化各向异性等周问题的几乎临界点气泡化

Bubbling of almost critical points of anisotropic isoperimetric problems with degenerating ellipticity

作者: Mario Santilli

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25644v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25644v1

摘要: Given a sequence of uniformly convex norms $ φ_h $ on $ \mathbf{R}^{n+1} $ converging to an arbitrary norm $ φ$, we prove rigidity of $ L^1 $-accumulation points of sequences of sets $ E_h \subseteq \mathbf{R}^{n+1} $ of finite perimeter, that are volume-constrained almost-critical points of the anisotropic surface energy functionals associated with $ φ_h $. Here, almost criticality is measured in terms of the $ L^n $-deviation from being constant of the distributional anisotropic mean $ φ_h $-curvature of (the varifold associated to) of the reduced boundaries of $ E_h $. We prove that such limits are finite union of disjoint, but possibly mutually tangent, $ φ$-Wulff shapes.

2. Pucci极值算子弱耦合系统的存在性与多重性结果

Existence and Multiplicity results for Weakly coupled system of Pucci’s extremal operator

作者: Karan Rathore, Mohan Mallick

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25627v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25627v1

摘要: In this work, we investigate the existence of multiple positive solutions for a weakly coupled system of nonlinear elliptic equations governed by Pucci extremal operators. Specifically, we consider the system:

$$ \begin{cases} -{M}_{λ_1,Λ_1}^+(D^2u_1) = μf_1(u_1, u_2, \dots, u_n), & \text{in } Ω, \\ -{M}_{λ_2,Λ_2}^+(D^2u_2) = μf_2(u_1, u_2, \dots, u_n), & \text{in } Ω, \vdots \\ -{M}_{λ_n,Λ_n}^+(D^2u_n) = μf_n(u_1, u_2, \dots, u_n), & \text{in } Ω, \\ u_1 = u_2 = \dots = u_n = 0, & \text{on } \partialΩ, \end{cases} $$

where $ {M}_{λ,Λ}^+ $ represents the Pucci extremal operator, $ Ω$ is a bounded domain in $ \mathbb{R}^N $ with smooth boundary, and the nonlinear functions $ f_i: [0, \infty)^n \to [0, \infty) $ belong to the $ C^{1,α} $ class. Our main results establish the existence and multiplicity of solutions for sufficiently large values of the parameter $ μ> 0 $. The analysis relies on the method of sub and supersolutions, in conjunction with fixed-point arguments and bifurcation techniques.

3. 半经典算子的WKB方法：如何飞跃焦散（及更多）

WKB for semiclassical operators: How to fly over caustics (and more)

作者: San Vũ Ngoc

类别: math.SP, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25601v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25601v1

摘要: The method initiated by Wentzel, Kramers, and Brillouin to find approximate solutions to the Schrödinger equation lies at the origin of the spectacular development of microlocal and semiclassical analysis. When used naively, the approach appears to break down at caustics, but Maslov showed how a simple generalization could overcome this difficulty. In this paper, after a partial historical review, we take advantage of more recent advances in microlocal analysis to present a unified treatment of this generalized Maslov-WKB method, using a microlocal sheaf-theoretic approach. This framework provides a rigorous proof of the Bohr Sommerfeld Einstein Brillouin Keller quantization conditions for the eigenvalues of general semiclassical operators (pseudodifferential and Berezin Toeplitz) in one degree of freedom. We also review some applications and extensions.

4. 具有时空依赖生长源和非线性产生项的分数阶吸引-排斥趋化系统

A fractional attraction-repulsion chemotaxis system with time-space dependent growth source and nonlinear productions

作者: Liyan Song, Qingchun Li, Yang Cao

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25569v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25569v1

摘要: This paper studies a fractional attraction-repulsion system with time-space dependent growth source and nonlinear productions: \begin{equation*} \left{ \begin{aligned}\label{1.1} &u_t = -(-Δ)^αu - χ_1 \nabla \cdot (u \nabla v_1) + χ_2 \nabla \cdot (u \nabla v_2) + a(x,t)u - b(x,t)u^γ, &x \in \mathbb{R}^N, , t > 0, \ &0 = Δv_1 - λ_1 v_1 + μ_1 u^k, &x \in \mathbb{R}^N, , t > 0, \ &0 = Δv_2 - λ_2 v_2 + μ_2 u^k, &x \in \mathbb{R}^N, , t > 0. \end{aligned} \right. \end{equation*} We first establish the global boundedness of classical solutions with nonnegative bounded and uniformly continuous initial data in two different cases: $γ\geq k + 1$ and $γ< k + 1$, respectively. For a fixed $γ$, when $k$ exceeds the critical value $γ- 1$, a larger $b$ must be chosen to suppress the blow-up of the solution. Moreover, we show the persistence of the global solutions for both cases $γ= k + 1$ and $γ\neq k + 1$.

5. k-Hessian方程的一致估计与Brezis-Merle型不等式

Uniform estimates and Brezis-Merle type inequalities for the $k$-Hessian equation

作者: Jie Deng, Haibin Wang, Bin Zhou

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25511v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25511v1

摘要: In this paper, we prove a Brezis-Merle type inequality for $k$-convex functions vanishing on the boundary. As an application, we establish an Alexandrov-Bakelman-Pucci type estimate for the intermediate Hessian equation. Furthermore, we establish a concentration-compactness principle for the blow-up behavior of solutions to the Liouville type $k$-Hessian equations.

6. 第一个非平凡Steklov-Neumann特征值的最佳估计及其几何性质

Sharp bounds and geometric properties of the first non trivial Steklov Neumann Eigenvalue

作者: Sagar Basak, Gloria Paoli, Rossano Sannipoli, Sheela Verma

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25448v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25448v1

摘要: In this article, we study the mixed Steklov–Neumann eigenvalue problem on doubly connected domains. First, we show that among all doubly connected domains in $\mathbb{R}^n$ of the form $B_{R_2}\setminus \overline{B_{R_1}}$, where $B_{R_1}$ and $B_{R_2}$ are open balls of fixed radii satisfying $\overline{B_{R_1}} \subset B_{R_2}$, the first non-zero Steklov–Neumann eigenvalue attains its maximal value when the balls are concentric. Next, we establish bounds for the first non-zero Steklov–Neumann eigenvalue on a doubly connected star-shaped domain contained in a hypersurface equipped with a revolution-type metric. We also derive the asymptotic behavior of the first non-zero Steklov–Neumann eigenvalue on a bounded domain with a spherical hole in $\mathbb{R}^n$ as the radius of the hole approaches zero. Finally, we study the number of nodal domains of the eigenfunction corresponding to the first non zero Steklov–Neumann eigenvalue on a bounded domain in $\mathbb{R}^n$ having a spherical hole.

7. 异质Cahn-Hilliard泛函中的低正则性势

Low regularity potentials in heterogeneous Cahn–Hilliard functionals

作者: Riccardo Cristoferi, Jakob Deutsch, Luca Pignatelli

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25369v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25369v1

摘要: In this paper, we study the prototypical model of liquid-liquid phase separation, the Cahn-Hilliard functional, in a highly irregular setting. Specifically, we analyze potentials with low regularity vanishing on space-dependent wells. Under remarkably weak hypotheses, we establish a robust compactness result. Strengthening the regularity of the wells and of the growth of the potential close to the wells only slightly, we completely characterize the asymptotic behavior of the associated family of functionals through a $Γ$-convergence analysis. As a notable technical result, we prove the existence of geodesics for a degenerate metric and establish a uniform bound on their Euclidean length.

8. 关于无穷集中极小化子附近的精确定量稳定性结果

A sharp quantitative stability result near infinitely concentrated minimisers

作者: Melanie Rupflin, Sebastian Woodward

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25361v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25361v1

摘要: We consider the question of quantitative stability of minimisers for a well-known variational problem for which the infimum of the energy is not achieved in the classical sense, namely for the Dirichlet energy of degree $1$ maps from closed surfaces $(Σ,g_Σ)$ of positive genus into the unit sphere $S^2\subset \mathbb{R}^3$. For this variational problem it is natural to view configurations which consist of a constant map from the given domain and an infinitely concentrated rotation as generalised minimisers and to hence ask whether the distance of almost minimisers $v:Σ\to S^2$ to this set of infinitely concentrated minimisers can be controlled in terms of the energy defect $δ_v=E(v)-\inf E=E(v)-4π$. In this paper we develop a new dynamic approach that allows us to change the topology of the domain in a well controlled manner and to deform almost minimising maps from surfaces of general genus into harmonic maps from the sphere in a way that yields sharp quantitative estimates on all key features that characterise the distance to the set of infinitely concentrated minimisers, i.e. the scale of concentration, the $H^1$-distance to the nearest bubble on the concentration region and the $H^1$-distance to the nearest constant away from the concentration point.

9. 一个球形平坦性指数与调和伪球面的稳定性不等式

A spherical flatness index and a stability inequality for harmonic pseudospheres

作者: Andrea Buffoni, Giovanni Cupini, Ermanno Lanconelli

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25231v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25231v1

摘要: We introduce a new flatness index for the boundary of an open subset $Ω$ of $\mathbb{R}^n$, $n\ge 2$. This index provides a necessary condition for $\partialΩ$ to be a harmonic pseudosphere and sufficient conditions for a harmonic pseudosphere to be a Euclidean sphere. These conditions will follow from a stability inequality formulated in terms of a harmonic invariant, the Kuran gap, recently introduced by the last two authors.

10. 广义Mehler半群的超压缩性性质

Hypercontractivity type property for generalized Mehler semigroups

作者: Luciana Angiuli, Simone Ferrari

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25177v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25177v1

摘要: We investigate the hypercontractivity property of generalized Mehler semigroups on the $L^p$-scale with respect to invariant measures. This property is first obtained in the purely theoretical setting of skew operators and, subsequently, deduced for generalized Mehler semigroups arising from linear stochastic differential equations perturbed by Lévy noise. When the associated invariant measure $μ$ lacks a purely Gaussian structure, jump components may prevent the validity of Nelson’s classical $L^p$-$L^q$ estimates. However, a summability-improving property can be obtained in the setting of mixed-norm spaces $\mathcal{X}_{p,q}(E;γ,π)$ related to the factorization of the invariant measure $μ= γ* π$ into a Gaussian part $γ$ and an infinitely divisible non-Gaussian part $π$. As in the classical Gaussian case, some modified logarithmic Sobolev inequalities with respect to invariant measures can be inferred.

11. 托勒密-海什木问题：光源在无穷远处

The Ptolemy-Alhazen problem with source at infinity

作者: Masayo Fujimura, Matti Vuorinen

类别: math.AP, math.CV

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25160v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25160v1

摘要: We study the well-known Ptolemy-Alhazen problem on reflection of light at the surface of a spherical mirror in the case when the source of light is very far from the mirror.

12. 具有固定周长的正N边形的第一非零Steklov特征值的单调性

Monotonicity of the first nonzero Steklov eigenvalue of regular $N$-gon with fixed perimeter

作者: Zhuo Cheng, Changfeng Gui, Yeyao Hu, Qinfeng Li, Ruofei Yao

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25116v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25116v1

摘要: We study the first nontrivial Steklov eigenvalue of perimeter-normalized regular $N$-gons and show that it is strictly increasing in $N$. The proof mainly relies on an analytic framework that establishes a refined asymptotic expansion in three steps: first, identifying the Steklov eigenvalue as the maximal eigenvalue of a Toeplitz-type operator; second, deriving the eigenvalue and its associated eigenfunctions simultaneously via Schur reduction; and finally, obtaining the exact coefficients in the Schur moment expansion by evaluating Euler-type sums. The monotonicity is proved to be eventual, holding for $N\ge 20$. For the remaining cases $3\le N\le 20$, we provide complementary computer-assisted verification, confirming monotonicity across the full range of $N$.

13. 穿孔域上Steklov问题的均匀化与算子估计

Homogenization and operator estimates for Steklov problems in perforated domains

作者: Andrii Khrabustovskyi, Jari Taskinen

类别: math.AP, math.SP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25094v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25094v1

摘要: Let the set $Ω_\varepsilon$ be obtained from the bounded domain $Ω$ by removing a family of $\varepsilon$-periodically distributed identical balls. In $Ω_\varepsilon$ one considers the standard Steklov spectral problem. It is known from [Girouard-Henrot-Lagacé, ARMA (2021)] that, if the radii of the holes shrink at a critical rate such that the surface area of a single hole is comparable to the volume of a periodicity cell, then, in the limit $\varepsilon \to 0$, the Steklov spectrum converges to the spectrum of the problem $-Δu=λQ u$ on $Ω$ with some weight $Q>0$. In the present work, we extend this result by proving, under fairly general assumptions on the locations and shapes of the holes, convergence of the associated resolvent operators in the operator norm topology, together with quantitative estimates for the Hausdorff distance between the spectra. The underlying domain $Ω$ is not assumed to be bounded.

14. 具有无穷远凯勒切锥的非凯勒扩张Ricci孤立子

A non-Kähler expanding Ricci soliton with a Kähler tangent cone at infinity

作者: Richard H. Bamler, Eric Chen, Ronan J. Conlon

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.25082v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.25082v1

摘要: We construct an example of an asymptotically conical (AC) non-Kähler expanding gradient Ricci soliton that has a Kähler tangent cone at infinity. This yields an example of a Kähler cone that can be desingularised by a smooth AC expanding gradient Ricci soliton but not by a smooth AC expanding gradient Kähler–Ricci soliton.

15. 分数阶NLS方程在 $\mathbb{T}^d$ 上解的索伯列夫范数的多项式增长

Polynomial growth of Sobolev norms of solutions of the fractional NLS equation on \T^d

作者: Jiajun Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.24906v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.24906v1

摘要: In this paper, we prove polynomial growth bounds for the Sobolev norms of solutions to the fractional nonlinear Schrödinger equation on the torus \T^d (d \ge 2), following and extending a result of Joseph Thirouin on \T [Thi17]. The key ingredient is the establishment of Strichartz estimates for the fractional Schrödinger equation on \T^d. To this end, we employ uniform estimates for oscillatory integrals to overcome the lack of uniformity that arises in higher dimensions.

16. 自对偶阿贝尔希格斯梯度流的收敛性

Convergence of the self-dual abelian Higgs gradient flow

作者: Jason Zhao

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-26

arXiv ID: 2603.24900v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.24900v1

摘要: Given an initial data configuration $(A^{\mathrm{in}}, φ^{\mathrm{in}})$ on $\mathbb R^2$ such that the self-dual abelian Higgs energy is near the minimum energy within its topological class, we prove that its evolution under the self-dual abelian Higgs gradient flow in temporal gauge converges exponentially as $t \to \infty$ with respect to the $(H^1 \times L^2)$-metric to a minimiser of the energy. Furthermore, we show that the convergence of the scalar field $φ$ may be upgraded to the $H^1$-metric provided the additional assumption on the potential that $A^{\mathrm{in}} \in L^p (\mathbb R^2)$ for $2 < p < \infty$. As a corollary, we obtain a quantitative stability for the self-dual abelian Higgs energy which improves upon the previous result of Halavati (arXiv:2310.04866) and partially resolves the open problem posed in his article.

17. FitzHugh-Nagumo系统中推动型图案形成前缘的选取

Selection of pushed pattern-forming fronts in the FitzHugh-Nagumo system

作者: Montie Avery, Paul Carter, Björn de Rijk

类别: math.AP, math.DS, nlin.PS

发布日期: 2026-03-25

arXiv ID: 2603.24851v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.24851v1

摘要: We establish nonlinear stability of fronts that describe the creation of a periodic pattern through the invasion of an unstable state. Our results concern pushed fronts, that is, fronts whose propagation is driven by a localized mode at the front interface. We prove that these pushed pattern-forming fronts attract initial data supported on a half-line, and therefore determine both propagation speeds and selected wave numbers for invasion from localized initial conditions. This provides to our knowledge the first proof of the marginal stability conjecture for pattern-forming fronts, thereby confirming universal wave number selection laws widely used in the physics literature. We present our analysis in the specific setting of the FitzHugh-Nagumo system, but our methods can be applied to general dissipative PDE models which exhibit pattern formation. The main technical challenge is to control the interaction between the localized mode driving the propagation and outgoing diffusive modes in the wake of the front. Through a subtle far-field/core decomposition of the linearized evolution, we resolve this interaction and describe the nonlinear response of the front to perturbations as a dynamically driven phase mixing problem for the pattern in the wake. The methods we develop are generally useful in any setting involving the interaction of localized modes and outward diffusive transport, such as in the nonlinear stability of undercompressive viscous shock waves or source defects.