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1. 未知粘性下稳态Navier-Stokes方程的连续数据同化：鲁棒且高效的求解器与快速参数恢复

Continuous data assimilation in steady Navier-Stokes equations with unknown viscosity: robust and efficient solvers and fast parameter recovery

作者: L. Rebholz, J. Reyes, J. Whitehead

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02862v1

摘要翻译: 近年来，在SINDy等方程发现方法方面的进展凸显了直接从数据中识别控制参数和模型的兴趣日益增长。在这项工作中，我们采用了一种基于分析和数值偏微分方程方法的互补途径：利用连续数据同化（CDA）从部分不可压缩流观测中恢复稳态Navier-Stokes方程（NSE）中的未知粘性。我们提出了一种简单而高效的参数恢复算法以及用于CDA-NSE的非线性求解器。二者结合，形成了一种从部分解数据中高效恢复未知粘性的技术。我们的分析建立了稳态CDA-NSE的适定性、参数恢复算法的二次收敛性，以及CDA-Picard + CDA-Newton非线性求解器的二次收敛性。数值实验表明，即使初始猜测较差，这些方法也能非常有效地快速恢复参数。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02862v1

1. 研究对象和背景

本文研究的核心问题是利用部分解观测数据从稳态Navier-Stokes (NSE) 方程中恢复未知的运动粘度参数 $\nu$。该问题在流体力学、气象学和工程应用中具有广泛的实际需求，例如通过实验或卫星观测到的局部流速场来推断流体内部的物理性质。传统的参数估计方法往往依赖于离散化的优化算法，如梯度下降法或贝叶斯推断，这些方法在处理高维非线性PDE约束时计算成本高昂且缺乏严格的收敛性保证。

研究对象是定义在有界连通区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上的稳态不可压缩Navier-Stokes方程组：

$$ -\nu \Delta u + u \cdot \nabla u + \nabla p = f, $$

$$ \nabla \cdot u = 0, $$

其中 $u$ 为速度场，$p$ 为压力场，$f$ 为外部力，$\nu > 0$ 为待求的未知运动粘度。假设边界条件为无滑移条件 $u|_{\partial \Omega} = 0$。在实际应用中，我们通常无法获取全域的速度场 $u$，而是只能获得稀疏分布的部分观测数据。本文将这种部分观测建模为插值算子 $I_H$ 的作用结果，即已知 $I_H u$，其中 $H$ 为特征点间距。插值算子 $I_H$ 满足以下稳定性估计：

$$ \| I_H \phi \| \le C_I \| \phi \|, $$

$$ \| \phi - I_H \phi \| \le C_I H \| \nabla \phi \|, $$

对于所有 $\phi \in X := (H_0^1(\Omega))^d$ 成立。

为了结合部分数据与PDE模型，作者采用了连续数据同化 (Continuous Data Assimilation, CDA) 框架。CDA最初由Azouani等人于2014年提出，用于长时间依赖系统的数值模拟中保持精度。其核心思想是在演化方程中添加一个“引导项”（nudging term），该项惩罚计算解与观测数据之间的差异。对于稳态问题，CDA-NSE系统被定义为寻找 $(v, q)$ 使得：

$$ -\hat{\nu} \Delta v + v \cdot \nabla v + \nabla q + \mu I_H(v - u) = f, $$

$$ \nabla \cdot v = 0, $$

其中 $\hat{\nu}$ 是当前对真实粘度 $\nu$ 的近似猜测，$\mu > 0$ 是引导参数。当 $\hat{\nu} = \nu$ 时，该系统的解即为真实的NSE解 $u$。然而，在参数恢复过程中，初始猜测 $\hat{\nu}$ 通常不等于 $\nu$，因此需要分析在这种“不一致粘度”情况下的系统性质。

已有理论背景表明，CDA在时间依赖系统中已被证明能指数收敛到真实解，且在稳态问题的非线性求解器加速方面也有应用（如Rebholz et al. [40]）。然而，将CDA直接用于稳态系统中的参数恢复是一个新颖的方向。之前的工作主要关注时间依赖NSE中的雷诺数恢复（如Carlson et al. [10]），而针对稳态问题的参数恢复缺乏严格的数学分析和高效算法。本文旨在填补这一空白，建立稳态CDA-NSE系统的适定性理论，并设计基于CDA的高效参数恢复算法和非线性求解器。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果包括稳态CDA-NSE系统的适定性、一致性误差估计、CDA-Picard+CDA-Newton求解器的二次收敛性以及修改牛顿参数恢复算法的二次收敛性。

定理 3.1 (适定性): 假设插值步长 $H$ 和引导参数 $\mu$ 满足以下条件：

$$ H \le \frac{\sqrt{2}\hat{\nu}^2}{\sqrt{27} C_I M^2 C_v^2}, $$

$$ \mu \ge \frac{\hat{\nu}}{2 C_I^2 H^2}, $$

其中 $M$ 是三线性形式的常数，$C_v$ 是先验上界常数。则CDA-NSE系统 (3.1) 是适定的，即存在唯一解 $v \in V$，且解关于数据连续依赖。

定理 3.2 (一致性误差): 设 $u$ 是真实NSE解，$v$ 是对应粘度猜测 $\hat{\nu}$ 的CDA-NSE解。在上述适定性条件下，若 $H < (46 C_I \nu^{3/2} \hat{\nu}^{-3/2} \alpha_0^2)^{-1}$，则一致性误差满足：

$$ \frac{\| \nabla(u - v) \|}{\| \nabla u \|} \le \frac{2\sqrt{2} |\hat{\nu} - \nu|}{\hat{\nu}}, $$

$$ \| u - v \| \le \frac{\sqrt{2} C_I H |\hat{\nu} - \nu|}{\hat{\nu} \nu} \| f \|_{-1}. $$

这表明误差与粘度偏差 $|\hat{\nu} - \nu|$ 成正比，且相对误差独立于 $H$（在足够小的 $H$ 下）。

定理 4.1 (CDA-Picard+CDA-Newton收敛性): 假设 $H < \frac{\hat{\nu}^{1/2}}{16 \alpha^2 C_I}$，其中 $\alpha = M \hat{\nu}^{-1} C_{u,f}$ 是数据依赖参数。则CDA-Picard+CDA-Newton迭代序列 $ {v_k} $ 在加权 $H^1$ 范数 $\| \cdot \|_* = (\frac{\hat{\nu}}{4} \| \nabla \cdot \|^2 + \lambda \| \cdot \|^2)^{1/2}$ 下二次收敛，具体估计为：

$$ \| \nabla e_{k+1} \|_*^2 \le 512 M^2 C_I H \alpha^4 \hat{\nu}^{-3} \| e_k \|_*^4 + 4096 M^2 C_I^2 H^2 \alpha^6 \hat{\nu}^{-4} \| e_k \|_*^6, $$

其中 $e_k = v_k - v_{k-1}$。该结果表明，随着 $H$ 减小（即数据更密集），收敛域半径按 $H^{-1/2}$ 扩展，且收敛速度为二次。

修改牛顿参数恢复算法: 定义目标函数 $E(\hat{\nu}) = \frac{1}{2} \| I_H(u - v(\hat{\nu})) \|^2$。作者证明了 $E(\hat{\nu})$ 在 $\hat{\nu} = \nu$ 处取得极小值，且 $E(\hat{\nu}) \sim |\nu - \hat{\nu}|^2$。由此构造修改牛顿迭代：

$$ \nu_{k+1} = \nu_k - \frac{2 E(\nu_k)}{E'(\nu_k)}, $$

其中因子2源于 $E$ 的抛物线性质。该算法同样具有二次收敛性，仅需少量CDA-NSE求解即可恢复 $\nu$。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的技术核心在于将连续数据同化 (CDA) 技术系统地应用于稳态非线性PDE的参数恢复与非线性求解。主要技术障碍和创新点如下：

  1. CDA-NSE系统的适定性与误差分析: 传统稳态NSE在低粘度或高雷诺数下可能存在多解或不稳定性。引入CDA项 $\mu I_H(v-u)$ 后，系统获得了额外的耗散机制。作者的关键创新是利用CDA项提供的额外控制，证明了即使粘度猜测 $\hat{\nu}$ 与真实值 $\nu$ 不一致，系统仍然适定。证明中使用了Leray-Schauder不动点定理处理存在性，并通过精细的能量估计处理唯一性。特别是，作者引入了加权范数 $\| \cdot \|_* = (\frac{\hat{\nu}}{4} \| \nabla \cdot \|^2 + \lambda \| \cdot \|^2)^{1/2}$，其中 $\lambda = \min\{\mu, \frac{\hat{\nu}}{2 C_I^2 H^2}\}$，这一选择巧妙地平衡了扩散项和数据同化项的贡献，使得Young不等式的应用能够消去高阶非线性项。

  2. CDA-Picard+CDA-Newton混合求解器: 单纯Picard迭代在高雷诺数下可能发散，单纯Newton迭代对初值敏感。作者将文献[44]中的Picard+Newton策略扩展到CDA框架。Step 1 (CDA-Picard) 线性化对流项但保留CDA项，提供稳定的中间解；Step 2 (CDA-Newton) 使用CDA-Picard解作为输入进行Newton修正。关键引理 Lemma 4.2 证明了Step 2引入的误差 $\| v_k - \tilde{v}_k \|$ 受前一步误差 $\| e_k \|$ 控制，从而保证了整体迭代的稳定性。通过细致的三线性形式估计和Young不等式技巧，作者证明了该混合方法的无条件稳定性和二次收敛性，且收敛域随数据密度增加而扩大。

  3. 基于CDA的参数恢复算法: 作者发现CDA结构使得目标函数 $E(\hat{\nu})$ 具有良好的凸性和光滑性。通过分析 $v(\hat{\nu})$ 对 $\hat{\nu}$ 的依赖性，利用Taylor展开证明了 $E(\hat{\nu})$ 在 $\nu$ 附近是二次的。这使得修改牛顿法可以直接应用，避免了复杂的反向传播或伴随变量计算。计算 $E(\nu_k)$ 和 $E'( u_k)$ 只需求解CDA-NSE系统，而该系统可通过上述高效求解器快速解决。这种“嵌套”结构——外层参数恢复，内层非线性求解——极大地提高了效率。

  4. 数值实现与验证: 虽然主要贡献是理论分析，但作者也提供了数值实验以验证算法的有效性。实验中使用了有限元方法离散CDA-NSE系统，并展示了即使在较差的初始猜测下，算法也能在几步迭代内准确恢复粘度。这证实了理论预测的鲁棒性和高效性。

4. 与之前工作的比较

本文工作与既有PDE/分析理论文献的比较主要体现在以下几个方面：

  1. 与时间依赖CDA参数恢复工作的比较: Carlson, Hudson and Larios [10] 首次提出了基于CDA的时间依赖NSE参数恢复方法，他们利用参数与误差插值的标度关系在线恢复雷诺数。该方法的优势在于无需额外计算成本，但局限于时间依赖系统且主要关注雷诺数。本文将其推广至稳态系统，并聚焦于粘度参数。与[10]不同，本文建立了完整的适定性和收敛性理论，而非仅依赖启发式标度论证。此外，本文提出的修改牛顿算法具有明确的二次收敛保证，而[10]的方法更多是自适应调整。代价是本文需要求解一系列CDA-NSE系统，计算量略高于[10]的在线调整，但获得了更强的数学保证和更高的精度。

  2. 与稳态CDA非线性求解器工作的比较: Rebholz et al. [40] 首次将CDA应用于稳态NSE的非线性求解，证明了CDA-Picard和CDA-Newton的收敛性加速。本文在此基础上进一步开发，不仅解决了固定粘度的NSE，还处理了粘度未知的情形。[40] 的主要贡献是展示CDA如何扩大Newton法的收敛域，而本文则将CDA作为参数恢复的工具。本文的创新在于将求解器与参数恢复耦合，形成闭环算法。相比[40]，本文的收敛性分析更加复杂，因为需要考虑粘度参数变化对解的影响，但这也使得算法更具通用性。

  3. 与传统参数估计方法的比较: 传统方法如Tikhonov正则化、贝叶斯推断或伴随方法通常涉及高维优化问题，计算昂贵且缺乏全局收敛保证。本文基于CDA的方法利用PDE结构的先验知识，将参数恢复转化为一系列局部非线性求解问题。优势在于计算效率高（每步仅需几次PDE求解）、鲁棒性强（对初值不敏感）且有严格数学基础。局限在于目前仅限于线性参数（粘度）且假设部分数据质量良好（无噪声或低噪声）。未来工作可探索噪声数据处理和多参数恢复。

  4. 与其他稳态PDE参数恢复工作的比较: 尽管有少量工作研究稳态PDE的参数识别，但大多基于离散优化或机器学习方法，缺乏对连续问题的深入分析。本文的分析框架基于Sobolev空间和能量估计，提供了对误差阶、收敛域和稳定性的精确刻画。这种方法论上的严谨性是其主要区别。此外，本文指出CDA的思想可能适用于其他稳态问题（如Boussinesq方程、p-Laplace方程），显示出方法的广泛适用性潜力。

2. 一般无界区域上 Sobolev 与 Lebesgue 空间中的无散度逼近及其在流体动力学能量等式中的应用

Divergence-Free Approximation in Sobolev and Lebesgue Spaces on General Unbounded Domains with Applications to Energy Equality in Fluid Dynamics

作者: Akram Khan, Sagar Gautam, Manil T. Mohan

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02769v1

摘要翻译: 我们在整个空间 $\mathbb{R}^d$，$d\geq 2$，以及一般的均匀 $\mathrm{C}^{1,1}$ 型无界区域上构造了无散度的向量值逼近函数。这些逼近同时在 Sobolev 空间和 Lebesgue 空间中收敛。在整个空间的设定下，我们采用 Bogovskiĭ 算子来构造此类逼近，从而将针对光滑有界区域的逼近理论以及由 \emph{Fefferman, Hajduk, and Robinson, {Proc. Lond. Math. Soc.} (3) \ {125} (2022), no.~4, 759-777} 引入的同时逼近框架加以推广。作为应用，我们建立了不可压缩对流 Brinkman-Forchheimer (CBF) 方程在 $\mathbb{R}^d$，$d\in\{2,3\}$ 上的 Leray-Hopf 弱解的能量等式，涵盖了临界和超临界情形。对于一般的无界区域，我们采用由 \emph{Farwig, Kozono and Sohr, {Acta Math.}, {195} (2005), 21-53} 发展的与 Stokes 算子相关的预解式算子来获得同时逼近结果。我们还建立了一个经典 Lions-Magenes 引理的广义版本，该结果具有独立意义。最后，通过将这一结果与无界区域上的同时逼近框架相结合，我们建立了 CBF 方程在一般无界区域上弱解的能量等式。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02769v1

1. 研究对象和背景

本文的研究对象是定义在全空间 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 以及具有统一 $C^{1,1}$ 正则性的无界区域上的不可压缩 Navier-Stokes (NSE) 方程和 Brinkman-Forchheimer (CBF) 方程。具体而言，考虑如下形式的 CBF 方程：

$$ \begin{cases} \frac{\partial y}{\partial t} - \mu \Delta y + (y \cdot \nabla)y + \alpha y + \beta |y|^{r-1}y + \nabla \pi = f, & \text{in } (0, T) \times \Omega, \\ \nabla \cdot y = 0, & \text{in } [0, T) \times \Omega, \\ y = 0, & \text{on } (0, T) \times \partial \Omega, \\ y(0) = y_0, & \text{in } \Omega. \end{cases} $$

其中 $y$ 为速度场，$\pi$ 为压力，$\mu > 0$ 为粘性系数，$\alpha, \beta > 0$ 分别对应 Darcy 阻力和 Forchheimer 非线性阻力，$r \in [1, \infty)$ 为非线性阻尼项的指数。当 $\alpha=\beta=0$ 时，该方程退化为经典的 NSE。

在数学流体力学中，Leray-Hopf 弱解的全局存在性已由 Leray 和 Hopf 确立，即满足能量有界性条件：

$$ \sup_{0 \leq t \leq T} \|y(t)\|_H^2 + \int_0^T \|\nabla y(t)\|_H^2 dt < \infty. $$

然而，关于这些弱解是否满足能量等式（Energy Equality）以及在何种条件下唯一，仍是三维情形下的核心开放问题。对于二维情形，由于 Ladyzhenskaya 不等式的成立，所有弱解均满足能量等式。在三维情形下，Prodi-Serrin 准则指出若 $y \in L^p(0,T; L^s(\Omega))$ 且 $\frac{2}{p} + \frac{s}{3} \leq 1$，则解唯一且光滑。Shinbrot 进一步证明，若 $y \in L^p(0,T; L^s(\Omega))$ 且 $\frac{2}{p} + \frac{2}{s} = 1, s \geq 4$，则弱解满足能量等式。

现有理论的一个关键空白在于：证明能量等式通常依赖于构造一个同时收敛于 Sobolev 空间和 Lebesgue 空间的无散度平滑近似序列。在有界区域或周期域上，这可以通过 Stokes 算子的特征函数系实现；但在无界区域上，Stokes 算子可能没有离散谱，因此传统的谱分解方法失效。尽管 Shinbrot 等人在其证明中隐含地使用了这样的近似序列，但并未给出在无界区域上的显式构造。此外，对于 CBF 方程，虽然已有工作在有界域上证明了临界 ($r=3$) 和超临界 ($r>3$) 情形下的能量等式，但在无界域上的相应结果尚属空白。

本文旨在填补这一空白，通过在全空间和一般无界区域上显式构造同时收敛于 Sobolev 和 Lebesgue 空间的无散度向量值函数，从而为 CBF 方程（包括 NSE）在这些几何结构上的能量等式提供严格的分析基础。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果包括以下几个核心定理：

  1. 全空间上的同时逼近定理 (Theorem 3.1): 在 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上，对于任意给定的无散度向量场 $u$，可以构造一个由光滑紧支集无散度函数组成的序列 $\{u_n\}$，使得 $u_n$ 同时在 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb{R}^d)$ 和 Lebesgue 空间 $L^q(\mathbb{R}^d)$ 中收敛到 $u$。具体地，若 $u \in W^{1,p}_\sigma(\mathbb{R}^d) \cap L^q_\sigma(\mathbb{R}^d)$，则存在 $\{u_n\} \subset C^\infty_{0,\sigma}(\mathbb{R}^d)$ 使得：

    $$ u_n \to u \quad \text{in } W^{1,p}(\mathbb{R}^d) \cap L^q(\mathbb{R}^d). $$

    该构造利用了 Bogovskiĭ 算子和光滑截断函数的组合。

  2. 全空间上 CBF 方程的能量等式 (Theorem 3.5): 基于上述逼近定理，证明了 $\mathbb{R}^d$ ($d \in \{2, 3\}$) 上不可压缩 CBF 方程的 Leray-Hopf 弱解在临界 ($r=3$) 和超临界 ($r>3$) 情形下满足能量等式。这意味着对于这类弱解，能量耗散机制是精确的，不存在异常耗散。

  3. 一般无界区域上的同时逼近定理 (Theorem 4.1): 将逼近理论推广到具有统一 $C^{1,1}$ 正则性的无界区域 $\Omega$。利用 Farwig, Kozono 和 Sohr 发展的 Stokes 算子 $\mathcal{A}_p$ 的预解式算子，构造了同时收敛于 $W^{1,p}_\sigma(\Omega)$ 和 $L^q_\sigma(\Omega)$ 的无散度近似序列。关键在于利用了算子 $\epsilon I + \mathcal{A}_p$ 在扇形域上的性质。

  4. 广义 Lions-Magenes 引理 (Theorem 4.4): 建立了一个适用于两个 Banach 空间设置下的广义 Lions-Magenes 引理。经典引理通常在 Gelfand 三元组 $V \hookrightarrow H \hookrightarrow V'$ 中应用，而本文将其推广至涉及 $V \cap E$ 在枢轴 Hilbert 空间 $H$ 中稠密性的更一般框架。该引理保证了能量泛函 $t \mapsto \|y(t)\|^2_H$ 的绝对连续性，这是推导能量等式的基石。

  5. 一般无界区域上 CBF 方程的能量等式 (Theorem 4.5): 结合 Theorem 4.1 的逼近结果和 Theorem 4.4 的广义引理，证明了在一般无界区域上，CBF 方程的弱解在临界和超临界情形下同样满足能量等式。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍在于如何在缺乏离散谱结构的无界区域上构造保持无散度性质的同时逼近序列。作者的真正创新点在于结合了偏微分方程中的特定算子理论与泛函分析中的密度论证。

  1. Bogovskiĭ 算子与截断技巧 (全空间情形): 在 $\mathbb{R}^d$ 上，作者没有直接使用全局的 Helmholtz 投影（这在某些无界几何下可能缺乏良好的 $L^p$ 有界性），而是采用了局部化的策略。首先，将函数分解为局部部分，在每个局部有界区域内使用 Bogovskiĭ 算子来消除散度。Bogovskiĭ 算子 $B_D$ 是一个右逆算子，满足 $\nabla \cdot B_D f = f - \frac{1}{|D|}\int_D f$ 对于零均值函数 $f$。随后，引入光滑截断函数 $\chi_R(x)$ 来限制支撑集，并通过标准的卷积磨光（mollification）技术恢复光滑性。这种“先消散度，再截断，后磨光”的流程确保了逼近序列既保持无散度性质，又能在多个范数下收敛。

  2. Stokes 算子预解式与扇形算子理论 (无界区域情形): 对于具有边界的无界区域，直接构造变得困难。作者转而利用 Stokes 算子 $\mathcal{A}_p = -P_p \Delta_p$ 的预解式 $(\lambda I - \mathcal{A}_p)^{-1}$。根据 Farwig, Kozono 和 Sohr 的工作，在统一 $C^{1,1}$ 区域上，修改后的 Stokes 算子在特定的混合空间 $\tilde{L}^p_\sigma$ 中具有良好的解析半群生成性质。具体地，算子 $\epsilon I + \mathcal{A}_p$ 是类型为 0 的扇形算子（sectorial of type 0）。这意味着其预解式具有良好的衰减性质和正则性提升效果。通过选取适当的参数并施加预解式，可以将低正则性的函数提升到高正则性，同时保持无散度约束（因为预解式作用于无散度空间）。这种方法避免了直接处理边界上的复杂几何效应，而是依赖算子半群的内在稳定性。

  3. 广义 Lions-Magenes 引理的完备证明: 证明能量等式的关键步骤是验证能量泛函的时间可导性。经典的 Lions-Magenes 引理要求测试函数空间在某个中间空间中稠密。在无界区域上，标准的稠密性假设可能不直观或未被充分证明。作者提供了一个自包含的证明，明确指出了 $D(L)$ （其中 $L$ 是 Stokes 算子）在 $V \cap L^p_\sigma$ 中的稠密性是如何由同时逼近定理保证的。这一稠密性允许在分布意义下解释时间导数 $\frac{\partial y}{\partial t} \in (V \cap L^p_\sigma)'$，从而应用广义引理得出能量等式。

  4. 函数空间的精细结构: 作者仔细处理了求和空间与交空间的对偶关系，特别是 $X_1 \cap X_2$ 与 $X'_1 + X'_2$ 之间的同构。这些细节对于正确设定变分框架至关重要，确保了对称性和对偶配对的合法性。

4. 与之前工作的比较

本文相较于既有文献的主要推进体现在以下几个方面：

  1. 从有界域到无界域的跨越: 此前的工作（如 [23, 28, 30]）主要在有界域或周期域上研究 CBF 方程的能量等式。这些工作严重依赖 Stokes 算子的离散谱分解，即利用特征函数系作为基来构造逼近序列。然而，在无界域上，Stokes 算子通常具有连续谱，离散谱分解不再适用。Fefferman, Hajduk 和 Robinson (2022) 在有界域上建立了同时逼近的框架，但未涉及无界情形。本文首次将这一框架扩展到全空间和一般无界区域，解决了谱方法失效带来的根本性困难。

  2. 显式构造 vs. 隐式密度论证: Shinbrot (1974) 在其经典证明中，虽然使用了同时收敛的近似序列来证明能量等式，但他仅通过密度论证假设了这样的序列存在，而未给出显式构造。特别是在无界域上，这种存在性并非平凡。本文不仅证明了存在性，还通过 Bogovskiĭ 算子和 Stokes 预解式给出了具体的构造方法。这使得结果更具建设性，并为数值分析和进一步的理论分析提供了工具。

  3. 涵盖临界与超临界 regime: 对于 NSE，三维情形的能量等式和唯一性仍然是开放问题，通常需要额外的正则性假设。对于 CBF 方程，由于非线性阻尼项的存在，在临界 ($r=3$) 和超临界 ($r>3$) 情形下，解的正则性得到改善。已有工作在有界域上证明了这些情形下的能量等式，但无界域上的结果缺失。本文填补了这一空白，证明了即使在无界几何下，只要处于临界或超临界 regime，弱解仍满足能量等式。这表明非线性阻尼在无界域上依然能提供足够的正则性控制。

  4. 广义 Lions-Magenes 引理的贡献: 虽然 Lions-Magenes 引理在文献中有广泛讨论，但针对两个 Banach 空间交叉结构的完整、自包含证明较少见，尤其是在涉及非标准稠密性条件的情况下。本文提供的 Theorem 4.4 不仅服务于 CBF 方程的分析，还可能应用于其他非线性演化方程的能量估计，具有独立的研究价值。

  5. 代价与局限: 本文的结果依赖于区域具有统一 $C^{1,1}$ 正则性。对于更粗糙的边界（如 Lipschitz 边界），Stokes 算子的 $L^p$ 理论可能会退化，导致预解式方法失效。此外，虽然证明了能量等式，但对于三维 NSE 的唯一性问题，本文并未直接解决，因为 CBF 方程中的阻尼项在 $\alpha=\beta=0$ 时消失，此时回到 NSE 的未决难题。因此，本文的贡献主要集中在 CBF 类方程以及为 NSE 提供新的分析视角，而非直接解决 NSE 的唯一性。

3. 伪微分噪声与随机 Córdoba–Córdoba–Fontelos 方程中的非局部奇性形成

Pseudo-differential noise and nonlocal singularity formation in the stochastic Córdoba–Córdoba–Fontelos equation

作者: Diego Alonso-Orán, Rafael Granero-Belinchón, Yingting Miao, Hao Tang

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02019v1

摘要翻译: 我们研究由乘性 Stratonovich 噪声驱动的随机 Córdoba–Córdoba–Fontelos 方程。允许噪声振幅为一个伪微分算子，其主部近乎反对称。该类包含经典输运噪声，也允许真正的非局部扰动。首先，我们在 Sobolev 空间中发展了最大经典解的局部时间理论，证明了存在性、唯一性以及一个爆破判据。随后，我们考虑 Stratonovich 输运的特殊情形。对于在全局最大值处足够大的初始非局部陡峭度，我们证明了以任意高的指定概率发生的有限时间爆破，并得到了生命期的显式上界。最后，在输运后的最大值处非局部陡峭度发散的事件上，我们建立了一个条件性的 Type-I 上界。当归一化非局部能量的终端 Cesàro 平均收敛时，我们进一步根据其极限值精确确定了主导阶爆破率。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02019v1

1. 研究对象和背景

本文研究一维实数轴上的随机 Córdoba-Córdoba-Fontelos (CCF) 方程，该方程由确定性非线性项与乘性 Stratonovich 噪声共同驱动。CCF 方程的确定性形式为

$$ \partial_t v + (Hv)\partial_x v = 0, \quad t > 0, x \in \mathbb{R}, $$

其中 $H$ 表示 Hilbert 变换，定义为柯西主值积分 $Hf(x) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{\mathbb{R}} \frac{f(y)}{y-x} dy$。该方程是活动标量与流体界面动力学中非局部机制的一维模型，其重要性在于它提供了一个最小化的设置来研究有限时间内 $C^1$ 正则性的丧失。与经典的无粘 Burgers 方程不同，CCF 方程的对流速度不是由解本身局部决定的，而是通过零阶奇异积分算子 $H$ 非局部生成的。

从特征流的角度看，设 $X(t,x)$ 为满足 $\dot{X}(t,x) = Hv(t, X(t,x))$ 的特征流，则只要流保持良定义且可逆，标量幅值沿特征线守恒，即 $v(t, X(t,x)) = v_0(x)$。因此，正则性的丧失源于特征映射的压缩与退化，而非标量幅值的增长。对特征流的雅可比行列式 $J_X(t,x) = \partial_x X(t,x)$ 求导可得

$$ \partial_t J_X(t,x) = -\Lambda v(t, X(t,x)) J_X(t,x), $$

其中 $\Lambda = (-\partial_x^2)^{1/2}$ 为分数拉普拉斯算子。若 $x_0$ 是初始数据的全局最大值点，则根据分数拉普拉斯的最大值原理，在 $x_0$ 处有 $\Lambda v(t, X(t,x_0)) \geq 0$，从而 $\partial_t J_X(t, x_0) \leq 0$。这表明邻近特征线在随动最大值点附近被非局部地吸引在一起，这种“非局部特征压缩”机制是 CCF 方程产生奇异性（波破碎）的核心动力。这一机制与 Euler 涡度动力学、Birkhoff-Rott 涡片动力学以及临界 SQG 方程有着深刻的结构联系。

在现实物理系统中，由于空间和时间尺度的未解析相互作用，系统往往受到模型不确定性的影响，这通常表现为随机扰动。因此，一个自然的鲁棒性问题浮现出来：确定性的非局部特征压缩机制在随机扰动下是否依然稳健？噪声如何改变 CCF 动力学的解析结构与奇异性形成？此前的工作已经研究了具有 Lie 传输噪声或 Itô 乘性噪声的随机 CCF 方程，但大多局限于局部一阶微分算子或特定的线性 Itô 噪声。然而，在湍流建模和异常输运现象中，随机扰动往往通过空间非局部算子起作用，耦合远距离区域或在不同傅里叶尺度间传递能量。

为了涵盖这类更一般的非局部扰动，本文将噪声振幅推广为拟微分算子 $Q$。所研究的随机 Cauchy 问题为

$$ dv + (Hv)\partial_x v \, dt = Qv \circ dW(t), \quad v(0) = v_0, \quad x \in \mathbb{R}, $$

其中 $W(t)$ 是标准布朗运动，$Q$ 是一个确定的线性拟微分算子，其主部几乎反对称（skew-adjoint up to lower-order perturbation）。这一类算子不仅包含经典的传输噪声（如 $Q = a(x)\partial_x + b(x)$），还允许真正非局部的扰动（如 $Q = \sigma \partial_x D^{\beta-1}$）。由于 $Q$ 可能是正阶算子，Stratonovich 积分需要精确解释，等价于 Itô 方程

$$ v(t) - v_0 + \int_0^t \left[ Hv \partial_x v - \frac{1}{2}Q^2 v \right](t') dt' = \int_0^t Qv(t') dW(t'), $$

其中漂移项和扩散项自然位于较低的 Sobolev 空间 $H^{s-(1 \vee 2\delta_Q)}$，而解构造在 $H^s$ 中。这种导数损失使得标准的取值于分离 Hilbert 空间的 SDE 理论无法直接应用，因为 Itô 公式会产生诸如 $\langle Qv, v \rangle_{H^s}$ 等难以仅用 $\|v\|_{H^s}^2$ 控制的奇异项。本文旨在建立一般可容许拟微分噪声下的局部存在唯一性理论，并在传输噪声的特殊情况下深入研究相应的非局部特征收缩机制与奇异性形成。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果分为三个部分：一般拟微分噪声下的局部理论、传输噪声下的有限时间爆破概率估计，以及条件爆破率分析。

定理 2.1 (局部存在唯一性与爆破判据): 在假设 A(2.1) 下，即噪声算子 $Q$ 属于类 $\mathcal{A}_\alpha$ ($\alpha \in [0,1]$) 或 $\mathcal{B}_\beta$ ($\beta \geq 0$)，或者 $Q=0$。设 $s > \frac{3}{2} + (1 \vee 2\delta_Q)$，其中 $\delta_Q$ 由 $Q$ 的类别决定（分别为 $\alpha$ 或 $\beta$）。对于任意初值 $v_0 \in H^s$，存在唯一的极大经典解 $v \in C([0, \tau^*; H^s)$，满足方程 (1.4)。此外，若最大存在时间 $\tau^* < \infty$，则几乎必然成立如下爆破判据：

$$ \limsup_{t \uparrow \tau^*} \left( \|\partial_x v(t)\|_{L^\infty} + \|\Lambda v(t)\|_{L^\infty} \right) = \infty. $$

这意味着解的破裂要么由局部斜率 $\partial_x v$ 控制，要么由非局部速度应变 $\Lambda v$ 控制，或者两者兼有。

定理 2.2 (传输噪声下的有限时间爆破): 考虑特殊的 Stratonovich 传输噪声情形，即方程简化为

$$ dv + (Hv)\partial_x v \, dt = \sigma(x)\partial_x v \circ dW(t), \quad v(0) = v_0, $$

其中 $\sigma \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$。设 $x_0$ 是 $v_0$ 的全局最大值点。对于任意给定的置信水平 $\varepsilon \in (0, 1)$，存在常数 $C^* = C^*(\sigma, \|v_0\|_{L^\infty}, \varepsilon) > 0$，使得如果初始非局部陡峭度足够大，即

$$ \Lambda v_0(x_0) > C^*, $$

则解在有限时间内爆破的概率至少为 $1-\varepsilon$，并且最大存在时间 $\tau^*$ 满足显式上界：

$$ \mathbb{P}\left( \tau^* \leq \frac{8}{\Lambda v_0(x_0)} \right) \geq 1 - \varepsilon. $$

这一结果表明，尽管存在随机扰动，但确定性的非局部特征压缩机制在初始条件足够陡峭时以任意高的概率导致有限时间奇异性。

定理 2.3 (条件爆破率): 在传输噪声情形下，考虑事件 $\{ M(t) \to \infty \text{ as } t \uparrow \tau^* \}$，其中 $M(t) = (\Lambda v)(t, z_0(t))$ 是随动最大值点处的非局部陡峭度。首先，我们建立了条件 Type-I 上界：

$$ \limsup_{t \uparrow \tau^*} M(t)(\tau^* - t) \leq 2. $$

进一步，定义归一化非局部能量 $\eta(t) = \frac{E[v(t, \cdot)](z_0(t))}{M(t)^2} \geq 0$。如果终端 Cesàro 平均收敛到一个有限极限 $\eta^*$，即

$$ \lim_{T \uparrow \tau^*} \frac{1}{\tau^* - T} \int_T^{\tau^*} \eta(t) dt = \eta^*, $$

则精确的首次渐近爆破率为

$$ M(t)(\tau^* - t) \longrightarrow \frac{1}{\frac{1}{2} + \eta^*}. $$

这一结果揭示了噪声对首阶爆破系数的影响是通过归一化非局部能量的终端行为间接编码的；当该平均收敛时，其极限完全决定了渐近系数。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明框架涉及几个核心技术难点和创新点，主要集中在处理正阶拟微分噪声带来的导数损失，以及构建能够捕捉非局部特征压缩机制的随机分析工具。

1. 正阶 Stratonovich 拟微分噪声的 Sobolev 理论: 主要技术障碍在于噪声算子 $Q$ 的正阶性质导致的导数损失。对于 $v \in H^s$，项 $Qv$ 位于 $H^{s-\delta_Q}$，而 $Q^2 v$ 位于 $H^{s-2\delta_Q}$。这使得标准的 Itô 公式在 $H^s$ 范数下失效，因为会出现无法闭合的高阶交叉项，例如 $\langle Qv, v \rangle_{H^s}$ 和 $\langle Q^2 v, v \rangle_{H^s}$。作者利用了 Tang 和 Wang 先前发展的系统性 Sobolev 理论来处理此类正阶 Stratonovich 拟微分噪声。具体而言，作者引入了可容许分解的概念，将 $Q$ 分解为主部 $L$（几乎反对称）和低阶项 $G$。利用拟微分算子的交换子估计和 Kato-Ponce 型不等式的随机版本，作者成功地将这些奇异项控制在低阶范数中，从而实现了 $H^s$ 空间中局部解的存在性和唯一性证明。近似方案结合了截断技术和 Cauchy 论证，确保了解在 Sobolev 空间中的正则性。

2. 随动最大值点的非局部陡峭度演化: 在传输噪声情形下，作者的核心创新在于识别并分析了随动最大值点 $z_0(t)$ 处的非局部陡峭度 $M(t) = (\Lambda v)(t, z_0(t))$ 的随机微分方程。由于 $z_0(t)$ 本身是随机过程，且依赖于 $v$，直接应用 Itô 公式非常复杂。作者首先证明了在爆破前，$z_0(t)$ 始终保持为全局最大值点，且 $v(t, z_0(t)) = v_0(x_0)$。随后，通过对方程应用 $\Lambda$ 并利用 Itô-Wentzell 公式，得到了 $M(t)$ 的演化方程：

$$ dM(t) = -[\Lambda, Hv]\partial_x v(t, z_0(t)) dt + [\Lambda, \sigma]\partial_x v(t, z_0(t)) \circ dW(t). $$

这里的漂移项保留了确定性的非局部压缩机制，且在最大值点处满足强制性估计，主导项关于 $M(t)$ 是二次的，形成了 Riccati 型增长。关键的技术突破在于处理随机项中的分数交换子 $[\Lambda, \sigma]\partial_x v$。作者证明了逐点分解：

$$ [\Lambda, \sigma]\partial_x v = \sigma' \Lambda v + R_\sigma[v], $$

其中余项 $R_\sigma[v]$ 满足 $\|R_\sigma[v(t)]\|_{L^\infty} \leq C_\sigma \|v_0\|_{L^\infty}$。这一分解将复杂的非局部随机项转化为可控的低阶项，使得能够建立关于 $M(t)$ 的封闭单侧不等式。

3. 倒数过程与条件爆破率: 为了从 Riccati 型不等式推导爆破时间和速率，作者引入了倒数过程 $Y(t) = 1/M(t)$。这是处理此类非线性增长的标准技巧，可以将乘法型增长转化为加法型漂移。然而，由于 $M(t)$ 和 $z_0(t)$ 都是随机场，计算 $Y(t)$ 的 Itô 修正项需要仔细处理耦合的场-特征系统。作者通过局部化技术，结合上述交换子分解和强制性漂移估计，推导出了 $Y(t)$ 的闭包不等式。这不仅证明了有限时间爆破，还允许分析爆破附近的渐近行为。对于爆破率，作者定义了归一化非局部能量 $\eta(t)$，并通过分析其在终端时刻的 Cesàro 平均，精确确定了 $M(t)(\tau^*-t)$ 的极限。这一部分展示了如何将随机积分因子的贡献在首阶上抵消，从而揭示出爆破率主要由确定性的非局部能量分布决定。

4. 与之前工作的比较

本文在多个维度上推进了随机 CCF 方程及相关非局部 PDE 的研究，主要体现在噪声算子的泛化、奇异性形成的概率保证以及爆破率的精确刻画。

1. 噪声算子的泛化: 从局部传输到非局部拟微分: 此前的工作，如 Alonso, Rohde, and Tang [6] 以及 Alonso, Miao, and Tang [4]，主要关注局部一阶微分算子（如 Lie 传输噪声或线性 Itô 乘性噪声）驱动的随机 CCF 方程。虽然 [4] 证明了某些强非线性噪声下的几乎必然全局存在性，以及线性 Itô 噪声下的正概率奇异性，但它们未能涵盖真正非局部的随机扰动。本文首次将噪声振幅推广至拟微分算子类 $\mathcal{A}_\alpha$ 和 $\mathcal{B}_\beta$，其中主部几乎反对称。这一推广具有重要的物理意义，因为它涵盖了湍流建模中常见的跨尺度能量传递和非局部耦合效应。与 [52, 51] 中建立的通用理论相比，本文针对 CCF 方程的非线性结构进行了专门的分析，解决了正阶拟微分噪声下的局部适定性问题。与 [6] 相比，本文的噪声类更宽，但代价是需要处理更复杂的导数损失和交换子估计。

2. 奇异性形成的鲁棒性: 高概率有限时间爆破: 在随机扰动的背景下，奇异性形成可能表现出截然不同的行为。例如，Flandoli, Gubinelli, and Priola [24] 证明了一般的随机扰动可以防止二维 Euler 方程中涡点的合并，从而实现全局适定性。类似地，在某些高频缩放体制下，传输噪声可以为可能产生有限时间奇异性的非线性 PDE 提供高概率的长时间存在性 [23, 27]。然而，对于 Burgers 型和 Camassa-Holm 型方程，文献 [3, 17, 48] 表明，即使存在随机扰动，波破碎仍会以正概率甚至几乎必然发生。本文的结果补充了这一图景：对于随机 CCF 方程，在 Stratonovich 传输噪声下，如果初始非局部陡峭度足够大，有限时间爆破将以任意高的预设概率发生。这与 [4] 中线性 Itô 噪声下的正概率结果相呼应，但本文提供了更强的定量估计（显式的寿命上界 $8/\Lambda v_0(x_0)$），并且明确指出了 Stratonovich 传输噪声的特殊作用——它保持了标量值沿随机特征的守恒，使得随动最大值点的追踪成为可能，从而隔离了非局部压缩机制。

3. 爆破率的精确刻画: 超越 Type-I 界限: 既有文献中，关于随机 PDE 爆破率的研究相对较少，且大多停留在定性描述或粗略的上下界。本文的一个显著贡献是建立了条件 Type-I 上界 $M(t)(\tau^*-t) \leq 2$，并在终端 Cesàro 平均收敛的条件下，给出了精确的首次渐近爆破率 $1/(1/2 + \eta^*)$。这一结果比简单的 Type-I 界限更为精细，因为它量化了噪声通过归一化非局部能量 $\eta(t)$ 对爆破系数的间接影响。与确定性 CCF 方程或其他非局部模型（如 De Gregorio 模型）的爆破分析相比，本文的爆破率分析充分考虑了随机性对特征流和非局部算子交互作用的修正。特别是，作者指出在首阶上，随机积分因子的贡献是渐近中性的，这意味着爆破的主导行为仍然由确定性的非局部几何结构决定，只是系数被随机化的能量分布所调制。这一发现深化了对随机扰动下非局部奇异性形成机制的理解，表明尽管噪声改变了路径细节，但核心压缩机制的统计特征在特定条件下依然可预测。

局限性与未来方向: 需要注意的是，本文的有限时间爆破分析仅限于 Stratonovich 传输噪声情形，因为这要求标量值沿随机特征守恒，以便追踪最大值点。对于一般的非局部拟微分噪声，由于缺乏逐点的随机流表示，无法直接追踪极值点，因此爆破分析尚未推广到该类噪声。此外，爆破率的精确公式依赖于终端 Cesàro 平均的收敛性，这是一个较强的条件，在实际应用中可能需要进一步验证或放宽。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 非线性负一阶耦合 Klein-Gordon 方程的逆散射方法

Inverse scattering method for nonlinear negative first order coupled Klein-Gordon equation

作者: Cihan Sabaz, Ilmar Gahramanov, Mansur I. Ismailov

类别: nlin.SI, math-ph, math.AP, math.SP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02844v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02844v1

摘要翻译

中文标题: 非线性负一阶耦合 Klein-Gordon 方程的逆散射方法

摘要翻译: 对于满足消失边界条件的耦合负一阶 Klein-Gordon (CNKG) 方程，利用 Gelfand-Levitan-Marchenko 方程的逆散射方法推导了精确的 $N$-孤子解。基于零曲率表示，构造了上述耦合非线性方程的守恒律、运动积分和 Hamiltonian 结构。回顾了 Manakov 谱问题的 Jost 函数及其解析性质。随后利用本征函数的积分方程来表述 Gel’fand-Levitan-Marchenko 方程。求解这些方程建立了核函数与势之间的直接对应关系，从而得到了一般的 $N$-孤子表达式。

2. Kuznetsov 型与 Westervelt 型粘性波动方程的全局光滑行为：覆盖 $W^{1,q}$-小初值数据的统一方法

Global smooth behavior in Kuznetsov and Westervelt type viscous wave equations: A unifying approach covering $W^{1,q}$-small initial data

作者: Tahir Boudjeriou, Michael Winkler

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02795v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02795v1

摘要翻译

中文标题: Kuznetsov 型与 Westervelt 型粘性波动方程的全局光滑行为：覆盖 $W^{1,q}$-小初值数据的统一方法

摘要翻译: 在具有光滑边界的区域 $\Om\subset\R^n$（其中 $n\geq 1$）且 $a>0$ 的条件下，我们考虑一般粘性波动方程 \bas h(u,u_t) u_{tt} = \Del u_t + a\Del u + f(u,u_t,\na u,\na u_t) \eas 的初始-边界值问题，该方程出现在非线性声学波传播模型中；已确立的 Kuznetsov 型和 Westervelt 型方程构成其特例。\abs % 尽管现有文献针对足够小的二阶及更高阶 Sobolev 空间中的初值数据 $(u_{0}, u_{0t})=(u, u_{t})|_{t=0}$ 提供了丰富的全局解结果，但关于仅涉及一阶 Sobolev 空间的小性条件下能建立全局可解性的程度如何，似乎仍是一个开放问题。本文通过证明经典全局解的存在性，以及当非线性项 $h$ 和 $f$ 足够光滑且满足 $h(0,0)>0$、$f(0,0,0,0)=0$ 和 $\na f(0,0,0,0)=0$ 时，$(u,u_{t})$ 对子在 $ W^{1,r}\times W^{1,p}$-Sobolev 空间中呈指数衰减，来回答这一问题。

3. Hilbert–Schmidt 区域中扩散型对数/Riesz 气体的尖锐平均场估计

Sharp mean-field estimates for diffusive log/Riesz gases in the Hilbert–Schmidt regime

作者: Matias G. Delgadino, Rishabh Gvalani, Matthew Rosenzweig

类别: math.PR, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02743v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02743v1

摘要翻译

中文标题: Hilbert–Schmidt 区域中扩散型对数/Riesz 气体的尖锐平均场估计

摘要翻译: 我们研究在减去相对于给定背景律的主导平均场贡献之后，固定温度下的对数气体与 Riesz 气体。对于 Hilbert–Schmidt 区域内的排斥相互作用，我们证明了 $N$-一致界以及所得调制配分函数向由中心化相互作用算子的 Carleman–Fredholm 行列式所表示的归一化的定量收敛。我们表明 Hilbert–Schmidt 阈值是尖锐的，并获得了在该阈值处及其以上发散速率的显式下界；这些速率预计并非最优。证明结合了正定截断、低/高频分解，以及针对规范二次 $U$-统计量的指数不等式和 Gaussian-chaos 渐近展开。作为推论，我们在调制自由能方法中建立了带有尖锐的 $O(N^{-1})$ 加性刻度的熵交换子估计、静态联合线性统计中心极限定理，以及在有限多个时刻的联合线性统计动态中心极限定理。这将前两位作者的对数配分函数估计推广至完整的 Riesz Hilbert–Schmidt 范围，并确定了极限行列式归一化。对于足够小逆温度下的吸引对数相互作用，我们也证明了类似的结果。

4. 具有间接消耗项的三维双重退化养分系统的空间非均匀性

Spatial inhomogeneity for a three-dimensional doubly degenerate nutrient system with indirect consumption

作者: Ai Huang, Xiangmao De-ji, Jing Li, Yifu Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02607v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02607v1

摘要翻译

中文标题: 具有间接消耗项的三维双重退化养分系统的空间非均匀性

摘要翻译: 本文研究了一个具有间接消耗项的双重退化趋化-养分系统的全局动力学： \begin{equation*} \left{ \begin{aligned} &u_{t}=\nabla \cdot (uv\nabla u)-\nabla \cdot (u^{2}v\nabla v)+\ell vw,&x\in Ω,, t>0,\ & v_{t}=Δv-vw,&x\in Ω,, t>0,\ &w_t=Δw-w+u,&x\inΩ,t>0 \end{aligned} \right. \end{equation*} 该系统定义在光滑有界区域 $Ω\subset\mathbb{R}^{3}$ 上，并配以无通量边界条件。对于适当正则的初值 $(u_0,v_0,w_0)$，证明了相应的初边值问题存在一个全局弱解。此外，在适当的拓扑框架下，该解在 $t\rightarrow \infty$ 时收敛到一个平衡态 $(u_\infty, 0,w_\infty)$。值得注意的是，当 $u_0$ 非常数且 $v_0$ 的质量足够小时，极限剖面 $u_{\infty}$ 和 $w_{\infty}$ 是空间非均匀的，这捕捉到了养分耗尽环境中涌现的模式形成现象。我们分析的一个基石是引入了一些新的函数不等式，它们提供了积分 $\int_Ωu^{k}v|\nabla u|^2$（其中 $k>-1$）的下界估计。

5. 三维 Lipschitz 区域中 Stokes 算子的预解式估计

Resolvent Estimates for the Stokes Operator in a Three-Dimensional Lipschitz Domain

作者: Zhongwei Shen

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02552v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02552v1

摘要翻译

中文标题: 三维 Lipschitz 区域中 Stokes 算子的预解式估计

摘要翻译: 通过改进 \cite{AGH-2015, GS2026a} 中发展的方法，我们建立了 $\\R^3$ 中有界 Lipschitz 区域 $Ω$ 内 Stokes 算子在任意 $1< p\le \infty$ 下的 $L^p$ 预解式估计。作为推论，Stokes 算子在 $L^p_σ(Ω)$ 中生成一致有界的解析半群。这些结果尤为令人惊讶，因为长期以来人们认为三维 Lipschitz 区域中的 $L^p$ 预解式估计对大的 $p$ 可能失效。在附录中，我们证明了关于 $L^2_σ(Ω)$ 与 $L^\infty_σ(Ω)$ 之间插值的定理。

6. Hunter-Saxton方程在临界与亚临界区域中的强不适定性

Strong Ill-Posedness in critical and subcritical regimes for the Hunter-Saxton equation

作者: Billel Guelmame, Haroune Houamed

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02523v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02523v1

摘要翻译

中文标题: Hunter-Saxton方程在临界与亚临界区域中的强不适定性

摘要翻译: 我们研究实数轴上的 Hunter–Saxton 方程及其在能量空间 $L^\infty(\mathbb R)\cap \dot H^1(\mathbb R)$ 中的整体耗散解。我们通过 Sobolev 正则性在 Lipschitz 阈值及以下瞬间失效来证明强不适定性。更精确地，对每个 $s\in(1,\nicefrac32]$，我们构造了 $u_0\in L^\infty(\mathbb R)\cap\dot H^1(\mathbb R)\cap\dot H^s(\mathbb R)$，其唯一整体耗散解满足：对任意 $T>0$，$u\notin C([0,T]; \dot H^s (\mathbb R))$。

在亚临界和临界区域中，这些构造存在显著差异。对于 $1<s<\nicefrac32$，我们将缩放后的、具有局部化且斜率越来越负的泡（bubbles）进行叠加；亚临界缩放保持了 $\dot H^s$-可加性，而显式的特征公式产生了范数膨胀。在 $s=\nicefrac32$ 处，由于缩放不产生小量，我们使用了对数分布的紧支撑多尺度剖面，其破裂时间收敛于零。随后，通过单侧局域化原理和一个几乎正交估计，将单个剖面的膨胀传递到完整的耗散解上。

7. 超临界区间内带漂移的动力学 Fokker–Planck 方程

Kinetic Fokker–Planck Equations with Drifts in a Supercritical Range

作者: Zikai Chen, Chongyang Ren

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02385v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02385v1

摘要翻译

中文标题: 超临界区间内带漂移的动力学 Fokker–Planck 方程

摘要翻译: 我们研究各向异性混合 Lebesgue 空间中具有粗糙无散度漂移的动力学 Fokker–Planck 方程。无散度结构产生一种能量抵消，该抵消在动力学局域化下依然有效。将此抵消与各向异性正则化估计及 De Giorgi 迭代相结合，我们建立了弱次解的局部有界性，从而在一个缩放超临界区间内证明了 Cauchy 问题的全局适定性。

8. 关于 Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov 方程局部适定性的研究

On the local well-posedness of the Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov equation

作者: Ailton C. Nascimento

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02423v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02423v1

摘要翻译

中文标题: 关于 Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov 方程局部适定性的研究

摘要翻译: 我们研究 $oldsymbol{\mathbb R^2}$ 上 Benjamin–Ono–Zakharov–Kuznetsov 方程的 Cauchy 问题。沿着 Kenig 和 Ziesler 的策略，我们建立了适配于 BO–ZK 方程的新极大函数估计，并利用它们实施 Kenig–Koenig 方法。由此，我们将 Nascimento (2020) 此前已知的最佳各向同性结果从 $s>5/4$ 降低至 $s>19/16$ 的局部适定性阈值。在 BO–ZK 端点处，所得的各向同性数据类也包含了先前理论中的各向异性 $E^{5/4+}$ 类。在 $H^s(\mathbb R^2)$ 的有界子集上，存在时间可取为 $T \gtrsim_s \bigl(1+\norm{u_0}_{H^s}\bigr)^{-8}$。证明结合了尖锐的二进混合极大函数估计与各向异性局部光滑机制，该机制利用了纵向与横向群速度的互补行为。具体而言，横向色散补偿了特征区域附近纵向光滑性的退化。连同改进的短时 Strichartz 估计及修正的能量论证，这些要素在上述正则性水平下闭合了非线性估计。随后，在相应的解类中建立了存在性、唯一性及对初值的连续依赖性。所得阈值反映了本方法的当前优化程度，并不声称是最佳的。

9. 带平流项的非局部算子的主特征值：尖锐缩放极限与谱相变

Principal eigenvalues of nonlocal operators with advection: sharp scaling limits and spectral phase transitions

作者: Hoang-Hung Vo

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02416v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02416v1

摘要翻译

中文标题: 带平流项的非局部算子的主特征值：尖锐缩放极限与谱相变

摘要翻译: 我们考虑一维具有固定符号漂移项的非局部扩散算子的广义主特征值。在这个非自伴设定中，主要困难在于缺乏主值的变分刻画。在对称无漂移问题中，临界非局部到局部的极限可以通过二次变分结构和 Sobolev 半范数逼近来处理，如 Berestycki-Coville-Vo \cite{BCV} 所述。漂移破坏了这一结构，并在有界区间上同时引入了一侧流入-流出边界几何。用在对奇异缩放下保持稳定的估计来替代缺失的变分论证因此是一个核心技术问题。我们的方法是直接的：我们处理单个广义主值，并直接从方程本身证明最大值原理、正锥中的简单性以及缩放极限，而不经过类似于 Berestycki–Rossi \cite{BR} 中 $λ_1'$ 和 $λ_1''$ 的辅助广义主特征值。替代机制包括方向性 Harnack 不等式和系数屏障、直接-伴随恒等式、对数 Collatz–Wielandt 变换、零延拓的 Fourier 强制性以及尺度依赖的局域化。在临界扩散尺度下，Fourier 紧致性和精确的能量-传输恒等式恢复了缺失的流入 Dirichlet 条件，并在不使用 Rayleigh 商的情况下识别了局部 Dirichlet 极限。对于变系数情形，我们在有界区间和直线上确定了完整的小范围相图，并通过秩一约化和在平流旅行时间变量中的角点 Laplace 分析获得了尖锐的大范围三项渐近展开。在均匀整直线问题中，临界修正的量级为 $σ^2$。

10. 随机 Cahn-Hilliard 方程的 paracontrolled 方法

Paracontrolled approach to the stochastic Cahn-Hilliard equation

作者: Joe Ghafari

类别: math.PR, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02197v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02197v1

摘要翻译

中文标题: 随机 Cahn-Hilliard 方程的 paracontrolled 方法

摘要翻译: 我们证明了随机 Cahn-Hilliard 方程在空间维度 $d=1,2,3,4$ 和 $5$ 时局部时间解的存在唯一性。我们的方法依赖于 $d=4$ 时的 Da Prato-Debussche 技巧以及 $d=5$ 时的 paracontrolled distributions.

11. $\mathbb R^n$ 上 McKean-Vlasov 随机反应扩散方程的状态律动力学：拉回随机吸引子与零噪声稳定性

State-law dynamics of McKean-Vlasov stochastic reaction-diffusion equations on $\mathbb R^n$: pullback random attractors and zero-noise stability

作者: Guifen Liu, Yangrong Li

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02193v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02193v1

摘要翻译

中文标题: $\mathbb R^n$ 上 McKean-Vlasov 随机反应扩散方程的状态律动力学：拉回随机吸引子与零噪声稳定性

摘要翻译: 分布依赖性通常导致 McKean-Vlasov 状态解映射不满足共循环恒等式，且在无界域上相关的 Sobolev 嵌入是非紧的。对于一类具有耗散多项式反应项、单侧单调状态律耦合以及有限维加性噪声的随机反应扩散方程，我们将确定性律半流与逐路径状态演化相结合，在状态空间与其二次 Wasserstein 律空间的乘积上构造了一个连续随机动力系统。一个抽象的乘积空间判据、混合能量估计、局部正则性以及一致远场估计给出了唯一的拉回随机吸引子，且无需全局律收缩。该吸引子的律投影是律半流的全局吸引子，而其状态纤维未必是单点集。在附加严格收缩条件下，律吸引子退化为唯一不变律，相应的状态纤维则退化为自洽随机平衡态。我们还建立了零噪声上半连续性，并在收缩情形下证明了不变律和随机平衡态的定量收敛，其误差界与噪声振幅呈线性关系。

12. 带周期势与局部化非线性的 $L^2$-超临界 NLS 方程的归一化解

Normalized solutions of $L^2$-supercritical NLS equations with periodic potentials and localized nonlinearities

作者: Zhentao He, Norihisa Ikoma, Chao Ji

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02147v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02147v1

摘要翻译

中文标题: 带周期势与局部化非线性的 $L^2$-超临界 NLS 方程的归一化解

摘要翻译: 在本文中，我们研究如下带有周期势的 $L^2$-超临界非线性 Schrödinger 方程的归一化解的存在性： \[ \begin{dcases} -Δu +V (x)u + λu=χ_{Ω}(x)f(u)\quad \text{in }\mathbb{R}^N, u>0 \quad \text{in} \ \mathbb{R}^N, \int_{\mathbb{R}^N}\abs{u}^2, dx =μ, \end{dcases} \] 其中 $N \geq 1$，$μ>0$ 是预先给定的，$λ\in \mathbb{R}$ 是一个 Lagrange 乘子，$V\in C(\mathbb{R}^N)$ 关于 $x_1,...,x_N$ 是 $1$-周期的，$f \in C^1(\mathbb{R})$ 在无穷远处表现出一般的 mass supercritical 增长，$Ω\subset \mathbb{R}^N$ 是具有光滑边界 $\partial Ω$ 的（非空）有界开集，且 $χ_{Ω}$ 是 $Ω$ 的特征函数。我们证明了对于所有充分小的 $μ>0$，归一化解的存在性。此外，如果 $f$ 在原点附近也具有 mass-supercritical 增长，则存在性结果推广到任意 $μ>0$。该结果是通过结合单调性技巧、具有 Morse 指数信息的约束泛函极小极大原理以及爆破分析获得的。

13. 无粘性热导理想气体系统的一般黎曼解的时间渐近稳定性

Time-asymptotic stability of generic Riemann solutions for the system of heat-conductive ideal gas without viscosity

作者: Yilin Guo, Lin-An Li, Jiahong Wu, Xiaojing Xu

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02119v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02119v1

摘要翻译

中文标题: 无粘性热导理想气体系统的一般黎曼解的时间渐近稳定性

摘要翻译: 本文研究一维无粘性热导理想气体系统中一般黎曼解的时间渐近稳定性，其中一般黎曼解由激波、接触间断和稀疏波组成。我们证明，当时间趋于无穷时，非粘性且具有热导的理想气体系统的解一致收敛到一个复合波，该复合波由稀疏波、粘性接触波和粘性激波组成，并带有依赖于时间的平移。受 Kang-Vasseur-Wang [Arch. Ration. Mech. Anal. 249: 42 (2025)] 近期工作的启发，我们克服了部分耗散双曲-抛物型系统中激波与稀疏波同时出现所带来的困难，在该系统中耗散仅作用于单一变量。更值得注意的是，速度耗散的缺失在处理与密度和速度相关的项时引入了新的本质性困难。为了解决这一问题，我们利用了控制方程的精确结构以及激波的附加性质。此外，我们利用无粘性系统的波结构，并对密度和速度分别进行时空估计。

14. 全空间中带有库仑排斥的量子朗道阻尼

Quantum Landau Damping with Coulomb Repulsion in the Whole Space

作者: Dongfen Bian, Emmanuel Grenier, Laurent Laflèche, Quoc Hung Nguyen

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02040v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02040v1

摘要翻译

中文标题: 全空间中带有库仑排斥的量子朗道阻尼

摘要翻译: 在本文中，我们研究了线性化 Hartree 方程在空间均匀的稳定平衡点附近解的大时间行为，并探讨了量子朗道阻尼。这使得我们能够获得电场的时间衰减（该衰减对 Planck 常数一致成立），以及当 Planck 常数趋于 $0$ 时量子密度向经典密度的随时间一致的收敛性。

不相关论文（基本信息）

1. 估计多项式根式的线性组合的实零点个数

Estimating the number of real zeros of linear combinations of radicals of polynomials

作者: Gal Binyamini, Avner Kiro, Alexander Logunov, Dmitry Novikov, Dmitrii Zakharov

类别: math.CA, math.AG, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02871v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02871v1

摘要: We obtain upper bounds for the number of real zeros of functions of the form

$$ f(x) = \sum_{k=1}^{n} c_k \bigl(P_k(x)\bigr)^{α_k}, $$

where $c_k, α_k \in \mathbb{R}$ and each $P_k$ is a real polynomial of degree at most $d$ that is non-negative on an interval $I\subset \mathbb{R}$. We improve previously known exponential upper bounds for the number of roots on $I$ to bounds that are polynomial in $n$, linear in $d$, and independent of the exponents $α_k$. For linear combinations of square roots of positive quadratic polynomials on $\mathbb{R}$ we prove the linear bound $2n$, answering a question of N.~Alon. A modification of the argument yields a linear bound for a question of A.~Gabrielov, D.~Novikov, and B.~Shapiro related to Maxwell’s conjecture. The article describes two independent approaches: an elementary ODE method in the general case, which also gives a polynomial bound for the number of critical points of one dimensional Gaussian mixtures, and a PDE method for the case of positive quadratic polynomials, which connects the problem to the number of nodal domains of solutions to $Δu + λu = 0$ on the punctured hyperbolic plane. As a byproduct of the second approach, we describe a curious relation between axially symmetric harmonic functions on $\mathbb{R}^3\setminus\{(x,0,0)\}$ and Laplace-Beltrami eigenfunctions on the hyperbolic plane with eigenvalue $1/4$.

2. 关于 Hamilton–Jacobi 方程的截点集 I：基于接触方法的结构性与传播性

On the cut locus of Hamilton–Jacobi equations I: structure and propagation via the touching approach

作者: Piermarco Cannarsa, Wei Cheng, Jiahui Hong \and Wenxue Wei

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02879v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02879v1

摘要: For a semiconcave function with linear modulus, we introduce the cut locus through a touching approach and prove that it coincides with the variational cut locus defined via the Lax–Oleinik semigroup, independently of the Hamiltonian. Cut points are characterized by the emptiness of the proximal subdifferential of $φ$, which we use as the analytic criterion behind the touching definition. We introduce the degree of regularity $R_φ$, which measures the $C^{1,1}$ deviation of $φ$, and prove the quantitative relation $R_φ(x)\sim 1/τ_{φ,H}(x)$ with the cut time function, valid pointwise up to explicit truncation constants. From this relation we derive a separation estimate for calibrated curves, showing that no conjugate points occur before the cut locus. This estimate supplies the tools for the propagation results. Cut points propagate globally along generalized characteristics for the evolutionary Hamilton–Jacobi equation, and Alexandrov points propagate forward along calibrated curves, with the second derivative satisfying a matrix Riccati equation. We also show that the cut locus is a Lebesgue null set and give a streamlined proof of Alexandrov’s theorem. Finally, we give necessary and sufficient conditions for the cut locus of a weak KAM solution to be closed, in terms of the cut time function, the $C^{1,1}$ support, and the degree of regularity.

3. 具有余维一约束的阻尼非线性波动方程的整体适定性与渐近分析

Global Well-posedness and Asymptotic Analysis of a Damped Nonlinear Wave Equation with a Codimension-One Constraint

作者: Harsh Tiwari, Manil T. Mohan

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02842v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02842v1

摘要: We prove the global existence and uniqueness of strong solutions to a constrained version of the damped nonlinear wave equation

$$ \vartheta_{tt}+γ\vartheta_t-Δ\vartheta+|\vartheta|^{p-2}\vartheta=0 $$

on a smooth bounded domain $\varOmega\subset\mathbb{R}^d$, where the evolution is projected onto the tangent space of the Hilbert manifold

$$ \mathcal{M} = \left\{ \vartheta\in L^2(\varOmega):\|\vartheta\|_{L^2(\varOmega)}=1 \right\}, $$

which is the unit sphere in $L^2(\varOmega)$. We assume that

$$ p\in[2,\infty)\ \text{ for }\ d=1,2, \ \text{ while }\ 2\leq p\leq \frac{2(d-1)}{d-2} \ \text{ for }\ d\geq3. $$

By employing the Faedo–Galerkin approximation method, together with suitable a priori estimates and compactness arguments, we establish the global well-posedness of the problem. In particular, we show that the Hilbert manifold $\mathcal{M}$ is invariant under the flow, and hence the $L^2$-constraint is preserved throughout the evolution. Using the \emph{Lusternik–Schnirelmann theory}, we show that the corresponding stationary problem possesses at least countably many stationary solutions. We further investigate the long-time behaviour of solutions and prove that, along a subsequence, every solution of the constrained problem converges to a stationary solution by invoking \emph{Webb’s theorem} and \emph{Barbalat’s lemma}. When the initial data are sufficiently close to the first eigenfunction of the associated stationary problem, we show that the unique strong solution converges in $H_0^1(\varOmega)$ to the unique positive ground-state solution.

4. 双曲 Aubry 集下消失折扣问题的精确收敛速率

Sharp convergence rates for the vanishing discount problem with hyperbolic Aubry sets

作者: Panrui Ni

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02779v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02779v1

摘要: Let $H\in C^2(T^*M)$ be a Tonelli Hamiltonian on a closed connected manifold and let $u_λ$ solve

$$ λu_λ+H(x,Du_λ)=c(H)\qquad\text{in }M. $$

We study the convergence rate of $u_λ$ to the selected critical solution $u_0$. Assume that the lifted Aubry set is a finite union $\widetilde{A}=Γ_1\sqcup\cdots\sqcupΓ_N$, where each $Γ_i$ is either a hyperbolic equilibrium or a periodic orbit hyperbolic in the critical energy level. We prove

$$ -Cλ\le u_λ-u_0\le Cλ|\logλ|. $$

Let $μ_i$ be the projected Mather measure associated with $Γ_i$. If

$$ \int_M u_0\,\mathrm dμ_i=0\qquad \text{for every }i, $$

then

$$ \|u_λ-u_0\|_\infty\le Cλ. $$

In particular, if the lifted Aubry set consists of a single hyperbolic equilibrium or a single hyperbolic periodic orbit, the convergence rate is $O(λ)$. We give examples showing that both convergence rates $O(λ)$ and $O(λ|\logλ|)$ are optimal. Without hyperbolicity, finite-order degenerate examples give lower bounds of order $λ^{1/(2r-1)}$ with $r\ge2$. We also construct infinite-order degenerate examples with arbitrarily slow convergence. Taken together, these results provide, to our knowledge, the first systematic quantitative theory for the vanishing discount problem in the Tonelli setting.

5. KPZ 方程概率强收敛的 sharp rate

The Sharp Rate of Probabilistically Strong Convergence to the KPZ Equation

作者: Máté Gerencsér, Yueh-Sheng Hsu, Rhys Steele

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02755v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02755v1

摘要: One of the most common descriptions of solutions of singular SPDEs is their characterisation as the limit of solutions of renormalised smooth random PDEs. We quantify the speed of this convergence in the case of the KPZ equation. In particular, we show that the naïve guess that the rate is given by the distance of the noise regularity from the endpoint regularity for well-posedness is not correct. Instead, we obtain convergence at the larger rate $1/2$ and show that this rate is sharp. This is achieved by considering the equation satisfied by the rescaled error, which is critical for variance blowup, and showing that this equation has a limit given by an affine linear singular SPDE driven by a new, independent noise. This result can be alternatively interpreted as identifying the asymptotic size and law of fluctuations of the solutions of the KPZ equation driven by mollified noise around their singular limit.

6. 四边形上基本 Laplace–Neumann 特征值的最大化

Maximizing the fundamental Laplace–Neumann eigenvalue on quadrilaterals

作者: Ryoki Endo, Braxton Osting

类别: math.AP, math.SP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02784v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02784v1

摘要: We prove that among convex planar quadrilaterals of equal area, the square uniquely maximizes the first nonzero Laplace–Neumann eigenvalue. This is the quadrilateral case of the Neumann analogue of the long-standing Pólya–Szegő conjecture, which asserts that the regular $n$-gon minimizes the first Laplace–Dirichlet eigenvalue among $n$-gons of equal area. The proof uses a Rayleigh–Ritz lower bound, obtained from the span of the first five nonconstant Neumann modes of the square, on a smooth auxiliary functional whose minimization implies the original maximization. Local maximality at the square follows from a symmetry-reduced Hessian, computed in closed form, together with a certified second-order difference-quotient test that establishes the local inequality on an explicit ball around the square. Global maximality is then established by a certified box covering of the parameter space, certifying on each box a direct upper bound on the first Rayleigh–Ritz eigenvalue. Both certifications operate entirely on integrals over a fixed reference square and avoid a posteriori finite-element bounds on the perturbed quadrilateral.

7. 黎曼流形上 Leibenson 方程解的质量守恒

Conservation of mass for solutions of Leibenson’s equation on Riemannian Manifolds

作者: Philipp Sürig

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02732v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02732v1

摘要: We consider on a Riemannian manifold $M$ the Leibenson equation \begin{equation*}\label{eqabs}\partial {t}u=Δ{p}u^{q},\end{equation*} where $p>1$ and $q>0$. When $q(p-1)\geq 1$, we prove conservation of mass for solutions of Leibenson’s equation assuming only the volume bound $V(x_0, r)\leq \exp\left(C r^{\frac{p}{p-1}}\right)$ for some $x_{0}\in M$ and all large enough $r>0$. When $q(p-1)< 1$, we prove this property assuming $V(x_0, r)\leq Cr^{N}$ and $p>N[1-q(p-1)]$, which matches the threshold in $\mathbb{R}^{n}$ with $N=n$. We also show that solutions on the hyperbolic space $\mathbb{H}^{n}$ have a finite extinction time in the case $q(p-1)< 1$, which implies that the conservation of mass property does not hold. Using the conservation of mass result in the case $q(p-1)=1$, we also prove a $L^{p-1}$- Liouville property, which partially answers a conjecture stated by I. Holopainen \cite{holopainen2000sharp}.

8. 神经算子逼近强连续凸单调半群

Neural operators approximate strongly continuous convex monotone semigroups

作者: Jonas Blessing, Philipp Schmocker, Alessandro Sgarabottolo

类别: math.NA, cs.LG, math.AP, math.PR, stat.ML

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02727v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02727v1

摘要: We approximate strongly continuous convex monotone semigroups by learning their Chernoff-type one-step operators with neural operators. First, we introduce the general class of so-called Chernoff-neural operators and show in a universal approximation theorem that they can approximate the Chernoff one-step operators arbitrarily well. By using stability estimates between weighted Hölder spaces, the one-step approximation error can be propagated through the iterations which yields universal approximation of the corresponding semigroup. Second, we introduce the more specialized class of envelope-neural operators for envelope semigroups which allows us to derive quantitative approximation rates. Finally, we illustrate the effectiveness of these neural operators in several numerical examples arising from non-linear partial differential equations, stochastic optimal control and stochastic processes under model uncertainty.

9. 具有状态与梯度观测的耦合随机抛物系统的不敏感控制问题

Insensitizing Control Problems for Coupled Stochastic Parabolic Systems with State and Gradient Observations

作者: Said Boulite, Abdellatif Elgrou, Abdelaziz Rhandi

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02712v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02712v1

摘要: We study insensitizing control problems for a class of coupled linear stochastic parabolic systems. We establish the existence of controls such that a sentinel functional, involving localized observations of the state variables and their spatial gradients, is insensitive to small perturbations of the null initial data. We first reformulate the insensitizing control problem as a null controllability problem for a coupled forward–backward stochastic parabolic system, in which the observation terms induce both zeroth- and second-order coupling terms. By duality, the analysis is reduced to an observability inequality for the corresponding adjoint system. The main analytical contribution is the derivation of new global Carleman estimates for coupled stochastic parabolic systems with zeroth- and second-order coupling terms, under suitable geometric assumptions on the control and observation regions. These estimates yield the required observability inequalities and, consequently, the existence of insensitizing controls. Furthermore, depending on the value of a weighting parameter $β\in[0,1]$, which determines the relative contributions of the two state components to the sentinel functional, we consider two cases. If $β\in\{0,1\}$, the sentinel functional depends on only one state component, and a single localized control acting in the drift of the first equation is sufficient. In contrast, if $β\in(0,1)$, both state components contribute to the sentinel functional, and two localized controls acting in the drift terms of the two equations are sufficient. Moreover, the control strategy in this paper involves two additional controls acting throughout the diffusion terms.

10. Hénon型无穷拉普拉斯方程的退化集比较原理与自由边界估计

Degeneracy Set Comparison Principle and Free Boundary Estimates for Hénon-type Infinity Laplace equations

作者: Yantian Chen, Feida Jiang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02612v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02612v1

摘要: In this work, we study nonnegative viscosity solutions to Hénon-type equations driven by the infinity-Laplacian with a degenerate weight, strong absorption and an additional source term. We focus on free boundary points lying in the degeneracy set of the weight. We prove the degeneracy set comparison principle, which yields uniqueness within each slice determined by the value on the degeneracy set of the weight, although global uniqueness is not available in general. We establish sharp improved regularity estimates near free boundary points, with the intrinsic growth rate $r^{\frac{4+α}{3-m}}$. Finally, we obtain a matching non-degeneracy estimate at free boundary points; the property holds in the inhomogeneous case with suitable condition. Consequently, solutions detach from their zero phase at this rate.

11. 次二次分数阶 $p$-Laplacian 方程的比较原理与对称性

Comparison principles and symmetry for subquadratic fractional $p$-Laplacian equations

作者: Dong Ye, Weimin Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02626v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02626v1

摘要: This paper establishes a new comparison principle framework for the subquadratic fractional $p$-Laplacian, i.e.~$1 < p < 2$ under minimal regularity assumptions, that has remained a significant challenging issue due to the singularity of the operator. Our results provide the essential analytical tools required for the moving plane method in this setting. We prove first a weak comparison principle for $(-Δ)_p^s u = f(u)$ in bounded domains with sufficiently small measure, where only the boundedness of the weak solution is required. More importantly, we establish a strong comparison principle for continuous weak solutions in the parameter range $s \in (0, \frac{1}{2})$ and $\frac{1}{1-s} < p < 2$. Our proof introduces a localized barrier function and does not require any Hölder regularity of the weak solution, nor any smoothness of the domain. This presents a substantial contrast over previous study, which relied heavily on Hölder or even $C^{1,1}$ regularity. As a direct application, we employ these comparison principles to prove the symmetry of weak solutions to $(-Δ)_p^s u = f(u)$ under mild assumptions, which significantly extend existing symmetry theories for nonlocal quasilinear equations.

12. 所有维数下图标量曲率方程的内部曲率估计

Interior Curvature Estimates for the Graphical Scalar Curvature Equation in All Dimensions

作者: Guohuan Qiu, Jin Yan

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02581v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02581v1

摘要: We resolve the long-standing problem of establishing interior $C^2$ estimates for admissible solutions of the graphical scalar curvature equation in every dimension $n\ge 3$. More precisely, we prove interior curvature estimates for admissible solutions to the constant graphical scalar curvature equation. The proof combines Jacobi inequalities with a two-surface maximum principle and a two-surface Pogorelov estimate.

13. 谱 Ricci 界下的混合径向体积比较

Mixed Radial Volume Comparison under Spectral Ricci Bounds

作者: Han Hong, Gaoming Wang

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02430v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02430v1

摘要: Let $(M^n,g)$ be complete, let $u>0$, and assume $\operatorname{Ric}_g-α\frac{Δ_g u}{u}g\ge (n-1)κg$. We introduce mixed radial balls associated with the conformal metric $u^{2α}g$. For these mixed radial balls, we obtain a space-form-sharp model comparison and polynomial weighted volume growth without pointwise bounds on $u$. As applications, we give a radial derivation of the spectral Bonnet–Myers and sharp volume theorem of Antonelli–Xu, and a short volume growth derivation of the stable Bernstein theorem in $\mathbb{R}^4$.

14. 双曲空间中水平凸域上挠度函数的幂凸性

Power convexity of the torsion function on horo-convex domains in hyperbolic space

作者: Wei Zhang, Qi Zhou

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02516v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02516v1

摘要: In this paper, we study the torsion problem on bounded, smooth, strictly horo-convex domains in hyperbolic space. We prove that if the diameter of the domain is sufficiently small, then $-\sqrt{u}$ is strictly convex, where $u$ denotes the torsion function. The main ingredients of our proof are the constant rank theorem, a boundary convexity estimate, and a deformation argument for the domain. We also show that the exponent $1/2$ is optimal, even among strictly horo-convex domains of arbitrarily small diameter.

15. 非局部自由边界问题的粘性上解障碍

Viscosity Supersolution Barriers to a Non-local Free Boundary Problem

作者: Avetik Arakelyan, Lusine Poghosyan

类别: math.AP, q-fin.MF

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02381v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02381v1

摘要: We study a parabolic obstacle partial integro-differential equation (PIDE) with a dynamically moving bilateral free boundary. This type of problem arises in the mathematical modeling of speculative asset bubbles with Lévy jump processes. We consider the existence of viscosity supersolutions within the class of functions exhibiting linear asymptotic growth ($O(|g|)$ at infinity) across three distinct parametric regimes. Our intention is to determine when such a supersolution barrier can be built by analyzing the balance between the stabilizing local drift, defined by the discount rate $r$ and mean-reversion $ρ$, and the non-local jump dispersion, characterized by the large-jump intensity $λ$ and Lipschitz constant $L_γ$. First, when $r+ρ> \sqrtλL_γ$, we prove the global existence of non-negative viscosity supersolutions. Second, in the deficit regime ($r+ρ< \sqrtλL_γ$), we prove existence on finite horizons and derive a critical horizon threshold $T_{\mathrm{crit}}$. Utilizing an asymptotic slope envelope, we prove that no non-negative linear-growth supersolution can exist beyond $T_{\mathrm{crit}}$. Finally, at the exact critical boundary ($r+ρ= \sqrtλL_γ$), we show global existence by constructing a smooth supersolution, provided an additional spatial no-crossing condition holds.

16. 量子点狄拉克算子的 Payne-Weinberger 不等式

A Payne-Weinberger inequality for quantum dot Dirac operators

作者: Joaquim Duran, Albert Mas, Tomás Sanz-Perela

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02325v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02325v1

摘要: In this work we prove a Payne-Weinberger type inequality for quantum dot Dirac operators defined on bounded and simply connected planar domains. This is a sharp upper bound for their first positive eigenvalue depending only on the isoperimetric deficit of the domain. To this end, we use a recently studied connection with the so-called $\overline\partial$-Robin Laplacian and we establish an analogous inequality for its first eigenvalue, relying on the corresponding inequality for the Robin Laplacian.

17. 具有受控漂移散度的非线性 Fokker-Planck 方程的存在性与爆破

Existence and Blow-Up for Nonlinear Fokker-Planck with Controlled Drift Divergence

作者: Giacomo Maria Leccese

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02294v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02294v1

摘要: We extend the global existence results for critical parameters of [Bianchini and Leccese, J. Math. Anal. Appl. (2024)] to the multidimensional problem \begin{equation*} \partial_t u + \text{div } (b(t,x) u^{1+k}) = Δu \end{equation*} for $b:\mathbb R\times{\mathbb R}^d\to{\mathbb R}^d$ non-autonomous fields, in the case \begin{equation*} (\text{div } b)-\in L^\infty{\mathrm{loc}} \big([0,\infty);L^{p,\infty}({\mathbb R}^d)\big), \qquad p>d. \end{equation*} The proof of global existence follows the parabolic symmetrization approach of [Bandle, J. Analyse Math. (1976)] and is based on the study of the function \begin{equation*} m(t,s)=\int_0^s u^(t,r),dr. \end{equation}

18. 量子化与过程

Quantization and process

作者: Laurent Amour, Richard Lascar, Jean Nourrigat

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02261v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02261v1

摘要: This article is concerned with generalizations of pseudo-differential operators in $L^2(\mathbb{R}^n)$, $n\geq 1$. The definition of the new calculi depends only on bounded measures on the phase space $\mathbb{R}^{2n}$ and each measure gives rise to a specific calculus. Quantizations of anti-Wick, Weyl, classical and Born-Jordan are particular cases of the general calculi. Classes of symbols in this framework are then studied. The Gevrey class of parameter 1/2 is a class of symbol that is common to all the general calculi, that is, a class of symbols independent on the bounded measures parametrizing the quantizations. Precise additional hypotheses on the measures are necessary in the aim to consider the larger class of symbols $L^{\infty}(\mathbb{R}^{2n})$. This result can be applied for anti-Wick but not for Weyl quantization. Concerning Weyl pseudo-differential calculus, we recover the standard class of Sjöstrand and Gröchening. Then, we prove that probability measures of Lévy processes on the phase space $\mathbb{R}^{2n}$ with diffusion larger than 1/4 are natural examples of measures satisfying the latter additional hypotheses in order to consider $L^{\infty}(\mathbb{R}^{2n})$ symbols. This relation is derived using the Lévy-Khintchine formula. Composition laws in that general context are next investigated. In that purpose, we give a formula for the composition of two symbols in some precise class of symbols valid for all general quantizations. General calculi are relying on Wick quantization which is therefore primarily examined for some precise classes of symbols. Additional results in that context are provided, such as Mizrahi series expansions and Banach algebra isomorphisms between operators and symbol classes.

19. 分数阶 $p$-拉普拉斯弱解的直接移动平面法

The direct moving plane method for weak solutions of the fractional $p$-Laplacian

作者: Meiqing Xu, Hui Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02225v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02225v1

摘要: In this paper, we develop the method of moving planes entirely in the weak formulation for the fractional $p$-Laplacian in the singular range $1<p\leq2$. We first establish a small region principle for antisymmetric functions and apply it to prove radial symmetry and monotonicity of nonnegative weak solutions of fractional $p$-Laplacian equations in a bounded domain. We also consider the nonlocal quasilinear Lane–Emden equation $(-Δ)^s_pu=u^q$ in $\mathbb R^n$. In the Sobolev critical case, we establish radial symmetry, monotonicity, and precise asymptotic behavior at infinity for finite-energy weak solutions. Under a suitable decay condition, we also obtain radial symmetry for the full range $q>p-1$. Our results complete those of Chen-Li (Adv. Math., 2018: 735-758), where analogous results were obtained for $C^{1,1}$ solutions in the pointwise sense.

20. 固定能量下的逆半经典散射

Inverse Semiclassical Scattering at Fixed Energy

作者: François Nicoleau

类别: math.AP, math-ph, math.SP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02175v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02175v1

摘要: We investigate inverse scattering at a fixed energy for semiclassical Schrödinger operators with smooth potentials. For compactly supported potentials, we show that, at a non-trapping energy, if the corresponding semiclassical scattering matrices differ by $o(1)$ in operator norm as $h\to0$, then the associated classical scattering maps coincide. The proof relies on Ingremeau’s description of the action of the scattering matrix on coherent states. Combined with a classical rigidity result of Stefanov–Uhlmann–Vasy, this yields uniqueness of the potential under a natural virial condition, provided the energy lies above the potential. We then consider radial short-range repulsive potentials. Under a monotonicity assumption on the radial force, the classical scattering relation has a single branch. Combining the semiclassical scattering asymptotics of Robert–Tamura with the classical Firsov–Abel inversion formula, we show that the differential cross section at a single fixed energy determines the potential throughout the classically accessible region. Finally, we obtain an analogous rigidity result for simple compactly supported metric perturbations.

21. 闭合非平面 $p$-弹性曲线的存在性

Existence of closed non-planar $p$-elasticae

作者: Florian Gruen

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02073v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02073v1

摘要: We prove existence of closed non-planar $p$-elasticae for general exponents $p\in (1,\infty)$. In particular, we show that for any $p \in (1,\infty)$, there exists a countable family of non-planar $p$-elasticae, which are realized as torus knots. This generalizes well-known results of Langer–Singer for the quadratic case $p=2$ to general exponents $p\in (1,\infty)$.

22. 对数临界分布漂移随机微分方程的适定性

Well-Posedness for SDEs with Logarithmical Critical Distributional Drifts

作者: Zikai Chen, Zimo Hao, Xicheng Zhang

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02022v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02022v1

摘要: We study the stochastic differential equation

$$ d X_t=b(t,X_t)d t+\sqrt{2}d W_t $$

on $\mathbb R^d$, where $b$ is a time-dependent, divergence-free distributional drift of critical Hölder–Besov regularity $-1$, strengthened by an iterated-logarithmic correction. For every initial probability law, we construct a weak solution by smooth approximation and realize the singular drift as an additive functional. The main analytic ingredient is the Schauder estimate with a logarithmic smallness factor. Combined with uniform logarithmic Krylov estimates and a stochastic substitution formula for distributional test functions, this estimate allows us to apply a Zvonkin transformation and prove uniqueness in law among weak solutions satisfying the corresponding Krylov bounds. For solutions starting from deterministic points, we further show that their time-marginal distributions admit densities satisfying two-sided Aronson-type Gaussian estimates.

23. Fokker-Planck 优化的两个伴随视角：微观-宏观对应

Two Adjoint Perspectives on Fokker-Planck Optimization: A Microscopic-Macroscopic Correspondence

作者: Kathrin Hellmuth, Qin Li, Yunan Yang

类别: math.NA, math.AP, math.OC, math.PR

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.02072v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.02072v1

摘要: The Fokker-Planck equation admits both a macroscopic Eulerian description through probability densities and a microscopic Lagrangian description through stochastic trajectories. Consequently, optimization problems constrained by the Fokker-Planck equation can be formulated from either perspective. Surprisingly, the corresponding adjoint equations appear to be fundamentally different: the macroscopic adjoint is governed by the backward Kolmogorov equation, whereas the microscopic adjoint evolves pathwise along stochastic trajectories. In this note, we reconcile these two formulations by establishing their correspondence in the continuum setting. We further show that, although their discrete gradients no longer coincide after discretization, both provide consistent numerical approximations of the continuum gradient. Explicit convergence rates are established for both discretization strategies.

24. 环面上的 Kirchhoff-Pohozaev 方程的可积性

On the integrability of the Kirchhoff-Pohozaev equation on tori

作者: Dario Bambusi, Emanuele Haus, Simone Marrocco, Michela Procesi

类别: math.DS, math.AP

发布日期: 2026-09-01

arXiv ID: 2609.01891v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.01891v1

摘要: In this paper we study the Kirchhoff-Pohozaev equation introduced in \cite{P2} and its constants of motion (see \cite{BoitiManfrin2025}, \cite{BoitiManfrin2026}) on $n$ dimensional tori. We show that these Hamiltonians are all in involution and we prove that they are generated by an infinite list of constants of motion which are all defined and in involution on a fixed phase space. Then we study the Kirchhoff-Pohozaev equation restricted to a finite Fourier support. In dimension $n=1$ we show that such finite dimensional reduction is always completely integrable and provide an analytic Brikhoff normal form in a neighborhood of the origin. We also give sufficient conditions for integrability for $n>1$. We finally show that the formal Birkhoff Normal form of the Kirchhoff-Pohozaev equation is integrable for $n=1$.

25. 随机偏微分方程支撑的瞬时收缩

Instantaneous shrinking of supports for stochastic PDEs

作者: Beom-Seok Han, Kunwoo Kim, Jaeyun Yi

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.01984v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.01984v1

摘要: We study instantaneous shrinking of supports for nonnegative solutions of the stochastic partial differential equation

$$ \partial_t u=a(t,x)\,\partial_x^2 u + b(t,x)\,\partial_x u + c(t,x)\,u +σ(u)\,ξ(t,x), \qquad (t,x)\in(0,\infty)\times\mathbb R, $$

where $ξ$ is space-time white noise, the coefficients $a$, $b$, $c$ may be random, and the noise coefficient $σ$ vanishes at the origin and is sublinear there. The model case is $σ(u)=u^γ$ with $γ\in(0,1)$. We show that, under a uniqueness-in-law assumption, if the initial datum has a sufficiently light spatial tail, then every nonnegative solution has compact support at every positive time, even though the initial support is not compact. The initial datum may also be a measure, such as a Dirac mass. When $γ\in(0,1/2]$, finite initial mass suffices; this covers the super-Brownian case $γ=1/2$. When $γ\in(1/2,1)$, we identify a polynomial moment condition on the initial state whose order diverges as $γ\uparrow1$, quantifying the trade-off between the strength of the noise near zero and the decay of the initial data required for instantaneous shrinking. As a step of independent interest, we establish weak existence of solutions started from measure-valued initial data for non-Lipschitz $σ$ and random operators. Our results provide a stochastic counterpart of the instantaneous shrinking phenomenon of Evans and Knerr for deterministic parabolic equations with strong absorption, in which the role of the absorption term is played entirely by the noise.

26. 多项式构型与沿 Piatetski-Shapiro 序列的点态平均

Polynomial configurations and pointwise averages along Piatetski-Shapiro sequences

作者: Hamed Mousavi

类别: math.CO, math.AP, math.DS

发布日期: 2026-09-01

arXiv ID: 2609.01847v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.01847v1

摘要: In this paper, we prove that for every integer $k\geq2$ and every $c>1$ sufficiently close to $1$, there is $κ>0$ such that every sufficiently large subset of $\{1,\ldots,N\}$ of density at least $(\log\log N)^{-κ}$ contains

$$ x,\quad x+\lfloor n^c\rfloor,\quad x+\lfloor n^c\rfloor^2, \quad\ldots,\quad x+\lfloor n^c\rfloor^k. $$

We also prove pointwise almost-everywhere convergence of the associated multiple ergodic averages.

27. 强阻尼二维半线性波动方程的临界指数

The critical exponent for the two-dimensional semilinear wave equation with strong damping

作者: Wenhui Chen

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-02

arXiv ID: 2609.01964v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.01964v1

摘要: In this manuscript, we determine the critical exponent for the two-dimensional semilinear wave equation with strong damping. A recent result in D’Abbicco (arXiv, 2026) gives global in-time small data solutions for $p>\frac{10}{3}$, whereas we in the paper prove finite-time blow-up for $2<p\leqslant\frac{10}{3}$ under an averaged sign condition on the initial velocity. Together with the previously known blow-up result for $1<p\leqslant3$, the threshold for the power nonlinearity $|u|^p$ is \begin{align*} p=p_{\mathrm{crit}}=\frac{10}{3}. \end{align*} We prove positivity of the full two-dimensional velocity fundamental solution and construct a positive averaged kernel, which allows us to establish a nonlinear lower-bound iteration in a parabolic region.

28. 带记忆的全分数阶 Schrödinger 方程的延拓理论

An extension theory for fully fractional Schrödinger equations with memory

作者: Nicola Garofalo, Gigliola Staffilani

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-09-01

arXiv ID: 2609.01826v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.01826v1

摘要: We study nonlinear Schrödinger equations with memory through an extension theory for the fully fractional Schrödinger operator

$$ (\partial_t-iΔ_x)^s,\qquad 0<s<1. $$

Because the operator is nonlocal in both space and time, its natural Cauchy problem is posed with a prescribed past history rather than a classical initial condition. We construct a semigroup definition of $(\partial_t-iΔ_x)^s$, derive an equivalent local extension problem in one additional spatial variable, and compute the corresponding oscillatory Poisson kernel explicitly. The extension yields a Poisson lifting of history data and an intrinsic quadratic form on histories, establishing an explicit identity between the weighted bulk energy of the lifting and a nonlocal energy determined entirely by the prescribed past evolution. As an application, and in combination with the nonlinear boundary-interaction theory developed in our companion paper, we obtain a well-posedness theory for the associated nonlinear memory problem. The well-posedness is established in an extension-induced mild sense: for a general history in the natural energy space the future evolution is defined as the boundary trace of the corresponding solution in the half-space, and the fractional equation itself is recovered, in $L^2$ and for positive times, under an additional graph-domain hypothesis.

29. 时间周期时空上的亚椭圆性

Hypoellipticity on time-periodic space-times

作者: Sandro Coriasco, Perry Kleinhenz, Jared Wunsch

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-01

arXiv ID: 2609.01774v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.01774v1

摘要: We study the hypoellipticity of operators on a product type Lorentzian manifold where the time variable is periodic. In particular, we prove that hypoellipticity holds for such time-periodic equations, with a stronger estimate when the mass parameter or time period lies outside a set of arbitrarily small measure. We consider both compact and noncompact spatial manifolds and provide explicit examples involving the wave operator. The proof relies on a Fourier series decomposition and asymptotics for eigenvalue counting functions.

30. 硬球或麦克斯韦分子的熵产生并不总是单调的

The entropy production is not always monotone for hard spheres or for Maxwell molecules

作者: Luis Silvestre

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-09-01

arXiv ID: 2609.01753v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.01753v1

摘要: In 1966, McKean asked whether the entropy production of the Boltzmann equation must be monotone decreasing in time. We show that this is not the case even in the space-homogeneous setting for the Boltzmann collision operator with a constant angular cross section and the kinetic parameter $γ\in [0,1]$. This recovers the classical case of hard spheres and the simplest case of Maxwell molecules. Our examples are radially symmetric mixtures of Maxwellians.