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1. 无粘极限下随机穿孔域中纳维 - 斯托克斯方程的均匀化

Homogenization of the Navier-Stokes equations in a randomly perforated domain in the inviscid limit

作者: Richard M. Höfer, Eleni Hübner-Rosenau

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14792v1

摘要翻译: 我们研究了随机穿孔域中具有消失粘性和无滑移条件的纳维 - 斯托克斯方程解 $u_\varepsilon$ 的性态。我们考虑空间 $\mathbb{R}^3$，从中移除了 $N$ 个独立同分布的孔洞。该性态取决于颗粒尺寸 $\varepsilon^α=N^{-α/3}$ 和流体的粘度 $\varepsilon^γ=N^{-γ/3}$。在局部雷诺数较小的前提下，我们在次临界 ($α+γ>3$) 和临界 ($α+γ=3$) 情形下证明了定量收敛到函数 $u$ 的结果。在第一种情形下，$u$ 满足欧拉方程，而在第二种情形下，$u$ 满足欧拉 - 布林克曼方程。这将 https://doi.org/10.1088/1361-6544/acfe56 的结果从周期性情形推广到了随机情形。我们仅处理情形 $α>2$，使得颗粒以压倒性概率不重叠。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14792v1

1. 研究对象和背景

研究对象为三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中带有随机穿孔域 $\Omega_\varepsilon$ 上的不可压缩 Navier-Stokes 方程。具体方程设定为：

$$ \partial_t u_\varepsilon + (u_\varepsilon \cdot \nabla)u_\varepsilon - \mu_0 \varepsilon^\gamma \Delta u_\varepsilon + \nabla p_\varepsilon = f_\varepsilon $$

其中粘度系数为 $\varepsilon^\gamma$，边界条件为无滑移 $u_\varepsilon|_{\partial \Omega_\varepsilon} = 0$。穿孔由 $N$ 个独立同分布（i.i.d.）的粒子中心 $x_i^\varepsilon$ 生成，粒子大小为 $\varepsilon^\alpha$，即 $T_i^\varepsilon = x_i^\varepsilon + \varepsilon^\alpha T$。这里 $\varepsilon = N^{-1/3}$。该问题的重要性在于描述悬浮液（如血液、喷雾）的有效宏观行为。经典均匀化理论通常假设粘度固定，但在低粘度（高雷诺数）物理场景下，需同时考虑均匀化极限与无粘极限。已有理论背景方面，周期性穿孔域下的 Navier-Stokes 均匀化已有研究（如 [22]），区分了次临界、临界和超临界三种 regime。随机穿孔域的研究多集中于 Stokes 方程（如 [6, 16, 17, 20]），且通常固定粘度。本文试图填补的空白是：在随机穿孔设定下，结合粘度趋于零的极限，建立 Navier-Stokes 方程解的定量收敛结果。特别是处理随机粒子分布带来的聚类（clustering）问题，以及在无粘极限下非线性项与边界层效应的相互作用。问题设定的关键在于粒子大小指数 $\alpha$ 与粘度指数 $\gamma$ 的关系，决定了宏观方程是 Euler 方程还是 Euler-Brinkman 方程。作者仅处理 $\alpha > 2$ 的情形，以保证粒子以压倒性概率不重叠。

2. 主要定理或主要结果

本文主要证明了在局部雷诺数较小的假设下，解 $u_\varepsilon$ 定量收敛于极限函数 $u$ 的期望误差估计。1. 临界情形（Theorem 1.1）：假设 $\alpha \in (2, 3)$ 且 $\gamma = 3 - \alpha$（即 $\alpha + \gamma = 3$）。极限函数 $u$ 满足 Euler-Brinkman 方程：

$$ \partial_t u + (u \cdot \nabla)u + \nabla p + \rho \mu_0 R u = f $$

其中 $R$ 为阻力矩阵。结论给出了 $L^2$ 范数下的期望误差界：

$$ \mathbb{E}[\|(u - u_\varepsilon)(t)\|_{L^2(\Omega_\varepsilon)}^2] \lesssim \mathbb{E}[\|f_\varepsilon - f\|^2] + (\varepsilon^{6-2\alpha} + \varepsilon^{3(\alpha-2)} + \varepsilon^{\alpha-3/2}) $$

该结果要求极限解 $u \in C^1(0, T; H^4)$ 且具有较高正则性。2. 次临界情形（Theorem 1.2）：假设 $\alpha > 2$ 且 $3 - \alpha < \gamma \leq \alpha$（即 $\alpha + \gamma > 3$）。极限函数 $u$ 满足标准 Euler 方程（对应 $R=0$）：

$$ \partial_t u + (u \cdot \nabla)u + \nabla p = f $$

误差估计为：

$$ \mathbb{E}[\|(u - u_\varepsilon)(t)\|_{L^2(\Omega_\varepsilon)}^2] \lesssim \mathbb{E}[\|f_\varepsilon - f\|^2] + (\varepsilon^{2\gamma} + \varepsilon^{3(\alpha-2)} + \varepsilon^{2\alpha+\gamma-9/2}) $$

此外，证明依赖于概率集 $A_{L,\alpha}^N$（粒子不重叠）和 $B_\lambda^N$（经验密度有界），这两个集合具有压倒性概率（overwhelming probability）。收敛是在期望意义下成立的，而非依概率收敛。常数 $C$ 依赖于 $\lambda$、参考粒子 $T$、时间 $T$ 及极限解的正则性范数。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心障碍在于极限函数 $u$ 不满足穿孔域上的无滑移边界条件，因此不能直接作为相对能量方法中的测试函数。1. 修正函数构造：作者构造了修正测试函数 $\check{u}_\varepsilon = w_\varepsilon u - B_\varepsilon(u)$。其中 $w_\varepsilon$ 是矩阵值的乘法修正子（multiplicative corrector），由阻力问题（resistance problem）的解构建。关键创新在于处理随机聚类：截断尺度 $\eta_{i,\varepsilon}$ 依赖于每个粒子 $i$ 与其最近邻的距离 $d_i^\varepsilon$，即 $\varepsilon^\alpha \leq \eta_{i,\varepsilon} \leq \min\{\varepsilon, d_i^\varepsilon\}$。这确保了修正子的支撑集不相交。修正子在区域 $C_i^\varepsilon, D_i^\varepsilon, K_i^\varepsilon$ 上分段定义，利用 Stokes 方程 exterior problem 的衰减估计。2. 相对能量框架：利用经典的相对能量不等式，将误差分解为粘性项、非线性项及修正子引入的余项。由于粘度 $\varepsilon^\gamma$ 趋于零，需严格控制粘性耗散项的贡献。3. 概率估计工具：为了量化经验密度 $\rho_N = \sum \delta_{x_i^\varepsilon}$ 与宏观密度 $\rho$ 的差异，作者使用了 Wasserstein 距离 $W_2$。利用命题 $\|\nu_0 - \nu_1\|_{H^{-1}} \leq \max\{\|\nu_0\|_\infty, \|\nu_1\|_\infty\}^{1/2} W_2(\nu_0, \nu_1)$，将概率收敛转化为 $H^{-1}$ 范数估计。4. 平滑化处理：引入平滑化的经验密度 $\bar{\rho}_\varepsilon$，通过在尺度 $\varepsilon^{1-\lambda}$ 的立方体上平均，利用 Poincaré 型估计将粒子边界上的力“涂抹”到更大的区域，从而匹配宏观方程中的 Brinkman 力项 $\rho \mu_0 R u$。Lemma 2.2 给出了 $-\Delta w_\varepsilon + \nabla q_\varepsilon$ 的分布表示，其中包含与 $\rho R$ 的偏差项，该偏差项通过 $W_2$ 距离控制。

4. 与之前工作的比较

  1. 与周期性结果 [22] 的比较：本文是将 [22] 的周期性穿孔推广至随机穿孔。主要推进在于处理粒子位置的随机性导致的局部密度波动。在 [22] 中截断尺度是统一的，而本文必须使用依赖于粒子索引的 $\eta_{i,\varepsilon}$ 以避免随机聚类引起的重叠。代价是误差估计中出现了与 $\lambda$ 相关的项，且仅证明了期望收敛而非逐点收敛。2. 与随机 Stokes 结果 [6, 16, 17, 20] 的比较：既有随机均匀化工作多针对 Stokes 方程且粘度固定。本文处理的是 Navier-Stokes 方程且粘度随 $\varepsilon$ 趋于零。技术难点在于非线性对流项 $(u_\varepsilon \cdot \nabla)u_\varepsilon$ 在无粘极限下的控制。[20] 使用了变分结构，不适用于 NS 方程；本文采用的相对能量方法更适合处理非线性演化方程。3. 与一般随机点过程结果 [8] 的比较：[8] 使用了 $W_1$ 距离（对偶 Lipschitz 范数）来估计测试函数误差，这要求测试函数有 $H^2$ 界。由于 NS 解仅先验有 $H^1$ 界，本文必须使用 $W_2$ 距离配合 $H^{-1}$ 估计。这限制了可处理的粒子尺寸范围，要求 $\alpha > 2$ 以保证粒子不重叠的概率趋于 1，而 [22] 在周期性设定下可处理更广泛的参数范围。4. 适用范围与局限：本文仅覆盖了次临界和临界情形，超临界情形（Darcy 定律）未涉及。此外，假设了粒子中心 i.i.d. 分布，比标记泊松点过程更简单，但比一般混合过程受限。作者未显式展开与 [26-29] 的直接比较，但指出那些工作主要关注 Darcy 型方程。

2. 可压缩 Euler 方程的一个反问题

An inverse problem for compressible Euler’s equations

作者: Gunther Uhlmann, Yuchao Yi, Jian Zhai

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14636v1

摘要翻译: 我们考虑多方流体中可压缩 Euler 方程的一个反问题。我们证明，在流动具有非零涡度的附加假设下，通过在粒子轨迹附近进行主动测量，可以在一个压力波能够从粒子轨迹传播并返回到粒子轨迹的集合内确定背景流。

Comment: 39 pages, 2 figures and a supplementary video

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14636v1

1. 研究对象和背景

本文研究的对象是多熵流体中的可压缩欧拉方程组（Compressible Euler’s Equations）。具体而言，考虑如下方程组：

$$ (\rho v)_t + \nabla\cdot (\rho v \otimes v) + \nabla p = f, \quad \rho_t + \nabla\cdot (\rho v) = 0, \quad p(\rho) = A\rho^\gamma $$

其中 $v(t, x)$ 为速度，$p(t, x)$ 为压力，$\rho(t, x)$ 为密度，$f$ 为外力加速度，$A > 0$ 和 $\gamma > 1$ 为常数。该模型是理想气体的标准模型，通常 $\gamma \in (1, 5/3]$。研究的核心问题是反问题：能否通过主动测量来确定背景流场？

在问题设定上，作者假设存在一个背景解 $(\rho_0, v_0)$ 满足无外力情形下的欧拉方程。背景解诱导了一个洛伦兹度规（Lorentzian metric）：

$$ g = (-1 + c_0^{-2} v_0^T v_0)(dt)^2 - 2c_0^{-2} v_0^j dx^j dt + c_0^{-2} dx^j dx^j $$

其中 $c_0^2 = A\gamma \rho_0^{\gamma-1}$ 为声速平方。流体中的压力波或声波将在此洛伦兹度规下传播。反问题的具体设定是：在粒子轨迹 $\mu$ 附近的开邻域 $V$ 内施加小源 $f$，通过源到解映射 $L_V f = (\rho, v)|_V$ 来恢复背景解 $(\rho_0, v_0)$。

该问题的重要性在于，可压缩欧拉方程是拟线性双曲系统，其背景解实际上构成了方程的系数。对于线性波动方程，若系数依赖于时间，传统的边界控制方法（Boundary Control Method）通常失效。因此，如何利用非线性效应来恢复随时间变化的系数是偏微分方程反问题领域的一个关键难点。本文试图填补的空白在于：在背景流具有非零涡度（nonzero vorticity）的假设下，证明通过局部主动测量可以唯一确定因果 diamond 区域 $I_g(p_-, p_+)$ 内的背景流场。这不仅涉及度规的恢复，还涉及速度场和密度场的完全重构，且是在时间依赖的系数设定下进行的，这在现有理论中属于较前沿的探索。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果总结在定理 1（Theorem 1）中。在以下假设下：

  1. 因果未来与过去的交集 $I_g(p_-, p_+)$ 不包含割点（cut points）；
  2. 背景速度场在该区域内具有非零涡度，即 $\nabla \times v_0 \neq 0$；
  3. 背景解在测量邻域 $V$ 上已知，即 $(\rho_0, v_0)|_V$ 已知。

结论是：源到解映射 $L_V$ 唯一确定了集合 $I_g(p_-, p_+)$ 以及该集合内的背景解 $(\rho_0, v_0)$。这意味着通过局部测量可以恢复波能够传播并返回粒子轨迹的整个时空区域内的流体状态。

此外，命题 1（Proposition 1）建立了正则性理论：固定 $T > 0$ 和 $m \geq 5/2$，若源项 $f$ 的 $C^m(V)$ 范数足够小，则存在唯一解 $(\rho, v)$ 属于空间 $L^\infty([0, T]; H^m(\mathbb{R}^3)) \cap W^{1,\infty}([0, T]; H^{m-1}(\mathbb{R}^3))$。这保证了反问题中使用的源到解映射是良定义的。

技术细节上，恢复过程依赖于高阶线性化。作者考虑形式为 $f = \sum_{i=1}^3 \epsilon_i f_i$ 的小源，并分析解关于参数 $\vec{\epsilon}$ 的渐近行为：

$$ v = v_0 + \sum \epsilon_i v_i + \frac{1}{2}\sum \epsilon_i \epsilon_j v_{ij} + \frac{1}{6}\sum \epsilon_i \epsilon_j \epsilon_k v_{ijk} + o(|\vec{\epsilon}|^3) $$

主要定理的证明依赖于从三阶线性化解 $(\rho_{123}, v_{123})$ 中提取奇异性信息。代表性公式包括三波相互作用产生的源项 $f_{123}$ 和 $h_{123}$，它们包含了低阶项的乘积，如 $\rho_{\sigma(1)} v_{\sigma(2)} \cdot \nabla v_{\sigma(3)}$ 等。这些非线性相互作用项携带了背景系数的信息，使得恢复成为可能。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明中的核心障碍在于欧拉方程是拟线性双曲系统，且背景系数 $(\rho_0, v_0)$ 随时间变化。对于线性波动方程，时间依赖系数通常导致边界控制方法失效，因为无法通过边界测量唯一确定内部随时间变化的波速。作者的真正创新点在于充分利用了非线性双曲方程中波的相互作用产生的新奇异性。

关键技术框架如下：

  1. 高阶线性化（Multilinearization）：作者使用了三阶线性化程序。通过引入多个小参数 $\epsilon_i$，将非线性方程转化为一串线性方程组。一阶项 $(\rho_i, v_i)$ 满足线性化欧拉方程，二阶项 $(\rho_{ij}, v_{ij})$ 和三阶项 $(\rho_{ijk}, v_{ijk})$ 的方程源项则由低阶项的非线性耦合产生。这种方法使得作者能够隔离出特定的非线性相互作用效应。

  2. 微局部分析（Microlocal Analysis）：作者使用了拉格朗日分布（Lagrangian distributions）和配对拉格朗日分布（paired Lagrangian distributions）理论。具体而言，构造具有共法奇异性（conormal singularities）的畸变平面波（distorted plane waves）。线性化算子 $P$ 的主符号具有特征值 $\tau \pm c_0|\xi|$ 和 $\tau$，对应声波传播和物质输运。通过分析和算子 $Q$ 的施瓦兹核作为配对拉格朗日分布，作者能够精确追踪奇异性在相空间中的传播。

  3. 三对一散射关系（Three-to-one scattering relations）：利用三个压力波的非线性相互作用产生“锥形”波（conical waves，即激波）。通过观察这些新生成的奇异性，提取与洛伦兹度规相关的散射关系。这使得作者能够确定度规的共形类（conformal class），即确定最早光观测集（earliest light observation sets）。

  4. 涡度与平流流（Vorticity and Advective Flow）：这是本文区别于纯标量波动方程反问题的关键。作者证明了在 $\nabla \times v_0 \neq 0$ 假设下，两个压力波的非线性相互作用可以产生沿积分曲线 $\partial_t + v_0 \cdot \nabla$ 的平流流。该平流流再与其他压力波相互作用生成新的锥形波。通过观测这一过程，可以确定速度场的积分曲线，从而打破共形不变性，完全恢复背景解。

4. 与之前工作的比较

本文与既有 PDE 及分析理论文献的推进主要体现在以下几个方面：

  1. 与线性反问题的比较：对于线性波动方程 $\partial_t^2 u - c^2(t, x)\Delta u = 0$，若波速 $c$ 依赖时间，经典的边界控制方法（Boundary Control Method, 参见文献 [6, 7]）通常无法直接适用，除非有极强的几何假设。本文处理的是拟线性系统，其背景解本身就是随时间变化的系数。作者通过非线性相互作用绕过了线性方法的局限性，证明了即使在时间依赖系数下，只要利用非线性效应，仍可恢复内部结构。

  2. 与非线性双曲方程反问题的比较：自文献 [31] 以来，非线性双曲方程的反问题研究取得了显著进展。文献 [31] 通过非线性相互作用将源到解映射约化为最早光观测集，从而确定洛伦兹度规 up to 共形微分同胚。本文沿用了这一策略（参见 1.3 节），但将其应用到了物理上更真实的欧拉方程组。与半线性波动方程（semilinear wave equations, 参见 [40, 26, 37]）不同，欧拉方程组包含输运项和涡度，这使得恢复过程更为复杂。本文特别指出了利用涡度（$\nabla \times v_0 \neq 0$）来恢复速度场方向的重要性，这是在纯标量方程中不需要考虑的因素。

  3. 与度规恢复工作的比较：文献 [18] 引入了三对一散射关系来恢复度规。本文在 Section 5 中使用了类似技术来恢复洛伦兹度规的共形结构。然而，仅恢复共形结构不足以确定流体状态（因为密度和速度的尺度未定）。本文的推进在于 Section 6-7 的分析，通过平流流与压力波的相互作用，打破了共形不变性。这是相对于仅恢复度形几何的工作（如 [47]）的重要补充。

  4. 局限性与假设：与某些全局测量结果相比，本文假设测量仅在粒子轨迹邻域 $V$ 内进行，且恢复区域限制在因果集 $I_g(p_-, p_+)$ 内。此外，非零涡度假设是必要的，若流体无旋，平流流生成机制可能失效，从提供内容中无法确认无旋情形下是否仍有其他机制可恢复速度场方向。时间尺度上，经典解的生命 span $T$ 通常是有限的（参见 [13]），本文结果仅在光滑解存在的时间范围内有效。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 全空间上 $d\le 3$ 维具空间白噪声势的非线性薛定谔方程

Nonlinear Schrödinger equations with spatial white noise potential on full space for $d\le 3$

作者: Antoine Mouzard, Immanuel Zachhuber

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.15226v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.15226v1

摘要翻译

中文标题: 全空间上 $d\le 3$ 维具空间白噪声势的非线性薛定谔方程

摘要翻译: 本文证明了 $R^d$ 上（其中 $d\le3$）具乘性白噪声的非线性薛定谔方程能量解的存在性与唯一性。我们基于指数变换和守恒量来证明能量解的存在性。利用受控微积分，我们证明了刻画解之色散性质的 Strichartz 不等式。这使得我们能够获得低正则性解的局部适定性以及各类方程能量解的唯一性。特别地，我们的结果是全空间上此类方程正则性与局域性均无损失传播的首批结果，也是此类奇异色散随机偏微分方程在 $R^3$ 上的首批结果。我们还获得了二维情况下确定性初值的局部适定性。

2. Cartan 群上的 $L^p$-Hodge 分解与全局积分估计

$L^p$-Hodge decomposition and global integral estimates on the Cartan group

作者: Annalisa Baldi, Alessandro Rosa

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.15206v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.15206v1

摘要翻译

中文标题: Cartan 群上的 $L^p$-Hodge 分解与全局积分估计

摘要翻译: 在 Carnot 群及更一般的次黎曼背景中，微分形式的 Sobolev 和 Poincaré 不等式的研究在其完全一般性上仍然是一个开放问题。人们可以猜想，对于一般的 Carnot 群，这些不等式是用适当的分级 Lebesgue 范数来表达的。近年来，无论是在欧几里得背景中还是在 Heisenberg 群中，以及对于具有有界几何的接触流形，都已获得许多结果。对于一般的 Carnot 群也有一些结果；然而，这些结果并未涵盖该问题的完全一般性。

在本文中，我们考虑一个特定的 Carnot 群，即所谓的 Cartan 群（一个具有 $2$ 个生成元的 $3$ 步自由 Carnot 群），它为这些问题提供了一个自然的测试平台，因为其三步结构已经展现出若干在 Heisenberg 群中不会出现的现象。在此背景中，我们能够证明微分形式的全局 Poincaré 和 Sobolev-Gaffney 不等式。旨在获得尖锐估计，我们用 Rumin 复形取代微分形式的 de Rham 复形。$p>1$ 的情形是在建立了具有齐次 Sobolev 类的 $L^p$-Hodge 分解之后处理的。我们也能考虑端点情形 $p=1$；然而，正如在欧几里得背景中一样，当 $p=1$ 时，我们处理的算子仅提供弱型估计，这无法产生类似于 $p>1$ 情形的 Hodge 分解。因此，在这种情况下，证明遵循一种不同的方法，依赖于 \cite{BT} 中证明的一项近期结果。

3. 随机 Neumann 筛问题中均匀化与维数约化的联合效应

Combined effect of homogenization and dimension-reduction in the random Neumann sieve problem

作者: Mert Baştuğ

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.15183v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.15183v1

摘要翻译

中文标题: 随机 Neumann 筛问题中均匀化与维数约化的联合效应

摘要翻译: 我们研究了薄随机穿孔域中 Poisson 方程 Neumann 筛问题解的渐近行为。穿孔（筛孔）由一个平稳标记点过程生成。根据域厚度与典型孔尺寸之间的标度关系，出现了三种不同的极限机制。我们还确定了关于随机孔半径的最优随机可积性条件，该条件保证了随机均匀化，即使存在孔聚类现象。

4. 关于一维 Klein-Gordon 方程的色散估计

On dispersive estimates for one-dimensional Klein-Gordon equations

作者: Elena Kopylova

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.15053v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.15053v1

摘要翻译

中文标题: 关于一维 Klein-Gordon 方程的色散估计

摘要翻译: 我们改进了关于一维 Klein-Gordon 方程色散衰减的先前结果。我们发展了一种新方法，使得我们能够在更强的范数下建立该衰减，并弱化关于势的假设。

5. Euler-Poisson 系统的奇异行波

Singular traveling waves for the Euler-Poisson system

作者: Billel Guelmame, Taoufik Hmidi, Haroune Houamed, Frédéric Rousset

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14997v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14997v1

摘要翻译

中文标题: Euler-Poisson 系统的奇异行波

摘要翻译: 我们考虑电子由 Maxwell-Boltzmann 分布给出的离子 Euler-Poisson 系统，并研究一维周期行波的存在性。更确切地说，我们首先建立了一条源自常数平衡态的光滑全局分歧分支的存在性。随后我们构造了一个奇异行波，它作为全局分歧曲线末端的极限轮廓出现。我们的分析适用于一类广泛的压力律，并给出了光滑和奇异行波的全面刻画。该模型的一个核心困难源于由非局部 Poisson-Boltzmann 方程引起的指数非线性，这使得无法获得电子场关于离子密度的任何显式表示。与先前关于相关模型的研究相比，这构成了显著障碍，而在那些研究中，此类显式公式对于全局分歧论证至关重要。

6. 具有测度约束的 $p$-薛定谔方程的 $L^1$ 理论

An $L^1$-theory for $p$-Schrödinger equations with confinement in measure

作者: Nuno J. Alves, José Miguel Urbano

类别: math.AP, math.FA

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14916v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14916v1

摘要翻译

中文标题: 具有测度约束的 $p$-薛定谔方程的 $L^1$ 理论

摘要翻译: 我们考虑全空间上具有可积数据及测度约束势的稳态 $p$-薛定谔方程。我们在渐近 $L^p$ 框架下引入渐近能量解，并在退化范围 $p\ge2$ 内建立了存在性与唯一性。证明依赖于一个新的具有独立兴趣的 Rellich–Kondrachov 型紧性定理，该定理为 Sobolev 函数族在渐近 $L^p$ 空间中的预紧性提供了充分条件，且对指数没有任何依赖于维数的限制。对于对偶区域 $L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^{p'}(\mathbb{R}^n)$ 中的数据，渐近能量解与弱能量解重合。我们还表明，额外的紧性假设可导出局部熵型解，并且在适当的局部正则性条件下，可导出分布解。

7. 膨胀背景上的朗道阻尼

Landau damping on expanding backgrounds

作者: David Fajman, Liam Urban

类别: math.AP, gr-qc, math-ph

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14911v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14911v1

摘要翻译

中文标题: 膨胀背景上的朗道阻尼

摘要翻译: 我们分析了牛顿宇宙学中的膨胀效应对靠近泊松平衡态的带电自相互作用等离子体渐近行为的影响。为此，我们在关于尺度因子 $a(t)$ 膨胀的 $3$-环面的相空间上研究 Vlasov-Poisson 系统。我们证明了，对于 $a(t)=t^q$ 且 $q eq(0,\frac12)$，该系统的解针对相对于适当强的 Gevrey 类较小的初始数据表现出非线性朗道阻尼，即等离子体的电荷密度对比度超多项式衰减。在此范围内对于更大的 $q$ 取值，初始数据要求变得更严格，而衰减变弱。据我们所知，这是首个证明宇宙学设定下朗道阻尼的结果。

8. 能量临界随机非线性薛定谔方程：适定性与爆破

The energy-critical stochastic nonlinear Schrödinger equation: well-posedness and blow-up

作者: Annie Millet, Svetlana Roudenko

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14852v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14852v1

摘要翻译

中文标题: 能量临界随机非线性薛定谔方程：适定性与爆破

摘要翻译: 我们研究聚焦与散焦能量临界随机非线性薛定谔方程，该方程受到形式为加法或乘法（Stratonovich）噪声的随机扰动。我们建立了随机或确定性初始数据 $u_0$ 的局部适定性，其中 $u_0$ 属于 $\dot{H}^1(\mathbb{R}^n)$ 或 $H^1(\mathbb{R}^n)$，具体取决于噪声类型。在聚焦情形下，我们就存在时间与概率给出了定量估计。此外，我们在两种噪声情形下推导了具有正能量的解的爆破准则，前提是噪声强度充分小，表明爆破以正概率在某个给定的正时间之前发生，从而将 Kenig-Merle [24] 关于能量临界非线性薛定谔方程的确定性结果推广至随机情形。

9. 无自扩散且具有不同迁移率系统的全局存在性

Global existence for a system without self-diffusion and different mobilities

作者: Charles Elbar

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14775v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14775v1

摘要翻译

中文标题: 无自扩散且具有不同迁移率系统的全局存在性

摘要翻译: 我们研究了环面上具有线性压力律且迁移率不同的两个相互作用种群的一维交叉扩散系统。对于任意有界非负初始数据，我们证明了任何良好的近似格式均能导出全局弱解的存在性。更确切地说，我们引入了“容许近似序列”的概念，并证明了任何此类序列都包含一个收敛于该系统弱解的子列。证明策略基于熵估计和 div-curl 引理，并在 Young 测度的框架下进行。

10. 带饱和阻尼的非线性 Ginzburg-Landau 方程。第二部分。强稳定化

Damped nonlinear Ginzburg-Landau equation with saturation. Part II. Strong Stabilization

作者: Pascal Bégout, Jesús Ildefonso Díaz

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14743v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14743v1

摘要翻译

中文标题: 带饱和阻尼的非线性 Ginzburg-Landau 方程。第二部分。强稳定化

摘要翻译: 我们研究定义在可能无界区域上的复 Ginzburg-Landau 方程，其包含某些奇异且饱和的非线性阻尼项。该模型通过一个复时间导数前置因子介于非线性 Schrödinger 方程与耗散抛物型动力学之间，捕捉了色散与耗散之间的相互作用。作为我们之前关于解的存在性与唯一性研究的延续，我们在此证明了一些强稳定化性质。特别地，我们证明了由非线性饱和机制诱导的解的有限时间熄灭，这有时可被理解为一种 bang-bang 控制。该分析依赖于精细的能量方法。我们的结果为此类极大值原理失效的复方程中非线性耗散作为一种有效稳定化机制提供了严格的论证。

11. 广义 Heisenberg 型群上的一致体积估计与极大函数

Uniform volume estimates and maximal functions on generalized Heisenberg-type groups

作者: Cheng Bi, Hong-Quan Li

类别: math.CA, math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14715v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14715v1

摘要翻译

中文标题: 广义 Heisenberg 型群上的一致体积估计与极大函数

摘要翻译: 在广义 Heisenberg 型群 $\mathbb{G}(2n,m,\mathbb{U},\mathbb{W})$ 上，我们对于由一大类 Carnot-Carathéodory 距离定义的球给出了一致体积估计，并为相关的中心 Hardy-Littlewood 极大函数建立了弱 (1, 1) $O(C^m \, n)$ 估计，推广了 \cite{BLZ25} 中的结果。作为附带结果，我们在 Heisenberg 群上对于一类左不变黎曼度量建立了一致体积加倍性质。

12. 退化抛物双相问题解的局部有界性

Local boundedness for solutions to degenerate parabolic double phase problems

作者: Bogi Kim, Jehan Oh

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14544v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14544v1

摘要翻译

中文标题: 退化抛物双相问题解的局部有界性

摘要翻译: 本文研究了型如

$$ u_t-\textrm{div}(|Du|^{p-2}Du+a(x,t)|Du|^{q-2}Du)=0\quad \text{in } Ω_T := Ω\times (0,T), $$

的退化抛物双相方程弱解的局部有界性，其中 $0\leq a(\cdot)\in L^\infty(Ω_T)$。为此，我们建立了 Caccioppoli 不等式和一个抛物嵌入定理，并将它们应用于迭代法中。

不相关论文（基本信息）

1. 瞬子 - 反瞬子构型附近的杨 - 米尔斯方程

The Yang-Mills equation near instanton-anti-instanton configurations

作者: Alex Waldron, Hao Yin

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.15200v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.15200v1

摘要: We study the question of whether a sequence of non-instanton Yang-Mills connections can limit to a bubbling configuration composed only of instantons. In the case that the Uhlenbeck limit and the bubbles are of opposite charge, we determine an obstruction coming from deformations of the Uhlenbeck limit. As an application, we prove that instantons are the only solutions of the $\mathrm{SU}(2)$ Yang-Mills equation on $\mathbb{R}^4$ with energy less than $4π^2 \left( |κ| + 2 \right) + \varepsilon_κ,$ where $κ$ is the charge. We also prove discreteness of the energy spectrum on the trivial $\mathrm{SU}(2)$-bundle in the range $\left[ 0, 16 π^2 \right).$

2. 里奇流的可积变形与稳定性

Integrable Deformations and Stability of the Ricci Flow

作者: Maxwell Stolarski, Alex Waldron

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.15198v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.15198v1

摘要: We provide a comparatively simple proof of the dynamical stability of Ricci flow near a linearly stable Ricci-flat ALE metric with integrable deformations. Our proof relies on the equivalence between integrability and an “almost-orthogonality” property of the Ricci-DeTurck tensor, allowing us to analyze the latter directly. We obtain our main results in weighted Holder spaces and then show how to recover the $L^p$-stability theorems of Deruelle-Kroncke and Kroncke-Petersen.

3. 混合局部 - 非局部加权齐次方程的哈纳克不等式

Harnack inequality for mixed local-nonlocal weighted homogeneous equations

作者: Nirjan Biswas, Stuti Das

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14923v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14923v1

摘要: We consider the following class of mixed local-nonlocal equations: \begin{align}\label{abs}\tag{$\mathcal{P}$} -Δ_p u + (-Δ)_p^s u = V |u|^{p-2}u \text{ in } Ω, \end{align} where $s \in (0,1), p \in (1, \infty)$, and the weight function $V$ lies in scaling subcritical Lebesgue space $L^q(Ω)$ where $q>\frac{d}{p}$ when $d>p$ and $q>1$ when $d \le p$. We establish Harnack inequality for weak solution and weak Harnack inequality for weak supersolution to ($\mathcal{P}$). Our approach is based on the De Giorgi-Nash-Moser theory, the expansion of positivity and estimates involving a tail term. Our results also apply to integro-differential operators, with the prototype given by $(-Δ)_p^s$. This work generalizes some regularity results of Garain-Kinnunen (Trans. Am. Math. Soc., 375(8), 2022) and Garain (Nonlinear Anal., 256, 2025) to the setting of general weight functions.

4. 旋量曲面上的共形临界度量与 Dirac 特征值的最优界

Conformally critical metrics and optimal bounds for Dirac eigenvalues on spin surfaces

作者: Pavel Martynyuk

类别: math.DG, math.AP, math.SP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14840v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14840v1

摘要: We study the minimization problem for eigenvalues of the Dirac operator within a fixed conformal class on a closed spin Riemannian manifold. We establish a criterion for the existence of a minimizer for this variational problem, focusing specifically on the case of closed surfaces. Furthermore, we apply our results to derive isoperimetric inequalities for the Dirac operator on the two-dimensional sphere, providing a complete characterization of its conformal spectrum.

5. 量子动力学含时对数微扰理论：表述与应用

Time-Dependent Logarithmic Perturbation Theory for Quantum Dynamics: Formulation and Applications

作者: Juan Carlos del Valle, Paul Bergold, Karolina Kropielnicka

类别: quant-ph, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14812v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14812v1

摘要: We present a time-dependent extension of logarithmic perturbation theory for nonrelativistic quantum dynamics governed by the Schrödinger equation, in which the logarithm of the wave function is expanded in powers of a coupling constant. The resulting hierarchy of equations defining the perturbative corrections is governed by a gauge-rotated Hamiltonian of the unperturbed system and leads to closed-integral expressions for the time-dependent corrections based on Duhamel’s formula. This closed-integral structure of corrections is a hallmark of time-independent logarithmic perturbation theory and is preserved in the present extension. This structure, in particular, provides a computable expression for the instantaneous energy shift. Furthermore, dynamic energy shifts arise naturally within this framework in the form of time-averaged expectation values of pseudopotentials and can be related, for example, to AC Stark shifts and electric polarizabilities. As an illustration, we apply the method to the harmonic oscillator and the hydrogen atom, both driven by a time-dependent laser field. The harmonic oscillator provides a proof of principle for which the exact solution is recovered, while the hydrogen atom illustrates the method applied to atomic systems. Supported by numerical simulations, we demonstrate the applicability to obtain relevant physical observables with high accuracy. The present approach offers a promising alternative for analytical studies of time-dependent multi-photon processes in the perturbative regime.

6. 随机偏微分方程 Smoluchowski-Kramers 近似中的强收敛与弱收敛速率

Strong and weak rates of convergence in the Smoluchowski–Kramers approximation for stochastic partial differential equations

作者: Charles-Edouard Bréhier, Ziyi Lei

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14752v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14752v1

摘要: We consider a class of stochastic damped semilinear wave equations, in the small-mass limit. It has previously been established that the solution converges to the solution of a stochastic semilinear heat equation. In this work we exhibit strong and weak rates of convergence in this Smoluchowski–Kramers approximation result. The rates depend on the regularity of the driving Wiener process. For instance, for trace-class noise the strong and weak rates of convergence are $1$, whereas for space-time white noise (in dimension $1$) the strong and weak rates of convergence are $1/2$ and $1$ respectively.

7. 移动栖息地中非局部扩散捕食者 - 猎物系统的传播动力学：哈密顿 - 雅可比方法

Propagation dynamics for nonlocal dispersal predator-prey systems in shifting habitats: A Hamilton-Jacobi approach

作者: Wen Tao, Wan-Tong Li, Shigui Ruan, Wen-Bing Xu

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-16

arXiv ID: 2604.14573v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14573v1

摘要: This paper is concerned with the spreading speeds of nonlocal dispersal predator-prey systems in shifting habitats under general initial conditions. By employing geometric optics techniques and theory of viscosity solutions, we reformulate the problem into the study of Hamilton-Jacobi equations. Through a detailed analysis of the structure of viscosity solutions, we provide a complete classification of explicit formulas for the spreading speed of the prey population, especially in cases where it invades the habitat more rapidly than predators, yielding two fundamentally distinct ``nonlocal determinacy’’ results derived by different mechanisms. We also obtain an upper bound for spreading speed of the predators, incorporating the decay rate of the initial data and the speed of shifting habitats. These findings demonstrate that there are complex connections among spreading speeds, habitat shifting speed and initial conditions, and emphasize the significance of nonlocal dispersal in determining the propagation dynamics of predator-prey systems.

8. 谱 Ricci 界下格林核的梯度估计与 $\mathbb{R}^4$ 中的稳定伯恩斯坦定理

Gradient estimates for the Green kernel under spectral Ricci bounds, and the stable Bernstein theorem in $\mathbb{R}^4$

作者: Xavier Cabre, Giovanni Catino, Luciano Mari, Paolo Mastrolia, Alberto Roncoroni

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-04-15

arXiv ID: 2604.14393v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14393v1

摘要: We describe a method to prove new integral inequalities for stable minimal hypersurfaces in Euclidean space. As an application, we give a simple proof that complete, two sided, stable minimal hypersurfaces in $\mathbb{R}^4$ are hyperplanes. A core part of the argument hinges on the fact that stable minimal hypersurfaces in non-negatively curved spaces are examples of manifolds with a spectral Ricci curvature lower bound; in particular, we prove a sharp pointwise gradient estimate for the Green kernel on non-parabolic manifolds with spectral Ricci lower bounds, extending previous work by Colding.

9. Ricci-Bourguignon 流下抛物型偏微分方程的梯度估计

Gradient estimates for a parabolic partial differential equation under the Ricci-Bourguignon flow

作者: José N. V. Gomes, Willian I. Tokura, Hikaru Yamamoto

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-04-15

arXiv ID: 2604.14366v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.14366v1

摘要: We study the Ricci-Bourguignon flow on warped product manifolds with noncompact base. This setting leads naturally to a parabolic partial differential equation on the space of smooth warping functions, arising from the necessary and sufficient conditions for a warped metric to evolve under the flow. One of our main results establishes a gradient estimate for this equation, providing the analytic input for the geometric applications developed herein and, in particular, recovering classical gradient estimates for the heat equation under the Ricci flow. Furthermore, we show how to construct explicit warped solutions to the Ricci-Bourguignon flow and present examples that are not only of independent interest but also illustrate and support our results