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1. 二维欧拉方程尺度不变旋转对称解的稠密轨道

Dense orbits for scale-invariant rotationally symmetric solutions of the 2D Euler equations

作者: Ibrahim Suleiman

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20674v1

摘要翻译: 设 $m \ge 4$ 。我们证明了二维欧拉系统存在一个关于尺度不变 $$m$$ 重对称涡度（即满足以下方程的前向轨道）：

Comment: 37 pages, 2 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20674v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是二维欧拉方程在特定对称性和尺度不变性假设下的长期行为. 二维欧拉方程在涡度形式下为

\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega = 0, \quad u = \nabla^\perp (-\Delta)^{-1}\omega.

该方程的全局存在性在许多弱正则性假设下已被证明, 但远离平衡态的长期定性行为知之甚少. 本文聚焦于 $$m$$ -重旋转对称且尺度不变的涡度场, 其中 $m \ge 3$ . 在这种设定下, 二维欧拉方程可以简化为一个一维系统:

\partial_t g + 2G \partial_\theta g = 0,

其中 $$G$$ 由边界值问题

4G + \partial_{\theta\theta} G = g, \quad G(0) = G(\pi/m) = 0

确定. 这个系统在 Elgindi 和 Jeong 的工作中被首次推导出来, 他们证明了在 $$m$$ -重对称类中的适定性问题. 后续, Elgindi, Murray 和 Said 证明, 如果初始数据属于调节函数空间 $\mathrm{Reg}(S^1)$ (即每个点都有左右极限), 那么解会弛豫到有限跳跃的分段常数稳态. 然而, 对于一般的 $L^\infty$ 数据, 特别是那些不属于 $\mathrm{Reg}(S^1)$ 的数据, 其长期行为仍然未知. 本文旨在填补这一空白, 通过构造一个特殊的初始数据, 展示当初始数据仅属于 $L^\infty$ 时, 解的行为可能与具有调节性质的数据截然不同, 从而表明 $\mathrm{Reg}(S^1)$ 的正则性假设是不可放宽的.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是定理 1.1: 对于 $m \ge 4$ , 存在初始数据 $g_0 \in L^\infty_{m,\mathrm{odd}}(S^1)$ , 使得对应的解 $$g(t)$$ 的弱* $\omega^+$ -极限集为

\omega^+(g_0) = \{g \in L^\infty_{m,\mathrm{odd}}(S^1): g \sin(m\theta) \ge 0 \text{ and } \|g\|_{L^\infty} \le \|g_0\|_{L^\infty}\}.

这意味着解的轨迹在该集合中是稠密的. 特别地, 这表明即使初始数据非常规整, 解也可能表现出极其复杂的长期行为, 而不是趋向于简单的分段常数稳态. 此外, 文章还给出了一些关于阶跃函数演化的定量估计. 例如, 命题 2.4 指出, 如果初始数据是一个阶跃函数, 那么其 $$L^1$$ 范数、支撑集的 supremum 以及某些积分量都以 $O((1+t)^{-1})$ 的速度衰减. 这些估计对于理解非线性相互作用和控制误差至关重要.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心思想是利用线性机制来构建非线性解. 首先, 考虑一个简单的线性模型 $\partial_t f - \sin(m\theta)\partial_\theta f = 0$ , 在这个模型中, 可以通过时间可逆性和叠加原理轻松构造出所需的初始数据. 然后, 作者证明这种机制在非线性的欧拉耦合中依然有效. 关键步骤包括:

阶跃函数的演化: 详细分析了单个阶跃函数和多个阶跃函数叠加时的演化行为. 特别是, 证明了阶跃函数的端点会以特定的速率向左移动并最终收敛到原点.
稳定性估计: 通过一系列精细的估计, 证明了在每个近似阶段引入的误差可以在下一个近似时间足够远时被任意小化. 这使得构造可以无限迭代下去.
Green 核方法: 利用 Green 核 $K_m(\theta, \zeta)$ 来表达 $G(t, \theta)$ , 并分析其性质. 特别是, 证明了 $G \le 0$ 且 $\partial_\theta G$ 单调递增, 这对于理解速度场的收缩和扩张性质至关重要. 通过这些工具, 作者成功地将线性模型的简单性与非线性系统的复杂性结合起来, 构造出了一个具有稠密轨道的解.

4. 与之前工作的比较

与 Elgindi 和 Jeong 的工作相比, 本文不仅证明了适定性, 还深入探讨了长期行为. 与 Elgindi, Murray 和 Said 的工作相比, 本文展示了在更弱的正则性假设下 ( $L^\infty$ 而非 $\mathrm{Reg}(S^1)$ ), 解的行为可能完全不同. 具体来说, 后者证明了解会弛豫到分段常数稳态, 而本文则构造了一个反例, 表明这种弛豫行为并不总是成立. 此外, 本文的方法论也有所创新, 通过将线性机制推广到非线性设置, 提供了一种新的构造复杂长期行为解的途径. 这种方法不仅适用于当前的设定, 还可能为其他非线性 PDE 的长期行为研究提供启示.

2. 具有欧拉长度的轴对称 Navier-Stokes 方程的正则性

Regularity for axisymmetric Navier-Stokes with an Euler length

作者: Peter Constantin, Mihaela Ignatova, Vlad Vicol

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20762v1

摘要翻译: 我们证明了三维 Navier-Stokes 方程的轴对称适当弱解在终端时间 $$t=0$$ 之前光滑，并在一个消失的长度尺度 $\ell(t)$ 处满足 TypeII 逐点界时，其局部正则性。若 $\ell(t)$ 是非增的、满足加倍条件，且当 $t\to0^-$ 时 $\ell(t)\to0$ 以及 $(-t)/\ell(t)^2\to0$ ，则称 $\ell(t)$ 为欧拉长度。这包括幂律 $\ell(t)=(-t)^γ$ （其中 $$0<γ<1/2$$ ）以及对抛物线长度的对数放大。我们的主要结果表明，对所有 $t\in (-1,0)$ ，形如 $|u(\cdot,t)| \leq C\ell(t)/(-t)$ 和 $|\nabla^2 u(\cdot,t)|\leq C/((-t)\ell(t))$ 的局部界蕴含正则性。证明将我们在先前论文\cite{CIV26}中的环量和位涡论证推广到通过对缩放后的涡量系统放大而得到的古代极限。我们还表明，二阶导数的先验假设可以被方位角涡度的 Hölder 界及其相应的位涡界所替代。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20762v1

1. 研究对象和背景

三维不可压缩 Navier-Stokes 方程 (N-S) 在有限时间奇异性方面的正则性问题一直是流体力学与偏微分方程领域的核心难题。对于无旋（swirl-free）的轴对称解，Ladyzhenskaya 和 Ukhovskii-Yudovich 已证明了全局正则性。然而，当存在旋度分量时，涡拉伸项使得问题变得极其复杂。本文研究的是在终端时间 $$t=0$$ 之前光滑、但在 $$t=0$$ 处可能失去正则性的轴对称适当弱解。这类解满足 Type II 点态界，其尺度由一个随时间趋于零的长度函数 $\ell(t)$ 控制。

具体而言，考虑定义在抛物柱体 $Q = B(1) \times (-1, 0)$ 上的 N-S 方程：

\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u + \nabla \pi = 0, \quad \text{div } u = 0.

其中 $$u$$ 是速度场， $\pi$ 是压力。假设解关于 $$z$$ 轴对称，分解为子午面速度 $$b = u_r e_r + u_z e_z$$ 和旋度速度 $w = u_\theta e_\theta$ 。本文引入“Euler 长度” $\ell(t)$ 的概念，定义为满足以下条件的连续函数：非增、满足倍增条件 $\ell(2t) \le D \ell(t)$ 、且当 $t \to 0^-$ 时 $\ell(t) \to 0$ 以及 $(-t)/\ell(t)^2 \to 0$ 。这一条件意味着在 Euler 重标度下，粘性系数渐近消失，从而形式上涌现出 Euler 行为。典型的例子包括幂律 $\ell(t)=(-t)^\gamma$ ( $0 < \gamma < 1/2$ ) 以及对数放大的抛物线长度 $\ell(t)=(-t)^{1/2}(\log(e/(-t)))^a$ ( $0 < a \le 1/2$ )。

问题的关键在于，如果解在 $$t=0$$ 处奇异，其增长率是否受到这种特定尺度的限制。已知在 Type I 界（即 $\ell(t)=(-t)^{1/2}$ ）下，Chen-Strain-Tsai-Yau 等人已证明正则性。但对于 Type II 界，特别是当长度尺度比抛物线尺度更慢地衰减时（如 $\gamma < 1/2$ ），正则性尚未完全解决。本文旨在填补这一空白，证明在满足特定 Type II 点态界的情况下，轴对称解在终端点是正则的。这不仅是理论上的推进，也为理解潜在奇异性提供了更精细的结构约束。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果概括为定理 1.2：若 $(u, \pi)$ 是 $$Q$$ 中的轴对称适当弱解，且在 $$Q$$ 的紧子集上光滑，并满足如下 Type II 点态界：

\|u(\cdot, t)\|_{L^\infty(B(1))} \le C_0 \frac{\ell(t)}{(-t)}, \quad \|\nabla^2 u(\cdot, t)\|_{L^\infty(B(1))} \le C_2 \frac{1}{(-t)\ell(t)},

对所有 $t \in (-1, 0)$ 成立，其中 $\ell(t)$ 是一个 Euler 长度，则原点 $$(0,0)$$ 是正则点。

此外，作者在第五节证明了更弱的假设下的正则性结果（定理 5.1）。在此版本中，二阶导数的先验界被替换为方位角涡量 $\omega_\theta = \partial_z u_r - \partial_r u_z$ 的 Hölder 半范数界及其势涡量 $\Omega = \omega_\theta/r$ 的上确界界。具体地，假设存在常数 $C_\alpha, C_H > 0$ 使得：

[\omega_\theta(\cdot, t)]_{C^\alpha(B(1))} \le \frac{C_\alpha}{(-t)\ell(t)^\alpha}, \quad \|\Omega(\cdot, t)\|_{L^\infty(B(1))} \le \frac{C_H}{(-t)\ell(t)}.

在这些较弱的条件下，同样可以得出原点是正则点的结论。

作为推论，作者还扩展了先前工作中关于自相似 Euler 剖面的排除结果。在命题 6.1 中，他们证明了不存在非平凡的连续自相似 Euler 剖面，这些剖面在原点消失、在无穷远处亚线性增长、其方位角涡量局部 Hölder 连续且势涡量局部有界。这一结果放宽了先前工作中对远场衰减的要求。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心思想是通过反证法构造古代极限（ancient limits），并利用刚性陈述来导出矛盾。主要技术障碍在于如何在重标度后保持对压力的控制，因为当长度尺度大于抛物线尺度时，压力在重标度后不再受控。为此，作者选择在涡量方程而非动量方程中取极限。

首先，利用部分正则性理论和最大原理，证明在一个固定的环形区域内，环流量 $\Gamma = r u_\theta$ 是有界的。由于 $\ell(t)$ 是 Euler 长度，满足 $(-t)/\ell(t)^2 \to 0$ ，这意味着在重标度下，环流量是亚临界的，即其贡献随着 $t \to 0$ 而消失。因此，所有古代极限的旋度分量都趋于零，进而导致势涡量方程中的源项 $\partial_z(u_\theta^2/r^2)$ 也消失。

接下来，作者分析重标度后的涡量系统。定义重标度变量：

B_n(y, \tau) = \frac{-t_n}{\ell_n} b(a_n + \ell_n y, t_n |\tau|), \quad \Theta_n(y, \tau) = (-t_n) \omega_\theta(a_n + \ell_n y, t_n |\tau|).

通过选取一系列时间和空间点，使得 $(-t_n)|\nabla b|$ 远离零，作者证明重标度后的方位角涡量在局部一致收敛到一个极限，该极限在 $\tau = -1$ 时为零。这是因为沿反向特征线，势涡量保持不变，并且从假设中继承的界 $C/|\tau|$ 强制其在 $\tau = -1$ 时消失。

最后，利用 Liouville 定理，证明极限的子午面速度在 $\tau = -1$ 时是常数。这与反证法假设中梯度远离零相矛盾，从而证明了子午面梯度的小性。随后，通过最大原理和本地化能量估计，结合 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 准则，得出最终的正则性结论。

4. 与之前工作的比较

与 Chen-Strain-Tsai-Yau [2,3] 和 Koch-Nadirashvili-Seregin-Šverák [9] 的工作相比，本文处理的是更一般的 Type II 界，而不仅仅是 Type I 界。Type I 界对应于抛物线尺度 $\ell(t)=(-t)^{1/2}$ ，而本文考虑的 Euler 长度允许更慢的衰减，例如 $\ell(t)=(-t)^\gamma$ 其中 $\gamma < 1/2$ 。这使得本文的结果涵盖了更广泛的潜在奇异性场景。

与 Seregin [16-19] 的工作相比，Seregin 研究了通过加权尺度不变量描述的 Type II 爆破场景，但并未直接证明在这些场景下的正则性。本文借鉴了 Seregin 的思想，即通过缩放至古代极限来分析奇异性，但将其应用于具体的轴对称 N-S 方程，并利用轴对称结构提供的额外恒等式（如环流量和势涡量的演化方程）来获得更强的控制。

与 Constantin-Ignatova-Vicol 的先前工作 [4] 相比，本文的方法是对后者中关于 Euler 自相似剖面的排除结果的推广。在 [4] 中，作者排除了满足特定远场界的非平凡 $$C^2$$ 轴对称全局自相似 Euler 剖面。本文不仅将这一结果扩展到更弱的连续性假设，而且将其应用于粘性 N-S 方程，证明了在 Euler 长度尺度下的正则性。此外，本文不需要假设解是自相似的，而是通过动态的缩放过程来捕捉潜在的奇异性结构。

3. 具有解析外力时三维 Navier-Stokes 方程渐近轴对称解的正则性

Regularity of asymptotically axisymmetric solutions to the 3D Navier-Stokes equations with analytic forcing

作者: Peter Constantin, Mihaela Ignatova, Vlad Vicol

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20803v1

摘要翻译: OpenAI~\cite{OpenAIManuscript} 最近宣布证明了在存在 $C^\infty$ -光滑体力场的情况下，三维 Navier-Stokes 方程会在有限时间内形成奇点。\cite{OpenAIManuscript} 中的构造具有一些关键特征，其中我们特别指出：(i) 解的角度平均满足特定的各向异性 Type II 界；(ii) 解在一个坍缩的核心区域内是严格轴对称的。本文考虑在存在实解析体力场的情况下三维 Navier-Stokes 方程的解，并假设这些解满足上述性质 (i) 和 (ii)。我们证明，这样的解实际上在假定奇点处是正则的。由此推论，在 \cite{OpenAIManuscript} 的构造中，以及在任何具有性质 (i) 和 (ii) 且体力场在奇异时间之前保持在 $$C^2$$ 中有界的构造中，该力既不能在该奇点附近恒为零，也不能在空间变量上是实解析的（且在时间上局部一致）。证明的主要思想受到我们先前工作\cite{CIV26} 和配套论文\cite{CIVEulerLength} 的启发：利用先验估计提供的各向异性长度尺度对假定奇点进行放大，得到古代极限，其 PDE 演化施加了额外的刚性。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20803v1

1. 研究对象和背景

三维不可压缩纳维-斯托克斯（Navier-Stokes, NS）方程的全局正则性是数学物理中的核心开放问题。尽管在二维情形下全局存在性与唯一性已确立，但在三维情形中，即使对于光滑的初始数据，解是否会在有限时间内产生奇点（即速度场或其导数发散）仍未解决。近年来，随着计算辅助证明和机器学习工具的发展，关于强制项存在时NS方程奇点形成的构造引起了广泛关注。特别是OpenAI近期宣布了一个证明，声称在 $C^\infty$ 光滑外力作用下，三维NS方程可以在有限时间内形成奇点。该构造（以下简称OpenAI构造）具有以下关键特征：(i) 解的角度平均量满足特定的各向异性 Type II 界；(ii) 解在一个坍缩的核心区域内是严格轴对称的。

本文旨在分析满足上述两个特征的三维NS方程解的正则性，特别是当外力在空间变量上是实解析的情况下。具体而言，我们考虑如下强制三维NS方程组：

\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u + \nabla \pi = f,

\text{div } u = 0,

其中 $u: Q \to \mathbb{R}^3$ 是速度场， $\pi: Q \to \mathbb{R}$ 是压力， $f: Q \to \mathbb{R}^3$ 是外力，且 $Q = B(1) \times (-1, 0)$ 是单位抛物柱体。假设 $(u, \pi)$ 是适合弱解，且在 $$Q$$ 的紧子集上光滑。设奇异点为 $$(x,t)=(0,0)$$ 。

问题的关键在于，如果外力 $$f$$ 在空间变量上是实解析的，并且解满足OpenAI构造中的各向异性Type II界和核心区域的严格轴对称性，那么该奇异点实际上是否是正则的？已有理论表明，在无旋轴对称情况下，三维NS方程解是全局正则的；在有旋轴对称情况下，Type I 奇点已被排除，但 Type II 奇点的可能性仍然存在。然而，对于具有解析外力的情况，缺乏相应的正则性准则。本文试图填补这一空白，通过结合解析性、轴对称性和各向异性缩放，证明在上述条件下奇异点不存在。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是定理1.1，它证明了在特定假设下，三维NS方程解在奇异点是正则的。具体而言，设 $(u, \pi)$ 是 $$Q$$ 上的适合弱解，且在 $$Q$$ 的紧子集上光滑。假设外力 $$f$$ 满足以下条件：

$$f$$ 在 $$C^2_x(B(1))$$ 范数下至奇异时间有界： $M_f := \sup_{-1<t<0} \|f(\cdot, t)\|_{C^2_x(B(1))} < \infty.$
$$f$$ 在空间变量上是实解析的，局部一致于 $$Q$$ 内紧包含的柱体：对每个 $$R<1$$ 和紧区间 $J \subset (-1,0)$ ，存在 $M_{R,J}<\infty$ 和 $a_{R,J}>0$ ，使得对所有 $\alpha \in \mathbb{N}_0^3$ ， $\sup_{t \in J} \|\partial_x^\alpha f(\cdot, t)\|_{L^\infty(B(R))} \leq M_{R,J} a_{R,J}^{-|\alpha|} |\alpha|!.$
速度场的角度平均 $$v := Pu$$ 满足各向异性 Type II 界：对 $$0<h<1/2$$ ，所有非负整数 $$a,b$$ 满足 $a+b \leq 2$ ，有 $\|\partial_r^a \partial_z^b v_r(\cdot, t)\|_{L^\infty(B(1))} \leq C_{axi} (-t)^{-1/2 - a/2 - (1/2-h)b},$ $\|\partial_r^a \partial_z^b v_z(\cdot, t)\|_{L^\infty(B(1))} + \|\partial_r^a \partial_z^b v_\theta(\cdot, t)\|_{L^\infty(B(1))} \leq C_{axi} (-t)^{-1/2 - h - a/2 - (1/2-h)b}.$
对于每个 $t \in (-1,0)$ ，存在半径 $\rho(t) \in (0,1)$ ，使得 $u(\cdot, t)$ 在球 $B(\rho(t))$ 上严格轴对称，即 $w(\cdot, t)=0$ 在 $B(\rho(t))$ 上成立。

在此假设下，结论是 $$u=v$$ 在整个 $$Q$$ 上成立，且 $$(0,0)$$ 是正则点：存在 $r^*, \delta^*>0$ 使得

\sup_{B(r^*) \times (-\delta^*,0)} |u| < \infty.

此外，推论2.3指出，若 $$(0,0)$$ 是奇异点，则外力 $$f$$ 必须违反解析性条件，且不能在任何圆柱 $B(R') \times (-\delta',0)$ 上恒为零。这意味着OpenAI构造中的外力既不能在奇异点附近恒为零，也不能在空间变量上局部一致地实解析。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心思想是利用解析性和轴对称性将问题简化为轴对称情形，然后通过各向异性缩放和比较原理排除奇点。

首先，利用Kahane的内部空间解析性定理，证明在每个固定时间 $$t<0$$ ，速度场 $u(\cdot, t)$ 在 $$B(1)$$ 上是实解析的。结合核心区域 $B(\rho(t))$ 上的严格轴对称性，通过恒等式定理，证明 $$u$$ 在整个 $$B(1)$$ 上是轴对称的。具体地，定义 $F_\phi(x) = u(x,t) - (R_\phi u)(x,t)$ ，由于 $F_\phi$ 在 $B(\rho(t))$ 上为零且解析，故在 $$B(1)$$ 上恒为零，从而 $$u=Pu$$ 。

接下来，对方程取角度平均，得到轴对称NS方程，其中压力和力被替换为其角度平均。由于 $$f$$ 在 $$C^2$$ 下有界，平均后的力也保持有界。此时问题转化为证明定理1.3：在各向异性界下，轴对称NS方程解的正则性。

定理1.3的证明采用“放大”（zoom-in）方法。定义径向和轴向长度尺度：

\ell_r(t) = (-t)^{1/2}, \quad \ell_z(t) = (-t)^{1/2-h}.

在这些尺度下，径向扩散系数为 $(-t)/\ell_r(t)^2 = 1$ ，轴向扩散系数为 $(-t)/\ell_z(t)^2 = (-t)^{2h}$ ，而环流因子为 $(-t)/(\ell_r(t)\ell_z(t)) = (-t)^h$ 。与同向性情况不同，径向扩散在极限中不消失，导致传统沿轨迹守恒的论证失效。

作者引入了一个新的比较原理（引理3.3），适用于漂移-扩散方程，其扩散仅作用于部分变量。通过取旋度消除压力，将涡量方程带入极限。利用比较原理证明极限标量场在远过去趋于零，从而在极限中消失。最后，通过局部涡量平衡和Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin准则，证明速度场在奇异点附近有界。

4. 与之前工作的比较

本文工作与既有文献的比较主要体现在以下几个方面：

与OpenAI构造的关系：OpenAI构造声称在 $C^\infty$ 外力下存在有限时间奇点，但其外力并非实解析。本文证明，若外力是实解析的，且解满足OpenAI构造中的各向异性Type II界和核心轴对称性，则奇异点不存在。这表明OpenAI构造中的外力必须是非解析的，或者其解不满足这些特定的各向异性界。
与轴对称NS方程正则性结果的关系：已有工作（如Chen, Strain, Yau, Tsai [7]; Koch, Nadirashvili, Seregin, Šverák [33]）排除了Type I奇点，但未能处理Type II奇点。本文的各向异性界比Type I界更弱（例如 $v_z, v_\theta$ 的界比Type I弱一个 $(-t)^{-h}$ 因子），因此本文结果不被这些Type I结果所包含。相反，本文结果提供了新的正则性准则，适用于更广泛的各向异性场景。
与Seregin工作的关系：Seregin [49] 证明轴对称奇点必须是Type II，并将其归约为古老Euler解的Liouville问题。本文的工作可以视为对该方向的推进，特别是在强制项存在且具解析性的情况下。本文的比较原理（引理3.3）提供了一种新的工具来处理径向扩散不消失的情况，这在之前的工作中未被使用。
与解析性相关工作的关系：Kahane [32] 证明了NS方程解的空间解析性，但仅限于无外力或保守外力情况。本文将此结果推广到非保守外力情况，并用于证明轴对称性。此外，Grujić和Kukavica [27] 给出了空间解析半径的下界，但本文未直接使用这些定量估计，而是依赖于定性的解析性质。
局限性：本文结果依赖于外力在空间变量上的解析性，以及解在核心区域的严格轴对称性。若外力仅为光滑而非解析，或核心区域仅近似轴对称，则本文方法可能不适用。此外，本文未讨论外力在时间变量上的解析性，仅要求局部一致的空间解析性。

4. 带乘性噪声的随机二维各向异性磁流体力学系统

Stochastic Two-Dimensional Anisotropic Magnetohydrodynamics System with Multiplicative Noise

作者: Mohammad Mahabubur Rahman

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20660v1

摘要翻译: 本文研究定义在 $\mathbb T^2$ 上、速度耗散仅作用于水平方向的随机二维各向异性磁流体力学系统。在乘性噪声作用下，我们证明了全局鞅解与全局概率弱解的存在性，以及路径唯一性。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20660v1

1. 研究对象和背景

不可压缩磁流体力学 (MHD) 方程是描述导电流体在磁场中运动的基本模型。该领域的数学理论最早由 Duvaut 和 Lions [11] 以及 Sermange 和 Temam [22] 建立。近年来，一个重要的研究方向是在部分耗散或分数阶扩散条件下研究 MHD 方程的全局正则性。对于经典的二维 MHD 方程，Cao 和 Wu [3] 建立了混合部分耗散和磁扩散下的全局正则性结果，包括垂直粘性伴随水平磁扩散以及水平粘性伴随垂直磁扩散的情形。然而，当速度方程仅包含水平粘性（即 $\partial_1^2 u$ ）且磁方程也仅包含水平磁扩散（即 $\partial_1^2 B$ ）时，确定性 MHD 系统的全局正则性问题仍然是开放的 [2]。这种各向异性的耗散结构使得标准的能量估计无法闭合高阶范数，因为缺乏对垂直方向导数的控制。

本文的研究对象是定义在二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上的二维各向异性随机 MHD 系统。首先，作者考虑了确定性的各向异性 MHD 系统：

\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u - (B \cdot \nabla)B - \nu \partial_1^2 u + \nabla p = 0,

\frac{\partial B}{\partial t} + (u \cdot \nabla)B - (B \cdot \nabla)u - \eta \Delta B = 0,

\nabla \cdot u = 0, \quad \nabla \cdot B = 0.

其中 $$u$$ 和 $$B$$ 分别是速度和磁场， $\nu > 0$ 和 $\eta > 0$ 分别为粘性和磁扩散系数。在这个确定性系统中，速度方程保留了水平粘性，而磁方程包含了完整的拉普拉斯算子（全向磁扩散）。这一设定至关重要，因为完整的磁扩散提供了缺失的垂直方向磁场正则性，从而允许在不施加初始数据小性条件的情况下闭合耦合的各向异性估计。

在此基础上，本文进一步研究了带有乘性噪声的随机版本：

du + [(u \cdot \nabla)u - (B \cdot \nabla)B - \nu \partial_1^2 u + \nabla p] dt = \sigma_1(t, u, B) dW_1,

dB + [(u \cdot \nabla)B - (B \cdot \nabla)u - \eta \Delta B] dt = \sigma_2(t, u, B) dW_2,

\nabla \cdot u = 0, \quad \nabla \cdot B = 0.

其中 $$W_1$$ 和 $$W_2$$ 是独立的柱状维纳过程， $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是乘性噪声项。引入随机扰动的动机在于探讨在仅有水平耗散和水平磁扩散（或者如本文设定的水平速度耗散与全向磁扩散）的情况下，随机性是否有助于解决全局存在性和唯一性问题。尽管确定性情形下某些各向异性组合的全局正则性尚未解决，但随机框架下的分析可能揭示新的结构或提供不同的技术路径。本文旨在填补这一空白，即在乘性噪声作用下，证明该各向异性随机 MHD 系统的全局鞅解的存在性以及路径唯一性。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果集中在两个层面：首先是确定性各向异性 MHD 系统的全局正则性，其次是随机各向异性 MHD 系统的解的性质。

1. 确定性系统的全局正则性： 对于确定性系统 (1.1)，作者证明了对于任意初始数据 $(u_0, B_0) \in H^{0,1} \times H^{0,1}$ ，存在全局光滑解。关键的技术突破在于利用各向异性 Sobolev 空间中的估计闭合非线性项。具体来说，在 $$L^2$$ 水平上，耗散项控制了 $\|\partial_1 u\|_{L^2}$ 和 $\|\nabla B\|_{L^2}$ ；而在 $H^{0,1}$ 水平上，它们控制了 $\|\partial_1 \partial_2 u\|_{L^2}$ 和 $\|\nabla \partial_2 B\|_{L^2}$ 。由于磁方程包含全向扩散 $\eta \Delta B$ ，它提供了必要的垂直方向磁场正则性，使得耦合的各向异性估计能够闭合，且无需对初始数据施加小性条件。

2. 随机系统的全局鞅解与概率弱解： 对于随机系统 (1.2)，在假设 Hypothesis 1 (I) 关于噪声系数增长性的条件下，作者证明了全局鞅解的存在性。具体而言，存在一个概率测度 $$P$$ 满足以下条件：

正则性：对于任意 $$T > 0$$ ，几乎必然地有 $\sup_{0 \le t \le T} \|u(t)\|_{H^{0,1}} < \infty, \quad \int_0^T \|u(t)\|^2_{H^{1,1}} dt < \infty,$ $\sup_{0 \le t \le T} \|B(t)\|_{H^{0,1}} < \infty, \quad \int_0^T \|B(t)\|^2_{H^{0,2}} dt < \infty, \quad \int_0^T \|B(t)\|^2_{H^{1,1}} dt < \infty.$
鞅性质：对于任意无散测试函数 $\phi, \psi$ ，过程 $M_u^\phi(t) = \langle u(t), \phi \rangle - \langle u_0, \phi \rangle - \int_0^t \langle F_1(u(s), B(s)), \phi \rangle ds$ 和 $M_B^\psi(t) = \langle B(t), \psi \rangle - \langle B_0, \psi \rangle - \int_0^t \langle F_2(u(s), B(s)), \psi \rangle ds$ 是连续的平方可积鞅，其二次变差分别由噪声系数的对偶作用给出，且交叉变差为零。

此外，利用鞅表示定理，作者从全局鞅解推导出了全局概率弱解的存在性。

3. 路径唯一性： 在假设 Hypothesis 1 (II) 关于噪声系数 Lipschitz 连续性的更强条件下，作者证明了路径唯一性。这意味着如果 $(u^{(1)}, B^{(1)})$ 和 $(u^{(2)}, B^{(2)})$ 是两个具有相同初始数据和相同驱动噪声的解，则它们在概率意义下几乎处处相等。这一结论依赖于噪声系数的 Lipschitz 常数 $$L_1, L_2$$ 满足特定的不等式关系，从而能够通过 Gronwall 不等式吸收差异项。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明框架主要基于各向异性 Sobolev 空间中的先验估计、Galerkin 逼近方法以及随机分析工具。

1. 各向异性功能空间与估计技巧： 核心障碍在于处理速度方程中仅存在水平粘性 $\nu \partial_1^2 u$ 的情况。标准的各向同性能量估计无法提供足够的垂直方向正则性来控制非线性对流项 $(u \cdot \nabla)u$ 。作者的策略是引入各向异性 Sobolev 空间 $H^{s, s'}$ ，其范数定义为

\|u\|^2_{H^{s,s'}} := \sum_{k \in \mathbb{Z}^2} (1+|k_1|^2)^s (1+|k_2|^2)^{s'} |\hat{u}_k|^2.

在推导 $H^{0,1}$ 水平的先验估计时，作者直接对速度场 $$u$$ 和磁场 $$B$$ 进行操作，而不是像 Cao 和 Wu [3] 那样取旋度（curl）并研究涡量和电流密度。这是因为在乘性噪声存在的情况下，取旋度会分化噪声系数，产生涉及 $\text{curl } \sigma_i$ 的随机项，这需要噪声系数具有额外的空间正则性，而本文并未施加此类假设。相反，作者直接在 $$u$$ 和 $$B$$ 上工作，利用磁方程中的全向扩散 $\eta \Delta B$ 来补偿速度方程中缺失的垂直粘性。具体地，通过应用各向异性插值不等式（如 Lemma 3.4 in [18]），作者将高阶导数分解为水平和垂直部分的乘积，并利用 $$L^2$$ 估计中的耗散项来控制这些乘积。例如，在处理非线性项 $I_1 = (\partial_2(u \cdot \nabla u) | \partial_2 u)$ 时，作者仔细分解各项，利用 $\nabla \cdot u = 0$ 消去部分项，并通过 Young 不等式和 Hölder 不等式将剩余项控制在可由耗散项吸收的形式内。

2. Galerkin 逼近与紧性论证： 为了构造全局鞅解，作者采用了标准的 Galerkin 逼近方法。令 $H_n = \text{span}\{e_1, \dots, e_n\}$ 为有限维子空间，其中 $$e_k$$ 是无散傅里叶基函数。近似解 $$(u_n, B_n)$$ 被定义为 $$H_n$$ 值的过程，满足投影后的随机微分方程。关键在于证明投影算子 $$P_n$$ 与各向异性算子 $\partial_1^2$ 和 $\Delta$ 的可交换性或兼容性。作者指出，由于每个傅里叶基函数 $$e_k$$ 都是 $\partial_1^2$ 和 $\Delta$ 的特征函数，因此 $\partial_1^2 v \in H_n$ 和 $\Delta v \in H_n$ 对于所有 $v \in H_n$ 成立。这保证了 Galerkin 系统在有限维空间内的良定性。随后，通过推导与 $$n$$ 无关的先验估计（Lemma 2.3 及其随机版本），作者获得了序列 $$(u_n, B_n)$$ 的一致界。利用 Skellam 紧性准则（Skellam’s tightness criterion）或 Prokhorov 定理，结合鞅收敛定理，作者提取出一个极限点，该极限点即为所求的全局鞅解。

3. 路径唯一性的证明： 路径唯一性的证明依赖于比较两个解的差异 $U = u^{(1)} - u^{(2)}$ 和 $V = B^{(1)} - B^{(2)}$ 。作者对差异方程进行 $$L^2$$ 内积，得到能量恒等式。关键的步骤是利用假设 (II) 中的 Lipschitz 条件来处理噪声项的差异。具体地，噪声项的贡献被估计为

\|\Sigma_1(t)\|^2_{L^2(U_1; L^2)} + \|\Sigma_2(t)\|^2_{L^2(U_2; L^2)} \le L_1 (\|U(t)\|^2_{L^2} + \|V(t)\|^2_{L^2}) + L_2 (\nu \|\partial_1 U(t)\|^2_{L^2} + \eta \|\nabla V(t)\|^2_{L^2}).

这里，右侧出现的耗散项 $\nu \|\partial_1 U\|^2_{L^2}$ 和 $\eta \|\nabla V\|^2_{L^2}$ 恰好可以与左侧能量衰减项中的对应耗散项相抵消或吸收，前提是 Lipschitz 常数足够小或者通过精细的估计调整。最终，应用 Gronwall 不等式证明了差异的能量期望为零，从而得出路径唯一性。

4. 与之前工作的比较

本文将结果与确定性 MHD 方程及随机 MHD 方程的既有文献进行了详细比较。

1. 与确定性 MHD 工作的比较： 在确定性方面，Cao 和 Wu [3] 证明了二维 MHD 方程在混合部分耗散（如垂直粘性加水平磁扩散）下的全局正则性。他们的关键技术是取旋度并研究涡量方程，从而获得更高阶的估计。然而，这种方法在随机设置下并不直接适用，因为取旋度会分化噪声系数，要求噪声具有更高的空间正则性。本文避免了这一限制，直接在各向异性 Sobolev 空间中工作，利用磁方程的全向扩散来闭合估计。这与 Cao, Regmi 和 Wu [2] 的工作形成对比，后者研究了水平速度耗散和水平磁扩散的情形，并证明了 $$L^r$$ 界和条件正则性判据，但全局正则性仍未解决。本文通过将磁扩散设为全向（ $\eta \Delta B$ ）而非仅水平（ $\eta \partial_1^2 B$ ），成功解决了全局存在性问题，这表明磁扩散的各向同性成分对于闭合各向异性估计至关重要。

2. 与随机 MHD 工作的比较： 在随机 MHD 领域，Sritharan 和 Sundar [23] 研究了随机 MHD 方程的鞅问题，Barbu 和 Da Prato [1] 研究了加性高斯噪声下的不变测度。Chueshov 和 Millet [5] 考虑了乘性高斯噪声下的存在性、唯一性和大偏差。Yamazaki [27, 28] 研究了非齐次随机 MHD 系统以及时空白噪声驱动的系统。然而，这些工作大多关注于各向同性耗散或分数阶耗散。Huang 和 Shen [14] 研究了二维随机分数阶各向异性 MHD 系统，Hong, Li 和 Liu [13] 研究了分数阶耗散下的鞅解和路径唯一性。Li, Liu 和 Tang [17] 研究了速度方程中的分数阶耗散和分量部分磁扩散。相比之下，本文聚焦于整数阶的各向异性耗散（水平粘性）与全向磁扩散的组合，并在乘性噪声下建立了全局鞅解和路径唯一性。这是一个新的方向，因为它结合了各向异性耗散的困难结构与随机扰动的复杂性，且未依赖分数阶算子的额外正则化效应。

3. 技术进步与局限： 本文的主要推进在于展示了如何在没有垂直粘性的情况下，通过利用磁场的完全扩散和各向异性插值不等式，闭合随机 MHD 系统的能量估计。这一技术突破使得作者能够在不施加噪声系数额外空间正则性假设的前提下，证明全局解的存在性。然而，代价是必须假设磁扩散是全向的（ $\Delta B$ ），而如果磁扩散也是各向异性的（如 $\partial_1^2 B$ ），则估计可能无法闭合，正如确定性情形所示。此外，路径唯一性的证明依赖于噪声系数的特定 Lipschitz 结构，特别是噪声差异中包含耗散项的结构，这可能限制了适用范围。总体而言，本文为理解各向异性耗散在随机 PDE 中的作用提供了新的视角，并为未来研究更一般化的各向异性随机 MHD 系统奠定了基础。

5. 无界域上一维平面可压缩磁流体力学方程的大时间行为

Large-Time Behavior for One-Dimensional Planar Compressible Magnetohydrodynamic Equations on Unbounded Domains

作者: Jing Li, Ziyin Liu

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20126v1

摘要翻译: 本文研究了无界域上一维平面可压缩磁流体力学（MHD）系统全局强解的大时间行为。采用常正粘度，热导率取为温度的非负幂次。考虑了实数轴上的 Cauchy 问题以及半直线上的两个初边值问题。对于这两个半直线问题，边界绝热，磁场施加齐次 Neumann 或齐次 Dirichlet 边界条件。通过对 MHD 系统能量密度方程构造一个关键的辅助椭圆方程，推导出了一个新的估计。该估计表明，磁场强度的平方与其空间平均值之间的偏差满足关于时间的平方根阶界，进而说明比容在空间和时间上均存在一致的上界和正的 lower bound。此外，还建立了温度的一致于时间的上下界，并证明当时间趋于无穷时全局解是渐近稳定的。

Comment: 40 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20126v1

1. 研究对象和背景

本文研究一维平面可压缩磁流体力学 (MHD) 系统在无界域上的全局强解的大时间渐近行为. 在拉格朗日坐标下, 该系统由以下方程组描述:

\begin{aligned} v_t &= u_x, \\ u_t + \left(P + \frac{1}{2}|b|^2\right)_x &= \left(\mu(v)\frac{u_x}{v}\right)_x, \\ w_t - b_x &= \left(\lambda\frac{w_x}{v}\right)_x, \\ (vb)_t - w_x &= \left(\nu\frac{b_x}{v}\right)_x, \\ \left(e + \frac{u^2 + |w|^2 + v|b|^2}{2}\right)_t + \left[u\left(P + \frac{1}{2}|b|^2\right) - w \cdot b\right]_x &= \left[\kappa(\theta)\frac{\theta_x}{v} + \mu(v)\frac{uu_x}{v} + \lambda\frac{w \cdot w_x}{v} + \nu\frac{b \cdot b_x}{v}\right]_x. \end{aligned}

其中 $$v$$ 为比容, $$u$$ 为纵向速度, $\theta$ 为绝对温度, $$e$$ 为比内能, $$P$$ 为压强, $w, b \in \mathbb{R}^2$ 分别为横向速度和磁场. 系统考虑理想气体状态方程 $P = R\theta/v$ 和 $e = c_v\theta + \text{const}$ , 且粘性系数取常数 $\mu(v) = \bar{\mu}_1 + \bar{\mu}_2 > 0$ , 热导率取 $\kappa(\theta) = \bar{\kappa}\theta^\beta$ , 其中 $\beta \ge 0$ 为任意固定非负实数.

问题设定包括三类: 整个实轴 $\mathbb{R}$ 上的柯西问题, 以及半轴 $\mathbb{R}^+$ 上具有绝热边界条件 ( $\theta_x(0,t)=0$ ) 的两个初边值问题, 分别对应磁场满足齐次诺伊曼条件 ( $$b_x(0,t)=0$$ ) 或齐次狄利克雷条件 ( $$b(0,t)=0$$ ). 初始数据假设在 $H^1(\Omega)$ 范数下任意大, 但需满足正性条件 $\inf v_0 > 0, \inf \theta_0 > 0$ . 远场条件要求解趋于平衡态 $$(1,0,1,0,0)$$ .

已有理论中, 对于有界区间, 当 $\beta=0$ 时, Huang-Shi-Sun [6] 证明了比容和温度的一致上下界及指数收敛; 当 $\beta>0$ 时, Hu-Ju [4] 和 Huang-Shi-Sun [5] 证明了全局存在性. 对于无界域上的可压缩 Navier-Stokes 方程, Jiang [8,9] 首先获得了比容的一致点态界, Li-Liang [14] 和 Li-Xu [15] 进一步证明了大初值下的一致时间估计和平衡态收敛. 然而, 对于 MHD 系统, 尽管 Cao-Peng-Sun [2], Lü-Shi-Xiong [18] 和 Tong-Wang-Zhang [21] 等人在不同参数条件下证明了全局强解的存在性, 但对于常粘性和 $\kappa(\theta)=\bar{\kappa}\theta^\beta$ ( $\beta \ge 0$ ) 情形下的大初值强解的大时间行为, 尤其是比容和温度的一致时间上下界, 仍是一个开放问题. 本文旨在填补这一空白, 证明在无小性假设下, 解在时间和空间上一致有界并趋于平衡.

2. 主要定理或主要结果

主要结果概括于定理 1.2. 在引理 1.1 的假设下 (即 $\alpha=0, \beta \ge 0$ , 初始数据满足 $$H^1$$ 正则性及正性), 对应的全局强解满足:

一致时间与空间上下界: 存在与时间无关的正常数 $$c, C$$ , 使得对所有 $x \in \Omega, t \ge 0$ , $0 < c \le v(x,t), \theta(x,t) \le C.$
一致时间 $$H^1$$ 范数界: $\sup_{t \ge 0} \|(v-1, u, \theta-1, w, b)(\cdot, t)\|_{H^1(\Omega)}^2 \le C.$
耗散项的时间积分有限性: $\int_0^\infty \left( \|v_x(\cdot,t)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|(u_x, \theta_x, w_x, b_x)(\cdot,t)\|_{H^1(\Omega)}^2 + \|(u_t, \theta_t, w_t, b_t)(\cdot,t)\|_{L^2(\Omega)}^2 \right) dt \le C.$
渐近稳定性: 对任意 $2 < p \le \infty$ , 当 $t \to \infty$ 时, $\|(v-1, u, \theta-1, w, b)(\cdot,t)\|_{L^p(\Omega)} + \|(v_x, u_x, \theta_x, w_x, b_x)(\cdot,t)\|_{L^2(\Omega)} \to 0.$ 这些结果表明, 即使初始扰动在 $$H^1$$ 范数下任意大, 解依然保持全局正则性, 且比容、温度不依赖于时间地受控, 最终收敛至平衡态. 特别地, 该结果涵盖了所有输运系数为正常数的经典情形, 解决了该类问题在大初值下的长期稳定性难题.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心难点在于无界域上 Poincaré 不等式失效导致的磁场估计困难, 以及大初值下强磁耦合效应的控制. 作者通过构造辅助椭圆方程获得新的能量密度估计, 从而突破传统方法.

温度一致正下界的建立: 利用截断论证, 定义 $Y_p(t) = \|((\theta^{-1}(t)-A_0)_+\|_{L^{p+1}}$ . 虽然直接积分会引入时间依赖项, 但作者观察到在局部平均和振荡估计 (引理 2.3, 2.4) 保证的温度有正下界的时间集补集 $$B$$ 上, $$Y_p(t)=0$$ . 结合能量估计限制集合 $$B$$ 的测度, 仅从 $$Y_p$$ 首次变为正的起点 $$s$$ 开始积分, 得到 $Y_p(t) \le C|B| \le C$ . 令 $p \to \infty$ 即得温度一致正下界.
比容一致上界的突破: 关键在于控制 $$|b|^2$$ 与其空间平均值的偏差的时间积分. 通过 Poincaré 不等式和 Cauchy-Schwarz 不等式, 该积分被控制为 $\left(\int v\theta|b|^2 dxdt\right)^{1/2}$ 与能量耗散项之积. 为估计前者, 作者引入总能量密度 $\eta$ 和函数 $K_\beta(\theta)$ , 发现 $v\theta|b|^2 \le C\eta + CK_\beta(\theta)\eta$ . 核心创新是构造辅助椭圆方程:
$-\left(\frac{\psi_x}{v}\right)_x + \psi = \eta, \quad \psi \in H^1(\Omega).$
将能量方程乘以 $\psi$ 并仔细分析边界项, 得到关于 $H(t) = \frac{1}{2}\int (\frac{\psi_x^2}{v} + \psi^2)dx$ 的微分不等式 $H_t + c\int K_\beta(\theta)\eta dx \le C$ . 由此导出 $\int v\theta|b|^2 dxdt \le C(1+t)$ , 进而得到磁场偏差的平方根时间界 $C\sqrt{1+t}$ , 代入 Gronwall 不等式即得比容上界.
高阶导数与温度上界: 在获得比容上界后, 作者构造了一个在高温区适当修正的单调有界函数 $g_\beta$ , 用于先估计 $$w_x$$ 和 $$b_x$$ , 再估计 $$v_x$$ 和 $\theta$ . 对于 $\beta>0$ , 直接利用 $g_\beta$ 的性质; 对于 $\beta=0$ , 借鉴 Li-Liang [14] 的截断技巧处理高温区的 $\theta_x^2$ . 最终利用这些耗散估计和 Gronwall 不等式获得温度的一致上界.

4. 与之前工作的比较

与既有文献相比, 本文的主要推进体现在以下几个方面:

无界域与大初值: 既往关于 MHD 系统大时间行为的经典结果 (如 [10, 17, 19]) 通常要求初始数据在小邻域内. 本文完全去除了小性假设, 允许 $$H^1$$ 范数任意大的初始扰动, 这在无界域上是首次实现. 相比之下, Li-Liang [14] 和 Li-Xu [15] 针对的是可压缩 Navier-Stokes 方程, 本文将其推广到了包含强磁耦合的 MHD 系统.
热导率的普适性: 此前工作如 Li-Xu [15] 要求 $\beta > 0$ , 而 Cao-Peng-Sun [2] 等存在性结果虽涵盖 $\beta=0$ , 但未给出大时间一致性估计. 本文统一处理了 $\beta \ge 0$ 的所有情形, 特别是解决了 $\beta=0$ (常热导率) 这一经典情形在无界域大初值下的长期稳定性问题, 填补了该领域的空白.
技术方法的革新: 在有界域问题中, Poincaré 不等式可直接用于控制磁场项. 但在无界域上, 该方法失效. 本文通过构造辅助椭圆方程 $-\left(\frac{\psi_x}{v}\right)_x + \psi = \eta$ , 巧妙地将难以直接控制的非线性项 $v\theta|b|^2$ 转化为可通过能量法处理的量, 从而获得了关键的平方根时间增长估计. 这一技巧区别于 Shang [20] 等人在特定增长条件下的方法, 适用于更一般的常系数情形.
适用范围: 本文同时覆盖了柯西问题和两种半轴初边值问题 (磁场满足 Neumann 或 Dirichlet 条件), 提供了完整的问题分类讨论. 相比于仅限于单一边界条件或特定参数的先前工作, 本文的结果具有更广泛的适用性.

6. 三维轴对称非零旋度流动的接触间断

Contact discontinuities for 3-D axisymmetric flows with nonzero swirl

作者: Myoungjean Bae, Jong-Seo Yoon

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19821v1

摘要翻译: 在本文中，我们证明了稳态 Euler 方程组 $(ρ,\mathbf{u},p)$ 在一个具有扰动壁面 $$r=R(x_1)$$ 的无限长圆柱形喷嘴中的轴对称解的存在性及其远场行为，该解包含一个接触间断 $$r=g_D(x_1)$$ 。背景流携带非零旋度分量 $β_0\mathbf{e}_θ$ ，其中 $$β_0$$ 不一定小。因此，背景熵、Bernoulli 函数和角动量密度依赖于径向变量，且它们的径向导数不一定小。

Comment: 43 pages, 1 figure

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19821v1

1. 研究对象和背景

本文研究的是稳态欧拉方程在无限长圆柱形喷嘴中，包含接触间断的轴对称解的存在性与远场行为。研究对象是理想多原子气体的无粘性可压缩流动，其控制方程为：

\begin{cases} \text{div}(\rho \mathbf{u}) = 0, \\ \text{div}(\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) + \nabla p = 0, \\ \text{div}(\rho \mathbf{u} B) = 0, \end{cases}

其中 $\rho$ 、 $\mathbf{u}$ 、 $$p$$ 分别为密度、速度和压力， $$B$$ 为伯努利函数，定义为 $B = \frac{1}{2}|\mathbf{u}|^2 + \frac{\gamma p}{(\gamma-1)\rho}$ ， $\gamma > 1$ 为绝热指数。

问题设定在一个无限长的圆柱形喷嘴 $N = \{x \in \mathbb{R}^3 : x_1 > 0, r < R(x_1)\}$ 中，边界 $$r = R(x_1)$$ 受到扰动。流场中包含一个接触间断面 $\Gamma_{g_D} = \{x \in N : r = g_D(x_1)\}$ ，将流体分为内层和外层。背景流在外层携带非零的旋度分量 $\beta_0 \mathbf{e}_\theta$ ，且 $\beta_0$ 不一定小。这导致背景的熵、伯努利函数和角动量密度依赖于径向变量 $$r$$ ，且它们的径向导数不一定小。

接触间断是多维守恒律系统中基本的特征间断之一。与激波不同，接触间断上的法向速度为零，而切向速度、密度和熵可能发生跳跃，但压力保持连续。由于接触间断本身是一条流线，且其两侧的流动状态通常未知，其稳定性分析自然引出一个非线性自由边界问题。严格的接触间断理论是数学分析涡片、射流边界、马赫反射与折射以及基本波相互作用等问题的必要组成部分。

已有文献中，[1] 建立了分离两个均匀亚音速流的平面接触间断的结构稳定性；[3] 利用 Helmholtz 分解在二维无限长喷嘴中构造了具有非零涡量的亚音速接触间断；[4] 将该方法扩展到三维轴对称情形，在无限长圆柱中构造了具有非零涡量和非零旋度的接触间断。然而，[4] 中的背景流旋度为零，且喷嘴壁面为直圆柱。本文的主要推进在于考虑了带有扰动壁面的无限长喷嘴，并将非零旋度纳入背景状态本身。这一区别显著改变了背景解的结构：对于具有常密度和速度的轴对称流，径向动量平衡要求压力在径向上不能保持常数（见 Proposition 2.2）。背景压力的径向依赖性给欧拉系统的输运部分带来了额外困难，因为扰动的流线位移会作用于这些背景梯度，产生额外的误差项。因此，输运估计对于任意大的背景旋度不是均匀的，迭代方案无法在不施加 $|\beta_0|$ 上界的情况下闭合。

2. 主要定理或主要结果

主要结果陈述于 Theorem 2.1 中。假设 $R \in C^{2,\alpha}([0, \infty))$ 满足 $$R(0)=1$$ , $$R'(0)=0$$ , 且当 $$x_1 > L_0$$ 时 $R(x_1) = R_\infty$ 。给定入口数据 $S_{en}(r)$ , $\beta_{en}(r)$ , $u_{en}^r(r)$ ，定义扰动量 $\sigma(R, S_{en}, \beta_{en}, u_{en}^r) = \|R - 1\|_{2,\alpha,[0,\infty)} + \|S_{en} - S_0\|_{2,\alpha,\Gamma_{en}^+} + \|\beta_{en} - \beta_0\|_{2,\alpha,\Gamma_{en}^+} + \|u_{en}^r\|_{1,\alpha,\Gamma_{en}^+}$ 。

(a) (存在性) 对于任意固定的 $\alpha \in (0, 1)$ ，存在正常数 $\bar{\beta} > 0$ 和小常数 $\sigma_1 > 0$ ，仅依赖于数据 $(L_0, R_\infty, \rho_0^+, u_0, p_0^-, \gamma, \alpha)$ ，使得若 $|\beta_0| \leq \bar{\beta}$ 且 $\sigma \leq \sigma_1$ ，则 Problem 2.2 存在轴对称解 $U = (\rho, \mathbf{u}, p)$ ，其接触间断为 $$r = g_D(x_1)$$ ，且满足估计：

\left\|g_D - \frac{1}{2}\right\|_{2,\alpha,\mathbb{R}^+} + \|(\rho, \mathbf{u}, p) - (\rho_0^+, \mathbf{u}_0, p_0^+)\|_{1,\alpha,N_{g_D}^+} \leq C \sigma,

其中 $\mathbf{u}_0 = u_0 \mathbf{e}_{x_1} + \beta_0 \mathbf{e}_\theta$ ，常数 $$C > 0$$ 仅依赖于数据。

(b) (渐近状态) 存在常数 $\sigma_2 \in (0, \sigma_1]$ ，仅依赖于数据，使得若 $|\beta_0| \leq \bar{\beta}$ 且 $\sigma \leq \sigma_2$ ，则 (a) 中的解满足：

\lim_{L \to \infty} \|g_D'\|_{C^1(\{x_1 \geq L\})} = 0,

\lim_{L \to \infty} \|\mathbf{u} \cdot \mathbf{e}_r\|_{C^1(N_{g_D}^+ \cap \{x_1 > L\})} = 0,

\lim_{L \to \infty} \left\|\partial_r p - \rho (\mathbf{u} \cdot \mathbf{e}_\theta)^2 / r\right\|_{C^0(N_{g_D}^+ \cap \{x_1 > L\})} = 0.

这里引入了“伪亚音速条件”：

\inf_N \left(1 - \frac{u_{x_1}^2 + u_r^2}{c^2} - \frac{(u_{x_1}^2 + u_r^2) u_\theta^2}{4 c^4}\right) > 0,

其中声速 $c = \sqrt{\gamma p / \rho}$ 。该条件比标准亚音速条件弱，它保证了线性化算子主部的统一椭圆性。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心障碍在于处理非零旋度带来的背景非均匀性。由于背景压力 $p_0^+(r) = \rho_0^+ \beta_0^2 \ln(2r) + p_0^-$ 依赖于 $$r$$ ，背景的熵 $$S_0^+(r)$$ 和伯努利函数 $$B_0^+(r)$$ 也依赖于 $$r$$ 。当求解沿扰动流线的输运方程时，流线的位移会作用于这些背景梯度，产生额外的误差项。这使得输运估计对于任意大的背景旋度不是均匀的，迭代方案无法闭合。作者通过引入“伪亚音速条件”来保证线性化算子的统一椭圆性，并通过对 $|\beta_0|$ 施加小性约束来闭合迭代。

主要技术工具包括：

Helmholtz 分解：将速度场表示为 $\mathbf{u} = \nabla \phi + \text{curl } \mathbf{V}$ ，其中 $\mathbf{V} = h \mathbf{e}_r + \psi \mathbf{e}_\theta$ 。这将原系统重写为关于 $(\phi, \psi, S, B, \Lambda)$ 的系统，其中 $\Lambda = r u_\theta$ 是角动量密度。具体地，系统变为： $\begin{cases} \text{div}(\varrho(S, B, q) q) = 0, \\ -\Delta(\psi \mathbf{e}_\theta) = G(S, B, \Lambda, \partial_r S, \partial_r B, \partial_r \Lambda, t, \nabla \phi) \mathbf{e}_\theta, \\ \varrho(S, B, q) q \cdot \nabla S = 0, \\ \varrho(S, B, q) q \cdot \nabla B = 0, \\ \varrho(S, B, q) q \cdot \nabla \Lambda = 0. \end{cases}$
自由边界的 ODE 表示：接触间断面 $$r = g_D(x_1)$$ 由初始值问题确定： $g_D'(x_1) = \frac{q(r, \psi, D\psi, D\phi, \Lambda) \cdot \mathbf{e}_r}{q(r, \psi, D\psi, D\phi, \Lambda) \cdot \mathbf{e}_{x_1}} \bigg|_{(x_1, g_D(x_1), 0)}, \quad g_D(0) = \frac{1}{2}.$
截断域上的估计：在截断域 $N_L = N \cap \{x_1 < L\}$ 上求解自由边界问题，并推导关于截断长度 $$L$$ 一致的估计。这些估计用于证明无穷域上的存在性。
隐函数定理：在加权 Hölder 空间中应用隐函数定理来处理自由边界问题。

4. 与之前工作的比较

与既有工作相比，本文的主要推进体现在以下几个方面：

背景旋度的非零性：[4] 中构造的三维轴对称接触间断的背景流旋度为零，而本文将非零旋度 $\beta_0 \mathbf{e}_\theta$ 纳入背景状态。这一区别导致背景压力、熵和伯努利函数依赖于径向变量 $$r$$ ，从而在输运估计中引入额外的误差项。为了克服这一困难，作者必须对 $|\beta_0|$ 施加小性约束，而 [4] 中不需要此约束。
喷嘴壁面的扰动：[4] 考虑的是直圆柱，而本文考虑的是带有扰动壁面 $$r = R(x_1)$$ 的无限长喷嘴。这使得问题更加复杂，需要处理壁面扰动带来的几何效应。
伪亚音速条件：本文引入了“伪亚音速条件”而非标准的亚音速条件。这一条件更弱，允许在某些情况下物理意义下的超音速流动（只要旋度足够大）。这与 [14] 中 Fang, Gao, Xiang, and Zhao 的工作有相似之处，后者研究了非零旋度生成的非平凡背景激波解。然而，[14] 中的自由边界是有限喷嘴中的跨音速激波，而本文中的自由边界是无限长喷嘴中的接触间断。
代价与局限：为了闭合迭代，作者必须对 $|\beta_0|$ 施加小性约束。这意味着结果不适用于任意大的旋度。此外，伪亚音速条件虽然比标准亚音速条件弱，但仍限制了流动的适用范围。

7. 理想磁流体力学的 Onsager 猜想

Onsager’s Conjecture for Ideal Magnetohydrodynamics

作者: Matteo Giardi, László Székelyhidi

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.19506v1

摘要翻译: 对于任意 $0\leγ<1/3$ ，我们构造了理想 MHD 方程的弱解 $$(v,B,p)$$ ，其中 $v,B\in C^γ(\mathbb T^3\times\mathbb R)$ 。这些解既不守恒总能量也不守恒交叉螺旋度，且具有非平凡的磁螺旋度。我们还建立了具有不同速度指数和磁场指数的各向异性 Hölder 界，并证明了沿每条磁力线的更强正则性。可取的指数将 Goldreich–Sridhar \cite{GoldreichSridhar1995} 的空间与平行对 $$1/3, 1/2$$ 与 Iroshnikov–Kraichnan 弱湍流图像 \cite{Iroshnikov1963,Kraichnan1965} 中 $$1/4$$ 的空间缩放联系起来。在 Arnold 的理想流体动力学的表述精神下，一个解被视为体积保持微分同胚的一条路径；证明则基于经典凸积分技术与该李群的李代数层面的几何构造之间的相互作用。我们的工作实质性地扩展了 Enciso、Peñafiel-Tomás 和 Peralta-Salas 近期的结果 \cite{EnPePe}，并且可以在不使用牛顿迭代的情况下重新证明 Giri 和 Radu 的结果 \cite{GiRa}。

Comment: AI-assisted technical extension of our $C^{1/5-}$ result and the first author’s PhD Thesis; see AI declaration for details. The text overlap in the introduction of the two papers is intentional

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19506v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维不可压缩理想磁流体力学 (MHD) 方程的弱解理论. 该模型描述了导电流体中速度场 $$v$$ 和磁场 $$B$$ 的演化, 其控制方程为:

\begin{cases} \partial_t v + v \cdot \nabla v + \nabla p - B \cdot \nabla B = 0, \\ \partial_t B + \text{curl}(B \times v) = 0, \\ \text{div } v = \text{div } B = 0. \end{cases}

在周期域 $\mathbb{T}^3$ 上考虑分布意义下的弱解 $$(v, B, p)$$ , 其中 $$p$$ 为总压力. 与欧拉方程类似, 理想 MHD 系统具有若干理想守恒量: 总能量 $E(t) = \int_{\mathbb{T}^3} (|v|^2 + |B|^2) dx$ , 交叉螺旋度 $H_\times(t) = \int_{\mathbb{T}^3} v \cdot B dx$ , 以及磁螺旋度 $H_{mag}(t) = \int_{\mathbb{T}^3} A \cdot B dx$ . 其中 $$A$$ 是磁场 $$B$$ 的向量势, 满足 $\text{curl } A = B$ . 对于零空间平均的无散磁场, 磁螺旋度的值不依赖于向量势的选择.

Onsager 猜想最初针对的是不可压缩欧拉方程, 指出若速度场 $v \in C^{1/3}$ , 则能量守恒; 而低于此阈值时可能存在耗散. 这一猜想已由 P. Isett 等人通过凸积分方法解决. 在 MHD 背景下, Caflisch, Klapper 和 Steele 以及 Kang 和 Lee 的工作表明, 若 $v, B \in C([0,T]; C^\gamma(\mathbb{T}^3))$ 且 $\gamma > 1/3$ , 则总能量和交叉螺旋度守恒. 具体而言, 若 $v \in C^{\gamma_1}$ 且 $B \in C^{\gamma_2}$ , 总能量守恒要求 $\gamma_1 > 1/3$ 且 $\gamma_1 + 2\gamma_2 > 1$ , 交叉螺旋度守恒要求 $\gamma_2 > 1/3$ 且 $2\gamma_1 + \gamma_2 > 1$ . 然而, 磁螺旋度的守恒仅需 $(v, B) \in L^3$ 即可保证. 因此, 一个自然的类比猜想是: 当 $\gamma < 1/3$ 时, 存在不守恒能量和交叉螺旋度的弱解. 本文旨在证明这一“灵活部分”, 即构造 $C^\gamma$ 正则性 ( $\gamma < 1/3$ ) 的弱解, 使其既不守恒总能量也不守恒交叉螺旋度, 同时保持非平凡的磁螺旋度.

此外, MHD 湍流理论中存在两个著名的标度律: Goldreich-Sridhar (GS95) 理论和 Iroshnikov-Kraichnan (IK) 弱湍流图像. GS95 理论预测垂直于磁场方向的能谱指数为 $$-5/3$$ , 平行方向为 $$-2$$ , 对应于垂直方向 $$1/3$$ 和平行方向 $$1/2$$ 的 Hölder 指数. IK 理论基于弱阿尔文波相互作用, 预测 $k^{-3/2}$ 能谱, 对应 $$1/4$$ 的空间标度. 本文的结果不仅在数学上证实了 $$1/3$$ 阈值的存在, 还通过各向异性 Hölder 界将上述物理理论与数学结构联系起来.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果包括以下两个定理:

定理 1.1 (主定理): 对于任意 $0 \le \gamma < 1/3$ , 存在理想 MHD 方程的弱解 $$(v, B, p)$$ , 满足 $v, B \in C^\gamma(\mathbb{T}^3 \times \mathbb{R})$ , 且这些解既不守恒总能量也不守恒交叉螺旋度. 磁场 $$B$$ 在每个时刻的空间平均为零, 处处非零, 且具有非零常数磁螺旋度.

定理 1.2 (各向异性正则性): 对于满足以下条件的指数对 $(\gamma_v, \gamma_B)$ :

0 < \gamma_v < \frac{1}{3}, \quad 0 < \gamma_B < \frac{1}{2}, \quad 2\gamma_v + \gamma_B < 1,

存在理想 MHD 方程的弱解 $$(v, B, p)$$ , 使得 $v \in C^{\gamma_v}(\mathbb{T}^3 \times \mathbb{R})$ 且 $B \in C^{\gamma_B}(\mathbb{T}^3 \times \mathbb{R})$ . 该解同样不守恒总能量和交叉螺旋度, 但具有非零常数磁螺旋度. 此外, 沿每条磁力线 $\Gamma(s)$ (满足 $\Gamma'(s) = B(t, \Gamma(s))$ ), 解满足更强的正则性估计:

|v(t, \Gamma(s)) - v(t, \Gamma(r))| \le C |s-r|^{\gamma_v/(1-\gamma_B)},

|B(t, \Gamma(s)) - B(t, \Gamma(r))| \le C |s-r|^{\gamma_B/(1-\gamma_B)},

其中常数 $$C$$ 独立于时间 $$t$$ 和磁力线 $\Gamma$ . 当 $\gamma_v, \gamma_B \to 1/3$ 时, 平行于磁场方向的速度指数趋于 $$1/2$$ , 这与 GS95 理论的预测一致. 当 $\gamma_v = 1/4$ 时, 对应于 IK 弱湍流的标度.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的核心在于凸积分方法的几何化推广, 结合了 Arnold 的理想流体力学表述. 作者将解视为体积保持微分同胚的路径, 并在李代数层面进行扰动构造.

部分松弛系统: 作者采用 Enciso, Peñafiel-Tomás 和 Peralta-Salas 提出的部分松弛策略, 仅对动量方程引入雷诺应力项 $$R_q$$ , 而精确求解感应方程:
$\begin{cases} \partial_t v_q + \text{div}(v_q \otimes v_q - B_q \otimes B_q) + \nabla p_q = \text{div } R_q, \\ \partial_t B_q + [v_q, B_q] = 0, \\ \text{div } v_q = \text{div } B_q = 0. \end{cases}$
这确保了磁场始终由速度的李输运决定, 从而严格保持磁螺旋度的拓扑性质.
拉格朗日位移场 (LDF): 扰动通过体积保持映射 $$X_s$$ 生成, 其生成元为无散向量场 $\xi_s$ . 速度和磁场的变化分别为:
$v_s = \partial_t X_s \circ X_s^{-1} + (X_s)_* v_q, \quad B_s = (X_s)_* B_q.$
这种构造保证了诱导方程在每一步迭代中都精确成立, 避免了传统凸积分中可能出现的感应缺陷.
MHD Frobenius 图表: 为了处理非恒定背景场, 作者引入了适应于磁场的局部坐标图表 $\Psi_I$ , 使得在这些坐标下, 磁输运算子 $$D_B$$ 和时间导数 $\partial_t$ 变为常系数算子. 这利用了感应方程带来的交换关系 $[\partial_t + v \cdot \nabla, B \cdot \nabla] = 0$ , 从而在局部实现了常数背景阿尔文波的几何结构.
快速时间振荡与 Galbrun 方程: 为了消除残余应力, 作者引入了快速时间振荡参数 $\tau_a$ . 关键的技术障碍在于平衡线性相互作用项 (Nash 项和输运项). 作者通过求解 MHD 版本的 Galbrun 方程 (Frieman-Rotenberg 方程) 来构造校正项 $\xi_c$ , 并利用高阶展开技巧获得所需的小增益. 这一过程需要仔细追踪平行梯度与垂直梯度的不同衰减率, 从而突破之前工作中 $\gamma < 1/5$ 的限制, 达到最优的 $$1/3$$ 阈值.
参数选择与归纳闭合: 通过精心选择频率 $\lambda_q$ 、振幅 $\delta_q$ 以及时间尺度比例 $\tau_a/\tau_c$ , 作者证明了误差项的收敛性, 最终得到满足各向异性 Hölder 界的弱解.

4. 与之前工作的比较

与之前的工作相比, 本文在以下几个方面取得了显著进展:

正则性阈值: Enciso, Peñafiel-Tomás 和 Peralta-Salas [13] 此前构造的弱解仅具有 $\gamma \le 1/200$ 的正则性. 本文将该范围扩展至所有 $\gamma < 1/3$ , 达到了 Onsager 猜想的临界阈值. 虽然概念框架相似, 但实现这一改进需要处理更高阶的输运导数和更复杂的参数平衡, 这在技术上是重大挑战.
磁螺旋度与非平凡性: 早期的工作如 Beekie, Buckmaster 和 Vicol [3] 或 Faraco, Lindberg 和 Székelyhidi [18, 19] 构造的解要么是无界的, 要么磁螺旋度为零. 特别是 [18] 中的解虽然不守恒能量, 但其磁螺旋度恒为零. 本文构造的解具有非零且常数不变的磁螺旋度, 这在物理上更为相关, 因为它允许逆级联现象的发生, 符合 Taylor 关于低电阻极限下磁螺旋度近似守恒的猜想.
各向异性正则性与湍流理论的联系: 之前的工作主要关注各向同性的 Hölder 正则性. 本文首次建立了速度与磁场不同的各向异性 Hölder 指数之间的关系, 并特别强调了沿磁力线方向的更强正则性. 这一结果直接将数学构造与 Goldreich-Sridhar (GS95) 和 Iroshnikov-Kraichnan (IK) 湍流理论中的标度律联系起来. 例如, 当 $\gamma_v \to 1/3$ 时, 平行指数趋于 $$1/2$$ , 重现了 GS95 的临界平衡假设; 而 $\gamma_v = 1/4$ 则对应 IK 弱湍流图像.
无需牛顿迭代的替代证明: 本文的方法还可以用于重新证明 Giri 和 Radu [27] 的结果, 但无需使用复杂的牛顿迭代步骤. 这表明作者发展的几何凸积分框架具有更强的通用性和简洁性.
与刚性结果的对比: 从方向性 Hölder 标度的角度来看, 本文的灵活性结果从下方逼近了局部适定性理论中的刚性结果. 第一作者近期的工作 [23] 证明了在非零常数初始磁场下, $$H^s$$ 空间 ( $$s > n+1/2$$ ) 中的局部适定性, 这隐含了空间 Hölder 指数大于 $$1/2$$ 的正则性. 本文构造的解在磁场方向上的速度指数趋近于 $$1/2$$ , 从而在数学上展示了柔性解与刚性解之间的界限.

摘要翻译: 本文研究修正 Korteweg-de Vries-Burgers (mKdVB) 方程

u_t + (u^3)_x = μu_{xx} - κu_{xxx}

其中 $$μ>0$$ 且 $$κ>0$$ 。由于通量函数非凸，(无粘) Riemann 问题可由一个由退化的 Oleinik 激波和稀疏波组成的复合波来求解。我们证明了在小的 $$H^1$$ 扰动下，相应的粘性-色散复合波（允许依赖于时间的平移）的全局存在性和时间渐近稳定性。激波强度 $$δ_S$$ 和稀疏波强度 $$δ_R$$ 无需是小量，仅受显式比值 $δ_R\le\frac{5}{18}δ_S$ 以及控制激波单调性的量 $$κδ_S^2/μ^2$$ 的限制。该稳定性估计对色散强度 $$κ$$ 是一致的。作为稳定性分析的关键要素，我们在单调区间内建立了退化粘性-色散激波剖面结构性质，包括其导数的双侧逐点界及其向两个端态收敛的速率。这些衰减速率与相应的纯粘性剖面的速率一致，且常数独立于色散系数。在无色的情况下，即当 $$κ=0$$ 时，Huang, Wang 和 Zhang [26] 已证明相应粘性复合波的时间渐近稳定性。本工作将他们的结果推广到粘性-色散情形，并放宽了对稀疏波强度的限制。证明依赖于 Kang 和 Vasseur [32,33,35] 为粘性守恒律发展出的带平移的 $$a$$ -收缩方法。

7. 具有主导加权吸收的多孔介质方程：三类自相似解

A porous medium equation with dominating weighted absorption: three types of self-similar solutions

作者: Razvan Gabriel Iagar, Diana-Rodica Munteanu

类别: math.AP, math.DS

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20397v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20397v1

摘要翻译

中文标题: 具有主导加权吸收的多孔介质方程：三类自相似解

摘要翻译: 本文对具有主导空间非均匀吸收的多孔介质方程

\partial_tu=Δu^m-|x|^σu^p, \quad (x,t)\in\real^N\times(0,\infty), \quad N\geq1,

的自相似解进行了分类，其中指数满足 $$1<p<m$$ 且 $$σ>0$$ 。通过寻找形如

u(x,t)=t^{-α}f(|x|t^β), \quad α=\frac{σ+2}{σ(m-1)+2(p-1)}, \quad β=\frac{m-p}{σ(m-1)+2(p-1)},

的解，证明所有此类解的剖面在无穷远处的行为均满足

\lim\limits_{ξ\to\infty}ξ^{σ/(p-1)}f(ξ)=\left(\frac{1}{p-1}\right)^{1/(p-1)},

但它们在原点附近的行为存在显著差异：存在唯一的一个解满足 $$f(0)>0$$ 、 $$f'(0)=0$$ ；另存在唯一的一个解使得 $$f$$ 呈现一个\emph{死核（dead-core）}，即对于某个 $$ξ_0>0$$ ，有 $f\equiv0$ 对 $ξ\in[0,ξ_0]$ 成立；最后，存在 $K^*\in(0,\infty)$ 使得，对于任意 $K\in(0,K^*)$ ，至少存在一个解满足

arXiv ID: 2609.20096v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20096v1

摘要: In this paper, we study the existence of nonnegative bound states for the higher-order logarithmic Schrödinger equation

-αΔu+V(x)u-βu\ln|u| = γu(\ln|u|)^m, \qquad u\in H^1(\mathbb R^N),

where $$α,β,γ>0$$ , $$m$$ is an odd positive integer and $$V$$ is a positive bounded potential converging to a constant at infinity. The simultaneous presence of the first- and higher-order logarithmic terms leads to a nonsmooth variational structure and additional compactness difficulties. We introduce a family of power-law approximations and derive estimates that are uniform as the approximation exponent tends to the logarithmic limit. Under a structural condition on the autonomous nonlinearity, we obtain uniqueness, up to translations, of the nonnegative autonomous profile with connected positivity set and a corresponding energy gap below the two-profile threshold. The small-amplitude behavior exhibits a maximum-principle/compact-support dichotomy: the case $$m=1$$ yields positivity, whereas the higher odd orders fall into the compact-support regime for the autonomous profile. We then establish a profile decomposition for constrained Palais-Smale sequences and construct a barycenter-based min-max level below the splitting threshold. This prevents loss of mass through multiple profiles and allows us to pass to the logarithmic limit. Under the stated structural and energy conditions, we obtain a nontrivial nonnegative bound state of the original equation.

16. 分数阶 $$p$$ -热函数的 Hölder 梯度估计

Hölder gradient estimates for fractional $$p$$ -caloric functions

作者: Davide Giovagnoli, David Jesus, Luis Silvestre

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20097v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20097v1

摘要: We establish interior $C^{1,α}$ regularity estimates, for some $$α> 0$$ , for fractional $$p$$ -caloric functions when $$p$$ is in the range $p \in (2,2/(1-s))$ . As a consequence, we deduce improved regularity in time, which yields interior continuous differentiability in time for $p \in [1/(1-s), 2/(1-s))$ .

17. 群对称下的加权对偶 Minkowski 问题

The Weighted Dual Minkowski Problem Under Group Symmetry

作者: Karoly J. Boroczky, Stephanie Mui, Gaoyong Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20047v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20047v1

摘要: The paper studies the weighted dual Minkowski problem for the weighted $$q$$ th dual curvature measure of convex bodies in $\mathbb R^n$ first posed by Huang, Lutwak, Yang, and Zhang. Most of the results are in the G-invariant setting, i.e. when the convex bodies are invariant under a closed subgroup $$G$$ of $$O(n)$$ . They generalize previous results on the existence of solutions to the dual Minkowski problem for origin-symmetric convex bodies. It is proved: (i) a full characterization of the G-invariant weighted dual curvature measure for q\in(0,1], (ii) a necessary and sufficient condition for the existence of solutions to the G-invariant weighted dual Minkowski problem for q\in(1,n), (iii) a sufficient condition for the G-invariant weighted dual curvature measure for q>1, and (iv) an extension of Henk-Pollehn’s dual curvature measure concentration property.

18. 稳态积分变分场的任意有限阶可整流性

Rectifiability of every finite order for stationary integral varifolds

作者: Sławomir Kolasiński

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19979v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19979v1

摘要: We give an alternative proof of a theorem of Brena, De Lellis and Franceschini (arXiv:2503.00649): the support of a stationary integral $$d$$ dimensional varifold in an open subset of $\mathbf{R}^n$ is $(\mathscr{H}^d, d)$ rectifiable of class $$(k, α)$$ for every positive integer $$k$$ and every $$0 < α< 1$$ , and in particular of class $\mathscr{C}^{\infty}$ . Our proof is independent of theirs and proceeds by different means. It compares the varifold, at every scale and at $\mathscr{H}^d$ almost every point, with the graph of a solution of the Euler–Lagrange system of a smoothed area integrand, and thereby derives an excess-decay estimate that is faster than any power of the scale; the conclusion then follows from Santilli’s characterisation of higher order rectifiability together with Whitney’s extension theorem.

19. Chern–Simons–Higgs方程的非平凡爆破：先验分析与构造

Non-simple blow-up for the Chern–Simons–Higgs equation: A priori analysis and constructions

作者: Youngae Lee, Lei Zhang

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.20042v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.20042v1

摘要: Blow-up in the self-dual Chern–Simons–Higgs equation has a rich multiscale structure, but the detailed theory has largely focused on the simple regime, where one entire profile resolves each concentration point. By contrast, non-simple blow-up is analytically more delicate: several interacting regular cores must be resolved simultaneously as they collapse toward a single vortex while remaining separated on their own scales. Because of this difficulty, the existence of such solutions has remained a long-standing open problem. To the best of our knowledge, we prove the first existence result for non-simple blow-up solutions of this equation, covering in particular the previously unresolved finite-height Chern–Simons regime. We also show that non-simple clusters have equal limiting core masses, a common profile type, and regular-polygon arrangements. We determine their possible total masses and derive a mass-gap criterion that rules out such blow-up for certain vortex configurations. Our quantitative profile and moment estimates for general finite-height clusters guide the design of the approximate solution and clarify the core interactions underlying the finite-height construction. A separate construction on the unit disk produces two mean-field cores along a sequence with varying Dirichlet traces.

20. 多重径向 SLE 的对易关系分类

Classification of commutation relation for multi-radial SLE

作者: Chongzhi Huang, Hao Wu

类别: math.PR, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19739v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19739v1

摘要: Locally commuting multiple radial Schramm-Loewner evolutions ( $\mathrm{SLE}_κ$ ) are encoded by partition functions satisfying the radial Belavin-Polyakov-Zamolodchikov (BPZ) equations and a conformal Ward identity with spectral parameters $λ,ν\in\mathbb{R}$ . For $$κ>0$$ and $λ\in\mathbb{R}$ , we show that the solution space of the radial BPZ system has dimension $$2^n$$ , where $$n$$ is the number of variables. We then determine all admissible Ward parameters $$ν$$ and the exact dimensions of the subspaces selected by the conformal Ward identity, covering both generic and degenerate cases. The classification reveals a parity difference: nonzero rotation-invariant solutions exist for every $$λ$$ when $$n$$ is even, but only at finitely many exceptional values when $$n$$ is odd. When $0<κ\leq4$ , $$λ>0$$ for odd $$n$$ or $$λ>-3/2$$ for even $$n$$ , we construct a basis of positive solutions using multiple SLE, providing global realizations of the locally commuting SLEs. At $$κ=4$$ , we identify a family of explicit solutions as partition functions for level lines of a Gaussian free field with suitable boundary data and interior singularities.

21. 带非局部衰减的波动方程反系数问题

Inverse coefficient problem for the wave equation with nonlocal attenuation

作者: Yavar Kian, Zouhour Rezig, Gunther Uhlmann

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19854v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19854v1

摘要: In this article, we investigate the inverse problem of determining time-dependent first- and zeroth-order coefficients for a wave equation with nonlocal-in-time attenuation on a Riemannian manifold, using boundary measurements. This problem is motivated by applications in imaging and viscoelasticity, where such equations arise naturally, and we aim to characterize the properties of the underlying medium by recovering these coefficients. Our main objective is to exploit the memory properties of solutions induced by nonlocal attenuation, establishing the recovery of a general class of lower-order coefficients from boundary measurements collected over an arbitrarily small time interval. As a byproduct of our analysis, we also prove recovery results for time-dependent coefficients using measurements supported on disjoint time intervals. While such data restrictions are unavailable, and generally impossible, for the classical wave equation, we demonstrate that they become feasible under standard assumptions due to the presence of nonlocal-in-time attenuation. Our analysis combines techniques from differential geometry, the theory of partial differential equations with nonlocal terms, complex analysis, and the theory of nonlocal operators.

22. 在测地完备非紧致黎曼流形上 $$Δ_pu+Δ_qu+u^s| abla u|^t eq 0$$ 的解不存在性

Nonexistence of solutions to $Δ_pu+Δ_qu+u^s|\nabla u|^t\leq 0$ on geodesically complete noncompact Riemannian manifolds

作者: Biqiang Zhao

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19790v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19790v1

摘要: In this paper, we consider the inequality $Δ_pu+Δ_qu+u^s|\nabla u|^t\leq 0$ on geodesically complete noncompact Riemannian manifolds. By a test function argument, we establish Liouville-type theorems under the upper bound of volume of geodesic ball. In the Euclidean space $\mathbb{R}^n$ , we obtain new nonexistence results which extend the result of Bhakta-Biswas-Filippucci \cite{BBF}. In particular, we have addressed the influence of the higher order term for $$s<0$$ . At last, we present some examples to illustrate sharpness in some cases.

23. Carnot 群上具有指数型反应与测度数据的拟线性方程

Quasilinear Equations with Exponential Reactions and Measure Data on Carnot Groups

作者: Shiguang Ma, Zijian Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19704v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19704v1

摘要: In this paper, we establish existence and pointwise Wolff potential bounds for nonnegative solutions of $-Δ_{\mathbb{G},p}u=H_l(αu^β)+μ$ on Carnot groups, where $H_l(t)=e^t-\sum_{j=0}^{l-1}t^j/j!$ and $$μ$$ is a nonnegative Radon measure. Under suitable conditions on the reaction parameters, we treat arbitrary open sets in the subcritical range $$1<p<Q$$ under a maximal potential condition, and bounded domains in the critical case $$p=Q$$ under a small total mass condition.

24. 由固定角散射数据确定势

Determination of the potential by a fixed angle scattering data

作者: Suliang Si

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19698v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19698v1

摘要: In this paper, we study the fixed angle scattering problems raised by Rakesh and Salo. We show that a compactly supported potential is uniquely determined by the far field pattern at a fixed angle, which is an open problem. Our method is based on a novel Carleman estimate and the ideas introduced by Bukhgeim and Klibanov on the use of Carleman estimates for inverse problems.

25. 非捕获波速下超弹性参数的确定

Determination of hyperelastic parameters with non-trapping wavespeeds

作者: Gunther Uhlmann, Jian Zhai

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19594v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19594v1

摘要: We consider the elastic wave equation in three-dimensional isotropic medium with up to quadratic nonlinear terms. We show that five out of the six elastic parameters can be uniquely determined by boundary measurements under the assumption that the wavespeeds are non-trapping, while the last one can also be determined in a generic setting.

26. 真空轨道间矩阵值异宿连接的全局极小性

Global Minimality of Matrix-Valued Heteroclinic Connections between Vacuum Orbits

作者: Sisi Guan, Yu Cheng

类别: math.AP

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.19590v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19590v1

摘要: We study global energy minimization for matrix-valued heteroclinic connections whose vacuum sets are continuous conjugacy orbits rather than isolated points. For two distinguished parameter regimes of a one-dimensional $\mathrm{SU}(5)\times\mathbb Z_2$ matrix field model, we first identify the full zero set of the quartic potential as the disjoint union of two compact homogeneous vacuum orbits. We then construct auxiliary potentials controlled by the Frobenius distance to these orbits. Pointwise comparison with the original potential, combined with a calibration inequality and the one-dimensional coarea formula, gives a sharp lower bound for every finite-energy connection joining the two vacuum components; no diagonality, commutativity, or symmetry-reduced ansatz is imposed on the competitors. Two explicit non-Abelian kinks attain the bound and are therefore global minimizers in the full orbit-to-orbit heteroclinic classes. Their exact wall tensions are $4\sqrt2\,μ^3/(3λ)$ and $9\sqrt2\,μ^3/(10h)$ , respectively. Equivalently, the corresponding line-segment paths realize the degenerate weighted distance between the vacuum manifolds. We also resolve every fixed-endpoint sector: for arbitrary prescribed representatives on the two vacuum orbits, the energy infimum is the same wall tension, and it is attained if and only if the prescribed representatives form a closest pair of the two orbits. Nonclosest endpoint sectors therefore exhibit non-attainment through increasingly slow tangential motion along the vacuum manifolds. The proof separates a model-independent distance–coarea criterion from the model-specific orbit geometry and polynomial positivity estimates, providing a reusable mechanism for matrix-valued multiwell potentials with symmetry-generated vacua.

27. 奇数维球面均值变换范围刻画的构造性方法

A constructive approach to range characterization of spherical mean transform in odd dimensions

作者: Pradipta Chatterjee, Venkateswaran P. Krishnan, Abhilash Tushir

类别: math.AP, math.CA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.19481v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19481v1

摘要: This work focuses on range characterization of spherical mean transform (SMT) in odd-dimension Euclidean space. In a recent work, a simpler description characterizing the range of SMT in odd dimensions was derived. This involved symmetry relations involving certain linear ordinary differential operators acting on the coefficients of the spherical harmonics expansion of the function in the range. The sufficiency part of this characterization was shown using an existing range characterization result due to Agranovsky-Kuchment-Quinto. In the current work, we provide a direct and constructive proof showing the sufficiency of the aforementioned symmetry conditions and we obtain this without invoking any of the existing range characterization results. As an added advantage, given a function $$g$$ satisfying the range conditions, our approach provides an explicit construction of a function $$f$$ such that the SMT of $$f$$ is $$g$$ .

28. 分数阶 p-Laplacian 算子与一类 McKean-Vlasov 飞行型过程之间的新联系

New link between the fractional p-Laplacian operators and a class of McKean-Vlasov flight type processes

作者: Houssine El Jeddaoui, Dany Nabab

类别: math.AP, math.PR

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.19492v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19492v1

摘要: We prove the existence of a McKean–Vlasov stochastic process with jumps associated to the nonlinear parabolic equation $\partial_t u = Δ_p u + Δ_p^s u$ in $\R^N\times(0,\infty)$ , where $$Δ_p$$ is the $$p$$ -Laplacian and $$Δ_p^s$$ is the fractional $$p$$ -Laplacian. The algorithm used is the following : first, after proving the existence of a solution for the PDE presented earlier, we rewrite it as a nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equation whose solution-measure is guaranted when $p\ge4$ . Then we solve the martingale problem associated to our FPKE via a new nonlinear supersition principle. Finally, thanks to the martingale solution obtained, we derive the existence of a weak solution for the McKean-Vlasov’s type SDE with jumps whose infinitesimal generator is a « hybrid version » of the operator $$Δ_p+Δ_p^s$$ .

29. 具有柱状奇点的平均曲率流 II: 稳定性与一般性

Mean curvature flows with cylindrical singularities II: stability and genericity

作者: Ao Sun, Jinxin Xue

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.19390v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.19390v1

摘要: In [SX25], we introduced the notion of nondegenerate cylindrical singularity using the ideas from dynamical systems. In this paper, we further study the properties of these singularities, showing that they are stable under small perturbations. Furthermore, we show that we can perturb some mean curvature flow with degenerate singularities to produce nondegenerate singularities.

重点关注论文（完整分析）#

1. 二维欧拉方程尺度不变旋转对称解的稠密轨道#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 具有欧拉长度的轴对称 Navier-Stokes 方程的正则性#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

3. 具有解析外力时三维 Navier-Stokes 方程渐近轴对称解的正则性#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

4. 带乘性噪声的随机二维各向异性磁流体力学系统#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

5. 无界域上一维平面可压缩磁流体力学方程的大时间行为#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

6. 三维轴对称非零旋度流动的接触间断#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

7. 理想磁流体力学的 Onsager 猜想#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

了解领域论文（摘要翻译）#

1. 随机守恒律强初始迹的存在性#

摘要翻译#

2. $L_x^pL_v^\ op$ 中 Vlasov–Poisson 流的非连续性#

摘要翻译#

3. 积分 varifold 上的 Alexandrov 定理及其在几何不等式中的应用#

摘要翻译#

4. 周期条带上热-波流体结构相互作用系统的弱解存在性与高阶正则性#

摘要翻译#

5. 时空分数阶随机Burgers型方程#

摘要翻译#

6. 修正 KdV-Burgers 方程中退化激波与稀疏波复合波的大时间行为#

摘要翻译#

7. 具有主导加权吸收的多孔介质方程：三类自相似解#

摘要翻译#

8. 度量测度空间上变增长双相 Neumann 问题#

摘要翻译#

9. 利用格林函数方法研究二维微极流体方程在库埃特流附近的稳定性#

摘要翻译#

10. 多维分数阶物质导数#

摘要翻译#

11. 高维波动方程的发散集#

摘要翻译#

12. 局部矩阵 Muckenhoupt 权与达到全局已知最佳指数的定量加权不等式#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. Kasner 时空的线性不稳定性#

2. 奇异正则化 $p(x)$-拉普拉斯狄利克雷问题的正归一化解#

3. 非局部非线性 Robin 能量的渐近性#

4. 带奇点的静变分场 II#

5. 细胞极化自由边界问题的局部化性质#

6. Fano 丛上 Kähler–Ricci 流的有限时间奇性 II#

7. 递减径向势主方程的径向对称性与严格径向递减性#

8. 有界各向异性一阶变分的 varifold 的正则性#

9. $k$-Hessian方程凸整体解的刚性#

10. 二次正则化最优传输的几何与收敛性 I#

11. 由非标准拉普拉斯算子驱动的拟线性包含系统在 $igl\mathbb{R}^N$ 中的三个解#

12. 无界域中麦克斯韦方程组的本质谱几何#

13. 弹性动力学中的逆边界问题#

14. Banach 空间中 eikonal 方程的 sharp regularity 结果#

15. 高阶对数薛定谔方程非负束缚态的存在性#

16. 分数阶 $p$-热函数的 Hölder 梯度估计#

17. 群对称下的加权对偶 Minkowski 问题#

18. 稳态积分变分场的任意有限阶可整流性#

重点关注论文（完整分析）

1. 二维欧拉方程尺度不变旋转对称解的稠密轨道

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

2. 具有欧拉长度的轴对称 Navier-Stokes 方程的正则性

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

3. 具有解析外力时三维 Navier-Stokes 方程渐近轴对称解的正则性

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

4. 带乘性噪声的随机二维各向异性磁流体力学系统

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

5. 无界域上一维平面可压缩磁流体力学方程的大时间行为

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

6. 三维轴对称非零旋度流动的接触间断

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

7. 理想磁流体力学的 Onsager 猜想

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

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了解领域论文（摘要翻译）

1. 随机守恒律强初始迹的存在性

摘要翻译

2. $L_x^pL_v^\ op$ 中 Vlasov–Poisson 流的非连续性

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3. 积分 varifold 上的 Alexandrov 定理及其在几何不等式中的应用

摘要翻译

4. 周期条带上热-波流体结构相互作用系统的弱解存在性与高阶正则性

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5. 时空分数阶随机Burgers型方程

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6. 修正 KdV-Burgers 方程中退化激波与稀疏波复合波的大时间行为

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7. 具有主导加权吸收的多孔介质方程：三类自相似解

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8. 度量测度空间上变增长双相 Neumann 问题

摘要翻译

9. 利用格林函数方法研究二维微极流体方程在库埃特流附近的稳定性

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10. 多维分数阶物质导数

摘要翻译

11. 高维波动方程的发散集

摘要翻译

12. 局部矩阵 Muckenhoupt 权与达到全局已知最佳指数的定量加权不等式

摘要翻译

不相关论文（基本信息）

1. Kasner 时空的线性不稳定性

2. 奇异正则化 $$p(x)$$ -拉普拉斯狄利克雷问题的正归一化解

3. 非局部非线性 Robin 能量的渐近性

4. 带奇点的静变分场 II

5. 细胞极化自由边界问题的局部化性质

6. Fano 丛上 Kähler–Ricci 流的有限时间奇性 II

7. 递减径向势主方程的径向对称性与严格径向递减性

8. 有界各向异性一阶变分的 varifold 的正则性

9. $$k$$ -Hessian方程凸整体解的刚性

10. 二次正则化最优传输的几何与收敛性 I

11. 由非标准拉普拉斯算子驱动的拟线性包含系统在 $igl\mathbb{R}^N$ 中的三个解

12. 无界域中麦克斯韦方程组的本质谱几何

13. 弹性动力学中的逆边界问题

14. Banach 空间中 eikonal 方程的 sharp regularity 结果

15. 高阶对数薛定谔方程非负束缚态的存在性

16. 分数阶 $$p$$ -热函数的 Hölder 梯度估计

17. 群对称下的加权对偶 Minkowski 问题

18. 稳态积分变分场的任意有限阶可整流性