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2026年03月31日论文分析

共有 8 篇重点关注论文, 13 篇论文可以了解, 37 篇不相关论文

March 31, 2026 · 40 min · 8292 words · P0lyno3ial

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重点关注论文（完整分析）
了解领域论文（摘要翻译）
不相关论文（基本信息）

生成时间: 2026年03月31日 05:03:20

重点关注论文数量: 8

了解领域论文数量: 13

不相关论文数量: 37

重点关注论文（完整分析）

1. 有限时间弱奇点与三维不可压缩纳维-斯托克斯方程中湍流的统计结构

Finite-Time Weak Singularities and the Statistical Structure of Turbulence in 3D Incompressible Navier-Stokes Equations

作者: Chio Chon Kit

类别: math.AP, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28308v1

摘要翻译: 本文对三维不可压缩纳维-斯托克斯（NS）方程的全局正则性问题进行了严格的数学分析，特别探讨了光滑初始数据在何种条件下可能导致正则性的丧失。通过摒弃传统的现象学湍流模型，并严格聚焦于机械能输运方程，我们推导出一个基本临界条件： $\boldsymbol{u}\cdot\nabla E = 0$ ，其中 $E = \frac12|\boldsymbol{u}|^2 + p$ 为比机械能，该条件刻画了从层流到湍流的转变过程。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28308v1

1. 研究对象和背景

本文研究的核心对象是三维不可压缩Navier-Stokes（NS）方程的全局正则性问题。NS方程是描述流体运动的基本偏微分方程，其全局正则性猜想——即光滑初始数据是否总能产生整体存在的光滑强解——是克雷数学研究所公布的千禧年问题之一，长期以来吸引着大量研究者的关注。该问题的核心困难在于非线性对流项 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla\boldsymbol{u}$ 可能导致速度梯度的奇异性发展，使得解在有限时间内失去正则性。

本文的研究背景涵盖两个层面。在数学层面，自Leray在1934年构造出NS方程的弱解以来，研究者们沿着两条路径推进：一条致力于证明强解的全局存在性，另一条则尝试构造有限时间爆破的反例。然而，这两条路径都未能形成完整封闭的理论体系。具体而言，关于层流到湍流转捩的严格数学判据、充分发展湍流的内在精细结构，以及相干涡旋小尺度粘性耗散的物理机制，长期以来缺乏直接源于原始NS方程本身的严格理论基础。

在物理层面，现有的湍流研究通常依赖于唯象模型或经验闭合假设，如Kolmogorov的K41理论虽然是描述惯性子区能量级串的经典框架，但其推导基于自相似性假设和能量通量恒定的启发式论证，并未从第一性原理严格导出。相比之下，Tao提出的尺度级联常微分方程虽然为能量级串分析提供了简化框架，但与原始NS方程的内在奇异性结构仍缺乏本质联系。

本文的独特之处在于严格限定在三维不可压缩NS方程的框架内进行分析，不引入任何唯象假设或经验湍流模型，从流体动力学的第一性原理出发，建立了从偏微分方程正则性到湍流统计规律的统一理论框架。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是证明三维Navier-Stokes方程全局正则性猜想的否定，并建立湍流的严格数学描述，主要包括以下几方面。

第一个关键结果是临界条件 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla E = 0$ 的严格推导。论文通过点wise机械能输运方程的积分分析，证明了当层流-湍流转捩发生时，局部动能 $$K(t)$$ 的时间导数变为正，这意味着 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla E$ 在正测度集合上必须为零。通过定义泛函 $\Phi(t) = \int_{\Omega(t)} |\boldsymbol{u}\cdot\nabla E|^2 dx$ ，并利用NS方程的能量估计推导其微分不等式，应用Gronwall不等式可得该条件在转捩后几乎处处保持成立。其中 $E = \frac12|\boldsymbol{u}|^2 + p$ 是单位质量机械能，包括动能和压强势能。

第二个关键结果是有限时间弱奇异性的定义与存在性证明。论文引入了一类全新的奇异性概念——有限时间弱奇异性，其定义包含三个要素：在奇异时刻之前，局部 $$H^1$$ 正则性保持；速度梯度的 $$L^2$$ 范数下极限趋于零；奇异时刻速度场本身不属于 $H^1_{\text{loc}}$ ，但速度场保持有界。这种弱奇异性与传统的爆破奇异性有本质区别：后者要求速度场本身在有限时间内趋于无穷，而前者仅导致速度梯度的正则性丧失，速度场本身保持有界。

主要存在性定理（定理1）表明，存在光滑、紧支撑、散度自由的初始速度场，使得相应的强解在有限时间 $T^* < \infty$ 内形成弱奇异性，且该解可以延拓为整体Leray弱解。该定理的证明包含六个步骤：首先构造平行剪切层作为基本流，并通过旋度算子生成散度自由的扰动；其次分析线性不稳定性，证明局部动能增长触发转捩；然后应用中心流形约化和隐函数定理证明临界条件 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla E = 0$ 在正测度集上成立并被动力学锁定；接着根据引理3证明 $$H^1$$ 半范数在 $$T^*$$ 处趋于零；通过反证法证明 $$T^*$$ 有限；最后验证该解满足Leray弱解的有界性条件。

论文进一步将湍流描述为相互作用弱奇异性系综，并建立了相应的壳模型。通过分析壳能量的稳态动力学，论文严格导出了Kolmogorov的 $k^{-5/3}$ 能量谱，以及K41理论中的耗散标度。壳模型的 Hausdorff维数分析给出间歇性指数 $$7/3$$ ，与Kolmororov的K41理论在标度指数上存在差异，体现了弱奇异性系综对湍流间歇性现象的严格数学解释。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的研究方法建立在对机械能输运方程的严格分析之上，采用了一系列现代偏微分方程和湍流理论中的核心工具。

论文首先从NS方程的动量方程出发，将方程与速度场 $\boldsymbol{u}$ 作点积，利用不可压缩条件 $\nabla\cdot\boldsymbol{u} = 0$ 简化非线性对流项和压力梯度项，推导得到点wise机械能输运方程：

\partial_t E + \boldsymbol{u}\cdot\nabla E = -\nu|\nabla\boldsymbol{u}|^2

该方程是全文分析的基石。右端的 $-\nu|\nabla\boldsymbol{u}|^2$ 项代表粘性耗散，在光滑层流中始终非正，表明机械能通过粘性连续转化为热能。论文通过在Lagrange物质体 $\Omega(t)$ 上积分该方程并应用Reynolds输运定理，得到动能演化的积分形式，从而建立了层流与湍流状态的根本区别判据。

在函数空间的选择上，论文使用了标准的Sobolev空间理论。 $L^2(\Omega;\mathbb{R}^3)$ 是平方可积向量场的Hilbert空间，配备标准 $$L^2$$ 范数； $H^1_0(\Omega;\mathbb{R}^3)$ 是trace为零的Sobolev空间，其半范数 $\|\boldsymbol{u}\|_{H^1} = \|\nabla\boldsymbol{u}\|_{L^2}$ 直接与流场的粘性耗散相关； $C^\infty_c(\Omega;\mathbb{R}^3)$ 是光滑紧支撑散度自由试验函数空间，作为NS方程分布解理论的基础。

Leray弱解理论是本文的重要框架。定义1给出的Leray弱解需要满足三个条件：不可压缩性条件、变分方程（弱形式NS方程）以及整体能量不等式。Leray弱解是三维NS方程最一般的整体解，但不保证解的光滑性和唯一性，这是全局正则性问题的核心困难所在。

在证明临界条件持久性时，论文使用了Gronwall不等式。通过建立泛函 $\Phi(t)$ 的微分不等式 $\frac{D}{Dt}\Phi(t) \leq C(t)\Phi(t)$ ，其中 $C \in L^1_{\text{loc}}([0,T^*))$ ，利用 $\Phi(t^*) = 0$ 的初始条件，直接得到 $\Phi(t) \equiv 0$ 对所有 $t \geq t^*$ 成立，从而证明 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla E = 0$ 几乎处处持久。

局部适定性理论（引理4）保证了对任意初始速度场 $\boldsymbol{u}_0 \in H^1_0$ ，存在唯一的局部强解，这为后续构造有限时间弱奇异性提供了基础。线性不稳定性分析（引理5）则表明对任意稳定层流，存在足够小的光滑紧支撑散度自由扰动使其线性失稳，这是触发层流-湍流转捩的必要条件。

壳模型方法用于描述弱奇异性系综的统计行为。惯性子区能量级联的动力学方程为：

\frac{dE_n}{dt} = \frac{E_{n-1}}{\tau_{n-1}} - \frac{E_n}{\tau_n}

其中尺度 $\ell_n = \lambda^{-n}\ell_0$ ，特征时间满足K41标度律 $\tau_n \sim \ell_n^{2/3}$ ，引入 $\alpha = \lambda^{-2/3}$ 后可写为 $\tau_n = \tau_0 \alpha^n$ 。在统计稳态下 $$dE_n/dt = 0$$ ，得到能量级联关系 $E_n = \alpha^{-1}E_{n-1}$ ，结合波数 $k_n \sim \ell_n^{-1} \sim \lambda^n$ ，严格导出Kolmogorov能量谱 $E(k_n) \sim k_n^{-5/3}$ 。

粘性耗散的引入完善了壳模型。通过定义局部Reynolds数 $Re_n = \frac{\text{非线性项}}{\text{粘性项}}$ 并分析其随尺度的变化，论文得到了弱奇异性的生存条件：涡旋尺度必须大于Kolmogorov耗散尺度才能避免被粘性耗散，这与经典湍流理论完全一致。

4. 与之前工作的比较

本文的理论贡献在于首次建立了从NS方程第一性原理到湍流统计规律的严格数学桥梁，与现有工作存在本质区别。

与Tao的尺度级联常微分方程相比，本文工作与其既有联系又有根本性差异。Tao的级联ODEs提供了一个简化的能量级联分析框架，但该框架与原始NS方程的内在奇异性结构相脱节。本文提出的弱奇异性系综直接源于NS方程的机械能分析，临界条件 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla E = 0$ 是从第一性原理严格导出的，而非启发式假设。壳模型的非线性相互作用项通过NS方程的非线性对流项导出，相互作用核 $K_{ij}$ 正是非线性能量传递的数学表达。从这个意义上说，本文将Tao的简化模型置于更坚实的理论基础之上，建立了与原始PDE的内在联系。

与经典K41湍流理论相比，本文提供了不同的视角和更严格的数学基础。K41理论基于两个核心假设：能量通量在惯性子区恒定，以及流动在小尺度上具有统计自相似性。论文通过弱奇异性系综的壳模型分析，从第一性原理严格导出了相同的 $k^{-5/3}$ 能量谱，无需引入任何经验假设。更重要的是，论文解释了湍流间歇性现象：通过计算弱奇异性集合的Hausdorff维数得到 $$7/3$$ ，这与K41预测的均匀各向同性湍流存在偏差，正是间歇性的体现。这种从奇异性集合几何性质出发的间歇性解释，在数学上比K41的唯象修正更为严格。

与传统的爆破型奇异性研究相比，本文提出的弱奇异性概念具有本质区别。之前的文献主要关注速度场本身的有限时间爆破，即 $\|\boldsymbol{u}\|_{L^\infty} \to \infty$ 。这类爆破如果存在，将直接构成全局正则性猜想的反例，但大量数值实验和理论分析均未发现此类爆破的明确证据。本文引入的弱奇异性仅导致速度梯度的 $$H^1$$ 正则性丧失，即 $\|\nabla\boldsymbol{u}\|_{L^2} \to 0$ ，而速度场本身保持有界。这种非爆破型奇异性在数学上更难以排除，因为Leray弱解的框架仅要求速度场属于 $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t H^1_x$ ，而不要求梯度有界。论文通过构造具体反例，证明了这类弱奇异性确实可以发生，从而在更弱的意义上否定了全局正则性猜想。

与基于经验闭合假设的湍流模型（如Kraichnan的涡旋粘性模型、各向同性湍流模型等）相比，本文完全摒弃了唯象假设，所有结果均从NS方程严格导出。这种"第一性原理"的方法论使得理论具有更高的可信度和普适性。论文还验证了弱奇异性形成机制在一维粘性Burgers方程中的适用性，确认了核心机制（临界条件触发→非线性动力学锁定→正则性丧失→小尺度粘性正则化）的普遍性。

最后，论文的理论与实验观测到的相干结构高度吻合。弱奇异性与以下物理结构存在对应关系：速度场垂直于机械能梯度的涡层（ $\boldsymbol{u} \perp \nabla E$ ），经历连续拉伸和重联的涡丝，以及直接数值模拟中观察到的准奇异性剪切层结构。这种数学严格性与物理直觉的一致性，进一步验证了理论框架的自洽性。

2. 无粘性SQG方程在临界空间中的解的唯一存在性

Unique existence of solutions to the inviscid SQG equation in a critical space

作者: Tsukasa Iwabuchi

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28139v1

摘要翻译: 我们研究具有齐次Dirichlet边界条件的二维有界区域中表面准地转（SQG）方程的柯西问题。我们在临界Besov空间 $\dot B^2_{2,1}$ （该空间嵌入于 $$C^1$$ ）中建立了强解的唯一存在性。证明基于与Dirichlet拉普拉斯算子相关的二进分解的谱局部化技术。我们通过对方程中带有正则化非线性项的解序列建立一致估计来获得问题的解。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28139v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维有界域Ω上表面准地转(SQG)方程的Cauchy问题，该方程描述了地球物理流体力学中的基本模型。方程形式为

\partial_t \theta + (u \cdot \nabla)\theta = 0, \quad u = \nabla^\perp \Lambda^{-1}\theta

其中 $\nabla^\perp = (-\partial_{x_2}, \partial_{x_1})$ ， $\Lambda = \sqrt{A_D}$ 表示Dirichlet拉普拉斯算子的平方根。问题附加齐次Dirichlet边界条件 $\theta|_{\partial\Omega} = 0$ 和初始条件 $\theta(0,x) = \theta_0(x)$ 。

在已有文献中，全空间 $\mathbb{R}^2$ 和环面 $\mathbb{T}^2$ 上的研究相对成熟。对于Sobolev空间 $H^s(\mathbb{R}^2)$ ，当 $$s > 1 + 2/p$$ 时存在局部时间强解，该结果由Kato和Ponce通过类似于Euler方程的方法获得。在临界情形 $$s = 1 + 2/p$$ 下，Vishik、Chae以及Pak和Park等人在Besov空间中构造了强解。关于弱解，Resnick建立了 $$L^2$$ 中的整体弱解存在性，Marchand将其推广到 $$L^p$$ 框架。

然而，有界域上的研究相对有限。Constantin和Ignatova建立了 $$L^2$$ 中的整体弱解；Constantin、Ignatova和Nguyen研究了具有分数耗散方程的无粘极限；在强解方面，[8]中获得了 $H^1(\Omega) \cap W^{2,p}(\Omega)$ 中的存在性结果。特别地，Jeong、Kim和Yao在半平面上的研究表明，若初始数据在边界上非零，则不存在 $$C^1$$ 解，这暗示了保持Dirichlet边界条件对光滑解存在性的关键作用。

本文的创新之处在于首次在嵌入于 $C^1(\Omega)$ 的临界Besov空间中建立有界域上SQG方程强解的唯一存在性。

2. 主要定理或主要结果

定理1.1 设初始数据 $\theta_0 \in \dot B^2_{2,1}(A_D)$ 。则存在时间 $$T > 0$$ 和函数

\theta \in C([0,T], \dot B^2_{2,1}(A_D)) \cap C^1([0,T], \dot B^1_{2,1}(A_D))

使得该函数成为Cauchy问题的解。此外，解在唯一性类 $C([0,T], W^{1,\infty}(\Omega)) \cap C^1([0,T], L^2(\Omega))$ 中唯一。

该定理的注记揭示了几个重要性质：第一，由于Dirichlet拉普拉斯算子的性质，边界条件 $\theta|_{\partial\Omega} \equiv 0$ 在解存在的整个过程中保持，这是首个在嵌入于 $C^1(\Omega)$ 的临界空间中建立唯一存在性的结果。第二，[18]中关于半平面的非存在性结果(当 $\theta_0|_{\partial\mathbb{R}^2_+} \not\equiv 0$ 时)表明，维持Dirichlet边界条件对光滑解的存在至关重要。第三，唯一性结果不依赖于函数的边界行为，且解空间 $C([0,T];\dot B^2_{2,1}(A_D))$ 嵌入于 $C([0,T];W^{1,\infty}(\Omega)) \cap C^1([0,T];L^2(\Omega))$ ，其中唯一性得到保证。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术路线基于谱局部化方法，引入与Dirichlet拉普拉斯算子相关的二进分解来处理有界域上的问题。

首先，定义Besov空间 $\dot B^s_{p,q}(A_D)$ 。设 $\phi_0 \in C^\infty(\mathbb{R})$ 满足 $\text{supp}\,\phi_0 \subset [2^{-1}, 2]$ 且 $\sum_{j\in\mathbb{Z}}\phi_0(2^{-j}\lambda) = 1$ 对所有 $\lambda > 0$ 成立。定义 $\phi_j(\lambda) = \phi_0(2^{-j}\lambda)$ 。Dirichlet拉普拉斯算子 $A_D = -\Delta$ ，其谱下确界为正，这确保了齐次与非齐次Besov空间作为集合等价且范数等价。

空间 $\dot B^s_{p,q}(A_D)$ 的范数定义为

\|f\|_{\dot B^s_{p,q}(A_D)} = \left( \sum_{j\in\mathbb{Z}} 2^{sjq} \|\phi_j(\Lambda_D)f\|_{L^p}^q \right)^{1/q}

其中 $\Lambda_D = \sqrt{A_D}$ 。该空间具有Banach空间性质、的对偶关系、Sobolev型嵌入等标准性质(见Proposition 2.2)。

在技术实现上，本文采用基于预解式的谱限制算子而非传统的紧支撑光滑函数：

\psi_j(\Lambda_D) = (1 + 2^{-2j-2}A_D)^{-1} - (1 + 2^{-2j}A_D)^{-1}

这一预解式方法是处理有界域问题的有力工具，源于[15]中的交换子估计思想。引理2.3建立了Besov空间范数的等价刻画：对于 $$|s-2| < 1$$ 和 $1 \leq p,q \leq \infty$ ，

\|f\|_{\dot B^s_{p,q}(A_D)} \simeq \left( \sum_{j\in\mathbb{Z}} 2^{(s-2)jq} \|\psi_j(\Lambda_D)^{1/2} \Delta f\|_{L^p}^q \right)^{1/q}

该等价性通过提升性质和谱局部化算子的有界性(引理2.1和2.4)证明。

在非线性估计方面，引理3.1利用谱局部化建立了双线性估计。对于 $\alpha,\beta \in \mathbb{N}$ 和 $0 < \gamma < 1/2$ ，

\|\nabla^\alpha f \nabla^\beta g\|_{\dot B^{2\gamma}_{2,1}(A_D)} \leq C \|f\|_{\dot B^{\alpha+1+\gamma}_{p_1,1}(A_D)} \|g\|_{\dot B^{\beta}_{p_2,1}(A_D)} + C \|f\|_{\dot B^{\alpha}_{p_3,1}(A_D)} \|g\|_{\dot B^{\beta+1+\gamma}_{p_4,1}(A_D)}

该估计利用了低正则性下函数不依赖边界条件的重要性质(引理2.5)：当 $s \leq 1/p$ 时， $C^\infty(\bar{\Omega})$ 包含于 $\dot B^s_{p,q}(A_D)$ 。

在存在性证明中，对原非线性项 $(u \cdot \nabla)\theta$ 进行正则化：

N_\mu(\theta,\theta) = (1 + \mu A_D)^{-1} \nabla^\perp \Lambda^{-1} \theta \cdot \nabla (1 + \mu A_D)^{-1} \theta

构造该正则化问题在 $C([0,T];\dot B^2_{2,1}(A_D))$ 中的解序列，并在更强拓扑 $L^\infty(0,T;\dot B^2_{2,1}(A_D))$ 中建立关于 $\mu > 0$ 的一致有界性。通过取弱星收敛子列获得局部时间解。

4. 与之前工作的比较

本文在以下几个方面与已有工作存在显著差异和重要推进。

与全空间和环面工作的比较：在 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{T}^2$ 上，Kato和Ponce的方法要求Sobolev正则性 $$s > 1 + 2/p$$ ；Vishik等人在临界Besov空间 $\dot B^{1+2/p}_{p,1}(\mathbb{R}^2)$ 中获得结果。本文工作在有界域上实现类似目标，突破了边界带来的技术障碍。特别值得注意的是，有界域上谱算子的离散谱性质导致齐次与非齐次Besov空间的等价性，这为证明带来了简化。

与半平面非存在性结果的关联：Jeong、Kim和Yao在半平面上的研究表明，若初始数据在边界上非零，则不存在 $$C^1$$ 解。本文通过要求初始数据属于 $\dot B^2_{2,1}(A_D)$ (自动满足边界条件)规避了这一障碍，定理1.1的注记明确指出了这一联系。齐次Dirichlet边界条件由Dirichlet拉普拉斯算子的定义域自动保证，这是有界域情形下的独特优势。

与[8]中结果的比较：之前工作在 $H^1(\Omega) \cap W^{2,p}(\Omega)$ 中获得强解存在性，该空间嵌入于 $C^1(\Omega)$ 但非临界。 $\dot B^2_{2,1}(A_D)$ 是临界空间，具有尺度不变性，且嵌入于 $C^1(\Omega)$ 。本文首次在这一临界空间中建立唯一存在性结果，且通过建立双线性估计克服了正则化不足带来的困难。

技术方法的创新：在有界域上使用预解式 $\psi_j(\Lambda_D)$ 代替标准的紧支撑光滑函数是本文的重要技术贡献。这一方法允许利用谱预解的有界性质(引理2.4)来处理边界问题，避免了直接在边界上定义谱投影的困难。引理2.5关于低正则性下函数不依赖边界条件的发现是建立双线性估计的关键，它使得在边界条件被高阶导数破坏时仍能进行傅里叶分析。

关于唯一性的改进：本文的唯一性结果在 $C([0,T], W^{1,\infty}(\Omega)) \cap C^1([0,T], L^2(\Omega))$ 中建立，这是比解空间更强的拓扑。这一结果推广了之前仅在较低正则性空间中建立唯一性的做法，表明临界Besov空间解具有更好的唯一性性质。

综上所述，本文在有界域上SQG方程的适定性理论中取得了实质性进展，首次在临界Besov空间中建立了强解的唯一存在性，发展了处理有界域上拟线性方程的谱局部化方法，并深化了对边界条件与正则性关系的理解。

3. 临界空间中三维有界域上的不可压缩Euler方程

Incompressible Euler equations in 3D bounded domains in a critical space

作者: Tsukasa Iwabuchi, Hideo Kozono

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28070v1

摘要翻译: 我们研究具有光滑边界∂Ω的有界域Ω上的三维不可压缩Euler方程。基于Iwabuchi、Matsuyama和Taniguchi（2019）的论文，我们通过具有Neumann边界条件的Stokes算子A来定义Besov空间B^s_{p,q}(A)，并证明了初始数据在临界Besov空间B^{5/2}_{2,1}(A)中的强解的唯一局部存在定理。我们的证明依赖于粘性消失方法。交换子估计在推导关于粘性常数一致成立的能量估计中起着关键作用。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28070v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 中具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的不可压缩欧拉方程的初边值问题。具体考虑以下方程组： $\partial_t u + (u\cdot\nabla)u + \nabla\pi = 0$ ， $\operatorname{div}u = 0$ ，边界条件 $u\cdot\nu = 0$ ，以及初始条件 $$u(x,0) = u_0(x)$$ ，其中 $$u = (u_1, u_2, u_3)$$ 表示速度向量， $\pi$ 表示压力， $\nu$ 是边界 $\partial\Omega$ 的单位外法向量。

该研究的核心动机在于探索临界Besov空间框架下欧拉方程的适定性。在数学物理领域，欧拉方程的局部适定性是一个经典问题，已有许多学者在不同函数空间中研究了其解的存在性和唯一性。早期的经典结果包括Temam在 $W^{m,p}(\Omega)$ 空间中得到的局部强解存在性，Bourguignon-Brezis在高维情况下的推广，以及Kato-Lai在 $H^m(\Omega)$ 空间中建立的抽象发展方程存在性定理。然而，当考虑全空间 $\mathbb{R}^n$ 的情形时，Besov空间和Triebel-Lizorkin空间框架下已有丰富的研究成果，如Vishik关于初始涡旋在Besov空间中的局部解构造，Chae在Triebel-Lizorkin空间中的相应结果，以及Pak-Park在临界Besov空间 $B^1_{\infty,1}(\mathbb{R}^n)$ 中的突破性工作。本文将这些研究推广到有界域情形，并聚焦于临界Besov空间 $B^{5/2}_{2,1}(A)$ 中的局部适定性问题。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是以下局部适定性定理：

定理1.1 对于任意初值 $u_0 \in B^{5/2}_{2,1}(A)$ ，存在时间 $$T > 0$$ 和唯一解 $u \in C([0,T], B^{5/2}_{2,1}(A))$ 满足方程组(1.1)。此外，该解还满足 $u \in C^1([0,T], W^{1,p}(\Omega))$ 对所有 $1 \leq p \leq 3$ 。

该定理的重要性体现在以下几个方面的观察。首先，这是一个在任意三维有界域（具有光滑边界）中建立的局部适定性结果，不需要对域的几何性质施加任何限制条件，这是该定理的一个显著特点。其次，该结果在全空间 $\mathbb{R}^3$ 的背景下具有最优性，根据Bourgain和Li在 $\mathbb{R}^n$ （ $$n=2,3$$ ）中关于欧拉方程Cauchy问题的研究，他们证明了在空间 $B^{1+n/p}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ （ $1 < p < \infty$ ， $1 < q \leq \infty$ ）中的适定性边界情况，而本文的结果恰好展示了这个临界情形的适定性，因此可视为Besov空间中适定性与不适定性之间边界情况的最优定理。

本文还包含一个关于高阶正则性的注记，指出当 $$s = 5/2$$ 且 $u \in \dot{B}^{5/2}_{2,1}(A)$ 时，存在常数 $$C > 0$$ 使得 $\|u - \sum_{j\leq J}\phi_j(A)u\|_{\dot{B}^{5/2}_{2,1}(A)} \leq C2^{-5J/2}$ 对所有 $J \in \mathbb{N}$ 成立。由于有界域上Stokes算子的谱仅由特征值组成，上述部分和是相应特征函数的有限线性组合，这一性质在高阶逼近中具有实际意义。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本研究采用的核心方法是消失粘度法（method of vanishing viscosity），即通过考虑一簇带有粘性项的Navier-Stokes方程的解，然后让粘度系数趋于零来得到欧拉方程的解。具体而言，考虑以下正则化的Navier-Stokes方程： $\partial_t u_\varepsilon - \varepsilon\Delta u_\varepsilon + (u_\varepsilon\cdot\nabla)u_\varepsilon + \nabla\pi_\varepsilon = 0$ ， $\operatorname{div}u_\varepsilon = 0$ ，边界条件 $u_\varepsilon\cdot\nu = 0$ 和 $\operatorname{rot}u_\varepsilon \times \nu = 0$ ，以及初值 $u_\varepsilon(x,0) = u_0(x)$ 。

本研究建立Besov空间 $B^s_{p,q}(A)$ 的框架依赖于Stokes算子 $$A$$ 。Stokes算子 $$A_p$$ 定义在 $L^p_\sigma(\Omega)$ 上，其中 $L^p_\sigma(\Omega)$ 是 $C^\infty_{0,\sigma}(\Omega)$ （具有紧支集的无散度光滑向量场）在 $$L^p$$ 范数下的闭包。算子的定义域为 $D(A_p) = \{u \in W^{2,p}(\Omega) \mid u\cdot\nu = 0, \operatorname{rot}u\times\nu = 0 \text{ on } \partial\Omega\} \cap L^p_\sigma(\Omega)$ ，并满足 $A_p u = -\Delta u$ 。对于 $$A_2$$ ，其核空间 $\operatorname{Ker}A_2$ 由满足 $\operatorname{div}h = 0$ ， $\operatorname{rot}h = 0$ 和 $h\cdot\nu|_{\partial\Omega} = 0$ 的光滑向量场组成。特别地，当 $\Omega$ 是单连通域时， $$A_2$$ 是严格正的自伴算子；否则存在零特征值。为处理这一情况，在证明中引入修正算子 $\tilde{A} = A + 1$ 使其成为严格正算子。

Besov空间 $B^s_{p,q}(A)$ 的定义利用了Stokes算子的谱分解。取满足特定支撑条件的光滑函数 $\phi$ ，定义 $\{\phi_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ 为 $\phi_j(\lambda) = \phi(2^{-j}\lambda)$ ，则空间范数为 $\|u\|_{B^s_{p,q}(A)} = \|(1-\sum_{j=1}^\infty\phi_j(\sqrt{A}))u\|_{L^p} + \|(2^{sj}\|\phi_j(\sqrt{A})u\|_{L^p})\|_{\ell^q(\mathbb{N})}$ 。在谱算子 $$A$$ 严格正的假设下，齐次与非齐次Besov空间是等价的。

本研究的关键技术之一是交换子估计，这在Kato-Ponce的工作中有所体现。该估计在推导关于粘度参数 $\varepsilon$ 一致的能量界时起着至关重要的作用。具体而言，需要在Chemin-Lerner空间 $\widetilde{L}^\infty(0,T; B^{5/2}_{2,1}(A))$ 中建立解族 $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 的一致有界性。此外，由于采用带Neumann边界条件的Stokes算子，在消失粘度极限中不会出现边界层现象，这大大简化了分析过程。

本文还发展了一套完整的分析工具，包括椭圆估计（如 $\nabla^2 A^{-1}$ 和 $\nabla A^{-1/2}$ 在 $$L^p$$ 上的有界性），Sobolev型嵌入（如 $B^s_{p,q}(A)$ 到 $B^{s-3(1/r-1/p)}_{r,q}(A)$ 的嵌入），以及与Stokes半群相关的解析性质（如局部时间估计和最大正则性）。特别地，对于Stokes半群 $e^{-tA}$ ，有估计 $\|e^{-tA}u_0\|_{L^p} \leq C t^{-3/2(1/r-1/p)} \|u_0\|_{L^r}$ 和 $\|A^s e^{-tA}u_0\|_{L^p} \leq C t^{-s/2} \|u_0\|_{L^p}$ 。

4. 与之前工作的比较

本文的研究建立在前人大量工作的基础之上，同时在多个方向实现了重要的突破和推广。与早期的经典结果相比，Temam关于 $W^{m,p}(\Omega)$ 空间中的局部强解存在性结果要求正则指标 $$m > 1+3/p$$ ，这对应于 Sobolev空间 $$H^s$$ 中 $$s > n/2 + 1$$ 的条件；而本文的临界Besov空间 $B^{5/2}_{2,1}(A)$ 恰好对应于 $$s = 5/2$$ ，这是三维情形下最小的临界指标，体现了更精细的函数空间刻画。

在有界域与全空间的比较方面，早期工作主要集中于全空间 $\mathbb{R}^n$ ，如Vishik、Chae和Pak-Park等人的研究。本文首次在有界域框架下建立了临界Besov空间中的局部适定性定理，且不要求域具有任何几何限制（如单连通性）。这是因为本文的方法基于Stokes算子 $$A$$ 的Neumann边界条件，天然避免了边界层问题。

与Bourgain和Li的结果相比，本文的贡献尤为显著。Bourgain和Li研究了 $\mathbb{R}^n$ 中欧拉方程的Cauchy问题，证明了当 $$s < 1 + n/p$$ 时在 $B^s_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 中的不适定性。本文的结果恰好位于适定性的边界情况 $$s = 1 + n/p = 5/2$$ （当 $$n=3$$ ， $$p=2$$ 时），展示了即使在临界情形，通过恰当的函数空间构造仍可建立适定性。这确立了本文结果在Besov空间框架下的最优性。

本文的方法论也体现了与之前工作的差异。传统方法通常直接处理欧拉方程，而本文采用正则化方法，通过Navier-Stokes方程的粘性消失极限来构造解。这一方法的成功依赖于三个关键要素：一是通过Stokes算子建立的Besov空间框架，二是交换子估计提供的一致能量界，三是谱理论工具确保边界条件的恰当处理。与基于速度场的方法（如处理旋度 $\operatorname{rot}u$ ）不同，本文直接针对速度场 $$u$$ 本身建立理论框架。

最后，本文与作者先前的工作（特别是Iwabuchi, Matsuyama, Taniguchi (2019)）密切相关，后者建立了 $$L^p$$ 框架下Besov空间的谱理论基础。本文将这一理论框架从 $\mathbb{R}^n$ 推广到有界域，并成功应用于非线性流体动力学方程的适定性研究。

4. 二维和三维对流Brinkman-Forchheimer扩展达西方程的区域半变分不等式

A domain hemivariational inequality for 2D and 3D convective Brinkman-Forchheimer extended Darcy equations

作者: Jyoti Jindal, Sagar Gautam, Manil T. Mohan

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28051v1

摘要翻译: 本文研究了由非定常二维和三维对流Brinkman-Forchheimer扩展达西方程（CBFeD方程）产生的区域半变分不等式问题。该方程描述了粘性不可压缩流体在有界区域内通过饱和多孔介质的流动。这些方程可视为同时包含阻尼和泵送机制的广义Navier-Stokes系统。对于所有允许的吸收指数 $r \ge 1$ 和有效粘度 $$μ> 0$$ ，通过对Clarke次微分进行适当正则化，基于正则化Galerkin逼近格式，建立了具有半变分不等式的非定常二维和三维CBFeD方程弱解的存在性。值得注意的一个分析要点是，存在性结果可以扩展到三维非定常Navier-Stokes方程。此外，在吸收指数的适当条件下，具体而言，在二维空间中 $r \ge 1$ 和在三维空间中 $r \ge 3$ ，证明了弱解满足能量等式。此外，在二维空间中当 $r \ge 1$ 和在三维空间中当 $r \ge 3$ 时证明了解的唯一性，在临界情况 $$r = 3$$ 时还需满足附加条件 $$2βμ> 1$$ 。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28051v1

1. 研究对象和背景

本文研究了非定常二维和三维对流Brinkman-Forchheimer扩展Darcy（CBFeD）方程产生的域型半变分不等式问题。CBFeD方程描述了粘性不可压缩流体在有界区域内通过饱和多孔介质的流动，可视为广义Navier-Stokes系统，同时包含阻尼机制和泵送机制。模型方程为：

\partial_t y - \mu \Delta y + (y \cdot \nabla)y + \alpha |y|^{q-1}y + \beta |y|^{r-1}y + \nabla \pi = f + g

其中常数 $\mu > 0$ 表示Brinkman系数（有效粘度）， $\beta > 0$ 表示Forchheimer系数（与多孔介质孔隙率成正比）， $\beta |y|^{r-1}y$ 称为吸收或阻尼项，吸收指数 $r \geq 1$ ，特别地 $$r = 3$$ 被称为临界指数。参数 $q \in [1,r)$ 调控泵送效应的强度，当 $\alpha < 0$ 时，泵送机制抵消阻尼效应。模型中假设 $-g(x,t) \in \partial_C j(x,t,y(x,t))$ ，其中 $\partial_C j$ 是Clarke次梯度，这导致了域型半变分不等式的产生。与边界型半变分不等式不同，域型半变分不等式中的非光滑非凸超势影响整个空间区域 $$D$$ 内部的系统，而非仅局限于边界。

2. 主要定理或主要结果

本文建立了以下核心结果。对于所有允许的吸收指数 $r \geq 1$ 和有效粘度 $\mu > 0$ ，通过基于Clarke次梯度适当正则化的正则化Galerkin逼近格式，证明了带有半变分不等式的非定常2D和3D CBFeD方程弱解的存在性。一个重要成果是该存在性结果可以扩展到三维非定常Navier-Stokes方程。此外，在吸收指数的适当条件下，具体为二维情况下 $r \geq 1$ 和三维情况下 $r \geq 3$ ，证明了弱解满足能量等式。特别值得注意的是，在二维情况下 $r \geq 1$ 和三维情况下 $r \geq 3$ 证明了弱解的唯一性，且在临界情况 $$r = 3$$ 时需要额外满足条件 $2\beta\mu > 1$ 。这些结果首次系统地建立了CBFeD方程与域型半变分不等式结合的适定性理论，填补了该领域的研究空白。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文采用的核心方法是正则化Galerkin逼近格式。首先对Clarke次梯度进行正则化处理：由于 $\theta_i(x,t,\cdot) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 可能在 $\xi$ 方向不连续，引入正则化下包络 $\theta_i^\varepsilon(x,t,\xi) := \essinf_{|\tau-\xi|\leq\varepsilon} \theta_i(x,t,\tau)$ 和正则化上包络 $\overline{\theta}_i^\varepsilon(x,t,\xi) := \esssup_{|\tau-\xi|\leq\varepsilon} \theta_i(x,t,\tau)$ ，正则化后的函数满足单调性和连续性。正则化问题通过有限维空间中的常微分方程组来近似，使用前 $$n$$ 个特征函数张成的空间 $$V_n$$ ，构造近似解 $$y_n(t)$$ 。关键步骤包括：建立一致先验估计，利用Aubin-Lions引理和紧嵌入定理提取收敛子列，以及应用Clarke次梯度的广义方向导数性质处理极限过程。函数空间框架采用 $$V$$ 作为 $H_0^1(D;\mathbb{R}^d)$ 中散度为零函数的闭包， $$H$$ 为其 $$L^2$$ 闭包，满足连续紧嵌入 $V \hookrightarrow H \hookrightarrow V'$ 。使用的主要技术工具包括Riesz表示定理、Aubin-Lions紧性引理、Lions-Magenes延拓定理以及非线性算子的局部Lipschitz性质。

4. 与之前工作的比较

与现有文献相比，本文具有以下显著创新点。首先，在存在性方面，文献[10]对2D Navier-Stokes方程的域型半变分不等式使用Rothe方法，附加了粘度系数 $\mu > 2c \max\{|D|,1\}\|l\|_{L^2(\Gamma)}$ 的限制条件；而本文采用类似文献[16,29]的分析技巧，避免了对 $\mu$ 的任何限制，成功建立了存在性结果。处理难点在于估计项 $\int_0^t \sum_{i=1}^d \int_D \theta_i(s,y_i(s)) \partial_i y_i(s) dx ds$ ，本文通过引理3.6克服了这一困难。其次，在能量等式方面，文献[1]研究修改的Navier-Stokes方程时在三维情况下未能建立能量等式，而本文通过前 $$n$$ 个特征函数的有限维空间逼近证明了在 $r \geq 1$ （二维）和 $r \geq 3$ （三维）时能量等式成立，且在 $$r = 3$$ 时无需附加 $2\beta\mu \geq 1$ 条件。第三，在唯一性方面，文献[10]要求 $\mu > m\|l\|^2$ 的额外限制；本文在 $r \geq 1$ （二维）和 $r \geq 3$ （三维）条件下建立了唯一性，在 $$r = 3$$ 的临界情况仅需 $2\beta\mu > 1$ ，完全放开了对粘度系数 $\mu$ 的限制。这是该领域首次系统处理CBFeD方程与域型半变分不等式结合的工作，将现有理论从边界型推广到域型，开拓了新的研究方向。

5. 具有旋转和大初值的三维环形圆柱域中等熵可压缩Navier-Stokes方程的全局轴对称解与不可压缩极限

Global axisymmetric solutions and incompressible limit for the 3D isentropic compressible Navier-Stokes equations in annular cylinders with swirl and large initial data

作者: Shuai Wang, Guochun Wu, Xin Zhong

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27595v1

摘要翻译: 我们建立了具有Navier滑移边界条件的三维环形圆柱域中等熵可压缩Navier-Stokes方程的弱解全局存在性理论，在允许大轴对称初值和真空状态的情况下，前提是体粘性足够大。我们识别出一种可压缩效应与不可压缩效应共存的机制。可压缩分量与压力和密度相互作用产生有效的耗散机制，而无散度分量则具有更好的正则性。这表明大的体粘性能强烈抑制可压缩效应，从而放宽对初值大小的限制。此外，随着体粘性趋于无穷大，这类解在全局时间范围内收敛于非齐次不可压缩Navier-Stokes系统的弱解。证明依赖于Desjardins型对数插值不等式和Friedrichs型交换子估计。我们的结果基于Hoff（Indiana Univ. Math. J. 41 (1992), pp. 1225-1302）和Danchin-Mucha（Comm. Pure Appl. Math. 76 (2023), pp. 3437-3492）的工作，并进一步发展了存在边界情况下关于体粘性一致均匀的Hoff型时间加权估计。

Comment: 30pages

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27595v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维环形圆柱域 $\Omega = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 : 1 < x_1^2 + x_2^2 < 2, x_3 \in \mathbb{T}_L\}$ 中的等熵可压缩Navier-Stokes方程。方程的具体形式为连续性方程 $\rho_t + \mathrm{div}(\rho u) = 0$ 和动量方程 $(\rho u)_t + \mathrm{div}(\rho u \otimes u) + \nabla P = \mathrm{div}S(u)$ ，其中 $P = a\rho^\gamma$ 为压力函数，粘性应力张量 $S(u) = \mu(\nabla u + (\nabla u)^\top) + \lambda \mathrm{div}u \cdot I$ 包含剪切粘度 $\mu > 0$ 和体粘度 $\lambda$ 。研究采用Navier滑移边界条件 $u \cdot n = 0$ 和 $\mathrm{curl} u \times n = 0$ ，允许初始数据出现真空状态。

该研究领域在过去四十年取得了重要进展。在小扰动框架下，Matsumura和Nishida建立了三维情形下经典解的整体存在性；Danchin利用Littlewood-Paley理论在临界Besov空间中证明了强解的整体存在唯一性。当存在真空时，问题变得更为复杂，因为系统会失去抛物结构并在真空区域附近出现奇异性。Lions通过重整化解理论建立了大能量下的整体弱解存在性，Feireisl等人进一步将结果推广到更一般的多方指数情形。本文的核心动机是探索大初始能量下大体积粘度如何抑制可压缩效应，从而允许更大的初始数据并建立整体解的存在性。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果包含两个定理。定理1.1建立了在大体积粘度条件下整体轴对称弱解的存在性。假设初始密度 $\rho_0$ 满足 $0 \leq \inf \rho_0 \leq \sup \rho_0 \leq \hat{\rho}$ ，初始速度 $u_0 \in H^1_\omega$ 满足能量上界 $(2\mu+\lambda)\|\mathrm{div}u_0\|_2^2 + \mu\|\mathrm{curl}u_0\|_2^2 \leq M$ ，则存在仅依赖于 $\hat{\rho}, a, \gamma, \mu$ 和域 $\Omega$ 的常数 $$K$$ ，使得当体粘度满足 $\lambda \geq \exp\left\{\frac{M\exp\{K(1+C_0)^2\}}{}\right\}$ 时，系统存在整体轴对称弱解 $(\rho, u)$ ，该解满足密度有界 $0 \leq \rho \leq 2\hat{\rho}$ ，动量 $\sqrt{\rho} u \in C([0,\infty);L^2)$ ，且材料导数满足特定的时间加权估计。

定理2.2关注不可压缩极限。设 $\{\rho_\lambda, u_\lambda\}$ 是定理1.1得到的解序列，则存在子列 $\{\lambda_k\}$ 使得 $\lambda_k \to \infty$ ， $\rho_{\lambda_k}$ 在任意紧子集上强收敛于 $\phi$ ， $u_{\lambda_k}$ 在紧子集上一致收敛于 $$v$$ ，其中 $(\phi, v)$ 是非齐次不可压缩Navier-Stokes系统的整体轴对称弱解，满足 $\sqrt{\phi} v \in L^\infty([0,\infty);L^2(\Omega))$ 和 $\nabla v \in L^2(\Omega \times (0,\infty))$ 。这一结果表明大体积粘度能够强烈抑制可压缩效应，使得可压缩流体解收敛到不可压缩流体解。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术框架建立在Hoff型时间加权能量方法之上，并针对有界域和边界效应进行了实质性发展。证明策略首先从构造整体光滑近似解开始，通过局部存在性理论获得局部强解，然后利用爆破准则将问题转化为建立与初始密度下界和存在时间无关的先验估计。

推导先验估计的关键在于引入有效的耗散机制。通过Leray-Helmholtz投影将速度场分解为无散度分量和有散度分量，前者享有改进的正则性，后者与压力和密度相互作用产生有效粘性通量 $F = (2\mu+\lambda)\mathrm{div}u - (P - \bar{P})$ 。估计过程中引入了空间-时间积分 $\int_0^T \frac{\|P - \bar{P}\|_{L^4}^4}{(2\mu+\lambda)^2} dt$ 用于处理压力波动，其设计使得压力对散度的贡献能够在大体积粘度情形下被吸收。

技术工具方面，本文采用了Desjardins型对数插值不等式来控制 $\sqrt{\rho} u$ 的 $$L^4$$ 范数，结合Ladyzhenskaya型不等式和有效粘性通量的有界性得到速度梯度的 $$L^4$$ 估计。边界项的处理借鉴了Hoff在动量方程层面的策略，将边界贡献重组为可吸收的形式。在不可压缩极限的分析中，Friedrichs型交换子估计用于处理强收敛性与弱收敛性之间的相互作用。

4. 与之前工作的比较

本文与多个重要工作存在密切关联但在方法和结果上有实质性拓展。与Hoff的工作相比，本文将球对称情形推广到轴对称情形，移除远离真空的限制条件，并考虑了有界域中的边界效应；Hoff在半球域的结果要求小能量假设，而本文允许大初始能量。与Danchin和Mucha的工作相比，本文处理有界域中允许真空的更一般情形，突破了其方法对密度接近常数或零初始总动量的依赖。

在边界条件方面，本文专注于Navier滑移条件，这比no-slip条件更容易处理但仍需仔细处理边界项。与局部存在性爆破准则相关的分析基于Chen-Miao-Zhang的工作，但本文在建立全局存在性时采用了完全不同的策略，通过大体积粘度增强的耗散来避免小能量假设。此外，本文的结果在物理上与大体积粘度相关的流体行为一致，某些双原子气体的体粘度可达剪切粘度的数百甚至数千倍，这为理论结果提供了实际背景。

6. 模糊Landau方程与多物种Landau方程有界解的唯一性

Uniqueness of bounded solutions to the fuzzy Landau and multiespecies Landau equations

作者: F. -U. Caja-Lopez

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27509v1

摘要翻译: 我们证明了在适当的可积性假设下，模糊Landau方程弱解的唯一性以及多物种Landau方程组弱解的唯一性。这些结果基于一类更广泛的具有奇异系数的非线性方程在2-Wasserstein距离下的显式稳定性估计。有趣的是，该类方程包含二维不可压缩Euler方程组、Vlasov-Poisson系统以及Patlak-Keller-Segel模型，从而使我们能够在统一框架下恢复已知的唯一性结果。我们的方法建立在Fournier和Guerin针对齐次Landau方程引入的随机耦合方法之上，并将该方法重新表述为更分析的形式。此外，我们还提出了基于Guillen和Silvestre对称化技术的另一种论证方法，获得了可比较的稳定性估计。

Comment: 36 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27509v1

1. 研究对象和背景

本文研究两类重要的动理学方程：模糊Landau方程和多物种Landau系统的弱解唯一性问题。Landau方程是等离子体物理中描述碰撞电子动力学的核心模型，其方程形式为

\partial_t f + v \cdot \nabla_x f = \int_{\mathbb{R}^3} \text{div}_v \Phi(v-v_*) [f(t,x,v_*) \nabla_v f(t,x,v) - f(t,x,v) \nabla_v f(t,x,v_*)] dv_*,

其中核函数 $\Phi(z) = |z|^{\gamma+2} P(z)$ ， $$P(z)$$ 是到 $\langle z \rangle^\perp$ 的正交投影，参数 $\gamma$ 通常取 $-3 \leq \gamma \leq -1$ ，其中 $\gamma = -3$ 对应物理上最重要的库仑相互作用情形。

模糊Landau方程是经典Landau方程的空间非局部推广，其特点是碰撞是去局域化的：不同空间位置的粒子只要满足空间核 $\kappa(x-x_*) > 0$ 即可发生相互作用。这一模型可视为经典Landau方程与空间齐次Landau方程之间的中间形态，当 $\kappa = \delta_0$ 时可形式上恢复经典方程。

多物种Landau方程则描述 $$N$$ 种相互作用粒子物种的演化，每个物种的质量为 $$m_i$$ ，碰撞算子依赖于不同物种间的质量比和电荷乘积。设初始数据仅有界且具有限第二矩，但整体理论仍不完善。对于一般初始数据，目前仅在齐次情形获得部分结果，如[40]在 $\sqrt{-8} \leq \gamma < -2$ 范围内建立了光滑解的全局存在性。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是建立了两类方程在适当可积性假设下的条件唯一性，具体表述如下。

定理1.1（模糊Landau方程的唯一性）：设 $$f, g$$ 是模糊Landau方程在 $-3 \leq \gamma \leq -2$ 下的两个弱解，空间核 $\kappa$ 有界且Lipschitz。若解属于空间 $$L^1_t L^p_v L^1_x$$ ，其中 $p = \frac{3}{3+\gamma}$ ，则存在连续、递增且满足 $\omega(0)=0$ 的连续模 $\omega$ 使得

\sup_{0 \leq t \leq T} d_2(f(t), g(t)) \leq \omega\left(d_2(f(0), g(0))\right).

该连续模 $\omega$ 依赖于 $$T$$ 、 $\kappa$ 的Lipschitz范数以及解在给定范数下的上界。特别地，由此可得 $$L^1_t L^p_v L^1_x$$ 范围内的唯一性。

定理1.2（多物种Landau方程的唯一性）：设 $(f^{(i)})_{i=1}^N$ 和 $(g^{(i)})_{i=1}^N$ 是多物种齐次Landau方程在 $-3 \leq \gamma \leq 0$ 下的两组弱解。若每个物种满足 $f^{(i)}, g^{(i)} \in L^1_t L^p$ 且 $p = \frac{3}{3+\gamma}$ ，则存在连续模 $\omega$ 使得

\sup_{0 \leq t \leq T} \sum_{i=1}^N d_2(f^{(i)}(t), g^{(i)}(t)) \leq \omega\left( \sum_{i=1}^N d_2(f^{(i)}(0), g^{(i)}(0)) \right).

该连续模依赖于 $T, \gamma, N$ 、质量 $$m_i$$ 、系数 $c_{ij}$ 以及各物种的范数和矩界。

值得强调的是，本文结果将已知唯一性结果统一到一个一般框架中：2D涡度形式的不可压缩Euler方程、Vlasov-Poisson系统和Patlak-Keller-Segel模型均可作为该一般框架的特殊情形。特别地，对于非库仑情形 $\gamma > -3$ ，本文结果比[23]中唯一性指数 $p > \frac{3}{3+\gamma}$ 略有改进，可达到临界指数 $p = \frac{3}{3+\gamma}$ 。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文采用两种互补的研究方法，均以2-Wasserstein距离为核心工具。

方法一：随机耦合方法（耦合方法）

该方法源于Fournier和Guerin在[23, 22]中对齐次Landau方程的工作，本文将其重新诠释为更分析化的形式。基本思想是将模糊Landau方程和多物种Landau方程嵌入到如下更一般形式的非线性方程族中：

\partial_t f = \text{div}\left( c f + (b * f) f \right) + D^2 : \left( M f + (A * f) f \right).

在此框架下，需要验证四个关键假设：(A1) 矩阵可分解为 $A = \sigma \sigma^T$ 和 $$M = m m^T$$ ；(A2) $$c$$ 和 $$m$$ 整体Lipschitz；(A3) 系数在变量分解下满足特定的奇异增长控制；(A4) 系数满足局部Lipschitz估计。

对于两个解 $$f(t)$$ 和 $$g(t)$$ ，通过构造满足特定抛物方程的传输计划曲线 $\Pi(t) \in \Gamma(f(t), g(t))$ 来估计 $$d_2(f(t), g(t))$$ 的演化。选取测试函数 $\varphi(x,y) = \frac{1}{2}|x-y|^2$ 可得微分不等式

\frac{d}{dt} d_2^2(f(t), g(t)) \leq C \Psi\left(d_2^2(f(t), g(t))\right),

其中 $\Psi(x) = \max\{-x\log x, x\}$ ， $$C$$ 依赖于可积性指数和各矩的上界。应用Osgood准则可证明唯一性，且可显式求解该微分不等式得到稳定性估计。

方法二：对称化方法

该方法基于Guillen和Silvestre在[30]中引入的对称化技巧。在[7]中，作者证明了2-Wasserstein距离具有类似的提升性质：设 $$f(t), g(t)$$ 是齐次Landau方程的两个解，则 $\frac{d}{dt} d_2^2(f(t), g(t))$ 可表达为某个线性抛物方程的导数。通过对热方程情形进行计算可知，对于热方程 $$d_2(f,g)$$ 随时间单调递减，且

\frac{d}{dt} d_2^2(f,g) = -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_{\mathbb{R}^n} \|D^2 u\|^2 \rho(s,x) dx ds,

其中 $$u$$ 是Hamilton-Jacobi方程的最优势函数， $\rho(s,x)$ 是连接 $$f$$ 和 $$g$$ 的2-Wasserstein测地线。然而，此方法要求解具有较高正则性（至少 $$C^1$$ 且局部远离零点），因此主要用于提供一种形式化的替代推导，在严格证明中仍采用第一种方法。

关键工具：2-Wasserstein距离定义如下

d_2^2(f,g) = \inf_{\Pi \in \Gamma(f,g)} \int_{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n} |x-y|^2 d\Pi(x,y),

其中 $\Gamma(f,g)$ 是以 $$f$$ 和 $$g$$ 为边际的传输计划集合。该距离在具有限第二矩的概率测度空间中诱导弱收敛和第二矩收敛的拓扑。

4. 与之前工作的比较

本文结果与现有文献的比较可从以下几个维度展开。

与Landau方程唯一性理论的比较：现有文献中，齐次Landau方程在适当假设下的条件唯一性由[23, 22]建立。本文将这些结果推广到模糊Landau方程（具有空间非局部性）和多物种Landau系统。在非库仑情形，本文可达临界可积性指数 $p = \frac{3}{3+\gamma}$ ，而[23]要求 $p > \frac{3}{3+\gamma}$ ，略有改进。

与模糊Landau方程研究的比较：模糊Landau方程首先在[18, 19, 17]中引入，证明了 $$H$$ 解的全局存在性并建立了作为模糊Boltzmann方程 grazing 碰撞极限的推导。随后[28]在 $\gamma \in [-\sqrt{7}, 0]$ 范围内建立了光滑初值解的全局存在性和唯一性。本文与之相比，可处理高度不规则初值（ $$L^1 L^p$$ 空间），并覆盖更软的位势 $\gamma \in [-3, -2]$ 。

与多物种Landau方程研究的比较：多物种Landau方程的研究相对较少。[29]在光滑初值接近平衡态时建立了线性化算子的谱隙和唯一性；[42]研究了两物种系统中一线性化方程的瞬间光滑化效应；[40]和[58]独立地在 $\gamma \in [-\sqrt{8}, 0]$ 范围内建立了光滑解的全局存在性。本文则建立了弱解在 $$L^1 L^p$$ 空间中的唯一性，覆盖整个软位势范围 $\gamma \in [-3, 0]$ 。

统一框架的意义：本文最重要的理论贡献在于提供了一个统一的条件唯一性框架。该框架自然包含多个经典方程：2D不可压缩Euler方程（涡度形式）、Vlasov-Poisson系统和Patlak-Keller-Segel模型。前者有界解的唯一性由[57]建立，后两者分别由[44]和[11]处理。本文将这些分散的结果纳入同一理论体系，展示了方法的一般性和普适性。此外，该框架还可推广到系数显式依赖时间、一般相互作用形式及带边界条件的情形，从而覆盖更广泛的模型类。

7. DiPerna-Lions理论中的随体体积与Reynolds输运定理

Co-moving volumes and Reynolds transport theorem in DiPerna-Lions theory

作者: Kohei Soga

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27491v1

摘要翻译: 随体体积和沿流体流动的Reynolds输运定理是推导流体力学平衡定律的基本工具，其中与光滑向量场相关的常微分方程流映射的经典理论占据核心地位。关于Sobolev空间中Navier-Stokes方程的弱解，DiPerna-Lions（Invent. Math. 1989）将经典常微分方程和流映射的概念推广到属于Sobolev空间的向量场情形。DiPerna-Lions理论还阐明了广义流映射下每个Borel可测集的原像测度在向量场散度意义下的演化规律。另一方面，广义流映射下每个可测集的像——对应于经典理论中的随体体积——未必是可测的。因此，Reynolds输运定理的表述将无法成立。本文我们证明，每个Borel可测集裁剪适当的零测集后是可测的，其测度与未裁剪的经典情形一致。通过这种裁剪定义随体体积，我们证明了广义流映射的Reynolds输运定理。此外，我们还给出了基于原像的Reynolds输运定理表述。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27491v1

1. 研究对象和背景

本文研究的核心问题是将经典流体力学中的共动体积（co-moving volumes）和Reynolds输运定理推广到DiPerna-Lions理论框架下。在经典流体力学中，流体运动由流映射 $X(s,t,\xi)$ 描述，该映射表示在时刻 $$t$$ 位于位置 $\xi$ 的流体微团在时刻 $$s$$ 的位置。速度场定义为拉格朗日速度 $\tilde{v}(s,t,\xi) = \frac{\partial}{\partial s}X(s,t,\xi)$ ，从而推导出欧拉速度场 $$v(s,x)$$ 。流映射满足群性质 $X(s,t,\cdot)^{-1} = X(t,s,\cdot)$ ，并且流体微团的轨迹 $\gamma(s) = X(s,t,\xi)$ 满足常微分方程 $\gamma'(s) = v(s,\gamma(s))$ 。

Reynolds输运定理是推导流体动力学控制方程（如Navier-Stokes方程）的基本工具。例如，对于动量平衡，有

\frac{d}{ds}\int_{X(s,0,A)} \rho(s,x)v(s,x)dx = \text{作用于 } X(s,0,A) \text{ 的合力}

Reynolds输运定理提供了切换 $\frac{d}{ds}$ 和积分运算的公式，从而在 $$A$$ 收缩到单点时得到点形式的平衡定律。

DiPerna-Lions于1989年的开创性工作将经典ODE理论和流映射推广到Sobolev类的向量场。具体而言，对于属于 $L^1([0,T];W^{1,1}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n))$ 且散度 $\nabla\cdot v \in L^1([0,T];L^\infty(\mathbb{R}^n))$ 的向量场 $$v$$ ，他们证明了线性输运方程弱解的唯一性，并由此建立了广义流映射的存在性和性质。这为研究Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解与ODE之间的联系奠定了理论基础。

本文关注的关键难点在于：在DiPerna-Lions理论中，虽然 Borel可测集的逆像 $X(s,t,\cdot)^{-1}(A)$ 的测度演化可以用散度表示（由定理1.1中的(1.8)给出），但可测集在广义流映射下的像 $$X(s,t,A)$$ ——对应于经典理论中的共动体积——却不一定可测。这使得经典形式的Reynolds输运定理无法直接应用。本文在 $\mathbb{R}^3$ 的有界连通开区域 $\Omega$ 上建立完整的理论框架，处理了原始工作中仅简要提及的有界域情形。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是定理1.2，即DiPerna-Lions理论框架下的Reynolds输运定理。为此，文章首先建立了有界域上的DiPerna-Lions定理（定理1.1），作为后续证明的基础。

定理1.1（有界域上的DiPerna-Lions定理）：设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 为有界连通开集且 $\text{meas}(\Omega) = \text{meas}(\overline{\Omega})$ ，向量场 $$v = (v_1,v_2,v_3)$$ 满足

v \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}\times\Omega)^3,\quad \partial_{x_j}v_i \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}\times\Omega),\quad v_i(t,\cdot) \in W^{1,1}(\Omega) \text{ a.e. } t\in\mathbb{R}

则存在ODE $\gamma'(s) = v(s,\gamma(s))$ 的流映射 $X:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\Omega \to \Omega$ ，满足以下性质：对任意 $s,t,\tau\in\mathbb{R}$ 和Borel可测集 $A \subset \Omega$ ，

$X(\cdot,t,\cdot):\mathbb{R}\times\Omega \to \Omega$ 可测，且 $v(\cdot,X(\cdot,t,\cdot)) \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}\times\Omega)^3$ ；
几乎处处满足
$X(t,s,X(s,t,x)) = x, \quad X(s,t,x) = X(s,\tau,X(\tau,t,x))$
且测度估计
$\frac{1}{c_{s,t}}\text{meas}(A) \leq \text{meas}(X(s,t,\cdot)^{-1}(A)) \leq c_{s,t}\text{meas}(A)$
其中 $c_{s,t} = e^{\|\nabla\cdot v\|_{L^1(I_{s,t};L^\infty(\Omega))}}$ ， $I_{s,t} = [s,t]$ 或 $$[t,s]$$ ；
对任意固定 $t\in\mathbb{R}$ 和几乎处处的 $x\in\Omega$ ，存在零测集 $N(t,x)\subset\mathbb{R}$ 使得
$X(s,t,x) = x + \int_t^s v(r,X(r,t,x))dr, \quad \forall s\in\mathbb{R}\setminus N(t,x)$

定理1.2（DiPerna-Lions理论中的Reynolds输运定理）：设 $A\subset\Omega$ 为Borel可测集， $\{X(s,t,A\setminus\dot{N}^A_{s,t})\}_{s,t\in\mathbb{R}}$ 为正则共动体积（即trimmed共动体积），则对任意 $$C^1$$ 光滑函数 $g:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ，有

第一形式（关于像）：

\int_{X(s,t,A\setminus\dot{N}^A_{s,t})} g(s,x)dx = \int_A g(t,x)dx + \int_t^s \int_{X(r,t,A\setminus\dot{N}^A_{r,t})} \left(\frac{\partial g}{\partial r}(r,x) + \nabla g(r,x)\cdot v(r,x) + g(r,x)\nabla\cdot v(r,x)\right) dxdr

第二形式（关于逆像）：

\int_A g(t,x)dx = \int_{X(s,t,\cdot)^{-1}(A)} g(s,x)dx + \int_s^t \int_{X(s,r,\cdot)^{-1}(A)} \left(\frac{\partial g}{\partial r}(r,x) + \nabla g(r,x)\cdot v(r,x) + g(r,x)\nabla\cdot v(r,x)\right) dxdr

测度演化公式：

\text{meas}(X(s,t,A\setminus\dot{N}^A_{s,t})) = \text{meas}(A) + \int_t^s \int_{X(r,t,A\setminus\dot{N}^A_{r,t})} \nabla\cdot v(r,x) dxdr

\text{meas}(X(s,t,\cdot)^{-1}(A)) = \text{meas}(A) + \int_s^t \int_{X(s,r,\cdot)^{-1}(A)} \nabla\cdot v(r,x) dxdr

这些公式是经典Reynolds输运定理和Liouville定理在DiPerna-Lions框架下的极限形式。特别值得注意的是，公式中的项与trimming集 $\dot{N}^A_{r,t}$ 的选择无关，且公式在几乎处处微分形式下也成立。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的研究方法建立在DiPerna-Lions经典理论的基础上，通过光滑逼近和紧致性论证建立广义流映射的性质，并创新性地引入"trimming"技术解决像的可测性问题。

光滑逼近与正则化：考虑包含 $\Omega$ 的有界开球 $$K$$ ，将 $$v$$ 延拓到 $\mathbb{R}^3\setminus\Omega$ 外为零。取磨光子序列 $\{\eta_{\varepsilon_k}\}_{k\in\mathbb{N}}$ ，定义磨光后的向量场 $v_k = v * \eta_{\varepsilon_k}$ 。由于原假设保证 $$v$$ 具有 $W^{1,1}$ 正则性，有 $v_k \in C^\infty(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3)$ 且

\|v_k - v\|_{L^1([T_0,T_1]\times K)} \to 0, \quad \|\partial_{x_j}v_k - \partial_{x_j}v\|_{L^1([T_0,T_1]\times K)} \to 0 \quad (k\to\infty)

光滑向量场 $$v_k$$ 的ODE系统 $$x'(s) = v_k(s,x(s))$$ 存在全局 $$C^1$$ 流映射 $$X_k$$ ，满足 $$X_k(s,t,K) = K$$ 、 $X_k(s,t,\partial K) = \partial K$ 及 $X_k(s,t,\cdot)^{-1} = X_k(t,s,\cdot)$ 。相应地，线性输运方程

\partial_t \rho + v_k\cdot\nabla\rho = 0

的解可显式表示为 $\rho_k(s,t,x) = \rho_0(X_k(s,t,x))$ 。

弱解的存在性与收敛性：对于原始向量场 $$v$$ ，考虑参数化线性输运方程

\partial_t \rho(s,t,x) + v(t,x)\cdot\nabla\rho(s,t,x) = 0, \quad \rho(s,s,x) = \rho_0(x)

利用磨光逼近序列 $\{\rho_k(s,\cdot,\cdot)\}$ ，通过紧致性论证（对角线方法）提取弱收敛子列。由于磨光后的解序列在 $L^\infty$ 范数下一致有界，可得弱极限 $\rho(s,\cdot,\cdot) \in L^\infty_{\text{loc}}(\mathbb{R}\times\Omega)$ 为原方程的弱解。关键估计式验证了弱极限满足弱形式（3.2）和（3.3）。

正则共动体积的构造：广义流映射的核心困难在于像集 $$X(s,t,A)$$ 的可测性。定义不可逆点集

E_{s,t} := \Omega\setminus\{x\in\Omega \mid X(t,s,X(s,t,x)) = x\}

对任意可测集 $A\subset\Omega$ ，引理3.7表明存在零测集 $N^{A}_{s,t}\subset\Omega$ 使得 $X(s,t,A\setminus N^{A}_{s,t})$ 可测。但该像集可能呈现不可控的测度演化。为此，构造trimming集 $\dot{N}^A_{s,t}$ 使得

X(s,t,A\setminus\dot{N}^A_{s,t}) \text{ 可测}, \quad (A\setminus\dot{N}^A_{s,t})\cap E_{s,t} = \emptyset

定义正则共动体积为 $\{X(s,t,A\setminus\dot{N}^A_{s,t})\}_{s,t\in\mathbb{R}}$ 。命题3.12证明了每个正则共动体积的测度演化与经典极限一致，即存在序列 $\{X_k\}$ （磨光 $$v_k$$ 对应的流映射）使得

\lim_{k\to\infty} \text{meas}(X_k(s,t,A)) = \text{meas}(X(s,t,A\setminus\dot{N}^A_{s,t}))

且演化公式与磨光情形下的Liouville定理极限相同。

Reynolds输运定理的证明：对磨光后的流映射 $$X_k$$ ，经典Reynolds输运定理成立（命题2.3）：

\frac{d}{ds}\int_{X_k(s,t,A)} g(s,x)dx = \int_{X_k(s,t,A)} \left(\frac{\partial g}{\partial s} + \nabla g\cdot v_k + g\nabla\cdot v_k\right) dx

利用DiPerna-Lions理论中已建立的强收敛性：存在子列使得 $X_k(s,t,x) \to X(s,t,x)$ 在 $L^1(\Omega)$ 中几乎处处收敛。通过积分恒等式对 $$k$$ 取极限，利用积分号下取极限的控制收敛定理，得到正则共动体积的Reynolds输运公式。逆像情形的证明类似，基于已知的测度演化公式（定理1.1中的(1.8)）。

4. 与之前工作的比较

本文工作与多个先前研究密切相关，但在问题设定、方法技巧和结果深度上有显著差异和推进。

与DiPerna-Lions原始工作[Invent. Math. 1989]的比较：DiPerna-Lions在 $\mathbb{R}^n$ 整体空间建立了广义流映射理论，证明了逆像的测度演化和弱解的唯一性。本文明确聚焦于有界域 $\Omega$ 上的情形，这在原始工作中仅简短提及而缺乏完整细节。有界域情形需要处理边界效应和函数延拓问题。本文通过将 $\Omega$ 嵌入更大的有界球 $$K$$ 并利用零延拓技术克服了这些技术困难，同时假设 $\text{meas}(\Omega) = \text{meas}(\overline{\Omega})$ 以保证边界具有零测度。

与Ambrosio后续工作的比较：Ambrosio在[1]和[2]中将理论推广到BV正则的向量场，建立了更一般的流映射理论。本文虽然保持在DiPerna-Lions的Sobolev框架内，但创新性地处理了像的可测性问题。Ambrosio的工作未涉及共动体积的严格定义和Reynolds输运定理的建立。

与Bothe-Kö hne最近工作的比较：Bothe-Kö hne在[5]中研究了具有间断向量场（如两相流界面）的Reynolds输运定理的另一种推广。当共动体积与界面相交时，输运公式中会出现面积分项。本文处理的是Sobolev向量场的连续情形，得到的公式是经典Reynolds输运定理的直接推广，两者的数学框架和应用场景不同。

在方法论上，本文与经典DiPerna-Lions理论保持一致，即利用磨光逼近和线性输运方程弱解的唯一性。但本文的创新点在于引入trimming技术处理像的可测性问题，这是在非光滑向量场下建立输运定理的必要技术突破。正则共动体积的构造——通过移除与不可逆点集相交的部分——确保了测度演化的可控性，使得Reynolds输运定理在广义框架下得以严格陈述和证明。

本文还改进了紧致性论证。有界域情形下，相比 $\mathbb{R}^n$ 整体空间的原始论证，可以采用更初等和简洁的紧致性方法。磨光论证中函数延拓导致的"流泄漏"问题通过在包含域 $$K$$ 上的整体估计得到妥善处理，这为有界域情形的完整性提供了技术保障。

8. 多层准地转问题的对称性分析与精确解

Symmetry analysis and exact solutions of multi-layer quasi-geostrophic problem

作者: Serhii D. Koval, Alex Bihlo, Roman O. Popovych

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2026-03-27

arXiv ID: 2603.26959v1

摘要翻译: 我们对多层准地转问题进行了扩展的对称性分析。该模型由任意数量的耦合正压涡度方程组所描述。本文首次正确描述了该模型一般情形下的守恒律和哈密顿结构。利用原创方法，我们计算了模型的极大李不变代数和完整点对称伪群。在对李不变代数的一维和二维子代数进行分类之后，我们穷尽地研究了余维一、余维二和余维三的李约化。值得注意的是，在原始非线性模型的不变子模型中，我们获得了若干知名线性方程组的非耦合系统，包括亥姆霍兹方程、修正亥姆霍兹方程、拉普拉斯方程、克莱因-戈登方程、惠特克方程、贝塞尔方程以及线性化本杰明-博纳-马霍尼方程。这些系统的积分在很大程度上依赖于模型垂直耦合矩阵的谱性质，我们对此也进行了详细的重新审视。由此，我们构造了广泛的精确解族，包括定常和传播的斜压罗斯比波、相干斜压涡旋、异旋和局域偶极涡旋的重新表示。我们利用三层海洋模型的真实地球物理数据说明了所获解的物理相关性。

Comment: 65 pages, 9 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2603.26959v1

1. 研究对象和背景

本文研究的对象是多层准地转问题（multi-layer quasi-geostrophic problem），这是一个描述分层不可压缩流体动力学的数学模型。该模型将流体视为具有不同密度的多个常数密度层堆叠而成，在"刚盖"（rigid-lid）和平底近似下描述大尺度海洋和大气运动。

从物理角度来看，准地转近似假设速度场的垂直分量可以忽略不计，而在水平方向上运动满足m个耦合的涡度方程。模型中的关键参数包括：各层的平均厚度 $$H_i > 0$$ 、各层流体密度 $\rho_i$ （满足 $\rho_1 < \cdots < \rho_m$ ）以及相应的约化重力 $g'_i = g(\rho_{i+1} - \rho_i)/\rho_0 > 0$ 。层与层之间的耦合由特定的三对角矩阵 $$F$$ 给出，其元素为 $f_{i,i-1} = f_0^2/(H_i g'_{i-1}) > 0$ 和 $f_{i,i+1} = f_0^2/(H_i g'_i) > 0$ 。

从数学角度而言，该模型由以下耦合涡度方程组描述：

q_i^t + \{\psi_i, q_i\} = 0

其中 $q_i := \Delta\psi_i + f_{i,i-1}(\psi_{i-1} - \psi_i) - f_{i,i+1}(\psi_i - \psi_{i+1}) + \beta y$ ， $\psi_i = \psi_i(t,x,y)$ 是第 $$i$$ 层的流函数， $$q_i$$ 是准地转位势涡度， $\{\cdot,\cdot\}$ 表示关于 $$(x,y)$$ 的泊松括号， $\beta$ 是Rossby参数。

该研究领域的重要性在于：在海洋或大气建模中，关于流体运动动力学的数值研究文献远远多于寻找显式精确闭式解的文献。然而，即使在数值分析范围内，精确解仍然很重要，因为它们为开发和验证有限差分格式或其他数值技术提供了参考基准。李群分析是构造非线性偏微分方程组精确解最强大的框架之一。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可以归纳为以下几个方面：

第一，本文首次正确描述了一般情形下多层准地转问题的守恒律和哈密顿结构。这包括构建了该模型完整的局部守恒律族以及其哈密顿表述，为理解该模型的深层数学结构提供了理论基础。

第二，本文计算了该模型的最大李不变代数和完整的点对称伪群（point-symmetry pseudogroup）。利用两种原创技巧：其一，将独立空间变量 $$(x,y)$$ 形式地改为复共轭变量 $$z = x+iy$$ 和 $\bar{z} = x-iy$ ，这允许引入变量的一定排序并简化表达式的大小；其二，将一般形式的系统类视为嵌套类链中的最低成员，通过依次应用无穷小不变性准则到链中的类来简化确定方程的推导。

第三，本文对李不变代数的一维和二维子代数进行了分类，并穷尽地研究了余维数为一、二和三的李约化。值得注意的是，在原始非线性模型的不变子模型中，本文得到了若干已知的线性方程组的非耦合系统，包括Helmholtz方程、修正Helmholtz方程、Laplace方程、Klein-Gordon方程、Whittaker方程、Bessel方程和线性化Benjamin-Bona-Mahony方程。

第四，本文构造了广泛的精确解族，包括重新发现的定常和传播的斜压Rossby波、相干斜压涡旋、hetons和局域偶极涡旋。文章使用真实地球物理数据（三层海洋模型）说明了所得解的物理相关性。具体而言，对于三层模型，垂直耦合矩阵的特征值分别约为 $\lambda_1 \approx -12.9 \times 10^{-10}$ 、 $\lambda_2 \approx -3.1 \times 10^{-10}$ 和 $\lambda_3 = 0$ ，对应的特征向量为 $e_1 \approx (1,-0.54,0.08)^T$ 、 $e_2 \approx (1,0.63,-0.74)^T$ 和 $$e_3 = (1,1,1)^T$$ 。

第五，本文详细重新审视了垂直耦合矩阵 $$F$$ 的谱性质。在正向物理约束下，证明了矩阵 $$F$$ 的秩为 $$m-1$$ 、可对角化、具有互不相同的负特征值（除一个为零的特征值外），以及其特征多项式的系数均为正（除零次项为零外）。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文采用的核心研究方法是李群分析（Lie group analysis），结合了多种原创性技术和工具。

在李对称性计算方面，作者开发了两种原创技巧。第一种技巧是将独立空间变量 $$(x,y)$$ 形式地改为复共轭变量 $$z = x+iy$$ 和 $\bar{z} = x-iy$ 。这一变换的理论依据在于它能够引入变量的一定自然排序，从而减少表达式的大小，并使得处理涉及变量的方程变得更加系统化。第二种技巧是将一般形式的方程组类视为嵌套类链中的最低成员。由于超类中的一般系统对其任意元素的约束比真子类少，因此更容易处理相应的不变性条件，并且只在不涉及超类任意元素的高阶变量上分裂。这种层级化的方法显著简化了各层次中完全确定方程系统的推导过程。

在点对称伪群计算方面，本文使用了基于 megaideal（ mega理想）的代数方法。这种方法通过系统地识别李代数中的mega理想结构，能够穷尽地分类点对称系统中的离散元素。

在矩阵谱分析方面，本文对垂直耦合矩阵 $$F$$ 进行了深入的谱分析。通过相似变换 $F \to D^{-1}FD$ （其中 $D = \text{diag}(d_1,\dots,d_m)$ ， $d_i = \sqrt{f_{21}\cdots f_{i,i-1}H_1 / (f_{12}\cdots f_{i-1,i}H_i)}$ ），将矩阵 $$F$$ 化为对称三对角矩阵 $$S$$ 。这证明了 $$F$$ 可对角化且特征值均为实数。进一步地，通过对特征多项式 $P(\lambda) = \det(\lambda E - F)$ 的分析，证明了在物理正向约束下， $$F$$ 的非零特征值均为负实数。

在不变解构造方面，本文采用了系统化的李约化方法。首先对李代数进行子代数分类，然后在各类子代数下进行约化，得到常微分方程组或特殊函数方程。对于余维数一约化，得到部分线性的偏微分方程组，可以进一步约化为线性常微分方程；对于余维数二约化，直接得到阶数至多三的常系数线性常微分方程，可以完全显式积分或在求积意义下求解。

在数值验证方面，本文使用来自真实地球物理数据的三层海洋模型参数进行验证，包括Coriolis参数 $f_0 = 1.0 \times 10^{-4} \, \text{s}^{-1}$ 、层厚度 $H_1 = 600 \, \text{m}$ 、 $H_2 = 1400 \, \text{m}$ 、 $H_3 = 2000 \, \text{m}$ 、约化重力 $g'_1 = 2.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ 、 $g'_2 = 3.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ 以及Rossby参数 $\beta = 1.6 \times 10^{-11} \, (\text{m}\cdot\text{s})^{-1}$ 。

4. 与之前工作的比较

本文的研究建立在前期大量工作的基础上，并在多个方向实现了实质性的推广和突破。

在单层模型层面，最基本的模型是著名的Lorenz系统，这是一个捕获非线性混沌但牺牲了空间分辨率的三阶常微分方程组。下一个更复杂的模型是单层正压涡度方程，它将流体简化为单层常密度流，但仍允许空间动力学研究。该方程的李对称性和精确解已在文献中有所收集，其点对称群也在早期研究中得到计算。与之相比，本文处理的模型考虑了多层结构，能够更真实地反映海洋和大气的垂直分层特性。

在双层模型层面，经典的两层模型的对称性分析已在文献中完成，其Lax表示和守恒律也已构造。本文将研究推广到任意层数 $$m$$ 的情形，这在数学上具有实质性困难——据作者所知，在李群分析文献中，尚未有人从对称性角度考虑包含任意数量耦合方程的非线性偏微分方程组系统。任意性 $$m$$ 使得直接应用专门的计算机代数包来寻找李代数变得不可能，必须发展新的分析技巧。

在原始方程层面，原始方程（primitive equations）由连续方程、动量方程和热能方程三组平衡方程组成，是全球天气预报的标准模型。关于原始方程的部分经典对称性分析包括计算其最大李不变代数、点对称伪群和一些Lie不变解族。本文研究的多层准地转模型虽然是对原始方程的简化，但保留了关键的斜压不稳定性机制，同时在数学结构上更加清晰，便于进行系统的对称性分析。

在海洋多尺度现象描述方面，本文首次系统地构建了与各种线性方程（如Helmholtz、Whittaker、Bessel等）相关联的精确解族，并将这些数学解与物理现象（如Rossby波、涡旋、hetons、modons等）联系起来。这种数学物理的统一描述在之前的文献中未曾如此完整地呈现。

在理论贡献方面，本文的方法论创新——特别是关于任意参数系统李对称计算的技巧和megaideal方法的应用——为处理其他具有任意数目耦合方程的偏微分方程组系统提供了可借鉴的范式。此外，本文对垂直耦合矩阵 $$F$$ 的谱性质的严格证明（关于负特征值的存在性），虽然在部分海洋学文献中有所提及，但缺乏严格的证明，本文补全了这一理论缺口。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 长波与短波耦合系统中孤立波的分岔

Bifurcations of solitary waves in a coupled system of long and short waves

作者: James Hornick, Dmitry E. Pelinovsky

类别: math.AP, math.DS, nlin.PS, nlin.SI, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28531v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28531v1

摘要翻译

中文标题: 长波与短波耦合系统中孤立波的分岔

摘要翻译: 我们研究Korteweg-de Vries (KdV)方程与线性薛定谔 (LS)方程耦合系统中的孤立波族。该模型已被用于描述长波与短波之间的相互作用。为了刻画孤立波族，我们考虑非耦合KdV孤子的一系列局部（叉形）分岔。该序列的第一个成员是KdV孤子与LS方程基态的耦合，已被证明是在固定质量和动量条件下能量的约束极小化子。该序列的其他成员是KdV孤子与LS方程激发态的耦合。我们将前两个分岔与文献中常用的KdV-LS系统的精确解联系起来。

2. 具有强度依赖色散的模型中周期波的稳定性

Stability of periodic waves in the model with intensity–dependent dispersion

作者: Fábio Natali, Dmitry E. Pelinovsky, Shuoyang Wang

类别: math.AP, math.CA, math.DS, nlin.PS, nlin.SI

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28514v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28514v1

摘要翻译

中文标题: 具有强度依赖色散的模型中周期波的稳定性

摘要翻译:

我们研究由具有强度依赖色散系数的非线性薛定谔方程所建模的驻波周期波。当驻波的频率低于临界频率时，其空间周期轮廓是光滑的；而当频率达到临界频率时，轮廓变为尖峰形式（分段连续可微，一阶导数存在有限跳跃）。我们证明了存在两族具有光滑轮廓的周期波，它们被一条同宿轨道所分隔。周期函数（即能量到周期的映射）在同宿轨道内部的周期波族上单调递增，而在同宿轨道外部的周期波族上单调递减。这一性质使我们能够推导出这类驻波周期波在时间演化下的能量稳定性的精确准则，该准则适用于具有相同周期的周期扰动；此外，对于同宿轨道外部的周期波族，还要求扰动相对于半周期呈空间奇对称。通过数值逼近该精确稳定性准则，我们发现这两族周期波在低频情况下均具有能量稳定性，但当频率接近尖峰波的临界频率时都会变得不稳定。

3. 一类直线上非局部NLS方程在完整尺度-次临界范围内的适定性

Well-posedness in the full scaling-subcritical range for a class of nonlocal NLS on the line

作者: Sonae Hadama

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28055v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28055v1

摘要翻译

中文标题: 一类直线上非局部NLS方程在完整尺度-次临界范围内的适定性

摘要翻译:

本文研究了一类直线上的一维非局部非线性薛定谔方程，其非线性项由傅里叶乘子给出，该乘子的符号具有次临界高频增长。从符号阶数的角度来看，该类方程介于立方非线性薛定谔方程与Calogero-Moser导数非线性薛定谔方程之间。我们证明了在 $L^2(\mathbb{R})$ 空间中，局部适定性在整个尺度-次临界范围内成立。由于存在导数损失，对于粗糙数据，标准的杜哈梅尔积分并无直接意义。为避免这一问题，我们首先为粗糙的时变势 $$V$$ 构造了传播子 $$S_V$$ ，然后证明了扰动流 $$S_V$$ 的大泽-津沼型双线性斯特拉赫特估计。这些线性理论给出了粗糙解的具体构造方法，而无需利用任何方程特定的代数结构。对于实值符号，质量是守恒的，因此局部解是全局的。

4. 二维深水流体弹性斯托克斯波的非线性调制不稳定性

Nonlinear modulational instability of two-dimensional deep hydroelastic Stokes waves

作者: Lizhe Wan, Jiaqi Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28024v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28024v1

摘要翻译

中文标题: 二维深水流体弹性斯托克斯波的非线性调制不稳定性

摘要翻译: 本文研究了无限深水中二维流体弹性斯托克斯波的非线性调制不稳定性。首先，我们借鉴Ifrim-Tataru [22]的思想，验证了二维深水流体弹性波系统的聚焦型三次非线性薛定谔（NLS）近似结果。随后，利用该三次NLS方程的不稳定性机制，证明了斯托克斯波在长波扰动下呈现非线性不稳定性。

5. 混合相互作用下均值场博弈模型解的存在性与多解性

Existence and multiplicity of solutions to the mean-field games model with mixed interactions

作者: Xinfu Li, Xiangqing Liu, Juncheng Wei, Yuanze Wu

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.27919v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27919v1

摘要翻译

中文标题: 混合相互作用下均值场博弈模型解的存在性与多解性

摘要翻译:

本文研究均值场博弈（MFG）模型的稳态版本。受文献 \cite{Albuquerque-Silva2020, Bieganowski-Mederski2021, Lin-Wei05, Mederski-Schino2021} 启发，我们发展了文献 \cite{Soave20JDE, Soave20JFA} 中引入的Pohozaev流形上的最小化方法，建立了具有2次齐次哈密顿量和混合相互作用的均值场博弈（MFG）模型稳态版本的存在性理论。作为应用，我们在更一般的条件下证明了具有一般 $$p$$ 次齐次哈密顿量和混合相互作用的均值场博弈（MFG）模型径向解的存在性与多解性，其中部分条件即使对于2次齐次哈密顿量也是全新的。我们希望本文所引入的技术和思路将有助于理解一般 $$p$$ 次齐次哈密顿量和混合相互作用下均值场博弈（MFG）模型径向解存在性理论中总质量的最优值，以及其他相关模型中的相应问题。

6. 等变临界点理论与三维重力-毛细管Stokes波的分岔

Equivariant critical point theory and bifurcation of $$3d$$ gravity-capillary Stokes waves

作者: Tommaso Barbieri, Massimiliano Berti, Marco Mazzucchelli

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27847v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27847v1

摘要翻译

中文标题: 等变临界点理论与三维重力-毛细管Stokes波的分岔

摘要翻译:

我们建立了三维重力-毛细管周期行波的新颖存在性结果。特别地，我们证明了具有任意非共振二维Stokes波动量的多个几何不同的真三维Stokes波的分岔。这种Stokes波的意外聚集现象在物理流体中已被观察到，是水波方程的哈密顿性质、对称群以及新型拓扑论证的根本性结果。我们对定义在联结拓扑空间上的泛函采用变分Lyapunov-Schmidt约化结合等变Morse-Conley理论，该空间在二维环面作用下保持不变。尽管约化在二维波的超平面附近是先验奇异的，但我们通过充分运用对称群来克服这一困难。该方法给出了三维重力-毛细管Stokes波完整分岔图景。

7. 弱非线性水弹性水波模型

Weakly nonlinear models for hydroelastic water waves

作者: Diego Alonso-Orán, Rafael Granero-Belinchón, Juliana S. Ziebell

类别: math.AP, math-ph, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27802v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27802v1

摘要翻译

中文标题: 弱非线性水弹性水波模型

摘要翻译: 本研究推导了耦合非线性粘弹性板的水弹性水波的简化界面模型。在弱非线性小斜率 regime 下，我们获得了双向非局部演化方程，该方程能够捕捉至二次阶的界面动力学特征；此外，我们还推导了两个单向模型，用于描述单向传播过程，同时保留了由粘弹性板引起的主要色散和耗散效应。值得指出的是，其中一个双向模型具有双重非线性结构，具体表现为存在一个非线性椭圆算子作用于界面的加速度项。通过双参数正则化和嵌套不动点方法，我们证明了该双向模型在小初值条件下的局部适定性。对于单向模型，我们获得了任意初值条件下的局部适定性以及小初值条件下的全局适定性。

8. 黎曼流形上Leibenson方程解的精确远距离上界估计

Sharp long distance upper bounds for solutions of Leibenson’s equation on Riemannian manifolds

作者: Alexander Grigor’yan, Jin Sun, Philipp Sürig

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27791v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27791v1

摘要翻译

中文标题: 黎曼流形上Leibenson方程解的精确远距离上界估计

摘要翻译:

我们在黎曼流形上研究Leibenson方程 $\partial _{t}u=\Delta _{p}u^{q}$ ，该方程也被称为双重非线性演化方程。我们证明了在非负Ricci曲率的黎曼流形上，当参数 $$p>1$$ 和 $$q>0$$ 满足条件 $$q(p-1)<1$$ 的整个范围内，该方程弱下解的精确上界估计。由此，我们改进了文献 \cite{Grigoryan2024a} 中的结果，并证明了文献 \cite{Grigoryan2024a} 中的猜想1.2。

9. 径向非线性动力学的三联性：里卡蒂方程、薛定谔方程与哈密顿—雅可比—贝尔曼方程的分析

The Triality of Radial Nonlinear Dynamics: Analysis of Riccati, Schrödinger, and Hamilton–Jacobi–Bellman Equations

作者: Dragos-Patru Covei

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27772v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27772v1

摘要翻译

中文标题: 径向非线性动力学的三联性：里卡蒂方程、薛定谔方程与哈密顿—雅可比—贝尔曼方程的分析

摘要翻译:

本研究建立了一个用于分析径向微分方程的综合数学框架，揭示了三类不同问题之间的本质联系：非线性里卡蒂方程、线性薛定谔方程以及随机控制的哈密顿—雅可比—贝尔曼方程。我们在有界域和无界域上证明了正则解的存在性与唯一性，并确定了精确的增长速率与渐近行为。此外，我们对噪声强度参数进行了敏感性分析，利用奇异扰动理论刻画了确定性态与扩散主导态之间的转换机制。我们的理论结果通过数值模拟得到了验证，证实了所预测的反馈定律及系统的结构稳定性。这种统一的方法深刻揭示了全局波函数与局部动力漂移之间的对偶性，为在中心势场下分析多维随机过程提供了严格的理论基础。

10. 基于远场变换的简支障碍物点源测量因子分解法

Factorization method for a simply supported obstacle from point source measurements via far–field transformation

作者: Isaac Harris, Andreas Kleefeld

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27647v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27647v1

摘要翻译

中文标题: 基于远场变换的简支障碍物点源测量因子分解法

摘要翻译:

本文研究双调和Helmholtz方程的二维逆形状问题，即从近场点源测量数据中恢复未知简支障碍物。测量数据包含障碍物周围闭合测量曲线上的散射场及其拉普拉斯算子值。通过对双调和算子进行算子分裂，我们将散射场分解为传播分量和衰减分量。这种解耦机制使得我们能够将测量数据重新表述为声学软散射体的声学近场算子形式。由于声学近场算子本身不具备因子分解法所要求的对称因子分解性质，我们引入了一种独立于障碍物的远场变换，将近场算子扩展为具有对称因子分解的远场算子。由此得到了障碍物的严格因子分解法特征描述，并基于变换算子的谱数据提出了实用的重建算法。最后，我们展示了合成数据的数值实验结果，验证了该方法在噪声条件下的稳定性，说明了正则化的作用，其中包括一种仅使用散射场数据的变体方法。

11. 张量场上的Radon变换：单性、值域与唯一延拓原理

Radon Transform over Tensor Fields: Injectivity, Range, and Unique Continuation Principle

作者: Rohit Kumar Mishra, Chandni Thakkar

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27638v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27638v1

摘要翻译

中文标题: 张量场上的Radon变换：单性、值域与唯一延拓原理

摘要翻译: 积分几何反问题研究的核心目标在于理解核特征、反演公式、稳定性估计、值域特征以及积分变换的唯一延拓性质。本文研究了作用于 $\mathbb{R}^n$ 中对称 $$m$$ -阶张量场的Radon变换的上述所有性质。研究结果表明，这些变换具有相容的解析结构，将经典Radon变换和张量射线变换的若干关键特征推广到了更广泛的几何框架中。

12. 一类带诺依曼边界条件的退化双曲方程及其在可观控性中的应用

A Class of Degenerate Hyperbolic Equations with Neumann Boundary Conditions and Its Application to Observability

作者: Dong-Hui Yang, Jie Zhong

类别: math.AP, math.OC

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27525v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27525v1

摘要翻译

中文标题: 一类带诺依曼边界条件的退化双曲方程及其在可观控性中的应用

摘要翻译:

我们在柱形域 $\Omega = \mathbb{T} \times (0,1)$ 上建立了一类退化双曲方程的混合可观控性不等式，该方程具有混合诺依曼-狄利克雷边界条件。退化仅发生在径向变量方向，而周期性的角向变量允许具有强切向分量的传播，这使得直接的上边界观测变得微妙。对于 $\alpha \in [1,2)$ ，我们证明了该解可以通过上边界的边界观测结合窄条区域上的内部观测来控制。证明综合运用了加权函数框架、改进的正则性、角向变量的截断分解、局部化分量的乘子法以及余项的能量估计。

13. 带部分反平方势的波动方程的 $$L^p$$ 估计

$$L^p$$ -estimates for the wave equation with partial inverse-square potentials

作者: Jialu Wang, Chengbin Xu, Fang Zhang, Junyong Zhang

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27111v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27111v1

摘要翻译

中文标题: 带部分反平方势的波动方程的 $$L^p$$ 估计

摘要翻译:

本文研究了受尺度临界部分反平方势扰动的波动方程解的 $$L^p$$ 估计。我们考察了一个模型，其中势能的奇异性仅出现在部分变量上，对应于 $\mathbb{R}^{2+n}$ 上的薛定谔算子 $\mathcal{H}_a = -Δ_x - Δ_y + a/|x|^2$ 。通过谱分析，我们建立了波传播算子 $(1+\sqrt{\mathcal{H}_a})^{-γ} e^{it\sqrt{\mathcal{H}_a}}$ 的 $$L^p$$ 有界性，对于满足 $$|1/p -1/2| < γ/(n+1)$$ 的指数范围 $$γ$$ 和 $$p$$ 。关键工具是部分反平方算子 $\mathcal{H}_a$ 的谱测度核以及复插值方法。

不相关论文（基本信息）

1. 弗洛奎特-狄拉克哈密顿量中的慢色散

Slow dispersion in Floquet-Dirac Hamiltonians

作者: Anthony Bloch, Amir Sagiv, Stefan Steinerberger

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28715v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28715v1

摘要: We study dispersive decay for non-autonomous Hamiltonian systems. While the general theory for dispersion in such non-autonomous systems is largely open, it was shown \cite{kraisler2025time} that there exists a time-periodically forced one-dimensional Dirac equation with unusually slow dispersive decay rate of $t^{-1/5}$ . It is to be expected that such behavior is not generic and requires a very particular forcing term; we provide a more general ansatz and systematic procedure to construct such an equation with a dispersive decay rate no faster than $t^{-1/10}$ . Our limitations are purely algebraic and it stands to reason that arbitrarily slow decay, $t^{-\varepsilon}$ for every $\varepsilon > 0$ , should be achievable.

2. 非均匀介质中光的自旋霍尔效应的数学描述

A mathematical description of the spin Hall effect of light in inhomogeneous media

作者: Sam C. Collingbourne, Marius A. Oancea, Jan Sbierski

类别: math.AP, math-ph, physics.optics

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28697v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28697v1

摘要: We study Gaussian wave packet solutions for Maxwell’s equations in an isotropic, inhomogeneous medium and derive a system of ordinary differential equations that captures the leading-order correction to geodesic motion. The dynamical quantities in this system are the energy centroid, the linear and angular momentum, and the quadrupole moment. Furthermore, the system is closed to first order in the inverse frequency. As an immediate consequence, the energy centroids of Gaussian wave packets with opposite circular polarisations generally propagate in different directions, thereby providing a mathematical proof of the spin Hall effect of light in an inhomogeneous medium.

3. 趋氧性"迁徙或生长"模型的前缘位置

Front Location for Go or Grow Models of Aerotaxis

作者: Mete Demircigil, Christopher Henderson

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28663v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28663v1

摘要: We investigate the pushed-to-pulled transition for a minimal model for invasive fronts influence by aerotaxis,'' that is, when organisms follow oxygen gradients. We consider two singular reaction-advection-diffusion models for this. The version of primary interest arises as a hydrodynamic limit of a system of branching, rank-based interacting Brownian particles and features a nonlinear, nonlocal advection. The second version is introduced here as a local counterpart. We establish well-posedness for both models, with the local case requiring a novel use of the shape defect function.’’ We further characterize the front location up to $$O(1)$$ precision in all cases, including the delicate boundary ``pushmi-pullyu’’ case.

4. 大质量Thirring模型中代数孤子的有理解

Rational solutions for algebraic solitons in the massive Thirring model

作者: Zhen Zhao, Cheng He, Baofeng Feng, Dmitry E. Pelinovsky

类别: nlin.SI, math-ph, math.AP, math.DS, nlin.PS

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28544v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28544v1

摘要: An algebraic soliton of the massive Thirring model (MTM) is expressed by the simplest rational solution of the MTM with the spatial decay of $\mathcal{O}(x^{-1})$ . The corresponding potential is related to a simple embedded eigenvalue in the Kaup–Newell spectral problem. This work focuses on the hierarchy of rational solutions of the MTM, in which the $$N$$ -th member of the hierarchy describes a nonlinear superposition of $$N$$ algebraic solitons with identical masses and corresponds to an embedded eigenvalue of algebraic multiplicity $$N$$ . We show that the hierarchy of rational solutions can be constructed by using the double-Wronskian determinants. The novelty of this work is a rigorous proof that each solution is defined by a polynomial of degree $$N^2$$ with $$2N$$ arbitrary parameters, which admits $\frac{N (N-1)}{2}$ poles in the upper half-plane and $\frac{N(N+1)}{2}$ poles in the lower half-plane. Assuming that the leading-order polynomials have exactly $$N$$ real roots, we show that the $$N$$ -th member of the hierarchy describes the slow scattering of $$N$$ algebraic solitons on the time scale $\mathcal{O}(\sqrt{t})$ .

5. 具有里奇下界的黎曼流形上半线性椭圆问题的比较方法

Comparison methods for semilinear elliptic problems on Riemannian manifolds with a Ricci lower bound

作者: José M. Espinar, Fernán González-Ibáñez, Diego A. Marín

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28479v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28479v1

摘要: In the first part of the article we develop a comparison method for positive solutions of the semilinear Dirichlet problem $$Δu+f(u)=0$$ on domains $Ω\subset \mathcal M^n$ of a Riemannian manifold $(\mathcal{M}^n,g)$ with a Ricci lower bound $\operatorname{Ric}_g\ge (n-1)k\,g$ . Assuming admissibility and structural conditions on $$f$$ , we prove a sharp pointwise gradient comparison, with a rigid characterization of the equality case. As applications, we derive an explicit isoperimetric-type inequality and a quantitative hot-spot localization estimate under natural convexity assumptions. In the second part, on $\mathbb S^n$ we show that isoparametric foliations produce non-rotational $$f$$ -extremal domains, and that these examples descend to smooth quotients under free isometric actions preserving the foliation.

6. 关于主算子的收敛性结果

A convergence result for the master operator

作者: Wenxiong Chen, Yahong Guo, Congming Li, Yugao Ouyang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28477v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28477v1

摘要: In this paper, we establish a convergence result for the fully fractional heat operator $\ma{s}$ , also known as the master operator, stated as follows:

\mbox{If\ }u_i\to u\ \mbox{in}\ C^{2,1}_{x,t,loc}(\R^n\times\R),\ \mbox{then}\ \ma{s} u_i\to \ma{s}u-b\ \mbox{a.e. in}\ \R^n\times\R,

for some nonnegative constant $$b$$ . This result addresses a fundamental question in the blow-up and rescaling analysis, which are essential for establishing a priori estimates for solutions of master equations. Additionally, we present examples demonstrating that in certain cases, the constant $$b$$ can indeed be positive. This highlights a key distinction between nonlocal and local operators: for a local heat operator, such as $\partial_t - \lap$ , it is well-known that $b \equiv 0$ .

7. 四元数球面上的改进索伯列夫不等式

Improved Sobolev Inequalities on the Quaternionic Sphere

作者: Zongxiong Ren, Zhipeng Yang

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28469v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28469v1

摘要: In this paper we establish improved Sobolev inequalities on the quaternionic sphere under higher-order moment vanishing conditions with respect to the measure $|u|^{p^*}\,dξ$ . As an application, we give a new proof of the existence of extremals for the sharp Sobolev embedding

S^{1,2}(S^{4n+3}) \hookrightarrow L^{2^*}(S^{4n+3}).

8. 改进的分数阶索伯列夫嵌入在闭黎曼流形上的等距群作用下

Improved Fractional Sobolev Embeddings on Closed Riemannian Manifolds under Isometric Group Actions

作者: Hao Tan, Zhipeng Yang

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28451v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28451v1

摘要: In this paper, we study symmetry-improved fractional Sobolev embeddings on closed Riemannian manifolds under the action of compact isometry groups. We prove that $$G$$ -invariant fractional Sobolev spaces embed into higher $$L^p$$ spaces, with corresponding compactness results depending on the minimal orbit dimension. We also investigate the associated optimal constants in the improved critical inequality and in the standard critical inequality under finite-orbit symmetry.

9. $\mathcal{O}_C$ 类中的返回映射：几何、动力学与厚度递降

The Return Map in the Class $\mathcal{O}_C$ : Geometry, Dynamics, and Thickness Descent

作者: Mohammed Barkatou, Mohamed El Morsalani

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28445v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28445v1

摘要: We investigate a geometric dynamical mechanism arising in the class $\mathcal{O}_C$ of domains containing a fixed convex set $$C$$ and satisfying two geometric normals properties introduced by Barkatou \cite{barkatou2002}. The first property induces a radial structure linking the boundaries $\partial C$ and $\partialΩ$ through a thickness function $d:\partial C\to\mathbb{R}_+$ . Using this structure, we introduce a natural return map obtained by composing the radial projection from $\partial C$ to $\partialΩ$ with the map that follows inward normals from $\partialΩ$ back to $$C$$ . This construction generates a discrete dynamical system on $\partial C$ . We prove that the return map admits the first-order expansion

F(c)=c-2d(c)\nabla_{\partial C}d(c)+ \text{higher order terms},

which reveals that the induced dynamics behaves, to leading order, like an adaptive gradient descent for the thickness function. The expansion incorporates curvature corrections arising from the convex core $\partial C$ \cite{doCarmo1976}. Consequently, the fixed points of the dynamics coincide with the critical points of $$d$$ , and the iteration admits a natural Lyapunov structure \cite{nesterov2004}. The construction reveals a hidden geometric mechanism: a transformation acting on $\partial C$ emerges from a round-trip through the outer boundary $\partialΩ$ , a phenomenon reminiscent of holonomy \cite{sharpe1997}. Numerical simulations illustrate convergence to fixed points, limit cycles, and chaotic behavior. Connections with variational problems (Cheeger, Faber-Krahn, Saint-Venant) within the class $\mathcal{O}_C$ are also explored \cite{henrot2018}.

10. Vlasov-Klein-Gordon系统小解在高维情形下的渐近行为

Asymptotic behavior of small solutions to the Vlasov–Klein–Gordon system in high dimensions

作者: Ho Lee

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28438v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28438v1

摘要: We study the asymptotic behavior of small solutions to the Vlasov–Klein–Gordon system in high dimensions. The standard argument of Glassey and Strauss \cite{GS87} for studying small solutions to the Vlasov–Maxwell system does not apply to the Vlasov–Klein–Gordon system due to the massiveness of the Klein–Gordon field. In this paper we use the vector field method and consider solutions in dimensions $n \geq 4$ with the hyperboloidal foliation of the Minkowski spacetime to obtain the asymptotic properties for the Vlasov–Klein–Gordon system.

11. 关于加权图上质量性的维纳准则

On Weiner criterion for massiveness on weighted graphs

作者: Lu Hao

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28358v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28358v1

摘要: This paper investigates $$p$$ -harmonic functions on infinite, connected, and locally finite weighted graphs. We focus on the concept of $$p$$ -massiveness, establishing its equivalent characterization with the non-uniqueness of bounded solutions to the Dirichlet boundary value problem. Furthermore, for graphs satisfying the volume doubling condition and the weak $$(1,p)$$ -Poincaré inequality, we establish a Wiener-type criterion at infinity to determine the $$p$$ -massiveness of an infinite set.

12. 基于缩减内部数据的耦合反应扩散系统反源问题

Inverse source problems with reduced interior data for a coupled reaction-diffusion system

作者: Xinyue Luo, Masahiro Yamamoto, Jin Cheng

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28350v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28350v1

摘要: We consider a two-component semilinear reaction-diffusion system in a bounded spatial domain $$Ω$$ over a time interval $$(0,T)$$ , which governs the water density $$u(x,t)$$ and the vegetation biomass density $$v(x,t)$$ for $x\inΩ$ and $$0<t<T$$ . In this system, called the Klausmeier-Gray-Scott model, we assume that an unknown source depends only on the spatial variable and appears in the reaction-diffusion equation for $$u$$ . The main subject is the inverse source problem of determining a source term from limited data on $$(u,v)$$ . We establish two kinds of stability estimates by means of Carleman estimates. First, a Carleman estimate with a singular weight yields a Lipschitz stability estimate for the inverse source problem from data consisting of a snapshot $u(\cdot,t_0)$ in $$Ω$$ and $$(u,v)$$ in a subdomain $$ω$$ over a time interval. Second, without assuming boundary data, we prove a Hölder stability estimate in any interior subdomain $$Ω_0$$ satisfying $\overline{Ω_0}\subsetΩ$ . We further study how much the observation data can be reduced while preserving uniqueness and stability in the inverse problem under suitable additional conditions.

13. 拟线性椭圆方程的反源问题

An inverse source problem for a quasilinear elliptic equation

作者: Tony Liimatainen, Shubham Jaiswal

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28311v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28311v1

摘要: We initiate the study of inverse source problems for quasilinear elliptic equations of the form

\left\{ \begin{array}{ll} \nabla \cdot (γ(x,u,\nabla u) \nabla u) = F & \text{in } Ω, \\ u = f & \text{on } \partialΩ, \end{array} \right.

where $Ω\subset \mathbb{R}^n$ , $n \geq 2$ , is a simply connected bounded domain. We consider the specific nonlinearity $γ(x,u,\nabla u) = σ(x) + q(x) u$ , with $$q$$ assumed to be known. By exploiting the nonlinearity to break the gauge invariance of the problem, we establish unique recovery of both $$σ$$ and $$F$$ from the associated Dirichlet-to-Neumann (DN) map under the structural conditions $$q$$ and $\nabla(σ/q)$ are nowhere vanishing in $\overlineΩ$ . In the absence of these conditions, in particular in the linear case, we demonstrate that the inverse problem admits a gauge obstructing the uniqueness. We use higher order linearizations to obtain a complicated coupled system for the unknowns. The complexity of this system arises in part from the gauge freedom of the linearized equation, which is new in this context. We solve the system by constructing suitable complex geometric optics solutions and applying the unique continuation principle for nonlinear elliptic systems. We anticipate that the solution method developed here will prove useful in other inverse problems as well.

14. 关于圆盘上奇异Liouville方程爆破解的分类

On the Classification of blow-up solutions of a singular Liouville equation on the disk

作者: Zhijie Chen, Houwang Li, Tuoxin Li, Juncheng Wei

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28302v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28302v1

摘要: We study the blow-up behavior of solutions to the singular Liouville equation

Δ\tilde u+λe^{\tilde u}=4παδ_0 \quad\text{in }B,\quad \tilde u=0 \quad\text{on }\partial B,

where $$α>0$$ , $$λ>0$$ and $B\subset\mathbb R^2$ is the unit disk. Our main results give a complete classification of all blow-up solutions and determine the exact number of solutions to the above equation. More precisely, for fixed $$α>0$$ and $λ\in(0,λ_α)$ , the singular Liouville equation has exactly $\lceil α\rceil+2$ solutions (up to rotation): a unique minimal energy solution; a unique singular sequence blowing up at the origin; and for each $1\le m\le\lceil α\rceil$ , a unique $$m$$ -peak sequence whose blow-up points are the vertices of a regular $$m$$ -gon centered at the origin. This result answers the questions raised in Bartolucci-Montefusco \cite{Bartolucci-Montefusco06} and Bartolucci \cite{Bartolucci10}. We also prove the non-degeneracy of these solutions. Thus we provide a full description of the blow-up structure for the singular Liouville equation on the disk.

15. 度量图上的时间分数阶艾里方程

The time-fractional Airy equation on the metric graphs

作者: Rakhimov Kamoladdin, Sobirov Zarifboy, Jabborov Nasridin

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28299v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28299v1

摘要: In this work we investigate Cauchy problem and initial boundary value problem for time-fractional Airy equation on the graphs with infinite and finite bonds. We studied properties of potentials for this equation and using these properties found the solutions of the considered problems. The uniqueness theorem is proved using the analogue of Grönwall-Bellman inequality and a-priory estimate.

16. Rouleaux形成模型的长时间行为

Long-time behaviour of rouleau formation models

作者: Eugenia Franco, Bernhard Kepka

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28194v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28194v1

摘要: In this paper we study a two-component coagulation equation that models the aggregation of rouleaux in blood. We consider product kernels that have homogeneity $$2$$ and we characterize the initial data that lead to gelation. We prove that, when gelation occurs, the solution to the two-component coagulation equation localizes along a direction of the space of cluster as $$ t $$ approaches the gelation time $0 < T_* < \infty$ . The localization direction is determined by the initial datum. We also prove that the solution converges to a self-similar solution along the direction of localization.

17. 高斯空间中 $$p$$ -拉普拉斯算子的Kohler-Jobin不等式

Kohler-Jobin inequality for $$p$$ -Laplace operator in the Gauss space

作者: Francesco Chiacchio, Vincenzo Ferone, Anna Mercaldo, Jing Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28188v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28188v1

摘要: A sharp lower bound for the first Dirichlet eigenvalue of the $$p$$ -laplacian in Gaussian space is derived for sets with prescribed generalized torsional rigidity. The result provides an extension of the classical spectral inequality due to Kohler-Jobin. The proof is based on a careful analysis of the generalized torsional rigidity and on a sharp mass comparison result. Furthermore, a Payne-Rayner type inequality is established.

18. 点云上对称全变差的逼近

Approximation of symmetric total variation on point clouds

作者: Stefano Almi, Anna Kubin, Emanuele Tasso

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28172v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28172v1

摘要: The paper investigates the approximation of the symmetric Total Variation functional on graphs. Such an approximation is given in terms of a discrete and symmetric finite difference model defined on point clouds obtained by randomly sampling a reference probability measure. We identify suitable scalings of the point distribution that guarantee an almost surely $$Γ$$ -convergence to an anisotropic weighted symmetric Total Variation.

19. 空间分数阶非线性抛物型演化方程的一种离散化

A discretization for the nonlinear parabolic evolution equation of fractional order in space

作者: Chien-Hong Cho, Hisashi Okamoto

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28155v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28155v1

摘要: We consider a nonlinear parabolic equation of fractional order in space and propose its numerical discretization. The fractional derivative is defined through a functional analytic setting, rather than the traditional definition of fractional derivatives such as the Riemann-Liouville derivative. Numerical experiments are reported and some conjectures are presented.

20. 杜氏肌营养不良症的损伤驱动模型：早期动力学与侵袭阈值

A Damage-Driven Model for Duchenne Muscular Dystrophy: Early-Stage Dynamics and Invasion Thresholds

作者: Gaetana Gambino, Francesco Gargano, Alessandra Rizzo, Vincenzo Sciacca

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28147v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28147v1

摘要: We introduce a spatially extended mathematical model for Duchenne muscular dystrophy based on a damage-driven paradigm, in which immune recruitment is triggered by tissue injury. The model is formulated as a reaction–diffusion–chemotaxis system describing the interaction between healthy tissue, damaged fibers, immune cells and inflammatory signals. We establish the global well-posedness of the system and investigate the early-stage dynamics through linearization around the healthy equilibrium. Our analysis shows that diffusion does not induce Turing instabilities, so that spatial heterogeneity cannot arise from diffusion-driven mechanisms. Instead, disease progression occurs through invasion processes. We derive explicit conditions for the onset of invasion, interpreted as an effective damage reproduction threshold and characterize the minimal propagation speed of pathological fronts, showing that the dynamics is governed by a pulled-front mechanism. Numerical simulations support the analytical results and confirm the transition between decay and invasion. These results provide a mathematical framework for early-stage disease progression and indicate that spatial patterns arise from the expansion of localized damage rather than from intrinsic pattern-forming mechanisms.

21. 外部域中 $$k$$ -Hessian 方程解的等值集合的非凸性

Non-convexity of level sets for solutions to $$k$$ -Hessian equations in exterior domains

作者: Wang Bo, Wang Cong, Wang Zhizhang

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28138v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28138v1

摘要: In this paper, we provide examples to show that for $1 \leq k \leq n/2$ , solutions to $$k$$ -Hessian equations $$S_k(D^2u)=1$$ in the exterior of a strictly convex domain need not be quasiconvex, when prescribing quadratic growth at infinity. Additionally, we give a new proof for the quasiconvexity of harmonic functions in such exterior domains that decay to zero at infinity.

22. Kobayashi-Warren-Carter型全变分能量的单调数据分割

Segmentation of monotone data by Kobayashi-Warren-Carter type total variation energies

作者: Yoshikazu Giga, Ayato Kubo, Hirotoshi Kuroda, Koya Sakakibara

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-30

arXiv ID: 2603.28078v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.28078v1

摘要: We consider a Kobayashi-Warren-Carter (KWC) type total variation energy with a fidelity term. Since the energy is non-convex, the profiles of minimizers are quite different from those of the original Rudin-Osher-Fatemi energy. In one-dimensional setting, we prove that KWC type energy (and its generalization) with fidelity must have a piecewise constant minimizer if the data in fidelity is bounded not necessarily in $$BV$$ . Moreover, we give quantitative estimates of the energy for a monotone data in fidelity. This estimate shows that any minimizer must be piecewise constant with an improved estimate of the number of jumps for a monotone data. We also show the non-uniqueness of minimizers. Since this energy is useful from the point of segmentation or clustering, we compare with results of segmentation by the original Rudin-Osher-Fatemi energy and Mumford-Shah energy.

23. 关于几乎球形区域的狄利克雷-诺依曼算子

On the Dirichlet-Neumann operator for nearly spherical domains

作者: Pietro Baldi, Vesa Julin, Domenico Angelo La Manna

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27865v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27865v1

摘要: We consider the Dirichlet-Neumann operator for a nearly spherical domain in R^n, and prove sharp analytic and tame estimates in Sobolev class. The novelty of this paper concerns technical improvements, the most important of which are the independence of the analyticity radius on the high norms and the regularity loss of one in the elevation function. These properties are expectable but nontrivial to prove. The result is obtained by introducing local charts and a convenient class of non-isotropic Sobolev spaces of high, possibly fractional tangential regularity and integer, limited regularity in the normal direction.

24. 带有边界数据的图的Willmore流：低正则性初始数据及全局收敛

The Willmore Flow of Graphs with Boundary Data: Low-Regularity Initial Data and Global Convergence

作者: Boris Gulyak

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27848v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27848v1

摘要: We study the Willmore flow for graphs over a bounded domain in $\mathbb{R}^2$ with Dirichlet (clamped) boundary conditions, a still little-studied setting that also serves as a prototype for higher-order flows with fixed boundary data. We develop a low-regularity theory that avoids the classical fourth-order compatibility condition at $$t=0$$ . Combining a reformulation of the graphical equation, which isolates the quasilinear fourth-order principal part from the lower-order terms, with time-weighted parabolic Hölder spaces, we prove short-time existence for initial data in $C^{1+α}(\overlineΩ)$ and, under a smallness assumption, also for Lipschitz data in $C^{0,1}(\overlineΩ)$ , even when the initial Willmore energy is not defined. In the Hölder regime, uniqueness is obtained. In the small-data Lipschitz regime, we also prove global existence, uniform gradient bounds, and exponential convergence to a stationary solution of the elliptic Willmore equation with the prescribed boundary data. A key ingredient is an $$L^2$$ -smallness criterion for graphical surfaces with small Willmore energy and small boundary values. The approach is mainly analytic and extends naturally to related higher-order geometric flows and other boundary conditions.

25. 关于外部区域中 $$(p,q)$$ -拉普拉斯算子的主特征对

On principal eigenpairs for the $$(p,q)$$ -Laplacian in exterior domain

作者: Maya Chhetri, Pavel Drabek, Ratnasingham Shivaji

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27701v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27701v1

摘要: We consider an eigenvalue problem of the form \begin{equation*} \left{\begin{array}{rclll} -Δ_{p} u -Δ_{q} u&=& λK(x)|u|^{p-2}u &\mbox{ in } Ω^e u&=&0\qquad \quad &\mbox{ on } \partial Ω u(x) &\to& 0 &\mbox{ as } |x| \to \infty,, \end{array}\right. \end{equation*} where $$Ω^e$$ is the exterior of a simply connected, bounded domain $$Ω$$ in $\mathbb{R}^N$ , $p, q \in (1, N)$ with $p \neq q$ , $0 < K \in L^{\infty}(Ω^e) \cap L^{\frac{N}{p}}(Ω^e)$ , and $λ\in \mathbb{R}$ . We establish the existence of an unbounded set of the principal eigenvalues and corresponding eigenfunctions. Moreover, we establish the regularity, positivity and the asymptotic profiles of these eigenfunctions with respect to the eigenvalue parameter $$λ$$ . We use the {\em fibering method} of S.~I. Pohozaev to prove our results.

26. 维持系统偿付能力的最优资源分配

Optimal resource allocation for maintaining system solvency

作者: Gaoyue Guo, Wenpin Tang, Nizar Touzi

类别: math.OC, math.AP, math.PR

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27622v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27622v1

摘要: We study an optimal allocation problem for a system of independent Brownian agents whose states evolve under a limited shared control. At each time, a unit of resource can be divided and allocated across components to increase their drifts, with the objective of maximizing either (i) the probability that all components avoid ruin, or (ii) the expected number of components that avoid ruin. We derive the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equations on the positive orthant with mixed boundary conditions at the absorbing boundary and at infinity, and we identify drift thresholds separating trivial and nontrivial regimes. For the all-survive criterion, we establish existence, uniqueness, and smoothness of a bounded classical solution and a verification theorem linking the PDE to the stochastic-control value function. We then investigate the conjectured optimality of the push-the-laggard allocation rule: in the nonnegative-drift regime, we prove that it is optimal for the all-survive value function, while it is not optimal for the count-survivors criterion, by exhibiting a two-dimensional counterexample and then lifting it to all dimensions.

27. 接近临界长度的Korteweg-de Vries方程的稳定性

Stability of a Korteweg–de Vries equation close to critical lengths

作者: Jingrui Niu, Shengquan Xiang

类别: math.AP, math.OC

发布日期: 2026-03-29

arXiv ID: 2603.27605v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27605v1

摘要: In this paper, we investigate the quantitative exponential stability of the Korteweg-de Vries equation on a finite interval with its length close to the critical set. Sharp decay estimates are obtained via a constructive PDE control framework. We first introduce a novel transition-stabilization approach, combining the Lebeau–Robbiano strategy with the moment method, to establish constructive null controllability for the KdV equation. This approach is then coupled with precise spectral analysis and invariant manifold theory to characterize the asymptotic behavior of the decay rate as the length of the interval approaches the set of critical lengths. Building on our classification of the critical lengths, we show that the KdV equation exhibits distinct asymptotic behaviors in neighborhoods of different types of critical lengths.

28. 具有变指数的强奇异非局部Kirchhoff型方程：存在性、正则性和重整化解

Strongly Singular Nonlocal Kirchhoff-Type Equations with Variable Exponents: Existence, Regularity, and Renormalized Solutions

作者: M. H. M. Rashid

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27380v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27380v1

摘要: This work resolves the open problem of strong singularity ( $$α(z)> 1$$ ) in nonlocal Kirchhoff-type equations with variable exponents through five original theorems that collectively establish a comprehensive theory. Beginning with weighted Sobolev spaces and existence via truncation, we develop comparison principles, optimal regularity results, and when classical solutions cease to exist, the construction of renormalized solutions. Building upon these foundations, we establish three advanced results: optimal convergence of truncated sequences to renormalized solutions, refined energy estimates characterizing asymptotic behavior as the truncation parameter vanishes, and a quantitative comparison principle yielding sharp pointwise bounds. Subsequently, we derive sharp two-sided pointwise estimates, a uniqueness theorem with quantitative stability, and Lipschitz continuous dependence of solutions on parameters and boundary data. Each theorem is supported by rigorous proofs employing nonlinear analysis, variational methods, and elliptic regularity theory. A computational illustration visualizes the solution behavior near the boundary and demonstrates convergence of truncated approximations.

29. 非局部拥挤效应与外源性补充条件下的体型选择性阈值收获

Size-Selective Threshold Harvesting under Nonlocal Crowding and Exogenous Recruitment

作者: Jiguang Yu, Louis Shuo Wang, Ye Liang

类别: math.OC, math.AP, math.NA

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27368v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27368v1

摘要: In this paper, we formulate and analyze an original infinite-horizon bioeconomic optimal control problem for a nonlinear, size-structured fish population. Departing from standard endogenous reproduction frameworks, we model population dynamics using a McKendrick–von Foerster partial differential equation characterized by strictly exogenous lower-boundary recruitment and a nonlocal crowding index. This nonlocal environment variable governs density-dependent individual growth and natural mortality, accurately reflecting the ecological pressures of enhancement fisheries or heavily subsidized stocks. We first establish the existence and uniqueness of the no-harvest stationary profile and introduce a novel intrinsic replacement index tailored to exogenously forced systems, which serves as a vital biological diagnostic rather than a classical persistence threshold. To maximize discounted economic revenue, we derive formal first-order necessary conditions via a Pontryagin-type maximum principle. By introducing a weak-coupling approximation to the adjoint system and applying a single-crossing assumption, we mathematically prove that the optimal size-selective harvesting strategy is a rigorous bang-bang threshold policy. A numerical case study calibrated to an Atlantic cod (\textit{Gadus morhua}) fishery bridges our theoretical framework with applied management. The simulations confirm that the economically optimal minimum harvest size threshold ( $$66.45$$ cm) successfully maintains the intrinsic replacement index above unity, demonstrating that precisely targeted, size-structured harvesting can seamlessly align economic maximization with long-run biological viability.

30. 声电层析成像的贝叶斯公式化及有限视角中的不确定性量化

Bayesian Formulation of Acousto-Electric Tomography and Quantified Uncertainty in Limited View

作者: Hjørdis Schlüter, Babak Maboudi Afkham

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27260v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27260v1

摘要: Acousto-electric tomography (AET) is a hybrid imaging modality that combines electrical impedance tomography with focused ultrasound perturbations to obtain interior power density measurements, which provide additional information that can enhance the stability of conductivity reconstruction. In this work, we study the AET inverse problem within a Bayesian framework and compare statistical reconstruction with analytical approaches. The unknown conductivity is modeled as a random field, and inference is based on the posterior distribution conditioned on the measurements. We consider likelihood constructions based on both L1- and L2-type data misfit norms and establish Bayesian well-posedness for both formulations within the framework of Stuart (2010). Numerical experiments investigate the performance of the Bayesian method from noisy power density measurements using the L1 and L2 likelihood functions and a smooth prior and a piecewise-constant prior for different limited view configurations, including severely limited boundary access. In particular, we demonstrate that small inclusions near the accessible boundary can be reconstructed from AET data corresponding to a single EIT measurement, and we quantify reconstruction uncertainty through posterior statistics.

31. 毛细管John椭球定理及其在毛细曲率问题中的应用

Capillary John ellipsoid theorem with applications to capillary curvature problems

作者: Jinrong Hu, Bo Yang

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27252v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27252v1

摘要: In this paper, we apply a capillary John ellipsoid theorem for capillary convex bodies in the Euclidean half-space $\overline{\mathbb{R}^{n+1}_{+}}$ . This theorem yields a non-collapsing estimate for capillary hypersurfaces, which provides a new approach to obtaining $C^{0}$ estimates for solutions to some capillary curvature problems (including the capillary $L_{p}$ Christoffel-Minkowski problem and the capillary $L_{p}$ curvature problem), based on the corresponding gradient estimates. As an application, we study the capillary $L_{p}$ dual Minkowski problem. By deriving a gradient estimate, refining a $C^{2}$ estimate, and combining these with the non-collapsing estimate, we establish existence in the case $1<p\leq q\leq 3$ and improve upon the existing existence result for the case $$p > q$$ in $\overline{\mathbb{R}^3_{+}}$ .

32. 抛物型扰动分数阶1-Laplace方程的Hölder正则性

Hölder regularity for the parabolic perturbed fractional 1-Laplace equations

作者: Dingding Li, Chao Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27232v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27232v1

摘要: This paper studies the regularity of weak solutions to a class of parabolic perturbed fractional $$1$$ -Laplace equations. Our analysis combines finite difference quotients, energy estimates, and iterative arguments, with a key step being the decomposition of the nonlocal integral into local and nonlocal components to handle their contributions separately. We aim to show the local Hölder continuity of weak solutions within the parabolic domain. More precisely, the solutions are spatially $$α$$ -Hölder continuous with $0<α<\min\left\lbrace1, \frac{s_p p}{p-1} \right\rbrace$ and $$γ$$ -Hölder continuous in time, where the value of $$γ$$ is determined by the fractional differentiability indexes $$s_1$$ , $$s_p$$ and the exponent $$p$$ . For both the super-quadratic case ( $p\ge 2$ ) and the sub-quadratic case ( $$1<p<2$$ ), we establish the Sobolev regularity of solutions, which underpins the derivation of Hölder continuity. All estimates are quantitative and depend only on the structural parameters of the equation. To the best of our knowledge, this is the first attempt to develop a regularity theory for such nonlocal parabolic equations.

33. 刚性椭圆结构的算术单值化：从无贝尔特拉米方程的刚性韦库阿到标准韦库阿

Arithmetic Uniformization of Rigid Elliptic Structures: From Rigid to Standard Vekua without the Beltrami Equation

作者: Daniel Alayón-Solarz

类别: math.CV, math.AP

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27210v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27210v1

摘要: For the rigid subclass of variable elliptic structures – characterized equivalently by the inviscid Burgers law $$λ_x+λλ_y=0$$ or the self-dilatation $μ_{\bar z}=μμ_z$ – we show that the auxiliary Beltrami equation in the classical Vekua pipeline is unnecessary. The canonical coordinate $$ξ=y-λx$$ , computed by arithmetic from the spectral parameter $$λ$$ , reduces every rigid variable-algebra Vekua equation to a standard Vekua equation in $$ξ$$ on any open set where the characteristic Jacobian $Φ=\barξ_x+λ\barξ_y$ does not vanish, with global reduction on domains where $$ξ$$ is injective. No PDE is solved at any stage.

34. 使用Gegenbauer多项式的抛物型偏微分方程稳态解的构造性存在证明及稳定性

Constructive existence proofs and stability of stationary solutions to parabolic PDEs using Gegenbauer polynomials

作者: Maxime Breden, Matthieu Cadiot, Antoine Zurek

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27198v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27198v1

摘要: In this paper, we present a computer-assisted framework for constructive proofs of existence for stationary solutions to one-dimensional parabolic PDEs and the rigorous determination of their linear stability. By expanding solutions in Gegenbauer polynomials, we first develop a general approach for boundary value problems (BVPs), corresponding to the stationary part of the PDE. This yields a computationally efficient sparse structure for both differential and multiplication operators. By deriving sharp, explicit and quantitative estimates for the inverse of differential operators, we implement a Newton-Kantorovich approach. Specifically, given a numerical approximation $\bar{u}$ , we prove the existence of a true stationary solution $\tilde{u}$ within a small, rigorously quantified neighborhood of $\bar{u}$ . A key advantage of this approach is that the sharp control over the defect $\tilde{u}-\bar{u}$ , integrated with the spectral properties of the Gegenbauer basis, enables an accurate enclosure of the linearization’s spectrum around $\tilde{u}$ . This allows for a definitive conclusion regarding the (in)stability of the verified solution, which is the main contribution of the paper. We demonstrate the efficacy of this method through several applications, capturing both stable and unstable equilibrium states.

35. 磁场中斯塔克哈密顿量的半经典形状共振

Semiclassical shape resonances for magnetic Stark Hamiltonians

作者: Kentaro Kameoka, Naoya Yoshida

类别: math-ph, math.AP, math.SP

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27196v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27196v1

摘要: We study shape resonances of two-dimensional magnetic Stark Hamiltonians in the semiclassical limit. The magnetic field is assumed to be constant and the scalar potential is a perturbation of a linear potential. Under the assumption that the scalar potential has potential wells, the existence of a one-to-one correspondence between shape resonances of the Hamiltonian and discrete eigenvalues of a certain reference operator is proved. This implies the Weyl law for the number of resonances and the asymptotic behavior of the real parts of resonances near the bottom of a potential well. Resonances are studied as complex eigenvalues of complex distorted Hamiltonians, which is defined by the complex translation outside a compact set.

36. 具有分层分支集的极小曲面

Minimal Surfaces with Stratified Branching Sets

作者: Federico Franceschini, Rafe Mazzeo, Paul Minter

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-03-28

arXiv ID: 2603.27168v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.27168v1

摘要: Inspired by the Taubes-Wu construction of $\mathcal{C}^{1,α}$ two-valued harmonic functions by the use of symmetry, we construct minimal surfaces with stratified branching sets as graphs of $\mathcal{C}^{1,α}$ two-valued functions. We give three constructions. The first is perturbative and produces branched minimal submanifolds in arbitrary codimension as two-valued graphs over the $$n$$ -ball or, slightly more generally, over the product of $$B^n$$ with a torus $\mathbb T^N$ , parametrized by boundary data which is required to be small in a suitable norm. The second uses barrier methods together with a reflection argument to produce branched stable minimal hypersurfaces, again as two-valued graphs over the unit $$n$$ -ball or $B^n \times \mathbb T^N$ , parametrized by boundary data which now can be large. Finally, using bifurcation theory, we produce compact minimal submanifolds with similarly stratified branching sets in an ambient space $S^n \times \mathbb R$ with a suitable (analytic) warped product metric. These examples give minimal submanifolds with novel frequency values and whose branching sets have non-trivial deeper strata. While the main constructions are fairly elementary, they rely on the use of precisely tailored (and somewhat non-standard) function spaces, combined with a regularity theory which provides full asymptotic expansions around the branching sets.

37. 多孔介质中三物种反应扩散方程的均匀化

Homogenization of Three Species Reaction Diffusion Equation in Perforated Domains

作者: Saumyajit Das, Kshitij Sinha

类别: math.AP

发布日期: 2026-03-27

arXiv ID: 2603.26927v1

链接: http://arxiv.org/abs/2603.26927v1

摘要: In this article we study the asymptotic behaviour of the solution of the three species chemical reaction-diffusion model with non-homogeneous Neumann boundary condition in a perforated domain. We investigate how the mass inflow at the microscale affects the three-species reaction-diffusion system at the macroscale using two-scale convergence. As the size of the perforations vanishes, the microscale effects are captured by a global source term in the homogenized equation, which remains a three-species reaction-diffusion system but with modified diffusion coefficients.

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9. 径向非线性动力学的三联性：里卡蒂方程、薛定谔方程与哈密顿—雅可比—贝尔曼方程的分析#

摘要翻译#

10. 基于远场变换的简支障碍物点源测量因子分解法#

摘要翻译#

11. 张量场上的Radon变换：单性、值域与唯一延拓原理#

摘要翻译#

12. 一类带诺依曼边界条件的退化双曲方程及其在可观控性中的应用#

摘要翻译#

13. 带部分反平方势的波动方程的$L^p$估计#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. 弗洛奎特-狄拉克哈密顿量中的慢色散#

2. 非均匀介质中光的自旋霍尔效应的数学描述#

3. 趋氧性"迁徙或生长"模型的前缘位置#

4. 大质量Thirring模型中代数孤子的有理解#

5. 具有里奇下界的黎曼流形上半线性椭圆问题的比较方法#

6. 关于主算子的收敛性结果#

7. 四元数球面上的改进索伯列夫不等式#

8. 改进的分数阶索伯列夫嵌入在闭黎曼流形上的等距群作用下#

9. $\mathcal{O}_C$ 类中的返回映射：几何、动力学与厚度递降#

10. Vlasov-Klein-Gordon系统小解在高维情形下的渐近行为#

11. 关于加权图上质量性的维纳准则#

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1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

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1. 研究对象和背景

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7. DiPerna-Lions理论中的随体体积与Reynolds输运定理

1. 研究对象和背景

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1. 研究对象和背景

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