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1. 粗糙楔形中 Jeffery-Hamel 流动的壁面律近似

A wall-law approximation for Jeffery-Hamel flows in rough wedges

作者: Zijin Li, Xinghong Pan

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26736v1

摘要翻译: 我们研究具有小尺度粗糙扰动的无界楔形区域中二维定常 Navier-Stokes 方程。以相应直楔形中的 Jeffery-Hamel 流动作为有效背景流。在适当的小通量条件下，我们证明了弱解的存在性，并建立了 $H^1$ 型能量误差估计，其阶数为 $O(ε^2)$。对于足够小的楔角，我们进一步导出了加权估计，并将平方 $L^2$-误差改进至 $O(ε^3)$。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26736v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维不可压缩粘性流体在具有微小粗糙扰动的无界楔形域中的定常 Navier-Stokes 方程. 该问题旨在通过建立严格的数学框架, 证明“壁面律” (wall law) 的有效性, 即用光滑的人工界面及其上的有效边界条件来替代真实的粗糙边界, 从而量化微观几何对宏观流场的影响. 研究对象是位于 $\tilde{\Omega}_\varepsilon$ 中的定常 Navier-Stokes 方程:

其中, 域 $\tilde{\Omega}_\varepsilon$ 的角边界由平滑直线 $\theta = \pm \alpha$ 扰动而来, 扰动量为 $\tilde{\theta}_\varepsilon^\pm(r)$, 且满足代数衰减条件. 为了处理这种几何结构, 作者引入了极坐标变换以及随后的对数变换 $s = \log r$. 在对数坐标系 $(s, \theta)$ 下, 原始方程被重写为:

当 $\varepsilon = 0$ 时, 背景流是经典的 Jeffery-Hamel 流, 其形式为 $(u_0, v_0) = (e^{-s} f(\theta), 0)$, 其中 $f(\theta)$ 满足 ODE 系统:

已有文献主要关注平坦边界、通道或局部周期性粗糙表面的情况. 然而, 楔形几何中的径向标度与粗糙扰动之间的相互作用是非平凡的. 特别是, 经过对数变换后, 角度扰动在纵向变量 $s$ 上呈现指数局域化特性, 这不同于标准的振荡图形扰动. 本文试图填补这一空白, 即针对具有非均匀 $C^1$ 粗糙度的楔形域, 建立关于 Jeffery-Hamel 流扰动的严格误差估计.

2. 主要定理或主要结果

论文的主要结果包括弱解的存在性以及关于粗糙度参数 $\varepsilon$ 的高阶能量误差估计.

定理 1.1: 存在一个独立于 $\alpha, \Phi, \kappa, \varepsilon$ 的常数 $C^*$, 使得若 $\varepsilon \le \min\{\frac{\pi-2\alpha}{4}, \alpha, \frac{\kappa}{4}\}$ 且 $\alpha, \Phi$ 满足小通量条件 $\alpha\Phi + \frac{\Phi}{(\pi-2\alpha)^2} \le C^*$, 则系统存在弱解, 并满足如下 $H^1$ 类型的能量误差估计:

这表明误差的能量范数为 $O(\varepsilon^2)$.

定理 1.3: 假设粗糙边界函数的导数满足加权有界性 $M_1 := \sup_{s \ge 1} s |\tilde{\gamma}'(s)| < +\infty$. 对于足够小的楔形角 $\alpha$, 存在弱解满足加权估计:

基于此加权估计, 进一步推导出了改进的 $L^2$ 误差估计, 其阶数提高了至 $O(\varepsilon^3)$:

这些结果表明，在小角度条件下，通过加权分析可以获得比标准能量估计更高一阶的精度。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心障碍在于处理楔形几何导致的奇异标度以及粗糙边界在远场的衰减特性. 作者的真正创新点在于利用对数变换将径向的幂律行为转化为纵向变量的指数局域化行为, 并结合特定的加权函数进行精细的能量估计.

首先, Jeffery-Hamel 流的构造: 作者利用 Banach 不动点定理证明了在小通量条件下 ($\alpha \Phi \le c_0$), 对应的 ODE 系统存在唯一的 $C^1$ 解. 这一步骤确保了背景流的正则性和稳定性, 为后续的扰动分析奠定了基础.

其次, 弱解的存在性与基本估计: 在建立弱解存在性时, 作者采用了 Bogovskii 型散度修正技术来处理非线性项和压力项. 关键在于利用粗糙边界扰动在对数坐标下的指数衰减性质 ($\theta_\varepsilon^\pm(s) \lesssim \varepsilon e^{-\kappa |s|/\varepsilon}$), 证明了误差距离的二阶矩具有 $O(\varepsilon)$ 的界. 这使得最终的 $H^1$ 能量误差能够收敛到 $O(\varepsilon^2)$, 相比平坦边界情形获得了额外的收敛阶.

最后, 高阶加权估计与对偶方法: 为了获得 $O(\varepsilon^3)$ 的 $L^2$ 误差, 作者引入了以 $\cosh(s)$ 为权重的能量泛函. 这里的关键技术难点在于吸收压力项的影响. 由于压力项不随 $s$ 快速衰减, 直接的能量估计会发散. 作者通过假设楔形角 $\alpha$ 足够小, 利用角度相关的系数来控制压力项, 使其能被主项吸收. 随后, 结合对偶方法 (adjoint method), 从加权梯度估计推导出更精确的 $L^2$ 范数估计. 这一过程展示了如何通过几何参数 (角度) 的小性来换取误差阶数的提升.

4. 与之前工作的比较

与既有工作相比, 本文在几何设定、粗糙度模型和误差阶数上均有显著推进.

几何设定的差异: 现有的大多数壁面律研究 (如 Achdou et al., Jäger & Mikelić, Basson & Gérard-Varet) 集中在平坦边界、直通道或局部周期性粗糙表面. 这些工作中的粗糙度通常表现为 $x_2 = \varepsilon \gamma(x_1/\varepsilon)$ 形式的振荡图. 而本文考虑的是无界楔形域, 其背景流是径向的 Jeffery-Hamel 流. 这种几何结构导致流体速度随半径呈指数衰减 (在对数坐标下), 使得粗糙边界的影响在远场迅速减弱, 这与平坦边界处粗糙度影响在整个长度尺度上均匀分布的情况截然不同.

粗糙度模型的适应性: 在楔形几何中，简单的 $C^1$ 图扰动可能导致导数在 $\varepsilon \to 0$ 时发散. 本文引入的粗糙度模型 $\tilde{\theta}_\varepsilon^\pm(r)$ 允许更一般的代数衰减扰动, 只要其在对数坐标下保持适当的有界性. 这种模型更贴合物理上远离顶点处粗糙度逐渐消失的情形.

误差阶数的提升: 在平坦边界或周期性粗糙度的情况下，典型的能量误差估计通常为 $O(\varepsilon)$ 或 $O(\varepsilon^{1/2})$ (取决于具体的范数和粗糙度类型). 例如, Basson and Gérard-Varet [2] 在随机粗糙通道中得到的能量误差为 $O(\varepsilon)$ 量级. 相比之下, 本文利用楔形域的指数局域化特性, 证明了 $H^1$ 能量误差为 $O(\varepsilon^2)$, 并且在特定条件下 (小角度) 将 $L^2$ 误差提升至 $O(\varepsilon^3)$. 这种高阶收敛性是楔形几何特有的优势, 表明在该类问题中, 微观粗糙度对宏观流场的影响比在平坦边界情形下更微弱.

代价与局限: 获得高阶估计的代价是必须假设楔形角 $\alpha$ 足够小, 并且粗糙度函数的导数需满足加权有界性条件. 此外, 小通量条件 $\alpha \Phi$ 的限制也限制了适用范围. 尽管如此, 本文为理解非平坦几何中壁面律的有效性提供了重要的理论依据.

2. 二维随机低粘性 Navier-Stokes 方程的全局适定性

Global well-posedness for the 2D stochastic hypoviscous Navier-Stokes equations

作者: Daniel Goodair, Floris Roodenburg

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27054v1

摘要翻译: 我们研究定义在环面上的随机低粘性 Navier–Stokes 方程，其耗散项为 $(-Δ)^γ$，其中 $γ\in (\frac{1}{2},1]$，并带有乘性噪声。借助线性方程的随机极大正则性结果，我们在任意维数下建立了该问题在一系列缩放临界 Besov 空间中的局部适定性。此外，利用涡量方程的 $L^q$-能量估计，我们还证明了二维情形下具有线性乘性噪声的随机低粘性 Navier–Stokes 方程的全局适定性。

Comment: Submitted to the Oberwolfach Seminar ‘Stochastic Partial Differential Equations in Critical Spaces’ organised by Antonio Agresti and Mark Veraar

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27054v1

1. 研究对象和背景

本文研究定义在 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^d$ ($d \geq 2$) 上的不可压缩随机分数阶 Navier-Stokes 方程，其耗散项为 $(-\Delta)^\gamma$，其中 $\gamma \in (1/2, 1]$。当 $\gamma=1$ 时，该方程退化为经典的随机 Navier-Stokes 方程；当 $1/2 < \gamma < 1$ 时，被称为“低粘性”（hypoviscous）情形，意味着耗散弱于经典方程，导致正则性更差，分析难度更大；而 $\gamma > 1$ 的超粘性情形由于额外的平滑效应通常更易处理。本文聚焦于更具挑战性的低粘性区域。

具体而言，考虑如下方程：

其中 $u: [0, \infty) \times \Omega \times \mathbb{T}^d \to \mathbb{R}^d$ 是未知的速度场，$\pi, \pi_n$ 是压力项，$g = (g_n)_{n \geq 1}$ 是乘性噪声项，$u_0$ 是初始值，$(W_t^n)_{n \geq 1}$ 是一列独立的标准布朗运动。非线性对流项定义为 $(u \cdot \nabla)u = (\sum_{j=1}^d u_j \partial_j u_k)_{k=1}^d$。

为了确定局部适定性的最小光滑度假设，作者首先进行了标度分析。对于确定性部分（忽略噪声和压力），若 $u(t,x)$ 是解，则 $u_\lambda(t,x) := \lambda^{1-\frac{1}{2\gamma}} u(\lambda t, \lambda^{\frac{1}{2\gamma}} x)$ 也是解。在此标度下，不变空间（即临界空间）包括齐次 Besov 空间 $\dot{B}^{\frac{d}{q}+1-2\gamma}_{q,p}(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^d)$ 和 Lebesgue 空间 $L^{\frac{d}{2\gamma-1}}(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^d)$。特别地，当 $\gamma=1$ 时，这些空间对应于经典的 Navier-Stokes 临界空间 $\dot{B}^{-1+\frac{d}{q}}_{q,p}$ 和 $L^d$。在环面上，可以通过局部空间论证得到类似的临界空间。

在确定性抛物方程中，临界空间理论已被系统发展并应用于 Navier-Stokes 方程。对于随机方程，基于随机极大正则性（stochastic maximal regularity）的临界空间理论由文献 [1, 2] 建立，并在综述 [5] 中总结。此前，文献 [4] 利用这些思想研究了环面上的随机 Navier-Stokes 方程（即 $\gamma=1$ 的情形）。然而，对于非局部算子 $(-\Delta)^\gamma$ 且 $\gamma < 1$ 的情况，现有的随机临界空间理论尚未完全覆盖，特别是缺乏关于低粘性情形的系统结果。本文旨在填补这一空白，通过利用 $(-\Delta)^\gamma$ 的随机极大正则性结果，建立任意维度下的局部适定性，并在二维情形下证明全局适定性。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果分为两部分：局部适定性和二维全局适定性。

1. 局部适定性 (Theorem 2.2) 设 $\gamma \in (1/2, 1]$，$s \in [\gamma, 2\gamma]$，且满足 Assumption 2.1（即噪声项 $g$ 关于 $u$ 全局 Lipschitz 连续且 $g(\cdot, 0) \in L^\infty$）。假设参数 $p, q \in (2, \infty)$ 满足以下条件：

以及

定义 $\kappa := -1 + \frac{p}{2}\left(4 - \gamma^{-1}(\frac{d}{q} + s + 1)\right)$。则对于任意初值 $u_0 \in L^0_{\mathcal{F}_0}(\Omega; B^{\frac{d}{q}+1-2\gamma}_{q,p}(\mathbb{T}^d; \mathbb{R}^d))$，存在唯一的极大解 $(u, \sigma)$，使得 $\sigma > 0$ 几乎必然成立，并且解具有如下正则性：

此外，解在时间和空间上瞬时正则化：

注：初值的光滑度指数 $\frac{d}{q}+1-2\gamma$ 正是第 1.1 节中确定的临界空间的光滑度。实际上，局部适定性对更大的范围 $\gamma \in (1/2, \frac{d+2}{3})$ 也成立。

2. 二维全局适定性 (Theorem 2.4) 在 Theorem 2.2 的条件下，进一步假设 $d=2$，$\frac{2}{q} < 2\gamma - 1$，且初值 $u_0$ 均值为零，其旋度 $\nabla^\perp u_0 \in L^0_{\mathcal{F}_0}(\Omega; \dot{B}^{\frac{2}{q}+1-2\gamma}_{q,p}(\mathbb{T}^2; \mathbb{R}))$。噪声项 $G(u) = (g_n(\cdot, u))_{n \geq 1}$ 取线性无均值形式：

其中 $(\alpha_n)_{n \geq 1} \in \ell^2(W^{1,\infty}(\mathbb{T}^2))$，$\Pi$ 是到无均值子空间的投影。则 Theorem 2.2 中的极大解 $(u, \sigma)$ 是全局的，即 $\sigma = \infty$ 几乎必然成立。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明框架主要依赖于两个核心工具：随机极大正则性理论和涡度方程的能量估计。

1. 随机极大正则性与局部适定性 局部适定性的证明基于文献 [1, 2, 5] 中建立的随机极大正则性（Stochastic Maximal Regularity, SMR）理论。关键在于证明线性算子 $A = (-\Delta)^\gamma$ 在适当的函数空间中具有良好的谱性质。Lemma 3.3 指出，$A$ 在 $H^{-s,q}(\mathbb{T}^d; \mathbb{R}^d)$ 上具有有界的 $H^\infty$-演算（bounded $H^\infty$-calculus），且角度为 0。这是应用抽象 SMR 理论的充分条件。

为了应用 [5, Theorem 4.7] 获得唯一极大解，需要验证非线性项 $F(u) = -P(\nabla \cdot (u \otimes u))$ 和 $G(u) = (P[g_n(\cdot, u)])_{n \geq 1}$ 满足特定的增长和 Lipschitz 条件。Lemma 3.2 提供了这些估计：

其中 $X_0 = H^{-s,q}$，$X_1 = H^{-s+2\gamma,q}$，$X_\beta = [X_0, X_1]_\beta = H^{-s+2\gamma\beta,q}$，且 $\beta = \frac{1}{4\gamma}(\frac{d}{q} + s + 1)$。证明此引理的核心在于处理非线性项 $u \otimes u - v \otimes v$。作者根据 $s \geq 1$ 和 $s < 1$ 两种情况分别使用 Sobolev 嵌入、Hölder 不等式或 Paraproduct 估计（Lemma 3.1）来优化参数选择，确保嵌入关系的成立。

获得局部解后，作者通过四个步骤提升正则性：

1. 应用 SMR 理论获得基础解。
2. 利用 [5, Theorems 5.6 & 5.7] 提升时间正则性。
3. Bootstrap 空间可积性：通过证明非线性项在更高可积性空间中的界，逐步将解的空间可积性从 $q$ 提升到任意大的 $\zeta$。这一步的关键是估计 $\|F(u)\|_{H^{-s, \zeta+\delta}}$ 和 $\|G(u)\|_{H^{-s+\gamma, \zeta+\delta}(\ell^2)}$，并利用 trace embedding 和 Sobolev embedding 连接不同时刻的正则性。
4. Bootstrap 空间光滑性：利用已获得的 $L^\infty$ 型控制（通过 Sobolev 嵌入），进一步提升解的空间光滑度至 $H^{\gamma, \zeta}$ 水平，从而完成瞬时正则化的证明。

2. 涡度方程与全局适定性 在二维情形下，证明全局适定性的关键障碍是防止解在有限时间内爆破。作者采用涡度（vorticity）形式进行分析。令 $\omega = \nabla^\perp u$，则涡度方程为：

在二维中，涡度拉伸项消失，这使得能量估计成为可能。作者首先证明涡度方程的全局适定性，然后通过 Biot-Savart 算子重构速度场 $u$。为了获得闭合形式的涡度方程并识别速度，噪声必须限制为线性且无均值的形式（见 Equation 2.2）。

全局适定性的证明依赖于爆破判据（Blow-up criteria）。根据 [5] 的理论，若能证明局部解在某个临界范数下有界，则解可以延拓为全局解。具体来说，需要证明对于任意 $t_0 > 0$，$\sup_{t \in [t_0, \sigma)} \|u(t)\|_{B^{\beta_0}_{q_1, \infty}} < \infty$，其中 $\beta_0 = \frac{d}{q} + 1 - 2\gamma$。由于 $\frac{2}{q} < 2\gamma - 1$ 意味着 $\beta_0 < 0$，可以利用 Sobolev 嵌入 $L^\zeta \hookrightarrow B^{\beta_0}_{q_1, \infty}$ 将问题转化为证明 $L^\zeta$ 范数的有界性。通过对涡度方程进行 $L^q$-能量估计，作者证明了所需的一致界，从而排除了爆破的可能性，建立了全局适定性。

4. 与之前工作的比较

本文将随机分数阶 Navier-Stokes 方程的研究推进到了低粘性区域 $\gamma \in (1/2, 1)$，并与既有工作相比做出了以下重要贡献：

1. 与经典随机 Navier-Stokes 方程 ($\gamma=1$) 的比较 文献 [4] 利用随机极大正则性研究了环面上的随机 Navier-Stokes 方程（即 $\gamma=1$）。本文将其推广到一般的 $\gamma \in (1/2, 1]$。主要的技术差异在于线性算子从局部的 $-\Delta$ 变为非局部的 $(-\Delta)^\gamma$。虽然 $-\Delta$ 的 $H^\infty$-演算是经典的，但 $(-\Delta)^\gamma$ 的性质需要通过分数阶算子的理论来处理（Lemma 3.3）。此外，临界空间的光滑度指数从 $-1 + \frac{d}{q}$ 变为 $\frac{d}{q} + 1 - 2\gamma$。当 $\gamma < 1$ 时，所需的初值光滑度更低（因为 $1-2\gamma < -1$ 当 $\gamma > 1$ 不成立，但在 $\gamma < 1$ 时，指数更接近 0 或为正，取决于 $q$ 和 $d$），这反映了耗散减弱导致的正则性损失。本文的结果表明，即使在耗散较弱的情况下，只要初值位于相应的临界 Besov 空间中，局部适定性仍然成立。

2. 与确定性分数阶 Navier-Stokes 方程的比较 确定性分数阶 Navier-Stokes 方程的临界空间理论在 [18, 19] 中已有系统发展。本文的创新点在于将这些确定性理论扩展到随机设置，并处理乘性噪声带来的额外复杂性。特别是，作者利用了 [1, 2] 中发展的随机临界空间理论，并结合了针对非局部算子的随机极大正则性结果。与确定性情形不同，随机方程的压力项是一个半鞅（semimartingale）而非有限变差函数，因此在方程中显式包含了随机积分的压力项（Equation 1.1）。本文的处理方式遵循了 [22] 中的标准做法。

3. 与超粘性情形 ($\gamma > 1$) 的比较 在超粘性情形下，更强的耗散提供了更好的平滑效应，使得分析相对容易。相比之下，本文处理的低粘性情形 ($\gamma < 1$) 更为困难，因为耗散不足以提供足够的正则性增益。作者通过精细的参数选择和 Bootstrap 技术克服了这一困难。值得注意的是，局部适定性的参数范围受限于 $\gamma < \frac{d+2}{3}$（Remark 2.3(ii)），这在 $d=2$ 时意味着 $\gamma < 4/3$，因此覆盖了整个低粘性区间 $(1/2, 1]$。

4. 全局适定性的独特贡献 目前，关于随机分数阶 Navier-Stokes 方程的全局适定性结果非常有限。本文首次在二维低粘性情形下证明了全局适定性。这一结果依赖于二维特有的涡度结构（无涡度拉伸项）。在三维中，涡度拉伸项的存在使得类似的能量估计无法闭合，因此全局适定性仍然是开放问题。此外，全局适定性的证明要求噪声为线性且无均值，这是一个较强的限制，但在物理模型中是合理的简化。与确定性二维分数阶 Navier-Stokes 方程的全局适定性结果相比，本文处理的是随机扰动下的情形，增加了显著的技术难度。

5. 局限性与未来方向 本文的局部适定性结果适用于任意维度 $d \geq 2$，但全局适定性仅限于二维。此外，全局适定性要求 $\frac{2}{q} < 2\gamma - 1$，这意味着当 $\gamma$ 接近 $1/2$ 时，$q$ 必须趋于无穷大，这表明在极低粘性极限下，所需的初值可积性非常高。未来工作可能致力于放宽噪声的线性假设，或在更高维度中寻找其他机制以证明全局适定性。

3. 二维可压缩欧拉方程单调剪切流的线性稳定性与无粘阻尼

Linear Stability and Inviscid Damping of Monotone Shear Flows for 2D Compressible Euler Equations

作者: Zhile Li, Junyan Zhang, Lifeng Zhao

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27018v1

摘要翻译: 我们研究在 $ar{T} \times ar{R}$ 上围绕单调剪切流 $(U(y),0)$ 线性化的二维可压缩欧拉方程。剪切率 $U'$ 严格为正，不一定接近任何常数，且变化足够缓慢。在亚音速剪切区间 $MU'_{ar{sup}} ar{1}$ 中，我们证明了密度和无旋速度满足代数增长界，而螺线速度经历分量无粘阻尼。尽管非均匀剪切排除了库埃特情形中可用的逐模傅里叶归约，但本文获得的库埃特时间指数仍然保持不变。证明依赖于两个新要素：一个时变伪微分能量，为变系数剪切动力学恢复了强制性结构；以及终末时刻依赖的高阶和低阶加权能量，捕捉了剪切混合的长时间效应。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27018v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是二维等熵可压缩欧拉方程在单调剪切流附近的线性稳定性问题. 考虑定义在环面与实数轴乘积空间 $\mathbb{T} \times \mathbb{R}$ 上的等熵可压缩欧拉方程:

其中 $\bar{\rho}$ 为密度, $u$ 为速度场, $M$ 为马赫数, $p(\bar{\rho})$ 为等熵压力律. 该类方程的一个自然稳态解是形式为 $u_E = (U(y), 0)$, $\bar{\rho}_E = 1$ 的剪切流. 为了分析该平衡态的稳定性, 我们考察其周围的扰动. 设 $\bar{\rho} = \bar{\rho}_E + \rho$, $u = u_E + v$, 代入原方程并忽略关于扰动的非线性项, 得到如下线性化系统:

其中假设 $p'(1)=1$. 因此, 稳定性问题归结为理解该系统解的长时间行为.

剪切流的稳定性研究在不可压缩流体动力学中有着悠久的历史. 经典的理论始于对一般剪切流的谱稳定性问题的研究, Rayleigh 建立了著名的拐点判据. 对于平面 Couette 流, Kelvin 和 Orr 通过初值问题研究了扰动的演化, 揭示了相位混合机制和瞬态增长现象, 即后来所称的无粘阻尼. Case 随后通过连续谱分析正式推导了相应的速度衰减. 在不可压缩设定下, 将无粘阻尼从显式可解的 Couette 流推广到一般的剪切剖面要困难得多. Bouchet-Morita 给出了启发式论证, Stepin 从谱角度研究了该问题, Zillinger 为一类严格单调剪切流建立了严格的线性理论, Wei-Zhang-Zhao 在一维有限通道中建立了一类单调剪切流的速度衰减估计和散射性质. 然而, 这些工作大多局限于不可压缩情形或特定的几何结构.

与不可压缩情形相比, 可压缩性引入了密度、无旋速度和有旋速度之间的额外耦合, 导致更复杂的动力学行为. 尽管存在这些困难, 可压缩剪切流的稳定性已通过正常模量和谱方法进行了广泛研究, 但这些模量分析本身并不能描述扰动的详细时间演化, 也不能提供相应初值问题的定量长时间估计. Antonelli-Dolce-Marcati 在这方面取得了重大进展, 他们研究了均匀 Couette 流附近的线性化可压缩欧拉方程. 利用 Couette 剖面的显式结构, 他们引入了剪切坐标, 将问题约化为针对单个傅里叶模族的非自治方程. 结合精心设计的时变能量估计, 这种方法得到了密度扰动、无旋分量和有旋分量扰动的精确增长和衰减界限. 然而, 均匀 Couette 流具有一种特别有利的结构, 这在一般剪切剖面中是不存在的. 特别是, 速度对横向变量的仿射依赖关系在剪切坐标下产生了显式公式, 并保持线性化动力学的逐模式傅里叶表示. 一旦 $U'$ 非常数, 即使其变化任意小, 傅里叶模式也会发生耦合, 剪切坐标下的方程变成真正的变系数系统.

这就引出了可压缩水动力学稳定性中的一个基本问题: 在均匀 Couette 流周围观察到的长时间混合和无粘阻尼机制在多大程度上能延续到非均匀剪切剖面? 从数学观点来看, 主要困难不仅在于偏离 Couette 流的大小, 而在于支撑 Couette 分析的精确交换性质的丧失. 由此产生的声波与涡度之间的耦合由变系数算子控制. 对于这类剖面, 通常不能通过傅里叶乘子来定义基本能量, 因为对这种能量求导会产生高阶交换子项, 而这些项无法被可用的耗散所吸收.

受此问题启发, 我们考虑剪切率缓慢变化的单调剪切流: 要求 $U'$ 的空间导数很小, 但 $U'$ 不必接近常数. 例如, 考虑一族剖面, 其剪切率由 $U'(y) = \lambda(1 + \frac{1}{2}\tanh(y/\ell))$ 给出, 其中 $\lambda > 0, \ell \geq 1$. 对于每个固定的整数 $n \geq 0$, 我们有 $\|U''\|_{W^{n,\infty}} \lesssim \lambda/\ell$, 而 $\inf_{c \in \mathbb{R}} \|U' - c\|_{L^\infty} = \lambda/2$. 因此, 当 $\ell$ 变得很大时, 剪切率的空间导数变小, 但 $U'$ 在 $L^\infty$ 范数下并不接近任何常数. 在这个意义上, 缓慢变化指的是变化的空间尺度, 而不是其振幅.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果陈述如下.

定理 1.1. 假设剪切剖面 $U$ 满足

其中 $n$ 是一个足够大的固定整数, $\epsilon = \epsilon(U'_{\inf}, U'_{\sup})$ 是一个仅依赖于 $U'_{\inf}$ 和 $U'_{\sup}$ 的足够小的阈值. 此外, 我们施加条件 $MU'_{\sup} \leq 1$. 设初始数据满足 $\rho_{\text{in}} \in L^2_x H^5_y$ 以及 $\alpha_{\text{in}}, \omega_{\text{in}} \in H^{-1}_x H^4_y$, 并假设它们都具有零 $x$-平均, 即

我们用以下范数度量初始数据的大小:

那么, 相应于系统 (1.4) 的解满足:

其中 $(v_{\text{sol}})_1, (v_{\text{sol}})_2$ 分别表示 $v_{\text{sol}}$ 的两个分量.

备注 1.2. 当剪切剖面为均匀 Couette 流, 即 $U(y) = y$ 时, 本文得到的上界与 [2] 中建立的界一致. 此外, Antonelli, Dolce, 和 Marcati [2] 证明了增长率 $\langle t \rangle^{1/2}$ 对一组泛型的初始数据成立, 表明该指数在均匀 Couette 情形下是尖锐的. 因此, 在我们的增长界中的指数是在这里考虑的剪切流类中最优的, 而两个分量衰减界恢复了均匀 Couette 流已知的无粘阻尼上界.

备注 1.3 (亚音速条件的解释). 条件 $MU'_{\sup} \leq 1$ 具有自然的物理解释. 无量纲量 $MU'_{\sup}$ 衡量了声学与剪切变形时间尺度之间的竞争. 在目前的无量纲化中, 这些时间尺度分别为 $M$ 和 $1/U'_{\sup}$ 量级. 因此, 条件 $MU'_{\sup} \leq 1$ 意味着声学调整发生在不超过最短剪切变形时间尺度的时间尺度上. 相关的剪切-声学参数出现在可压缩混合层和无粘可压缩剪切层稳定性的研究中 [4, 20].

备注 1.4 (亚音速条件的作用位置?). 条件 $MU'_{\sup} \leq 1$ 在我们的论证中发挥两个作用. 首先, 它确保了基本算子值能量的强制性, 保证其交叉项受正项控制. 其次, 不等式 $U'_{\sup} \leq M^{-1}$ 被反复用于将剪切相关贡献中出现的 $U'_{\sup}$ 因子转换为 $M^{-1}$ 因子, 从而使这些贡献能够被对应于 $M^{-1}$-加权声学范数的耗散所控制. 这个限制在 [2] 研究的无粘均匀 Couette 问题中是不需要的. 事实上, 当 $U(y) = y$ 时, 耦合密度和涡度扰动的额外守恒律将系统在剪切坐标下简化为一个 $2 \times 2$ 系统. 在对全傅里叶变换后, 动力学进一步分解为每个频率 $(k, \eta)$ 独立的非自治系统. [2] 的作者为每个傅里叶模式构造了一个时变的、依赖于 $M$ 的对称化, 并对所有 $M > 0$ 获得了强制的能量估计, 尽管所得的等价常数不是关于 $M$ 均匀的. 这种精确的逐模式结构直接控制了声学变量和剪切诱导的耦合, 因此不需要上述描述的 $MU'_{\sup} \leq 1$ 条件的两种用途. 对于非均匀剪切剖面, 相应的密度-涡度组合不再精确地输运, 且横向傅里叶模式发生耦合, 因此这种构造不直接可用.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明包含两个主要成分: 针对变系数声学-涡度系统的基本拟微分能量, 以及产生增长和阻尼估计的终端时间依赖的高阶和低阶加权能量.

1. 剪切坐标下的重新表述 第一个难点是在存在非均匀剪切剖面的情况下, 为线性化系统构造一个强制的、非递增的能量. 关键思想是要求时变拟微分权重 $T$ 和 $S$ 与剪切导数 $D_t$ 精确交换. 这种精确交换保持了声学波系统最高阶的抵消, 是我们基本能量构造的主要结构要素.

我们首先在周期方向上逐模式重新表述系统. 在对 $x$ 取傅里叶变换后, 固定一个非零模式 $k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, 并用 $\rho_k, \alpha_k, \omega_k$ 分别表示 $\rho, \alpha, \omega$ 对应的傅里叶模式. 使用酉算子 $V = e^{ikU(y)t}$, 我们引入剪切变量:

剪切坐标下的横向导数和拉普拉斯算子为:

我们进一步引入修正的涡度变量:

修正项 $LR$ 的选择使得在对 $\Theta$ 求导时, 所有涉及 $A$ 的项都抵消. 用 $R, A, \Theta$ 表示, 系统 (1.4) 变为:

我们将定义一个适应于此系统的能量. 为了确保上述描述的精确交换性质, 我们通过共轭适当的傅里叶乘子与 $V$ 来构造能量权重. 事实上, 对于任何傅里叶乘子 $\text{Op}(m)$, 其中 $m = m(\eta)$, 算子 $\mathcal{M} := V \text{Op}(m) V^{-1}$ 满足:

相比之下, 固定的傅里叶乘子 $\text{Op}(m)$ 满足:

由此产生的交换子包含随时间增长的因子 $t$, 以及 $U'$ 的导数, 因此在一般情况下不能在大时间范围内均匀控制. 这就是在能量中使用 $V$-共轭权重的基本原因.

备注 1.5 (剪切拉直的局限性). 此类问题中的一种经典替代方案是通过引入 $z = U(y)$ 来拉直剪切, 从而消除前面交换子中出现的显式增长因子 $t$. 更具体地说, 在新坐标下, 剪切导数变为:

虽然 $z$-坐标中的傅里叶乘子与 $\partial_z - ikt$ 交换, 从而避免了前面带有显式 $t$-增长的交换子, 但它们不与变系数 $U'(U^{-1}(z))$ 交换. 在适应自然波结构的能量中, 最高阶的声学项精确抵消, 留下这些变系数交换子作为主要的未抵消贡献, 在一般情况下不能被乘子生成的耗散所吸收. 因此, 在下面发展的能量框架内, 仅通过 $z$-坐标中的傅里叶乘子定义的基本能量通常是不可行的.

2. 非递增的拟微分能量 我们的目标是为该系统构造一个非递增的能量. 我们从 $R$ 和 $A$ 的耦合方程开始. 暂时忽略 $A$ 方程中带有因子 $2ikU'$ 的低阶项, 它们具有波动方程的结构, 其自然能量为:

当对这个能量求导时, 落在 $D_t$ 上的时间导数以及上面省略的项 $2ikU'D_t \Delta_t^{-1} A$ 分别产生不定贡献 $-\frac{1}{M^2} \text{Re}\langle ikU'R, D_t R \rangle$ 和 $-2 \text{Re}\langle ikU'D_t \Delta_t^{-1} A, A \rangle$. 两者都出现在算子尺度 $U'|k|(-\Delta_t)^{-1/2}$, 而其他所有省略项都是低阶的.

主权重 $T$. 为了吸收这两个主导项, 我们构造一个权重 $T$ 和一个辅助算子 $P$, 使得在主符号层面上,

其中 $\gamma > 0$ 是下面要选择的常数. 对 $T$-加权的波动能量求导然后产生负 $P$-尺度贡献, 可用于控制这两个项. 形式上, $T$ 可以视为剪切导数的函数:

由于 $\exp(\frac{1}{\gamma} \sinh^{-1} \xi) \approx \langle \xi \rangle^{(\text{sgn } \xi)/\gamma}$, 参数 $\gamma$ 决定了 $T$ 的频率阶, 从而决定了结果的增长和衰减指数. 为了获得此构造允许的最优速率, 我们因此寻求与能量估计兼容的最大 $\gamma$ 值. 在此阶段, 没有交叉项的情况下, $A$-分量会将我们限制在 $\gamma \leq 1/2$.

为了扩大 $\gamma$ 的可允许范围, 我们考虑交叉项 $\lambda \text{Re}\langle PT A, PTR \rangle$, 其中 $\lambda > 0$ 是要选择的. 在主 $P$-尺度上, 当时间导数落在 $R$ 上时, 恒等式 $\partial_t R = -A$ 产生负贡献 $-\lambda \|PT A\|^2_{L^2}$; 当它落在 $A$ 上时, 声学项产生对 $R$-分量的正贡献. $\frac{1}{M^2} \|PT D_t R\|^2_{L^2}$ 和 $\|PT A\|^2_{L^2}$ 的关键系数分别为 $-1 + \lambda + \gamma$ 和 $-1 - \lambda + 2\gamma$. 平衡这两个系数给出 $\lambda = 1/3$ 和 $\gamma = 2/3$. 因此, 校正交叉项将 $\gamma$ 的可允许值从 $1/2$ 扩大到 $2/3$.

假设 $MU'_{\sup} \leq 1$ 确保交叉项 $\frac{1}{3} \text{Re}\langle PT A, PTR \rangle$ 受能量中正项的控制, 从而保持强制性.

低阶权重 $S$. 除了前面平衡中使用的主贡献外, 对交叉项求导还会产生额外的项, 当时间导数落在 $P$ 或 $T$ 上时, 以及来自 $A$ 方程低阶部分的项. 剩余需要控制的最高阶项出现在尺度 $U'|k|^2(-\Delta_t)^{-1}$. 为了吸收这些贡献, 我们引入第二个权重 $S$, 其符号表示和主要对数时间导数为:

对于足够小的固定 $\beta > 0$, 通过对 $S$ 求导产生的强制性负贡献吸收了上述描述的贡献. 由于 $\tan^{-1}$ 是有界的, $S$ 从上方和下方均一致有界, 因此 $\beta$ 的选择不影响能量的频率阶或结果的时间指数.

最后, 在应用权重 $T$ 和 $S$ 之后, 分量 $\Theta$ 已经由结果的能量结构控制, 不需要进一步的修改. 我们因此被引导定义基本能量:

为了证明这一构造, 仍需控制权重与 $U'$ 和 $U''$ 的交换子, 以及涉及辅助算子 $P$ 的交换子. 拟微分演算表明, 在慢变假设下, 这些交换子是低阶的, 并且足够小, 可以被 $S$ 生成的低阶耗散所吸收. 这导致了基本能量的非递增性质.

3. 终端时间依赖的加权能量 第二个主要成分由两个终端时间依赖的权重组成. 高阶加权能量补偿了基本权重 $TS$ 在负频率区域的负阶, 而低阶加权能量产生了带有终端时间衰减的负阶估计.

一个关键点是, 这些终端时间依赖的权重与变系数基本能量保持兼容; 也就是说, 它们被选择为与 $D_t$ 精确交换. 然而, 它们不与 $U'$ 和 $U''$ 交换, 从而产生额外的交换子误差. 这些新权重的仔细选择确保它们的时间导数生成额外的耗散, 在假设 $\|U''\|_{W^{n,\infty}} \leq \epsilon$ 下, 吸收这些交换子误差.

高阶加权能量. 基本权重 $TS$ 在负频率区域具有负阶, 而在正频率区域已经提供了足够的正则性. 因此, 为了获得所需的 $L^2$-界, 我们只需要在负频率区域加强能量. 因此, 我们选择一个正函数 $g$, 在负频率处为 1 阶, 在正频率处为 0 阶, 且 $g' < 0$. 对于每个固定的终端时间 $s \geq 0$, 我们引入:

当对 $G_s$-加权能量求导时, 我们区分时间导数是落在 $G_s$ 上还是落在其余因子上. 由于 $G_s$ 与 $D_t, \Delta_t, T, S$ 交换, 后一类项具有与基本能量估计中相应项相同的结构, 除了涉及 $G_s$ 的交换子误差. 前一类包含本质上的新贡献. 在主符号层面上,

这种有利的负号是两个选择的结果: $g$ 的非对称频率阶使其可以在整个频率空间中选取 $g' < 0$, 而终端时间依赖的平移将时间微分产生的系数从 $-U'(y) < 0$ 变为 $2U'_{\sup} - U'(y) > 0$. 将由此产生的耗散贡献与基本能量估计相结合, 我们得出结论, $G_s$-加权能量在 $0 \leq t \leq s$ 上是非递增的.

在终端时间 $t = s$ 时, 平移消失, 比较 $t = 0$ 和 $t = s$ 时的加权能量得出所需的高阶估计.

低阶加权能量. 对于互补的低阶估计, 我们类似地进行. 对于每个固定的终端时间 $s \geq 0$, 我们引入:

其中 $h$ 是正的, 在负频率区域为 $-2$ 阶, 在正频率区域为 0 阶, 且在整个频率空间中 $h' > 0$.

与高阶构造类似, 我们关注由 $H_s$ 上的时间导数生成的项. 在主导阶上,

与高阶构造不同, 有利的负号在未平移的情况下已经存在, 并由平移保留, 其作用在这里是产生 $s$ 的衰减. 在 $t = 0$ 时, 平移产生一个 $\langle s \rangle^{-2}$ 量级的因子, 这是由于 $h$ 在负频率区域的 $-2$ 阶, 而在 $t = s$ 时平移消失. 比较由此产生的非递增 $H_s$-加权能量在 $t = 0$ 和 $t = s$ 时, 得出带有 $s$ 衰减的所需低阶估计.

在高阶和低阶估计之间进行插值, 给出密度扰动和速度扰动无旋分量的增长上界.

这种构造的一个优点是, 两个估计都是从同一个基本能量导出的, 而不需要对系统求导或为未知数的导数引入单独的能量. 此外, 终端时间依赖性将加权能量的单调性转化为 $s$ 的显式增长和衰减速率.

最后, 我们对 $\Theta$ 应用 Duhamel 公式, 并从 $W = \Theta - LR$ 恢复 $W$. 将所得表示与传播子界、混合估计以及高阶和低阶能量估计相结合, 得到 $v_{\text{sol}}$ 的分量衰减界, 完成了主定理的证明.

4. 与之前工作的比较

本文与既有工作的比较可以从以下几个维度展开:

1. 与不可压缩情形的比较 在不可压缩欧拉方程中, 剪切流的稳定性研究已有大量成果. Zillinger [29] 为一类严格单调剪切流建立了严格的线性理论, 证明了稳定性、散射和无粘阻尼, 并得到了最优衰减速率. Wei-Zhang-Zhao [25, 26] 在一维有限通道中建立了一类单调剪切流的速度衰减估计和散射性质, 并进一步证明了可能非单调剪切流的线性阻尼和涡度耗尽. Jia [14, 15] 给出了尖锐衰减速率的另一种证明, 并推导了精确渐近, 还在 Gevrey 空间中建立了线性阻尼. Grenier-Nguyen-Rousset-Soffer [11] 发展了基于共轭算子方法的不同途径. 然而, 这些工作大多局限于不可压缩情形. 本文首次将无粘阻尼理论推广到可压缩情形, 处理了密度、无旋速度和有旋速度之间的复杂耦合. 可压缩性引入了声学波与涡度之间的耦合, 这使得问题比不可压缩情形更加复杂. 本文通过构造适应于变系数声学-涡度系统的基本拟微分能量, 克服了这一困难.

2. 与可压缩 Couette 流结果的比较 Antonelli-Dolce-Marcati [2] 研究了均匀 Couette 流附近的线性化可压缩欧拉方程. 他们利用了 Couette 剖面的显式结构, 引入了剪切坐标, 将问题约化为针对单个傅里叶模族的非自治方程. 结合精心设计的时变能量估计, 他们得到了密度扰动、无旋分量和有旋分量扰动的精确增长和衰减界限. 然而, 均匀 Couette 流具有一种特别有利的结构, 这在一般剪切剖面中是不存在的. 特别是, 速度对横向变量的仿射依赖关系在剪切坐标下产生了显式公式, 并保持线性化动力学的逐模式傅里叶表示. 一旦 $U'$ 非常数, 即使其变化任意小, 傅里叶模式也会发生耦合, 剪切坐标下的方程变成真正的变系数系统.

本文的主要推进在于, 将无粘阻尼理论从均匀 Couette 流推广到非均匀剪切剖面. 与 [2] 不同, 本文不要求剪切剖面接近 Couette 流, 而是要求剪切率 $U'$ 的变化足够缓慢. 具体来说, 我们要求 $U'$ 的空间导数很小, 但 $U'$ 不必接近常数. 例如, 考虑一族剖面, 其剪切率由 $U'(y) = \lambda(1 + \frac{1}{2}\tanh(y/\ell))$ 给出, 其中 $\lambda > 0, \ell \geq 1$. 对于每个固定的整数 $n \geq 0$, 我们有 $\|U''\|_{W^{n,\infty}} \lesssim \lambda/\ell$, 而 $\inf_{c \in \mathbb{R}} \|U' - c\|_{L^\infty} = \lambda/2$. 因此, 当 $\ell$ 变得很大时, 剪切率的空间导数变小, 但 $U'$ 在 $L^\infty$ 范数下并不接近任何常数. 在这个意义上, 缓慢变化指的是变化的空间尺度, 而不是其振幅.

此外, 本文还施加了亚音速条件 $MU'_{\sup} \leq 1$. 这个条件在 [2] 研究的无粘均匀 Couette 问题中是不需要的. 事实上, 当 $U(y) = y$ 时, 耦合密度和涡度扰动的额外守恒律将系统在剪切坐标下简化为一个 $2 \times 2$ 系统. 在对全傅里叶变换后, 动力学进一步分解为每个频率 $(k, \eta)$ 独立的非自治系统. [2] 的作者为每个傅里叶模式构造了一个时变的、依赖于 $M$ 的对称化, 并对所有 $M > 0$ 获得了强制的能量估计, 尽管所得的等价常数不是关于 $M$ 均匀的. 这种精确的逐模式结构直接控制了声学变量和剪切诱导的耦合, 因此不需要上述描述的 $MU'_{\sup} \leq 1$ 条件的两种用途. 对于非均匀剪切剖面, 相应的密度-涡度组合不再精确地输运, 且横向傅里叶模式发生耦合, 因此这种构造不直接可用. 本文通过构造时变拟微分能量, 克服了这一困难, 并在亚音速条件下得到了与 Couette 流相同的时间指数.

3. 与 Antonelli-Dolce-Marcati 早期预印本的比较 我们提到 Antonelli-Dolce-Marcati 的一篇早期预印本 [1], 它研究了对 Couette 流微扰接近的单调剪切流, 并陈述了多项式增长和无粘阻尼估计, 但在时间指数上有一个小损失. 本文考虑的剪切剖面临近类不受此微扰接近假设的限制. 虽然 [1] 和本工作都使用剪切坐标和时变加权能量, 但我们不使用傅里叶乘子基本能量. 相反, 我们构造了一个时变拟微分对称化器, 其中变剪切率被纳入主对称化. 在这种框架下, 由傅里叶乘子能量产生的高阶交换子不会出现. 剩余的交换子误差是低阶的, 并被单独的强制性贡献所吸收. 结合终端时间依赖的高阶和低阶加权能量, 这在没有时间指数损失的情况下得出了 Couette 尺度的增长和分量衰减界.

4. 技术方法的创新 本文的核心技术创新在于构造了一个时变拟微分能量, 以恢复变系数剪切动力学的强制性结构. 与传统的傅里叶乘子能量不同, 这种能量通过与剪切坐标酉算子 $V = e^{ikU(y)t}$ 共轭来构造, 从而确保了与剪切导数 $D_t$ 的精确交换. 这种精确交换保持了声学波系统最高阶的抵消, 避免了由傅里叶乘子能量产生的高阶交换子. 此外, 我们还引入了终端时间依赖的高阶和低阶加权能量, 以捕捉剪切混合的长时间效应. 这些加权能量与变系数基本能量保持兼容, 并通过仔细选择其参数, 确保它们的时间导数生成额外的耗散, 从而吸收交换子误差. 这种构造的优势在于, 所有估计都是从同一个基本能量导出的, 而不需要对系统求导或为未知数的导数引入单独的能量. 此外, 终端时间依赖性将加权能量的单调性转化为显式的增长和衰减速率.

5. 适用范围与代价 本文的适用范围是一类剪切率缓慢变化的单调剪切流. 具体来说, 我们要求 $U'$ 的空间导数很小, 但 $U'$ 不必接近常数. 这是一个比 [1] 更广泛的剖面类, 因为它不要求剖面接近 Couette 流. 然而, 本文也施加了亚音速条件 $MU'_{\sup} \leq 1$, 这是 [2] 中不需要的. 这个条件限制了马赫数 $M$ 和剪切率 $U'_{\sup}$ 之间的关系, 即声学调整必须发生在不超过最短剪切变形时间尺度的时间尺度上. 这个限制是必要的, 因为在非均匀剪切剖面中, 密度-涡度组合不再精确地输运, 且横向傅里叶模式发生耦合, 因此需要额外的条件来保证能量的强制性. 此外, 本文的结果是在线性水平上获得的, 非线性稳定性问题仍然开放.

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1. 多类别动力学交通流模型：离散速度表述与扩散修正宏观极限

A multi-class kinetic traffic flow model: discrete-velocity formulation and diffusively-corrected macroscopic limits

作者: Carmen Mezquita-Nieto, Paola Goatin, Axel Klar

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27159v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27159v1

摘要翻译

中文标题: 多类别动力学交通流模型：离散速度表述与扩散修正宏观极限

摘要翻译: 本文介绍了一种基于非局部 Prigogine-Herman 框架的离散速度动力学交通流模型的多类别扩展。我们从描述不同车辆类别之间通过制动和弛豫项进行相互作用的连续动力学表述出发，推导出了一个双曲尺度化的方程组。随后，我们对任意数量的车辆类别关于速度变量进行了离散化，并分析了所得表述的结构性质。特别是，我们证明了双曲性和完全线性退化性。由于模型具有非守恒结构，我们采用路径守恒有限体积格式对该系统进行数值逼近。最后，我们推导了对应的扩散修正宏观多类别模型，研究了其稳定性，并在单车道道路上进行了数值模拟以说明理论发现。

2. 指数动量衰减下无零条件 Vlasov–波系统的全局动力学

Global dynamics of Vlasov–wave systems without the null condition under exponential momentum decay

作者: Léo Bigorgne

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27053v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27053v1

摘要翻译

中文标题: 指数动量衰减下无零条件 Vlasov–波系统的全局动力学

摘要翻译: 我们证明了来自小分布函数的、无零结构的相对论 Vlasov–波系统的解的全局存在性与修正散射。当力场在动量变量上的齐次性与 Vlasov-Maxwell 系统中的齐次性相同时，允许标量场较大，且我们的方法要求拉伸指数速度衰减。当它与 Einstein-Vlasov 系统中的齐次性一致时，要求标量场较小，并且分布函数具有略超指数的速度衰减，这特别包含了 Maxwellian 衰减。此外，我们表明，即使对于紧支撑的初值数据，标量场上的小性假设通常也不能被去除。

3. 具有两个调制系数的广义双相问题的梯度估计

Gradient estimates for generalized double phase problems with two modulating coefficients

作者: Jehan Oh, Ambesh Kumar Pandey

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26543v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26543v1

摘要翻译

中文标题: 具有两个调制系数的广义双相问题的梯度估计

摘要翻译: 我们建立了非一致椭圆散度型方程的 Calderón-Zygmund 估计，该方程基于广义双相结构

其中 $G$ 和 $H$ 是 Young 函数，$a,b$ 是非负的、满足 Hölder 连续性的系数，且满足自然的非退化条件 $a(\cdot)+b(\cdot)\geμ>0$。在关于 $G,H$ 以及 $a,b$ 的 Hölder 正则性的自然假设下，我们证明了任意局部解的梯度继承了与数据相同的可积性。更具体地说，如果 $\Psi(\cdot,F)\in L^Θ_{\mathrm{loc}}$，则对于每个 $Θ\in\mathcal{N}$，都有 $\Psi(\cdot,Du)\in L^Θ_{\mathrm{loc}}$。我们的结果将 Baasandorj-Byun-Oh (\emph{J. Funct. Anal.} \textbf{279}(7), 2020) 的结果从经典广义双相结构 $G+a(x)H$ 推广到了两个调制系数的情形，并通过在两个调制系数框架内建立临界情形下广义双相泛函的 Calderón-Zygmund 估计，扩展了 Kim-Kim-Oh (\emph{Nonlinear Differ. Equ. Appl.} \textbf{33}, 2026) 的梯度估计。

4. “零质量”拟线性 Schrödinger 方程正径向解集及其对应 $L^2$-质量集的紧性

Compactness of positive radial Solution Sets and corresponding $L^2$-Mass sets for “Zero Mass” Quasi-linear Schrödinger Equations

作者: Haidong Liu, Yulan Tang, Chengcheng Wu

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26502v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26502v1

摘要翻译

中文标题: “零质量”拟线性 Schrödinger 方程正径向解集及其对应 $L^2$-质量集的紧性

摘要翻译: 我们研究“零质量”拟线性 Schrödinger 方程

的正径向解的两个集合的紧性。对于在无穷远处严格亚临界或渐近临界的非线性项，我们证明了最小能量正径向解集非空且在自然空间中是紧的。此外，在严格亚临界情形下并附加某些假设时，我们证明了所有有限 $L^2$-质量的正径向解集在 $L^2(\mathbb R^N)$ 中是紧的。证明依赖于变换后的半线性方程对应的正径向解的一致衰减估计，这些估计给出了所需的一致 $L^2$-尾部控制。

5. 球面上聚集-扩散能量平衡态的稳定性

Stability of equilibria of an aggregation-diffusion energy on sphere

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类别: math.AP

发布日期: 2026-08-26

arXiv ID: 2608.26415v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26415v1

摘要翻译

中文标题: 球面上聚集-扩散能量平衡态的稳定性

摘要翻译: 我们考虑球面上的一个聚集-扩散能量，并研究其平衡态的稳定性。该能量由多孔介质型非线性熵 $\frac{1}{m-1}\int ρ(x)^m\mathrm{d}S(x)$（其中 $m>1$）以及由二次相互作用势描述的相互作用能组成。该能量推广了具有偶极子势的 Onsager 自由能，后者用于描述聚合物取向。我们的研究补充了作者此前的工作 [Nonlinearity {\bf 39} (2026), 055011]，该文研究了该泛函的基态。在本文中，我们将先前关于 $m>2$ 时平衡态存在性的结果从 $d=2$ 推广到任意维度 $d \geq 2$。这使得我们能够给出任意维度 $d \geq 2$、所有 $m>1$ 下所有平衡态（关于相互作用强度）的分岔结构。此外，我们通过推导一个可显式检验的稳定性判据，对能量的所有平衡态的稳定性进行了完整分类。特别地，对于 $m>2$，我们识别出严格支撑平衡态的鞍结分岔，以及均匀分布失去稳定性的亚临界叉形分岔。

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1. 高维 Nitsche 猜想：最佳界与刚性

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类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27303v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27303v1

摘要: Let $n\ge3$ and let $h:\A(r,1)\to\A(R,1)\subset\mathbb R^n$ be an onto homeomorphism with harmonic coordinate functions. We prove the sharp Nitsche bound

and, when $h$ interchanges the two ends, the strictly stronger sharp bound

Both critical cases are rigid: equality forces, up to an orthogonal transformation, the corresponding end-preserving or end-reversing radial harmonic homeomorphism. No continuous extension to the closed annulus, boundary homeomorphism, boundary Jacobian, or sign condition on the Jacobian is assumed. The proof converts the nonzero degree of each interior direction map into a probability coupling and establishes a sharp contraction principle for vector measures under positive zonal kernels, using the strict concavity of spherical-cap barycenters. At either critical value, a second-order endpoint defect forces equality for a limiting transfer kernel, whose equality classification yields an orthogonal coupling graph. The remaining trace is locked by a Dirichlet-to-Neumann spectral gap in the end-preserving case and by endpoint Hölder regularity and uniform convergence of the direction maps in the end-reversing case.

2. 流形上熵的凹性及其他性质

Concavity and other properties of the entropy on manifolds

作者: Xuenan Fu, Juanling Lu, Qi S. Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27327v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27327v1

摘要: In this paper, we establish systematic estimates for the entropy and its density on Riemannian manifolds, focusing on the more challenging cases where the Ricci curvature changes sign or the boundary is nonconvex. For example, the refined 2nd law of thermodynamics states that the entropy in a compact domain in $\mathbb R^n$ is increasing in time, furthermore, it is concave if the domain is convex. The concavity property is equivalent to the property that the Fisher information is decreasing, which also holds for convex domains in a Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature (cf. \cite{NiLei}). In view of the wide application of entropy in mathematics, information theory, physics, etc., there is certain desire in the community to extend the property to broader settings, especially to the case with nonconvex boundary (see e.g. \cite[p. 3]{CFM}). Here, we prove that the refined 2nd law still holds if the domain is not too far from convex and the negative part of the Ricci curvature is not too large, in an explicit, nonperturbative sense. The proof is based on a recent 2nd order log Poincaré inequality that does not require explicit curvature conditions of the manifold. If the negative part of the Ricci curvature is too large, a counterexample to the concavity is given. Some other related estimates for the entropy density (Hamilton type estimates) are also proven.

3. 格图上的 Tzitzéica 方程的保号解

Sign-preserving solutions to the Tzitzéica equation on lattice graphs

作者: Pengxiu Yu, Yiping Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27342v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27342v1

摘要: On the lattice graph $\mathbb{Z}^n$, we establish the existence of sign-preserving solutions to the Tzitzéica equation. We prove the existence of positive solutions and two classes of negative solutions under different assumptions, and derive their decay estimates. The proof is based on a suitable approximation scheme, the monotone convergence theorem, and an exhaustion argument. These results extend those of Hua, Huang, and Wang (Anal. PDE, 2026) by establishing the existence of both positive and negative sign-preserving solutions together with their decay estimates.

4. Lotka-Volterra 竞争扩散系统中传播速度关于扩散的单调性

Monotonicity of the propagation speed with respect to the diffusion in a Lotka-Volterra competition-diffusion system

作者: Cyrille Kenne

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27431v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27431v1

摘要: In this paper, we study the dependence of the propagation speed on the diffusion ratio in a Lotka-volterra competition-diffusion system under strong competition. The model is known to admits a unique monotone travelling front connecting two exclusion equilibria and the sign of its speed determines which species invades the territory occupied by the other. We establish smoothness results for the wave speed and the wave profile. Our main result shows that the wave speed is a strictly decreasing function of the diffusion ratio on explicit unbounded regions of parameter space. This monotonicity had been observed numerically but, had not previously been proved. The proof combines the smooth dependence of both the travelling front and its speed on the diffusion ratio, an adjoint identity for the linearized operator and a maximum principle argument. At zero speed, we also prove that there exists a smooth threshold, we obtain an exact formula for its derivative and deduce its monotonicity. These threshold results also provide a complete characterization of the sign of the wave speed.

5. Hamiltonian 平稳与特殊 Lagrangian 图形的精确部分正则性

Sharp partial regularity of Hamiltonian stationary and special Lagrangian graphs

作者: Arunima Bhattacharya, Gerard Orriols, Anna Skorobogatova

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27324v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27324v1

摘要: We prove a sharp partial regularity result for Hamiltonian stationary Lagrangian Lipschitz submanifolds in arbitrary smooth almost Kähler manifolds: every weak solution of the corresponding equation is smooth away from a relatively closed singular set of Hausdorff dimension at most $n-5$. We show that the estimate is optimal by constructing a nonzero two-homogeneous viscosity solution

of the phase-zero special Lagrangian equation, whose level sets on $\mathbb{S}^4$ are the leaves of Cartan’s isoparametric foliation. Its gradient graph is a non-flat calibrated cone, real analytic away from the vertex. This also gives the first $C^{1,1}$ but non-$C^2$ solution of the special Lagrangian equation, and shows that the same dimensional estimate is sharp in the case of special Lagrangian graphs.

6. 弱磁场下稳态磁极化子的基态的定性性质

Qualitative Properties of Ground States for the Stationary Magnetopolaron with a Weak Magnetic Field

作者: Yujin Guo, Shuang Wu, Chenyi Yao

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27071v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27071v1

摘要: We investigate ground states of the stationary magnetopolaron in $\mathbb R^3$ with a constant magnetic field. When the strength $|b|$ of the magnetic field is sufficiently small, we prove the uniqueness and nondegeneracy of ground states, up to magnetic translations and phase shifts. Applying the uniqueness result, we further derive rigorously the symmetry and monotonicity of ground states for sufficiently small $|b|>0$. The second-order asymptotic expansion of the ground state energy is also derived as $b\to 0$.

7. Sobolev 极值点处线性化 $p$-Laplacian 的完整谱

The complete spectrum of the linearized $p$-Laplacian at a Sobolev extremal

作者: Yitian Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27276v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27276v1

摘要: Let $1<p<n$ and let $v(x)=(1+|x|^{p/(p-1)})^{-(n-p)/p}$ be the standard radial extremal for the sharp Sobolev inequality. We determine all eigenvalues and eigenspaces of the linearized $p$-Laplacian at $v$, defined by its closed quadratic form in $L^2(\mathbb{R}^n,v^{p^*-2} dx)$. After decomposition into spherical harmonics, an explicit gauge transformation and a change of variables identify each radial operator with a shifted Jacobi operator. This yields a complete eigenbasis indexed by $(\ell,k)\in\mathbb{N}_0^2$, where $\ell$ is the angular degree and $k$ is the radial mode number.

8. Cartan–Hadamard 流形上 Allen–Cahn 方程的 Busemann 剖面的刚性与存在性

Rigidity and existence of Busemann profiles for the Allen–Cahn equation on Cartan–Hadamard manifolds

作者: Luis Eduardo Osorio-Acevedo, Álvaro Jaramillo

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27257v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27257v1

摘要: We study entire solutions of the Allen–Cahn equation $Δ_g u = W'(u)$ on Cartan–Hadamard manifolds of the form $u = U\circ b$, where $b$ is a Busemann function and $U\in C^2(\mathbb{R})$; we call these Busemann profiles. Our main result is a rigidity principle requiring no homogeneity of the manifold: if $\inf Δ_g b>0$ and $U$ has finite limits $\ell_\pm$, then $W(\ell_-)\le W(\ell_+)$, with equality exactly when $U$ is constant. In particular no nonconstant Busemann layer joins the two wells of a balanced double-well potential, in any dimension $n\ge 2$; under $K\le-κ_2<0$ the hypothesis is automatic by Hessian comparison, and if $W'$ is locally Lipschitz it holds under the mere nonvanishing of $Δ_g b$. The mechanism is a dissipation identity for the Hamiltonian $\tfrac12(U')^2-W(U)$ along the flow lines of $\nabla b$, in which the mean curvature of the horospheres acts as a wave speed. Conversely, when $Δ_g b\equiv c$ and $W$ is bistable and unbalanced, strictly increasing Busemann fronts joining the wells exist precisely when $c$ is the Fife–McLeod speed; their interfaces are then horospheres of constant mean curvature. On warped-line and rotational surfaces we test sharpness: monotone warpings admit no equal-level profile and rotational surfaces no radial two-well profile, while an even convex warping carries a nonconstant monotone layer whose nodal set is the central geodesic leaf.

9. 一个等周刻画：$C^0$-渐近平坦流形上的一种新类 ADM 质量

An isoperimetric characterization of a new ADM-like mass for $C^0$-asymptotically flat manifolds

作者: Luca Benatti, Mattia Fogagnolo

类别: math.DG, gr-qc, math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27103v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27103v1

摘要: We prove that the notion of mass recently introduced by Mazurowski and Yao for continuous metrics coincides with Huisken’s isoperimetric mass on smooth Riemannian $3$-manifolds with nonnegative scalar curvature whose metric has sharp $C^0$-asymptotically flat behavior. As a consequence, we deduce a Riemannian Penrose inequality for the mass parameter of asymptotically Schwarzschildian $3$-manifolds.

10. 时变超表面波传播的界面条件

Interface Conditions for Wave Propagation Through a Time-varying Metasurface

作者: Vishnu Raveendran, Barbara Verfürth

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.27061v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.27061v1

摘要: We study wave propagation through a time-modulated thin heterogeneous layer. The layer is assumed to have a thickness of order $\es\ll 1$ and its material properties exhibit rapid oscillations on multiple spatial and temporal scales. We aim to rigorously derive the effective model and the corresponding interface conditions for wave propagation through the limiting interface. To perform the homogenization together with dimension reduction, we generalize the notion of two-scale convergence for thin layer introduced by Neuss-Radu and Jäger (2007) to a multiple space-time scale framework. One of the main analytical difficulties arising in the homogenization analysis is that, in general, a uniform energy estimate cannot be obtained for a wave equation with time-varying coefficients. Therefore, we identify two physically relevant classes of coefficients for which we can derive a uniform energy bound. These include coefficients with traveling wave-type modulations of their properties. Using the energy estimates and the multiscale convergence for thin layer concept, we derive the effective model, which consists of linear wave equations in the bulk domains coupled through a nonstandard jump condition at the interface. This jump condition is governed by a wave-type dynamical equation with effective macroscopic coefficients determined by suitable cell problems of elliptic and hyperbolic type. Finally, we discuss the uniqueness of the effective model.

11. 缩放核空间的尺度一致逆不等式

Scale-uniform inverse inequalities for scaled kernel spaces

作者: Davoud Mirzaei

类别: math.NA, math.AP, math.FA

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26945v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26945v1

摘要: Inverse inequalities are an important tool in the stability and convergence analysis of kernel approximation methods. In a multiscale setting, however, the trial space changes with the kernel scale $δ$, and inverse estimates for a fixed kernel are not sufficient. The constants must remain controlled as $δ\to0$. In this paper, we study scale-uniform inverse inequalities for spaces generated by scaled positive definite kernels whose native spaces are Sobolev spaces. We first establish inverse estimates in scale-dependent Sobolev spaces. On bounded domains, this leads to a scale-uniform inverse inequality in standard Sobolev norms with $L^2$ as the weaker norm. The estimate requires only that the separation distance of the centers be bounded above by a fixed multiple of the kernel scale. This allows the kernel scale to decrease more slowly than the separation distance, as is relevant in multiscale refinement. We then establish more general scale-uniform Bernstein inequalities on the whole space. Our result covers a broad range of weaker and stronger Sobolev indices under the same relation between the separation distance and the kernel scale. The proof works directly with the Fourier representation of functions in the kernel space and combines a low-high frequency decomposition with frame estimates for separated exponential polynomials. This avoids the additional scale factors that arise from separate comparisons of scaled and standard Sobolev norms.

12. 带排斥库仑相互作用的受限玻色子的测度值自由能极小化子

Measure-valued free-energy minimizers for trapped bosons with repulsive Coulomb interaction

作者: Gi-Chan Bae, Jinmyoung Seok

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26900v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26900v1

摘要: We study a free-energy minimization problem for a trapped semiclassical Bose gas with repulsive Coulomb self-interaction. Because the bosonic entropy density has zero recession slope, the natural relaxation is posed over nonnegative finite Radon measures on phase space, and a minimizer may have a singular component. We interpret this component as condensation within the relaxed semiclassical model. We prove existence and uniqueness at every positive temperature, derive the Euler-Lagrange contact condition and an obstacle-type formula for the condensed density, and establish low- and high-temperature as well as small- and large-mass criteria for condensation. For harmonic traps we obtain a sharp confinement-strength dichotomy. We also prove an abstract conditional variational-stability statement for measure-valued curves that conserve mass and satisfy the free-energy inequality.

13. 倒置抛物线作为表面生长模型的稳定稳态解

Inverted Parabola as a Stable Steady Solution of the Surface Growth Model

作者: Won-Suk Lee

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26850v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26850v1

摘要: For the surface growth model under molecular beam epitaxy on $\mathbb{R}$, we show that an inverted parabola is a stable steady solution in the sense that any small perturbation of it decays in $L^{\infty}(\mathbb{R})$ at the rate $O(t^{-1/2}\log t)$. The proof is based on the explicit solution operator generated by the linearized perturbation equation. This result partially justifies the merging of two neighboring islands into a bigger one. Moreover, any derivative of its solution is shown to be decaying in $L^{2}(\mathbb{R})$ for sufficiently small initial data.

14. 度量空间上局部假设下有界 $p$-调和函数与拟调和函数的 Liouville 定理与可去集

Liouville theorems and removable sets for bounded $p$-harmonic and quasiharmonic functions on metric spaces under local assumptions

作者: Anders Björn, Jana Björn

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26878v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26878v1

摘要: For connected proper metric spaces $X$, equipped with a locally doubling measure supporting a local $p$-Poincaré inequality, we completely characterize which compact sets $K$ with positive capacity are removable for bounded $p$-harmonic functions, $p>1$. Similar results are proved also for bounded quasiharmonic functions. The characterization is both in geometric and analytic terms. In particular, removability is shown to be equivalent to the validity of a Liouville type theorem in $X\setminus K$. Properties such as local connectedness, sequential annular quasiconvexity, concentration of capacity and $p$-parabolicity are identified as crucial for removability. Along the way, we give a rather elementary proof of the Liouville theorem for quasisuperharmonic functions in $p$-parabolic spaces. Our results apply in particular to manifolds and $\mathbf{R}^n$ equipped with (locally) $p$-admissible weights.

15. 向量值 Allen-Cahn 系统向 Brakke 多相平均曲率流的收敛

Convergence of a vector-valued Allen-Cahn system to Brakke’s multiphase mean curvature flow

作者: Tim Laux, Keisuke Takasao

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26842v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26842v1

摘要: Since Ilmanen’s pioneering work [J. Differential Geom. 38, 417-461, (1993)] it has been a major open problem to understand the sharp-interface limit of systems of coupled Allen-Cahn equations. We prove - for the first time - a global, unconditional convergence result for such a coupled system and show that the limit is a multiphase mean curvature flow in the sense of Brakke.

16. 从广义更新-跳跃动力学推导次扩散方程

Deriving subdiffusion equations from general Renewal–Jump dynamics

作者: Benoît Perthame, Min Tang

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26740v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26740v1

摘要: Subdiffusion occurs when long trapping or residence times of particles slow down spatial transport and produce a mean squared displacement proportional to $t^α$, with~$0<α<1$. We develop a general renewal–jump framework that combines the internal trapping dynamics with the reinjection of particles with spatial jumps. The internal trapping dynamics enters the macroscopic limit through the small-frequency behavior of a resolvent which limiting solution is not integrable. A growth mass condition determines the parameter~$α$. Then the spatial density converges on the time scale~$\eps^{-2/α}$ to a time-fractional diffusion equation. This criterion provides a common derivation for models with very different internal mechanisms. We first establish the abstract limit by Laplace transform in a general setting. We then show that the classical age-structured renewal model is a direct instance of the framework and apply the same criterion to an internal pathway model governed by a degenerate elliptic operator. Both yield the subdiffusion equation and its correct initial condition. The approach clarifies which microscopic property produces subdiffusion, how the anomalous exponent determines the macroscopic scaling, and why the initial distribution enters the limit through the initial spatial mass under the stated preparation assumptions.

17. 带 Hardy 势的分数阶 Laplacian 的低阶项

Lower order term for the fractional Laplacian with a Hardy potential

作者: Rubén Fiñana, Alexis Molino

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26828v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26828v1

摘要: This paper is concerned with the following semilinear elliptic equation involving the fractional Laplacian:

in a bounded domain $Ω$ of $\mathbb{R}^N\,(N>2s)$, subject to the zero Dirichlet condition in $\mathbb{R}^N\setminus Ω$, where $0<g\in L_{loc}^1(Ω)$, $p>1$ and $f\in L^{(p+1)/p}_g(Ω)$. Under certain integrability condition on $g$, the existence of solution is proven for every $λ\in \mathbb{R}$. Moreover, the regularity of solution is also obtained.

18. 谱 Barron 空间中的热方程

Heat equations in spectral Barron spaces

作者: Mourad Choulli, Shuai Lu, Hiroshi Takase

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26657v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26657v1

摘要: Spectral Barron spaces, characterized by an $L^1$-based Fourier-Lebesgue norm, have earned significant attention in approximation theory due to their remarkable capacity to represent functions via shallow neural networks with controlled complexity. Meanwhile, recent theoretical advances have firmly established an intrinsic and profound connection between these function spaces and the regularity theory of elliptic partial differential equations. Building upon this foundational interplay, the present work undertakes a systematic and comprehensive investigation into the well-posedness of heat equations formulated within the spectral Barron spaces framework. Specifically, we rigorously establish the core aspects of well-posedness, including the existence, uniqueness, and stability of solutions, under suitable assumptions on the source terms and conductivity coefficients. We also investigate a typical parabolic inverse problem, namely the backward heat equation, for which we derive a logarithmic conditional stability estimate. To the best of our knowledge, this constitutes the first stability estimate for inverse problems within the spectral Barron space setting. Moreover, we extend our analytical results to address the more intricate setting of time-fractional heat equations, which govern anomalous diffusion phenomena and introduce nonlocal temporal memory effects. In this extended context, we provide a characterization of the corresponding heat kernels, deriving decay estimates, regularity properties, thereby enriching the theoretical landscape of evolutionary PDEs within the spectral Barron spaces setting.

19. 亚扩散逆问题的后验一致性

Posterior consistency for subdiffusion inverse problems

作者: Haoyu Lu, Shaokang Zu, Junxiong Jia

类别: math.ST, math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26536v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26536v1

摘要: We study the Bayesian recovery of the initial state in a semilinear time-fractional subdiffusion equation from noisy random space-time point observations. A rescaled Gaussian prior based on a Whittle–Matérn process is assigned to the unknown initial condition. We prove the $H^{2+κ}$-regularity of the solution when the nonlinearity satisfies a Lipschitz condition in the $H^κ$-norm. We then establish posterior contraction rates for the prediction error in the $L^2$-norm and for the parameter in Sobolev norms. The rates are polynomial in the sample size, with exponent depending on the prior smoothness and the spatial dimension. Moreover, we prove a minimax lower bound by constructing a wavelet-packing set and controlling the Kullback–Leibler divergences.

20. 黎曼流形上 Kirchhoff-Boussinesq 型方程的无穷多解

Infinitely many solutions to Kirchhoff-Boussinesq-type equations on Riemannian manifolds

作者: Romulo D. Carlos, Juan Carlos Fernández, María de los Ángeles Sandoval-Romero

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26512v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26512v1

摘要: We study Kirchhoff-Boussinesq-type equations on closed Riemannian manifolds $(M,g)$ of the form

where $m<\dim M/2$, $(a_0,a_1,\ldots a_m)\in C^\infty_+(M)\times [0,\infty)^{m-1}\times(0,\infty)$, $2<p\leq\frac{2\dim M}{\dim M- 2}$ and $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ is a continuous nonlinearity of superlinear type with subcritical or critical Sobolev growth. We briefly motivate the above equation in the case of $m=2$, as an extension of the stationary Kirchhoff-Boussinesq equation when modeling the dynamics of curved elastic plates. Under some symmetry assumptions, we prove the existence of multiple equivariant solutions when considering critical Sobolev nonlinearities and, for subcritical ones, we also prove the existence of ground-state solutions. As a byproduct, we prove a Gagliardo-Nirenberg interpolation inequality and give several equivalent norms on the higher order Sobolev space $H_g^m(M)$.

21. $σ_3$ 方程凸粘性解的正则性

Regularity for convex viscosity solutions of $σ_3$ equation

作者: Ruosi Chen, Yannan Liu, Xingchen Zhou

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26503v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26503v1

摘要: We prove interior $C^2$ regularity for convex viscosity solutions of the $3$-Hessian equation $σ_3(D^2u)=f(x)$ with $f\in C^{0,1}, \inf f>0$, under a strict $3$-convexity condition on $u$.

22. 玻色子吉布斯态的动力学经典场极限：二维与三维中的重整化 Hartree NLS 关联

Dynamical classical-field limit of Bosonic Gibbs states: Renormalized Hartree NLS correlations in 2D and 3D

作者: Phan Thành Nam, Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu

类别: math-ph, math.AP, math.PR

发布日期: 2026-08-27

arXiv ID: 2608.26477v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26477v1

摘要: In this paper we derive the time-dependent correlation functions of the renormalized Hartree NLS equation on the torus $\mathbb T^d$, $d=2,3$, from the corresponding bosonic many-body Gibbs dynamics. In contrast with the 1D problem studied earlier by Fröhlich, Knowles, Schlein and Sohinger, in higher dimensions the scaled quantum particle number is not uniformly bounded and the relevant classical fields require Wick renormalization. Our proof combines convergence of the quantum generators in weighted Hilbert spaces with uniqueness for positive solutions of the limiting Liouville equation that are dominated by the Gibbs measure.

23. 弹性复合材料柯西问题中的均匀化方法

Homogenization procedure in the Cauchy problem for the elastic composites

作者: Sergey Sergeev, Reinaldo Rodriguez-Ramos

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-08-26

arXiv ID: 2608.26439v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26439v1

摘要: In the present work we consider the problem of the homogenization of the Cauchy problem for the equations of the elasticity. We assume the composite material is constructed as a periodic repetition along the chosen axis of the unit cell which models to different materials. The homogenization procedure is based on the operator separation of variables, which gives the new incites for the homogenization of the elasticity equations and provides new way of the homogenization and constructing the homogenized equation.

24. 求解给定密度的 Dirichlet 问题

Solving the Dirichlet problem with prescribed density

作者: Ling Xiao

类别: math.AP

发布日期: 2026-08-26

arXiv ID: 2608.26398v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26398v1

摘要: In this paper we prove the following result. Let $Ω\subset\mathbb R^n, n\geq 3,$ be a bounded, strictly convex, smooth domain and $\varphi: \partialΩ\rightarrow\mathbb R$ be a smooth function. Then for any $z\inΩ,$ there exists $c_1=c_1(Ω, \{z\}, n, \varphi)>0,$ such that if $c\geq c_1$ then the problem: $σ_{n-1}(D^2 u)=0$ in $\barΩ\setminus\{z\},$ $u|_{\partialΩ}=\varphi,$ $\lim\limits_{r\rightarrow 0}\sup\limits_{B_r(z)}\frac{u(x)-u(z)}{|x-z|^{(n-2)/(n-1)}}=c,$ admits a smooth solution in $\barΩ\setminus\{z\}.$ Moreover, we obtain the optimal a priori estimates for this solution. In particular, we show for any integer $m\geq 0$ there exists $C_m=C_m(m, Ω, \{z\}, n, \varphi, c)>0$ such that $|D^m u(x)|<C_m|x-z|^{\frac{n-2}{n-1}-m}.$ This work provides the first result demonstrating the existence of smooth solutions to the Dirichlet problem for fully nonlinear elliptic equations with prescribed density in Euclidean space. Previously, only continuous solutions were obtained.

25. Fock空间中平方受限稳定相位恢复的复分析证明

A complex-analytic proof of square-restricted stable phase retrieval in Fock space

作者: Cynthia Bortolotto, João P. G. Ramos

类别: math.CV, math.AP, math.CA, math.FA

发布日期: 2026-08-26

arXiv ID: 2608.26365v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26365v1

摘要: We give a short complex-analytic proof of a square-restricted form of local stable phase retrieval at the Gaussian in one-dimensional Fock space. The main estimate is a coercivity inequality for the map $F\mapsto F^2$:

The proof uses a weighted derivative norm, two integrations by parts, and a weighted Cauchy inequality. The proof has been completely verified in Lean with the aid of Large Language Models.

26. 非等温相场系统广义耗散解：存在性、弱-强唯一性与长时间行为

Generalised dissipative solutions for a non-isothermal phase-field system: existence, weak-strong uniqueness, and long-time behaviour

作者: Aaron Brunk, Marvin Fritz

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-08-26

arXiv ID: 2608.26297v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.26297v1

摘要: We study a thermodynamically consistent non-isothermal phase-field system coupling two order parameters and the inverse temperature through a fully non-diagonal Onsager mobility. The model describes the interaction of mass diffusion, heat conduction, and local phase relaxation while conserving mass and internal energy and producing entropy. Global generalised dissipative weak solutions are constructed using a fully discrete approximation. The discrete scheme conserves mass and internal energy and satisfies a discrete entropy inequality. An availability estimate, together with a dimension-adapted barrier, yields strict positivity at fixed mesh and uniform estimates. Compactness then allow passage to the continuous system. Concentration of the singular part of the internal energy is represented by a non-negative defect measure. The entropy-availability structure yields finite dissipation on the infinite time interval and the existence of stationary $ω$-limit states. Finally, a relative-entropy argument establishes weak-strong uniqueness whenever the weak and strong solutions remain in a bounded thermodynamic state range.