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1. 三维Navier-Stokes方程强解新能量恒等式的一个极短证明

A very short proof of a new energy identity for strong solutions to the Navier-Stokes system in 3D

作者: Thomas Ruf

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18808v1

摘要翻译: 我们证明了，在 $\mathbb{R}^3$ 上的不可压缩、均质 Navier-Stokes 方程的强解，若初值属于 Sobolev 空间 $H^1_σ(\mathbb{R}^3)$，则其在时间上是全局存在的。证明的核心要素是一个新的能量估计，该估计排除了 $L^r(\mathbb{R}^3)$ 中有限时间爆破的可能性，其中 $r = 2 + 2 / \sqrt{3}$。此估计关键依赖于物质导数的性质与无散度约束的结合，以及一个复杂的估计，该估计利用了新的能量泛函的粘性强制性（viscous coercivity）与对扰动压力项的控制之间的微妙相互作用。值得注意的是，该估计不能推广到仅共享标准能量结构的系统，例如 T. Tao 的平均化 Navier-Stokes 系统。作为新能量估计的结果，对于均质 Navier-Stokes 系统的每一个 Leray-Hopf 弱解 $u$，只要其初值 $u(0, \cdot)$ 属于 $L^2_σ(\mathbb{R}^3) \cap L^3(\mathbb{R}^3)$，该解在全局意义上是唯一的。即使对于 $u(0, \cdot) \in L^2_σ(\mathbb{R}^3)$，在 Leray-Hopf 弱解类中唯一可能的非唯一性也是初始分岔（initial branching），并且每个这样的解在 $\left( 0, \infty \right) \times \mathbb{R}^3$ 上都是 $C^\infty$-光滑的。此外，如果 $u(0, \cdot)$ 是光滑的且其各阶导数在无穷远处快速衰减，我们表明 $u$ 实际上在整个 $\left[ 0, \infty \right) \times \mathbb{R}^3$ 上都是 $C^\infty$-光滑的。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18808v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维不可压缩、无外力 Navier-Stokes 方程的强解全局存在性与唯一性, 这是流体力学与偏微分方程领域的核心问题之一. 具体地, 考虑如下方程组:

其中 $u: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 为速度场, $p: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ 为压力, $T_\omega \in (0, \infty]$ 为最大存在时间. 初始数据 $u_0$ 属于 Sobolev 空间 $H^1_\sigma(\mathbb{R}^3)$, 该空间定义为 $L^2_\sigma(\mathbb{R}^3) \cap H^1(\mathbb{R}^3; \mathbb{R}^3)$, 其中 $L^2_\sigma(\mathbb{R}^3)$ 是 $L^2(\mathbb{R}^3; \mathbb{R}^3)$ 中无散度测试函数 $C^\infty_{\sigma,c}(\mathbb{R}^3)$ 的闭包.

Navier-Stokes 方程的全局正则性是 Clay 数学研究所提出的千禧年问题之一. 对于三维情形, Leray-Hopf 弱解的存在性已由 Leray 和 Hopf 建立, 但弱解的唯一性和光滑性至今仍是开放问题. 已知若初始数据足够小或满足某些临界条件, 则存在全局强解, 但对于一般的大初始数据, 是否存在有限时间爆破仍未知. 经典能量方法仅能给出 $L^2$ 范数的有界性, 不足以排除更高阶范数的爆破. Tao 在其关于平均化 Navier-Stokes 方程的工作中指出, 仅依赖标准能量结构的估计无法保证全局正则性, 因为存在具有相同能量结构但会有限时间爆破的方程. 因此, 需要利用 Navier-Stokes 方程特有的结构, 如无散度约束与物质导数的结合, 来获得更强的先验估计.

本文的核心目标是证明: 对于任意 $u_0 \in H^1_\sigma(\mathbb{R}^3)$, Navier-Stokes 方程存在全局强解. 这一结果将直接解决三维无外力 Navier-Stokes 方程的全局正则性问题. 作者通过构造一个新的能量泛函, 并证明其在时间演化下的有界性, 从而排除了强解在 $L^r(\mathbb{R}^3)$ 中的有限时间爆破, 其中 $r = 2 + 2/\sqrt{3}$. 这一新的能量估计不仅依赖于标准的耗散项, 还巧妙地利用了压力项与粘性项之间的相互作用, 以及无散度条件对散度的控制.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果包括两个定理:

定理 1.1: 对于任意初始值 $u_0 \in H^1_\sigma(\mathbb{R}^3)$, Navier-Stokes 方程 (1) 存在全局强解 $u$. 特别地, $u$ 是具有初始值 $u_0$ 的唯一全局 Leray-Hopf 弱解.

该定理的证明基于一个新的能量估计, 该估计排除了强解在 $L^r(\mathbb{R}^3)$ 中的有限时间爆破, 其中 $r = 2 + 2/\sqrt{3}$. 具体而言, 定义函数 $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ 为 $F(v) = \frac{1}{r}|v|^r$, 其导数为 $F'(v) = |v|^{r-2}v$. 通过选取 $F'(u)$ 作为测试函数, 并结合无散度条件和物质导数的性质, 作者证明了如下能量不等式:

对所有 $S \in (0, T)$ 成立, 其中 $\beta \in (1, \infty)$ 由 $2/\beta = \left. \frac{1}{\alpha^2} + \frac{4}{r} \right|_{r=2+2/\sqrt{3}}$ 定义, $\alpha = \frac{3r}{3r-2}$, 且 $\varepsilon > 0$ 为任意小常数. 由于 $H^1(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow L^6(\mathbb{R}^3)$ 且 $L^r(\mathbb{R}^3) \subset L^2(\mathbb{R}^3) \cap L^6(\mathbb{R}^3)$, 右端第一项有限, 而第二项随 $S$ 线性增长, 因此左端的 $L^r$ 范数不能爆破. 结合 Serrin 条件, 可推出强解全局存在.

定理 1.2: 设 $u: (0, T) \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 是 Navier-Stokes 方程 (1) 的 Leray-Hopf 弱解, 初始值为 $u_0 \in L^2_\sigma(\mathbb{R}^3)$. 则:

1. $u$ 在初始时刻后无分支, 即若 $u^*$ 是另一 Leray-Hopf 弱解且 $u^*(t^*) = u(t^*)$ 对某个 $t^* \in (0, T)$, 则 $u^* = u$ 在 $[t^*, T)$ 上.
2. $u$ 在每个 $\varepsilon > 0$ 上是强解, 且 $u \in C^\infty((0, T) \times \mathbb{R}^3; \mathbb{R}^3)$.
3. 若 $u_0 \in L^2_\sigma(\mathbb{R}^3) \cap L^3(\mathbb{R}^3)$, 则 $u$ 在 Leray-Hopf 弱解类中全局唯一.
4. 若 $u_0 \in H^1_\sigma(\mathbb{R}^3)$, 则 $u$ 在 $\overline{[0, T)}$ 上是强解.
5. 若 $u_0 \in \bigcap_{m \in \mathbb{N}} H^m(\mathbb{R}^3)$, 例如 $u_0$ 属于 Schwartz 空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^3)$, 则 $u \in C^\infty(\overline{[0, T)} \times \mathbb{R}^3; \mathbb{R}^3)$.
6. 若压力 $p$ 由 $p = \operatorname{div} \operatorname{div} (-\Delta)^{-1} (u \otimes u)$ 唯一确定, 则相应的平滑性结论也适用于 $p$.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文证明的核心技术障碍在于如何构造一个能够控制高阶范数的能量泛函, 同时处理压力项带来的扰动. 传统能量方法仅使用 $|u|^2$ 作为能量密度, 导致只能获得 $L^2$ 范数的有界性, 无法排除 $L^r$ ($r > 2$) 中的爆破. 作者的真正创新点在于引入非线性能量泛函 $F(u) = \frac{1}{r}|u|^r$, 其中指数 $r = 2 + 2/\sqrt{3}$ 经过精心选择, 以平衡粘性耗散项与压力项的贡献.

首先, 作者利用强解的正则性 $u \in L^\infty(0, S; H^3(\mathbb{R}^3)) \cap L^2(0, S; H^4(\mathbb{R}^3))$ 和 Sobolev 嵌入 $H^3(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow W^{2,6}(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow W^{1,\infty}(\mathbb{R}^3)$, 得到 $u \in L^\infty(0, S; W^{1,\infty}(\mathbb{R}^3))$. 这使得 ODE 流 $\varphi'(t, x) = u(t, \varphi(t, x))$, $\varphi(0, x) = x$ 全局定义, 且由于 $\operatorname{div} u = 0$, $\varphi(t)$ 保持体积. 通过链式法则和 Bochner 积分的基本定理, 作者证明了:

这一步骤的关键在于利用物质导数的性质和无散度条件, 将非局部的时间导数转化为局部能量变化.

其次, 作者处理粘性项 $-\Delta u$. 通过分部积分和 Sobolev 链式法则, 得到:

其被积函数非负, 提供了关键的耗散项.

最后, 作者处理压力项 $\langle F'(u), \nabla p \rangle$. 通过分部积分, 将其转化为 $\int \operatorname{div} F'(u) \, p \, dx \, dt$. 利用无散度条件, $\operatorname{div} F'(u) = (r-2) \sum_{i=1}^3 |u|^{r-4} u_i \langle u, \partial_i u \rangle$. 通过 Hölder 不等式和 Young 不等式, 作者估计该项为:

其中 $\alpha = \frac{3r}{3r-2}$. 关键之处在于, 当 $r = 2 + 2/\sqrt{3}$ 时, $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{4}{r} < 2$, 使得可以通过 Young 不等式吸收进耗散项. 这一精细的指数计算是证明成功的关键, 体现了作者对参数选择的深刻洞察.

此外, 作者还利用了 Leray-Hopf 弱解的能量不等式来控制 $L^2$ 范数, 并结合 Serrin 条件完成全局存在性的证明. 对于初始数据从 $H^3$ 放宽到 $H^1$ 的情形, 作者通过逐步提升正则性, 先取 $t_1$ 使 $u(t_1) \in H^2$, 再取 $t_2$ 使 $u(t_2) \in H^3$, 然后应用主要结果于限制解 $u|_{[t_2, T]}$, 从而推广到一般 $H^1$ 初值.

4. 与之前工作的比较

本文与既有 Navier-Stokes 方程理论文献相比, 做出了显著推进, 主要体现在以下几个方面:

1. 全局正则性的解决: 此前, 三维 Navier-Stokes 方程的全局正则性仅在特殊条件下成立, 如小初值、轴对称无 swirl 或二维情形. 本文首次证明了对于任意 $u_0 \in H^1_\sigma(\mathbb{R}^3)$, 无外力 Navier-Stokes 方程存在全局强解. 这一结果直接解决了 Clay 千禧年问题中的一个重要特例, 即无外力情形. 相比之下, Hou, Wang, and Yang [3] 证明了对于 $u_0 \in L^2_\sigma(\mathbb{R}^3) \cap L^q(\mathbb{R}^3)$ ($2 \leq q < 3$), Leray-Hopf 弱解可能不唯一, 这与本文的结果并不矛盾, 因为本文关注的是强解和 $H^1$ 初值.

2. 新能量估计的创新性: 传统能量方法仅使用 $|u|^2$ 作为能量密度, 导致只能获得 $L^2$ 范数的有界性. 本文引入非线性能量泛函 $F(u) = \frac{1}{r}|u|^r$, 其中 $r = 2 + 2/\sqrt{3}$, 并通过精细的指数计算平衡了粘性耗散项与压力项. 这一方法不同于 Tao [6] 指出的“标准能量方法不足”的情况, 因为它利用了 Navier-Stokes 方程特有的结构, 如无散度约束与物质导数的结合. Tao 的平均化 Navier-Stokes 方程虽然具有相同的能量结构, 但由于缺乏无散度条件的完整作用, 无法应用本文的方法, 因此会出现有限时间爆破. 这表明本文的能量估计是特定于 Navier-Stokes 方程的, 而非普适的能量结构.

3. 唯一性与平滑性: 本文不仅证明了强解的全局存在性, 还推导出了 Leray-Hopf 弱解的唯一性和平滑性. 具体而言, 对于 $u_0 \in L^2_\sigma(\mathbb{R}^3) \cap L^3(\mathbb{R}^3)$, 弱解全局唯一; 对于 $u_0 \in L^2_\sigma(\mathbb{R}^3)$, 弱解在初始时刻后无分支, 且在 $(0, T) \times \mathbb{R}^3$ 上 $C^\infty$ 平滑. 这些结果比之前的工作更为细致, 特别是关于“初始分支”的分析, 明确了唯一性失败的可能位置仅限于 $t=0$.

4. 与 Open AI 工作的比较: 文中提到 Open AI [4] 声称强制 Navier-Stokes 方程可能在光滑紧支力下出现有限时间爆破. 由于本文仅处理无外力方程, 两者并不矛盾. 如果两者都正确, 则共同构成了千禧年问题的完整解答: 无外力情形全局正则, 有力情形可能爆破. 这突显了本文结果在无外力设定下的精确性和重要性.

5. 局限性与未来方向: 作者指出, 证明严重依赖于粘性的存在, 因此无法直接推广到 Euler 方程. 此外, 方法是否适用于强制方程或更一般的椭圆算子 (如非牛顿流体) 尚待探索. 这些问题为未来的研究留下了开放空间.

2. 带分数拉普拉斯算子的三维非自治 Boussinesq 方程的拉回指数吸引子

Pullback exponential attractors for 3D non-autonomous Boussinesq equations with fractional Laplacian

作者: Tong Kou, Hui Liu, Xiuqing Wang, Jie Xin

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18114v1

摘要翻译: 聚焦于该系统所呈现的拉回渐近行为，本文研究了带分数拉普拉斯算子的三维（3D）非自治 Boussinesq 方程。对于 $ α> \frac{5}{4} $ 和 $ β> \frac{5}{8} $，通过采用文献 \cite{MP2002} 中引入的 $ \ell $-轨迹方法，我们证明了过程 $ \{L(t, τ)\}_{t \geq τ} $ 在相空间 $ X_{\ell} $ 中既存在有限维的拉回吸引子，也存在拉回指数吸引子，该过程对应于 \cref{eq0101}。此外，我们在原始相空间 $ H_σ^α(Ω) \times H^β(Ω) $ 中建立了过程 $ \{U(t, τ)\}_{t \geq τ} $ 的拉回指数吸引子的存在性。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18114v1

1. 研究对象和背景

Boussinesq 系统作为描述浮力驱动流体运动的经典数学模型，在大气科学、海洋环流以及工业过程中的密度驱动气体扩散等领域具有广泛的应用价值。该系统通过耦合不可压缩 Navier-Stokes 方程与热传导方程，精确刻画了在重力作用下速度场与温度场之间的相互作用机制。近年来，随着分数阶微积分理论的发展，引入分数阶耗散项的三维 Boussinesq 系统受到了流体动力学与偏微分方程研究领域的广泛关注。尽管该模型看似仅是经典模型的数学推广，但其具有具体的地球物理背景意义。例如，在中层大气的流动状态中，当气流向上传播时，由于大气属性的变化，运动学和热扩散效应会受到抑制。这种异常的阻尼效应可以通过空间分数阶 Laplacian 算子来有效建模。

本文重点研究了定义在周期域 $\Omega = T^3$（即 $[-\pi, \pi]^3$）上的三维非自治 Boussinesq 方程组，其具体形式如下：

其中，$u = (u_1, u_2, u_3)$ 为速度场，$p$ 为压力，$\theta$ 为标量温度，$e_3 = (0, 0, 1)$。常数 $\nu > 0$ 和 $\kappa > 0$ 分别表示速度耗散系数和热扩散系数。$f$ 和 $g$ 分别为依赖于时间的向量值外部强迫项和标量外部强迫项。参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别控制速度和温度方程中的分数阶耗散强度。

对于经典的整数阶情况（$\alpha = \beta = 1$），全局弱解的存在性、条件正则性以及长时动力学行为已有大量研究成果。然而，针对分数阶耗散的情况，虽然已有文献探讨了不同维度下的适定性问题，但在三维情况下，关于强解的全局适定性及其长时动力学结构的研究仍有待深入。特别是当耗散参数满足 $\alpha > 5/4$ 且 $\beta > 5/8$ 时，系统的非线性项与分数阶耗散项之间的平衡关系变得复杂，传统的能量估计方法难以直接应用。

此外，现有的长时动力学研究多集中于自治系统的全局吸引子或指数吸引子的构造。然而，在实际物理应用中，外部强迫往往随时间变化，导致系统呈现非自治特征。因此，研究非自治系统的拉回动力学行为具有重要的理论意义和应用价值。拉回吸引子能够描述系统在任意时刻之前的历史演化对当前状态的影响，而拉回指数吸引子则进一步提供了收敛速率的量化指标。目前，针对带有分数阶 Laplacian 的非自治 Boussinesq 系统，尚缺乏关于拉回指数吸引子存在性的系统性研究。本文旨在填补这一空白，通过引入 $\ell$-轨迹方法，探讨该系统的拉回渐近行为，并证明有限维拉回吸引子和拉回指数吸引子的存在性。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果集中在证明三维非自治分数阶 Boussinesq 方程在特定参数范围内的拉回动力学性质。具体而言，假设外力项 $f \in L^2_{loc}(\mathbb{R}; H^1)$ 和 $g \in L^2_{loc}(\mathbb{R}; H^2)$ 满足有界性条件：

在此假设下，作者证明了以下核心结论：

1. 强解的全局适定性：当 $\alpha > 5/4$ 且 $\beta > 5/8$ 时，对于任意初始数据 $(u_\tau, \theta_\tau) \in H^\alpha_\sigma(\Omega) \times H^\beta(\Omega)$，方程组 (1.1) 在区间 $[\tau, T]$ 上存在唯一的强解 $(u, \theta)$，且满足：

   $$ (u, \theta) \in C([\tau, T]; H^\alpha_\sigma(\Omega) \times H^\beta(\Omega)) \cap L^2(\tau, T; H^{2\alpha}_\sigma(\Omega) \times H^{2\beta}(\Omega)), $$

   以及时间导数 $(u_t, \theta_t) \in L^2(\tau, T; H^1 \times H^2)$。此外，该强解关于初始数据在 $H^\alpha_\sigma(\Omega) \times H^\beta(\Omega)$ 拓扑下连续依赖。

2. 轨迹空间中的拉回吸引子与指数吸引子：采用 $\ell$-轨迹方法，定义了轨迹空间 $X_\ell$ 及相应的过程 $\{L(t, \tau)\}_{t \geq \tau}$。作者证明了该过程在相空间 $X_\ell$ 中存在一个有限维的拉回吸引子 $\hat{A}_\ell$。进一步地，利用过程的平滑化性质，构造了一个拉回指数吸引子 $\mathcal{M}_\ell$，其截面在 $X_\ell$ 中具有均匀有界的分形维数，并以指数速率拉回吸引 $X_\ell$ 中的所有有界集。具体地，存在常数 $\omega > 0$，使得对于任意有界集 $B \subset X_\ell$ 和任意 $t \in \mathbb{R}$，有：

   $$ \lim_{s \to +\infty} e^{\omega s} \text{dist}(L(t, t-s)B, \mathcal{M}_\ell(t)) = 0. $$

3. 原始相空间中的拉回指数吸引子：通过建立轨迹空间 $X_\ell$ 到原始相空间 $H^\alpha_\sigma(\Omega) \times H^\beta(\Omega)$ 的映射关系，作者证明了由方程组生成的过程 $\{U(t, \tau)\}_{t \geq \tau}$ 在原始相空间中同样存在一个拉回指数吸引子 $\mathcal{M}$。该吸引子的各截面 $\mathcal{M}(t)$ 是紧集，具有均匀有界的分形维数，并且以指数速率拉回吸引原始相空间中的所有有界集。这一结果表明，尽管系统是无限维的，但其长时动力学行为可由有限维的结构所支配。

这些结果不仅揭示了分数阶耗散对系统动力学行为的深刻影响，也为理解非自治 Boussinesq 系统的长期稳定性提供了严格的数学基础。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍在于如何在低正则性条件下控制耦合输运项，从而闭合高阶能量估计和强解差异估计。传统的方法在处理分数阶 Laplacian 与非线性对流项的相互作用时，往往面临正则性损失的问题。为了克服这一困难，作者采用了 $\ell$-轨迹方法，这是一种处理非自治系统拉回动力学的有效框架。

首先，作者建立了强解的全局适定性理论。通过结合 Leray 投影算子消除压力项，并利用分数阶 Sobolev 空间的插值不等式和 Poincaré 不等式，推导出一系列先验估计。特别是在处理温度方程时，利用了 Poincaré 不等式 $\|\Lambda^\beta \theta\|^2_{L^2} \geq \lambda_1^{2\beta} \|\theta\|^2_{L^2}$ 来获得耗散项的下界，进而通过 Gronwall 不等式得到温度场的指数衰减估计。对于速度方程，作者巧妙地处理了耦合项 $\theta e_3$，将其转化为关于温度场范数的估计，并结合外力项的有界性条件，最终得到了速度场在 $L^2$ 范数下的统一有界性。这些估计构成了拉回吸收集存在性的基础。

其次，作者引入了 $\ell$-轨迹空间 $X_\ell$，定义为所有长度为 $\ell$ 的解轨迹的集合，并赋予其由 $L^2(\tau, \tau+\ell; H^\alpha_\sigma(\Omega) \times H^\beta(\Omega))$ 诱导的拓扑。在这一空间中，定义了轨迹过程 $\{L(t, \tau)\}$，并通过验证其紧致性和连续性，证明了拉回吸引子的存在性。关键的一步是证明轨迹过程的平滑化性质，即经过有限时间演化后，轨迹进入一个更光滑的子空间。这一性质使得作者能够应用 Lipschitz 连续性来估计分形维数，从而构造出指数吸引子。

最后，为了实现从轨迹空间到原始相空间的过渡，作者定义了端点求值映射 $e_t: X_\ell \to H^\alpha_\sigma(\Omega) \times H^\beta(\Omega)$，并证明了其在相关轨迹集上的 Lipschitz 连续性。利用分形维数在 Lipschitz 映射下不增加的性质，将轨迹空间中的指数吸引子映射到原始相空间，从而完成了整个证明过程。这一方法的优势在于避免了直接在原始相空间中处理复杂的非线性项，而是通过提升相空间的维度来简化估计过程，同时保留了原系统的关键动力学特征。

4. 与之前工作的比较

本文的研究相较于既有文献，在以下几个方面取得了显著推进：

1. 参数范围的拓展：既往工作主要关注整数阶耗散（$\alpha=\beta=1$）或二维分数阶情形。对于三维分数阶 Boussinesq 系统，Yamazaki [46] 研究了临界耗散下的正则性问题，但并未涉及长时动力学。Anh 和 Tinh [4] 虽然分析了三维广义 Boussinesq 系统的弱解吸引子，但其基于 Cheskidov-Lu 演化系统框架，且未明确给出指数吸引子的构造。本文首次明确了在 $\alpha > 5/4$ 和 $\beta > 5/8$ 的参数范围内，强解的全局适定性及拉回指数吸引子的存在性。这一参数范围的选择是为了确保高阶能量估计的闭合，比某些仅考虑弱解的工作更为精细。

2. 非自治性与拉回框架的应用：大多数关于 Boussinesq 方程的动力学研究集中在自治系统的全局吸引子上。对于非自治系统，Efendiev, Zelik, and Miranville [20] 提出了拉回指数吸引子的概念，但主要应用于反应扩散系统。Carvalho 和 Sonner [12] 在较弱的假设下证明了渐近紧致过程的拉回指数吸引子存在性，但未具体应用于分数阶 Boussinesq 系统。本文将这些抽象理论与分数阶 Boussinesq 方程的具体结构相结合，特别是利用了外力项的时间局部平方可积性而非周期性或准周期性假设，这使得结果更具一般性，适用于更广泛的非平稳强迫场景。

3. 方法的创新与应用：在构造指数吸引子时，传统方法通常依赖于解差的收缩性质或半群的时间 Hölder 连续性。然而，在分数阶低正则性背景下，验证时间 Hölder 连续性往往非常困难。本文采用了 You [50] 提出的基于 $\ell$-轨迹方法的抽象框架，该方法通过提升相空间维度来规避对时间正则性的严格要求。这一方法此前已被应用于三维非自治原始方程 [51]，但尚未见于分数阶 Boussinesq 系统。本文的创新点在于成功地将 $\ell$-轨迹方法适配于具有耦合非线性项的分数阶系统，并解决了由此带来的估计难点，如耦合输运项的控制。

4. 代价与局限：尽管本文取得了上述进展，但也存在一定的局限性。首先，参数限制 $\alpha > 5/4$ 和 $\beta > 5/8$ 意味着系统必须处于超临界或接近临界的耗散状态，对于亚临界耗散情况，现有方法可能不适用。其次，外力项需满足 $L^2_{loc}$ 有界性条件，这排除了某些具有更强奇异性或随机性的强迫项。此外，虽然证明了指数吸引子的存在性，但并未给出其分形维数的显式上界公式，这在定量分析中是一个潜在的改进方向。总体而言，本文为非自治分数阶 Boussinesq 系统的长时动力学研究提供了一个坚实的理论基础，并为未来探索更一般耗散结构和强迫项类型奠定了基础。

3. 行波涡旋偶极子的一个变分族：过渡、唯一性与稳定性

A Variational Family of Traveling Vortex Dipoles: Transition, Uniqueness, and Stability

作者: Ken Abe, In-Jee Jeong, Guolin Qin, Weicheng Zhan

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.17962v1

摘要翻译: 我们给出了二维不可压 Euler 方程的一个稳定的行波涡旋偶极子变分族的统一描述，将经典的 Lamb 偶极子与大冲量渐近径向偶极子联系起来。我们证明该族经历从 Lamb 偶极子（其中质量约束不活跃）到非显式行波（其中质量约束变得活跃）的尖锐过渡，并精确确定了临界值。此外，我们证明了变分解在 Lamb 偶极子附近和大冲量渐近区域中均至多相差平移而唯一。作为推论，相应的单个行波是轨道稳定的。我们的结果在一个统一的行波涡旋偶极子变分族中，为这两个不同的渐近区域提供了完整的图像。

Comment: 44 pages, 4 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17962v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维不可压缩欧拉方程的行波涡旋偶极子（traveling vortex dipoles）的变分结构。二维不可压缩欧拉方程在涡量形式下表示为

其中 $\nabla^\perp = (-\partial_{x_2}, \partial_{x_1})^\top$。涡旋偶极子由两个符号相反的涡旋组成，以恒定速度平移，是流体力学中重要的相干结构。经典的 Lamb 偶极子具有显式的 Bessel 函数表达式，但在更一般的参数范围内，行波解通常缺乏显式公式。本文采用 Kelvin-Arnold-Benjamin 变分方法，即在上半平面 $\mathbb{R}^2_+ = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_2 > 0\}$ 中最大化动能减去环量的能量-Casimir 泛函

其中 $E[\omega]$ 为动能，$\lambda > 0$ 为参数。约束条件包括质量 $\|\omega\|_{L^1(\mathbb{R}^2_+)} \leq \nu$ 和冲量 $\int_{\mathbb{R}^2_+} x_2 \omega(x) dx = \mu$。通过引入无量纲参数 $\kappa = \mu / (\sqrt{\lambda} \nu)$，该变分问题生成一个单参数行波涡旋偶极子族。已有工作（如 [AC22]）证明了该变分问题的存在性和最大化集的整体稳定性，但未解决单个行波的唯一性问题。当 $\kappa$ 较小时，最大化器即为 Lamb 偶极子；然而，当 $\kappa$ 增大时，质量约束变为“活跃”，解不再是显式的。本文旨在建立从 Lamb 偶极子到大冲量渐近径向偶极子的统一描述，确定质量约束激活的精确临界值，并证明在两个极限区域（Lamb 附近和大冲量）内变分解的唯一性，从而推导出轨道稳定性。

2. 主要定理或主要结果

主要结果包括：

定理 1.2（质量相变）：定义临界常数

若 $0 < \kappa \leq \kappa^*$，则 Lagrange 乘子 $\gamma = 0$，且最大化集 $S_{\mu,\nu,\lambda}$ 恰好由 Lamb 偶极子及其平移组成，此时质量约束不活跃（除非 $\kappa = \kappa^*$）。若 $\kappa > \kappa^*$，则 $\gamma > 0$，所有最大化器满足质量饱和 $\|\omega\|_{L^1(\mathbb{R}^2_+)} = \nu$，且涡核与边界保持正距离。

定理 1.3（唯一性与连续性）：存在常数 $\delta^* > 0$ 和 $\kappa^{**} > \kappa^* + \delta^*$，使得在区间 $(0, \kappa^* + \delta^*] \cup [\kappa^{**}, \infty)$ 上，变分问题有唯一的 Steiner 对称最大化器 $\omega_\kappa$（模水平平移），且映射 $\kappa \mapsto \omega_\kappa$ 在 $L^2 \cap L^1_* \cap L^\infty(\mathbb{R}^2_+)$ 中连续。

定理 1.4（稳定性）：在上述唯一性成立的区域内，对应的行波是轨道稳定的。具体地，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得若初始数据 $\zeta_0$ 非负且满足 $\inf_{a \in \mathbb{R}} \|\zeta_0 - \omega_\kappa(\cdot + (a, 0))\|_{L^2} + |\int x_2 \zeta_0 dx - \mu| \leq \delta$，则全局解 $\zeta(t)$ 满足 $\inf_{a \in \mathbb{R}} \|\zeta(t) - \omega_\kappa(\cdot + (a, 0))\|_{L^2 \cap L^1_*} \leq \varepsilon$。

定理 1.6（极限剖面）：当 $\kappa \to \kappa^{*+}$ 时，归一化解收敛到 Lamb 偶极子；当 $\kappa \to \infty$ 时，重新定心的涡核收敛到径向对称解 $\omega_R$，且平移速度趋于零，涡核分离距离趋于无穷。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心技术障碍在于非显式解的唯一性，作者采用了两种不同的刚性机制来处理两个极限区域：

大冲量区域 ($\kappa \geq \kappa^{**}$)：

1. 对数自由能最大化：在大冲量极限下，相互作用能的主导项被扣除后，剩余部分收敛于 $\mathbb{R}^2$ 上的对数自由能泛函 $E_2[\omega] = \frac{1}{4\pi} \iint \log \frac{1}{|x-y|} \omega(x)\omega(y) dxdy - \frac{1}{2}\int \omega^2 dx$。利用 Carrillo-Castorina-Volzone [CCV15] 的结果，该泛函的唯一最大化器是径向对称解。
2. 涡核统一定位：关键步骤是证明重新定心后的涡核在某个固定球 $B_0(R)$ 内有界。这通过结合 Steiner 对称性和对数自由能的性质实现：若垂直方向直径过大，则两部分质量分离过远导致自由能趋于 $-\infty$，矛盾。
3. 线性化算子的强制性：假设存在两个不同的最大化器，其差分的归一化极限 $\zeta$ 满足齐次线性方程 $L\zeta = 0$，其中 $L = I - 1_{B_0(j_{0,1})}(-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1}1_{B_0(j_{0,1})}$。利用 Pohožaev 恒等式和零矩条件，证明 $L$ 在相关子空间上是强制的，从而推出 $\zeta = 0$，矛盾。

Lamb 附近区域 ($\kappa^* < \kappa \leq \kappa^* + \delta^*$)：

1. 紧性与收敛：利用 $\kappa = \kappa^*$ 处最大化器的唯一性（Lamb 偶极子），证明当 $\kappa \to \kappa^{*+}$ 时，任何最大化序列都收敛到 Lamb 偶极子。
2. 不定线性化算子的强制性：线性化算子 $L_+$ 是不定的（具有负特征值）。作者利用 Steiner 对称性和质量/冲量约束，在特定的约束子空间上建立了二次型的强制性估计。这与 Li-Song-Zhou [LSZ] 关于定量稳定性的工作类似，但此处用于证明唯一性而非直接估计稳定性。
3. 非齐次极限方程：差分极限 $\zeta$ 满足非齐次方程 $L_+ \zeta = -2(\frac{x_2}{\kappa^*} - 1)(\zeta, \omega_L)_{L^2}$。利用上述强制性估计和正交性条件，同样推出 $\zeta = 0$。

4. 与之前工作的比较

与既有工作的比较主要体现在以下几个方面：

与 Lamb 偶极子研究的对比：Burton [Bur96, Bur05] 和 Abe-Choi [AC22] 已经证明了 Lamb 偶极子在特定变分框架下的唯一性和稳定性。本文的贡献在于将这一刚性结果推广到 Lamb 偶极子之外，特别是当质量约束变得活跃时（$\kappa > \kappa^*$）。在此之前，除了集中斑块（concentrated patch）情形 [CQZZ25] 外，一般行波的唯一性是未知的。

与大冲量渐近行为的对比：[CQZZ25] 研究了涡旋斑块的集中极限，其中每个涡核收缩为点涡旋。而本文的大冲量极限具有不同的几何结构：涡核大小保持为 $O(1)$，但彼此分离趋于无穷，且各自趋近于非平凡的径向对称剖面。因此，本文的独特性证明不依赖于点涡旋约化或局部 Pohožaev 分析，而是依赖于涡核的统一定位和对数自由能最大化。

与均匀旋转解（V-states）的类比：文中指出，Lamb 偶极子对应于 Rankine 涡旋，而受扰动的 Lamb 偶极子对应于 Kirchhoff 椭圆。不同之处在于，这里的形变不是由额外的几何约束引起的，而是由变分问题中质量约束的激活自然产生的。

与三维轴对称 Euler 方程的联系：本文的二维涡旋偶极子族可视为三维无旋轴对称 Euler 方程中 Fraenkel-Norbury 涡环族的类比。虽然两者都可以通过变分原理构造，但本文提供了沿整个变分族的统一唯一性和稳定性理论，这在三维情形中尚未完全建立。

局限性：作者在中间区域 $\kappa^* + \delta^* < \kappa < \kappa^{**}$ 的唯一性仍然是开放的。这是因为两个极限区域的刚性机制差异巨大，目前缺乏连接它们的统一工具。

4. Poiseuille 流附近的稳态对称 Navier-Stokes 流动：存在性与零粘性极限

Steady symmetric Navier-Stokes flow near Poiseuille flow: existence and vanishing viscosity limit

作者: Zeyu Jia, Jia Song, Tao Tao

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18280v1

摘要翻译: 我们研究水平周期带状区域中无滑移边界条件和中线对称强迫项下稳态不可压 Navier-Stokes 流动的存在性与零粘性极限。以 Poiseuille 流作为主阶 Euler 剖面，我们构造高阶对称近似解，并建立相应非线性误差方程的对称解的存在性。在合适的强迫项相容条件下，该构造给出了一族中线对称的稳态 Navier-Stokes 解，这些解以最优速率收敛到给定的 Poiseuille 流。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18280v1

1. 研究对象和背景

本文研究在水平周期带状区域 $\Omega = \mathbb{T} \times [0,1]$ 中，带有无滑边界条件和中线对称外力的二维不可压缩稳态 Navier-Stokes 方程的解的存在性及其零粘性极限。该问题属于经典流体力学中的“粘性问题”（viscous problem），其核心在于：当粘性系数 $\epsilon \to 0$ 时，Navier-Stokes 方程的解是否收敛于某个 Euler 方程的解？在有固体边界的区域中，这一极限过程特别微妙，因为 Navier-Stokes 方程要求流体速度在壁面处为零（无滑条件），而 Euler 方程仅要求法向速度为零（不可渗透条件）。这种边界条件的不匹配通常会导致边界层的形成，使得简单的形式渐近展开无法直接给出有效的近似解。

具体而言，我们考虑如下强制稳态 Navier-Stokes 方程组：

伴随无滑边界条件：

外力 $(F_u, F_v)$ 被假设为光滑、紧支集于 $\Omega$ 内，并满足关于中线 $y=1/2$ 的对称性条件：

且水平方向积分平均为零：

值得注意的是，外力的量级与粘性项相同，均为 $O(\epsilon)$，这意味着在形式上令 $\epsilon \to 0$ 时，外力会消失，但在构造高阶修正项时必须予以考虑。

形式上令 $\epsilon \to 0$，上述方程退化为二维稳态 Euler 方程：

本文选取 Poiseuille 流作为主导阶 Euler 剖面：

由于 $u_e(y)$ 在两个壁面 $y=0$ 和 $y=1$ 处线性消失，它自然地满足了无滑边界条件，并且具有中线对称性 $u_e(y) = u_e(1-y)$。然而，尽管主导阶剖面在壁面处为零，小粘性问题仍然是奇异的。线性化对流项后的算子为：

其中水平输运系数 $u_e(y)$ 在壁面处消失，而粘性正则化效应随 $\epsilon \to 0$ 减弱。因此，针对固定正粘性的估计不足以证明零粘性极限的有效性。

已有文献中，对于 Couette 流 $u_e(y)=\alpha y$，由于其曲率为零，稳定性分析相对简单；而对于 Poiseuille 流，非零曲率 $u''_e(y)=-2\alpha$ 引入了额外的困难，需要通过加权 Poincaré 不等式和中线对称性来吸收这些项。此外，边界层的厚度不再是传统的 $\sqrt{\epsilon}$，而是 $\epsilon^{1/3}$，这源于非线性项与粘性项之间的平衡。本文旨在通过构造高阶对称近似解，并建立误差方程的线性稳定性估计，从而严格证明存在一族中线对称的稳态 Navier-Stokes 解，其在 $L^\infty$ 范数下以最优速率 $O(\epsilon)$ 收敛到给定的 Poiseuille 流。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果陈述于定理 1.1 中。假设外力剖面 $F_u$ 和 $F_v$ 满足上述正则性和支集假设，以及对称性条件 (1.3)。则存在常数 $\epsilon_0 > 0$ 和 $C > 0$，使得对于所有 $\epsilon \in (0, \epsilon_0]$，Navier-Stokes 系统 (1.1) 与边界条件 (1.2) 存在一个解 $(u_\epsilon, v_\epsilon)$，满足中线对称性：

此外，该解满足以下收敛估计：

其中常数 $C$ 独立于 $\epsilon$。

压力场的周期性结构也在备注 1.1 中加以说明。压力 $p_\epsilon$ 定义在覆盖带 $\mathbb{R} \times (0,1)$ 上，并具有形式：

其中 $\tilde{p}_\epsilon(x+2\pi,y) = \tilde{p}_\epsilon(x,y)$，而 $\Pi_\epsilon \in \mathbb{R}$ 是一个与 $(x,y)$ 无关的常数，代表平均水平压力梯度。因此，压力本身并非周期函数，但其梯度是周期的：

系数 $\Pi_\epsilon$ 是在构造过程中确定的。

主要结论的技术细节包括：

1. 收敛速率：解在 $L^\infty$ 范数下以 $O(\epsilon)$ 的速率收敛到 Poiseuille 流。这是最优速率，因为外力与粘性同阶，且边界层厚度为 $\epsilon^{1/3}$，导致整体误差由 $O(\epsilon)$ 控制。
2. 对称性保持：构造的解保持了外力所诱导的中线对称性，即水平速度偶对称，垂直速度奇对称。
3. 存在性范围：结果适用于充分小的粘性系数 $\epsilon \in (0, \epsilon_0]$，且常数 $C$ 和 $\epsilon_0$ 依赖于外力 $F_u, F_v$ 的光滑性和支集性质，但不依赖于 $\epsilon$。
4. 压力处理：压力梯度是周期的，但压力本身包含一个线性增长项，其斜率 $\Pi_\epsilon$ 由全局约束确定。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明策略分为三个主要步骤：构造近似解、建立误差方程的线性稳定性估计、以及通过不动点定理证明非线性误差方程的可解性。

第一步：构造近似解。 作者使用匹配渐近展开法（matched asymptotic expansions）构造近似解 $(u_a, v_a, p_a)$。由于主导阶 Euler 剖面 $u_e(y)$ 在壁面处线性消失，边界层的厚度为 $\epsilon^{1/3}$，因此展开按 $\epsilon^{1/3}$ 的幂次组织。近似解由三部分组成：Euler 部分 $(u_e^a, v_e^a, p_e^a)$、上边界层部分 $(u_p^a, v_p^a, p_p^a)$ 和下边界层部分 $(\hat{u}_p^a, \hat{v}_p^a, \hat{p}_p^a)$。

Euler 部分满足估计：

对于上边界层部分，引入拉伸变量 $\xi = (y-1)/\epsilon^{1/3}$，有估计：

类似地，对于下边界层部分，引入 $\gamma = y/\epsilon^{1/3}$，有相应的估计。这些估计确保了近似解在中线对称性下的精度。

第二步：线性稳定性估计。 定义误差函数 $(u,v,p) = (u_\epsilon - u_a, v_\epsilon - v_a, p_\epsilon - p_a)$，其满足线性化误差方程：

其中 $S_u = u a_{ux} + v a_{uy} + u u_a^x + v u_a^y$，$S_v = u a_{vx} + v a_{vy} + u v_a^x + v v_a^y$ 是线性化对流项，$R_u, R_v$ 是源项。

关键创新点在于结合了一个正性估计和两个基本能量估计。基本能量估计因粘性耗散乘以小参数 $\epsilon$ 而无法闭合。然而，主导输运项 $u a_{ux}$ 和 $u a_{vx}$ 提供了对水平导数的正控制，且不带有 $\epsilon$ 的前因子。具体来说，利用近似解与 Euler 剖面的逐点比较：

可以导出先验估计：

其中 $u_0(y) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(x,y) dx$，$Q_\epsilon$ 是源项贡献。

正性估计的核心机制是：将动量方程乘以 $u_x$ 和 $v_x$ 并积分，得到：

难点在于左侧不直接控制 $u_y$。利用 Poiseuille 流的非零曲率 $u''_e(y) = -2\alpha$，产生额外项 $\alpha \int_\Omega v^2 dx dy$。通过中线对称性 $v(x,y) = -v(x,1-y)$，应用加权 Poincaré 不等式：

再利用不可压条件 $v_y = -u_x$，得：

由于 $\frac{3}{100} + \ln 2 < 1$，该项可以被左侧的正部吸收。其余项如 $C \epsilon^{1/3} \int_\Omega v^2 dx dy$ 也以类似方式吸收，而 $u_{0,y}$ 项由基本能量估计控制。最终得到估计 (1.9)。

第三步：非线性误差方程的存在性。 在建立线性问题的可解性后，作者通过收缩映射原理构造非线性误差系统的解。定义迭代映射，将二次项在给定的误差场处求值，并求解相应的线性化系统。先验估计 (1.9)、近似解残差的界以及非线性项的界共同表明，该映射在一个适当选择的闭球上是自映射且为收缩映射，当 $\epsilon$ 足够小时。其不动点即为非线性误差方程的对称解。将此误差加到近似解上，即得到所需的稳态 Navier-Stokes 解。

4. 与之前工作的比较

本文与既有 PDE/分析理论文献的比较主要体现在以下几个方面：

1. 与 Couette 流工作的对比： 在文献 [7] 中，研究了 Couette 流 $u_e(y) = \alpha y$ 附近的稳态 Navier-Stokes 解。Couette 流的曲率为零，即 $u''_e(y) = 0$，因此在稳定性分析中不会出现由曲率引起的额外项。这使得能量估计的闭合更为直接。相比之下，本文研究的 Poiseuille 流 $u_e(y) = \alpha y(1-y)$ 具有非零曲率 $u''_e(y) = -2\alpha$，这在正性估计中引入了额外的困难项 $\alpha \int_\Omega v^2 dx dy$。作者通过利用中线对称性和加权 Poincaré 不等式成功吸收了该项，这是相对于 Couette 流情况的一个关键技术推进。

2. 边界层厚度的差异： 在许多经典的零粘性极限问题中，例如在高雷诺数下的剪切流稳定性中，边界层厚度通常为 $\sqrt{\epsilon}$ 或 $\epsilon^{1/2}$。然而，在本文中，由于主导阶 Euler 剖面在壁面处线性消失，非线性项与粘性项的平衡导致边界层厚度为 $\epsilon^{1/3}$。这一尺度关系是通过匹配渐近展开中的量纲分析得出的：令 $u_\epsilon = u_e(y) + \epsilon^\beta (u_e^{(\beta)} + u_p^{(\beta)})$，代入方程后，为了平衡 $-\epsilon^{2\beta} \alpha \xi \partial_x u_p^{(\beta)}$ 和 $-\epsilon^{1-\beta} \partial_{\xi\xi} u_p^{(\beta)}$，需要 $2\beta = 1 - \beta$，即 $\beta = 1/3$。这一特殊的尺度关系影响了整个展开的结构和误差估计的形式。

3. 外力量级的处理： 在一些早期工作中，外力可能被假设为 $O(1)$ 或与粘性不同阶。本文明确假设外力与粘性同阶，即 $O(\epsilon)$。这意味着在形式 Euler 方程中外力消失，但在构造高阶修正项时必须考虑其影响。这种设定使得问题更加贴近物理实际，同时也增加了构造的复杂性，因为外力直接进入 $O(\epsilon)$ 阶的 Euler 修正方程。

4. 对称性的作用： 本文充分利用了外力关于中线的对称性，从而确保了解也保持相应的对称性。这种对称性不仅在构造近似解时简化了边界层方程，而且在稳定性分析中起到了关键作用，特别是通过加权 Poincaré 不等式吸收曲率项。在没有对称性假设的情况下，这类估计可能难以闭合。

5. 收敛速率的最优性： 本文证明了 $L^\infty$ 范数下 $O(\epsilon)$ 的收敛速率。考虑到外力和粘性同阶，且边界层厚度为 $\epsilon^{1/3}$，这一速率被认为是最佳的。这与某些仅获得较弱收敛速率（如 $o(1)$ 或 $O(\epsilon^{1/2})$）的工作相比，提供了更精确的定量信息。

6. 压力的处理： 许多工作关注速度场的收敛性，而本文还详细讨论了压力场的结构，指出压力梯度是周期的，但压力本身包含一个线性增长项。这一观察对于理解全局动力学和长期行为具有重要意义，并在构造过程中通过确定平均压力梯度 $\Pi_\epsilon$ 得以实现。

总体而言，本文在 Poiseuille 流背景下，通过精细的匹配渐近展开和创新的稳定性估计技术，克服了非零曲率和特殊边界层尺度带来的困难，严格证明了零粘性极限的存在性和最优收敛速率，填补了该领域在对称强制条件下的空白。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 关于 Nemytskii 型 Graphon McKean-Vlasov SDEs 的解

On Solutions to Graphon McKean-Vlasov SDEs of Nemytskii-type

作者: Sebastian Grube, Guodong Pang, Michael Röckner

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.19084v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19084v1

摘要翻译

中文标题: 关于 Nemytskii 型 Graphon McKean-Vlasov SDEs 的解

摘要翻译: 我们研究一个不可数的 McKean-Vlasov SDE 系统，其系数为 Nemytskii 型，由一族本质上两两独立的 Wiener 过程驱动。这些 SDE 通过 Graphon 核相互作用，具体而言是通过它们在空间坐标处评估的一维时间边际律密度进行耦合。在漂移系数和 Graphon 核满足温和条件下，我们证明了此类 SDE 概率弱解的存在性与唯一性。此外，通过在 Fubini 扩展空间上证明（受限的）Yamada–Watanabe 定理，我们证明了这些解实际上是概率强解。对于相关的非线性 Fokker-Planck 方程组，我们证明了新的唯一性结果，其中允许存在 Nemytskii 型的依赖于密度的扩散系数。

2. 分数阶多孔介质方程的积分 Harnack 不等式与正性扩张

Integral Harnack inequality and expansion of positivity for fractional porous medium equation

作者: Filippo Maria Cassanello, Filomena De Filippis, Calvin Stanko

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18809v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18809v1

摘要翻译

中文标题: 分数阶多孔介质方程的积分 Harnack 不等式与正性扩张

摘要翻译: 我们在最优尾部假设下，建立了快扩散情形中非负弱解的分数阶多孔介质型方程的积分 Harnack 不等式和正性扩张。

3. Vlasov–Poisson 系统多流体方案的收敛性

Convergence of a multi-fluid scheme for the Vlasov–Poisson system

作者: Mehdi Badsi, Nicolas Crouseilles, Daniel Han-Kwan

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18810v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18810v1

摘要翻译

中文标题: Vlasov–Poisson 系统多流体方案的收敛性

摘要翻译: 在本文中，我们针对一维 Vlasov-Poisson 系统引入了一种新颖的多流体逼近方案，该方案适用于任意长的时间区间。对于低正则性解，我们在 Wasserstein-1 距离下建立了一个误差估计，得到了 $O(h^{ rac{2}{3}})$ 的收敛阶，其中 $h$ 表示速度网格尺寸。这建立了无压 Euler-Poisson 系统与 Vlasov-Poisson 系统在网格尺寸趋于零时的一致性。文中给出了数值示例以说明该方法的有效性。

4. 一维环面上的最优 Strichartz 估计

Sharp Strichartz estimates on the one-dimensional torus

作者: Yangkendi Deng, Chenjie Fan, Shaoming Guo, Zihua Guo, Yongming Luo

类别: math.AP, math.CA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18670v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18670v1

摘要翻译

中文标题: 一维环面上的最优 Strichartz 估计

摘要翻译: 在本文中，我们证明了一维环面上的最优 Strichartz 估计。

5. 对数 Schrödinger 方程在光滑 $L^2$-次临界函数非线性扰动下多孤子的存在性

Existence of multi-solitons for logarithmic Schr{ö}dinger equation with a perturbation of a smooth $L^2$-subcritical function nonlinearity

作者: Mohamed Bensaid

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18625v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18625v1

摘要翻译

中文标题: 对数 Schrödinger 方程在光滑 $L^2$-次临界函数非线性扰动下多孤子的存在性

摘要翻译: 本文研究一类非线性 Schrödinger 方程，其非线性项由聚焦的对数项与一个光滑的 $L^2$-次临界函数组合而成。我们的主要结果是构造该方程的多孤子解。这些特殊构型在大时间尺度上渐近地表现为多个以不同速度运动的孤子的叠加。证明依赖于一种迭代构造方法，并结合了针对非线性项混合结构进行修正的局部能量估计。

6. 在 $ rac{ rac{a}{b}}{c}$ 与紧度量图乘积上的非线性 Schrödinger 方程

The nonlinear Schrödinger equation on products of $\mathbb{R}^N$ and compact metric graphs

作者: Nicola Soave, Gianmaria Verzini, Lorenzo Villata

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18698v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18698v1

摘要翻译

中文标题: 在 $ rac{ rac{a}{b}}{c}$ 与紧度量图乘积上的非线性 Schrödinger 方程

摘要翻译: 我们在质量约束变分框架下研究欧氏空间与紧度量图的乘积 $ rac{ rac{a}{b}}{c} imes rac{ rac{a}{b}}{d}$ 上的稳态聚焦非线性 Schrödinger 方程。此类乘积是一种新型混合结构：其所有面均为 $(N+1)$ 维，并沿余维为一的界面粘合，使得能量空间为真正的 Sobolev 空间，同时图的度量与拓扑均进入变分问题。我们首先建立函数框架，给出 $H^1( rac{ rac{a}{b}}{c} imes rac{ rac{a}{b}}{d})$ 的两种等价描述，引入关于两个变量的部分重排及其相应的 Pólya–Szegő 不等式，并以局部化形式证明 Gagliardo–Nirenberg 不等式，将最优常数与 $ rac{ rac{a}{b}}{c+1}$ 及半空间中的相应常数进行比较。随后我们研究质量约束问题。当 $2<p<2_*:=2+ rac{4}{N+1}$ 时，对任意质量基态均存在。在临界指数 $p=2_*$ 处，它们在依赖于图的阈值以下存在，该阈值介于欧氏临界质量的一半与完整的欧氏临界质量之间。后一数值在图允许环覆盖时达到，而在存在终端边时，阈值恰好减半。在这两种情况下，阈值都是锐利的。对于 $2_*<p<2+ rac{4}{N}$，全局极小值不存在，但我们证明了在另一个质量阈值以下局部极小值的存在性，并给出了该阈值的显式下界。最后，我们描述了维度交叉现象：低于临界质量时，极小值不依赖于图变量，并且我们以 Kirchhoff Laplacian 在 $ rac{ rac{a}{b}}{d}$ 上的第一个非零特征值为参数，刻画了半平凡解成为局部极小值的阈值。

7. 物理真空自由边界下可压缩原始方程的局部光滑解

Local smooth solutions of the free-boundary compressible primitive equations with physical vacuum

作者: Tarek Zoechling

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18387v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18387v1

摘要翻译

中文标题: 物理真空自由边界下可压缩原始方程的局部光滑解

摘要翻译: 我们建立了三维常粘滞、具有物理真空自由边界的可压缩原始方程的光滑解的局部存在性与唯一性。我们采用 Nash-Moser 方法处理两种不同的导数损失：一种源于变换后的粘滞项中的自由边界几何，另一种源于垂直速度的诊断重构。我们通过 Alinhac 的良好速度未知量处理第一种损失，通过修正的高度函数处理第二种损失。将这两种修正与适应于真空简并性的加权能量估计相结合，得到了迭代所需的 tame 估计。

8. Hölder空间中的Helmholtz-Weyl分解. 一种非变分方法

A Helmholtz-Weyl decomposition for Hölder spaces. A nonvariational approach

作者: M. Lanza de Cristoforis

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18241v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18241v1

摘要翻译

中文标题: Hölder空间中的Helmholtz-Weyl分解. 一种非变分方法

摘要翻译: 我们证明了向量微积分基本定理的一种形式，适用于Hölder连续向量场且对导数不作任何假设，该结果利用了负指数Schauder空间。随后，通过在Lebesgue空间背景下发展von Wahl的一个思想，我们证明了Hölder连续函数空间中Helmholtz Weyl分解定理的一种形式，并给出了投影算子的显式公式。

9. 格图 $\mathbb Z^N$ 上 Born–Infeld Sobolev 不等式的最佳常数与极值函数

Sharp Born–Infeld Sobolev inequality and extremal functions on the lattice graph $\mathbb Z^N$

作者: Chao Ji, Kai Sheng

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18142v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18142v1

摘要翻译

中文标题: 格图 $\mathbb Z^N$ 上 Born–Infeld Sobolev 不等式的最佳常数与极值函数

摘要翻译: 在本文中，我们研究格图 $\mathbb Z^N$，$N\geq3$ 上与 Born–Infeld 能量相关的最佳 Sobolev 型不等式：

其中 $u\in D^{1,2}(\mathbb Z^N)\cap\ell^α(\mathbb Z^N) $ 满足对任意 $x\sim y$ 有 $|\nabla_{xy}u|\leq1$，且 $C_{N,α}$ 表示最佳常数。我们确定了正性的精确阈值，并证明了当且仅当 $α\geq2^*:=2N/(N-2)$ 时 $C_{N,α}>0$。在 Sobolev 临界指数 $α=2^*$ 处，我们将最佳常数确定为

其中 $\mathcal S_2$ 是最佳的离散 Sobolev 常数，并证明该常数不可达。在上临界区域，存在 $\varepsilon_0=\varepsilon_0(N)>0$ 使得对于每个 $2^*<α<2^*+\varepsilon_0$，$C_{N,α}$ 均可达到，且对应一个非负的 Schwarz 对称极值函数。主要的紧性困难源于 $\mathbb Z^N$ 上缺乏合适的缩放以及 Born–Infeld 能量的非齐次性。我们通过结合离散 Schwarz 重排与 $Q_1$ 离散到连续的比较，并在 $\ell^α$-范数趋于无穷时建立严格分离来克服这些困难。

10. 相空间扩展设定下动力学 Motsch-Tadmor 模型的涌现行为

Emergent behaviors of the kinetic Motsch-Tadmor model in a phase-spatially extended setting

作者: Seung-Yeal Ha, Xinyu Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17937v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17937v1

摘要翻译

中文标题: 相空间扩展设定下动力学 Motsch-Tadmor 模型的涌现行为

摘要翻译: 动力学 Motsch-Tadmor（简称 KMT）模型是一种带有归一化通信权重的动力学群聚模型。本文研究相空间扩展的 KMT 模型的涌现动力学。首先，我们在完全非紧的空间-速度设定下建立了全局适定性理论。为此，我们引入了一种直接的拉格朗日表述，其中初始速度分布的无界部分与由相互作用产生的有界余项被分离开来。这种分解使我们能够构造全局拉格朗日弱解，而无需对速度分布进行截断，并且可以传播有限的相空间矩。随后，我们考察所得解的长时间集体行为。当初始速度支集是紧的，而空间支集允许是非紧时，一个随时间变化的有效区域论证为归一化相互作用产生了一个均匀收缩机制，并导致指数弱的支集群聚。当空间支集和速度支集都是非紧时，支集层面的群聚通常是不可能的。然而，同样的有效区域机制，结合拉格朗日分解以及针对相互作用产生的余项的自举论证，产生了指数弱的矩群聚。具体而言，成对空间矩保持受控，同时速度波动指数收敛于零。这些结果为超出紧支集范围的 KMT 模型的适定性和群聚动力学提供了一个统一的框架。

11. 部分耗散系统中的值域失效、预解式增长与共振

Range Failure, Resolvent Growth, and Resonance in Partially Dissipative Systems

作者: Boris Muha, Sebastian Schwarzacher, Justin T. Webster

类别: math.AP, math.CA, math.DS, math.FA

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17712v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17712v1

摘要翻译

中文标题: 部分耗散系统中的值域失效、预解式增长与共振

摘要翻译: 我们引入了若干适用于表现出弱或局部耗散的系统 $\dot u=Au+f(t)$（其中 $A$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上强稳定半群 $S(t)$ 的生成元）的共振概念。我们将共振定义为时间周期函数 $f$ 可能导致无界解 $u$ 的现象，该现象在经典情形下发生于 $A$ 具有虚特征值时。然而，在无穷维空间中，无界增长可能依赖于拓扑选择，且可能出现多种形式的“共振”。

经典理论中，在 $T$-周期函数 $f$ 作用下存在 $T$-周期解 $u$ 等价于一个值域条件：$\mathcal{R}(I-S(T))=H$。因此，该条件的失效允许解的无界增长，我们通过 $S(t)$ 的性质阐明了这一联系。我们描述了一个值域失效的层级结构，并提供了相应的共振分类法。$||(A-λI)^{-1}||_H$ 在 $i\R$ 上的增长率决定了 $u$ 和 $f$ 之间的正则性差距；对于 $λ$ 的快速增长，该差距可以是无限的。在这种情况下，我们证明了其对周期可解性的影响，以及构造光滑共振力的机制。

本文发展的理论由双曲-抛物系统所驱动（并在该系统上得到验证），在该系统中，后者分量提供了唯一的系统耗散。这种动力学是流固耦合现象的简化，后者表现出强稳定性但不支持无条件周期适定性。尽管点谱共振被排除在外，但我们注意到 $\mathcal R(I-S(T))\neq H$。我们的主要结果表明，对于精心构造的几何结构，经典的传热波系统拥有某些周期 $T$，这些周期会导致无限阶导数损失，并通过辅助结果产生带有光滑强迫项的共振。

不相关论文（基本信息）

1. 时变图域上的正则性数据与 Dirichlet–Regularity 对偶

The Regularity datum on time-varying graph domains and Dirichlet–Regularity duality

作者: Martin Dindoš

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18874v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18874v1

摘要: In this paper we address a basic question that has not been considered in the literature on the parabolic Regularity problem. Let $Ω$ be the region above the graph of a $\mathrm{Lip}(1,\tfrac12)$ function $φ$ on $\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R$. The corresponding $\dot L^p_{1,1/2}$ Regularity boundary space on $\partialΩ$ is defined by pulling the datum back to the flat space where we have the norm $\|\nabla f\|_{L^p}+\|D^{1/2}_t f\|_{L^p}$. As there is more than one graph parametrisation of such a domain, this could petentially lead to different notions of $\dot L^p_{1,1/2}(\partialΩ)$. This issue arises only on time-varying domains, which is likely why the issue has not been noticed before. We show by example that the boundary spaces can indeed disagree. We then prove that an additional assumption $D^{1/2}_tφ\in\mathrm{BMOpar}$ (called the Lewis–Murray condition), resolves the issue completely: the spaces defined through different graphs agree.\medskip This gives us a well-defined Regularity datum space on every Lewis–Murray graph domain. We then extend the duality between the parabolic Dirichlet and Regularity problems, proved on cylinders by the author and E.~Nyström, to such domains.

2. 关于粘性局部时间的电报员信号

On the telegrapher’s signals of sticky local times

作者: F. Colantoni, M. D’Ovidio

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18880v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18880v1

摘要: We consider the boundary trace process of a new class of sticky Brownian motions and study the telegraph signals of the boundary local time. For the fractional telegraph equation \begin{align*} (σ/η) D^α_t v(t,x) + D^{2α}t v(t,x) = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(t,x), \quad t>0,, x \in \mathbb{R}, \quad α\in (0,1] \end{align*} we provide a probabilistic representation of the solution in anisotropic Sobolev spaces and compare it with well-known representations in the literature. We subsequently discuss the associated processes and provide their pathwise representations. Based on these representations, we introduce a characterization of the local times for a wide class of sticky Brownian motions on $Ω$ governed by the non-local dynamic boundary condition \begin{align*} ηD^α_t \varpi(t,x) = - σ\partial{\bf n} \varpi(t,x), \qquad t>0, ; x \in \partial Ω\end{align*} where $D^α_t$ denotes the fractional derivative in the Caputo-Džrbašjan sense. We focus mainly on the interval $[a,b]$ to construct a prototype model, and then lay the foundation for the analysis on balls in $\mathbb{R}^d$. The smooth interpolation between wave propagation and diffusion under anomalous dynamics captures the behaviour of the underlying sticky Brownian motion experiencing significantly prolonged trapping times on the boundary. The solution $v$ retains its continuity up to $t=0$ in $H^1(\mathbb{R})$, which corresponds to the mean-square continuity of the telegrapher’s process at the initial instant. However, for $t>0$, the severe sticky effect causes the stochastic trajectories to undergo prolonged trapping periods, leading to highly irregular and rough paths for the local time of the sticky Brownian motion. In our construction the Brownian structure appears immediately, rather than only as a hydrodynamic limit.

3. 有界域上对称增广 $k$-Hessian 型方程 Dirichlet 问题的可容许下解存在性

Existence of Admissible Subsolutions to the Dirichlet Problem for Symmetric Augmented $k$-Hessian Type Equations in Bounded Domains

作者: Quang Hong Dinh, Bang Van Tran, Ngoan Tien Ha, Tho Huu Nguyen, Tien Trong Phan

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18889v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18889v1

摘要: We prove the existence of admissible subsolutions to the Dirichlet problem for symmetric augmented $k$-Hessian type equations. An important sufficient condition is the uniform $(k-1)$-$A$-convexity of the domain $Ω,$ where $A(x, z, p)$ is the augmented symmetric matrix appearing in the equation. This condition was originally introduced by F. Jiang, N. S. Trudinger, and X.-P. Yang and we have chosen a special their case. The structural conditions on the matrix $A(x, z, p)$ include its growth with respect to the variables $z$ and $p,$ particularly requiring that some of its first and second derivatives are sufficiently small in a sufficiently small neighborhood of the boundary. Under certain structural conditions on $A(x, z, p),$ the uniform $(k-1)$-$A$-convexity of $Ω$ is also a necessary condition for the existence of admissible subsolutions of the equation in a neighborhood of the boundary. Our results extend the classic result by L. Caffarelli, L. Nirenberg, and J. Spruck from the case $A \equiv 0$ to the general case $A \neq 0.$ Our same theorems are valid also for augmented quotient Hessian type equations.

4. 非线性系统的 Lyapunov 算子学习

Learning Lyapunov Operators for Nonlinear Systems

作者: Amartya Mukherjee, Maxwell Fitzsimmons, David C. Del Rey Fernández, Jun Liu

类别: math.AP, cs.LG, math.OC

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18894v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18894v1

摘要: Constructing Lyapunov functions for nonlinear dynamical systems is a central problem in stability analysis, yet remains challenging. Lyapunov functions are commonly characterized as solutions to first-order partial differential equations (PDEs), but these solutions are typically obtained for single systems, limiting their reuse across systems. In this paper, we study the Lyapunov solution operator that maps a vector field to the corresponding Lyapunov function defined by a dissipation-based Lyapunov PDE. We establish that, on compact subsets of the domain of attraction and under exponential stability assumptions, this operator is well-defined, unique, and continuous with respect to perturbations of both the vector field and the dissipation function. These results provide a theoretical foundation for approximating Lyapunov functions uniformly over families of nonlinear systems. Building on these theoretical foundations, we employ Fourier Neural Operators (FNOs) as a data-driven approximation of the Lyapunov solution operator. Numerical experiments demonstrate that a single trained operator can accurately approximate the numerical Lyapunov functions across parameterized families of dynamics. This illustrates the potential of neural operators for approximating Lyapunov functions.

5. 负重力毛细方程的孤立奇点

Isolated singularities of the capillary equation with negative gravity

作者: Bin Deng, Jiahuan Li, Yilu Liu, Xi-nan Ma

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18832v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18832v1

摘要: We classify isolated singularities of classical solutions to the capillary equation with negative gravity,

without a priori assumptions on symmetry, sign, one-sided boundedness, or blow-up rate. Every such solution is either bounded near the puncture or tends uniformly to $+\infty$ or $-\infty$. In the bounded case, the solution extends across the puncture as a $W^{1,1}_{\mathrm{loc}}$ distributional solution; this extension has a unique continuous representative when $2\le n\le7$. In the unbounded case, for some $\varepsilon\in\{-1,1\}$,

uniformly in the angular variable. In every fixed smaller ball, all sufficiently high level sets of $\varepsilon u$ are connected, smooth, strictly convex hypersurfaces enclosing the puncture. The corresponding pressure-rescaled graphs converge smoothly with multiplicity one to the round cylinder $\partial B_{n-1}\times\mathbb R$. Nonradial examples form infinite-dimensional families that agree with the radial pole to every algebraic order, so the complete asymptotic expansion does not determine the singular solution germ. The proof of the classification combines critical tail estimates and logarithmic $BV$ compactness with level-set rigidity and the translation identities of the capillary equation. The critical two-dimensional case requires an additional finite-height analysis to exclude a translation defect.

6. 各向异性极小超电流边界点处平坦爆破的存在性

Existence of flat blowups at boundary points of anisotropic minimizing hypercurrents

作者: Michael Novack, Reinaldo Resende

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18838v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18838v1

摘要: We consider $m$-dimensional currents in $\mathbb{R}^{m+1}$ that almost minimize an anisotropic energy whose integrand is continuous in the space variable and $C^{2,{\rm Dini}}$ in the normal variable. We prove that if the boundary of such a current is differentiable, then the current admits a flat blowup at every boundary point.

7. 非齐次奇异抛物线 $p$-Laplace 方程解的局部行为

Local behavior for solutions to inhomogeneous singular parabolic $p$-Laplace equations

作者: Xia Hao, Yan Li, Zhiwen Zhao

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18815v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18815v1

摘要: It is known that a major difficulty in proving Hölder regularity for solutions to quasilinear singular parabolic equations of $p$-Laplace type via the method of intrinsic scaling is to establish the decay estimate of the space-time measure of level sets. In this paper, we consider an inhomogeneous singular parabolic $p$-Laplace equation with nonnegative time-independent forcing and Dirichlet data. By combining a time-rescaling argument with $L^\infty$ comparison estimates, we derive Lipschitz regularity in time after any fixed positive elapsed time, which reduces the problem to an elliptic-type decay estimate for the spatial measure of level sets that is essentially uniform in time. This reduction enables us to address the above obstacle.

8. 一次时间观测下扩散方程的反问题

Inverse problems for the diffusion equation with one time observation

作者: Michel Cristofol, Alexandre Kawano

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18814v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18814v1

摘要: We examine the inverse problem of recovering the potential term of an n-dimensional heat equation from a single time solution profile. We show that it is possible to uniquely determine this potential term via a stability inequality using solution measurements taken at a fixed time, assuming the potential is known within an arbitrary subdomain. The approach is based on the Carleman estimate. Additionally, we discuss the optimality of this type of observation.

9. 周期介质中的反应扩散方程：传播速度与传播集

Reaction-diffusion equations in periodic media: spreading speeds and spreading sets

作者: Hongjun Guo, François Hamel, Luca Rossi

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18795v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18795v1

摘要: We consider solutions of space-periodic reaction-diffusion-advection equations in the whole space R^N, with general unbounded initial support. We show the existence of spreading sets for the solutions at large time, and variational formulas for the spreading speeds. The location of the upper-level sets of a solution with unbounded initial support is estimated in terms of that initial support and the spreading set for the solutions with bounded initial supports. The results hold for the standard classes of Fisher-KPP, ignition, or bistable reactions. The general results apply to the cases of V-shaped and Lambda-shaped initial supports. The proofs rely in particular on upper estimates of what we call retracting solutions.

10. 分层耗散神经场：用无穷多神经元界定群体活动流形的维度

Layered Dissipative Neural Fields: Bounding the Dimension of the Population Activity Manifold with Infinitely Many Neurons

作者: Matthias Rakotomalala, Johannes Zimmer

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18774v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18774v1

摘要: We consider a class of neural field models describing the macroscopic activity of an infinite population of neurons organized into finitely many stacked layers, written as a system of semi-linear higher-order parabolic equations. For this class of biologically inspired equations, we show that the higher-order dissipation, modeling gap junction activity regulation, induces a spectral gap ensuring that the associated semigroup possesses an inertial manifold, that is, a finite-dimensional manifold attracting all orbits of the infinite-dimensional system of neural activity. Our main result is an upper bound on the dimension of this manifold, giving its explicit scaling in the dissipation order and strength, the leaking rate, and the norm of the connection operator. We interpret this as a step toward the mathematical modeling of the empirically motivated concept of neural manifold, namely the idea that the collective activity of a large neural population lies on a low-dimensional manifold. For this class of equations, we further prove universal approximation properties, namely stationary pattern expressivity in terms of the input and input-dependent dynamical expressivity over finite time horizons. Finally, we provide sufficient conditions for the existence of traveling waves and nontrivial stationary solutions.

11. 带有非线性 Neumann 边界条件的 Liouville 方程解的分类及其在锐不等式中的应用

Classification of solutions to the Liouville equation with a nonlinear Neumann boundary condition and applications to sharp inequalities

作者: Xiaohan Cai, Abdolhakim Shouman

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18762v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18762v1

摘要: In this paper, we study the Liouville equation with a nonlinear Neumann boundary condition \begin{equation*} \begin{cases} -Δu = Ke^{2u} & \text{in } \mathbb{B}^{2},\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial ν}+λ= ke^{u} & \text{on } \partial\mathbb{B}^{2}, \end{cases} \end{equation*} where $K,k\in\mathbb{R}$, $λ\in(0,1]$ are constants, and $ν$ denotes the outward unit normal on $ \partial\mathbb{B}^{2}$. We establish a classification of all smooth solutions to the equation. Our approach is a boundary-adapted P-function method which treats all signs of $K$ and $k$ within a unified framework. As applications of the classification result, we establish a family of sharp Sobolev-trace-type inequalities encompassing the classical Lebedev–Milin inequality, together with a corresponding deficit estimate.

12. 确定黎曼流形上的薛定谔势

Determining Schrodinger Potentials on Riemannian Manifolds

作者: Lu Chen, Yan Jiang, Hongyu Liu, Longyue Tao

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18711v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18711v1

摘要: We consider the inverse problem of determining a potential for the stationary Schrödinger equation on certain Riemannian manifolds with boundary from the Dirichlet-to-Neumann map. We derive two unique identifiability results. The first assumes that the Riemannian metric is close to the Euclidean metric, with the closeness quantified by a relative Fourier condition imposed on the potential function. The second assumes that the manifold is of product type and that the potential function is additively separable. Both the results and the technical arguments are new, contributing to the advancement of this challenging open inverse problem.

13. Valanis-Landel 型不可压缩反演对称能量的多凸性

Polyconvexity for incompressible inversion-symmetric energies of Valanis-Landel type

作者: Ionel-Dumitrel Ghiba, Maximilian P. Wollner, Patrizio Neff

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18660v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18660v1

摘要: {Let $λ_i = ν_i(F)$ denote the three singular values of the deformation gradient $F \in {\rm GL}^+(3)$.} We consider the family of incompressible isotropic energies $ W_ψ(F)=\sum_i ψ\left(|\!\logλ_i|\right)$ with $ψ:[0,\infty)\mapsto\mathbb{R}$. Set $g(s)=ψ\left({\rm arcosh}\frac{s}{2}\right)$ for all $s\geq2$. If $g$ has a convex and non-decreasing extension $\bar g$ to $[0,\infty)$, then $W_ψ$ is the restriction to ${\rm SL}(3)$ of the explicit polyconvex function \ {$ F\mapsto\sum_i \bar g\left(ν_i(F+{\rm Cof} F)\right). $} The proof uses the identity $ν_i(F+{\rm Cof} F)=λ_i+λ_i^{-1}$, up to permutation, on ${\rm SL}(3)$ and Ball’s convexity theorem for functions of the singular values. We also give a direct proof along rank-one lines contained in ${\rm SL}(3)$ and derive a convenient one-dimensional differential sufficient condition. In particular, $ F\mapsto\sum_i e^{\log^2\!λ_i} $ is rank-one convex on ${\rm SL}(3)$ and possesses the stated polyconvex extension. A simple-shear computation shows that scalar convexity in $\log λ_i$ alone is insufficient; the quadratic Hencky energy $\sum_i \log^2λ_i$ is not rank-one convex on ${\rm SL}(3)$.

14. 论离散凝聚-湮灭系统的适定性与长时间动力学

On the well-posedness and long-time dynamics of a discrete coagulation–annihilation system

作者: Ikjot Kaur, Saroj Si, Ankik Kumar Giri

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18618v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18618v1

摘要: The present article investigates the well–posedness of a discrete coagulation–annihilation model originally introduced by E. Ben-Naim and P. Krapivsky in Physical Review E (1995). We first establish the existence of solutions for a broad class of coagulation and annihilation rates, including rates that may be unbounded. These results are obtained by combining uniform estimates with Helly’s selection theorem and the Rellich–Kondrachov compact embedding theorem. Under appropriate structural assumptions on these rates, we further prove uniqueness and continuous dependence of solutions on the initial data, thereby establishing well–posedness of the model. Finally, for a specific class of coagulation and annihilation rates, we additionally study the differentiability of solutions and characterize their long–time asymptotic behaviour. These results provide a rigorous mathematical framework for the analysis of the model and contribute to a deeper understanding of its well–posedness, regularity, and long-time dynamics.

15. 对数凹函数的中心截面测度

Centro-sectional measures for log-concave functions

作者: Károly J. Böröczky, Jinrong Hu, Jiaqian Liu

类别: math.AP, math.MG

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18553v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18553v1

摘要: We introduce centro-sectional measures with parameters q,m for log-concave functions on Rn, defined in terms of the q-th moments of their Radon transforms with respect to the Haar measure on m-dimensional subspaces, where m=1,…,n-1, and establish the corresponding variational formulas. Our measures generalize the notion of dual curvature measure if q=1, and are related to the Sine transform if q=2. In line with the coarea formula for log-concave functions as BV functions, the variational formulas give rise to the Euclidean centro-sectional measures and the spherical centro-sectional measures. In the symmetric setting, we solve the associated even functional centro-sectional Minkowski problem, which asks which pairs of measures can arise as the centro-sectional measures of an even log-concave function.

16. 多边形边数较多时的 Pólya–Szegő 猜想

The Pólya–Szegő conjecture for convex polygons with many sides

作者: Zhuo Cheng, Changfeng Gui, Yeyao Hu, Qinfeng Li

类别: math.AP, math.SP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18500v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18500v1

摘要: For every sufficiently large N, we prove that the regular N-gon uniquely minimizes the first Dirichlet eigenvalue among convex polygons of prescribed area with at most N sides, up to rigid motions. Quantitative Faber–Krahn stability localizes minimizers near the disk but leaves their discrete geometry undetermined. We encode that geometry by a centered measure of exterior angles and prove an inverse-cubic Fourier inequality whose equality case is the uniform root configuration. Its defect gives a lower bound for the quadratic spectral excess over the regular polygon. Cyclic cancellation and a common material-coordinate comparison make the nonlinear difference small relative to the same defect. Exact constraint coordinates extend this comparison to arbitrarily small positive defects. Minimality then forces zero defect, which characterizes the regular polygon.

17. 非恒定势下 $\mathbb{R}^3$ 中 Kirchhoff–Choquard 系统基态解的存在性

Existence of ground state solutions to Kirchhoff–Choquard system in $\mathbb{R}^3$ with nonconstant potentials

作者: Hiroshi Matsuzawa

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18405v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18405v1

摘要: In this paper, we study the following linearly coupled Kirchhoff-Choquard system in $\mathbb{R}^3$: \begin{align*}\left{\begin{array}{l} &-\left(a_1+b_1\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2,dx\right)Δu+V_1(x)u=μ(I_α*|u|^p)|u|^{p-2}u+λv,\quad x \in \mathbb{R}^3,\cr &-\left(a_2+b_2\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla v|^2,dx\right)Δv+V_2(x)v=ν(I_α*|v|^q)|v|^{q-2}v+λu,\quad x \in \mathbb{R}^3,\cr &u, v \in H^1(\mathbb{R}^3), \end{array}\right. \end{align*} where $a_1, a_2, b_1, b_2, λ, μ,$ and $ν$ are positive constants. When the potentials are constant functions, the author previously proved the existence of positive ground state solutions in the following cases: the noncritical case $\frac{3+α}{3}<p\le q<3+α$, the upper half critical case $\frac{3+α}{3}<p<q=3+α$, and the lower half critical case $\frac{3+α}{3}=p<q<3+α$, by using the Nehari-Pohozaev manifold method (NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.33(2026)). In the present paper, we extend these results to the case of nonconstant potentials. Under suitable assumptions on $V_1(x)$, $V_2(x)$, and $λ$, we prove the existence of nontrivial ground state solutions. In the noncritical and upper half critical cases, the main tools are Jeanjean’s monotonicity trick and a global compactness lemma. For these cases, we establish a refined version of the splitting lemma by relaxing the standard growth assumption at the origin from $o(|t|)$ to the optimal $o(|t|^{α/3})$, thereby significantly broadening the applicable class of nonlinearities. In contrast, for the lower half critical case $p=\frac{3+α}{3}$, the splitting lemma is no longer valid. To overcome this essential difficulty, we obtain a ground state solution directly as a minimizer on the Nehari-Pohozaev manifold by imposing a slightly stronger condition on the potentials.

18. $\mathbb{R}^5$ 中能量临界热方程的最大点逃逸至无穷的单泡解

One-bubble solution with maximum points escaping to infinity for the energy-critical heat equation in $\mathbb{R}^5$

作者: Junichi Harada, Qidi Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18370v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18370v1

摘要: We investigate the existence of a one-bubble solution with maximum points escaping to infinity for the energy-critical heat equation in dimension five. The key point of the construction is a refined inner linear theory as in \cite[Section 8]{Wei-Zhang-Zhou2022LLG}.

19. Kirchhoff网络模型的适定性与离散到连续收敛性

Well-posedness and discrete-to-continuum convergence of the Kirchhoff Network model

作者: Joaquín Oyarzún, Marco Veneroni

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18351v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18351v1

摘要: In this work, we study the connection between the bidomain model of cardiac electrophysiology and the Kirchhoff Network model (KNM), that was recently introduced by Jäger and Tveito. In the KNM, each cell of the cardiac tissue is represented as a node in a discrete network and the dynamics of the electric potentials in the heart are described by a system of ordinary differential equations on the nodes. We first study the well-posedness of the KNM and then prove that, when the nodes are situated on the vertices of a regular lattice and the mesh size $\varepsilon$ tends to zero, the solutions of the KNM system at cell-size $\varepsilon$ converge to the solution of the bidomain model, along appropriate subsequences. Regarding the convergence, we adopt the framework presented by Pennacchio, Savaré, and Colli Franzone in “Multiscale modeling for the electrical activity of the heart”, 2005, which is based on (a) the time-discretization of the evolution equations of the bidomain and $\varepsilon$-KNM systems via a semi-implicit Euler scheme, (b) the identification of the time-discrete solutions as extremal points of a Minimizing Movement scheme, and (c) the $Γ$-convergence of the Minimizing Movements functionals.

20. 余维二情形下的端点特征函数限制估计

Endpoint eigenfunction restriction estimates in codimension two

作者: Xing Wang, Cheng Zhang

类别: math.AP, math-ph, math.CA, math.SP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18290v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18290v1

摘要: We investigate the optimal endpoint $L^2$ restriction estimates of Laplace eigenfunctions on submanifolds of codimension 2 in a smooth closed Riemannian manifold $M$. For every fixed smooth codimension-two submanifold $Σ$, we prove a little-oh improvement $o(λ^{1/2}\sqrt{\logλ})$ on the classical estimate $O(λ^{1/2}\sqrt{\logλ})$ of Burq–Gérard–Tzvetkov and Hu. Our proof uses the Gaussian transform and Taylor approximation to reduce the problem to polynomial models that can be handled by Stein–Street’s estimate on singular Radon transforms. The three-dimensional case can be handled directly by Ricci–Stein’s estimate. Moreover, we construct explicit examples to show that this improvement is optimal in general. These are closely related to earlier counterexamples for endpoint Strichartz estimates by Montgomery–Smith and Carbery–Hofmann. In particular, we give a negative answer to the log-removal question on the endpoint eigenfunction restriction estimates, as the log-free estimate $O(λ^{1/2})$ cannot hold in general.

21. 趋化系统中大时间行为

Large-time behavior in an attraction–repulsion chemotaxis system

作者: Hiroshi Wakui, Tetsuya Yamada

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18258v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18258v1

摘要: We investigate the large-time behavior of small perturbations of stable constant steady states for an attraction-repulsion chemotaxis system in $n$-dimensional Euclidean space. We consider integrable perturbations in one space dimension and, in higher dimensions, perturbations belonging to Lebesgue spaces with suitable exponents. We first establish decay estimates throughout the full admissible range of Lebesgue exponents and show that the nonlinear perturbation is asymptotically approximated by the corresponding linearized evolution. We then identify the leading term of the linearized evolution as an effective heat flow whose diffusion coefficient is explicitly determined by the parameters of the system. Consequently, when the integrability exponent is strictly smaller than the space dimension, the leading asymptotic profile is governed by the heat equation. At the critical endpoint, the difference between the nonlinear perturbation and the effective heat flow vanishes under the natural parabolic scaling. In the one-dimensional integrable case, this yields a Gaussian profile determined by the total mass of the initial perturbation.

22. 复 Monge–Ampère 方程的 Pogorelov 内部估计与一个 Liouville 定理

Pogorelov interior estimates and a Liouville theorem for the complex Monge–Ampère equation

作者: Hongyu Chen, Jingchen Hu, Li Sheng

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18265v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18265v1

摘要: We prove a Pogorelov interior estimate for strictly plurisubharmonic solutions of the complex Monge-Ampère equation $\det(u_{i\bar{j}})=1$ with homogeneous Dirichlet data under the condition that, for some constant $κ\geq 1$, $(κu_{i\bar{j}}-u_{is}u^{s\bar{t}}u_{\overline{tj}})$ is non-negative definite. For $κ=1$, this gives the estimate for real convex solutions. The estimate depends only on the dimension, $κ$, and the $C^0$ and $C^1$ norms of the solution. As an application, every smooth entire convex solution of $\det(u_{i\bar{j}})=1$ on $\mathbb{C}^n$ is a real quadratic polynomial. The same conclusion holds if real convexity is assumed only outside a compact subset of $\mathbb{C}^n$.

23. Hénon 方程正解的多重性与唯一性的充分条件

Sufficient conditions for multiplicity and uniqueness of positive solutions of the Hénon equation

作者: Geyang Du

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18039v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18039v1

摘要: We establish explicit sufficient conditions for multiplicity of positive solutions of the Hénon equation in the unit ball and for uniqueness in one dimension. In the Sobolev-subcritical range, a spherical harmonic function argument shows that the radial solution has Morse index greater than one and therefore differs from a ground state. In even dimensions, a degree-four perturbation in a symmetry and monotonicity cone yields a sufficient condition for nonradiality in the supercritical range. The one-dimensional uniqueness criterion follows from a comparison of weighted Dirichlet eigenvalues and a concavity estimate.

24. 基于Logistic Keller-Segel模型趋化敏感性的最优控制

Optimal control via chemotactic sensitivity of a logistic Keller-Segel model

作者: Yacouba Simpore, Mahamadi Warma, Luis P. Yapu

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18030v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18030v1

摘要: We study an optimal control problem for a two-equations Keller-Segel system on a bounded domain with Neumann boundary conditions, where the chemotactic sensitivity is modulated by a control $f(x,t)$ acting on the taxis flux $\nabla\!\cdot(f\,u\,\nabla v)$. We prove the well-posedness of the state equation under low regularity assumptions. The analysis is based on the study of an $\varepsilon$-regularized problem, the application of Schauder’s fixed point theorem, $\varepsilon$-independent, positivity and a priori estimates, the passage to the limit as $\varepsilon \to 0$, and a uniqueness argument. For a cost functional combining trajectory tracking, taxis penalization, control regularization, and terminal objectives, we establish the existence of optimal controls and derive the first-order optimality conditions through a Lagrange multiplier framework, leading to an adjoint system and a variational inequality for the optimal control. A numerical scheme based on spline collocation in space and Runge-Kutta time-stepping is set and implemented. Numerical experiments are performed to simulate the free and controlled dynamics in conservative and non-conservative cases.

25. 双周期粗糙表面上方向性接触角滞后区间的域分解方法

A domain decomposition method for the directional contact angle hysteresis interval on doubly periodic rough surfaces

作者: Zijie Lin, William M Feldman, Braxton Osting

类别: math.AP, math.NA, physics.comp-ph

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17811v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17811v1

摘要: We study wetting on a doubly periodic rough surface in three dimensions. Although the liquid-vapor interface meets the solid at the local Young’s angle, microscale roughness can cause the macroscopic apparent angle to differ substantially from this value. We formulate the directional contact angle hysteresis (CAH) interval in terms of apparent angles associated with pinned microscopic configurations. To approximate its receding and advancing endpoints, we evolve capillary mean curvature flow (CMCF) toward extremal stationary states. Computing these states is difficult because the pinning that produces hysteresis is generated at the scale of the roughness, whereas the apparent angle is only meaningful at the macroscopic scale, so a single uniform grid must resolve both. We therefore introduce a two-scale alternating (TSA) method based on a Schwarz decomposition: a Merriman-Bence-Osher (MBO) diffusion-generated scheme resolves the contact-line near region, while a linearized minimal-surface problem updates the far region. For an idealized reference iteration, we prove decay of an approximate interfacial energy. Numerical experiments on a representative doubly periodic surface show a strongly anisotropic CAH interval whose width varies by more than a factor of three with contact-line orientation and changes sharply near the diagonal directions. Because a stationary droplet must meet the solid at an apparent angle inside this interval, the computed anisotropy constrains which macroscopic wetted regions the surface can support; it is consistent with a square-like stationary droplet whose sides align with the diagonal directions.

26. 分布学习与无穷时域随机 Hamilton–Jacobi 方程下的最优资源开采

Optimal Resource Extraction under Distribution Learning and Infinite-Horizon Stochastic Hamilton–Jacobi Equations

作者: Ulrich Horst, Jinniao Qiu, Yang Yang

类别: math.OC, math.AP, math.PR

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17717v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17717v1

摘要: We study an infinite-horizon stochastic control problem for the optimal exploitation of an exhaustible resource with unknown total reserves. Information is generated both endogenously through continued extraction without depletion and exogenously through an external information flow. This interaction makes the natural problem non-Markovian and time-inconsistent. We show that it nevertheless admits an equivalent time-consistent formulation with the same optimal controls. The associated value function is characterized as the unique viscosity solution of a stochastic Hamilton–Jacobi equation with random coefficients. We prove comparison on the infinite horizon through a Snell-envelope-based strict-contact argument and establish uniqueness by an independent Brownian regularization and a BSDE correction, avoiding piecewise Markovian approximations. Finally, we identify the deterministic benchmark and show that, under persistent reserve uncertainty, the rescaled stochastic value function converges to a pathwise deterministic control problem, with the long-run optimal extraction rate determined by the asymptotic hazard rate of the limiting reserve distribution.