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1. 受分数输运噪声驱动的流体方程的适定性与 Hurst 参数估计

Well-posedness and Hurst parameter estimation for fluid equations driven by fractional transport noise

作者: Alexandra Blessing Neamtu, Dan Crisan, Oana Lang

类别: math.PR, math-ph, math.AP, math.FA, math.ST

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05910v1

摘要翻译: 我们研究了环面上由 Hurst 参数 $H \\.in (1/2,1)$ 的输运型分数布朗噪声驱动的二维不可压缩涡度方程。该模型刻画了与惯性区标度律一致、具有长程相关性的持续性强迫，以及湍流涨落的分数布朗逼近。我们方法的核心要素是一个适配于某类被积函数的缝接引理版本，该类被积函数包含但不限于输运型结构。该结果为构造 Young 积分提供了灵活的工具，并为分析更广泛的一类随机偏微分方程奠定了基础。利用该方法，我们通过不动点论证建立了解的存在唯一性，并研究了流的统计性质。特别地，我们考察了解的二次泛函，并导出了 Hurst 参数 $$H$$ 的一个估计量。

Comment: 43 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05910v1

1. 研究对象和背景

本文的研究对象为二维不可压流体在环面 $$bT^2$$ 上的涡度演化方程，该方程受到具有长程时间相关性的分数型Brown输运噪声驱动。在流体力学与湍流理论中，Kolmogorov的K41理论与Kraichnan的二维双重级联框架指出，惯性区内的速度涨落应遵循幂律标度行为。结合Taylor冻结湍流假设，空间结构函数 $E[|u(x+r,t)-u(x,t)|^2] acksim C|r|^{eta-1}$ 可转化为时间增量的统计规律 $E[|u(x,t)-u(x,t+s)|^2] = C|ar{U}|^{eta-1}s^{eta-1}$ 。将其与分数Brown运动增量的二阶矩结构 $E[|W^H_{t+s}-W^H_t|^2] = s^{2H}$ 对照，可形式化得到标度关系 $$ 2H = eta-1 $$ 。当 $$ eta=5/3 $$ (对应Kolmogorov $$ 2/3 $$ 律) 时，物理图像指向 $$ H acksim 1/3 $$ 。然而， $$ H<1/2 $$ 的粗糙路径 regime 在分析上极具挑战。因此，本文选取 $$ H 넡 (1/2,1) $$ 作为首个可严格处理的数学切入点，旨在为持久性长程关联强迫提供适定的SPDE表征。

本文研究的核心方程为二维不可压涡度方程：

d뀽t + u_t 끸 끻 뀽 dt + L_{뀾} 뀽 dW^H_t = 낔 뀽 dt

其中 $$ u_t $$ 为流体速度场，满足无散条件 $$ 끻 끸 u_t = 0 $$ ；涡度场定义为 $$ 뀽 = 끻 끸 u_t $$ ； $$ 뀾 $$ 为与时间无关的无散光滑向量场，噪声算子取为输运结构 $L_{뀾} 뀽 := 뀾 끸 끻 뀽$ ； $$ W^H_t $$ 为Hurst参数 $$ H 넡 (1/2,1) $$ 的分数Brown运动。关键未知量为涡度过程 $$ 뀽_t $$ ，其演化同时受非线性对流项 $$ u_t 끸 끻 뀽 $$ 、粘性扩散 $$ 낔 뀽 $$ 以及随机输运项 $$ 뀾 끸 끻 뀽 끱 W^H_t $$ 控制。由于 $$ 뀾 끸 끻 $$ 本质上是空间导数算子，在自然Sobolev尺度下是无界的，这导致随机积分无法直接在标准It뀈或Stratonovich框架下定义。对于 $$ H>1/2 $$ ，虽然路径wise Young积分在理论上可行，但传统Young积分要求被积函数具有与噪声相匹配的时间H뀆lder正则性，而梯度型结构会导致空间正则性损失，从而破坏时间正则性估计。

现有文献对SPDE随机扰动的处理主要集中在白噪声（时间正则性 $뀳 H^{1/2-}$ ）或 $$ H 넡 (1/3,1/2] $$ 的粗糙路径框架。对于白噪声驱动的流体方程，正则性理论已相对成熟；对于粗糙路径 regime，则需借助无界粗糙驱动理论，构建复杂的迭代积分结构并施加严格的代数条件。然而，介于两者之间的 $$ H>1/2 $$ 且噪声呈输运/梯度结构的SPDE，在泛函分析与随机分析交叉地带仍存在理论空白。特别是，如何将Kraichnan唯象标度律与无穷维SPDE严格对接，并在不依赖粗糙路径繁复构造的前提下处理无界扩散系数，是连接降阶随机参数化与完整湍流模型的关键缺失环节。本文试图填补这一空白，建立一套适用于梯度型分数噪声的Young积分构造与分析框架，并在此基础上完成适定性证明与统计参数推断，为长程记忆效应在二维湍流中的数学刻画提供严密基础。

2. 主要定理或主要结果

本文在 $$ H 넡 (1/2,1) $$ 、初始涡度 $뀽_0 넡 B_{끜} := H^{2끜}(bT^2)$ 以及噪声场 $뀾 넡 C^{끷}(bT^2)$ （充分光滑且无散）的核心假设下，证明了以下主要结果：

适定性（温和解与弱解的存在唯一性）：存在适当选取的正则性指数 $$ 끜>1 $$ 与时间H뀆lder指数 $$ 뀳 넡 (1-H, H) $$ ，使得方程在空间 $V^T := C([0,T]; B_{끜}) 냈 C^{뀳}([0,T]; B_{끜-뀳})$ 中存在唯一的温和解。解满足变分常数公式：
$뀽_t = S_t 뀽_0 - 낕_0^t S_{t-s}(u_s 끸 끻 뀽_s) ds - 낕_0^t S_{t-s}(뀾 끸 끻 뀽_s) dW^H_s$
其中 $$ S_t $$ 为Laplace算子生成的解析半群。作者进一步证明了该温和解与分布意义下的弱解在概率意义下等价，即对任意检验函数 $녀 넡 C^{끷}(bT^2)$ ，几乎必然成立：
$$$ 낈뀽_t, 녀낉 = 낈뀽_0, 녀낉 + 낕_0^t 낈뀽_s, 낔녀낉 ds - 낕_0^t 낈뀽_s, (u_s 끸 끻)녀낉 ds - 낕_0^t 낈뀽_s, (뀾 끸 끻)녀낉 dW^H_s $$$
广义流体方程框架的适用性：结果可推广至一般拟线性抛物型方程 $$ d뀽_t + (D+E)뀽_t dt + F뀽_t dW^H_t = 0 $$ 。在满足插值不等式 $끶 x 끶_{끜_3-끜_1}^{끜_2} 끸 끶 x 끶_{끜_3-끜_2}^{끜_1} 끶 x 끶_{끜_2-끜_1}^{끜_3}$ 、漂移算子 $D: B_{끜} 낒 B_{끜-뀲}$ 具局部Lipschitz/多项式增长、以及扩散算子 $$ F $$ 两次Fr뀎ichet可微且映射正则性降级 $$ 끗 < 뀳 $$ 的条件下，不动点映射在 $$ V^T $$ 中严格压缩。
Hurst参数估计量构造：利用解的二次泛函性质，作者构建了基于离散二次变分的Hurst参数估计量。严格证明了当采样网格细度 $$ 난 낒 끷 $$ 时，由路径增量构造的二次型统计量收敛于与 $$ H $$ 直接相关的确定性常数。具体而言，估计量 $$ 끤_H $$ 满足：
$| 끤_H - H | 끸 O(N^{-뀳})$
在适当的时间正则性与空间截断下，该估计量实现了 $$ H $$ 的一致性与渐近正态性（具体收敛阶依赖于 $$ H $$ 与采样策略）。该结果为从流场观测数据反演湍流记忆指数提供了严格的SPDE理论支撑。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文证明的核心障碍在于随机积分项 $낕 S_{t-r}(뀾 끸 끻 뀽_r) dW^H_r$ 中空间正则性损失与时间正则性要求之间的严重冲突。输运算子 $$ 뀾 끸 끻 $$ 本质上是空间一阶微分，在Sobolev空间 $B_{끜}$ 上无界，若直接套用标准Young积分构造，被积函数需具备 $$ > 1-H $$ 的时间H뀆lder正则性，但梯度作用会使正则性下降，导致时间增量估计发散。此外，非线性对流项 $$ u_t 끸 끻 뀽 $$ 在二维涡度形式下具有临界缩放特性，需精细处理双线性估计。

适配输运结构的缝合法引理重构：作者并未沿用传统的Riemann和极限或粗糙路径提升方法，而是针对被积过程 $Y 넡 C([0,T]; B_{끜-1/2}) 냈 C^{뀳}([0,T]; B_{끜-뀳-1/2})$ 重构了缝合法引理(Seaming Lemma)。关键创新在于引入二进分割离散和 $$ I^k_t $$ 并细致估计相邻层级差分 $I^k_t - I^{k+1}_t$ 。通过将被积项拆解为 $S_{t-끥}Y_{끥}(W^H_{끦}-W^H_{끥})$ 的形式，作者利用半群 $S_{t-r}$ 的平滑效应： $끶 S_{t-r} x 끶_{B_{끜}} 끸 끶 x 끶_{B_{끜}}$ 与 $끶 S_{t-r} x 끶_{B_{끜+끥}} 끸 (t-r)^{-끥} 끶 x 끶_{B_{끜}}$ 。将空间正则性的损失 $(t-r)^{-1/2}$ 与噪声增量的时间正则性 $끶 W^H_{t}-W^H_{s} 끶 끸 끶 t-s 끶^H$ 进行权衡，利用 $$ H > 1/2 $$ 确保指数和 $$ -1/2 + H > 0 $$ ，从而保证二进序列在 $B_{끜}$ 范数下为Cauchy列。该引理摆脱了对Lipschitz或有界噪声的限制，直接覆盖梯度型结构。

解析半群平滑与不动点空间的直接构造：传统粗糙PDE文献常需先在扩大的低正则性空间求解，再通过Bootstrap提升。本文则直接在工作空间 $$ V^T $$ 上构建压缩映射。核心技巧在于将 $$ V^T $$ 范数拆分为上确界范数 $끶 끸 끶_{0,끜}$ 与H뀆lder半范数 $끶 끸 끶_{뀳,끜-뀳}$ ，并分别估计漂移项与扩散项。对于非线性项 $$ D(뀽) = u 끸 끻 뀽 $$ ，利用二维Sobolev空间 $$ H^s(bT^2) $$ ( $$ s>1 $$ ) 的代数性质及双线性估计 $끶 f 끸 끻 g 끶_{H^s} 끸 끶 f 끶_{H^s} 끶 g 끶_{H^{s+1}}$ ，将导数损失控制在可吸收范围内。对于随机项，缝合法引理直接输出 $C^{뀳}([0,T]; B_{끜-뀳})$ 的正则性，与 $$ V^T $$ 定义完美匹配，避免了正则性阶梯的繁琐迭代。

统计推断的变分分析路径：在Hurst参数估计部分，作者将温和解展开为确定性演化与随机卷积之和。由于 $$ S_t $$ 的光滑作用会抹平小尺度波动，证明聚焦于二次泛函 $Q_N = 낑_{i} 끶 뀽_{t_{i+1}} - 뀽_{t_i} 끶^2$ 的渐近行为。通过分离确定性漂移贡献（其变分收敛于零）与随机卷积贡献（主导 $N^{1-2H}$ 阶标度），建立估计量的一致性。该路径严格区分了物理图像的启发式解释与基于二次变分收敛定理的数学证明，确保了参数反演的严密性。

4. 与之前工作的比较

本文与既有PDE及随机分析文献在假设强度、时间尺度适用范围及技术代价上存在显著差异，具体推进体现在以下几个维度：

与粗糙路径/无界粗糙驱动理论的对比 ( $$ H 넡 (1/3,1/2] $$ )：文献[3, 7, 18, 19, 16, 24, 25]系统处理了 $$ H<1/2 $$ 情形下的SPDE，其核心依赖于Gubinelli导数、粗糙路径提升(Lift)及无界粗糙驱动框架。该范式要求扩散算子满足极强的结构条件（如可交换性或高阶Fr뀎ichet导数有界），以控制L뀎1ny面积与高阶余差项。代价是理论构建极为繁复，且对非线性漂移的正则性要求苛刻。本文转向 $$ H>1/2 $$ 的Young区域，彻底避开了粗糙路径提升的代数复杂性。通过重构缝合法引理并直接耦合解析半群 $$ S_t $$ 的解析平滑估计 $끶 S_t 끶 끸 t^{-끥}$ ，作者在不牺牲空间导数损失补偿能力的前提下，大幅降低了对噪声算子的结构性假设。适用范围从严格的粗糙路径 regime 平移至更具时间记忆性的持久噪声 regime，技术代价从“复杂代数提升”转为“精细的半群时间权重分析”。

与传统局部单调SPDE理论的差异：文献[4]针对 $$ H>1/2 $$ 的SPDE建立了局部单调算子框架下的适定性，但其核心限制在于扩散系数需满足Lipschitz连续性或有界性（线性增长）。对于流体力学中本质出现的输运噪声 $$ 뀾 끸 끻 뀽 $$ ，该条件完全失效。本文的突破在于允许扩散算子为空间一阶无界微分算子，并通过Young积分构造直接处理梯度型非线性。这一放宽使得理论首次严格覆盖Stochastic Advection by Lie Transport (SALT) 与 Location Uncertainty (LU) 框架中的核心噪声结构，填补了流体随机参数化模型向全维SPDE推广时的分析空白。

与降阶随机三波模型的跨越：文献[26]等研究了驱动三波相互作用(triad interactions)的随机模型，虽保留了非线性能量传递的核心机制，但局限于有限傅里叶模态，无法刻画多尺度时空关联对全涡度场的反馈。本文将此类降阶机制提升至无穷维SPDE，通过分数Brown运动 $$ W^H $$ 引入真实的长程时间记忆。物理上，这更贴近Kraichnan双重级联中惯性区能量传输的持续相关性。数学上，代价是失去了有限维SDE中天然的正则性与遍历性保证，必须依赖泛函分析中的紧性论证与Sobolev嵌入。本文证明的温和解正则性 $$ V^T $$ 为后续研究长时间行为与不变测度提供了必要的相空间设定。

物理标度启发与数学假设的权衡：需明确指出，基于Taylor冻结湍流假设，Kolmogorov $$ 2/3 $$ 律对应 $$ H 끷 1/3 $$ ，而本文严格处理的是 $$ H 끸 1/2 $$ 。作者坦诚当前工作受限于 $$ H>1/2 $$ 方可使用路径wise Young积分与半群平滑组合。 $$ H 넡 (0, 1/2] $$ 的物理更相关 regime 仍属于粗糙路径领域。本文的定位是提供 $$ H>1/2 $$ 下的首个严格适定性与参数估计框架，为未来向 $$ H<1/2 $$ 外推奠定方法论基础（如附录A所示的粗糙路径备用路径）。此外，Hurst估计量的推导依赖于二次变分理论，虽在 $$ H>1/2 $$ 下收敛性良好，但对实际有限样本的有限时间误差阶与离散化偏倚的精细量化，仍有待进一步数值分析跟进。

2. $\mathbb R^2_+$ 上具有点涡初值的 Navier-Stokes 方程：零粘性极限

The Navier-Stokes equations in $\mathbb R^2_+$ with point vortex initial data: Zero-viscosity limit

作者: Chao Wang, Jingchao Yue, Zhifei Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05787v1

摘要翻译: 本文是两篇系列论文中的第二篇，致力于研究具有点涡初值的半空间上不可压缩 Navier-Stokes 方程解的渐近行为。一个主要困难源于点涡初值与边界的相互作用，这使得推导有效的渐近展开式变得复杂。为克服此困难，我们在点涡与边界层剖面之间进行了精确匹配，以准确刻画半平面中涡旋的正确粘性行为。基于这一匹配渐近分析，我们将涡量分解为三个分量：点涡附近的涡量、边界附近的涡量以及过渡层中的涡量。关键点在于，每个分量必须在其各自独立的区域内进行分析。在此基础上，我们建立了精细估计，从而确立了点涡初值下的无粘极限。最后，我们严格证明了 Navier-Stokes 方程的解在远离边界处收敛于 Lamb-Oseen 涡，而在近边界区域则趋近于 Prandtl 边界层系统。

Comment: 58 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05787v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维不可压缩Navier-Stokes方程在半平面 $\mathbb{R}^2_+$ 中的零粘性极限问题，初值为高度奇异的空间点涡（Dirac测度）。具体而言，考虑如下初边值问题：

\begin{cases}\partial_t U - \nu\Delta U + U\cdot\nabla U + \nabla p = 0, & (x,y)\in\mathbb{R}^2_+,\\ \operatorname{div}U=0, & \\ U|_{y=0}=0, & \\ U|_{t=0}=U_0, & \end{cases}

其中涡度定义为 $\omega=\partial_x v - \partial_y u$ ，初值设定为 $\omega_0 = \alpha \delta_{X_0}$ ， $$X_0=(0,20)$$ 远离边界。在二维湍流中，相干结构（集中涡量）主导了高雷诺数下的长时间动力学演化，点涡模型是研究涡相互作用与合并机制的最基本数学框架。零粘性极限（ $\nu\to 0$ ）旨在建立Navier-Stokes方程解与无粘Euler方程或Prandtl边界层系统解之间的严格渐近关系。

该问题在全空间情形已有完整理论：Gallay等人证明了NS方程涡度解在 $$L^1$$ 中收敛至Oseen涡，后续工作对涡斑和Yudovich类初值给出了最优收敛阶。然而，引入无滑移边界后，速度边界条件的失配会在壁面附近诱发厚度为 $O(\nu^{1/2})$ 的强Prandtl边界层。涡度方程的边界条件变为 $\nu(\partial_y + |D_x|)\omega|_{y=0} = \partial_y\Delta_D^{-1}(U\cdot\nabla\omega)|_{y=0}$ ，该非局部算子导致标准能量估计中出现一阶导数损失。现有半空间无粘极限结果多依赖解析性或Gevrey正则性假设，或要求涡量初始支集严格远离边界，从而利用 $\operatorname{div}U_e=\operatorname{curl}U_e=0$ 的局部性质避开强边界层耦合。

本文试图填补的关键空白在于：当初始数据为点涡测度时，奇异性与边界层发生强耦合。一方面，边界诱导的镜像涡与真实涡相互作用，使边界层方程出现非零初始层（ $\lim_{t\to 0^+}\omega_b^{(0)} = -u_0\delta_{\partial\mathbb{R}^2_+}$ ），破坏常规Prandtl展开的齐次初值结构；另一方面，涡核尺度 $(\nu t)^{1/2}$ 与边界层尺度 $\nu^{1/2}$ 交织，导致传统整数幂渐近展开失效，残差无法随 $\nu\to 0$ 一致趋于零。作者在前作已建立该初值问题对固定 $\nu$ 的整体适定性基础上，本文致力于构建匹配的渐近展开，并在无正则性假设下严格推导点涡与边界层的耦合渐近行为，从而完成半空间奇异初值的无粘极限证明。

2. 主要定理或主要结果

本文在初值 $\omega_0 = \alpha \delta_{X_0}$ 下，严格证明了Navier-Stokes方程涡度解在 $\nu\to 0$ 时的渐近收敛性。主要结果（定理1.2）可概括为：存在独立于 $\nu$ 的常数 $\nu_0, C>0$ 及时间 $$T>0$$ ，以及边界层修正函数 $\omega_b\in C^\infty(\mathbb{R}^2_+)$ 和涡心轨迹函数 $$X(t)$$ ，使得对任意 $0<\nu<\nu_0$ ，方程解满足以下收敛估计：

\left\|\omega(t,X) - \frac{\alpha}{4\pi\nu t}e^{-\frac{|X-X(t)|^2}{4\nu t}}\right\|_{L^1_X(y\geq 1)} \leq C\nu t, \quad t\in(0,T),

\bigl\|\|\omega - \omega_b\|_{L^p_x}\bigr\|_{L^1_y(y\leq 2)} \leq C\nu^{1/2}, \quad 1<p\leq +\infty, \ t\in(0,T).

其中 $$X=(x,y)$$ ，涡心轨迹 $$X(t)$$ 具有显式渐近形式：

X(t) = Z(t) + O(\nu^{1/2}t), \quad Z(t) = \left(x_0 + \frac{\alpha t}{4\pi y_0}, y_0\right), \ X(0)=X_0.

该定理表明：在远离边界的区域（ $y\geq 1$ ），解一致收敛至移动且形变的Lamb-Oseen涡，收敛阶为 $O(\nu t)$ ，涡心沿水平方向以速度 $\alpha/(4\pi y_0)$ 发生漂移；在近壁区域（ $y\leq 2$ ），解在 $$L^p_xL^1_y$$ 混合范数下收敛至光滑的Prandtl边界层剖面 $\omega_b$ ，收敛阶为 $O(\nu^{1/2})$ 。作者通过构造匹配渐近解 $\omega_a = \omega_{a,vp} + \omega_{a,b}$ ，证明误差 $\omega_R = \omega - \omega_a$ 在相应加权能量空间中被一致控制。需强调，该结论为严格数学证明的渐近极限结果；文中对多涡旋情形（ $\omega_0=\sum \alpha_i\delta_{X_i}$ ）的推广（注1.3）指出方法论可直接适用，但未展开完整定理陈述。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文证明的核心技术障碍在于点涡测度奇异性与无滑移边界诱导的强Prandtl边界层之间的非线性耦合，导致传统基于解析性或结构假设的无粘极限方法完全失效。作者的真实创新点在于构建了一套半整数幂匹配的渐近展开框架，并结合区域分解与精细的加权估计克服了导数损失与初始层奇异性。

第一，自相似变量重构与 $\nu^{1/2}$ -幂渐近匹配。为捕捉涡核精细结构，引入自相似坐标 $\eta = (X-X(t))/\sqrt{\nu t}$ 。与全空间仅用 $(\nu t)^{1/2}$ 尺度不同，本文展开严格采用 $\nu^{1/2}$ 为基：

W \sim \Omega_0 + \nu t \Omega_2 + \nu^{3/2}t\Omega_3 + \cdots, \quad X(t) \sim X_0(t) + \nu^{1/2}X_1(t) + \nu X_2(t) + \cdots.

边界层部分展开为 $\chi_b\omega \sim \nu^{-1/2}\omega_b^{(0)} + \omega_b^{(1)} + \cdots$ 。通过精确匹配 $\nu^{-1/2}$ 阶项，导出 $\omega_b^{(0)}$ 的演化方程，并处理其非零初始层。关键步骤在于利用Biot-Savart定律计算 $U_b^{(0)}\cdot\nabla_\eta\Omega_0$ 的渐近，提取出 $\nu^{1/2}C(t)\cdot\nabla_\eta\Omega_0$ 项，进而选择 $$X_1'(t)=C(t)$$ 消解共振项，保证高阶展开的可解性（算子 $\Lambda$ 的值域条件 $Y_n\cap Z$ ）。

第二，三区分解与导数损失的加权补偿。将涡量分解为 $\omega = \chi_{vp}\omega + \chi_b\omega + \chi_m\omega$ ，分别配置能量泛函。边界层误差方程（积分形式(1.21)）中，半群核 $R_\xi$ 源自边界条件中的 $$|D_x|$$ 算子，导致 $\partial_x$ 或 $y\partial_y$ 的一阶导数损失。作者引入指数权重 $e^{\varepsilon_0(1+\mu)|\xi|}$ 与 $e^{\varepsilon_0(1+\mu)y^2/(\nu t)}$ ，将导数损失转化为小除子问题（引理A.5），在频域中实现导数阶与权重的交换。

第三，边界源项 $$B_R$$ 的精细点态估计与零均值抵消机制。 $$B_R$$ 的主部为 $U_R\cdot\nabla\omega_a$ ，其Fourier系数估计依赖 $$U_R$$ 的逐点衰减。作者利用近似解构造隐含的抵消性质： $\left|\int_{\mathbb{R}^2} W_R d\eta\right| \sim O(e^{-C/\nu t})$ ，结合Biot-Savart核的渐近，证明远离涡核时满足

|\eta|^2 |\text{BS}[W_R](\eta,t)| \leq O(\nu t).

该 $|\eta|^{-2}$ 衰减阶至关重要；若仅为 $|\eta|^{-1}$ ，边界积分在 $\nu s\to 0$ 时发散。通过该衰减控制，最终得到 $|(B_R)_\xi(s)| \leq O(\nu s)$ ，闭合误差估计。整体框架通过区域间误差的相互吸收（如涡核区利用边界区加权的 $\nu t$ 因子），实现全局一致估计。

4. 与之前工作的比较

本文在半空间零粘性极限领域的推进具有显著的理论纵深，与既有文献在正则性要求、初值奇异性、时间尺度及适用范围上形成明确对比。

与全空间点涡极限工作的比较：Gallay等人证明了全空间初值 $\sum \alpha_i\delta_{X_i}$ 下NS解 $$L^1$$ 收敛至Oseen涡串。本文在保留全空间核心估计（如自相似框架）的同时，引入了边界耦合。代价在于必须处理 $O(\nu^{-1/2})$ 阶的边界层初值项，并修正涡心轨迹 $$X(t)$$ 。收敛阶 $O(\nu t)$ 在远离边界区域与全空间一致，但近壁区域退化为 $O(\nu^{1/2})$ ，反映了Prandtl层固有的低正则性限制。
与解析/Gevrey正则性框架的比较：Caflisch-Sammartino等人利用Cauchy-Kovalevskaya型估计在解析初值下证明无粘极限；后续工作推进至Gevrey空间。这些方法依赖解的高阶导数控制，无法处理测度初值。本文彻底放弃解析性假设，转而利用点涡的显式结构与匹配的渐近展开，在 $$L^p$$ 与加权能量空间中获得一致界。代价是时间尺度被限制在 $$T$$ 独立于 $\nu$ 但通常较小（未声明长时动力学），且强依赖二维Biot-Savart核的显式衰减性质，难以直接推广至三维或复杂曲率边界。
与结构假设及Yudovich类初值工作的比较：作者及合作者前期工作（如[17, 25]）针对涡斑（ $L^\infty$ 初值）或涡量支集远离边界的结构情形，利用Kato型判据与能量空间完成极限证明。本文将初值奇异性从 $L^\infty$ 推进至Dirac测度，证明框架从“全局Kato控制”转向“局部匹配+区域分解”。这一推进放宽了初值正则性假设，但代价是必须逐阶构造渐近解并处理初始层非齐次性，技术复杂度显著上升。
与适定性文献[39, 10]的对比：文献[39]与Dalibard-Gallay [10]利用不同方法证明了固定 $\nu$ 下该初值问题的全局适定性。本文在此基础上攻克了 $\nu\to 0$ 的渐近行为，首次给出点涡在半空间中漂移、形变与边界层演化的定量耦合规律。作者未显式展开与多涡旋相互作用（如偶极子[11,43]）的对比，但注记1.3暗示方法论对 $$N$$ 个孤立点涡具可推广性，前提是涡间距离与到边界距离均保持 $$O(1)$$ ，不发生合并或边界碰撞。总体而言，本文以牺牲长时全局性与几何普适性为代价，换取了半空间下最奇异初值情形的严格无粘极限刻画。

3. $\mathbb R^2_+$ 中具有点涡初值的 Navier-Stokes 方程：解的构造

The Navier-Stokes equations in $\mathbb R^2_+$ with point vortex initial data: construction of the solution

作者: Chao Wang, Jingchao Yue, Zhifei Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05765v1

摘要翻译: 本文是研究高雷诺数下半空间中不可压 Navier-Stokes 方程在点涡初值下渐近行为的两篇系列论文中的第一篇。在本文中，我们证明了满足无滑移边界条件的解的存在唯一性。该结果此前在 \cite{Ken} 中仅在总质量充分小的条件下得以建立。本文通过剖析点涡附近的线性化算子，并构造一套定制的函数空间框架——该框架旨在分别刻画解在点涡邻域与边界附近的不同性态，从而去除了小性假设。

Comment: 43 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05765v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维上半空间 $\mathbb{R}^2_+ = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\}$ 中不可压缩Navier-Stokes方程在点涡初值下的适定性问题。考虑粘性系数归一化为 $$1$$ 的流体，速度场 $$U=(u,v)$$ 与压力 $$p$$ 满足如下系统：

\begin{cases} \partial_t U - \Delta U + U \cdot \nabla U + \nabla p = 0, & (x,y) \in \mathbb{R}^2_+, \\n\operatorname{div} U = 0, & (x,y) \in \mathbb{R}^2_+, \\nU|_{y=0} = 0. \end{cases}

引入涡量 $\omega = \partial_x v - \partial_y u$ ，其演化方程为

\partial_t \omega + U \cdot \nabla \omega = \Delta \omega, \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2_+.

在无滑移边界条件 $U|_{y=0}=0$ 下，涡量在边界处需满足非局部边界条件（见[10]）：

(\partial_y + |D_x|)\omega|_{y=0} = \partial_y \Delta_D^{-1}(U \cdot \nabla \omega)|_{y=0}.

本文的初值设定为集中在内部点 $$(x_0, y_0)$$ （不妨设 $$(0, 20)$$ ）的Dirac测度：

\omega_0 = \alpha \delta_{(x_0, y_0)}, \quad \alpha \in \mathbb{R}, \ y_0 > 0.

初始速度场通过上半空间的Biot-Savart律给出：

U_0(X) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^2_+} \left( \frac{(X-Y)^\perp}{|X-Y|^2} - \frac{(X-Y^*)^\perp}{|X-Y^*|^2} \right) \omega_0(Y) dY, \quad X^*=(x,-y).

该问题属于粗糙初值（Rough Data）下Navier-Stokes方程适定性理论的核心分支。在全空间 $\mathbb{R}^2$ 中，Ben-Artzi [2] 处理了 $\omega_0 \in L^1$ 的情形，Cottet [3] 与 Giga-Miyakawa-Osada [7] 独立利用平流扩散方程基本解的点态估计处理了测度初值 $\omega_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^2)$ 的存在性，并在原子部分足够小时获得唯一性。随后 Gallay-Wayne [6] 与 Gallagher-Gallay [5] 结合自相似变换与线性化算子半群分析，彻底去除了质量小性假设，建立了任意大Dirac质量初值的唯一性理论。然而，半空间情形引入了本质的新困难：其一，无滑移边界条件导致速度场在边界处必须为零，但由Biot-Savart律生成的点涡初值 $$U_0$$ 在 $$y=0$$ 处的切向分量 $$u_0(x,0)$$ 通常非零，这会在 $$t=0$$ 瞬间激发强烈的初始层（Initial Layer）；其二，涡量方程的边界条件包含非局部算子 $$|D_x|$$ ，破坏了标准抛物型方程的极大值原理与正则性传播机制。Abe [1] 利用Stokes流解公式证明了当Radon测度的纯原子部分范数 $\|\omega_{0,pp}\|_{\mathcal{M}} \le \delta$ 充分小时解的存在唯一性。其核心技术障碍在于：Stokes半群仅提供基础的 $$L^1$$ 估计，非线性项 $U \cdot \nabla \omega$ 在临界空间中的控制必须依赖初值小性才能闭合压缩映射论证。

本文旨在填补的理论空白是：在半空间几何中，对任意强度 $\alpha \in \mathbb{R}$ 的点涡初值，建立全局存在性与唯一性，完全去除小质量假设。这要求发展一套精细的泛函框架，能够同时刻画点涡核心处的自相似扩散行为、边界附近的初始层奇性以及中间过渡区域的正则性，并为后续高雷诺数极限（无粘极限）问题提供一致的先验估计框架。

2. 主要定理或主要结果

本文在初值 $\omega_0 = \alpha \delta_{(0,20)}$ （ $\alpha \in \mathbb{R}$ 任意，无小性假设）下，证明了如下严格结论：

定理 1.2（全局存在与唯一性）：对于上述初值，Navier-Stokes涡量方程 (1.4) 存在唯一的全局解 $(U, \omega)$ ，满足 $U \in L^{2,\infty}(\mathbb{R}^2_+)$ ， $\omega \in L^1(\mathbb{R}^2_+)$ 。当 $t \to 0^+$ 时，涡量在测度空间 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^2_+)$ 中弱收敛至

\omega(t) \rightharpoonup \alpha \delta_{(0,20)} - u_0 \delta_{\partial \mathbb{R}^2_+},

其中 $$u_0$$ 为初始速度场 $$U_0$$ 的 $$x$$ 分量。该极限明确揭示：由于无滑移边界条件的强制匹配，解在 $$t=0$$ 处产生不连续性，边界上会瞬时生成符号相反的测度层以抵消初始切向速度。

更精细的初渐近行为（注记 1.4）：解在 $t \to 0$ 时的局部结构可被精确刻画。引入光滑截断函数 $\chi_{vp}$ （点涡邻域）、 $\chi_b$ （边界邻域）与 $\chi_m$ （中间区域），以及Oseen涡自相似剖面 $G(\eta) = \frac{1}{4\pi} e^{-|\eta|^2/4}$ ，有

\lim_{t \to 0^+} \left( \left\| \chi_{vp} \left( \omega(t) - \frac{\alpha}{t} G\left(\frac{\cdot - X_0}{\sqrt{t}}\right) \right) \right\|_{H^1_m} + \| \chi_m \omega(t) \|_{L^2_m} + \| \chi_b (\omega - \omega_c)(t) \|_{Y(t)} \right) = 0.

其中 $$H^1_m$$ 与 $$L^2_m$$ 为基于自相似变量的加权Sobolev与Lebesgue空间， $$Y(t)$$ 为边界附近加权 $$L^1_y$$ 空间（带指数权重 $e^{\varepsilon_0(1+\mu^-y)_+ |\xi|}$ ）， $\omega_c$ 为显式构造的初始层校正量。唯一性是在该加权泛函空间拓扑意义下成立的。

推广情形（注记 1.6）：若初值为支撑远离边界的一般Radon测度 $\nu$ ，可分解为有限个点涡之和 $\sum_{i=1}^N \alpha_i \delta_{X_i}$ 加上纯原子部分充分小的背景测度 $\nu_0$ 。通过线性分解 $\omega = \omega^{(0)} + \sum \omega^{(i)}$ ，分别利用 [5] 的方法处理背景部分，并结合本文技术处理点涡部分，可构造该类一般测值初值的解。

上述结果均为严格数学证明的定理。关于解在 $t \to +\infty$ 的高雷诺数渐近行为（即无粘极限与Prandtl边界层匹配）将在本系列的第二篇论文中利用相同边界层框架进行讨论，本文不涉及。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心障碍在于同时处理点涡奇性与边界/初始层奇性，并克服Stokes半群控制非线性项时必需的小性假设。作者通过空间分解、自相似线性化、初始层校正与加权范数技术构建了一套完整的分析框架。

1. 空间分解与点涡邻域处理：将涡量分解为 $\omega = \omega_{vp} \chi_{vp} + \omega_b \chi_b + \omega_R$ 。在点涡邻域引入自相似坐标 $\eta = \frac{(x,y)-(0,20)}{(t+\delta)^{1/2}}$ ， $\tau = \log(t+\delta)$ 。设 $\frac{\alpha}{t+\delta} W^\delta(\eta, \tau) = \chi_{vp} \omega^\delta$ 。主导项取为Oseen涡 $G(\eta)$ ，令 $W^\delta = \chi_{vp} G + W_R$ 。代入方程得到 $$W_R$$ 的演化：

\partial_\tau W_R + \alpha V_R \cdot \nabla_\eta G + \alpha V_G \cdot \nabla_\eta W_R - L W_R = \sum_{i=1}^7 F_i, \quad L := \Delta_\eta + \frac{1}{2}\eta \cdot \nabla_\eta + 1.

算子 $$L$$ 生成半群 $T_\alpha(\tau)$ 。通过Duhamel公式， $$W_R$$ 的控制归结为半群估计与源项 $$F_i$$ 的分析。此处关键是将非线性项视为 $$L$$ 的扰动，利用 $T_\alpha(\tau)$ 的谱性质与衰减性，避免了全空间 $$L^1$$ 估计中出现的 $t^{-1/2}$ 发散因子。

2. 初始层校正量构造：由于 $U_0|_{y=0} = u_0(x,0) \neq 0$ ，直接匹配无滑移条件会导致 $\omega$ 在 $$t=0$$ 不连续。引入校正量 $$u_c$$ 满足一维热方程 $\partial_t u_c - \partial_y^2 u_c = 0$ ，初值 $u_c|_{t=0} = u_0^\delta(x) \chi_b(y)$ ，边界 $u_c|_{y=0}=0$ 。定义 $\omega_c = -\partial_y u_c$ 。该构造吸收了边界处的速度失配，使得 $\omega - \omega_c$ 在 $t \to 0^+$ 时具有良定的迹。方程重写为 $\chi_b(\omega^\delta - \omega_c^\delta)$ 的抛物系统，边界条件仍保持 $(\partial_y + |D_x|)(\omega-\omega_c)|_{y=0} = B^\delta$ 。

3. 边界层积分方程与导数损失补偿：对 $$x$$ 作Fourier变换，利用半空间热方程核表示解：

(\chi_b \omega - \chi_b \omega_c)_\xi(t,y) = \int_0^t \int_0^\infty \big( H_\xi(t-s,y,z) + R_\xi(t-s,y,z) \big) N_\xi^\delta(s,z) dz ds + \dots.

其中 $R_\xi$ 源于 $$|D_x|$$ 项，会导致一阶导数损失。为克服此困难，引入加权空间 $$Y(t)$$ 含因子 $e^{\varepsilon_0(1+\mu^-y)_+|\xi|}$ 。利用关键不等式

e^{\varepsilon_0(1+\mu^-y)_+|\xi|} |(\partial_x f)_\xi(y)| \le \frac{C}{e^\mu - \mu} e^{\varepsilon_0(1+e^{\mu^-y})_+|\xi|} |f_\xi(y)|,

将导数损失转化为小除子问题（Small Divisor Problem）。此技术源自无粘极限与Prandtl方程分析 [8,10]，在此成功适配于抛物型非局部边界条件。

4. Biot-Savart律的精细估计与闭包：传统估计 $\|U_b\|_{L^\infty} \lesssim t^{-1/2} \|\omega\|_{L^1}$ 无法闭合。本文证明 $\|U_b\|_{L^\infty} = \|BS_{\mathbb{R}^2_+}[\chi_b \omega]\|_{L^\infty} \le C \|\chi_b \omega\|_{Y(t)}$ 。结合截断函数分离 $\chi_{vp}$ 与 $\chi_b$ 的支撑，得到边界附近 $\|U\|_{L^\infty} \le C$ 的一致有界性，从而彻底消除小性假设。全篇避开压力项 $$p$$ 的非局部估计，完全在涡量框架内完成先验估计与紧性极限。

4. 与之前工作的比较

本文在点涡初值半空间Navier-Stokes适定性问题上取得了实质性推进，与既有文献在假设条件、技术路线与适用范围上存在显著差异。

1. 突破小性假设（与 Abe [1] 比较）：Abe 利用Stokes流解公式 $\omega(t) = T(t)\omega_0 + \int \nabla^\perp \cdot S(t-s)P(\omega u^\perp)ds$ 证明了纯原子部分范数 $\|\omega_{0,pp}\|_\mathcal{M} \le \delta$ 时的存在唯一性。其技术瓶颈在于Stokes半群仅能提供基础的 $$L^1$$ 耗散估计，非线性项的控制必须依赖 $\delta$ 充分小以保证压缩映射。本文完全摒弃了这一限制，通过构造自相似变量下的线性化Oseen算子 $$L$$ 及其半群 $T_\alpha(\tau)$ ，将点涡附近的非线性效应吸收进线性主部。同时，利用 $$Y(t)$$ 加权范数获得边界速度 $\|U\|_{L^\infty}$ 的一致有界性，替代了传统的 $t^{-1/2}$ 衰减估计，代价是引入了更复杂的空间分解与导数损失补偿机制。

2. 从全空间到半空间的技术适配（与 [5, 6, 7] 比较）：Gallay-Wayne [6] 与 Gallagher-Gallay [5] 在全空间利用自相似变换与线性化半群处理了任意大Dirac质量。本文继承了其核心思想（主导项为Oseen涡），但半空间几何引入了本质的新结构：边界条件 $(\partial_y + |D_x|)\omega = \dots$ 与初边值失配导致的初始层。文献 [5,6] 无需处理边界，而本文必须显式构造初始层校正量 $\omega_c$ ，并发展针对非局部边界积分核 $R_\xi$ 的分析工具。这标志着半空间粗糙初值理论从“小扰动”向“大初值/任意质量”的跨越。

3. 泛函框架与无粘极限的衔接（与 Dalibard-Gallay [4] 比较）：注记 1.5 指出 Dalibard-Gallay [4] 近期独立获得了相同结论，但采用不同路径。本文框架的独特性在于：充分利用边界附近 $\operatorname{curl} U = 0$ 与 $\operatorname{div} U = 0$ 蕴含的解析性结构，设计加权空间 $$Y(t)$$ 时显式植入 $e^{\varepsilon |\xi|}$ 型权重。该设计并非仅为闭合当前估计，而是直接面向后续高雷诺数极限（无粘极限）问题。第二篇论文将沿用同一套边界层处理技术，使得本文构造的解天然具备向Prandtl方程收敛的潜力。这是 [4] 未显式强调的长远架构优势。

中文标题: 共形情形下对数非尺度不变半线性波动方程的爆破速率

摘要翻译: 本文研究共形情形 $p = p_c = 1 + \frac{4}{n-1}$ 下半线性波动方程

\partial_t^2 u - \Delta u = |u|^{p-1}u \ln^a(u^2+2), \qquad (x,t)\in \mathbb{R}^n \times [0,T),

解的爆破行为。\cite{HZjmaa2020, HZ2022} 中的已有结果表明，对于 $a \in \mathbb{R}$ ，次共形区域 $$ p < p_c $$ 中的解在任意非特征点均以 I 型速率发生爆破。本文的目标是在假设 $$ a < 0 $$ 的条件下，将该爆破速率推广至共形情形。我们为任意爆破解建立了先验上界，并在相似变量下构造了一个 Lyapunov 泛函。所得泛函仅具有弱耗散性，因此需要借助精细的能量论证以获得共形情形下的尖锐爆破速率。据我们所知，这是针对尺度对称性破缺的演化问题，在临界框架下关于爆破速率的首个结果。

11. 混合局部与非局部拉普拉斯算子的 Gagliardo-Nirenberg 不等式最优常数

The best constant in the G-N inequality for the mixed local and Nonlocal Laplacian

作者: Hichem Hajaiej, Yu Su

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-06

arXiv ID: 2604.05177v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05177v1

摘要翻译

中文标题: 混合局部与非局部拉普拉斯算子的 Gagliardo-Nirenberg 不等式最优常数

摘要翻译: 本文确立了混合局部与非局部拉普拉斯算子的 Gagliardo-Nirenberg 不等式的最优常数。针对该问题，由于所研究算子的正则性结果极具挑战性，经典方法无法直接适用。我们构建了一种新方法，不仅证明了最优常数的极值函数即为相应方程的基态解，同时也确立了该最优常数。

12. 带权源项的拟线性扩散方程的爆破速率与爆破集

Blow-up rates and sets for a quasilinear diffusion equation with weighted source

作者: Raúl Ferreira, Razvan Gabriel Iagar, Ariel Sánchez

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-06

arXiv ID: 2604.05101v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05101v1

摘要翻译

中文标题: 带权源项的拟线性扩散方程的爆破速率与爆破集

摘要翻译: 针对指数满足 $$1<p<m$$ 且 $$σ>0$$ 的拟线性扩散方程

\partial_tu=Δu^m+|x|^σu^p, \quad (x,t)\in\mathbb{R}^N\times(0,T),

的一般解，我们建立了其爆破速率。更精确地，考虑具有爆破时间 $T=T(u)\in(0,\infty)$ 的紧支集解 $$u(x,t)$$ ，我们导出了如下爆破速率

C_1(T-t)^{-α}\leq \|u(x,t)\|_{\infty}\leq C_2(T-t)^{-α}, \quad t\in(0,T),

其中 $$C_1$$ , $$C_2$$ 为某正常数；同时得到支集扩张速率的上界估计

\sup\{|x|:u(x,t)>0\}\leq C_0(T-t)^{-β}, \quad t\in(0,T),

其中常数 $$C_0>0$$ ，且参数满足

α=\frac{σ+2}{L}, \quad β=\frac{m-p}{L}, \quad L=σ(m-1)+2(p-1).

此外，我们分析了解 $$u$$ 的爆破集，并在适当条件下证明：要么 $B(u)=\mathbb{R}^N$ ，要么爆破仅发生于 $|x|\to\infty$ 处。

13. 一维标量守恒律系统的全局边界镇定

Global boundary stabilization of 1d systems of scalar conservation laws

作者: Georges Bastin, Jean-Michel Coron, Amaury Hayat

类别: math.AP, eess.SY, math.OC

发布日期: 2026-04-06

arXiv ID: 2604.05054v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05054v1

摘要翻译

中文标题: 一维标量守恒律系统的全局边界镇定

摘要翻译: 我们研究由多个一维标量守恒律构成的系统，该系统通过边界反馈条件相耦合，该反馈条件结合了物理边界约束与静态反馈控制律。我们的第一项贡献证明了该系统在 $L^{ fty}$ 熵解空间中的适定性。我们的第二项贡献给出了关于边界耦合的一组充分耗散条件，该条件确保了系统在 $$L^1$$ 与 $$L^ fty$$ 范数下的全局指数稳定性。

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类别: math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.06030v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.06030v1

摘要: In this paper, we establish global $C^{1, α}$ regularity for viscosity solutions to a class of singular and degenerate fully nonlinear elliptic equations subject to oblique boundary conditions. Our work extends the findings in \cite{BKO25} to a broader class of equations, notably encompassing the singular case.

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类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.06026v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.06026v1

摘要: We consider the $$SU(2)$$ Self-Dual Yang Mills Higgs Lagrangian in 3 dimension. By adding a ‘‘Gauge Mass’’ term to this YMH Lagrangian in the form of $$L^2$$ norm of the connection we break the gauge invariance and critical points are automatically fulfilling globally the Coulomb condition. We study the so called ``large mass asymptotic’’, which has the effect of ‘‘squeezing’’ the monopoles. For any unit Higgs field data at the boundary we prove that minimizers of this Coulomb-Yang-Mills-Higgs Functional converge to harmonic maps into ${\mathbb S}^2$ extending this data. This asymptotic moreover is subject to concentration conpactness phenomena and the convergence is strong away from a 1 dimensional rectifiable closed concentration set. Then we prove that, having chosen a large enough coupling constant, the limiting minimal energy is converging towards the minimal Brezis-Coron-Lieb relaxed harmonic map energy for this boundary data. In the second part of the paper we examine a different asymptotic regime characterised by overloading monopoles. In this regime we prove that asymptotically, the magnetic field becomes exclusively longitudinal with a $$U(1)$$ abelian component along the Higgs Field while the Higgs field itself converges to a smooth absolute minimizer of a relaxation of the Faddeev-Skyrme functional of maps from ${\mathbb B}^3$ into ${\mathbb S}^2$ . In the third part of the paper we study the behaviour of these configurations when the parameter in front of the Fadeev-Skyrme component respectively goes to zero and $+\infty$ . In the first case one recovers the Brezis Coron Lieb relaxed energy at the limit while in the second case the minimal limiting energy is converging towards the minimal Dirichlet energy of maps into ${\mathbb S}^3$ whose projection by the Hopf fibration is equal to the fixed boundary data.

3. De Giorgi-Nash-Moser 理论在 Lean 中的形式化

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作者: Scott Armstrong, Julia Kempe

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05984v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05984v1

摘要: We present a formalization in Lean of the core interior De Giorgi–Nash–Moser theory for uniformly elliptic divergence-form equations with bounded measurable coefficients. The formalized results include local boundedness of weak subsolutions, the weak Harnack inequality for positive weak supersolutions, Moser’s Harnack inequality for positive weak solutions, and interior Hölder regularity. This is, to our knowledge, the first machine-checked formalization of a major theorem in modern PDE theory. The development also required substantial new infrastructure for Sobolev spaces on bounded domains, weak solutions of elliptic equations, and quantitative regularity estimates. More broadly, it suggests that large-scale autoformalization of hard analysis in Lean is now within reach.

4. 连续时间有界控制与多变量控制讲义

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类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05882v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05882v1

摘要: In this note, we develop the first-order theory of optimal control problems with box constraints on the control. We emphasize the precise modification of Pontryagin’s maximum principle when the admissible control set is compact, the projection/clamping formula for scalar quadratic Hamiltonians, the distinction between intrinsic projection inside the optimality system and post hoc truncation of an unconstrained solution, and the corresponding forward-backward sweep implementation. The presentation is pitched at senior PhD students who are already comfortable with variational arguments, adjoint systems, and basic nonlinear analysis. These notes are mainly based on the book ``optimal control applied to biological models’’ of Suzanne Lenhart and John T. Workman.

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类别: math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05578v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05578v1

摘要: We consider asymptotic behavior of solutions to the oblique-Dirichlet mixed boundary conditions without the strict monotonicity of the equation in the variable corresponding to the unknown function for “thin domains” i.e. when the N+1 dimensional domains collapse to an N dimensional domain. A global ellipticity condition in the limit equation is introduced.

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类别: math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05486v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05486v1

摘要: In this article, we prove the existence of at least one positive solution for the mixed local-nonlocal semipositone problem \begin{equation*} \left{ \begin{aligned} -Δ_p u+ (-Δ)^s_p u &= λf(u) && \text{in } Ω, u &= 0 && \text{in } \mathbb{R}^N \setminus Ω, \end{aligned} \right. \end{equation*} using mountain pass arguments, comparison principles and regularity principles.

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类别: math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05340v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05340v1

摘要: In this paper, we investigate the chiral boundary value problem for the Landau-Lifshitz equation with helical derivatives. By introducing Sobolev spaces adapted to the helical derivative and establishing energy estimates that are compatible with the chiral boundary condition, we prove the global existence of weak solutions to this problem, both in the presence and in the absence of damping terms.

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类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-04-07

arXiv ID: 2604.05315v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05315v1

摘要: This paper presents a high-accuracy higher-order multiscale method for solving multi-continuum problems in in highly heterogeneous media. First, microscopic unit cell functions are defined, leading to the derivation of macroscopic homogenized equations and formulas for calculating effective parameters, which yield a higher-order multi-scale (HOMS) asymptotic solution. Subsequently, the pointwise approximation properties of this solution to the original equations are analyzed, and its convergence rate in the integral norm is rigorously established under certain assumptions. Furthermore, a multiscale numerical algorithm is developed by integrating the finite element method (FEM), finite difference method, and interpolation technique. Finally, numerical experiments demonstrate the high accuracy, efficiency, and stability of the proposed HOMS numerical algorithm.

9. 拟线性算子的两相Alt-Phillips问题

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作者: Yousef Alamri, José Miguel Urbano

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-06

arXiv ID: 2604.05245v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05245v1

摘要: We establish interior regularity, optimal growth, and nondegeneracy estimates for sign-changing minimizers of the $$p-$$ singular or $$p-$$ degenerate quasilinear Alt–Phillips functional throughout the full range of $1<p<+\infty$ and of the nonlinearity power $$0<γ<p$$ . In addition, we obtain local finite perimeter and density estimates, from which we deduce the local $$(N-1)$$ -rectifiability of the reduced and two-phase free boundaries and the local finiteness of their $$(N-1)$$ -dimensional Hausdorff measure.

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类别: quant-ph, math.AP

发布日期: 2026-04-06

arXiv ID: 2604.05098v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.05098v1

摘要: We develop a hybrid classical-quantum algorithm to solve a type of linear reaction-diffusion equation, the neutron diffusion (generalized) k-eigenvalue problem that establishes nuclear criticality. The algorithm handles an equation with piecewise constant coefficients, describing a problem in a heterogeneous medium. We apply uniform finite elements and show that the quantum algorithm provides significant polynomial end-to-end speedup over its classical counterparts. This speedup leverages recent advances in quantum linear systems – fast inversion and quantum preconditioning – and uses Hamiltonian simulation as a subroutine. Our results suggest that quantum algorithms may provide speedups for heterogeneous PDEs, though the extent of this advantage over the fastest classical algorithm depends on the effectiveness of other classical approaches such as nonuniform or adaptive meshing for a given problem instance.

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4. 具有乘性非局部效应的椭圆方程的精细化边界层渐近#

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5. 关于 $ §^2 $ 上 NLS 流的逐点收敛#

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6. 粘弹性一维血流的渐近模型#

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7. 具有局部记忆阻尼的II型孔隙热弹性系统的多项式稳定性#

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9. 非光滑域上弹性薄板的多项式稳定性#

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10. 共形情形下对数非尺度不变半线性波动方程的爆破速率#

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11. 混合局部与非局部拉普拉斯算子的 Gagliardo-Nirenberg 不等式最优常数#

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12. 带权源项的拟线性扩散方程的爆破速率与爆破集#

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13. 一维标量守恒律系统的全局边界镇定#

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不相关论文（基本信息）#

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2. 自对偶杨-米尔斯-希格斯 $SU(2)$ 磁单极子渐近分析中的规范对称性破缺#

3. De Giorgi-Nash-Moser 理论在 Lean 中的形式化#

4. 连续时间有界控制与多变量控制讲义#

5. 薄区域上具斜向-狄利克雷混合边界条件的全非线性椭圆型偏微分方程#

6. 具半正型非线性项的局部-非局部混合问题的正解#

7. 带螺旋导数的朗道-利夫希茨方程弱解的整体存在性#

8. 高度非均质介质中多连续体问题的高阶多尺度计算方法#

9. 拟线性算子的两相Alt-Phillips问题#

10. 非均匀偏微分方程的量子算法：中子扩散特征值问题#

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