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1. 借助弱强唯一性方法建立不可压Navier–Stokes方程的边界ε正则性

Boundary epsilon regularity for incompressible Navier–Stokes equations via weak-strong uniqueness

作者: Siran Li

类别: math.AP, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25669v1

摘要翻译: 我们证明：在三维有界光滑区域上，若不可压Navier–Stokes方程的有限能量弱解在 $L^4_t L^4_x$ 范数意义下小于仅依赖于该区域的一个常数，则该弱解在边界附近是正则的。这一结果回答了[D. Albritton, T. Barker, and C. Prange, J. Math. Fluid Mech. 25 (2023), Paper No. 49]中提出的问题。我们的证明基于一种新的、靠近区域边界的切片构造。

Comment: 14 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25669v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维有界光滑域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 上不可压缩 Navier-Stokes 方程的边界正则性理论：

$$ \begin{cases} \partial_t U + U \cdot \nabla U - \Delta U + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot U = 0 \end{cases} \quad \text{在 } ]-1, 0[ \times \Omega \text{ 上}. $$

其中 $U: ]t_1, t_2[ \times \Omega \to \mathbb{R}^3$ 是速度场，$P: ]t_1, t_2[ \times \Omega \to \mathbb{R}$ 是压力，运动粘性系数归一化为 1。研究对象是有限能量弱解 $U \in S_M(]-1, 0[ \times \Omega)$，函数类定义为：

$$ S_M(]t_1, t_2[ \times \Omega) := \left\{ U : \|U\|_{(L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{W}^{1,2}_x)(]t_1,t_2[ \times \Omega)} \leq M \right\}, $$

其中 $\|f\|_{\dot{W}^{1,2}_x(\Omega)} := \left( \int_\Omega |\nabla f(x)|^2 \, dx \right)^{1/2}$ 为齐次 Sobolev 范数。

Navier-Stokes 方程的偏正则性理论是数学流体力学和 PDE 分析的核心课题。Caffarelli-Kohn-Nirenberg [9]、Escauriaza-Seregin-Šverák [10]、Nečas-Růžička-Šverák [29] 和 Tsai [37] 等人的工作建立了内点 epsilon 正则性定理的基础：若解在某尺度下 $L^4$ 范数足够小，则解在该区域内光滑。Albritton-Barker-Prange (2023) [2] 利用弱强唯一性论证和 Foias [16]、Amann [3,4]、Farwig-Galdi-Sohr [13] 开创的非常弱解理论给出了内点 epsilon 正则性的新证明，其核心是以下定理：存在 $\varepsilon \in ]0,1[$，对任意 $M > 0$，若有限能量弱解 $U \in C^\infty(]-1, T[ \times B_1)$ 满足 $\|U\|_{L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{W}^{1,2}_x(]-1,0[ \times B_1)} \leq M$ 且 $\|U\|_{L^4(]-1,0[ \times B_1)} \leq \varepsilon$，则 $U$ 在 $]-1,0[ \times B_{1/4}$ 上本质有界且光滑。

然而，[2, Remark 4.2] 明确提出一个公开问题：能否基于非常弱解的弱强唯一性理论建立边界附近的 epsilon 正则性定理？主要困难在于：(1) 假设 $U$ 在 $]-1,0[ \times \Omega$ 上有小的 $L^4_t L^4_x$ 范数，不能推出其在边界 $\partial \Omega$ 上有小的 $L^4_t L^4_x$ 范数（仅能由迹不等式得到 $U \in L^2_t L^4_x(]-1,0[ \times \partial \Omega)$）；(2) 在边界附近进行切片论证时，仅对同心球切片不足以得到边界正则性。本文旨在填补这一理论空白，建立边界 epsilon 正则性定理，从而完善 Navier-Stokes 方程的偏正则性理论框架。

2. 主要定理或主要结果

在以下假设下证明了边界正则性：设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 为光滑有界域，存在仅依赖于 $\Omega$ 的常数 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $U \in S_M(]-1, 0[ \times \Omega)$ 满足：(i) 对任意 $T \in ]-1, 0[$ 有 $U \in C^\infty(]-1, T[ \times \Omega)$；(ii) $\|U\|_{L^4(]-1,0[ \times \Omega)} < \varepsilon_0$。则结论为：$U \in C^\infty(]-1, 0] \times \overline{\Omega})$，且满足估计 $\|U\|_{C^\infty(]-1,0] \times \overline{\Omega})} \leq C' \|U\|_{L^4(]-1,0[ \times \Omega)}$，其中 $C'$ 仅依赖于 $M$ 和 $\Omega$（见 Theorem 3）。

关键参数与尺度关系：(1) 范数条件 $\|U\|_{L^4_t L^4_x} < \varepsilon_0$，其中 $\varepsilon_0 \leq \min\{C_8^{-1}, C_9^{-1}\}/(32C_6)$ 由 (27) 式确定；(2) 通过切片构造得到边界数据估计 $\|a\|_{L^4_t L^4_x(]-1,0[ \times \partial R)} + \|b\|_{L^4_x} < 8\varepsilon_0$（见 (12) 式）；(3) Stokes 问题解的 $L^4_t L^6_x$ 估计 $\|U\|_{L^4_t L^6_x(]t_0,0[ \times R)} < 8C_6\varepsilon_0$（见 (21) 式）；(4) 不动点论证中扰动解的误差阶 $\|V\|_{L^4_t L^6_x} \leq 256 C_6^2 C_8 \varepsilon_0^2 \leq 64C_6\varepsilon_0$（见 (28) 式）。

正则性提升的关键在于：当 $U \in L^4_t L^6_x$ 时满足 Ladyženskaja-Prodi-Serrin 准则 $2/s + 3/r = 2/4 + 3/6 = 1$（见 Theorem 7），从而可迭代提升至 $C^\infty$。证明中核心的切片构造（Proposition 8）保证了存在光滑凸区域 $V = V_{s,x_\star}$，其边界 $\partial V$ 与 $\partial \Omega$ 仅在 $x_\star \in \partial \Omega$ 处相切，且满足体积条件 $\text{Volume}\left(\bigcup_{s \in ]1/4, 1/2[} \Sigma_s\right) \geq c_0 > 0$，这使得通过鸽巢原理可找到 $s \in ]4r_0, 8r_0[$ 使得 $\|\tilde{U}\|_{L^4_t L^4_x(]-1,0[ \times \Sigma'_s)} < 128 \varepsilon_0^4$（见 (6) 式）。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心障碍在于边界附近切片构造的失效：(1) 有限能量弱解 $U \in (L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{W}^{1,2}_x)(]-1,0[ \times \Omega)$ 仅能保证 $U \in L^2_t L^4_x(]-1,0[ \times \partial \Omega)$，无法直接获得边界上 $L^4_t L^4_x$ 小性；(2) 固定边界点 $x_\star$ 后，无法简单用半球切片，因为缺乏边界数据的小性。

作者的真正创新点是提出“蛤蜊状”切片构造（Proposition 8）：构造光滑凸体 $V_0 \subset [-1/2,1/2]^3$，使其被凸曲面族 $\{\Sigma_s\}_{s \in [0,1[}$ 叶化，满足：(i) $\Sigma_s \cap \Sigma_{s'} = \{0\}$ 且 $T_0\Sigma_s = T_0\Sigma_{s'} = \partial \mathbb{R}^3_+$；(ii) 对每个 $s$，$\Sigma_s \cap \{0 \leq z \leq z_0(s)\}$ 是抛物面，$\Sigma_s \cap \{4z_0(s) \leq z \leq 1\}$ 是球冠；(iii) $\bigcup_{s \in ]1/4,1/2[} \Sigma_s$ 的体积 $\geq c_0 > 0$。具体构造：以抛物面 $P_0 = \{(y',y_3) : y_3 = |y'|^2/4, |y'| \leq 1\}$ 与半球面 $\partial B_1^+(0)$ 的光滑拼接定义 $\Sigma_0 = \partial V_0$，再通过缩放 $\Sigma_s = (1-s)\Sigma_0$ 得到叶化。该构造的关键在于：(a) 每个 $\Sigma_s$ 在原点与边界 $C^1$ 相切，保证了与物理边界的几何兼容性；(b) 中间区域 $s \in ]1/4,1/2[$ 有正体积，使鸽巢原理适用。

证明框架分八步推进：(1) 边界拉直：利用 $\Omega$ 的光滑性，存在 $r_0 > 0$（仅依赖 $\Omega$ 的 $C^2$ 几何），使对任意 $x_\star \in \partial \Omega$，存在 2-双 Lipschitz 微分同胚 $\Phi_{x_\star}: B_{32r_0}(x_\star) \cap \Omega \to \mathbb{R}^3_+$ 将边界局部拉直；(2) 空间切片：将 $V' = 16r_0 V_0$ 沿 $\Sigma'_s = 16r_0 \Sigma_s$ 叶化，由 Fubini 定理和鸽巢原理得 $\|\tilde{U}\|_{L^4_t L^4_x(]-1,0[ \times \Sigma'_s)} < 128\varepsilon_0^4$ 对某 $s \in ]4r_0,8r_0[$；(3) 时间切片：类似得 $\|\tilde{U}(t_0,\cdot)\|_{L^4_x} < 128\varepsilon_0^4$ 对某 $t_0 \in [-1,-7/8[$；(4) 边界/初始数据：定义 $a = U|_{]-1,0[ \times \partial R}$ 和 $b = U|_{\{t=t_0\}}$，得 $\|a\|_{L^4_t L^4_x} + \|b\|_{L^4_x} < 8\varepsilon_0$；(5) 边界数据校正：利用 Bogovskiǐ 估计构造散度为零的延拓 $E[b] = \phi b + v_{\text{Bog}}$ 满足 $\|E[b]\|_{L^4_x} \leq C_1\|b\|_{L^4_x}$，再通过 Dirichlet 热核定义 $v_{\text{bdry}} = H_\Omega(\cdot - t_0) \star E[b]$，得到估计 $\|v_{\text{bdry}}\|_{L^4_t L^4_x(]-1,0[ \times \partial R)} \leq C_3\|b\|_{L^4_x}$；(6) 线性估计：对修正边界数据 $a' = a - v_{\text{bdry}}|_{\partial R}$，利用 Farwig-Kozono-Sohr [14] 得 Stokes 问题的非常弱解 $U_{a'} \in L^4_t L^6_x$，满足 $\|U\|_{L^4_t L^6_x} \leq C_6(\|a\|_{L^4_t L^4_x} + \|b\|_{L^4_x}) < 8C_6\varepsilon_0$；(7) 不动点论证：将 Navier-Stokes 方程视为 Stokes 问题的扰动，定义双线性算子 $B[D;E] = -\int_{t_0}^0 e^{sA}\text{div}(D \otimes E)\,ds$，利用估计 $\|B[D;E]\|_{L^4_t L^6_x} \leq C_8\|D\|_{L^4_t L^6_x}\|E\|_{L^4_t L^6_x}$，当 $\varepsilon_0$ 满足 (27) 时存在唯一不动点 $V$；(8) 正则性提升：由 $U + V \in L^4_t L^6_x$ 满足 Ladyženskaja-Prodi-Serrin 准则 $2/4 + 3/6 = 1$，迭代提升至 $C^\infty$。

4. 与之前工作的比较

与 Albritton-Barker-Prange (2023) [2] 的比较：[2] 基于弱强唯一性论证给出了内点 epsilon 正则性的新证明，但明确指出无法将方法扩展至边界附近（见 [2, Remark 4.2]），原因在于 Farwig 等人的线性理论 [14] 要求域 $\Omega$ 光滑，但无法在边界附近执行切片过程。本文通过构造“蛤蜊状”切片（Proposition 8）突破了这一限制：与 [2] 中仅对同心球切片不同，本文的 $\Sigma_s$ 在边界点 $x_\star$ 处 $C^1$ 相切，且通过缩放保证了估计的一致性（不依赖 $x_\star$）。时间尺度上，[2] 处理的是 $]-1,0[ \times B_1$ 上的内点正则性，而本文将正则性推进至 $]-1,0] \times \overline{\Omega}$，代价是需要更强的 $L^4_t L^4_x$ 小性假设（[2] 的内点正则性仅需局部小性，而本文需全局小性）。

与其他边界正则性工作的比较：Seregin [31]、Seregin-Shilkin-Solonnikov [32]、Albritton-Barker [1] 和 Breit [8] 等人均研究了 Navier-Stokes 方程的边界正则性，但方法各异。Seregin [31] 使用反证法结合 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 方法，要求解在 Morrey 空间中有小范数；Seregin-Shilkin-Solonnikov [32] 针对 Navier 滑移边界条件；Albritton-Barker [1] 研究了边界奇点的 Hausdorff 维数。本文的推进在于：(1) 假设更简洁——仅需 $\|U\|_{L^4_t L^4_x} < \varepsilon_0$，而 [31] 需 $\sup_{(x_0,t_0)} \limsup_{r \to 0} r^{-1} \int_{Q_r(x_0,t_0)} |\nabla U|^2 < \varepsilon$；(2) 方法论创新——首次将弱强唯一性论证应用于边界正则性，建立了非常弱解理论与边界分析的联系。代价是适用范围受限于 $L^4_t L^4_x$ 小解，而 [31] 的结果适用于更一般的有限能量解。

与 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 理论的比较：经典方法通过直接迭代 [9,25] 或 De Giorgi-Nash-Moser 迭代 [38,40] 证明 epsilon 正则性，而本文采用弱强唯一性路径。关键区别在于：Caffarelli-Kohn-Nirenberg 方法依赖于局部能量不等式和反证法，而本文通过构造精确解并利用唯一性得到正则性。本文在边界处理上的优势是避免了局部坐标变换的复杂计算，但代价是无法直接得到奇点集的 Hausdorff 维数估计（Caffarelli-Kohn-Nirenberg 方法可得奇点集维数 $\leq 1$）。

与 Ladyženskaja-Prodi-Serrin 准则的关联：该准则 [23,30,33] 表明若 $U \in L^s_t L^r_x$ 且 $2/s + 3/r \leq 1$，则解光滑。本文通过将解提升至 $L^4_t L^6_x$（满足 $2/4 + 3/6 = 1$）触发该准则，而 [10] 证明了端点情形 $(s,r) = (\infty,3)$。相比 [10] 依赖 Carleman 估计的精细分析，本文方法更初等，但仅适用于小解情形。时间尺度上，本文结果适用于 $]-1,0]$ 而非仅 $]-1,0[$，这是边界正则性的关键进步。

局限性：(1) 需要全局 $L^4_t L^4_x$ 小性，而内点正则性只需局部小性；(2) 未处理非光滑边界或 Lipschitz 域；(3) 未讨论奇点集的几何结构。未来方向可能包括：将方法推广至 $L^p_t L^q_x$ 范数（$2/p + 3/q = 1$），或结合 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 方法得到更弱的假设条件。

2. 二维Navier-Stokes系统在有界域中反问题的条件Lipschitz稳定性

Conditonal Lipschitz stability for the Inverse Problem of the 2D Navier-Stokes System in a Bounded Domain

作者: Jishan Fan, Yu Jiang, Sei Nagayasu, Gen Nakamura

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25528v1

摘要翻译: 本文研究定义在有界单连通区域上的二维Navier-Stokes系统初边值问题的一个反问题，其边界条件为滑移条件与涡量边界条件，并附加全局涡量守恒约束。我们建立了该反问题的条件Lipschitz稳定性及局部可恢复性：在给定初始速度场与全局涡量守恒量的前提下，可局部恢复速度场及与空间无关的边界涡量。我们的分析基于涡量输运方程的适定性估计与能量方法。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25528v1

1. 研究对象和背景

本文研究有界单连通区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上二维Navier-Stokes系统的逆问题，其初边值问题表述为：

$$ \begin{cases} \partial_t u + u \cdot \nabla u + \nabla p - \Delta u = 0, \\ \text{div } u = 0 & \text{in } \Omega \times (0, T), \\ u \cdot n = 0, \\ \omega := \text{curl } u = h(t) & \text{on } \partial \Omega \times (0, T), \\ u(\cdot, 0) = u_0 & \text{in } \Omega, \\ \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} \omega \, dx = L & \text{in } (0, T). \end{cases} $$

其中 $n$ 为 $\partial \Omega$ 的外向单位法向量，$u = (u_1, u_2)^t$ 为速度场，$p$ 为压力场，$\omega := \partial_1 u_2 - \partial_2 u_1$ 为标量涡量。边界条件 $u \cdot n = 0$ 是标准的Navier滑移边界条件，而 $\omega = h(t)$ 指定了边界产生的涡量（通常在实验中不可测量）。全局约束 $\frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} \omega \, dx = L$ 表示涡量场的空间平均值，对应于总环量 $|\Omega|L$，根据Kelvin环量定理在无粘性二维流中守恒。

正向问题已由文献[13]解决：当 $u_0 \in H^1(\Omega)$ 满足 $\text{div } u_0 = 0$ 且 $u_0 \cdot n = 0$，$h(t) \in L^\infty(0, T)$ 且 $h'(t) \in L^2(0, T)$ 时，存在唯一强解 $(u, p)$ 满足 $u \in L^\infty(0, T; H^1(\Omega)) \cap L^2(0, T; H^2(\Omega))$，$\partial_t u \in L^2(0, T; L^2(\Omega))$，$p \in L^2(0, T; H^1(\Omega))$ 且 $\int_{\Omega} p \, dx = 0$。

本文研究的逆问题为：给定初始速度场 $u_0$ 和全局涡量不变量 $L$，识别空间无关的边界涡量 $h(t)$ 以及速度场 $u$ 和压力场 $p$，使得系统(1.1)-(1.4)满足。Navier-Stokes系统的逆问题已有大量研究，主要集中在从流场部分观测恢复初始条件、边界强迫项或粘性系数[2,9,12]。对于二维情形，现有研究大多假设边界涡量已知[13]，而恢复未知空间无关边界涡量 $h(t)$ 的问题最早在[6]中被指出。本文填补了这一空白，建立了条件Lipschitz稳定性估计，为从可测量的初始速度场和全局涡量不变量中局部恢复边界涡量提供了理论基础。值得注意的是，Ginzburg-Landau模型中存在类似问题，需从全局磁通量不变量识别边界磁性项[5,17]，但本文聚焦于Navier-Stokes系统特有的数学结构。

2. 主要定理或主要结果

在以下关键假设下证明了主要结论：设 $u_{0i} \in H^1(\Omega)$ 满足 $\text{div } u_{0i} = 0$ 于 $\Omega$ 内，$u_{0i} \cdot n = 0$ 于 $\partial \Omega$ 上，且 $(u_i, p_i)$ 满足 $\int_{\Omega} p_i \, dx = 0$ 是对应于输入数据 $(u_{0i}, L_i)$ 的系统(1.1)-(1.4)的强解（$i = 1, 2$）。假设 $\|\omega_{0i}\|_{L^2(\Omega)} \leq M$（$i = 1, 2$）对某常数 $M > 0$ 成立，其中 $\omega_{0i} = \text{curl } u_{0i}$。则对任意 $T > 0$，有Lipschitz稳定性估计：

$$ \|u_1 - u_2\|_{L^\infty(0,T;H^1(\Omega))} + \|p_1 - p_2\|_{L^2(0,T;H^1(\Omega))} + \|h_1 - h_2\|_{L^2(0,T)} \leq C \|\omega_{01} - \omega_{02}\|_{L^2(\Omega)} $$

其中常数 $C$ 仅依赖于 $\Omega$、$T$ 和 $M$。该结果包含三个关键部分：(1) 速度场在 $L^\infty(0,T;H^1(\Omega))$ 范数下的稳定性；(2) 压力场在 $L^2(0,T;H^1(\Omega))$ 范数下的稳定性；(3) 边界涡量在 $L^2(0,T)$ 范数下的稳定性。所有误差阶均为线性（Lipschitz型），且常数 $C$ 的具体形式为 $C_{5,T,M}$（见第8-9页推导），其中包含指数项 $\exp(C_1^2 C_2 \max\{T, 1\} M^2)$，表明稳定性常数随时间 $T$ 和初始涡量大小 $M$ 增长。推论1.3指出，将逆问题表述为非线性算子方程 $F(\xi) = \eta$（$\xi = (u, p, h)$，$\eta = (u_0, L)$），条件Lipschitz稳定性确保可通过Landweber方法[7,10]或Levenberg-Marquardt方法[8]进行局部迭代恢复。证明中关键的中间结果包括：$\|\omega_1 - \omega_2\|_{L^\infty(0,T;L^2(\Omega))}^2 \leq \exp(C_1^2 C_2 \max\{T, 1\} M^2) \|\omega_{01} - \omega_{02}\|_{L^2(\Omega)}^2$ 以及 $\|\nabla(\omega_1 - \omega_2)\|_{L^2(0,T;L^2(\Omega))} \leq C_{3,T,M} \|\omega_{01} - \omega_{02}\|_{L^2(\Omega)}$，其中 $C_{3,T,M} = C_1^2 C_2 \max\{T, 1\} M^2 \exp(C_1^2 C_2 \max\{T, 1\} M^2) + 1$。这些估计通过涡量输运方程的能量分析和Sobolev嵌入获得，是最终稳定性结论的基础。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍在于处理非线性Navier-Stokes系统逆问题中的条件稳定性证明，特别是当边界涡量未知时如何建立速度场、压力场与初始涡量之间的定量关系。作者的创新点在于巧妙利用涡量输运方程的结构和全局涡量不变约束，避免了对边界涡量的直接测量。

关键分析框架分为三步：首先，通过取旋度将Navier-Stokes方程转化为涡量输运方程 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega - \Delta \omega = 0$。由于边界涡量 $h(t)$ 空间无关，重写为 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla (\omega - h) - \Delta (\omega - h) = 0$，测试与 $\omega - h$ 后利用边界条件得到关键能量恒等式：

$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{\Omega} \omega^2 \, dx + \int_{\Omega} |\nabla \omega|^2 \, dx = 0 $$

积分此式获得先验估计 $\|\omega\|_{L^\infty(0,T;L^2(\Omega))} \leq \|\omega_0\|_{L^2(\Omega)}$ 和 $\|\nabla \omega\|_{L^2(0,T;L^2(\Omega))} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \|\omega_0\|_{L^2(\Omega)}$，结合文献[1,11]中的椭圆估计 $\|u(t)\|_{H^1(\Omega)} \lesssim \|\omega(t)\|_{L^2(\Omega)}$ 和 $\|u(t)\|_{H^2(\Omega)} \lesssim \|\omega(t)\|_{H^1(\Omega)}$，推导出速度场和边界涡量的正则性：

$$ \sup_{0 \leq t \leq T} \|u(t)\|_{H^1(\Omega)} \lesssim \|\omega_0\|_{L^2(\Omega)}, \quad \|u\|_{L^2(0,T;H^2(\Omega))} \lesssim \max\{\sqrt{T}, 1\} \|\omega_0\|_{L^2(\Omega)} $$

$$ \|h\|_{L^2(0,T)} \lesssim \max\{\sqrt{T}, 1\} \|\omega_0\|_{L^2(\Omega)} $$

第二步，对两个解的差应用能量方法。考虑 $\partial_t (\omega_1 - \omega_2) + u_1 \cdot \nabla (\omega_1 - \omega_2) + (u_1 - u_2) \cdot \nabla \omega_2 - \Delta (\omega_1 - \omega_2) = 0$，测试与 $(\omega_1 - \omega_2) - (h_1 - h_2)$ 并利用全局约束 $d/dt \int_{\Omega} (\omega_1 - \omega_2) \, dx = 0$，得到：

$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{\Omega} (\omega_1 - \omega_2)^2 \, dx + \int_{\Omega} |\nabla (\omega_1 - \omega_2)|^2 \, dx = -\int_{\Omega} (u_1 - u_2) \cdot \nabla \omega_2 [(\omega_1 - \omega_2) - (h_1 - h_2)] \, dx $$

通过分部积分将右边转化为 $\int_{\Omega} (u_1 - u_2) \omega_2 \cdot \nabla (\omega_1 - \omega_2) \, dx$，再应用Hölder不等式和关键估计 $\|u_1 - u_2\|_{L^4(\Omega)} \leq C_1 \|\omega_1 - \omega_2\|_{L^2(\Omega)}$（由Sobolev嵌入和散度为零条件保证），得到微分不等式：

$$ \frac{d}{dt} \int_{\Omega} (\omega_1 - \omega_2)^2 \, dx + \|\nabla (\omega_1 - \omega_2)\|_{L^2(\Omega)}^2 \leq C_1^2 \|\omega_2\|_{L^4(\Omega)}^2 \int_{\Omega} (\omega_1 - \omega_2)^2 \, dx $$

第三步，利用Gronwall不等式和引理2.2中 $\int_0^T \|\omega_2(t)\|_{L^4(\Omega)}^2 \, dt \leq C_2 \max\{T, 1\} M^2$ 的估计，导出涡量差的稳定性：

$$ \|\omega_1 - \omega_2\|_{L^\infty(0,T;L^2(\Omega))} \leq \exp\left(\frac{1}{2} C_1^2 C_2 \max\{T, 1\} M^2\right) \|\omega_{01} - \omega_{02}\|_{L^2(\Omega)} $$

最后，通过椭圆正则性估计 $\|(u_1 - u_2)(t)\|_{H^1(\Omega)} \lesssim \|\omega_1 - \omega_2\|_{L^2(\Omega)}$ 和动量方程差 $\partial_t(u_1 - u_2) + \nabla(p_1 - p_2) = \Delta(u_1 - u_2) - (u_1 \cdot \nabla u_1 - u_2 \cdot \nabla u_2)$，将涡量稳定性传递到速度场和压力场。特别地，非线性项 $u_1 \cdot \nabla u_1 - u_2 \cdot \nabla u_2 = u_1 \cdot \nabla(u_1 - u_2) + (u_1 - u_2) \cdot \nabla u_2$ 通过Sobolev嵌入 $\|u\|_{L^\infty(\Omega)} \lesssim \|u\|_{H^2(\Omega)}$ 控制，最终整合为定理1.2的Lipschitz估计。整个框架的创新性在于将全局涡量不变约束与涡量输运方程的能量结构结合，避免了传统逆问题中对边界测量的依赖。

4. 与之前工作的比较

本文与既有工作的主要差异体现在问题设定、稳定性类型和证明技术三个维度：

  1. 问题设定维度：
  • 传统Navier-Stokes逆问题（如[2,9,12]）通常假设边界条件已知，从流场部分观测恢复初始条件或粘性系数。例如，Ito和Kunisch[9]研究了从速度场观测恢复初始条件的问题，但假设边界涡量已知。
  • Majda和Bertozzi[13]的经典著作详细讨论了正向问题，但未涉及边界涡量未知的逆问题。
  • 本文首次严格处理边界涡量 $h(t)$ 未知的情形，仅依赖初始速度场 $u_0$ 和全局涡量不变量 $L$，填补了[6]指出的研究空白。值得注意的是，Fan和Ozawa[6]仅提出问题而未建立稳定性，本文提供了首个定量分析。
  1. 稳定性类型维度：
  • 大多数Navier-Stokes逆问题仅证明Hölder稳定性（如[7]中的一般理论），其误差界形式为 $\|\xi_1 - \xi_2\| \leq C \|\eta_1 - \eta_2\|^\alpha$（$0 < \alpha < 1$），稳定性随扰动增大而急剧恶化。
  • 本文证明了更强的Lipschitz稳定性（$\alpha = 1$），即 $\|u_1 - u_2\| + \|p_1 - p_2\| + \|h_1 - h_2\| \leq C \|\omega_{01} - \omega_{02}\|$，表明恢复精度与数据误差成线性关系。这种改进源于二维涡量输运方程的特殊结构：通过全局约束 $d/dt \int_{\Omega} (\omega_1 - \omega_2) \, dx = 0$ 消除了边界项干扰，使得能量估计中不出现额外衰减项。
  • 然而，条件Lipschitz稳定性依赖于常数 $C = C(\Omega, T, M)$，其中包含指数项 $\exp(C_1^2 C_2 \max\{T, 1\} M^2)$。当 $T \to \infty$ 或 $M \to \infty$ 时，稳定性常数指数增长，这与无粘性流中涡量的长期行为一致（见Remark 2.1的指数衰减估计 $\|\omega - L\|_{L^2(\Omega)} \leq \|\omega_0 - L\|_{L^2(\Omega)} e^{-\lambda_0 t}$）。
  1. 证明技术维度：
  • 传统方法（如[9,12]）通常基于伴随方程或最优控制理论，需要求解复杂的对偶问题。
  • 本文创新性地聚焦涡量输运方程 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega - \Delta \omega = 0$，利用其线性结构简化分析。关键技巧是将方程重写为 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla (\omega - h) - \Delta (\omega - h) = 0$，并通过测试函数 $(\omega - h)$ 消除边界贡献（见式(2.8)）。
  • 与Ginzburg-Landau模型的逆问题[5,17]相比，本文方法无需处理复值函数或磁势，但需应对Navier-Stokes非线性项 $(u \cdot \nabla)u$ 的挑战。作者通过估计 $\int_{\Omega} (u_1 - u_2) \omega_2 \cdot \nabla (\omega_1 - \omega_2) \, dx$ 并结合Sobolev嵌入 $\|u_1 - u_2\|_{L^4} \lesssim \|\omega_1 - \omega_2\|_{L^2}$，将非线性效应控制在可接受范围。
  1. 适用范围与代价：
  • 本文结果严格限于二维有界单连通区域，无法直接推广到三维（因Sobolev嵌入 $H^1 \hookrightarrow L^4$ 在三维不成立）。
  • 条件Lipschitz稳定性仅在 $\|\omega_{01} - \omega_{02}\|_{L^2}$ 较小时有效，对应于局部恢复（Corollary 1.3）。若初始涡量差异过大，指数项 $\exp(C_1^2 C_2 T M^2)$ 可能导致稳定性常数过大，实际恢复失效。
  • 代价在于需要精确知道全局涡量不变量 $L$，这在实验中可能需要额外测量（如通过粒子图像测速技术[15]获取总环量）。相比之下，文献[14]的物理模型可能提供 $L$ 的近似值，但本文理论要求精确已知。

总体而言，本文推进了Navier-Stokes逆问题的研究范式：从依赖边界测量转向利用全局不变量，同时提升了稳定性阶数。然而，其局限性也提示未来工作需探索无条件稳定性或三维情形的适应性方法。

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1. 抛物型偏微分方程所关联的McKean意义下非线性Markov过程的非唯一性

Non-uniqueness of nonlinear Markov processes in the sense of McKean associated with parabolic PDEs

作者: Ehsan Abedi, Florian Bechtold, Marco Rehmeier

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25851v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25851v1

摘要翻译

中文标题: 抛物型偏微分方程所关联的McKean意义下非线性Markov过程的非唯一性

摘要翻译: 我们建立了一个通用构造方案：通过将给定非线性PDE重写为一族不同的非线性Fokker–Planck方程，并对其中每一个方程，构造其对应的McKean–Vlasov随机微分方程（SDE）的一个解——该解的一维时间边缘密度恰好等于原PDE的解——从而为该PDE的解构造出无穷多个概率对应物。我们利用此方案证明：Rehmeier–Röckner（J. Theor. Probab. 38, 60 (2025)）所引入的McKean意义下的非线性Markov过程，并不由其一维时间边缘分布唯一确定；这与经典Markov过程形成鲜明对比，后者恰由其一维时间边缘分布唯一确定。我们通过显式构造一族非线性Markov过程来验证该结论，这些过程的一维时间边缘密度分别取为多孔介质方程与$p$-Laplace方程的Barenblatt解，以及热方程的基本解；其中特别给出了$p$-Laplace方程Barenblatt解的一种新鞅表示。此外，我们证明：若给定非线性Markov过程的二维时间边缘分布，则该过程被唯一确定。进一步，对多孔介质方程，我们证明所考察的各类McKean–Vlasov SDE在Otto微积分意义下与其相应的梯度流解释相容。

2. 一维周期薛定谔方程的Sharp Strichartz估计

Sharp Strichartz estimate for the 1D periodic Schrödinger equation

作者: Puti Dai, Zihua Guo

类别: math.AP, math.CA

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25593v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25593v1

摘要翻译

中文标题: 一维周期薛定谔方程的Sharp Strichartz估计

摘要翻译: 我们证明了如下估计

$$ \|{e^{it\partial_x^2}f}\|_{L_{(t,x)\in \mathbb{T}^2}^6}\leq C (\log N)^{1/6} \|f\|_{L^2_x(\mathbb{T})}, $$

其中假设 $\mbox{supp} (\hat f)\subset [-N,N]$，且 $N>1$。由Bourgain \cite{Bourgain} 给出的下界可知，因子 $(\log N)^{1/6}$ 是sharp的。

3. 高阶薛定谔算子

Higher order Schrödinger operators

作者: Federica Gregorio, Chiara Spina, Cristian Tacelli

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25547v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25547v1

摘要翻译

中文标题: 高阶薛定谔算子

摘要翻译: 本文研究高阶薛定谔算子

$$ \mathcal L u=Lu+Vu, $$

其中 $L$ 表示一个四阶微分算子，$V\geq 0$ 是一类适当的位势。我们首先从常系数情形 $L=\Delta^2$ 出发开展分析；随后将结果推广至具适当变系数的更一般算子 $L$。我们关注此类算子在 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 空间（$p \in (1, \infty)$）上的定义域刻画及其生成性质。为此，我们采用 Monniaux 与 Prüss 所建立的非交换型 Dore–Venni 定理，并证明 $\mathcal L$ 在 $L^p$ 中的实现是拟扇形算子，从而生成一个解析半群。进一步地，该方法可对算子定义域给出精确刻画：即双拉普拉斯算子 $\Delta^2$ 与乘法算子 $V$ 的定义域之交。所要求的假设允许处理在无穷远处以 $|x|^r$ 阶增长的位势，其中 $r<4$。

4. 分数阶球面极大函数的边界估计

Boundary estimates for the fractional spherical maximal function

作者: Riju Basak, Surjeet Singh Choudhary, Daniel Spector

类别: math.AP, math.CA, math.FA

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25091v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25091v1

摘要翻译

中文标题: 分数阶球面极大函数的边界估计

摘要翻译: 本文研究分数阶球面极大函数及其间隔型（lacunary）对应物。我们给出了这两类极大函数 $L^p$–$L^q$ 有界性的充要条件。特别地，我们在极大 $L^p$–$L^q$ 有界区域的边界上，证明了全形（full）与间隔型分数阶球面极大函数的限制弱型估计。

不相关论文（基本信息）

1. 拟线性热方程的反步观测器：具有线性设计增益，超越局部稳定性

Backstepping Observer for the Quasilinear Heat Equation with Linear Design Gains: Beyond Local Stability

作者: Mohamed Camil Belhadjoudja, Kirsten A. Morris

类别: eess.SY, math.AP

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25815v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25815v1

摘要: We consider the one-dimensional quasilinear heat equation with state-dependent heat capacity and thermal conductivity, and design a boundary-output observer based on the backstepping design for a linear heat equation with constant coefficients. Viewing the quasilinear system as a perturbation of the linear one, we establish exponential stability of the origin for the observation error dynamics in $H^1$, with an explicit region of attraction depending on the system parameters, observer gains, and the mismatch between the nonlinear diffusivity and the constant design diffusivity. Importantly, the observation error converges to zero rather than merely to a neighborhood scaling with this mismatch, even though, in contrast to backstepping-based stabilization of nonlinear PDEs, the mismatch need not decay along trajectories and may remain bounded away from zero, acting as a persistent state-dependent multiplicative perturbation. A technical challenge was to perform a sufficiently-fine Lyapunov analysis that does not yield overly conservative results such as mere boundedness of the observation error. Interestingly, while in the linear case the relationship between one of the backstepping observer gains and the convergence rate is monotonic, we show that in the nonlinear setting this is no longer the case: there may exist an optimal value of that gain, beyond which further increases deteriorate the system’s performance. Such behavior cannot be predicted without our analysis: one might expect a priori the decay rate to be freely tunable at the expense of a region of attraction that shrinks to zero as the prescribed rate tends to infinity. However, our Lyapunov analysis (supported by numerical experiments) reveals that this intuition is incorrect.

2. 关于黎曼流形上带$(p,q)$-拉普拉斯的抛物型微分不等式的非负解

On nonnegative solutions of the parabolic differential inequality with $(p,q)$-Laplace on Riemannian manifolds

作者: Biqiang Zhao

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25723v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25723v1

摘要: In this paper, we establish Liouville-type theorems for parabolic differential inequalities with $(p,q)-$Laplacian operator on Riemannian manifolds. By a test function argument, we establish nonexistence results under suitable weighted volume growth assumptions involving potential. In particular, we can obtain nonexistence results for a wider class of parabolic inequalities.

3. 信号化交叉路口交通流的数学模型

Mathematical Models of Traffic Flow at a Signalized Intersection

作者: Akbota Senkebayeva

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25484v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25484v1

摘要: This paper presents two one-dimensional mathematical models describing automobile traffic flow on straight road segments at a signalized intersection. When the traffic light is permissive, the flow density and velocity are obtained by solving an initial-boundary value problem for a first-order hyperbolic system. When the signal is prohibitive, the same quantities are governed by a mixed system comprising a second-order parabolic equation for the velocity and a first-order equation for the density.

4. 路径依赖的Hamilton–Jacobi方程：基于紧集族定义的粘性解的唯一性结果

Path-dependent Hamilton–Jacobi equations: Uniqueness results for viscosity solutions defined via families of compact sets

作者: Mikhail I. Gomoyunov

类别: math.AP, math.OC

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25305v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25305v1

摘要: We consider a path-dependent Hamilton–Jacobi equation with coinvariant derivatives over the space of continuous functions. We prove two uniqueness results for viscosity (generalized) solutions defined in terms of coinvariantly smooth test functionals and a dense family of compact subsets of the space of continuous functions. It is assumed that the Hamiltonian is continuous and satisfies a local Lipschitz condition in the functional variable with respect to the supremum norm. When the Lipschitz constant satisfies a sublinear growth condition in the gradient (impulse) variable, uniqueness is established in the class of continuous viscosity solutions. In the general case, without any such growth conditions, uniqueness is established in the class of continuous viscosity solutions that satisfy an additional local Lipschitz condition. The proofs are based on the standard method of doubling variables, but use a novel penalty functional for constructing coinvariantly smooth test functionals. The obtained results generalize previously known ones by relaxing the assumptions on the Hamiltonian and/or enlarging the class of functionals in which uniqueness is established.

5. 分数阶扩散方程与系统中从单一边界测量同时重构一般时空依赖源项与初始状态的唯一性

Uniqueness of simultaneous reconstruction of general space- and time-dependent sources and initial states in fractional diffusion equations and systems from single boundary measurements

作者: Jaan Janno

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25266v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25266v1

摘要: Inverse problem to determine simultaneously a general space- and time-dependent source and an initial state in a fractional diffusion equation from an {\it a posteriori} measurement of the normal derivative of the state on a portion of a boundary of the space domain is considered. Uniqueness for this problem is proved under the assumption that an order of a fractional derivative involved in the equation is irrational. The uniqueness result is generalized to an inverse problem for a coupled system of fractional diffusion equations, where both sources and initial states are unknown and first component of the state is measured on the boundary.

6. 具有小电阻非理想界面的传输问题

The transmission problem with imperfect interfaces of small resistance

作者: Shota Fukushima, Yong-Gwan Ji, Hyeonbae Kang

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-28

arXiv ID: 2604.25232v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25232v1

摘要: We consider the transmission problem in presence of interfaces with imperfect bonding. The imperfect bonding condition is characterized by the positive resistance along the interface, which causes discontinuity of the potential across the interface while the flux is continuous. If the interface resistance is zero, then the interface is of perfect bonding, where both the potential and the flux of the solution are continuous across the interface. In this paper, we first construct using layer potentials the solution to the transmission problem with imperfect interfaces. We then prove that the solutions converge in various Sobolev spaces to the solution to the transmission problem with perfect interfaces as the interface resistance tends to zero. In particular, it is shown that the gradient of the solution converges in the uniform norm if the boundary is sufficiently regular.

7. 旗流形上的Pollicott-Ruelle共振

Pollicott-Ruelle Resonances on Flag Manifolds

作者: Alessandro Morescalchi

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2026-04-27

arXiv ID: 2604.25006v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.25006v1

摘要: We study the resonance spectrum of the multiflow induced on a flag manifold by the action, through multiplication by the exponential map, of the Cartan subalgebra of the underlying Lie group. We give a definition of joint resonance for the flow, then prove its discreteness and existence of resonant states. We conclude by explicit characterization of the spectrum in the special cases of Projective spaces and manifolds of full flags.

8. 加权图上Lane-Emden型不等式存在正解的精确判据

Sharp Criteria for the existence of positive solutions to Lane-Emden-type inequalities on weighted graphs

作者: Qingsong Gu, Lu Hao, Xueping Huang, Yuhua Sun

类别: math.AP

发布日期: 2026-04-27

arXiv ID: 2604.24932v1

链接: http://arxiv.org/abs/2604.24932v1

摘要: We study positive solutions of Lane–Emden-type inequalities on infinite, connected, locally finite weighted graphs. For arbitrary connected domains (with Dirichlet boundary when present), we establish the equivalence between

$$ -Δu \ge σu^q $$

and the associated Green potential inequality. In particular, existence of positive solutions is characterized by the pointwise condition

$$ G_Ω\big(σg_Ω(o,\cdot)^q\big)(x) \le C\, g_Ω(o,x). $$

This yields a graph analogue of Green-kernel criteria for superlinear elliptic inequalities, without requiring a separate weak maximum principle. Our main result resolves a volume-growth conjecture: for any infinite, connected, locally finite weighted graph, if

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2q-1}}{μ(B(o,n))^{q-1}} = \infty, $$

then every nonnegative solution of $ -Δu \ge u^q $ is trivial. This nonexistence result requires no volume doubling, Poincaré inequality, or ellipticity assumptions. The proof combines finite-network Green-function methods, a unit-current decomposition, and a Hardy-type estimate. We also derive sharp existence criteria under \textnormal{(VD)}, \textnormal{(PI)}, and \textnormal{(P$_0$)}, and, under the \textnormal{(3G)} condition, obtain a criterion via Green level sets. As applications, we determine Serrin-type critical exponents on $\mathbb{Z}^d$, including half-spaces and orthants with Dirichlet boundary conditions.