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1. 基于混合物理论的两相流弥散界面模型的局部适定性

Local Well-Posedness for a Diffuse Interface Model for Two-Phase Flows from Mixture Theory

作者: Helmut Abels, Harald Garcke, Julia Wittmann

类别: math.AP, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29298v1

摘要翻译: 本文建立了 recently proposed 的描述不可压缩两相流的弥散界面模型的局部（时间）适定性。该结果构成了对 ten Eikelder 等人所提出的用于描述宏观上互不相溶、具粘性、不可压缩且密度不匹配的二元混合物运动之模型的首个分析研究。与基于单一平均速度的经典弥散界面模型不同，该模型在混合物理论框架下导出，为每一相分别赋予其自身的动量守恒与质量守恒方程，从而得到由两个耦合的 Navier–Stokes 方程和两个质量输运方程组成的系统。适定性结果的证明采用不动点方法，其中主要困难在于对相应线性化系统的主部的分析。

Comment: 56 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29298v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是由 ten Eikelder、van der Zee 与 Schillinger [28] 基于连续介质混合物理论（continuum theory of mixtures）导出的一类新型两相流弥散界面模型。该模型旨在描述宏观上互不相溶、粘性、不可压缩但密度不匹配（unmatched densities）的二元牛顿流体混合物的动力学行为，其核心特征在于：放弃传统单平均速度框架，为每一相赋予独立的动量守恒与质量守恒律，从而导出一个包含两个耦合的 Navier–Stokes 方程与两个质量输运方程的完整系统。这标志着首次在热力学一致的前提下，将完整的动能（即 $\frac{1}{2} \sum_{j=1}^2 \hat{\rho}_j |\mathbf{v}_j|^2$ ）显式纳入弥散界面建模，而非仅依赖于平均速度 $\mathbf{v}_{\text{mean}} = \sum_j \phi_j \mathbf{v}_j$ 所对应的简化动能 $\frac{1}{2} \hat{\rho}_{\text{mean}} |\mathbf{v}_{\text{mean}}|^2$ 。这一物理建模上的根本转变，导致数学结构发生质变：相对运动项 $\hat{R}(\phi_1, \phi_2)(\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1)$ 成为驱动相间动量交换的关键非线性源项，而相场变量 $\phi_j \in [0,1]$ 满足不可压缩混合约束 $\phi_1 + \phi_2 = 1$ ，从而将自由度从四元组 $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \phi_1, \phi_2)$ 约化为三元组 $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \phi_1)$ 。系统 (1.3) 即为此约化后的主控方程：

\begin{cases} \rho_1(\phi_1) \partial_t \mathbf{v}_1 + (\rho_1(\phi_1) \mathbf{v}_1 \cdot \nabla) \mathbf{v}_1 - \operatorname{div} \mathbb{S}_1(\phi_1, D\mathbf{v}_1) + \phi_1 \nabla (p + \mu_1(\phi_1)) = R(\phi_1)(\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1), \\ \rho_2(\phi_1) \partial_t \mathbf{v}_2 + (\rho_2(\phi_1) \mathbf{v}_2 \cdot \nabla) \mathbf{v}_2 - \operatorname{div} \mathbb{S}_2(\phi_1, D\mathbf{v}_2) + (1-\phi_1) \nabla (p + \mu_2(\phi_1)) = R(\phi_1)(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2), \\ \partial_t \phi_1 + \operatorname{div}(\phi_1 \mathbf{v}_1) = 0, \\ \operatorname{div}(\phi_1 \mathbf{v}_1 + (1-\phi_1) \mathbf{v}_2) = 0, \end{cases}

其中 $\rho_j(\phi_1) = \bar{\rho}_j \phi_j$ （ $\phi_2 = 1-\phi_1$ ）， $\mu_j(\phi_1) = (-1)^{j+1} F'(\phi_1) + (-1)^j \Delta \phi_1$ ， $\mathbb{S}_j = 2 \nu_j(\phi_1) D\mathbf{v}_j + \lambda_j(\phi_1) (\operatorname{div} \mathbf{v}_j) I$ ，且 $F \in C^3(\mathbb{R})$ 为均匀自由能密度， $\nu_j, \lambda_j \in C_b^2(\mathbb{R})$ 为正定粘性系数， $R: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为局部 Lipschitz 连续的动量交换率。该模型的数学重要性在于其打破了传统 Navier–Stokes/Cahn–Hilliard 类模型（如 Abels–Garcke–Grün [6]、Lowengrub–Truskinovsky [24]）的范式——后者均基于单一速度场与整体动量守恒，属于 Bothe & Dreyer [13] 所称的“约化混合物模型”（reduced mixture models）。而本文所研究的系统是首个严格源自混合物理论基本公理（即对每相分别施加质量、动量、能量守恒及熵不等式）的弥散界面模型，因此其适定性分析无法直接沿用已有技术，亟需发展新的线性化理论来处理由双速度场、非齐次密度、强耦合的相场输运与动量交换共同引发的多重奇异性。此前，所有关于此类模型的分析工作均未涉及，故本文填补了该领域严格的数学基础空白。

2. 主要定理或主要结果

定理 1.1 给出了系统 (1.3) 在周期边界条件 $\mathbb{T}^d$ （ $$d = 2, 3$$ ）下的局部强适定性结果：设初值满足 $\mathbf{v}_{j,0} \in H^1(\mathbb{T}^d)^d$ （ $$j = 1,2$$ ）、 $\phi_{1,0} \in H^2(\mathbb{T}^d)$ 且 $0 < \phi_{1,0}(x) < 1$ 对所有 $x \in \mathbb{T}^d$ 成立，并满足相容性条件 $\operatorname{div}(\phi_{1,0} \mathbf{v}_{1,0} + (1-\phi_{1,0}) \mathbf{v}_{2,0}) = 0$ ；再设假设 (A1)–(A5) 成立（即 $F \in C^3$ 、粘性系数 $\nu_j, \lambda_j \in C_b^2$ 且一致正定、表面张力系数归一化为 $\sigma_1 = \sigma_2 = 1$ 、动量交换率 $$R$$ 局部 Lipschitz）。则存在 $$T > 0$$ ，使得系统存在唯一强解 $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \phi_1, p)$ ，其正则性为： $\mathbf{v}_j \in L^2(0,T; H^2(\mathbb{T}^d)^d) \cap H^1(0,T; L^2(\mathbb{T}^d)^d)$ ， $\phi_1 \in L^2(0,T; H^3(\mathbb{T}^d)) \cap H^1(0,T; H^1(\mathbb{T}^d)) \cap H^2(0,T; H^{-1}(\mathbb{T}^d))$ ， $p \in L^2(0,T; H^1_{(0)}(\mathbb{T}^d))$ 。该结论的证明严格依赖于对线性化主部系统 (1.5) 的可逆性证明，其解空间嵌入关系通过插值不等式 (2.1) 和 (2.2) 得到控制，且时间存在性 $$T$$ 依赖于初值范数 $\|\mathbf{v}_{j,0}\|_{H^1} + \|\phi_{1,0}\|_{H^2}$ 的大小，符合标准局部适定性范式。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心障碍在于线性化主部系统 (1.5) 的可解性，该系统本质上是 Stokes 方程与线性化 Korteweg 型方程的强耦合：

\begin{cases} \rho_1(\tilde{\phi}_{1,0}) \partial_t \mathbf{v}_1 - \operatorname{div} \mathbb{S}_1(\tilde{\phi}_{1,0}, D\mathbf{v}_1) + \tilde{\phi}_{1,0} \nabla p - \tilde{\phi}_{1,0} \nabla \Delta \phi_1 = \mathbf{f}_1, \\ \rho_2(\tilde{\phi}_{1,0}) \partial_t \mathbf{v}_2 - \operatorname{div} \mathbb{S}_2(\tilde{\phi}_{1,0}, D\mathbf{v}_2) + (1-\tilde{\phi}_{1,0}) \nabla p + (1-\tilde{\phi}_{1,0}) \nabla \Delta \phi_1 = \mathbf{f}_2, \\ \partial_t \phi_1 + \operatorname{div}(\tilde{\phi}_{1,0} \mathbf{v}_1) = g_1, \\ \operatorname{div}(\tilde{\phi}_{1,0} \mathbf{v}_1 + (1-\tilde{\phi}_{1,0}) \mathbf{v}_2) = g_2. \end{cases}

其关键难点有三：(i) $\nabla \Delta \phi_1$ 项破坏了标准 Stokes 算子的椭圆性，需将其视为弱阻尼项处理；(ii) 密度 $\rho_j(\tilde{\phi}_{1,0})$ 为非恒定且可能退化（因 $\tilde{\phi}_{1,0} \in (0,1)$ 仅保证其有界远离零，但系数本身非光滑）；(iii) 相场方程与速度场通过 $\operatorname{div}(\tilde{\phi}_{1,0} \mathbf{v}_1)$ 及不可压缩约束非局部耦合。作者的真正创新点在于设计了一套分阶段的正则化—估计—紧致性策略：首先对常系数情形（即冻结 $\tilde{\phi}_{1,0} \equiv \phi_0$ ）构造一个带高阶耗散项 $\varepsilon \Delta^2 \phi_1$ 的正则化系统，利用抽象抛物型理论（Proposition 2.3）获得弱解存在性；继而通过一组精巧的测试函数选择（对相场方程以 $-\Delta \phi_1$ 测试，对速度方程以 $\mathbf{v}_j$ 测试），导出关于 $\|\nabla \Delta \phi_1\|_{L^2}$ 、 $\|D\mathbf{v}_j\|_{L^2}$ 、 $\|\partial_t \phi_1\|_{H^1}$ 的统一先验估计，其关键一步是将相场方程转化为一个弱形式的阻尼板方程 $\partial_t^2 \phi_1 + \mathcal{A} \phi_1 + \mathcal{B} \partial_t \phi_1 = \cdots$ ；最后，对变系数情形，作者采用扰动论证：先利用常系数估计得到低正则解的存在性，再通过局部化技巧（partition of unity）与系数 $$C^2$$ 正则性，将变系数系统分解为常系数主部加低阶扰动项，进而通过 Neumann 级数论证恢复 $$H^3$$ 相场正则性与 $$H^2$$ 速度正则性。整个框架避免了对经典能量方法的简单重复，而是将 Korteweg 型结构、混合物理论的约束耦合与抽象抛物演化理论深度整合。

4. 与之前工作的比较

本文工作与既有文献存在本质差异，主要体现在建模基础、数学结构与技术路径三个维度。首先，在建模基础上，本文模型 [28] 与经典 Navier–Stokes/Cahn–Hilliard 模型（如 [6], [24]）截然不同：后者均属“约化混合物模型”，其动量方程仅含一个速度场 $\mathbf{v}$ 与一个平均密度 $\hat{\rho} = \sum_j \phi_j \bar{\rho}_j$ ，动量源项为 $\phi_j \nabla \mu_j$ ，而本文模型保留了双速度场 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 与各自密度 $\rho_j(\phi_j)$ ，并引入了真实的相对运动驱动力 $R(\phi_1)(\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1)$ ，这是物理上更精确但数学上更复杂的描述。其次，在数学结构上，本文系统 (1.3) 的线性化主部 (1.5) 是 Stokes 与 Korteweg 型方程的耦合，而 [6] 的线性化产生的是 Stokes–Cahn–Hilliard 耦合，其化学势方程为 $\partial_t \phi - \Delta \mu = 0$ ，不含 $\nabla \Delta \phi$ 项；[24] 的线性化则因准不可压假设引入了更强的 $$p$$ – $\phi$ 耦合，但仍未出现双速度场与 $\nabla \Delta \phi$ 的组合。因此，本文的分析无法借用 [10], [18], [2] 中针对单速度场模型发展的技术。第三，在技术路径上，本文的创新在于将 Korteweg 结构的阻尼板思想（而非 Cahn–Hilliard 的梯度流思想）融入混合物框架，并通过正则化—统一估计—扰动论证三步法攻克变系数难题，而 [1] 对 [24] 模型的处理依赖于 $$p$$ -Laplacian 正则化，[2] 则需额外假设自由能光滑，[17] 的全局弱解依赖于 Bresch–Desjardins 熵与密度相关粘性的特殊结构。本文的代价是仅得到局部强解，且要求初值 $\phi_{1,0} \in (0,1)$ 严格成立（以保证密度非退化），而 [17] 允许 $\phi_{1,0}$ 取边界值。综上，本文是首个为混合物理论框架下的双速度弥散界面模型建立严格局部适定性的工作，其技术突破为后续研究全局解、渐近极限（如 sharp interface limit）及数值分析奠定了不可替代的基础。

2. 退化粘性 Navier-Stokes-Poisson 系统在径向扰动下线性膨胀 Goldreich-Weber 解的非线性稳定性

Nonlinear Stability of Linearly Expanding Goldreich-Weber Solutions for the Navier-Stokes-Poisson System with Degenerate Viscosity Under Radial Perturbations

作者: Han Cao

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.28960v1

摘要翻译: 本文研究具有压强律 $p(ρ)=ρ^{\frac{4}{3}}$ 和退化粘性的引力 Navier-Stokes-Poisson 系统中线性膨胀 Goldreich-Weber (GW) 解的非线性稳定性。众所周知，线性膨胀 GW 解是 $γ=\frac{4}{3}$ 的 Euler-Poisson 系统的特殊解；当体粘性为 0 时，线性膨胀 GW 解亦为 Navier-Stokes-Poisson 方程的解。取剪切粘性与 $$ρ^α$$ 成正比且满足 $0<α\le\frac{2}{3}$ 、体粘性为 0，我们证明了线性膨胀 GW 解在径向扰动下的非线性稳定性。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2607.28960v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维径向对称重力Navier-Stokes-Poisson系统在物理真空边界条件下的非线性稳定性问题，其控制方程为

\begin{cases} \partial_t \rho + \operatorname{div}(\rho u) = 0, \\ \partial_t(\rho u) + \operatorname{div}(\rho u \otimes u) + \nabla p = \operatorname{div} T - \rho \nabla \Phi, \\ \Delta \Phi = 4\pi \rho, \quad \lim_{|x|\to\infty} \Phi(x) = 0, \end{cases} \tag{1.1}

其中密度 $\rho \ge 0$ 支撑于随时间演化的区域 $\Omega(t) \subset \mathbb{R}^3$ ，边界 $\Gamma(t) = \partial \Omega(t)$ 为自由真空边界，满足物理真空条件：

-\infty < \frac{\partial c^2}{\partial \nu} < 0, \quad c := \sqrt{\frac{\partial p}{\partial \rho}} = \sqrt{\gamma \rho^{\gamma-1}}, \quad x \in \Gamma(t), \tag{1.8}

即声速平方在边界法向导数严格负且有限。该条件等价于焓 $w = \rho^{\gamma-1}$ 在边界处满足 $w \sim \operatorname{dist}(x, \Gamma(t))^{1/2}$ ，导致 $$w$$ 仅属 $C^{1/2}$ 类，严重破坏经典椭圆正则性理论的适用性。

压力律取质量临界情形 $p(\rho) = \rho^{4/3}$ （即 $\gamma = 4/3$ ），此时Lane-Emden稳态解 $\bar{\rho}_\sigma(r)$ 满足

\frac{d}{dr} \bar{\rho}_\sigma^{4/3} = -\frac{4\pi \bar{\rho}_\sigma}{r^2} \int_0^r \bar{\rho}_\sigma s^2 ds, \quad \bar{\rho}_\sigma(R_\sigma) = 0, \quad R_\sigma < \infty, \tag{1.9}

且在 $\gamma = 4/3$ 处发生线性稳定性相变：当 $6/5 < \gamma < 4/3$ 时Lane-Emden解线性不稳定；当 $4/3 \le \gamma < 2$ 时线性稳定，但 $\gamma = 4/3$ 为中性稳定（neutrally stable）。进一步，在Euler-Poisson框架下，Goldreich-Weber（GW）解作为显式径向解揭示了该临界情形的非线性不稳定性本质：小扰动可导致质量逃逸至无穷远。GW解具有如下形式：

\rho(t,x) = \lambda^{-3}(t) w_3\left(\frac{|x|}{\lambda(t)}\right), \quad u(t,x) = \frac{\lambda'(t)}{\lambda(t)} x, \tag{1.14}

其中支撑半径 $\lambda(t)$ 和归一化焓 $$w(z)$$ 满足耦合ODE系统：

\begin{cases} \lambda^2(t) \lambda''(t) = \delta, \\ w''(z) + \frac{2}{z} w'(z) + \pi w^3(z) = -\frac{3\delta}{4}, \quad w'(0)=0,\ w(1)=0. \end{cases} \tag{1.15}

当 $\delta > 0$ 或 $\delta = 0$ 且 $\lambda_1 > 0$ 或 $\delta^* < \delta < 0$ 且 $\lambda_1 > \lambda_1^*$ 时， $\lambda(t) \sim c_1 t$ （线性膨胀），对应本文研究对象；而 $\delta < 0$ 且 $\lambda_1 = \lambda_1^*$ 时则为自相似膨胀解（ $\lambda(t) \sim t^{2/3}$ ）。关键事实是：在零体粘性 $\mu_2 \equiv 0$ 下，GW解精确满足Navier-Stokes-Poisson动量方程（因 $\operatorname{div} T_{\mathrm{GW}} = 0$ ），故其为真实解而非近似解。

粘性张量取退化形式 $T = \mu_1(\rho)(\nabla u + \nabla u^\top - \frac{2}{3} (\operatorname{div} u) I) + \mu_2(\rho)(\operatorname{div} u) I$ ，其中剪切粘性系数 $\mu_1(\rho) = \mu \rho^\alpha$ ， $0 < \alpha \le 2/3$ ，体粘性 $\mu_2 \equiv 0$ 。该退化结构源于气体动力学中分子平均自由程与密度成反比的物理建模，且数学上导致粘性项在真空边界处消失，加剧奇异性。现有文献中，常数粘性情形（ $\alpha = 0$ ）下线性膨胀GW解的非线性稳定性已在[37]中建立；而密度依赖粘性情形（如 $\alpha > 0$ ）的研究仍为空白，尤其缺乏对退化粘性（ $\alpha > 0$ ）与物理真空边界双重奇异性耦合作用的系统分析。本文旨在填补这一空白：在 $\gamma = 4/3$ 、 $\mu_2 = 0$ 、 $\mu_1 = \mu \rho^\alpha$ （ $0 < \alpha \le 2/3$ ）及径向对称假设下，证明线性膨胀GW解对Navier-Stokes-Poisson系统的非线性稳定性。

2. 主要定理或主要结果

定理2.1（非线性稳定性）：设 $\delta > -\tilde{\varepsilon}$ ，其中 $\tilde{\varepsilon} > 0$ 为充分小常数。若初始扰动能量 $E(0) < \varepsilon_0$ （ $\varepsilon_0 > 0$ 充分小），则存在全局强解 $\varphi(\tau,z)$ 满足

E(\tau) + \int_0^\tau D(s)\,ds \le C E(0) + C \int_0^\tau \tilde{\lambda}^{-\min\{\frac{3}{2}\alpha,\, \frac{1}{2}\}} E(s)\,ds, \quad \forall \tau \in [0,\infty),

其中加权总能量 $E(\tau) = E_{\mathrm{tem}}(\tau) + E_{\mathrm{int}}(\tau) + E_{\mathrm{spt}}(\tau)$ 与总耗散 $D(\tau) = D_{\mathrm{tem}}(\tau) + D_{\mathrm{int}}(\tau) + D_{\mathrm{spt}}(\tau)$ 定义为：

E_{\mathrm{tem}}(\tau) = \int_0^1 \tilde{\lambda}(\partial_\tau \varphi)^2 w^3 z^4 dz + \int_0^1 (z \partial_z \varphi)^2 w^4 z^2 dz + \int_0^1 \varphi^2 w^3 z^4 dz + \tilde{\lambda}^{3\alpha-2} \left( \int_0^1 \tilde{\lambda}(\partial_\tau^2 \varphi)^2 w^3 z^4 dz + \int_0^1 (z \partial_\tau \partial_z \varphi)^2 w^4 z^2 dz + \int_0^1 (\partial_\tau \varphi)^2 w^3 z^4 dz \right),

E_{\mathrm{int}}(\tau) = \tilde{\lambda}^{3\alpha-2} \int_0^1 \tilde{\lambda} \hat{\chi}(\partial_\tau \varphi)^2 w^3 z^2 dz + \int_0^1 \hat{\chi}(z \partial_z \varphi)^2 w^4 dz + \int_0^1 \hat{\chi} \varphi^2 w^3 z^2 dz + \tilde{\lambda}^{6\alpha-4} \left( \int_0^1 \tilde{\lambda} \hat{\chi}(\partial_\tau^2 \varphi)^2 w^3 z^2 dz + \int_0^1 \hat{\chi}(z \partial_\tau \partial_z \varphi)^2 w^4 dz + \int_0^1 \hat{\chi}(\partial_\tau \varphi)^2 w^3 z^2 dz \right),

E_{\mathrm{spt}}(\tau) = \tilde{\lambda}^{3\alpha-2} \int_0^1 \mu \left( \frac{1}{w^3 z^4} \partial_z (w^{3\alpha} z^4 \partial_z \varphi) \right)^2 w^{7-3\alpha} z^2 dz + \int_0^1 \mu^2 \left( \frac{1}{w^3 z^4} \partial_z (w^{3\alpha} z^4 \partial_z \varphi) \right)^2 w^3 z^2 dz,

D_{\mathrm{tem}}(\tau) = \tilde{\lambda} \int_0^1 (\partial_\tau \varphi)^2 w^3 z^4 dz + \tilde{\lambda}^{3-3\alpha} \int_0^1 \mu \big[(1+\varphi) z \partial_\tau \partial_z \varphi - \partial_\tau \varphi \cdot z \partial_z \varphi\big]^2 w^{3\alpha} z^2 dz + \tilde{\lambda}^{3\alpha-2} \left( \tilde{\lambda} \int_0^1 (\partial_\tau^2 \varphi)^2 w^3 z^4 dz + \tilde{\lambda}^{3-3\alpha} \int_0^1 \mu \big[(1+\varphi) z \partial_\tau^2 \partial_z \varphi - \partial_\tau^2 \varphi \cdot z \partial_z \varphi\big]^2 w^{3\alpha} z^2 dz \right),

其中 $\hat{\chi}(z)$ 为支集在 $$[0,3/4]$$ 上的光滑截断函数，满足 $\hat{\chi} \equiv 1$ on $$[0,1/2]$$ 。关键技术参数为：时间变量 $\tau(t) = \int_0^t \lambda^{-1}(\sigma) d\sigma$ ，满足 $\tilde{\lambda}(\tau) = \lambda(t(\tau)) \sim e^{\tilde{\beta} \tau}$ （ $\tilde{\beta} = \sqrt{\tilde{e}} > 0$ ）；权重指数 $3\alpha-2$ 直接反映退化粘性对高阶时间导数的衰减补偿需求；耗散项中 $\tilde{\lambda}^{-\min\{\frac{3}{2}\alpha,\, \frac{1}{2}\}}$ 的出现源于非线性项 $N_1[\varphi], N_2[\varphi]$ 的精细估计，其衰减速率由 $\alpha$ 决定，并在 $\alpha = 2/3$ 时达到最优 $\tilde{\lambda}^{-1}$ 。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

核心障碍在于三重奇异性耦合：（1）物理真空边界导致 $w = \rho^{1/3} \in C^{1/2}$ ，使标准Sobolev嵌入和椭圆正则性失效；（2）退化粘性 $\mu_1 = \mu \rho^\alpha$ 在 $\rho \to 0$ 时 vanish，导致粘性耗散在边界处消失，无法直接控制高阶空间导数；（3）质量临界指数 $\gamma = 4/3$ 使线性化算子 $L_{w^4} \varphi = -\frac{4}{3} \frac{1}{z^4 w^3} \partial_z (w^4 z^4 \partial_z \varphi)$ 的谱在零点附近退化，破坏 coercivity。作者的真正创新点在于构建了一套分层加权能量框架，通过三个互补估计协同克服上述障碍。

第一，时间加权估计（Temporal Estimates）：对变换后方程 $\tilde{\lambda} \partial_\tau^2 \varphi + \tilde{\lambda}' \partial_\tau \varphi + 3\delta \varphi + L_{w^4} \varphi + N_1[\varphi] = -\mu \tilde{\lambda}^{3-3\alpha} L_{w^{3\alpha}} \partial_\tau \varphi + \tilde{\lambda}^{3-3\alpha} N_2[\varphi]$ 应用 $\partial_\tau^j$ （ $$j=0,1$$ ）并测试以 $\tilde{\lambda}^{j(3\alpha-2)} w^3 \partial_\tau^{j+1} \varphi$ ，获得 $E_{\mathrm{tem}}$ 控制。关键突破是利用 $L_{w^4}$ 的谱性质：当 $\delta > -\tilde{\varepsilon}$ 时， $\int_0^1 (3\delta \varphi^2 + \varphi L_{w^4} \varphi) w^3 z^4 dz$ 可被 $\|\varphi\|_{H^1_{w^4}}^2$ 控制，从而建立 coercivity。此处 $\tilde{\lambda}^{j(3\alpha-2)}$ 权重精确补偿了退化粘性对时间导数的弱耗散。

第二，内部估计（Interior Estimates）：引入截断函数 $\hat{\chi}(z)$ 消除边界奇异性，在 $z \in [0,1/2]$ 内获得更强控制。通过测试 $\tilde{\lambda}^{(j+1)(3\alpha-2)} \hat{\chi} w^3 z^2 \partial_\tau^{j+1} \varphi$ ，得到 $E_{\mathrm{int}}$ 的有界性。该步骤的关键是避免在 $$z=1$$ 处使用粘性项，转而依赖 $\hat{\chi}$ 的紧支集性质，将问题转化为内部区域的常系数型估计。

第三，椭圆估计（Elliptic Estimates）：这是最核心的技术创新。作者发现方程（2.45）蕴含关键结构：

-\mu \tilde{\lambda}^{\frac{5}{2}-3\alpha} L_{w^{3\alpha}} \partial_\tau \varphi - \tilde{\lambda}^{-\frac{1}{2}} w^{4-3\alpha} L_{w^{3\alpha}} \varphi = \tilde{\lambda}^{\frac{1}{2}} \partial_\tau^2 \varphi + \text{低阶项}.

对此式两边平方并乘以权重 $\tilde{\lambda}^{6\alpha-4} w^3 z^2$ 后积分，得到 $E_{\mathrm{spt}}$ 的控制。此操作成功将退化粘性算子 $L_{w^{3\alpha}}$ 的二阶导数“提升”为耗散项，其有效性依赖于 $\alpha \le 2/3$ 的约束（确保 $6\alpha-4 \le 0$ ，使权重不增长过快）。最后，通过迭代重写（2.47）并结合Hardy不等式 $\int_0^1 \frac{\varphi^2}{z^2} w^3 z^4 dz \lesssim \int_0^1 (\partial_z \varphi)^2 w^4 z^2 dz$ ，完成 $D_{\mathrm{spt}} \lesssim E$ 的闭合。整个框架的精妙之处在于各估计间误差项的精确抵消：时间估计中的 $\tilde{\lambda}^{-3\alpha} D_{\mathrm{spt}}$ 项被椭圆估计吸收，而 $\tilde{\lambda}^{-\min\{\frac{3}{2}\alpha,\, \frac{1}{2}\}} E$ 项则由指数衰减 $\tilde{\lambda}^{-\kappa}$ （ $\kappa > 0$ ）保证可积性。

4. 与之前工作的比较

与既有工作相比，本文在多个维度实现实质性推进：

（1）粘性结构维度：此前[37]仅处理常数粘性（ $\alpha = 0$ ）情形，其证明依赖于粘性项 $\mu \Delta u$ 的均匀椭圆性，可直接提供 $$H^2$$ 正则性。而本文首次处理退化粘性 $\mu \rho^\alpha$ （ $\alpha > 0$ ），此时粘性系数在真空边界处消失，标准椭圆理论完全失效。作者通过构造 $L_{w^{3\alpha}}$ 算子并设计 $\tilde{\lambda}^{6\alpha-4}$ 权重，实现了对退化性的精准补偿，这是方法论上的根本性突破。代价是要求 $\alpha \le 2/3$ （见Remark 2.1），该限制源于椭圆估计中 $w^{4-3\alpha}$ 项需保持可积性，若 $\alpha > 2/3$ 则 $4-3\alpha < 2$ ，导致 $w^{4-3\alpha}$ 在边界附近增长过快，破坏Hardy不等式应用。

（2）稳定性范围维度：[18,21]针对Euler-Poisson系统证明了GW解的非线性稳定性，但其结论依赖于无粘性带来的哈密顿结构（如能量守恒），无法推广至耗散系统。本文在Navier-Stokes-Poisson框架下，通过能量-耗散恒等式（2.12）与加权耗散泛函 $D(\tau)$ 的构造，首次确立了退化粘性下稳定性的时间尺度——即全局存在性，且扰动以 $\tilde{\lambda}^{-\min\{\frac{3}{2}\alpha,\, \frac{1}{2}\}}$ 速率衰减。这比Euler情形的纯振荡行为更具物理真实性。

（3）适用范围维度：[42,41]分别处理常数粘性与密度依赖粘性下Lane-Emden稳态解的稳定性，但其 $\gamma \in (4/3,2)$ 远离临界值，避免了中性稳定性难题。本文聚焦 $\gamma = 4/3$ 这一最困难的临界情形，通过谱分析克服 $L_{w^4}$ 算子的零特征值问题，将稳定性阈值从 $\delta = 0$ 推进至 $\delta > -\tilde{\varepsilon}$ ，显著拓宽了稳定参数区域。局限在于仅限径向对称情形；非径向扰动下，角动量耦合与更高维奇异性尚未解决，文中未显式展开比较。

中文标题: 半线性波动方程带分数阶结构阻尼的爆破时间双向估计

摘要翻译: 我们考虑有界区域上带分数阶结构阻尼的半线性波动方程的初边值问题

u_{tt}+(-Δ)^θu_{t}-Δu=|u|^{p-1}u

，其中指数 $θ\in[0,1]$ 插值于外部摩擦阻尼（ $$θ=0$$ ）与内部 Kelvin–Voigt 粘弹性阻尼（ $$θ=1$$ ）之间，从而参数化耗散机制的频率依赖性。对势阱深度以下能量且 Nehari 泛函为负的初值，我们证明了解的有限时间爆破，并给出爆破时间的一个显式上界；该上界源于一个凹性泛函，其中分数阶耗散项恒等于零，因此该上界对任意 $θ\in[0,1]$ 具有相同形式，且存在一个关于 $$θ$$ 一致的变体。反之，当 $n\ge3$ 且 $1<p\le\frac{n+2θ}{n-2}$ 时，我们建立了爆破时间的一个显式下界。从力学角度看，这两个界共同刻画了模型解的存在性保证区间与失效时间保证区间。下界所允许的非线性指数范围随 $$θ$$ 线性拓宽，这定量刻画了内部阻尼强度增大所能覆盖的非线性载荷类别的扩展程度；我们并不声称该界数值本身关于 $$θ$$ 单调。两个定理均在一类由若干简明条件所定义的能量解上成立，因而其结论不依赖于任何特定的局部存在性定理，并可原样推广至结构模型中所用的弹性算子与板算子。两个端点情形分别恢复了关于摩擦阻尼与强阻尼的已知结果。

7. 为何中层无应力边界条件对Ekman流是不正确的

Why a mid-depth stress-free boundary condition is incorrect for Ekman flows

作者: Christian Puntini, Luigi Roberti

类别: physics.flu-dyn, math-ph, math.AP, physics.ao-ph

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29261v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29261v1

摘要翻译

中文标题: 为何中层无应力边界条件对Ekman流是不正确的

摘要翻译: 我们证明，在风驱动海洋流的分析中，假设在有限中间深度（即Ekman层底部）处满足无应力边界条件，必然导致非物理的流速剖面。事实上，若流体速度的 $$z$$ -导数在某一深度处为零，则该深度必对应于速度剖面的极小值点，且速度在该深度以下将增大。我们还基于海洋深层水密度微小变化的WKB试探解论证：若海洋底部足够深，则底部无滑移条件仍能有效保证（至多引入一个极小误差）Ekman输运与风应力之间的正交性。

8. 具有消失势与局域非线性的非紧度量图上 $$L^2$$ -超临界 NLS 方程的归一化解

Normalized solutions of $$L^2$$ -supercritical NLS equations on noncompact metric graph with vanishing potential and localized nonlinearities

作者: Archana Prajapati, Divya Goel

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29332v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29332v1

摘要翻译

中文标题: 具有消失势与局域非线性的非紧度量图上 $$L^2$$ -超临界 NLS 方程的归一化解

摘要翻译: 我们在非紧度量图 $$G$$ 上研究 $$L^2$$ -超临界非线性薛定谔方程归一化解的存在性，该方程为

\begin{cases} -u''+W(x)u+λu=χ(x)|u|^{p-2}u, & \text{在 } G \text{ 的每条边 } e \text{ 上},\\[2mm] \displaystyle\sum_{e\succ v}u'_e(v)=0, & \text{在每个顶点 } v\in V \text{ 处}, \end{cases}

并满足质量约束 $\int_G |u|^2\,dx=μ>0$ ，其中 $$λ$$ 作为拉格朗日乘子出现。此处 $$p>6$$ ，势函数 $W\in L^\infty(G)$ 非负，且沿 $$G$$ 的每条无界边趋于无穷远处消失； $$χ$$ 是紧致核 $\mathcal{K}$ 的特征函数，从而非线性项是局域的。在此参数范围内，能量泛函在质量约束集上无下界；又因度量图不具备尺度不变性，欧氏空间中适用的尺度论证与 Pohozaev 恒等式均不可用。我们证明：对任意 $$μ>0$$ ，该问题存在一个正解，其对应的拉格朗日乘子 $$λ>0$$ ，且该解为某严格正能级上的约束临界点。证明结合了逼近泛函族的一致山路几何结构、单调性技巧、与相关 Palais-Smale 序列相关的 Morse 型信息，以及排除拉格朗日乘子发散的爆破分析。据我们所知，这是首例关于带外势的非紧度量图上 $$L^2$$ -超临界 NLS 方程归一化解的存在性结果。

9. 对数拉普拉斯驱动的半线性热方程的尖锐生命期二分法与阈值现象

Sharp Lifespan Dichotomies and Threshold Phenomena for Semilinear Heat Equations Driven by the Logarithmic Laplacian

作者: Huyuan Chen, Rui Chen, Daniel Hauer, Jun Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29318v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29318v1

摘要翻译

中文标题: 对数拉普拉斯驱动的半线性热方程的尖锐生命期二分法与阈值现象

摘要翻译: 我们研究如下方程的非负温和解：

\partial_tu+(-Δ)^{\ln}u=f(u) \qquad \text{在 }(0,T)\times\mathbb R^N\text{ 中},

初始数据为 $u(0,\cdot)=μu_0$ ，其中 $$μ>0$$ 。与经典热核及分数阶热核不同，正对数热核仅在 $$0<t<N/2$$ 时存在。相应的线性演化在其终态时间可能奇异性地爆破，且其最大生命期与终态增长均依赖于 $$u_0$$ 的空间衰减性质。

中文标题: 关于结构化 Keyfitz-Kranzer 系统的一些注记

摘要翻译: 通过对形如 $$U_t + (Φ(U) U)_x =0$$ 、 $U: \mathbb{R}_t\times \mathbb{R}_x\rightarrow \mathbb{R}^n$ （ $n\geq 2$ ）的守恒律系统施加结构条件，其中 $Φ(U) = φ(r, Θ): \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ ， $$r = |U|$$ ， $Θ= U/|U|\in S^{n-1}$ ，我们获得了若干应用，并由此构建了一个依赖于 $$φ(U)$$ 形式的解分类框架。通过规定某一特定特征值的演化行为，可将满足该演化条件的函数 $$φ$$ 分为两类：一类仅依赖于标量场 $$z=rK(Θ)$$ ，其中 $K: S^{n-1}\rightarrow \mathbb{R}$ ；另一类则依赖于向量场 $$Θ$$ ；并进一步确定在哪些情形下解的振幅会在有限时间内爆破。作为推论，对应黎曼问题的解可划分为经典解与包含 delta-shock 和/或真空态的解。

不相关论文（基本信息）

1. 界面带边界的二维Allen-Cahn理论

A two-dimensional Allen-Cahn theory for interfaces with boundary

作者: Marco Badran, Manuel del Pino, Marco A. M. Guaraco

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29588v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29588v1

摘要: We develop a two-dimensional Allen-Cahn theory for interfaces with boundary in the line-bundle framework introduced by Fröhlich and Struwe. The central new object is a model solution on the punctured plane whose nodal set is a half-line. Near the boundary of an interface, this solution plays the role of the heteroclinic profile in the classical interior theory. However, unlike the interior setting, where the analysis in directions normal to the interface reduces to the ODE satisfied by the heteroclinic, the boundary model has non-flat level sets and must be studied as a genuinely two-dimensional elliptic solution. In the first part of this paper, we construct this model solution and develop its stability and invertibility theory. In the second part of this paper, we present the main application: we construct Allen–Cahn sections whose nodal sets concentrate on any prescribed finite collection of disjoint line segments in the plane. The construction uses a Lyapunov-Schmidt reduction, but the boundary introduces a new difficulty: it creates large error terms along the interior of the interface. Controlling these terms requires a refined ansatz and new gluing arguments beyond the standard interior Allen-Cahn theory.

2. 单极子的大质量极限：阿贝尔极限与狄拉克奇点

The large mass limit of monopoles: abelian limits and Dirac singularities

作者: Daniel Fadel

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29667v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29667v1

摘要: Let $$(A_i,Φ_i)$$ be finite energy $\mathrm{SU}(2)$ monopoles of charge $$k>0$$ on an asymptotically conical $$3$$ -manifold with one end, with masses $m_i\to\infty$ . After passing to a subsequence, the mass-renormalized energy measures concentrate at finitely many points $$x_a$$ with concentration weights $$4πK_a$$ , where $$K_a$$ is the total charge of the complete finite cluster of mass-one Euclidean monopoles lying over $$x_a$$ . We prove that, on the complement $$M$$ of these points, the fields abelianize exponentially. After translating the Higgs fields by their masses along the unit Higgs directions and applying gauge transformations, the translated pairs converge smoothly locally to a reducible monopole $(A_\infty,Φ_\infty)$ of the form

Φ_\infty=-uΨ_\infty, \qquad F_{A_\infty}=-*du\,Ψ_\infty, \qquad u=4π\sum_aK_aG(\,\cdot\,,x_a),

where $Ψ_\infty$ is a parallel unit section and $$G$$ is the minimal positive Green function. Consequently, $$x_a$$ is a Dirac singularity of charge $$K_a$$ . The singular part of the residual limit is determined by the weighted $$0$$ -cycle of concentration points and total cluster charges, and does not retain the individual Euclidean profiles or their separation hierarchy. We also show that $k-\sum_aK_a$ is exactly the charge escaping through the asymptotically conical end, and describe the residual flat abelian ambiguity.

3. 分支稳定极小浸入超曲面的正则性

Regularity of branched stable minimal immersed hypersurfaces

作者: Gaoming Wang, Xuwen Zhang

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29632v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29632v1

摘要: We establish a sharp bound on the Hausdorff dimension of the non-branch singular set of branched stable minimal immersed hypersurfaces whose singular sets have locally finite $\mathcal H^{n-2}$ -measure: the non-branch singular set is empty when $$n=2$$ , discrete when $$n=3$$ , and has Hausdorff dimension at most $$n-3$$ when $n\geq4$ . We also construct a non-flat stable minimal cone in $\mathbb R^4$ arising from a branched minimal immersion whose vertex is a non-branch singularity. Taking products with Euclidean factors yields examples whose non-branch singular sets have Hausdorff dimension exactly $$n-3$$ , showing that our regularity bound is sharp in every dimension $n\geq3$ . The main ingredients in our proof are a generalized Schoen inequality and a corresponding branched sheeting theorem near stationary classical cones and unions of hyperplanes.

4. 极小子流形的一个二分法

A dichotomy for minimal submanifolds

作者: Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29502v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29502v1

摘要: We survey a circle of recent results showing that a minimal submanifold obeys a dichotomy: either it fills up space, spreading out like a space-filling curve, or it is confined, and confinement forces quantitative restrictions. On the confined side these restrictions are both geometric and function-theoretic: Euclidean volume growth, an optimal rate of convergence of the density, complex-curve rigidity for stable surfaces in $\bf{R}^4$ , and a Liouville theorem forcing slowly growing harmonic functions on minimal disks to be constant. A prototypical restriction is Euclidean volume growth, which in these results is forced by the geometry rather than assumed. The mechanism is a volume doubling theorem that converts geometric confinement into quantitative rigidity: a stationary integral varifold trapped in a thin slab at a given scale cannot double its volume by more than a universal factor. We explain how this principle, and the height-excess bounds behind it, produce Euclidean volume growth for submanifolds of sublinearly growing height in every dimension and codimension, the optimal density rate in a slab, the complex-curve and Liouville rigidity above, a higher-codimension Bernstein theorem for disks, one-sided volume bounds, and an optimal stable Bernstein theorem in all dimensions generalizing Moser, Bombieri-De Giorgi-Miranda, Caffarelli-Nirenberg-Spruck and Ecker-Huisken. We also explain how this entire picture emerges from the structure theory of embedded minimal disks in $\bf{R}^3$ , built on the one-sided curvature estimate and reflected globally in the half-space theorem, and how it extends as a weak analogue of that theory to all dimensions.

5. 具有小孔洞区域中特征函数的定性性质

Qualitative properties of eigenfunctions in domains with small holes

作者: Laura Abatangelo, Massimo Grossi, Ying Li

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29487v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29487v1

摘要: In this paper we study qualitative properties of the eigenvalues and eigenfunctions of $$-Δ$$ with Dirichlet boundary condition in a smooth bounded domain $$Ω$$ with a small circular hole. In the literature, this is known as a “singular perturbation”, in contrast with the “regular perturbation” case. Denoting by $Ω_ε:=Ω\setminus B(P,ε)$ where $$B(P,ε)$$ is the ball centered at $$P$$ and radius $$ε$$ , for $P\inΩ$ and $$ε$$ small enough we investigate

quantitative estimates for the eigenfunctions of $$-Δ$$ in $$Ω_ε$$ ;
the simplicity of the eigenvalues of $$-Δ$$ in $$Ω_ε$$ ;
the behavior of nodal sets of the eigenfunctions of $$-Δ$$ in $$Ω_ε$$ . A key ingredient in our analysis consists of pointwise estimates on the so-called $$u$$ -capacitary potential firstly introduced in \cite{afhl}.

6. 带Robin边界条件的椭圆方程正解的唯一性与非退化性

Uniqueness and nondegeneracy of positive solutions to elliptic equations with Robin boundary conditions

作者: Mengyao Chen, Massimo Grossi, Qi Li

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29461v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29461v1

摘要: In this paper, we study the uniqueness of positive solutions to the semilinear elliptic Robin problem

\begin{cases} -Δu = u^p, & \text{in } Ω,\\ u > 0, & \text{in } Ω,\\ \frac{\partial u}{\partial ν} + βu = 0, & \text{on } \partial Ω, \end{cases}

where $$β> 0$$ , $$p$$ is subcritical, and $$Ω$$ is a bounded smooth domain. It is known that the uniqueness of the solution depends on the shape of the domain. Even if $$Ω$$ is a ball, the problem is open for arbitrary $$β>0$$ , since the method of moving planes does not work for Robin boundary conditions . By scaling arguments and a careful analysis of the linearized problem, we prove uniqueness for any $$β>0$$ provided that $$p$$ and $$Ω$$ satisfy suitable conditions. Finally, we study the effects of concave and convex nonlinearities.

7. 统一的一般快慢型增长下能量积分的局部 Lipschitz 连续性

Local Lipschitz continuity for energy integrals under unified general growth of fast and slow type

作者: Michela Eleuteri, Stefania Perrotta, Giulia Treu

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29425v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29425v1

摘要: We consider a class of anisotropic energy integrals including fast and slow growth under a unified approach, proving that the local minimizers are locally Lipschitz continuous.

8. 闭双曲流形上标架流的谱理论

Spectral theory of frame flows on closed hyperbolic manifolds

作者: Julien Namazi

类别: math.DS, math.AP, math.DG

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29319v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29319v1

摘要: We prove a resolvent estimate for the generator of the frame flow on hyperbolic manifolds away from vertical lines of resonances. A byproduct of the proof is an optimal essential spectral gap property for the generator, hence giving another proof of exponential mixing of frame flows with respect to the volume measure of the frame bundle. This extends the result of [https://arxiv.org/abs/2005.08387v2] in dimension 3 to any dimension. We make an extensive use of the Borel-Weil calculus developed in [https://arxiv.org/abs/2405.14846] to overcome difficulties of this higher-dimensional case.

9. 变化生境与竞争系统中的入侵前沿：Hamilton-Jacobi 方法与非局部效应

Invasion Fronts in Shifting Habitats and Competition Systems: A Hamilton-Jacobi Approach and Nonlocal Effects

作者: King-Yeung Lam, Chang-Hong Wu, Xiao Yu

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.29001v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.29001v1

摘要: We review recent developments in the study of spreading phenomena in reaction–diffusion equations arising from ecological invasion models. Motivated by the conjecture of Shigesada and Kawasaki on staged invasions, we discuss how competition systems can lead to effective scalar models with shifting habitats. We present the Hamilton–Jacobi approach for determining spreading speeds and revisit the result of {Li–Bewick–Shang–Fagan} (2014) from this perspective. We then describe the emergence of nonlocally pulled fronts when the shifting habitat connects regions of distinct positive growth rates. Recent results including the works of Lam–Yu (2022) and Lam–Nadin–Yu (2025) are surveyed. We also discuss spreading phenomena in competition systems, predator-prey systems, and the existence of various classes of entire solutions. Finally, we discuss the logarithmic correction for invasion waves in moving environments and prove a new result.

10. 凸 $$k$$ -Hessian 解内部奇点集的Sharp Hausdorff 维数界

Sharp Hausdorff Bounds for the Interior Singular Set of Convex $$k$$ -Hessian Solutions

作者: Xiyu Hu

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.28988v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.28988v1

摘要: Let $2\le k\le n$ , let $Ω\subset\mathbb{R}^n$ be open and convex, and let $$u$$ be a convex viscosity solution of $$σ_k(D^2u)=1$$ in $$Ω$$ . We prove that the set on which $$u$$ fails to be locally $$C^2$$ has vanishing $$(n-1)$$ -dimensional Hausdorff measure. In the intermediate range $3\le k<n$ , this gives a codimension-one refinement of the known almost-everywhere partial regularity, and the exponent is sharp. More generally, for a convex viscosity subsolution of $σ_k(D^2u)\geλ>0$ , we obtain Hausdorff bounds for strata defined by the affine dimension of all supporting contact sets. The proof combines a support-dependent Chou–Wang barrier argument, an estimate for the product of the smallest $$k$$ semiaxes of a John ellipsoid, and Mooney’s convex section-covering theorem. As a direct analytical consequence, the full distributional Hessian is absolutely continuous and $u\in W^{2,1}_{\mathrm{loc}}(Ω)$ , yielding a $$k$$ -Hessian counterpart of the $W^{2,1}$ regularity known for singular Monge–Ampère solutions. In a logically separate structural part, we characterize the distinguished number of flat directions, $$n-k+1$$ , by an asymptotic infimum mean-value formula over affine sections, and explain how this mean-value heuristic leads to the supporting-contact geometry used in the proof.

11. Gevrey超分布中管复形的最高阶全局可解性

Top-Degree Global Solvability for Tube Complexes in Gevrey Ultradistributions

作者: Sandro Coriasco, Alexandre Kirilov, Wagner Augusto Almeida de Moraes, Pedro Meyer Tokoro

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-31

arXiv ID: 2607.28923v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.28923v1

摘要: Let $$s>1$$ , let $$M$$ be a connected, non-compact, oriented real-analytic manifold, and let $ω_1,\ldots,ω_m$ be real-valued closed $$1$$ -forms of Gevrey order $$s$$ on $$M$$ . We study the differential complex naturally associated with this family on $M\times\mathbb{T}^m$ . We prove that its top-degree operator is globally solvable in Roumieu Gevrey ultradistributions, or equivalently that the corresponding top-degree cohomology vanishes. No global hypoellipticity assumption and no arithmetic condition on the periods of the defining forms are required. The proof is carried out in the physical variables and combines fiber translations, a local normal form, and a transport formula along paths in the base manifold. These tools yield propagation of Gevrey regularity, non-confinement of Gevrey singularities, and the support control needed to apply an abstract solvability criterion. The result highlights a sharp contrast with the compact setting, where compatibility conditions are unavoidable and solvability for compatible data may depend on exponential small-denominator conditions.

12. 一个关于切线多边形的Pólya–Szegő定理

A Pólya–Szegő Theorem for Tangential Polygons

作者: Changfeng Gui, Yeyao Hu, Qinfeng Li

类别: math.AP

发布日期: 2026-07-30

arXiv ID: 2607.28768v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.28768v1

摘要: We prove that, for every integer $N\ge3$ , the regular $$N$$ -gon uniquely maximizes torsional rigidity among all tangential $$N$$ -gons of prescribed area. Since every triangle is tangential, the case $$N=3$$ yields an independent proof of the classical triangular Pólya–Szegő theorem. The proof decomposes a tangential polygon into mixed Dirichlet–Neumann right-triangular cells. Its analytic core is the strict concavity of

α\longmapsto h(\tanα)-\frac18\tanα,

where $$h$$ is the mixed torsional rigidity of a right-triangular cell with one Dirichlet side and two Neumann sides, and $α\in(0,π/2)$ is the angle between the Neumann sides. We also obtain an explicit deficit decomposition that separates angular asymmetry from perimeter excess. As applications, we give a novel analytic proof that the torsional rigidity of equal-area regular polygons increases strictly with the number of sides, and derive an explicit criterion ensuring that a tangential polygon has larger first Dirichlet eigenvalue than the equal-area regular polygon.

13. 几何分析中PINNs的用户指南：来自渐近Plateau问题的启示

A user’s guide to PINNs in geometric analysis: lessons from the asymptotic Plateau problem

作者: Tancredi Schettini Gherardini

类别: math.DG, cs.AI, hep-th, math.AP

发布日期: 2026-07-30

arXiv ID: 2607.28733v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.28733v1

摘要: This proceedings contribution elaborates on the findings of arXiv:2605.26234v2: a joint work with Marco Usula, where we introduced a machine learning framework based on physics-informed neural networks (PINNs), aimed at constructing near-minimal discs in hyperbolic space asymptotic to a prescribed knot at infinity. We used this method to provide numerical evidence for a conjecture of Joel Fine relating minimal surfaces in $H^{4}$ to the coefficients of the HOMFLY polynomial. This is a methodological companion to that paper, based on a presentation given at the 2026 edition of the workshop “DANGER: Data, Numbers, and Geometry”. Rather than reviewing the results, which are presented extensively in the preprint above, we discuss the two aspects of the framework which, in our experience, determined whether the method worked at all. First, the geometry of the problem must be encoded in the architecture of the model, so that the boundary condition and asymptotics at infinity hold exactly for every value of the learnable parameters - leaving us with a single-component loss function; second, the evaluation of the PDE residual must be engineered with care to ensure that complete trainings can be performed in a reasonable time. On the latter point, we describe two implementation techniques which are not spelled out in detail in the original paper: replacing nested reverse-mode automatic differentiation with the forward propagation of second-order jets, and compiling the computational graph of the residual once instead of rebuilding it at every optimisation step. Together, on identical hardware, these two changes reduce the cost of a training step by a factor of roughly forty to fifty. We hope these methodological discussions can be useful for researchers in differential geometry and geometric analysis who wish to deploy PINNs on problems of their own.

重点关注论文（完整分析）#

1. 基于混合物理论的两相流弥散界面模型的局部适定性#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 退化粘性 Navier-Stokes-Poisson 系统在径向扰动下线性膨胀 Goldreich-Weber 解的非线性稳定性#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

了解领域论文（摘要翻译）#

1. 实直线上一族单参数非局部能量的周期基态#

摘要翻译#

2. 体域中带分枝薄裂缝的反应输运问题的维数约化与渐近逼近#

摘要翻译#

3. 加权Robin方程在柱面上的边渐近性及其在谱分数阶Laplacian上的应用#

摘要翻译#

4. 波动方程的可观测性不等式#

摘要翻译#

5. 带非负权重的三线性Stein-Weiss不等式的极值函数#

摘要翻译#

6. 半线性波动方程带分数阶结构阻尼的爆破时间双向估计#

摘要翻译#

7. 为何中层无应力边界条件对Ekman流是不正确的#

摘要翻译#

8. 具有消失势与局域非线性的非紧度量图上 $L^2$-超临界 NLS 方程的归一化解#

摘要翻译#

9. 对数拉普拉斯驱动的半线性热方程的尖锐生命期二分法与阈值现象#

摘要翻译#

10. 关于非光滑反应-扩散方程的有限维吸引子#

摘要翻译#

11. 一类从 $L^1(\bR^n)$ 到 Hardy 空间 $H^1(\bR^n)$ 的乘子#

摘要翻译#

12. Kirchhoff-Poho{\v z}aev 方程的拟线性正规形#

摘要翻译#

13. 波相互作用与非自治Langmuir等温线型色谱系统Riemann解的稳定性#

摘要翻译#

14. Klein-Gordon-Schrödinger 系统在非相对论极限下的最优收敛速率#

摘要翻译#

15. 从散射数据中恢复波动方程中的零形式#

摘要翻译#

16. 扰动的二进立方体与具有 $RH^{n/2}$ 类势的薛定谔算子的定量估计#

摘要翻译#

17. 特征函数在微局部落叶-尼科迪姆范数中的非集中性：相空间方法#

摘要翻译#

18. 关于结构化 Keyfitz-Kranzer 系统的一些注记#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. 界面带边界的二维Allen-Cahn理论#

2. 单极子的大质量极限：阿贝尔极限与狄拉克奇点#

3. 分支稳定极小浸入超曲面的正则性#

4. 极小子流形的一个二分法#

5. 具有小孔洞区域中特征函数的定性性质#

6. 带Robin边界条件的椭圆方程正解的唯一性与非退化性#

7. 统一的一般快慢型增长下能量积分的局部 Lipschitz 连续性#

8. 闭双曲流形上标架流的谱理论#

9. 变化生境与竞争系统中的入侵前沿：Hamilton-Jacobi 方法与非局部效应#

10. 凸 $k$-Hessian 解内部奇点集的Sharp Hausdorff 维数界#

11. Gevrey超分布中管复形的最高阶全局可解性#

12. 一个关于切线多边形的Pólya–Szegő定理#

13. 几何分析中PINNs的用户指南：来自渐近Plateau问题的启示#

重点关注论文（完整分析）

1. 基于混合物理论的两相流弥散界面模型的局部适定性

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

2. 退化粘性 Navier-Stokes-Poisson 系统在径向扰动下线性膨胀 Goldreich-Weber 解的非线性稳定性

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

了解领域论文（摘要翻译）

1. 实直线上一族单参数非局部能量的周期基态

摘要翻译

2. 体域中带分枝薄裂缝的反应输运问题的维数约化与渐近逼近

摘要翻译

3. 加权Robin方程在柱面上的边渐近性及其在谱分数阶Laplacian上的应用

摘要翻译

4. 波动方程的可观测性不等式

摘要翻译

5. 带非负权重的三线性Stein-Weiss不等式的极值函数

摘要翻译

6. 半线性波动方程带分数阶结构阻尼的爆破时间双向估计

摘要翻译

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