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1. 关于 Navier-Stokes 方程的 Serrin 内部正则性判据

On Serrin Interior Regularity Criterion for Navier-Stokes Equations

作者: Robin Ming Chen, Giovanni P. Galdi, Bruno Poggi, Armin Schikorra

类别: math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24733v1

摘要翻译: 我们重新考察了 $\mathbb R^3$ 中 Navier-Stokes 方程分布解的 Serrin 内部空间正则性判据，并在两个主要方向上显著弱化其假设条件。更精确地，我们证明：若 $u\in{L_t^{s'}L_x^s}$ 局部成立，且 $$u$$ 是 Navier-Stokes 方程的分布解，其中 $\frac2{s'}+\frac3s=1$ 且 $s'\in[4,\infty)$ ，则对任意 $q\in(2,s')$ ，有 $u\in L^q_t(C_x^\infty)$ 局部成立；若 $s'\in(2,4)$ ，则只要额外满足 $u\in L_t^4(L_x^p)$ 局部成立（对某个 $$p>1$$ ），同一结论仍成立。

Comment: 15 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24733v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中不可压缩纳维-斯托克斯方程的分布解 $$u = u(x,t)$$ 的内点空间正则性问题。该方程以弱形式表述为：对任意球 $B \subset \mathbb{R}^3$ 和时间区间 $$(0,T)$$ ，令 $Q = B \times (0,T)$ ，设 $\mathcal{D}(Q)$ 为 $C_0^\infty(Q)$ 中无散度向量场构成的空间，则 $u \in L^2(Q)$ 是分布解当且仅当

\int_Q u \cdot (\varphi_t + \Delta \varphi + u \cdot \nabla \varphi) \, dx dt = 0, \quad \forall \varphi \in \mathcal{D}(Q),

\int_B u(\cdot,t) \cdot \nabla \psi \, dx = 0, \quad \text{a.e. } t \in (0,T),\ \forall \psi \in C_0^\infty(B).

其对应的涡量 $\omega = \nabla \times u$ 满足分布意义下的涡量方程

\omega_t - \Delta \omega = \operatorname{div}(u \otimes \omega - \omega \otimes u), \quad \text{in } Q.

该问题的核心在于：在何种最弱可积性假设下，能保证 $$u$$ 在任意紧子柱体 $Q' \Subset Q$ 上关于空间变量无限次可微？这一问题自1962年Serrin开创性工作以来即为流体力学分析理论的基石之一。经典Serrin准则（由Struwe与Takahashi完善）断言：若 $$u$$ 满足

u \in L^\infty(L^2(B)), \quad \omega \in L^2(Q), \quad u \in L^{s'}(L^s(B)), \quad \frac{2}{s'} + \frac{3}{s} = 1, \ s' \in (2,\infty),

则 $u \in L^\infty(C^\infty_x)$ 局部成立，即所有空间导数在 $$Q'$$ 上一致有界。此处关键在于： $L^\infty$ 时间可积性与 $$L^2$$ 涡量可积性共同构成技术支撑——前者保障热方程正则性估计中时间范数不衰减，后者通过Helmholtz分解 $u(x,t) = \int_B \nabla E(x-y) \times \omega(y,t)\,dy + \Phi(x,t)$ 将速度控制归约为涡量控制。然而，Serrin原始论证严重依赖 $u \in L^\infty_t L^2_x$ 这一强假设：其迭代框架要求每轮提升空间正则性时，时间可积指数 $$q$$ 必须保持不变；但标准热方程 $L^q_t H^{k,r}_x$ 正则性理论（如引理2.1）仅能给出 $\omega \in L^{q/2}_t H^{k+\ell,r}_x$ ，导致时间可积性指数逐轮减半，无法闭合。因此，一个根本性开放问题是：能否将时间可积性假设从 $L^\infty_t$ 放宽至 $$L^q_t$$ （ $q < \infty$ ），同时去除对涡量 $\omega$ 的显式 $$L^2$$ 假设？该问题不仅具有技术挑战性，更触及Navier-Stokes正则性理论中时间-空间耦合的本质障碍——Serrin反例 $u = a(t)\nabla \psi$ （ $\Delta \psi = 0$ , $a \in L^2$ ）表明，仅凭空间正则性无法自动提升时间正则性，故任何成功放宽 $L^\infty_t$ 的方案必须彻底重构迭代逻辑。本文旨在填补这一空白：一方面完全取消对 $\omega$ 的独立可积性假设，另一方面将时间可积性门槛降至 $$L^4_t$$ ，并建立匹配的、不损失时间指数的新型迭代机制。

2. 主要定理或主要结果

本文核心结果由定理1.1完整刻画：设 $$u$$ 是Navier-Stokes方程在柱体 $Q = B \times (0,T)$ 上的分布解，且满足

u \in L^{s'}_t L^s_x(Q), \quad \frac{2}{s'} + \frac{3}{s} = 1, \quad s' \in (2,\infty).

则以下结论成立：

若 $s' \in [4, \infty)$ ，则对任意 $q \in (2, s')$ ，有 $u \in L^q_t(C^\infty_x)$ 局部成立；
若 $s' \in (2, 4)$ ，则在额外假设 $u \in L^4_t L^p_x(Q)$ （对某个 $$p > 1$$ ）下，同样有 $u \in L^q_t(C^\infty_x)$ 局部成立，对任意 $q \in (2,s')$ 。特别地，文中明确证明了涡量自动继承可积性：在 $s' \geq 4$ 时，由 $u \in L^{s'}_t L^s_x$ 可推出 $\omega \in L^2_{t,x}(Q)$ （定理3.1）；在 $s' \in (2,4)$ 时，附加 $u \in L^4_t L^p_x$ 即足以保证 $\omega \in L^2_{t,x}(Q)$ 。该结论的关键尺度关系为临界线 $$2/s' + 3/s = 1$$ ，且时间指数 $$q$$ 的上界严格小于 $$s'$$ （而非等于），这反映了新迭代机制中时间可积性无法达到 $$s'$$ 的固有代价。此外，定理2.1作为中间步骤，给出了在保留 $\omega \in L^2_{t,x}$ 假设下的先验结果：只要 $u \in L^{s'}_t L^s_x$ 满足临界关系，则 $u \in L^q_t(C^\infty_x)$ 对所有 $q \in (2,s')$ 成立。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文方法论的根本创新在于摒弃Serrin原初的‘固定时间指数迭代’，代之以一种基于Bessel势空间 $H^{k,r}_x$ 的‘时间指数守恒型迭代’。其核心障碍有二：一是传统热方程正则性（如引理2.1）在 $$L^q_t$$ 框架下必然导致时间指数衰减（ $F \in L^{q/2}_t$ 推出 $v \in L^{q/2}_t$ ），二是Helmholtz分解中涡量到速度的映射 $\omega \mapsto u$ 在 $$L^q_t L^r_x$$ 空间中缺乏直接的高阶正则性传递。作者的突破性工具链如下：第一，构建 $L^q_t H^{k,r}_x$ 正则性闭环。利用引理2.1（热方程在Bessel势空间的端点估计）：若 $F \in L^\sigma_t H^{k,r}_x$ 且 $1/p = 1/\sigma + \ell/2 - 1 > 0$ ，则解 $$v$$ 满足 $v \in L^p_t H^{k+\ell,r}_x$ 。关键在于选择 $\sigma = q/2$ 并精细调控 $\ell$ ，使得 $$p = q$$ ，从而实现时间指数守恒。具体而言，取 $\ell = 2(1 - 1/q)$ ，则 $1/q = 1/(q/2) + \ell/2 - 1$ 恒成立，故 $F \in L^{q/2}_t L^r_x$ 可推出 $\omega \in L^q_t H^{\ell,r}_x$ 。第二，利用Sobolev代数性质维持非线性项控制。当 $$r > 3$$ 且 $$k > 3/r$$ 时， $H^{k,r}_x$ 构成Banach代数，从而允许估计 $\|u \nabla \omega\|_{H^{k,r}} \leq C \|u\|_{H^{k,r}} \|\omega\|_{H^{k+1,r}}$ 。结合Helmholtz分解 $u = \nabla E \ast \omega + \Phi$ 及调和函数 $\Phi$ 的高阶估计 $\|\Phi\|_{H^{k+1,r}} \leq C \|u\|_{H^{k,r}}$ ，可将 $$u$$ 的高阶范数完全由 $\omega$ 控制，进而导出 $F = \operatorname{div}(u \otimes \omega - \omega \otimes u) \in L^{q/2}_t H^{k,r}_x$ 。第三，设计多尺度迭代路径。初始步由 $u \in L^{s'}_t L^s_x$ 和 $\omega \in L^2_{t,x}$ 推出 $\omega \in L^q_t L^\infty_x$ （ $$q > 2$$ ），再经Helmholtz得 $u \in L^q_t H^{2,r}_x$ ；随后利用代数性质得 $F \in L^{q/2}_t L^r_x$ ，应用引理2.1得 $\omega \in L^q_t H^{\ell,r}_x$ （ $\ell > 1$ ）；重复此过程，因每次提升空间正则性阶数 $\ell$ 而保持 $$q$$ 不变，最终在有限步内达到 $\omega \in L^q_t C^\infty_x$ ，从而 $u \in L^q_t C^\infty_x$ 。第四，消去涡量假设的技术。在第3节，作者借助Oseen张量 $\Gamma_{ij}$ 的精细构造与Green公式，将 $\omega$ 的 $$L^2$$ 可积性还原为 $$u$$ 自身的可积性：通过截断函数 $\phi_\delta$ 与卷积核 $\Gamma^\delta_{ij}$ 的局部化处理，将 $\omega$ 表示为紧支集光滑核与 $$u$$ 的时空卷积，再利用Hölder不等式与临界指数关系 $$2/s' + 3/s = 1$$ 直接估计 $\|\omega\|_{L^2_{t,x}} \leq C \|u\|_{L^{s'}_t L^s_x}$ ，从而在 $s' \geq 4$ 时完成剥离。

4. 与之前工作的比较

本文与既有工作的实质性推进体现在三个维度：首先，在时间可积性假设上实现质的突破。Serrin-Struwe-Takahashi体系强制要求 $u \in L^\infty_t L^2_x$ ，而本文将其降至 $$L^4_t$$ （当 $s' \geq 4$ ）乃至 $$L^q_t$$ （ $$q > 2$$ ）的连续谱。这一推进并非简单指数下调，而是揭示了原有框架的结构性缺陷：Serrin论证中 $u \in L^\infty_t$ 是启动迭代的‘锚点’，一旦放弃，传统热方程估计立即失效。本文通过Bessel势空间与代数性质的耦合，首次实现了时间指数守恒，从而绕开了该瓶颈。值得注意的是， $$q$$ 无法达到 $$s'$$ （如 $s'=\infty$ 时 $$q$$ 仍需 $<\infty$ ），这反映了新方法的内在极限——它交换了时间正则性的‘绝对高度’换取了‘广度’（适用更广的 $$s'$$ 范围）。其次，在涡量假设上实现完全解耦。经典理论必须独立假设 $\omega \in L^2_{t,x}$ ，而本文证明该条件可由速度自身的临界可积性自动蕴含。对比Giga-Miyakawa（1985）或Beirão da Veiga（1995）等依赖涡量的准则，本文消除了对涡量的任何先验控制，使正则性判据仅取决于速度场本身，极大简化了验证流程。尤其当 $s' \in (2,4)$ 时，仅需附加 $$L^4_t L^p_x$$ （ $$p>1$$ ）这一远弱于 $L^2_{t,x}$ 涡量的条件，体现了对低正则性情形的精细适配。最后，在适用范围与代价权衡上呈现新平衡。Serrin准则在 $$2/s' + 3/s < 1$$ 的超临界情形下可取 $$q = s'$$ （见Remark 2.2），而本文在临界线 $$2/s' + 3/s = 1$$ 上工作，虽牺牲了 $$q = s'$$ 的可能性，却换来了对更广泛 $$s'$$ 区间的覆盖（特别是 $s' \in [4,\infty)$ ）。此外，本文未使用任何概率方法或调和分析高级工具（如Littlewood-Paley分解），全部论证基于经典PDE估计，确保了结果的初等性与可推广性。然而，该方法目前局限于内点正则性，尚无法处理边界或全局问题；且对时间指数 $$q$$ 的上界 $$s'$$ 未达最优（如 $s'=\infty$ 时理论上或可逼近 $q=\infty$ ），这些是未来工作的重要方向。

2. 完全非线性抛物型模型中正则性改进的几何方法

Geometric approaches for improved regularity in fully nonlinear parabolic models

作者: Junior da Silva Bessa, João Vitor da Silva, Mayra Soares

类别: math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24617v1

摘要翻译: 本文中，我们推导了一类具有连续漂移项及容许源项的完全非线性抛物型方程的改进估计，其形式为

\partial_{t}u - F(D^2u,x,t) + \langle B(x,t), Du\rangle = f(x, t, u^{+}, u^{-}) \quad \text{in}\quad Q_1.

我们的分析揭示出两种不同的区域。在第一种情形下， $$f=f(x,t)$$ 具有 $$θ$$ -Hölder 衰减性（ $θ\in(0,1)$ ），借助扰动方法与几何迭代，我们在消失点处获得梯度正则性的改进；同时，在适当结构条件下，还得到具有显式增长速率的非退化性。在第二种情形下， $f(\cdot,u^+,u^-)=(u^+)^γ-(u^-)^γ$ ，其中 $γ\in(0,1)$ （对应于一个演化型半线性两相模型），我们通过将稳健的爆破分析与线性方程的局部导数估计相结合，在分支点处获得增强的正则性。即使在数据仅为连续的线性情形下，我们的结果依然适用，并与数学物理及相关领域中出现的经典自由边界问题相联系。

Comment: Comments are welcome

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24617v1

1. 研究对象和背景

本文研究定义在单位下抛物柱 $Q_1 := B_1 \times (-1, 0] \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 上的全非线性抛物方程的粘性解正则性问题，核心方程为

\partial_t u - F(D^2 u, x, t) + \langle B(x, t), Du \rangle = f(x, t, u^+, u^-) \quad \text{in } Q_1,

其中 $u^+ := \max\{u, 0\},\ u^- := \max\{-u, 0\}$ 。函数 $F : \mathrm{Sym}(n) \times Q_1 \to \mathbb{R}$ 是连续、全非线性且一致椭圆的算子，满足结构假设 (A1)：存在椭圆常数 $0 < \lambda \leq \Lambda$ ，使得对所有 $(x,t) \in Q_1$ 及 $X,Y \in \mathrm{Sym}(n), Y \geq 0$ ，有

\mathcal{M}^-_{\lambda,\Lambda}(Y) \leq F(X+Y,x,t) - F(X,x,t) \leq \mathcal{M}^+_{\lambda,\Lambda}(Y),

其中 $\mathcal{M}^\pm_{\lambda,\Lambda}$ 为Pucci极值算子；并归一化 $$ F(O_n, x, t) = 0 $$ 。漂移项 $B \in C^0(Q_1; \mathbb{R}^n) \cap L^\infty(Q_1; \mathbb{R}^n)$ 满足 (A2)，且 $$ F $$ 关于时空变量满足抛物连续性条件 (A3)：存在模 $\tau$ ，使得

\frac{|F(M, x, t) - F(M, y, s)|}{\|M\| + 1} \leq \tau\big( d_p((x,t), (y,s)) \big), \quad d_p((x,t), (y,s)) := \max\{ |x-y|, |t-s|^{1/2} \}.

此外， $$ F $$ 关于矩阵变量 $$ X $$ 属于 $$ C^1 $$ 类，其Gateaux导数 $$ D_M F $$ 满足模连续性 (A4)。该模型统一涵盖两类重要物理与数学场景：(i) 当 $$ f = f(x,t) $$ 为仅依赖时空的源项时，对应带连续漂移的全非线性抛物方程；(ii) 当 $f(x,t,u^+,u^-) = (u^+)^\gamma - (u^-)^\gamma$ 且 $\gamma \in (0,1)$ 时，构成演化型半线性两相自由边界模型，其自由边界 $\partial\{u > 0\} \cap \partial\{u < 0\}$ 上出现分支点（branching points） $\Gamma(u) := \{ \partial_t u = |Du| = |D^2 u| = 0 \} \cap \partial\{u > 0\} \cap \partial\{u < 0\}$ 。研究动机源于数学物理中广泛存在的反应-扩散过程（如等离子体热传输、化学工程中的相变），其建模方程常为散度型 $\partial_t u = \mathrm{div}\, A(u, \nabla u, x, t) + B(u, \nabla u, x, t)$ ，但本文聚焦于更难处理的非散度型全非线性框架。经典理论（如[30]）仅能保证在连续数据下解属于 $C^{1+\alpha_F, (1+\alpha_F)/2}_{\mathrm{loc}}$ ，其中 $\alpha_F \in (0,1]$ 是对应常系数齐次方程的最优Hölder指数。然而，该正则性在自由边界附近严重退化：当解在某点同时消失及其梯度、Hessian为零时（即分支点），标准Schauder或Krylov-Safonov估计失效，因非线性源项 $(u^+)^\gamma - (u^-)^\gamma$ 在 $$ u=0 $$ 处不可微且具有强退化性（ $\gamma < 1$ 导致 $f'(0) = +\infty$ ）。类似地，在源项 $$ f $$ 自身具有更高正则性（如 $\theta$ -Hölder连续）的点处，经典理论亦未给出梯度正则性的定量提升。本文旨在填补两大空白：第一，在 $$ f $$ 的零点集 $f^{-1}(\{0\})$ 上，通过几何迭代与扰动方法，将解的正则性从 $C^{1+\alpha_F}$ 提升至 $C^{1+\alpha^\sharp}$ ，其中 $\alpha^\sharp \in (0, \alpha_F) \cap (0, \alpha + \theta]$ ；第二，在两相模型的分支点 $\Gamma(u)$ 上，克服强退化与符号变化双重障碍，建立超越自然尺度 $$ r^2 $$ 的精确增长阶估计 $|u(x,t)| \leq C r^\beta$ ，其中最优指数 $\beta = 2/(1-\gamma) > 2$ ，揭示两相界面附近前所未有的精细结构。这两类问题均与经典自由边界问题（如Stefan问题、障碍问题）紧密关联，但现有文献（如Caffarelli [5], Weiss [31], Shahgholian-Fotouhi [16], Soave-Terracini [26]）主要处理椭圆情形或一相情形，对抛物两相全非线性模型的分支点正则性尚无系统研究。

2. 主要定理或主要结果

本文共证明四个主定理。定理1.1（零点处梯度正则性提升）：设 $$ u $$ 是方程 $\partial_t u - F(D^2 u, x, t) + \langle B(x, t), Du \rangle = f(x, t)$ 在 $$ Q_1 $$ 上的有界粘性解，满足结构条件(A1)-(A2)，且 $$ f $$ 在原点满足 $\theta$ -Hölder衰减 $|f(x,t)| \leq C_f d_p((x,t),(0,0))^\theta$ （ $\theta \in (0,1)$ ）。则存在仅依赖于 $n, \lambda, \Lambda, \theta, \alpha_F, \|B\|_{L^\infty}, C_f$ 的正常数 $\eta_0 > 0$ 和 $r_0 \ll 1$ ，使得

\left( \int_{Q_r} \Phi_F(x,t)^{n+1} \, dx dt \right)^{1/(n+1)} \leq \eta_0, \quad \forall\, 0 < r \leq r_0,

其中 $\Phi_F(x,t) := \sup_{X \in \mathrm{Sym}(n)} |F(X,x,t) - F(X,0,0)| / (\|X\| + 1)$ 。由此推出 $u \in C^{1+\alpha^\sharp, (1+\alpha^\sharp)/2}$ 在原点，且对任意 $\alpha^\sharp \in (0, \alpha_F) \cap (0, \alpha + \theta]$ ，存在常数 $$ C > 0 $$ 使得

\sup_{(x,t) \in Q_r} |u(x,t) - u(0,0) - Du(0,0) \cdot x| \leq C r^{1+\alpha^\sharp}, \quad \forall\, 0 < r \leq r_0.

定理1.2（非退化性）：若 $$ f $$ 满足向下 $\theta$ -Hölder增长 $f(x,t) \leq -c_f d_p((x,t),(0,0))^\theta$ （ $$ c_f > 0 $$ ），则对任一局部极值点 $(x_0,t_0) \in Q_1$ 及满足 $Q_r(x_0,t_0) \Subset Q_1$ 的 $$ r > 0 $$ ，有

\sup_{(x,t) \in \partial_p Q_r(x_0,t_0)} |u(x,t) - u(x_0,t_0)| \geq C r^{2+\theta},

其中 $$ C $$ 依赖于 $n, \Lambda, \|B\|_{L^\infty}, \theta, c_f$ 。定理1.3（分支点处正则性提升）：设 $u \in \mathcal{G}$ 是方程 $F(D^2 u, x, t) - \partial_t u + \langle B(x, t), Du \rangle = (u^+)^\gamma - (u^-)^\gamma$ （ $\gamma \in (0,1)$ ）的粘性解， $(x_0,t_0) \in \Gamma(u) \cap Q_{1/2}$ ，且满足(A1)-(A4)及 $B \in C^{\alpha_0, \alpha_0/2}(Q_1; \mathbb{R}^n)$ 。则对任意 $\beta$ 满足 $2 + \alpha_0 < \beta \leq 2/(1-\gamma)$ ，存在 $$ C_0 > 0 $$ （依赖于 $n, \lambda, \Lambda, \gamma, \|B\|_{L^\infty}, M_0$ ）使得

\sup_{Q_r(x_0,t_0)} |u| \leq C_0 r^\beta, \quad \forall\, r \in (0, 1/2).

注明该指数 $2/(1-\gamma)$ 是最优的，由内在尺度变换 $v_r(x,t) := u(rx, r^2 t) / r^\alpha$ 所决定，当且仅当 $\alpha \leq 2/(1-\gamma)$ 时缩放后方程保持一致椭圆性。定理1.4（翻转估计）：若在 $(x_0,t_0) \in \Gamma(u) \cap Q_{1/2}$ 附近有 $\sup_{Q_r(x_0,t_0)} u^+ \leq C_0 r^{2/(1-\gamma)}$ （或 $$ u^- $$ ），则存在 $$ C_1 > 0 $$ 使得

\sup_{Q_r(x_0,t_0)} u^- \leq C_1 r^{2/(1-\gamma)} \quad \left( \text{或 } u^+ \leq C_1 r^{2/(1-\gamma)} \right), \quad \forall\, r \in (0, r_0].

此外，对Hénon型推广 $f_\gamma(u) \lesssim g(x,t) [(u^+)^\gamma - (u^-)^\gamma]$ 且 $|g(x,t)| \lesssim C_g d_p((x,t),(x_0,t_0))^\theta$ ，定理1.3与1.4的结论相应修正为 $|u| \leq C_0 r^{(2+\theta)/(1-\gamma)}$ 及翻转估计。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍在于：(1) 在 $$ f $$ 的零点处，标准线性化失效，因 $$ F $$ 的系数和漂移项 $$ B $$ 仅为连续，无法直接应用Schauder理论；(2) 在两相分支点 $\Gamma(u)$ ，源项 $(u^+)^\gamma - (u^-)^\gamma$ 的强退化性（ $\gamma < 1$ ）导致方程在 $$ u=0 $$ 处非Lipschitz，经典比较原理与最大值原理完全失效，且解在分支点既非局部极小也非极大，传统非退化性论证不适用。作者的真正创新点在于构建了一个双尺度几何分析框架，将扰动方法、几何迭代与切向逼近（tangential approximation）有机结合。首先，针对定理1.1，作者引入“受控几何衰减”策略：Step 1 构造 $$ F $$ -热流形近似解 $$ w $$ ，证明当 $\|f\|_{L^\infty}, \|B\|_{L^\infty}$ 及系数振荡 $\Phi_F$ 的 $L^{n+1}$ 范数足够小时， $$ w $$ 可被 $C^{1+\alpha_F}$ 的仿射函数 $$ h $$ 一致逼近；Step 2 设计几何迭代序列 $\{l_k\}$ ，通过归纳法证明 $\sup_{Q_{\rho^k}} |u - l_k| \leq \rho^{k(1+\alpha^\sharp)}$ ，其中 $\rho \in (0,1)$ 为固定收缩比，该迭代依赖于源项 $$ f $$ 的 $\theta$ -Hölder连续性及 $\Phi_F$ 的小性，最终由Dini-Campanato嵌入得出 $C^{1,\alpha^\sharp}$ 正则性；Step 3 通过标准化与缩放，将一般情形还原至小参数框架。此框架的关键工具是振荡函数 $\Phi_F$ 的 $L^{n+1}$ 控制，它量化了算子系数的局部变化，替代了传统要求的Hölder连续性。其次，针对定理1.3与1.4，作者发展了一套鲁棒的吹出分析（blow-up analysis）：核心是定义内在尺度变换 $v_r(x,t) := u(rx, r^2 t) / r^\alpha$ ，并选取 $\alpha = 2/(1-\gamma)$ 使缩放后方程

F_r(D^2 v_r, x, t) - \partial_t v_r + \langle B_r(x,t), Dv_r \rangle = (v_r^+)^\gamma - (v_r^-)^\gamma

中非线性项保持主导地位。在此尺度下，作者证明 $\{v_r\}$ 在 $C^{2+\alpha_0}$ 范数下有界，并利用紧性提取收敛子列 $v_r \to U$ ，其极限 $$ U $$ 满足线性切向方程 $\partial_t U - \mathrm{tr}(A_0 D^2 U) = 0$ ，其中 $$ A_0 = D_X F(O_n, 0, 0) $$ 。关键突破在于，作者并非直接对 $$ u $$ 进行估计，而是利用线性极限方程的已知导数估计（如 $\|DU\|_{L^\infty(Q_{r/2})} \leq C r^{-1} \|U\|_{L^\infty(Q_r)}$ ）反推原解的精细增长行为。最后，对于定理1.4的翻转估计，作者设计了一个精巧的几何递推：假设 $$ u^+ $$ 满足 $r^{2/(1-\gamma)}$ 增长，则通过迭代论证

\|u\|_{L^\infty(Q_{2^{-(j+1)}})} \leq \max\left\{ \frac{C_0}{2^{2/(1-\gamma)(j+1)}}, \frac{\|u\|_{L^\infty(Q_{2^{-j}})}}{2^{2/(1-\gamma)}} \right\},

并结合一相极限剖面的“平坦度改进”（improvement-of-flatness）性质，强制 $$ u^- $$ 也服从相同增长阶。整个框架的基石是几何切向方法（geometric tangential method），它绕过所有比较原理，纯粹依赖内在尺度、紧性及线性极限的稳定性。

4. 与之前工作的比较

本文与既有工作存在本质性推进，体现在假设、尺度、适用范围及技术深度四个维度。首先，在假设上，本文显著放宽了对数据正则性的要求。经典结果如Wang [29] 或[30]要求 $$ F $$ 关于 $$ X $$ 是凸或凹的，且 $$ B, f $$ 至少是Hölder连续的，才能获得 $C^{2+\alpha}$ 正则性；而本文仅需 $$ F $$ 满足 $$ C^1 $$ 性（A4）及抛物连续性（A3）， $$ B $$ 和 $$ f $$ 仅为连续（A2），甚至允许 $$ f $$ 在零点仅有 $\theta$ -Hölder衰减（定理1.1）或向下增长（定理1.2），这是对[30]中 $C^{1+\alpha_F}$ 理论的实质性强化。其次，在时间尺度与适用范围上，本文首次系统攻克了抛物两相全非线性模型的分支点正则性，而此前工作几乎全部局限于椭圆情形或一相情形。例如，Caffarelli [5] 和Weiss [31] 针对Stefan型一相问题 $\partial_t u - \Delta u = -\chi_{\{u>0\}} u^{\gamma-1}$ （ $\gamma=1$ ）建立了自由边界正则性，但其单调性公式（如Almgren型频率公式）在抛物两相全非线性框架下完全失效；Shahgholian-Fotouhi [16] 和Soave-Terracini [26] 处理的是椭圆方程 $\Delta u = \lambda_+(x)(u^+)^{q-1} - \lambda_-(x)(u^-)^{q-1}$ ，其技术（如变分法、nodal集分析）无法移植到抛物非散度型设定。本文的定理1.3将正则性分析从一相推广至两相，并将最优增长阶 $r^{2/(1-\gamma)}$ 精确刻画，这在文献中是全新的。第三，在代价与局限上，本文的成果以更强的技术复杂性为代价：几何迭代与吹出分析需要精细控制多个尺度（如 $\Phi_F$ 的 $L^{n+1}$ 小性、内在缩放参数 $\alpha$ 的选取），且结论依赖于解属于预定义类 $\mathcal{G}$ （即已具备 $C^{2+\alpha_0}$ 正则性），这虽可通过[10,30]的先验估计保证，但增加了论证链条。相比之下，一相问题的许多结果（如[2]）可直接构造强解。最后，在技术层面，本文彻底摒弃了依赖最大值原理的传统路径（如[11,12]），转而发展出纯几何的切向逼近框架，这与Audrito-Sanz-Perela [2] 的椭圆正则化或Choe-Weiss [6] 的单调性方法形成鲜明对比。作者明确指出（第9页），“对两相半线性模型如(1.1)（包括线性情形）尚无进一步正则性结果”，因此本文填补了该领域的关键空白。从提供内容中无法确认本文结果是否可推广至 $\gamma \geq 1$ 或非均匀椭圆情形，作者亦未显式展开与近期抛物Krylov-Safonov理论（如[18]）的比较。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 半直线上的光锥坐标系下正弦-戈登方程再探：Riemann–Hilbert 方法

The sine Gordon equation in light-cone coordinates on the half lines revisited: a Riemann–Hilbert approach

作者: Iryna Karpenko

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24704v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24704v1

摘要翻译

中文标题: 半直线上的光锥坐标系下正弦-戈登方程再探：Riemann–Hilbert 方法

摘要翻译: 本文研究正弦-戈登（sG）方程在光锥坐标系下的初边值（IBV）问题： $u_{xt}=\sin u$ ，定义于象限区域 $$x> 0$$ , $$t>0$$ 与 $$x< 0$$ , $$t>0$$ ，并假设当 $x\to +\infty$ 或 $x\to -\infty$ 时解具有适当的衰减性。借助 Riemann–Hilbert（RH）问题框架，我们证明：这两个 IBV 问题在适定性所要求的边界数据方面存在显著差异。具体而言，“右问题”（ $x\ge 0$ ）的解可由初始数据 $$u(x,0)$$ , $x\ge 0$ 唯一确定；而“左问题”（ $x\le 0$ ）则除初始数据外，还需额外给定边界数据 $$u(0,t)$$ ，方能构成适定问题。

2. Finsler $$p$$ -Laplacian 带势的 Fuchsian 型奇点

Fuchsian-type singularity for the Finsler $$p$$ -Laplacian with potential

作者: Yongjun Hou

类别: math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24700v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24700v1

摘要翻译

中文标题: Finsler $$p$$ -Laplacian 带势的 Fuchsian 型奇点

摘要翻译: 设 $Ω\subseteq\mathbb{R}^{n}$ （其中 $2\leq n\in\mathbb{N}$ ）为一区域，且 $ζ\in\{0,\infty\}$ 为 $$Ω$$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 的单点紧化（以理想点 $\infty$ 为紧化点）下的边界的一个孤立点。在若干进一步条件下，我们研究 Finsler $$p$$ -Laplace 方程带势

中文标题: 紧李群上的Vekua型算子：拟椭圆性、可解性与自对偶性

摘要翻译: 我们研究紧李群上与对角左不变算子相关的Vekua型算子的整体拟椭圆性与整体可解性。共轭项在Fourier侧产生一族耦合系统，其行列式同时控制正则性与可解性。在自然的非自对偶性假设下，我们得到了整体拟椭圆性与整体可解性的完备Diophantine型刻画，其中后者针对自然的容许数据空间。接着，我们通过完整分析模型情形 $\mathbb S^3\simeq SU(2)$ ，阐明在自对偶情形下该理论必须如何修正：此时共轭作用于每个表示块内部。所得判据揭示了紧李群上Vekua型算子的两种Fourier侧机制：不同共轭表示之间的耦合，以及自对偶表示块内部的耦合。我们还给出了乘积群上的例子，说明这两种机制如何共存，以及整体可解性如何在整体拟椭圆性失效时依然成立。

不相关论文（基本信息）

1. 线性柯西弹性理论的新视角：静力学、动力学与非均匀材料的变分最小原理

A new perspective in linear Cauchy Elasticity: variational minimum principles for statics, dynamics, and heterogeneous materials

作者: Amit Acharya

类别: math.AP, math.OC, physics.class-ph

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24782v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24782v1

摘要: A variational minimum principle for linear elastodynamics of a possibly heterogeneous material without a stored energy function is developed. It involves a change of variables to dual fields, and results in a degenerate elliptic Euler-Lagrange system, even when the primal elastodynamics is hyperbolic. Uniqueness assertions for the dual dynamic and static problems and implications of the degenerate ellipticity are sketched. Some implications pertaining to heterogeneous materials and ones with indefinite elastic moduli are discussed.

2. 通过亚波长点状共振执行器实现声波的有限频谱带最优控制

Finite Spectral-Band Optimal Control of Acoustic Waves via Subwavelength Point-Like Resonant Actuators

作者: Arpan Mukherjee, Mourad Sini

类别: math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24788v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24788v1

摘要: We study finite-band optimal control of acoustic waves actuated by local clusters of subwavelength resonators. The acoustic problem reduces to a time-domain Foldy-Lax approximation capturing wave-structure interaction. Spectral analysis of the delayed transfer matrix isolates collective scattering resonances corresponding to weakly damped poles $$s_α^ε=-γ_α^ε+iω_α^ε$$ with radiation damping $$γ_α^ε>0$$ . Projecting onto a finite band yields the coupled system $\ddot{a}+Λa=C_εη$ , $\ddotη+2Γ_ε\dotη+K_εη=u$ , where $$a$$ , $$η$$ , and $$u$$ are modal coefficients, microstructural states, and control. For a tracking functional $\mathcal{J}_μ$ with regularization $$μ>0$$ , we prove existence and uniqueness of the optimal control and derive the adjoint system. Our main quantitative result is a resonant source-lifting estimate: if a source profile $$η_r$$ is spectrally concentrated in bands $$I_α$$ , the input $u_r=(\partial_t^2+2Γ_ε\partial_t+K_ε)η_r$ satisfies $\|u_r\|_{L^2(0,T)}^2 \le \sum_α\left(\sup_{ν\in I_α} |(ω_α^ε)^2+(γ_α^ε)^2-ν^2 +2iγ_α^εν|\right)^2 \|(η_r)_α\|_{\mathcal{B}_T(I_α)}^2$ . This provides an upper bound for the optimal value function. At exact matching $$ν=ω_α^ε$$ , the multiplier equals $$2γ_α^εω_α^ε+O((γ_α^ε)^3)$$ , showing clustering yields a finite resonant gain governed by the pole’s real part. Finally, this attenuation enables finite-band stabilization under an explicit modal coupling condition, with a decay rate proportional to the cluster damping scale.

3. 关于双重临界多调和双相问题：解的存在性与不存在性

On doubly critical polyharmonic double phase problems: Existence and non-existence of solutions

作者: Ashutosh Dixit, Tuhina Mukherjee

类别: math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24856v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24856v1

摘要: In this article, we investigate the existence and nonexistence of weak solutions to higher-order doubly critical elliptic problems with weights, driven by a polyharmonic double phase operator. More precisely, we deal with the following problem \begin{equation} \begin{cases} \mathcal{L}^m_{p,q}(u) = f(x,u) ~&\text{in } Ω,\[6pt] u=\nabla u=\cdots\nabla^{m-1} u=0 &\text{on }{\partialΩ}, \end{cases} \end{equation} where $Ω\subset \mathbb{R}^N$ with $N \geq 2$ is a smooth bounded domain with Lipschitz boundary $\partialΩ$ , $m \in \mathbb{N}$ , $1 < p < q < \frac{N}{m}$ with $(N-1)q\leq Np$ , the nonlinear term $f\colonΩ\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is a Carathéodory function, which has doubly critical growth, and $\mathcal{L}^m_{p,q}$ represents a polyharmonic double phase operator. By establishing new compactness results within a suitable Musielak–Orlicz–Sobolev framework and applying variational methods, we prove the existence of nontrivial weak solutions. In addition, we derive nonexistence results under appropriate assumptions by establishing a Pohozaev-type identity for higher–order derivatives. Our approach extends classical techniques to capture the intricate features of the double-phase operator for higher–order derivatives, and addresses the difficulties arising from critical nonlinearities, in particular extending the results of [F. Colasuonno, K. Perera, J. Differ. Equ., 422 (2025), 426–488] in a polyharmonic double phase setup overcoming the non-closedness of truncations in higher-order Sobolev spaces.

4. 4维和5维流形中经典极小曲面的存在性

Existence of classical minimal surfaces in $$4$$ and $$5$$ -manifolds

作者: Da Rong Cheng, Xin Zhou

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24754v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24754v1

摘要: We prove that every closed Riemannian $$4$$ or $$5$$ -manifold $$M$$ contains a branched immersed closed minimal surface. That is, there exists a non-constant weakly conformal harmonic map from some closed Riemann surface into $$M$$ . We rely on the existence of multisections in dimensions $$4$$ and $$5$$ to generate a non-trivial class of sweepouts of $$M$$ by mappings from a closed surface $$S$$ of genus at least $$2$$ . To each sweepout in a minimizing sequence within the class, through the intermediary of quasiconformal maps of the upper half-plane, we associate a family of hyperbolic metrics on $$S$$ with respect to which the mappings in the sweepout have nearly equal energy and area. The harmonic replacement method of Colding and Minicozzi is then applied to obtain a min-max sequence that converges to a bubble tree of branched minimal immersions.

5. 关于无AR条件的多重调和Kirchhoff双相问题

On polyharmonic Kirchhoff double phase problems without AR-conditions

作者: Ashutosh Dixit, Tuhina Mukherjee

类别: math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24827v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24827v1

摘要: In this paper, we study a class of polyharmonic Kirchhoff problems driven by a double phase operator. The reaction term has subcritical growth but does not satisfy the Ambrosetti–Rabinowitz condition. We study the problem in the natural Musielak–Orlicz–Sobolev framework associated with the double phase structure. The main novelty of the paper lies in combining the nonlocal Kirchhoff term with a higher-order double phase operator under assumptions weaker than the classical Ambrosetti–Rabinowitz condition. By developing suitable modular estimates and compactness arguments, we establish the variational setting and obtain existence and multiplicity results by minimax methods.

6. 线性化极小曲面问题

The linearized minimal surfaces problem

作者: Haim Grebnev, Plamen Stefanov, Gunther Uhlmann, Hanming Zhou

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24682v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24682v1

摘要: We characterize the kernel of the linearization $$R$$ of the minimal surface problem about the Euclidean metric in a bounded smooth domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$ , $n\ge2$ , with the background minimal surfaces being the Euclidean planes. We show that, in the whole-space Euclidean decomposition, the kernel consists of potential fields and TT fields. For bounded domains, a similar phenomenon appears with additional boundary coupling conditions; in particular, the TT part may be coupled to a harmonic conformal component.

7. 非齐次Jordan–von Neumann方程的一个积分公式

An integral formula for the inhomogeneous Jordan–von Neumann equation

作者: Alexandra Paicu, Dorian Popa, Mircea Dan Rus

类别: math.AP, math.CA

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24565v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24565v1

摘要: We study the inhomogeneous form of the Jordan–von Neumann quadratic functional equation, in which the right-hand side is a prescribed function $$g$$ of two real variables. We prove that the existence of a $C^{2}$ solution is equivalent to $$g$$ being itself of class $C^{2}$ and satisfying a single three-variable cocycle identity, and we exhibit the solution as a closed-form integral expression involving the second partial derivative of $$g $$ along the first coordinate axis. The construction preserves regularity along the standard scale of $C^{k}$ , smooth, and polynomial classes.

8. 不可嵌入的环面与CR Paneitz算子

Non-embeddable torus and CR Paneitz operator

作者: Pak Tung Ho, Yuya Takeuchi

类别: math.DG, math.AP, math.CV, math.SP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24508v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24508v1

摘要: The CR Paneitz operator is closely related to several important problems in CR geometry. In this paper, we study the CR Paneitz operator on non-embeddable three-dimensional tori. Under mild assumptions, we show that it possesses infinitely many negative eigenvalues. We also provide concrete examples satisfying the assumptions.

9. Helmholtz 传输问题中弱奇异 Burton-Miller 方程的适定性

Well-posedness of the weakly singular Burton-Miller equation for Helmholtz transmission problems

作者: Yasuhiro Matsumoto

类别: math.AP

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24492v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24492v1

摘要: Although various boundary integral formulations are available for the Helmholtz transmission problem, the weakly singular Burton-Miller (BM) equation is promising because it is well-suited for the Nyström discretization. Moreover, unlike other formulations such as the PMCHWT or Müller equations, its fictitious eigenvalues do not coincide with eigenvalues of a different transmission problem. This paper rigorously shows that the weakly singular BM equation is well-posed.

10. 黎曼距离函数的障碍与奇点

Obstacles and Singularities of Riemannian Distance Functions

作者: Paolo Albano, Piermarco Cannarsa, Carlo Sinestrari

类别: math.AP, math.OC

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24397v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24397v1

摘要: We study the distance function from a point target in the complement of a compact obstacle endowed with a smooth Riemannian metric. We prove that the obstacle necessarily generates singularities of the distance function: every sufficiently high level set contains a singular point. We also show that every singular point outside the obstacle belongs to a nontrivial Lipschitz arc of singularities, thereby extending to the constrained setting classical propagation results for Hamilton–Jacobi equations. Finally, we provide examples showing that these results are essentially sharp, including a nonconvex obstacle for which the distance function is differentiable at every boundary point.

11. Robin Laplacian 在负边界参数下的反向 Faber–Krahn 不等式：所有维度中的小耦合

A reverse Faber–Krahn inequality for the Robin Laplacian with negative boundary parameter: small coupling in all dimensions

作者: Nunzia Gavitone, David Krejcirik, Gloria Paoli

类别: math.SP, math-ph, math.AP, math.OC

发布日期: 2026-06-23

arXiv ID: 2606.24341v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.24341v1

摘要: We establish Bareket’s conjecture from 1977 for convex domains in all dimensions in the regime of weak boundary coupling. In other words, we consider the Laplace operator, subject to negative boundary conditions, and show that the ball maximises the first eigenvalue among all bounded convex domains of fixed volume, provided that the boundary parameter is sufficiently close to zero. The smallness depends on the volume and dimension only. The proof relies on a comparison with spherical shells with combined Neumann–Robin boundary conditions obtained via the method of parallel coordinates, which we manage to extend to all dimensions, and on a careful analysis of the corresponding radial problem.

12. 正次数形式的Monge-Ampère型方程与Demailly的超越Morse不等式

Monge-Ampère-type equation for forms of positive degree and Demailly’s transcendental Morse inequality

作者: Mathew George

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-06-22

arXiv ID: 2606.23981v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.23981v1

摘要: The Monge-Ampère-type equation for forms of positive degree was introduced by Dinew and Popovici to prove the qualitative part of an analytic version of Demailly’s transcendental Morse inequality for higher cohomology classes, conditional on the solvability of this nonlinear PDE. In this paper, we show that this can be proven unconditionally. We first demonstrate that the originally proposed Laplacian trace condition, $Λ^{m-2}Δu = 0$ , is analytically too rigid to permit solutions. To overcome this, we introduce a general gauge-fixing that leads to the $$(a,b)$$ Monge-Ampère-type equation. By deriving \emph{a priori} estimates, we establish the solvability of this class of equations for different parametric regimes $$(a,b)$$ . As a geometric application, for $$b=0$$ this framework reduces to the classical complex Monge-Ampère equation, which yields the qualitative Demailly’s inequality for higher-degree forms. Furthermore, we show that the uniqueness of these solutions can be significantly strengthened under the kernel condition $\bar{\partial}^* u = 0$ .

13. 状态依赖扩散模型中序贯检验与最快检测的延迟-惩罚比较

Delay-Penalty Comparison for Sequential Testing and Quickest Detection in State-Dependent Diffusion Models

作者: Ye Liang

类别: math.AP, math.ST

发布日期: 2026-06-22

arXiv ID: 2606.23962v1

链接: http://arxiv.org/abs/2606.23962v1

摘要: We study sequential testing and Bayesian quickest detection for diffusion observations whose drift changes between two alternatives while the signal-to-noise ratio may depend on the current observation. In this setting the posterior probability is generally not a closed one-dimensional Markov statistic: the natural sufficient state is the augmented process consisting of the posterior (or likelihood ratio) and the observed diffusion. We formulate both testing and quickest detection within this common filtering framework and identify the corresponding degenerate free-boundary problems. The main contribution is a delay-penalty comparison principle. For a common terminal false-alarm or terminal decision cost, a pointwise larger running delay penalty increases the value of continuation, shrinks the continuation region, and yields earlier stopping. When the stopping set has a one-sided posterior representation, this gives an order relation for the optimal alarm boundaries. The result applies to linear delay costs and to nonlinear marginal delay penalties after the appropriate Markovian augmentation, and is illustrated by a constant signal-to-noise Shiryaev example in which the alarm threshold is computed numerically and shown to be monotone in the delay cost. The framework clarifies how state-dependent information and nonlinear delay costs jointly affect the geometry of sequential testing and quickest-detection rules.

重点关注论文（完整分析）#

1. 关于 Navier-Stokes 方程的 Serrin 内部正则性判据#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 完全非线性抛物型模型中正则性改进的几何方法#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

了解领域论文（摘要翻译）#

1. 半直线上的光锥坐标系下正弦-戈登方程再探：Riemann–Hilbert 方法#

摘要翻译#

2. Finsler $p$-Laplacian 带势的 Fuchsian 型奇点#

摘要翻译#

3. 从 $B^2$ 到 $S^2$ 的等变调和映射热流的有限时间爆破不存在性#

摘要翻译#

4. 导数非线性薛定谔方程的孤子气体渐近行为#

摘要翻译#

5. 具Neumann边界条件的偏微分方程的定量均匀化：一种概率方法#

摘要翻译#

6. 非自治奇异泛函极小元的正则性（具有各向异性增长）#

摘要翻译#

7. 紧李群上的Vekua型算子：拟椭圆性、可解性与自对偶性#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. 线性柯西弹性理论的新视角：静力学、动力学与非均匀材料的变分最小原理#

2. 通过亚波长点状共振执行器实现声波的有限频谱带最优控制#

3. 关于双重临界多调和双相问题：解的存在性与不存在性#

4. 4维和5维流形中经典极小曲面的存在性#

5. 关于无AR条件的多重调和Kirchhoff双相问题#

6. 线性化极小曲面问题#

7. 非齐次Jordan–von Neumann方程的一个积分公式#

8. 不可嵌入的环面与CR Paneitz算子#

9. Helmholtz 传输问题中弱奇异 Burton-Miller 方程的适定性#

10. 黎曼距离函数的障碍与奇点#

11. Robin Laplacian 在负边界参数下的反向 Faber–Krahn 不等式：所有维度中的小耦合#

12. 正次数形式的Monge-Ampère型方程与Demailly的超越Morse不等式#

13. 状态依赖扩散模型中序贯检验与最快检测的延迟-惩罚比较#

重点关注论文（完整分析）

1. 关于 Navier-Stokes 方程的 Serrin 内部正则性判据

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

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1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

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摘要翻译

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5. 具Neumann边界条件的偏微分方程的定量均匀化：一种概率方法

摘要翻译

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摘要翻译

7. 紧李群上的Vekua型算子：拟椭圆性、可解性与自对偶性

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不相关论文（基本信息）

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3. 关于双重临界多调和双相问题：解的存在性与不存在性

4. 4维和5维流形中经典极小曲面的存在性

5. 关于无AR条件的多重调和Kirchhoff双相问题

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8. 不可嵌入的环面与CR Paneitz算子

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10. 黎曼距离函数的障碍与奇点

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13. 状态依赖扩散模型中序贯检验与最快检测的延迟-惩罚比较