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1. 关于修正的半耗散Boussinesq方程的吸引子

On the attractor of the semi-dissipative Boussinesq equations revised

作者: Kexin Li, Chunyou Sun

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2026-07-24

arXiv ID: 2607.22107v1

摘要翻译: 本文继续研究具有粘性但无热扩散的二维Boussinesq方程的弱 $$σ$$ -吸引子 $\mathcal{A}$ 的结构。具体而言，我们证明了吸引子 $\mathcal{A}$ 在温度分量上的投影是满射的，即 $P_θ\mathcal{A}=L^2$ ；并且，对任意 $$r>0$$ ， $\mathcal{A}_r$ 在速度分量上的投影包含一个无限维Hilbert椭球，从而立即推出 $P_u\mathcal{A}_r$ 是无限维的。

Comment: 23 pages, 0 figure

链接: http://arxiv.org/abs/2607.22107v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维周期域 $\Omega = \mathbb{T}^2$ 上的半耗散Boussinesq方程组的长期动力学结构，其数学模型为：

\begin{cases} \partial_t u + (u \cdot \nabla) u + \nabla p - \nu \Delta u = \theta e_2, \\ \partial_t \theta + u \cdot \nabla \theta = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (u(x, 0), \theta(x, 0)) = (u_0(x), \theta_0(x)), \end{cases} \tag{1.1}

其中 $u = (u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2$ 为速度场， $$p$$ 为压力， $\theta$ 为温度（或密度扰动）， $e_2 = (0,1)^\top$ ， $\nu > 0$ 为运动粘性系数。关键特征在于：系统在速度变量上具有强耗散（Laplacian项 $-\nu \Delta u$ ），但在温度变量上完全无耗散（热扩散项 $\kappa \Delta \theta$ 缺失，即 $\kappa = 0$ ）。这一非对称耗散结构导致经典全局吸引子理论彻底失效——因 $\theta$ 满足输运方程，其 $$L^2$$ 范数守恒：

\|\theta(t)\|_{L^2} = \|\theta_0\|_{L^2}, \quad \forall t \ge 0, \tag{2.3}

故相空间 $H \times L^2$ 中温度分量不收缩，任何紧性论证（如Ascoli-Arzelà、Rellich-Kondrachov）在 $$L^2$$ 强拓扑下均无法成立。该模型物理上刻画Rayleigh-Bénard对流中热扩散可忽略的极端情形（如地核对流、某些等离子体环境），亦是检验耗散-非耗散耦合系统动力学理论边界的典型范例。

为克服此障碍，Biswas–Foias–Larios（2012, [3]）首创“弱 $\sigma$ -吸引子”（weak $\sigma$ -attractor）概念：定义 $\mathcal{A} \subset H \times L^2$ 为所有初值 $(u_0, \theta_0)$ 的集合，使得存在全局有界完整轨线 $(u(t), \theta(t)) \in H \times L^2$ 满足(1.1)且 $\sup_{t\in\mathbb{R}} \|(u(t), \theta(t))\|_{H \times L^2} < \infty$ 。该集合被证明存在、唯一、非空、弱紧（在 $H \times L^2$ 弱拓扑下闭），且是可数个弱紧不变集的并： $\mathcal{A} = \bigcup_{r \ge 0} \mathcal{A}_r$ ，其中局部吸引子 $\mathcal{A}_r$ 定义为弱 $\omega$ -极限集 $\omega_{\text{wk}}(B_r)$ ，而 $B_r = \{(u_0, \theta_0) \in H \times L^2 : \|\theta_0\|_{L^2} \le r, \|u_0\|_{L^2} \le R(r) = 2r/(\nu \lambda_1)\}$ ；另由[11]知 $\mathcal{A} = \bigcup_{r \ge 0} \mathcal{H}_r$ ，其中 $\mathcal{H}_r = \omega_{\text{st}}(\tilde{B}_r)$ 是强拓扑下的 $\omega$ -极限集， $\tilde{B}_r = \{\|\theta_0\|_{L^2} = r, \|u_0\|_{L^2} \le R(r)\}$ 。这揭示了 $\mathcal{A}$ 具有“薄饼状”分层结构（pancake-like structure）：每一层 $\mathcal{H}_r$ 对应固定温度 $$L^2$$ 范数 $$r$$ 的轨线极限集合。

然而，这一框架遗留根本性问题：(a) 温度投影 $P_\theta \mathcal{A} = \{ \theta \in L^2 : \exists u \in H,\, (u,\theta) \in \mathcal{A} \}$ 是否在 $$L^2$$ 中有内点？(b) 是否为真子集？(c) 是否稠密？更深层疑问是：尽管 $\mathcal{A}$ 整体无限维，其分层 $\mathcal{A}_r$ 或 $\mathcal{H}_r$ 是否可能具有限维性（如有限分形维）？这些问題直指弱 $\sigma$ -吸引子的本质——它究竟是一个“贫瘠”的奇异集，还是能遍历整个温度空间的“丰满”对象？本文旨在严格回答这些开放问题，核心在于突破传统吸引子理论对强紧性的依赖，转而利用拓扑度理论与Galerkin逼近的精细结构，揭示 $\mathcal{A}$ 在温度方向上的满射性及其在速度方向上的无限维几何结构。

2. 主要定理或主要结果

本文核心结论为以下两个定理，均在 $\Omega = \mathbb{T}^2$ 周期边界、零平均条件（即 $\int_{\Omega} u \, dx = 0$ , $\int_{\Omega} \theta \, dx = 0$ ）下成立：

定理1.4（温度投影满射性）：弱 $\sigma$ -吸引子 $\mathcal{A}$ 在温度分量上的投影满足

P_\theta \mathcal{A} = L^2(\Omega).

即对任意 $\theta_0 \in L^2(\Omega)$ ，存在 $u_0 \in H$ ，使得初值 $(u_0, \theta_0)$ 属于 $\mathcal{A}$ ，亦即存在全局有界完整轨线 $(u(t), \theta(t))$ 满足(1.1)且 $(u(0), \theta(0)) = (u_0, \theta_0)$ 。

推论3.5（分层结构精确刻画）：对任意 $$r > 0$$ ，强 $\omega$ -极限集 $\mathcal{H}_r$ 的温度投影满足

P_\theta \mathcal{H}_r = \{ \theta \in L^2(\Omega) : \|\theta\|_{L^2} = r \}.

该结论由 $\mathcal{H}_r \cap \mathcal{H}_{r'} = \emptyset$ （ $r \ne r'$ ）及 $P_\theta \mathcal{H}_r \subset P_\theta \tilde{B}_r$ 直接导出。

定理5.1（速度投影无限维性）：对任意 $$r > 0$$ ，局部吸引子 $\mathcal{A}_r$ 在速度分量上的投影 $P_u \mathcal{A}_r$ 包含一个无限维Hilbert椭球：

\mathcal{E}_r^H := \left\{ \left(0, (-\partial_{x_1}^2)^{-1} \frac{\theta_H}{\nu} \right) \in H : \theta_H \in L^2_{0,H}, \, \|\theta_H\|_{L^2} \le r \right\} \subset P_u \mathcal{A}_r,

其中 $L^2_{0,H}$ 表示仅依赖水平变量 $$x_1$$ 的零平均 $$L^2$$ 函数空间。由此立即推出： $P_u \mathcal{A}_r$ 及 $P_u \mathcal{H}_r$ 在 $$H$$ 中的Hausdorff维数与分形维数均为无穷大；且 $\mathcal{A}_r$ 在 $H \times L^2$ 中非紧致（因 $\mathcal{E}_r^H$ 非列紧），故其分形维数亦为无穷大。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文证明的核心障碍在于：经典吸引子理论依赖的强紧性（asymptotic compactness）在 $$L^2$$ 强拓扑下完全缺失，而弱 $\sigma$ -吸引子的构造本身仅保证弱拓扑下的紧性。因此，直接分析 $\mathcal{A}$ 的投影性质几乎不可行。作者的真正创新点在于构建一套“有限维逼近—拓扑度论证—极限传递”的三重技术框架，其关键工具与步骤如下：

第一步：Galerkin投影系统的构造与一致性耗散分析。对每个 $N \in \mathbb{N}$ ，定义正交投影 $P_N : L^2 \to X_N = \text{span}\{\phi_1, \dots, \phi_N\}$ （ $\{\phi_j\}$ 为 $-\Delta$ 的特征函数），并研究修正系统：

\begin{cases} \partial_t u + (u \cdot \nabla) u + \nabla p - \nu \Delta u = \theta e_2, \\ \partial_t \theta + P_N(u \cdot \nabla \theta) = 0, \\ \nabla \cdot u = 0. \end{cases} \tag{3.1}_N

关键观察是：(3.1) $$_N$$ 与原系统(1.1)共享相同的 $$L^2$$ 范数守恒律 $\|\theta(t)\|_{L^2} = \|\theta_0\|_{L^2}$ （因 $\langle P_N(u \cdot \nabla \theta), \theta \rangle = 0$ ），且速度能量估计形式一致（见(3.10)）。这确保了其弱 $\sigma$ -吸引子 $\mathcal{A}_N \subset H \times X_N$ 具有与 $\mathcal{A}$ 类似的丰富结构，尤其是 $\mathcal{A}_N$ 在有限维空间 $$X_N$$ 中的投影 $P_\theta \mathcal{A}_N$ 是良定义的。

第二步：Brouwer度的同伦不变性应用。这是证明的枢纽。作者将 $P_\theta \mathcal{A}_N$ 的满射性转化为一个映射度问题：构造连续映射 $F_N : \overline{B}_N \to X_N$ ，其中 $\overline{B}_N$ 是 $$X_N$$ 中半径为 $$r$$ 的闭球， $$F_N$$ 将初值 $\theta_0 \in \overline{B}_N$ 映射至其对应轨线在某时刻 $$t_N$$ 的温度值 $\theta(t_N)$ 。通过验证 $$F_N$$ 在边界 $\partial \overline{B}_N$ 上同伦于恒等映射（利用(3.1) $$_N$$ 的解的存在唯一性及 $$L^2$$ 守恒），并应用Brouwer度的同伦不变性定理（[2,6]），得到 $\deg(F_N, \overline{B}_N, \theta_0) = 1$ 对所有 $\theta_0 \in \text{int}(\overline{B}_N)$ 成立，从而 $F_N(\overline{B}_N) \supset \text{int}(\overline{B}_N)$ 。取 $N \to \infty$ ，结合 $X_N \nearrow L^2$ 的稠密性，最终推出 $P_\theta \mathcal{A} = L^2$ 。

第三步：水平解（Horizontal solutions）的显式构造与椭球嵌入。为证明速度投影的无限维性，作者复用[3]中构造的“水平解”：设 $\theta_H = \theta_H(x_1) \in L^2_{0,H}$ ，则 $u = (0, (-\partial_{x_1}^2)^{-1} \theta_H / \nu)$ 满足 $\nabla \cdot u = 0$ 且 $\Delta u = (0, \theta_H / \nu)$ 。代入(1.1)验证，当 $$u_2$$ 仅依赖 $$x_1$$ 时，非线性项 $(u \cdot \nabla) u = 0$ ，方程退化为线性系统，其解轨线有界且属于 $\mathcal{A}_r$ 。由此直接构造出无限维椭球 $\mathcal{E}_r^H$ 嵌入 $P_u \mathcal{A}_r$ ，规避了复杂紧性论证。

4. 与之前工作的比较

本文与既有工作（特别是[3]和[11]）的推进体现在三个根本维度：

1. 假设条件的彻底放宽与结论强度的跃升。[3]首次提出弱 $\sigma$ -吸引子并证明其存在性与基本结构（如可数分解、弱吸引性），但对 $P_\theta \mathcal{A}$ 的性质仅给出猜想（是否为空内点、是否真子集）。[11]进一步揭示“薄饼状”分层结构 $\mathcal{A} = \bigcup_{r\ge0} \mathcal{H}_r$ ，但仍停留在 $P_\theta \mathcal{H}_r \subset \{\|\theta\|_{L^2}=r\}$ 的包含关系层面。本文则彻底解决该猜想，证明 $P_\theta \mathcal{A} = L^2$ ，即温度投影是满射而非真子集——这是一个质的飞跃，表明弱 $\sigma$ -吸引子在温度方向上“饱满”到极致，与经典吸引子（通常为紧集、投影为真子集）形成鲜明对比。此结论不依赖于任何额外小参数或正则性假设（如 $\theta_0 \in H^1$ ），仅需 $\theta_0 \in L^2$ ，故适用范围最广。

2. 时间尺度与动力学内涵的重新诠释。[3]中吸引子的构造基于全局有界轨线的存在性，隐含时间尺度为 $t \in \mathbb{R}$ （双向无限）。本文定理1.4的证明虽仍基于完整轨线，但其核心工具（Brouwer度）本质上是静态拓扑论证，不涉及长时间渐近行为的具体速率（如指数衰减率）。这表明：弱 $\sigma$ -吸引子的满射性是一个“结构性”而非“渐近性”现象，源于输运方程的线性保范性质与非线性耦合的兼容性，而非耗散主导的收敛过程。相比之下，[11]对 $\mathcal{H}_r$ 的分析侧重于强拓扑下的极限行为，本文则通过弱拓扑与度理论架起了二者桥梁。

3. 代价与局限：强紧性的不可恢复性。本文的深刻结论以明确承认强紧性的彻底丧失为代价。推论指出： $P_\theta \mathcal{A}$ 在 $$L^2$$ 强拓扑下不可能是紧的（因 $$L^2$$ 本身非紧），且 $\mathcal{A}_r$ 在 $H \times L^2$ 中非紧致，故其分形维数必为无穷大。这与[11]中关于速度分量 $$u$$ 在 $$V$$ （ $$H^1$$ ）中渐近紧致的结论形成互补——温度与速度的紧性命运被彻底分离。此外，本文未解决 $\mathcal{A}$ 在 $H \times L^2$ 弱拓扑下的维数问题（如弱分形维），也未探讨随机扰动或参数依赖性等推广方向，这些是未来工作的自然延伸。从提供内容中无法确认本文结果是否可推广至三维情形或带部分热扩散（ $\kappa > 0$ 但极小）的临界情形。

2. 不可压 Navier-Stokes 方程强解在无穷远处的高阶渐近展开

High Order Asymptotic Expansion at Infinity for Strong Solutions to Incompressible Navier-Stokes Equations

作者: Weiquan Chen, Zhongmin Qian, Shuai Xi

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-24

arXiv ID: 2607.22146v1

摘要翻译: 我们讨论了全空间上不可压 Navier-Stokes 方程（速度方程）与其涡量形式之间一个有趣的差异。我们证明：若初始涡量具有 Gaussian 型上界，则该上界在强解的最大存在时间区间内得以保持。然而，速度方程并不具备这一性质。事实上，由“良好局域化”初值所生成的 $$L^p$$ -强解在无穷远处的一般行为，形如 Laplace 算子基本解的导数（阶数 $\geq3$ ）。为证明这一点，我们在最大存在时间区间内导出了一个干净的渐近展开：

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2607.22146v1

1. 研究对象和背景

本文研究全空间 $\mathbb{R}^d$ （ $d \geq 2$ ）上不可压缩Navier-Stokes方程的强解在空间无穷远处的渐近结构，核心对象是速度场 $u = (u^1,\dots,u^d)$ 满足

\begin{cases} \partial_t u + \operatorname{div}(u \otimes u) + \nabla p = \nu \Delta u, \\ \operatorname{div}\, u = 0, \end{cases} \quad (x,t) \in \mathbb{R}^d \times [0,T_{\max}),

其中 $\nu > 0$ 为运动粘性系数， $$p$$ 为未知压力。该系统在流体力学中具有根本地位，其数学难点在于非线性项 $\operatorname{div}(u \otimes u)$ 与不可显式消去的压力梯度 $\nabla p$ 的耦合。为规避压力项，常转而研究涡量 $\omega = \operatorname{curl} u$ 满足的方程：在 $$d=2$$ 时为 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega - \nu \Delta \omega = 0$ ；在 $$d=3$$ 时为 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega - \nu \Delta \omega = \omega \cdot \nabla u$ 。两类方程虽等价于初值问题，但PDE结构迥异：涡量方程不含压力，且在二维情形下为标量对流-扩散型；而速度方程因Leray投影引入非局部算子，导致其无穷远行为受全局动量矩主导。

本文聚焦于“高斯局域化”初值——即满足 $|u_0(x)| \leq C G_{\nu \sigma}(x)$ 或 $|\omega_0(x)| \leq \kappa G_{\nu \sigma}(x)$ 的初值，其中 $G_{\nu \sigma}(x) = (4\pi \nu \sigma)^{-d/2} e^{-|x|^2/(4\nu \sigma)}$ 为热核。这一设定既涵盖紧支初值，亦包含物理上自然的高斯型初始扰动。已有工作表明：对涡量方程，若初值 $\omega_0$ 具多项式衰减（如 $\omega_0 \in L^1 \cap L^\infty$ ），则解 $\omega(t)$ 在有限时间内保持同类衰减（见[GW02a,GW02b]）；但对高斯衰减，此前仅知在二维小初值情形下成立，三维情形甚至缺乏直至最大存在时间 $T_{\max}$ 的多项式衰减估计。对速度方程，经典结果（如[Miy00,HX01]）指出：由“良好局域化”初值生成的强解满足临界空间衰减 $|u(x,t)| = O(|x|^{-d-1})$ ，且该速率不可改进——除非初值满足正交性条件 $\int_{\mathbb{R}^d} x_i u_j^0(x)\,dx = 0$ 及 $\int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} u_i u_j\,dx ds = c(t) \delta_{ij}$ （见[MS01,BM02]）。L. Brandolese与F. Vigneron [BV07] 首次给出一阶渐近展开：

u(x,t) = e^{\nu t \Delta} u_0(x) - |S^{d-1}|^{-1} \sum_{i,j} \nabla \left( \frac{d x_i x_j - \delta_{ij} |x|^2}{|x|^{d+2}} \right) \int_0^t \langle u_i, u_j \rangle_{L^2} \, ds + o_t(|x|^{-d-1}),

揭示了速度场在无穷远处表现为拉普拉斯基本解 $\Gamma$ 的二阶导数的线性组合，系数为动量矩 $\langle u_i, u_j \rangle_{L^2}$ 。然而，该展开仅在小时间区间成立，且未推广至高阶。本文旨在填补两大空白：（1）建立涡量方程在任意维 $$d=2,3$$ 下、对高斯初值、直至最大存在时间 $T_{\max}$ 的高斯衰减继承性；（2）对速度方程，构造一个直至 $T_{\max}$ 成立的任意阶（具体为 $$d$$ 阶）渐近展开，其主部由 $\Gamma$ 的 $\geq 3$ 阶导数构成，系数为高阶动量矩 $M^{i,j}_\alpha(t) = \int_{\mathbb{R}^d} y^\alpha u^i(y,t) u^j(y,t)\,dy$ ，从而彻底刻画速度场在无穷远处的精细代数结构。

2. 主要定理或主要结果

本文证明了两个核心定理：

定理1.1（涡量继承高斯衰减）：设 $$d = 2,3$$ ， $\omega$ 是由初值 $\omega_0 \in L^\infty$ （满足 $|\omega_0(x)| \leq \kappa G_{\nu \sigma}(x)$ ）生成的涡量方程（1.2）的强解，其最大存在时间为 $0 < T_{\max} \leq \infty$ 。则对任意 $0 < \delta \leq 1$ ，存在仅依赖于 $\delta$ 的常数 $C_\delta > 0$ ，使得对所有 $(x,t) \in \mathbb{R}^d \times [0, T_{\max})$ ，有

|\omega(x,t)| \lesssim \kappa \left( \frac{C_\delta t \|u\|_{\infty,t}^2}{\nu} \right)^{C_\delta t \|u\|_{\infty,t}^2 / \nu} G_{(1+\delta)\nu(\sigma+t)}(x),

其中 $\|u\|_{\infty,t} = \|u\|_{L^\infty((0,t)\times \mathbb{R}^d)}$ 。该估计表明高斯衰减被完整继承，且衰减尺度随时间线性增长至 $(1+\delta)\nu(\sigma+t)$ ，代价是指数因子中出现 $\|u\|_{\infty,t}^2$ 的二次增长。

定理1.2（速度高阶渐近展开）：设 $d \geq 2$ ， $$u$$ 是由初值 $u_0 \in L^\infty$ （满足 $|u_0(x)| \leq C G_{\nu \sigma}(x)$ ）生成的速度方程（1.1）的强解，其最大存在时间为 $0 < T_{\max} \leq \infty$ 。则对任意 $(x,t) \in B_1(0)^c \times (0, T_{\max})$ ，有

u(x,t) = -\sum_{|\alpha|=0}^{d-1} \frac{(-1)^{|\alpha|}}{\alpha!} \nabla \partial^\alpha K_{i,j}(x) \int_0^t M^{i,j}_\alpha(s)\,ds + R(x,t),

其中 $K_{i,j} = \partial_i \partial_j \Gamma$ ， $\Gamma$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上拉普拉斯算子的基本解（即 $-\Delta \Gamma = \delta_0$ ）， $M^{i,j}_\alpha(t) = \int_{\mathbb{R}^d} y^\alpha u^i(y,t) u^j(y,t)\,dy$ ，并采用Einstein求和约定对 $$i,j$$ 求和。余项 $$R(x,t)$$ 满足：对任意 $[0,T] \subset [0,T_{\max})$ ，有

\sup_{t \in [0,T]} |R(x,t)| = O(|x|^{-2d-1}), \quad \text{当 } |x| \to \infty.

该展开的阶数为 $$d$$ ，主部包含 $\nabla \partial^\alpha \partial_i \partial_j \Gamma$ （ $|\alpha| \leq d-1$ ），即拉普拉斯基本解的 $|\alpha|+2 \geq 2$ 阶导数再作用梯度，故整体为 $\geq 3$ 阶齐次函数，其齐次度为 $-(d+|\alpha|+2)+1 = -(d+|\alpha|+1)$ ，最低阶项（ $|\alpha|=0$ ）恰为 $O(|x|^{-d-1})$ ，印证了临界衰减率。推论1.3进一步指出：对固定 $t \in (0,T_{\max})$ ， $u(x,t) = o_t(|x|^{-d-1})$ 当且仅当 $\langle u_i, u_j \rangle_{L^2((0,t)\times \mathbb{R}^d)} = \|u\|_{L^2((0,t)\times \mathbb{R}^d)}^2 / d \cdot \delta_{ij}$ ，即动量矩张量在时间-空间 $$L^2$$ 内积下为各向同性。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明框架围绕两大技术主线展开，其创新性远超既有方法：

第一，涡量高斯衰减的迭代控制：针对涡量方程，作者摒弃了标准的能量或加权范数估计，而设计了一个精巧的迭代序列 $\{\Omega_n\}$ ：

\Omega_0(t) = G_{\nu t} * \omega_0, \quad \Omega_{n+1}(t) = \Omega_0(t) + \int_0^t \partial_\ell G_{\nu(t-s)} * (-u_\ell \Omega_n + \Omega_{n,\ell} u)\,ds.

该序列的构造本质是将非线性项 $-u \cdot \nabla \omega + \omega \cdot \nabla u$ 视为关于 $\omega$ 的线性算子，并利用速度 $$u$$ 的有界性（由 $\omega$ 的 $L^{d+1}$ 范数及Biot-Savart律保证）将其纳入热半群的卷积框架。关键突破在于对高斯权重的处理：定义加权范数 $\|f\|_{G(t)} = \sup_x \big( G_{(1+\delta)\nu(\sigma+t)}(x)^{-1} |f(x,t)| \big)$ ，并证明该范数下迭代误差 $\|\Omega_{n+1} - \Omega_n\|_{G(t)}$ 满足几何衰减 $\lesssim (4C_\delta \|u\|_{\infty,t} \sqrt{t/\nu})^n$ 。此衰减率的获得依赖于热核梯度的高斯型点态估计： $|\nabla G_{\nu(t-s)}(x)| \leq C_\delta (\nu(t-s))^{-1/2} G_{(1+\delta)\nu(t-s)}(x)$ ，以及热核卷积的尺度不变性 $G_{(1+\delta)\nu(t-s)} * G_{(1+\delta)\nu(\sigma+s)} = G_{(1+\delta)\nu(\sigma+t)}$ 。这使得整个迭代过程在加权空间中封闭，最终通过一致收敛得到定理1.1。

第二，速度高阶展开的奇点解析与区域分解：对速度方程，作者彻底规避了[BV07]中依赖于非线性项分解 $u\otimes u = (\int u\otimes u) G + r$ 的方法，转而采用一种基于Poisson势二阶导数的温和解表示（见公式(3.2)与(3.9)）：

u(x,t) = G_{\nu t} * u_0(x) - \int_0^t \nabla \partial_i \partial_j \Gamma * (u^i u^j)(\cdot,s)\,ds + \text{低阶修正}.

此表示的关键在于，通过分部积分将Leray投影下的Riesz变换转化为更易处理的 $\nabla \partial_i \partial_j \Gamma$ 卷积，其奇异性仅为 $|x|^{-d-2}$ ，远弱于Riesz核的 $|x|^{-d}$ 。随后，作者对主积分 $\nabla \partial_i \partial_j \Gamma * (u^i u^j)$ 进行精细的区域分解：在 $|y| \leq |x|/2$ 的“安全区”，对 $\nabla \partial_i \partial_j \Gamma(x-y)$ 进行关于 $$y$$ 的 $$d-1$$ 阶Taylor展开，得到主部 $\sum_{|\alpha|\leq d-1} \frac{(-1)^{|\alpha|}}{\alpha!} \nabla \partial^\alpha \partial_i \partial_j \Gamma(x) \int y^\alpha u^i u^j\,dy$ ；而在 $$|y| > |x|/2$$ 的“奇异区”，利用 $$u$$ 及其梯度的时空衰减估计（命题3.4与3.5，形如 $|u(x,t)| + \sqrt{\nu t} |\nabla u(x,t)| \leq h(t) \langle x \rangle^{-p}$ ）证明其贡献仅为 $O(|x|^{-2d-1})$ 。这一策略的核心引理是引理3.11，它处理形如 $\nabla G_{\nu \tau} * \partial^\alpha \partial_i \partial_j \Gamma$ 的卷积，其精妙之处在于最终计算中出现的精细相消：所有高于一阶的Taylor余项在积分后均因奇偶性或正交性而消失，唯有一阶项幸存，从而保证了展开式的精确阶数。为使此区域分解在 $[0,T_{\max})$ 上全局有效，作者还独立建立了直至 $T_{\max}$ 的速度与梯度的加权衰减估计，其证明同样采用迭代思想，与涡量估计形成方法论上的呼应。

4. 与之前工作的比较

本文在多个维度上显著推进了既有理论：

1. 时间尺度与适用范围：此前所有关于速度场空间渐近展开的工作均局限于小时间区间。[BV07]的展开仅对 $t \in (0,T_0)$ 成立，其中 $$T_0$$ 依赖于初值大小；[KR11]的任意阶Fourier形式展开亦未声明其全局性；[Bra22]的二维极坐标展开及[MT24,Top25]的加权Sobolev空间方法，其局部适定性结论本身即隐含时间局限性。本文定理1.2首次将高阶渐近展开的有效性延拓至解的整个最大存在时间区间 $[0,T_{\max})$ ，无论 $T_{\max}$ 是有限还是无限。这一推进的代价是要求初值为高斯局域化（或至少多项式局域化，见命题3.7），而非一般 $$L^p$$ 初值，但此假设在物理模型中极为自然。

2. 展开阶数与结构性：[BV07]仅给出一阶展开（对应 $|\alpha|=0$ ），其主部为 $\nabla \partial_i \partial_j \Gamma$ 的线性组合。本文将阶数提升至 $$d$$ 阶，主部明确包含所有 $|\alpha| \leq d-1$ 的 $\nabla \partial^\alpha \partial_i \partial_j \Gamma$ 项，系数为高阶动量矩 $M^{i,j}_\alpha(t)$ 。这不仅提供了更精细的无穷远描述，更揭示了速度场衰减的代数结构：其主导项由初值的 $$L^1$$ 矩（ $M^{i,j}_0$ ）决定，而更高阶矩（ $M^{i,j}_\alpha$ ， $|\alpha|>0$ ）则调控次主导项。相比之下，[KR11]的Fourier形式无法显式写出 $$x$$ -空间表达式，[Bra22]的极坐标展开仅适用于二维且形式复杂，[MT24]的球面调和展开虽具一般性，但其系数 $a_n(\theta,t)$ 缺乏像 $M^{i,j}_\alpha(t)$ 这样清晰的物理与动力学诠释。

3. 涡量衰减的强度与普适性：在涡量方面，此前工作（如[GW02a,GW02b]）仅对二维小初值或三维小初值建立了多项式衰减（如 $|\omega(x,t)| \lesssim (1+|x|)^{-k}$ ）。本文定理1.1是首个在任意维 $$d=2,3$$ 下、对任意大小的高斯初值、且直至 $T_{\max}$ 成立的高斯衰减估计。其代价体现在估计中的指数因子 $\left( \frac{C_\delta t \|u\|_{\infty,t}^2}{\nu} \right)^{C_\delta t \|u\|_{\infty,t}^2 / \nu}$ ，当 $\|u\|_{\infty,t}$ 增长过快时，该因子可能爆炸，暗示高斯衰减的保持与速度的全局有界性紧密相关。此结果亦可推广至其他局域化类型（如多项式、指数），但文中未显式展开比较。

4. 方法论革新：本文完全绕开了[BV07]依赖的非线性项分解（1.4）及[Sch91]的 $$L^2$$ 下界技术，也未采用[MT24]所需的加权Sobolev空间框架。其核心工具——基于Poisson势二阶导数的温和解表示与区域分解策略——为处理Navier-Stokes方程的无穷远行为提供了新范式，其关键在于对奇点的精准控制与Taylor展开中相消机制的发掘。从提供内容中无法确认该方法是否可直接推广至其他非线性色散方程，但其思想对具类似非局部结构的PDE具有启发性。

3. 半空间中等熵可压 Navier–Stokes 方程关于尺度不变量小性的整体适定性

Global well-posedness of isentropic compressible Navier–Stokes equations with smallness on scaling-invariant quantity in a half-space

作者: Lin Xu, Xin Zhong

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-24

arXiv ID: 2607.21926v1

摘要翻译: 我们研究上半空间中三维等熵可压 Navier–Stokes 方程在滑移边界条件下的初边值问题。我们证明了在真空存在及大振荡情形下强解的整体存在性与唯一性。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2607.21926v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维上半空间 $\Omega \coloneqq \mathbb{R}^3_+ = \{x = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_3 > 0\}$ 中等熵可压缩Navier-Stokes方程的初边值问题，其控制方程为

\begin{cases} \rho_t + \operatorname{div}(\rho u) = 0, \\ (\rho u)_t + \operatorname{div}(\rho u \otimes u) - \mu \Delta u - (\mu + \lambda) \nabla \operatorname{div} u + \nabla P(\rho) = 0, \end{cases} \quad (t,x) \in \mathbb{R}_+ \times \Omega,

其中密度 $\rho = \rho(x,t) \geq 0$ 、速度场 $$u = (u_1,u_2,u_3)(x,t)$$ 为未知函数；压力由多方律给出： $P(\rho) = A \rho^\gamma$ ，取 $$A=1$$ ，且 $\gamma > 1$ ；粘性系数满足物理约束 $\mu > 0$ 、 $2\mu + 3\lambda \geq 0$ 。初始数据为 $(\rho, \rho u)(x,0) = (\rho_0, \rho_0 u_0)(x)$ ，远场行为为 $(\rho,u)(x,t) \to (0,0)$ 当 $|x| \to \infty$ 。边界 $\partial \Omega = \{x_3 = 0\}$ 上施加滑移边界条件

u = (0,0,-1), \quad u \cdot \nu = 0, \quad \operatorname{curl} u \times \nu = 0,

即 $$u_3 = 0$$ 且 $\partial_{x_3} u_1 = \partial_{x_3} u_2 = 0$ 在 $\partial \Omega$ 上成立。该条件亦称Hodge边界条件或理想壁面条件，其几何本质在于法向速度为零且切向涡度无穿透。

该模型在流体力学中具有根本意义：半空间是描述近壁流动（如边界层、固壁附近流动、平面界面影响下的流体运动）的基本几何模型，介于全空间与有界域之间——既保留非紧性以刻画远场衰减，又引入真实边界效应。数学上，真空（即 $\inf \rho_0 = 0$ ）的存在导致动量方程退化，破坏标准抛物型理论的适用性；而大振荡（即 $\|\rho_0\|_{L^\infty}$ 可任意大）则使线性化与扰动方法失效。已有工作可分为三类：(i) 非真空小扰动框架（Matsumura–Nishida），要求 $\rho_0 \geq \underline{\rho} > 0$ ；(ii) 临界空间理论（Danchin等），基于抛物标度 $\rho_\kappa(t,x) = \rho(\kappa^2 t, \kappa x),\, u_\kappa(t,x) = \kappa u(\kappa^2 t, \kappa x)$ ，但该标度与 $P(\rho)=\rho^\gamma$ 不相容；(iii) 真空小能量框架（Huang–Li–Xin），其小性条件 $E(0) = \int_\Omega \left(\frac{1}{2} \rho_0 |u_0|^2 + \frac{1}{\gamma-1} \rho_0^\gamma \right) dx \ll 1$ 缺乏标度不变性，无法反映方程内在对称性。关键障碍在于：在有界域或半空间中，经典标度变换通常破坏边界条件或几何结构，致使难以构造真正标度不变的先验控制量。例如，No-slip条件 $u|_{\partial \Omega}=0$ 虽与标度兼容，但在真空情形下导致高阶估计中涡度与有效粘性通量的边界项失控；Robin型滑移条件 $\operatorname{curl} u \times \nu = -k u$ 则因摩擦系数 $$k>0$$ 固定而破坏标度不变性。因此，尽管Cauchy问题已建立标度不变整体理论（Wen, Adv. Math. 482 (2025)），半空间情形仍长期悬而未决：缺乏一个既兼容 $\mathbb{R}^3_+$ 几何、又保持滑移边界条件、且能控制真空与大振荡的标度不变小量。本文旨在填补这一空白，确立首个半空间中真空情形下的标度不变整体适定性结果。

2. 主要定理或主要结果

定理1.1（全局强解存在唯一性）：设 $q \in (3,6)$ ，初始数据 $(\rho_0 \geq 0, u_0)$ 满足 $\rho_0 \in L^\gamma \cap H^1 \cap W^{1,q}(\Omega)$ 、 $u_0 \in D^1(\Omega)$ 、 $\sqrt{\rho_0} u_0 \in L^2(\Omega)$ 。令 $\bar{\rho} \coloneqq \|\rho_0\|_{L^\infty}$ ，定义标度不变初值量 $$ \mathcal{S}0 \coloneqq \left[ \bar{\rho}^3 \left( \frac{1}{2} |\sqrt{\rho_0} u_0|{L^2}^2 + \frac{1}{\gamma-1} |P(\rho_0)|_{L^1} \right)

\bar{\rho}^{\frac{3-\gamma}{2}} \right] \left( |\nabla u_0|{L^2}^2 + |P(\rho_0)|{L^2}^2 \right). $则存在仅依赖于 $\mu,\lambda$ 的常数 $\varepsilon_0 > 0$，使得当 $\mathcal{S}_0 \leq \varepsilon_0$ 时，初边值问题 (1.1)–(1.4) 存在唯一全局强解 $(\rho,u)$，满足定义1.1所列正则性。特别地，$\mathcal{S}_0$ 在标度变换$ \rho_\ell(x,t) = \ell^{\frac{2}{\gamma+1}} \rho(\ell x, \ell^{\frac{2\gamma}{\gamma+1}} t), \quad u_\ell(x,t) = \ell^{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}} u(\ell x, \ell^{\frac{2\gamma}{\gamma+1}} t) $$ 下严格不变，且该标度保持 $\Omega$ 、滑移边界条件及远场真空。推论1.2指出：当 $1 < \gamma < \frac{3}{2}$ 时， $\mathcal{S}_0$ 的小性不要求初始能量 $$E(0)$$ 小；相反，允许 $$E(0)$$ 较大，只要 $\bar{\rho}$ 充分小且其余因子受控——这与Hong–Hou–Peng–Zhu (2024) 在近等温 ( $\gamma \to 1^+$ ) 情形下的大能量结果一致。此外， $\varepsilon_0$ 与初始数据无关，仅依赖于粘性参数，且 $\mathcal{S}_0$ 结构比Wen (2025) 的 $S_0(\rho_0,u_0)$ 和Xu–Zhong (2025) 的 $C_{\mu,\lambda,\gamma}(1+\|\rho_0\|_{L^\infty})^3(\cdots)$ 更简洁，不含高次修正项 $1 + \|\rho_0\|_{L^\infty}^{3+\gamma} (\|\sqrt{\rho_0}u_0\|_{L^2}^2 + \|\rho_0^\gamma\|_{L^1})^2$ 。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心障碍有三：(1) 真空导致动量方程退化， $\rho$ 的 $L^\infty$ 上界无法由能量直接控制；(2) 半空间边界破坏标准椭圆估计的齐次性，尤其涡度 $\operatorname{curl} u$ 的第三分量 $\omega_{1,2} = \partial_{x_1} u_2 - \partial_{x_2} u_1$ 不满足Dirichlet条件；(3) 标度不变性要求所有先验估计必须在 $\rho_\ell,u_\ell$ 下协变，传统时间加权估计易破坏此结构。作者的创新点在于构建了三层次协同控制框架：

第一，标度不变低阶估计（Proposition 3.1）：关键突破是将Zlotnik不等式沿粒子轨迹应用，并引入两个标度不变控制量： $\bar{\rho}^{\frac{3-\gamma}{2}} D(t)$ 与 $\bar{\rho}^3 E(0) D(t)$ ，其中 $D(t) \coloneqq \int_\Omega (|\nabla u|^2 + P^2) dx$ 。前者用于吸收压力项 $\int_{t_1}^{t_2} \|\nabla u\|_{L^2} \|P\|_{L^6} d\tau$ （因 $\|P\|_{L^6} \lesssim \|\nabla P\|_{L^2} \lesssim \|\nabla u\|_{L^2} + \|\rho \dot{u}\|_{L^2}$ ），后者则通过能量耗散控制密度上界。二者共同确保 $\|\rho\|_{L^\infty} \leq 2\bar{\rho}$ 一致成立。

第二，半空间兼容的涡度与有效粘性通量估计（Lemma 2.5）：利用半空间的平坦性（ $\nu = (0,0,-1), \nabla \nu = 0$ ），将涡度张量 $\omega_{j,k}$ 分解。对 $\omega_{1,3}, \omega_{2,3}$ ，由滑移条件 $u_3 = \partial_{x_3} u_1 = \partial_{x_3} u_2 = 0$ 直接导出Dirichlet边界，应用引理2.2得 $\|\nabla \omega_{1,3}\|_{L^p} + \|\nabla \omega_{2,3}\|_{L^p} \lesssim \|\rho \dot{u}\|_{L^p}$ 。对 $\omega_{1,2}$ ，作者创新性地在切向变量 $$(x_1,x_2)$$ 上建立椭圆方程： $\mu \Delta_{x_1,x_2} \omega_{1,2} = \partial_{x_2}(\rho \dot{u}_1 - \mu \partial_{x_3} \omega_{1,3}) - \partial_{x_1}(\rho \dot{u}_2 - \mu \partial_{x_3} \omega_{2,3})$ ，再结合二维Calderón–Zygmund估计，得到 $\|\nabla \omega_{1,2}\|_{L^p} \lesssim \|\rho \dot{u}\|_{L^p}$ 。由此导出 $\|\nabla F\|_{L^p} + \|\nabla \operatorname{curl} u\|_{L^p} \lesssim \|\rho \dot{u}\|_{L^p}$ ，其中 $F = (2\mu + \lambda) \operatorname{div} u - P$ 为有效粘性通量。

第三，压力高阶可积性与时间加权估计（Lemma 3.3）：核心工具是压力方程的微分不等式：对任意 $p \geq 2$ ，有

\frac{d}{dt} \|P\|_{L^p}^p + \frac{p\gamma - 1}{2(2\mu + \lambda)} \|P\|_{L^{p+1}}^{p+1} \leq C \|F\|_{L^{p+1}}^{p+1}.

取 $$p=2$$ 得 $\frac{d}{dt} \|P\|_{L^2}^2 + \frac{2\gamma - 1}{2(2\mu + \lambda)} \|P\|_{L^3}^3 \leq C \|F\|_{L^3}^3$ ，再与 $\|\rho \dot{u}\|_{L^2}^2$ 的能量估计联立，闭合 $$D(t)$$ 控制。时间加权估计依赖于 $\int_0^T \|\nabla u\|_{L^\infty} dt < \infty$ ，其证明利用对数型不等式 $\|\nabla u\|_{L^\infty} \lesssim \|\nabla u\|_{L^2}^{1/2} \|\nabla^2 u\|_{L^2}^{1/2} \log^{1/2}(e + \|\nabla^2 u\|_{L^2})$ 及 $(-\Delta)^{-1} \operatorname{div}$ 作用于动量方程所得恒等式 $P = (-\Delta)^{-1} \operatorname{div}(\rho u)_t + (-\Delta)^{-1} \operatorname{div} \operatorname{div}(\rho u \otimes u) + (2\mu + \lambda) \operatorname{div} u$ 。滑移条件保证 $\dot{u}$ 本身满足相同边界条件，使边界项 $\partial_3 u_k \partial_k u_j + \partial_k u_3 \partial_k u_j - \operatorname{div} u \, \partial_3 u_j$ 等得以消失。

4. 与之前工作的比较

本文与既有工作的比较可从四个维度展开：

标度结构与小性条件：Wen (2025) 对Cauchy问题构造的 $S_0(\rho_0,u_0)$ 含高次修正项 $[1 + \|\rho_0\|_{L^\infty}^{3+\gamma} (\|\sqrt{\rho_0}u_0\|_{L^2}^2 + \|\rho_0^\gamma\|_{L^1})^2]$ ，而本文 $\mathcal{S}_0$ 无此类项，结构更简洁且小性独立于初始数据。Xu–Zhong (2025) 的量含粘性参数显式依赖 $C_{\mu,\lambda,\gamma}$ ，而本文 $\varepsilon_0$ 仅依赖 $\mu,\lambda$ ，更符合物理直觉。更重要的是，Wen与Xu–Zhong的标度虽在全空间成立，但无法自然延拓至半空间——其边界映射不保持滑移条件；本文首次验证 $\rho_\ell,u_\ell$ 严格保持 $\mathbb{R}^3_+$ 与滑移边界，奠定半空间标度理论基础。

边界条件兼容性：Duan (2017) 在半空间对滑移条件建立全局解，但小性基于初始能量 $E(0) \ll 1$ ，非标度不变；Perepelitsa (2007) 对No-slip条件的结果要求密度远离真空。本文证明滑移条件是唯一与远场真空标度兼容的物理边界条件：No-slip虽标度不变（Remark 1.3），但导致 $\operatorname{curl} u$ 无齐次边界，高阶估计中出现不可控边界积分；Robin型滑移 $\operatorname{curl} u \times \nu = -k u$ 因 $$k>0$$ 固定而破坏标度不变性（Remark 1.4）。本文利用半空间平坦性消除曲率贡献（Remark 1.5），使 $\dot{u} \cdot \nu = 0$ 严格成立，这是有界域无法实现的关键简化。

适用范围与参数限制：Huang–Li–Xin (2012) 的小能量结果要求 $\gamma \in (1,\frac{6}{5}]$ 以控制 $\|P\|_{L^3}$ ，而本文 $\mathcal{S}_0$ 中 $\bar{\rho}^{\frac{3-\gamma}{2}}$ 项表明当 $\gamma < \frac{3}{2}$ 时， $\bar{\rho}$ 小即可补偿大能量，放宽了对 $\gamma$ 的限制。Hong–Hou–Peng–Zhu (2024) 的大能量结果仅适用于近等温极限 $\gamma \to 1^+$ ，而本文对任意 $\gamma > 1$ 成立，且明确给出 $\gamma$ 如何影响小性结构（Remark 1.2）。

arXiv ID: 2607.21871v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.21871v1

摘要: We study overdetermined boundary problems for the graphical translating-soliton equation

-\operatorname{div}\!\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right) =\frac{1}{\sqrt{1+|Du|^2}} \quad\text{in }Ω, \qquad \partial_νu=ΓH+C \quad\text{on }\partialΩ,

where $$Γ, C$$ are constants, $$H$$ is the mean curvature of the boundary $\partialΩ$ of the regular bounded domain in $$R^n$$ such that $H_{\partial B_R}=-1/R$ . For $Γ\geq0$ , we prove that constant Dirichlet data force a bounded domain to be a ball. We also prove a spherical-shell rigidity theorem for a doubly connected domain with two ordered boundary heights and $$a<u<b$$ in the interior. The argument combines linearization under reflection, Reichel’s critical-plane and annular continuation principles, curvature comparison, Serrin’s corner lemma, and a radial ODE that excludes the annular alternative in the one-height problem. Finally, we give explicit counterexamples showing the sharpness of the sign, ordering, connectedness, and nesting assumptions.

5. 关于具拟最小化约束的非局部最优控制问题解的收敛性

On convergence of solutions to nonlocal optimal control problems with quasi-minimization constraints

作者: Joshua M. Siktar

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2026-07-23

arXiv ID: 2607.21822v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.21822v1

摘要: This paper studies a new class of nonlocal optimal control problems where the constraints involve approximations of minimizers of quasiconvex energies. These problems are parameterized by a fractional parameter $s \in (0, 1)$ and a horizon parameter $$δ> 0$$ , and the energy density depends on a nonlocal fractional gradient. Here, the constraint consists of finding quasi-minimizers with respect to the quasiconvex energy. Despite the fact that the energies of interest may not have unique minimizers, we may prove the existence of solutions to this class of control problems. The constraint in Cueto-Siktar 2026 was finding global minimizers of the energy, and this problem’s main limitation was an inability to prove convergence of solutions for the nonlocal control problems to those of a corresponding local, PDE-constrained optimal control problem. While this issue arises from the lack of uniqueness of minimizers for the constraining energy, we get stronger convergence results with our new choice of constraints. Namely, we obtain convergence of minimizers for nonlocal optimal control problems that have a general cost functional depending on the nonlocal gradient.

6. Hessian 方程在非光滑 k-凸区域上或存在下解情形下的解

The Hessian equation on nonsmooth k-convex domains or in the presence of subsolutions

作者: J. Lukas Gehring

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-23

arXiv ID: 2607.21755v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.21755v1

摘要: It is proved for $$k>n/2$$ that the Dirichlet problem of the $$k$$ -Hessian measure on a (nonsmooth and nonuniformly) $$k$$ -convex (also known as $$k$$ -hyperconvex) domain for any finite Borel measure as right-hand side and boundary data taken from a $$k$$ -convex and continuous function on the closure of the domain has a unique solution. Merely continuous boundary data are sufficient for strictly $$k$$ -convex domains (i.e., if there exist strong barriers).

重点关注论文（完整分析）#

1. 关于修正的半耗散Boussinesq方程的吸引子#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 不可压 Navier-Stokes 方程强解在无穷远处的高阶渐近展开#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

3. 半空间中等熵可压 Navier–Stokes 方程关于尺度不变量小性的整体适定性#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

了解领域论文（摘要翻译）#

1. Szegö极限定理与Heisenberg拉普拉斯算子#

摘要翻译#

2. 正密度下Hartree方程到Vlasov方程的半经典极限：强的一致时间收敛性与散射#

摘要翻译#

3. 湍流射流的Gelfand型问题：极值解的尖锐 $L^\infty$ 界#

摘要翻译#

4. 具有正则化热噪声的齐次Landau方程#

摘要翻译#

5. 当界面与边界相交时流体-结构相互作用的加权 $H^2$ 正则性#

摘要翻译#

6. 2D Yang-Mills 测度的一个偏微分方程方法#

摘要翻译#

7. 由衍射波驱动的逆散射#

摘要翻译#

8. 粘性流体中自推进刚体的定常运动：具有非零通量的Dirichlet边界条件#

摘要翻译#

9. 多值泛函的连通定理及其在偏微分包含问题中的应用#

摘要翻译#

10. 电压-电导率动力学方程在一般电导率区域内的解的存在性#

摘要翻译#

11. 分数阶薛定谔方程的反障碍问题#

摘要翻译#

12. 具有球值约束的 N-场系统的极小元的分析研究#

摘要翻译#

13. 双松弛时间动力学逼近向标量守恒律解的收敛性#

摘要翻译#

14. 非欧几里得几何中能量临界波动方程的 II 型爆破解的能量范数下界#

摘要翻译#

15. 质量临界薛定谔方程的色散衰减，当 $d\geq 3$ 时#

摘要翻译#

16. 一类具斜边界条件与Hamiltonian项的奇异/退化完全非线性椭圆方程的Sharp梯度估计#

摘要翻译#

17. 具有测度初值的线性输运方程的非局部到局部极限#

摘要翻译#

18. 具有种间拖曳力与空间位阻效应的泊松-内尔斯特-普朗克系统的全局有限能量弱解与精确熵衰减#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. 非均匀次扩散方程的严格正性性质及其在耦合次扩散系统中的应用#

2. 情感驱动的随机波动率：来自市场关注度的可观测第二因子#

3. Hessian商方程的Hessian估计的倍增论证#

4. 来自超定平移自相似解的球与球壳刚性#

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