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1. Navier–Stokes方程的巴尔多斯–塔尔塔尔猜想

The Bardos-Tartar Conjecture for the Navier-Stokes Equations

作者: Douglas Barnes, Samuel Liew, Edriss Titi

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21530v1

摘要翻译: 我们考虑具有周期边界条件和与时间无关的外力的 $d=2,3$ 维不可压黏性 Navier–Stokes 方程。当 $d=2$ 时，巴尔多斯–塔尔塔尔猜想提出：在任意给定的正时间，解集是否关于强 $L^2$ 范数在 $L^2$ 的 Hilbert 子空间中稠密；该子空间由均值为零的无散向量场构成。我们证明了巴尔多斯–塔尔塔尔猜想，并且更一般地，证明了 Guo-Titi 所研究的超黏性 Navier–Stokes 方程的相应结论。此外，对于 $d=2,3$，我们证明，任意给定的初始条件要么（i）对黏性系数 $ν>0$ 的所有取值均可向后延拓，要么（ii）仅对属于 $\mathbb{R}_+$ 中某个 Lebesgue 零测子集的黏性系数可向后延拓。当（i）成立时，我们证明初始条件和外力必为实解析函数（事实上，对于某个 $σ>0$，它们都属于 $D(e^{σA})$，其中 $A$ 是 Stokes 算子）。此外，我们证明（i）在扰动下极不稳定。特别地，对于任意给定的初始条件，我们证明可以扰动两个 Fourier 模，使得（ii）成立。

Comment: 38 pages

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21530v1

1. 研究对象和背景

本文研究周期区域上的不可压缩黏性流体方程, 主要问题是给定时刻的速度场能否由某个过去时刻的初值演化而来, 以及这种向后可延拓性对黏性系数和数据扰动有何依赖. 设空间维数 $d=2,3$, 周期区域为 $\Omega=[0,2\pi]^d$, $H$ 为 $L^2(\Omega)^d$ 中零均值、散度为零向量场构成的 Hilbert 空间, $P$ 为 Leray 投影, $A=-\Delta$ 为 Stokes 算子, 并令 $B(u,v)=P[(u\cdot\nabla)v]$. 方程为

其中黏性系数 $\nu>0$, 外力 $f\in H$ 与时间无关. 对二维方程, 任意 $u(0)\in H$ 均有正向全局解; 三维情形则需区分强解的局部存在与可能的延拓问题. 由于黏性项造成抛物型平滑, 正时间解属于比初值更光滑的空间, 因而能在时刻 $T>0$ 到达的状态集合虽然可能稠密, 却不应期待在 $H$ 中含有开集.

二维的巴多斯–塔塔尔猜想具体询问: 对每个 $T>0$, 是否有

在强 $L^2$ 拓扑下稠密于 $H$? 等价地, 任意给定的 $H$ 中状态能否由一个向后存在至少 $T$ 时间的解在时刻 $0$ 到达. 这一问题反映了耗散方程正向平滑与反向演化病态之间的微妙并存: 解映射会抑制高频, 但这并不能直接决定其像是否稠密.

已有重要进展是 Foias 与 Saut 等关于二维 Navier–Stokes 方程的工作 [6]: 他们构造了具有受控远过去增长的全局可延拓数据, 并证明这些数据的并集在 $V'$ 弱拓扑下稠密, 其中 $V=H\cap H^1$; 但这不等同于所猜想的强 $L^2$ 稠密性. 相关研究 [7,8] 将关注点推进到强拓扑, 并提出利用一类具有特定远过去增长的丰富不变集来逼近任意状态. 另一方面, Guo–Titi [13] 研究了在色散模型中加入黏性项后的反向行为, 指出非线性能量向高频传递与黏性耗散之间存在敏感平衡. 本文首先将这一稠密性问题推广到二维超黏性方程

其中 $h:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ 为正的非减函数, $h(A)$ 按 Stokes 特征模态作谱定义, 标准 Navier–Stokes 方程对应 $h\equiv1$. 作者要补足的核心空白是: 既有工作仅得到 $V'$ 稠密性, 或只对特定模型和特殊可延拓解给出结论, 尚未解决通常 Navier–Stokes 方程在强 $L^2$ 意义下的猜想.

论文的第二条主线研究向后可延拓数据的刚性与不稳定性. 对 $d=2,3$, 固定初值和外力后, 黏性系数改变会怎样影响从 $u(0)=u_0$ 向负时间延拓的可能性? 定义

问题不仅关乎存在性, 也关乎可延拓数据在函数空间中的结构: 若可延拓性成立, 数据是否必然极光滑? 这种性质是否对任意小的有限 Fourier 模扰动稳定? 文中将时间解析性、黏性参数依赖以及非线性对频率支持的几何作用联系起来, 以区分普遍的向后不可延拓现象和少数具有强约束的例外. 需注意, 三维结果针对局部强解的向后延拓, 并不解决三维解的全局正则性问题.

2. 主要定理或主要结果

1. 定理 1 (二维超黏性方程及巴多斯–塔塔尔猜想). 对任意 $f\in H$, $\nu>0$ 以及任意正的非减函数 $h$, 定义全局向后可延拓数据集 $G_h$ 与丰富不变集 $M_{n,h}$, 其中 $M_{n,h}$ 包含远过去 Dirichlet 商受第 $n$ 个谱值控制的数据. 则

因此 $G_h$ 在 $H$ 中稠密. 取 $h\equiv1$ 即得二维 Navier–Stokes 的巴多斯–塔塔尔猜想: 对每个给定正时间, 可由向后可延拓解到达的状态在 $H$ 中稠密. 论文证明的更强形式是丰富不变集的并本身稠密, 而不只是全局可延拓数据集稠密.

2. 定理 2 (黏性参数的零一二分). 对 $d=2,3$ 及任意 $u_0,f\in H$, 集合 $E(u_0,f)$ 满足二择一:

其中后一式指 Lebesgue 测度为零. 若第一种情形成立, 则存在某个 $\sigma>0$ 使

因此, 对所有正黏性系数都可向后延拓的初值和外力必须具有 Stokes 算子意义下的指数解析正则性, 也即实解析型正则性. 定理只给出“全体正黏性”或“零测黏性集合”的分类, 并未声称第二种情形下 $E(u_0,f)$ 必为空集. 作者指出例外参数不能简单排除: 若 $u_0\in D(A)$, 取 $f=\nu Au_0+B(u_0,u_0)$, 则 $u_0$ 是稳态, 对该 $\nu$ 可全局延拓.

3. 定理 3 (非退化有限模扰动导致零测可延拓参数). 假设 $u_0,f\in D(e^{\sigma A})$ 对某个 $\sigma>0$ 成立, 且 $P\in V$ 是非退化三角多项式. 则对几乎所有 $\lambda\in\mathbb R$,

这里“非退化”排除了三类 Fourier 支持结构: 支持落在过原点直线上; 支持落在球面且为 Beltrami 场; 或支持落在平面并满足文中规定的法向/旋度型特殊关系. 这些结构与非线性项不能产生新频率的情形相对应. 定理分别允许扰动初值或外力, 结论是几乎处处的参数结论, 不是对每个非零 $\lambda$ 都成立.

4. 推论 4 (三维中的显式两模扰动与稠密性). 对 $d=3$, 取

则该非退化扰动只涉及两个 Fourier 模. 对任意 $u_0,f\in D(e^{\sigma A})$, 几乎所有 $\lambda\in\mathbb R$ 都使扰动后的相应可延拓黏性系数集合为零测集. 此外, 固定解析外力 $f$, Gevrey 型不可延拓初值

在 $H$ 中稠密; 对固定的解析初值, 具有相同零测性质的 Gevrey 型外力集合也在 $H$ 中稠密.

5. 定理 1 的定量逼近机制. 对二维谱 $0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots$, 作者沿适当子序列 $N=N_j$ 构造 $u_N\in M_N$ 满足 $P_Nu_N=v$, 其中 $v$ 为有限 Fourier 模的目标多项式, 并选取趋于零的正时间 $\tau_N$ 使

在文中条件下可取 $\tau_N=(C\log\lambda_N)/(\nu\lambda_N)$. 高模在这一短时间内衰减, 低模则因对非线性相互作用作精细控制而保持接近 $v$. 证明使用谱隙 $d_N=\lambda_{N+1}-\lambda_N\to\infty$ 的子序列及计数权重 $K(N)=O(\log\lambda_N)$, 并控制超额涡量

当 $h$ 满足 $\sqrt{\log x}=o(h(x))$ 时, 主要依靠高频耗散; 当该条件不成立时, 则利用 $u_N\in M_N$ 所带来的反向轨道约束来获得所需的高模控制. 摘录未提供各附录中所有技术假设和常数依赖, 因此上述定量表达不应理解为对全文所有中间估计的穷尽.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

稠密性证明的实质障碍是两种要求发生在不同频率区间: 必须让高频噪声在极短正时间内充分衰减, 同时又必须防止二次非线性将高频能量反馈至低频, 使低模偏离目标 $v$. 仅用一般 Sobolev 乘积估计会损失过多, 也无法充分利用二维 Fourier 谱的整数算术结构. 作者沿用 [6,8] 的思路, 先对每个有限模目标 $v$ 构造 $u_N\in M_N$ 且 $P_Nu_N=v$, 再让方程正向演化时间 $\tau_N\to0$. 这一步把全空间稠密性化为控制一族特定初值的短时频率转移问题.

关键量是高频超额涡量

它不仅度量高模能量, 还按其高出截断谱值 $\lambda_N$ 的距离加权. 由此有

故沿谱隙 $d_N\to\infty$ 的子序列, 控制 $X_N$ 可比直接控制高频 $L^2$ 能量更有效. 作者进一步把频率分布概率化: 对 $u\ne0$, 令随机变量 $\Lambda$ 取值 $\lambda_j$, 概率为 $|\Pi_j u|^2/|u|^2$, 则 $\mathbb E\Lambda=\Phi(u)=\|u\|^2/|u|^2$, 且

这种记账方式把能量与涡量方程写成关于 $\Lambda$ 的矩关系, 并给出 Dirichlet 商的协方差演化式

它使耗散对谱分布的作用可以直接用于高低模估计, 并在慢耗散情形中连接反向轨道的 Dirichlet 商约束与 $X_N$ 的上界.

非线性估计的创新在于不把 $B(u,u)$ 当作一般函数空间乘积处理, 而是逐个估计 Fourier 系数. 在二维无散度 Fourier 基下, 对称化非线性系数具有显式形式

作者按高频与阈值 $\lambda_N$ 的距离, 将 Fourier 模划分为 dyadic 壳层 $H_j$, 并定义壳层能量 $E_j^h$. 在每个壳层组合上, $\beta$ 有依赖壳层距离的精细上界; 将其提出卷积和后, 再用离散 Young 不等式与有限集合计数控制卷积. 壳层的加权计数汇总为

其中 $r_2(m)$ 计数平方和表示数. 这一设计给出高—高、高—低及低—低相互作用的分项估计, 例如

而不是只依靠通用正则性估计. 其关键收益是把非线性误差转化为可沿谱子序列控制的 $K(N)$ 与 $X_N$.

谱选择方面, 二维 Laplace 特征值是两个整数平方和, 谱隙并非每处都大. 作者证明可选取子序列, 同时满足 $d_N\to\infty$ 和 $K(N)=O(\log\lambda_N)$, 从而兼顾高频能量控制与壳层卷积计数. 结合对超黏性线性项的衰减估计, 作者证明短时积分型控制, 其尺度为

对于快速增长的 $h$, 取 $\tau_N$ 大于线性耗散时间 $1/(\lambda_Nh(\lambda_N))$ 而仍趋于零, 足以消除高模; 还需满足形如

的误差条件. 当 $\sqrt{\log x}=o(h(x))$ 时, 对 $X_N$ 的 $O(\lambda_N)$ 控制与 $K(N)=O(\log\lambda_N)$ 已足够. 对慢增长的 $h$, 这些粗估计不够; 作者利用 $u_N\in M_N$ 的远过去增长限制、Dirichlet 商屏障及低模在反向短区间的稳定性, 推导更强的 $X_N$ 控制. 这是证明覆盖任意正非减 $h$ 的关键分支, 而非单纯延长线性耗散估计.

定理 2 和 3 的工具转向时间解析性与 Fourier 频率生成. 若解可向后延拓, 其时间 Taylor 展开 $u(t)=\sum_{m\ge0}U_mt^m$ 满足分析增长界 $\|U_m\|\le C^{m+1}$. 递推方程产生的 $U_m$ 关于黏性系数 $\nu$ 是次数至多为 $m$ 的多项式. 作者证明, 若这类系数在一组正测度黏性参数上增长过快, 多项式系数估计会迫使其在所有 $\nu>0$ 上都呈现相应增长, 与可延拓解必须满足的解析增长界矛盾. 允许发生精细抵消的黏性参数只能落入零测集合, 从而得到定理 2 的二分. 解析正则性的结论则来自向后可延拓解必须满足时间解析系数增长约束所诱导的空间高频衰减.

定理 3 的困难是初值扰动后的非线性会产生新的 Fourier 模, 且不同递推项可能相消. [9,14] 的几何分类主要考察有限 Fourier 支持能否保持不变; 本文需要更强地证明新模沿一串极端频率持续级联. 作者选择使卷积中只出现一两个主要贡献项的极端频率 $L_n$, 分析 $U_n$ 在这些模上的递推, 排除关键项抵消, 并利用黏性递推对该频率的放大使系数超指数增长, 最终违背时间解析增长界. 哪些极端频率可选取取决于非退化多项式 $P$ 的几何 Fourier 支持, 因而证明需按支持结构处理不同情形. 摘录给出了此框架与所用引理的概述, 但未展示全部分类计算, 故不能据此补写各个情形的具体递推常数.

4. 与之前工作的比较

对二维巴多斯–塔塔尔猜想, 本文相较 [6] 的实质推进是从 $V'$ 弱拓扑稠密提升到 $H=L^2$ 强拓扑稠密. [6] 已构造远过去受控的全局可延拓解, 并证明相应集合在较弱拓扑下稠密; 但强拓扑逼近还必须压低高频 $L^2$ 尾部, 同时避免高频非线性反馈污染低频. 本文不是只证明 $G_h$ 稠密, 而是证明更具体的 $\bigcup_n M_{n,h}$ 稠密, 因而沿用并完成了 [6,8] 所提出的丰富不变集路线. 摘录称 [7,8] 曾研究强拓扑版本及相关非线性抛物系统, 但未完整给出这些工作的具体定理假设与失败之处, 对其更细的逐项比较从提供内容中无法确认.

相较 Guo–Titi [13], 本文处理的是二维超黏性 Navier–Stokes 型方程

对任意正非减 $h$ 和固定 $f\in H$ 证明强 $L^2$ 稠密性, 标准 Navier–Stokes 是 $h\equiv1$ 的特例. 摘录指出 [13] 在加入黏性项的 KdV 型色散模型中发现, 全局可延拓解可能被限制在全局吸引子中, 且正时间解状态集合未必在 $L^2$ 稠密; 他们还在 $h(s)=s,f=0$ 的模型情形展示超黏性方程存在全局可延拓数据. 本文说明 Euler 型非线性与这类 KdV 模型的表现不同: 加入黏性并不必然破坏解状态集合的稠密性. 该结论并非宣称所有抛物或色散方程都有此性质, 而是依赖二维 Navier–Stokes 非线性、其 Fourier 结构与谱选择机制.

方法上的差别也很明确. 先前 $V'$ 稠密性可沿用既有可延拓数据构造, 强 $L^2$ 结论则要求作者同时处理高模衰减和低模稳定. 本文把二维谱隙子序列与 $K(N)$ 的对数增长、超额涡量 $X_N$、非线性 Fourier 卷积估计结合起来. 对快速增长超黏性, 线性耗散为主要支撑; 对增长慢的情形, 则必须额外从远过去轨道约束推出更强的高模控制. 因此结果覆盖全部正非减 $h$, 但该证明明确建立在二维谱结构上; 摘录没有给出三维超黏性版本的相应稠密性定理, 不能将二维结论外推至 $d=3$.

对反向可延拓问题, 定理 2 提供了不同于一般存在性定理的参数结构结论: 固定 $u_0,f$, 可延拓黏性系数要么是全部 $\mathbb R_+$, 要么仅构成零测集. 该结论适用于 $d=2,3$, 但“零测”不等于“空集”, 也不说明某个指定的 $\nu$ 必然不可延拓. 作者特意给出精细调参例子 $f=\nu Au_0+B(u_0,u_0)$, 使 $u_0$ 成为稳态, 表明无法无条件排除特殊黏性参数. 若出现全黏性可延拓, 则 $u_0,f\in D(e^{\sigma A})$; 这是很强的必要正则性, 不是充分条件, 文中也未声称每个解析数据都能向后延拓.

定理 3 相对 [9,14] 的扩展在频率几何层面. [9,14] 研究有限 Fourier 支持在演化中保持不变的 Navier–Stokes 解, 识别出直线支持、球面 Beltrami 场及特定平面结构等退化情形; [14, Theorem 5.1] 还表明, 正时间区间上保持有限 Fourier 支持的解必须来自这类退化初值. 本文不要求非线性不能产生新频率, 而是利用新频率确实生成并沿极端频率链级联, 导致时间 Taylor 系数超指数增长. 因而它能处理一般非退化三角多项式扰动, 并由此得到几乎所有扰动参数均使 $E$ 为零测集. 代价是结论对参数为“几乎处处”而非逐点, 且定理 3 假设未扰动的 $u_0,f$ 已属于某个 $D(e^{\sigma A})$; 不能据此直接推断任意粗糙背景数据具有相同性质.

在扰动的具体性方面, 推论 4 给出两模向量场 $P=(\sin2x_2,0,\sin x_1)$, 并证明对几乎所有实数 $\lambda$, 扰动初值或扰动外力后出现零测可延拓参数集. 更进一步, 对固定解析外力或固定解析初值, Gevrey 型且具有零测可延拓参数集的数据在 $H$ 中稠密. 这说明解析甚至 Gevrey 光滑性本身不能保证向后可延拓; 与定理 2 中“若对所有黏性均可延拓则必须解析”形成必要条件与泛型不稳定性的对照. 但作者也明确指出, 是否存在非退化且对某个指定黏性真正不可延拓的显式三角多项式, 以及全黏性可延拓类是否除退化有限模场外还有其他元素, 尚不清楚. 对二维 $f=0$ 情形的显式非平凡全局可延拓初值构造, 摘录亦称并不明显. 这些限制应与已经证明的稠密性、零测性和解析必要性分别看待, 不能把结构性猜测当作定理.

2. 细颗粒区制下 Vlasov-Fokker-Planck/Navier-Stokes 系统的定量流体力学极限

A Quantitative Hydrodynamic Limit for the Vlasov-Fokker-Planck/Navier-Stokes System in the Fine Particle Regime

作者: Zhendong Fang, Jian Li, Kunlun Qi, Huanyao Wen

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21119v1

摘要翻译: 我们以定量收敛速率论证了细颗粒区制下 Vlasov-Fokker-Planck 方程与不可压 Navier–Stokes 方程耦合系统的流体力学极限。在此区制下，极限动力学由描述流体-颗粒混合物的非齐次不可压 Navier-Stokes 系统刻画。不同于现有的相对熵方法，本文进一步证明了流体力学极限的逐点收敛，并在任意给定时间区间 [0,T] 上给出显式收敛速率。证明基于围绕移动局部 Maxwellian 的宏观-微观分解，并结合适配细颗粒弛豫尺度的 $\varepsilon$ 加权能量-耗散结构。此外，我们消除了高阶能量方法中固有的经典小背景限制，从而允许极限剖面可能具有较大幅度。为此，我们利用宏观速度误差系统中隐藏的 Kelvin-Voigt 型阻尼波方程结构，从而获得闭合一致估计所需的临界额外耗散。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21119v1

1. 研究对象和背景

本文研究细颗粒物尺度下，颗粒动理学与不可压缩黏性流体耦合系统的流体力学极限。颗粒由相空间分布函数 $f^\varepsilon(t,x,v)\geq 0$ 描述，$x,v\in\mathbb{R}^3$；流体速度为 $u^\varepsilon(t,x)$，压力为 $P^\varepsilon(t,x)$。经过无量纲化后，论文考察的系统为

其中 $\varepsilon\ll1$ 表示颗粒速度弛豫相对于宏观演化很快；Vlasov-Fokker-Planck 方程中的阻力与速度扩散共同使颗粒速度趋向以局部流体速度为中心的 Maxwell 分布。颗粒对流体的反馈项与颗粒所受阻力相反，体现两相间动量交换。论文采用远场趋于平衡态 $(f^\varepsilon,u^\varepsilon)\to(M,0)$ 的设定，其中 $M(v)=(2\pi)^{-3/2}e^{-|v|^2/2}$。

这里的“细颗粒物尺度”指颗粒相对于流体的质量贡献不可忽略，极限中两相共同构成具有空间变密度惯性的混合物，而非仅由流体速度方程驱动的被动稀薄颗粒。形式上，快速松弛使 $f^\varepsilon$ 接近由 $u^\varepsilon$ 决定的移动局部 Maxwell 分布；颗粒密度则保留为宏观变量。极限系统是非齐次不可压缩 Navier-Stokes 系统。令混合物总惯性密度为 $\widetilde\rho_0=\rho_0+2$，则

因此，关键未知量不仅是速度 $u_0$，还包括随流体输运的密度扰动 $\rho_0$；其空间变化使极限动量方程具有变系数惯性。该模型可用于描述气溶胶、喷雾、沉降等场景中的颗粒-流体集体运动。数学上，证明极限有助于从含有快速速度弛豫的动理学方程导出闭合的混合物宏观模型，并提供误差随弛豫尺度变化的定量控制。

已有细颗粒物极限理论中，Goudon-Jabin-Vasseur 的相对熵方法能够在弱解框架下比较动理学系统与光滑极限解，并得到密度的 $L^\infty(0,T;L^1)$ 型收敛及速度的 $L^\infty(0,T;L^2)$ 型收敛。该框架的优势是适用于有限能量弱解和稳定性分析，但其结论主要处于积分拓扑。另一方面，Fang-Qi-Wen 对轻颗粒物尺度采用 Hilbert 展开获得带显式速率的点态收敛；轻颗粒物的主平衡态是固定的全局 Maxwell 分布，而本文细颗粒物尺度的平衡态中心依赖未知速度 $u^\varepsilon(t,x)$。因此，对局部 Maxwell 分布作高阶空间微分会产生与 $u^\varepsilon$ 导数耦合的项，不能直接照搬固定平衡态下的高阶估计。

本文意在补足的空白是：在细颗粒物尺度下，建立强解到强解的定量极限，并把收敛加强到摘要所称的逐点型控制，同时允许给定的极限解具有较大振幅，而不要求其高阶 Sobolev 范数小。论文强调结论适用于任意给定的有限时间区间 $[0,T]$，前提是极限系统解在该区间具有所需正则性。需要注意，所提供的 PDF 摘录只到第 10 页，未包含主定理陈述及其假设列表，因此精确初值正则性、密度下界条件、收敛速率指数和常数依赖均无法从现有文本确认。

2. 主要定理或主要结果

论文摘要明确声称，在细颗粒物尺度下，对缩放后的 Vlasov-Fokker-Planck/不可压缩 Navier-Stokes 系统与非齐次不可压缩 Navier-Stokes 极限系统，建立了带显式收敛速率的定量流体力学极限。论证框架是强解到强解的比较：动理学解以移动局部 Maxwell 分布为中心作宏-微分解，宏观密度、速度与极限解的误差则单独估计。作者称收敛为 $L^\infty_{x,v}\times L^\infty_x$ 意义下的逐点型收敛，并对任意给定时间区间 $[0,T]$ 成立；极限剖面无需满足小背景条件，只需在该区间有足够高的正则性。摘要还指出，证明给出明确速率，但所提供摘录没有给出速率的具体幂次或误差不等式，故不能可靠地写成 $O(\varepsilon^\gamma)$ 中的某个特定 $\gamma$。

摘录中可确认的主要宏观误差变量为

其中 $a$ 是相对于 $M_{u^\varepsilon}$ 的颗粒密度宏观系数，$u^\varepsilon$ 为流体速度，$(\rho_0,u_0)$ 为极限系统变量。动理学分布写作

且 $Pg^\varepsilon=a\sqrt{M_{u^\varepsilon}}+b\cdot(v-u^\varepsilon)\sqrt{M_{u^\varepsilon}}$。这里 $b$ 是动量宏观系数；$I-P$ 部分是微观偏离。极限中预期 $a$ 跟随 $\rho_0$、$u^\varepsilon$ 跟随 $u_0$，而 $b$ 与微观偏离受快速弛豫控制。相应的宏观误差方程含有 $\partial_t b$，其速度方程主部具有

这说明误差控制并非单纯将微观变量视为一个小余项，而需要利用动量宏观变量与速度误差之间的耦合来恢复高阶耗散。

摘录还明确展示了作者拟建立的高阶 $\varepsilon$ 加权能量结构，其中包括类似

以及速度时间导数的耗散。不同量前的 $\varepsilon$ 权重与颗粒弛豫尺度相匹配；摘录指出，在最高阶估计中，相关无权范数允许较大，因而该框架不以极限背景的高阶范数小为前提。对宏观误差，作者识别出隐含的 Kelvin-Voigt 型强阻尼波结构，其新增控制包括

这些量为闭合高阶速度误差估计提供摘要和引言中所称的临界额外耗散。

论文目录表明主定理为定理 2.1，证明包含宏观误差估计、微观估计及定理收尾；但主定理正文不在所提供摘录中。因此，定理 2.1 的完整假设、初始误差需满足的定量条件、精确函数空间、误差估计的右端形式、收敛指数以及常数对 $T$ 和极限解范数的依赖，均从提供内容中无法确认。也无法据此进一步断言对 $f^\varepsilon$ 本身与何种具体极限分布之间的 $L^\infty_{x,v}$ 距离具有哪一条精确不等式。可确定的是作者报告了任意固定有限时间区间上的显式速率和逐点型收敛，以及无需小背景限制这一结论特征；精细定量表述须以完整定理为准。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

证明的首要障碍来自平衡态随未知流体速度移动。作者取

并以局部投影 $P=P_0+P_1$ 分离密度、动量宏观分量与微观分量。线性化 Fokker-Planck 算子为

其耗散控制微观部分及动量宏观量，摘录给出的结构为 $c\|(I-P)g\|_\nu^2+\|b\|_{L^2_x}^2\lesssim (g,Lg)$。但 $M_u$、$P$ 和 $L$ 都依赖 $u(t,x)$；对输运项及奇异松弛项作高阶空间微分时，会产生带 $\varepsilon^{-1}$ 的交换子，并耦合 $\nabla_xu$、$\partial_tu$、宏观矩与微观部分。这正是与固定全局 Maxwell 平衡态分析的实质差异。作者通过保留移动 Maxwell 分布结构并对误差量进行宏微观分拆，避免把这些项不加区分地当作小扰动。

第二个障碍是不能假设背景小后，某些最高阶二次型不再自动正定。宏观误差系统中速度方程含有 $\partial_t b$。若直接对方程作高阶能量估计并处理这一项，会出现由 $\partial_t\partial_x^\alpha b$、$\partial_x^\alpha\psi$ 和 $\partial_x^\alpha\partial_t\psi$ 构成的二次型；引言指出，当密度变量不小，该型未必一致强制，且问题在 $|\alpha|=3$ 的最高阶尤其关键。

作者处理这一困难的核心观察是，流体误差方程把 $b$ 表成 $\varepsilon$ 乘以含 $\partial_t\psi-\Delta_x\psi$ 的组合。对该关系作时间微分，再代入含 $\partial_t b$ 的宏观速度方程，可在主部得到

其中 $-\varepsilon\Delta_x\partial_t\psi$ 是 Kelvin-Voigt 型强阻尼项。对该结构作适配的时间导数能量估计，产生 $\varepsilon\|\partial_t\psi\|_{L^\infty_tH^2_x}^2$ 能量和 $\varepsilon\|\nabla_x\partial_t\psi\|_{L^2_tH^2_x}^2$ 耗散；后者在空间微分阶数上补足直接估计缺失的最高阶控制。创新点不是仅仅指出方程具有波动形式，而是由宏观动量关系消去 $b$，从原系统耦合中提取恰好能弥补不定二次型的奇异强阻尼耗散。

第三个技术点是构造与弛豫尺度匹配的 $\varepsilon$ 加权高阶能量。作者对 $h=g+\sqrt{M_u}$ 及流体导数采用不同权重，例如摘录给出的最高阶量包含 $\varepsilon^2\|\nabla_x h\|_{H^3_xL^2_v}^2$ 和 $\varepsilon^3\|\nabla_x^2u\|_{H^3_x}^2$。这些权重允许相应无权高阶范数较大，同时利用 Fokker-Planck 耗散、流体黏性和宏观-微观耦合吸收移动平衡态微分产生的奇异项。摘录还显示作者在原始能量中遇到包含密度系数 $\rho=a+1$ 的交叉项；当 $\rho$ 可能不接近 $1$ 时，该交叉二次型不保证正定。其处理方式是借助动量方程消去 $b$，把速度能量改写为带密度权重的形式，如 $\|\sqrt{\rho}\,\partial_x^\alpha\nabla_xu\|_2^2$ 与 $\|\sqrt{\rho}\,\partial_x^\alpha\partial_tu\|_2^2$，再利用 $\rho$ 的正下界获得正定控制。正下界的精确假设数值在摘录中未见。

整体证明按局部适定性、宏观误差估计、微观高阶估计和极限收尾组织。宏观误差采用 $\varphi=a-\rho_0$、$\psi=u-u_0$，把可能较大的极限剖面作为变系数保留，只要求真正的误差量受控；微观部分则依靠线性化算子的耗散，并与宏观矩方程联立估计。现有摘录未提供各交换子估计和引理的完整陈述，故无法逐项复原其微观加权范数、最高微分阶数或所有小参数吸收条件。可以确认的技术主线是移动平衡态宏微观分解、按 $\varepsilon$ 尺度设计的能量-耗散结构，以及利用 Kelvin-Voigt 型附加耗散解除无小背景时的高阶退化。

4. 与之前工作的比较

与 Goudon-Jabin-Vasseur 的细颗粒物极限工作相比，本文延续同一类 Vlasov-Fokker-Planck/不可压缩 Navier-Stokes 模型及相同类型的非齐次不可压缩 Navier-Stokes 混合物极限。关键差别在于解的框架、收敛拓扑和定量性：既有相对熵理论比较有限能量弱解与光滑极限解，得到密度 $L^\infty_tL^1_x$ 型、速度 $L^\infty_tL^2_x$ 型强收敛；本文则转向具有较高正则性的强解到强解比较，摘要声称获得 $L^\infty_{x,v}\times L^\infty_x$ 的逐点型收敛和显式速率。后一结论提供更强的局部振幅控制，可能适合追踪更精细的误差或边界效应，但代价是需要高阶正则性及相应的强解理论，不应理解为替代了相对熵框架对弱解的适用性。由于主定理未包含在摘录中，具体强解假设及定量初始误差条件无法确认。

与轻颗粒物尺度的结果相比，二者的极限机制和证明工具有本质区别。Goudon-Jabin-Vasseur 对轻颗粒物尺度采用自由能和紧性等方法，极限由不可压缩 Navier-Stokes 与 Kramers-Smoluchowski 型颗粒密度方程耦合；该尺度的主平衡速度剖面是固定的中心 Maxwell 分布。Fang-Qi-Wen 在轻颗粒物情形中进一步使用 Hilbert 展开得到显式速率和点态收敛。本文的细颗粒物极限则使颗粒密度进入混合物惯性，极限为非齐次不可压缩 Navier-Stokes 方程，局部平衡 $M_{u^\varepsilon}$ 的中心本身依赖流体未知量。因而，本文不能简单照搬固定 Maxwellian 上的高阶 Hilbert 展开估计，而须处理对移动平衡态微分导致的奇异交换子及宏微观反馈。推进之处是把轻颗粒物情形中已出现的定量强收敛目标，带到结构不同、分析耦合更强的细颗粒物尺度。

与相对熵型扩展工作相比，论文提到 Su-Yao 在不同函数空间、通常有界或周期区域中研究非齐次不可压缩 Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck 极限；Choi-Jung 则发展了轻颗粒物 VFP-INS 极限的定量相对熵理论。本文定位为细颗粒物尺度的高正则定量理论，而非弱解相对熵论证的直接改写。相对熵自然适用于弱-强稳定性，并能在初始相对熵定量化时控制调制能量；本文借助高阶宏微观能量获得更强的空间点态型结论，但其条件更偏向光滑解与高阶可微性。摘录未给出本文对有界域、周期域或边界条件的结果，不能据此声称其已扩展到这些几何情形。

作者特别强调移除经典高阶能量方法中的“小背景”限制。具体而言，允许极限剖面 $(\rho_0,u_0)$ 在所考察有限时间区间内较大，只要求有足够正则性；这是相对于依赖小扰动闭合高阶估计的常见策略的一项推进。其代价不是毫无条件：需要极限解在 $[0,T]$ 上保持高正则性，宏观密度系数还需正性以构造密度加权正定能量；高阶误差估计利用精细的 $\varepsilon$ 权重以及 Kelvin-Voigt 型额外耗散。精确的正性常数、初值兼容条件和最终速率指数，从提供内容中无法确认。

时间尺度方面，摘要明确称结果在任意给定的 $[0,T]$ 上成立，而非仅在趋于零的短时间层上成立；这应理解为对任一固定有限 $T$，在极限解具有所需正则性的前提下建立一致估计，并不意味着常数对 $T$ 一致或可直接推出全局时间结果。文中指出常数可依赖 $T$ 的记号，但定理的完整依赖关系不在摘录中。适用范围上，本文针对三维全空间、细颗粒物缩放下的强解定量极限；对弱解、边界问题、全局大数据解或其他耦合系统的直接结论均不能从现有内容确认。作者提及方法可能有助于处理边界效应及压缩 Navier-Stokes 耦合问题，但这些属于动机或后续方向，不是本文已证明的定理。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 共振情形下周期 Majda-Biello 系统的整体适定性

Global well-posedness of the periodic Majda-Biello systems in the resonant case

作者: Ke Wang, Xin Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22260v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22260v1

摘要翻译

中文标题: 共振情形下周期 Majda-Biello 系统的整体适定性

摘要翻译: 我们研究共振情形下以下 Majda-Biello 系统在周期区域 $\mathbb{T}$ 上的柯西问题 $α\in (0,4]\setminus\{1\}$。

这里，初始数据 $u_0$ 和 $v_0$ 属于 Sobolev 空间 $H^{s}(\mathbb{T})$，且 $u_0$ 在 $\mathbb{T}$ 上具有零均值。我们证明，当 $s\geq \min\{1, s_α+\}$ 时，上述系统具有最优的整体适定性，其中 $s_α$ 是仅依赖于 $α$ 的常数，并且 $s_α= \frac12$ 对几乎处处的 $α\in (0,4]\setminus\{1\}$ 成立。这些指标与 Oh 在局部理论中得到的尖锐指标一致（Int. Math. Res. Not., 18:3516-3556, 2009）。我们证明中的主要新意，是在 I-method 中引入第三个修正能量：通过在共振区域附近对第二个修正能量作部分修正，避免完全修正所产生的奇异性，从而能够对第三个修正能量的时间导数中出现的五线性乘子作点态控制。我们证明中的另一特点是，将丢番图逼近理论与周期格点上近共振频率对的稀疏性相结合，获得关键的四线性和五线性估计，进而导出足以进行整体迭代的几乎守恒律。

2. 黏性流体与纯弹性梁相互作用问题的无接触整体强解

Global strong solutions without contact for a viscous fluid interacting with a purely elastic beam

作者: Yadong Liu

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22090v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22090v1

摘要翻译

中文标题: 黏性流体与纯弹性梁相互作用问题的无接触整体强解

摘要翻译: 我们考虑一个二维不可压缩黏性流体，其被限制在固定平壁与一根纯弹性周期梁之间的周期通道内。对于满足相容性条件的初始流体速度 $H^1$、梁高度 $H^3$ 以及梁速度 $H^1$，在初始高度严格为正的条件下，我们建立了强解的整体存在性与唯一性。特别地，梁与底壁不会发生接触；这一结论建立在一致距离界之上，而该界是通过对经典距离测试进行依赖于高度的退化椭圆正则化，利用机械能与流体耗散推导得到的。结合切向微分、高度的分数阶估计以及加速度的负阶切向估计，我们建立了整体正则性估计。此外，我们还证明了二次时间加权估计，从而定量刻画正时间处的较高正则性。因此，本文对 Grandmont 和 Hillairet 提出的问题给出了肯定回答（Arch. Ration. Mech. Anal. 220(3): 1283–1333, 2016）：仅凭流体耗散是否足以推导出距离估计。

3. 合作型有限程 DNLS 方程的锥不变性与同宿驻波

Cone Invariance and Homoclinic Standing Waves for Cooperative Finite-Range DNLS Equations

作者: Vassilios M. Rothos

类别: math.AP, nlin.PS

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22166v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22166v1

摘要翻译

中文标题: 合作型有限程 DNLS 方程的锥不变性与同宿驻波

摘要翻译: 我们为具有合作型有限程相互作用的一维离散非线性薛定谔方程中的正同宿驻波，建立了一个约束功率变分框架。从周期格点出发，我们构造约束能量极大值子，并利用相应的投影梯度流，证明非负、偶且单峰剖面所成之锥的正不变性。一个核心结果是，相互作用系数的单调排序 $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_M\ge0$，且满足 $a_1>0$，为有限程耦合下保持该锥不变提供了结构条件。在高于线性谱边缘的严格最大值条件下，我们得到一致的频率间隙和与周期无关的指数局域化。这些估计提供了无限周期极限所需的紧性，并表明正、偶、单峰且指数局域化的同宿驻波可作为周期约束极大值子的强 $\ell^2(\mathbb Z)$-极限得到。对若干相互作用范围和合作核的数值计算，展示了扩展耦合对色散和局域化的影响，并支持分析所预言的从周期情形到同宿情形的收敛。

4. 非线性薛定谔方程中具有多项式衰减作用量的满维不变环面的非持久性

Nonpersistence of full-dimensional tori with polynomial decay in nonlinear Schrödinger equations

作者: Zhicheng Tong, Yong Li

类别: math.DS, math-ph, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22072v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22072v1

摘要翻译

中文标题: 非线性薛定谔方程中具有多项式衰减作用量的满维不变环面的非持久性

摘要翻译: 我们证明了周期五次非线性薛定谔方程

中具有多项式衰减作用量的满维不变环面的局部非持久性。对于每个 $κ\geq1$，我们构造一个固定的有界实值 Fourier 乘子 $T_ve^{ijx}=v_je^{ijx}$，其频率 $λ_j=j^2+v_j$ 满足 Bourgain 型丢番图条件

，其中某个 $γ_κ>0$ 以及每个非零有限支撑整数序列 $\ell$ 均满足该条件，其中 $\langle j\rangle=\max\{1,|j|\}$。对于这个乘子，对每个 $3<M<4κ+\frac12$、每个 $A>0$ 以及所有充分小的 $μA^2>0$，以 $I_j=A\langle j\rangle^{-M}$ 为中心、半径为 $3/10$ 的闭相对作用量管中，在 $H^1(\mathbb T)$ 中不存在承载完备流的满维不变环面，且允许任意频率。这一结果推进了多项式衰减问题的研究；Kuksin 将该问题指出为一维 Hamilton 偏微分方程 KAM 理论中的一个主要公开问题 [Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 212 (2004), 237–258, Problem 7.1]。Bourgain 曾针对短程 Hamilton 系统讨论过一个相关问题 [Russian Math. Surveys 59 (2004), 231–246, Section 3]。证明结合了同步丢番图估计与加权同调方程估计、精确的公共相位变换，以及对四个相邻 Fourier 坐标进行的一步正规形变换。均匀相位旋转迫使作用量发生偏移，而相互重叠的参数区间覆盖所有充分小的正扰动。这一机制显示出其在其他 Hamilton 偏微分方程中的应用潜力。

5. 环形势阱下吸引型玻色–爱因斯坦凝聚的边界几何与集中点

Boundary geometry and concentration points for attractive Bose-Einstein condensates with a ring-shaped potential

作者: Shubin Yu, Chun-Lei Tang, Ziheng Zhang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21994v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21994v1

摘要翻译

中文标题: 环形势阱下吸引型玻色–爱因斯坦凝聚的边界几何与集中点

摘要翻译: 本文研究有界区域 $Ω\subset \mathbb R^2$ 中、受环形陷获势

作用的吸引型玻色–爱因斯坦凝聚的基态。$Ω$ 的边界几何可能使 $V(x)$ 的全局极小值环 $Γ=\{x\in\mathbb R^2:|x|=1\}$ 同时与 $Ω$ 的内部和边界相交。当相互作用强度趋近临界值时，我们证明，若 $Γ\cap Ω\not=\emptyset$，则基态的质量集中于一点 $x_0\inΓ\cap Ω$，该点到 $\partialΩ$ 的距离最大。我们的方法依赖于有界区域与全空间最小能量之差的指数型上、下界。关键的下界来自全空间问题基态流形附近的统一二次增长估计；这一估计通过结合 Gagliardo–Nirenberg 不等式优化子的非退化性与 Lyapunov–Schmidt 约化建立。

6. 闭合波导中时谐 Maxwell 方程的 Calderón 算子

The Calderón operator for time-harmonic Maxwell’s equations in closed waveguides

作者: Martin Halla

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21855v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21855v1

摘要翻译

中文标题: 闭合波导中时谐 Maxwell 方程的 Calderón 算子

摘要翻译: 我们研究纵向不变、但介电常数和磁导率非均匀的封闭圆柱形波导中的时谐 Maxwell 方程。我们考虑最低限度的光滑性假设，即材料参数属于 $L^\infty$，且横截面为 Lipschitz 区域，其拓扑可能非平凡。首先，我们证明相应的 Calderón 算子在自然迹空间 $\mathbf{H}_0^{-1/2}(\operatorname{curl}_Γ;Γ) \to \mathbf{H}_0^{-1/2}(\operatorname{div}_Γ;Γ)$ 中良定义且有界。其次，我们考虑利用 Calderón 算子得到的内部 Maxwell 问题，并分析其适定性。此外，我们还给出关于波导波数的位置及其群速度的一些补充结果。

7. 图上的反波问题

Inverse Wave Problems on Graphs

作者: Amir Moradifam, Oliver P. Waite

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21821v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21821v1

摘要翻译

中文标题: 图上的反波问题

摘要翻译: 我们研究有限图上的反波问题，利用指定顶点集上的时变测量数据进行求解。在已知图几何的情况下，当另一项已知时，我们分别考虑恢复初始信号或顶点波速。初始信号的恢复由相应有限维系统的可观测性刻画；在零强迫条件和一个自然的非谐波性假设下，单次实验即可确定顶点波速。我们为这两个恢复问题建立了稳定性估计，提出了一种非线性最小二乘重构方法，并将结果推广到正权图。数值模拟展示了重构效果，并考察了观测几何、时间跨度、系数局部化以及测量噪声对其性能的影响。我们的结果既受到连续反波问题数值方法的启发（其中空间离散化自然导出基于图的系统），也受到相关应用的推动；在这些应用中，底层动力学本质上是离散的，并在网络上演化。

8. 具有多项式增长的后向随机多孔介质方程

Backward stochastic porous media equation with polynomial growth

作者: Ioana Ciotir, Dan Goreac, Juan Li, Yufan Peng, Eduard Rotenstein

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21757v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21757v1

摘要翻译

中文标题: 具有多项式增长的后向随机多孔介质方程

摘要翻译: 我们研究一类后向随机多孔介质方程的适定性，其中非线性项是一个对应于慢扩散区间的多项式算子。主要困难源于该非线性算子的结构：它导致算子失去极大单调性，并使得标准的弱—强收敛技术无法用于识别极限。此外，由于拉普拉斯算子使得难以将各算子分离并分别讨论，我们尝试通过考察该算子的整体性质来获得极限。

9. 实线上半线性薛定谔方程适定性的一个尖锐判据

A sharp criterion for well-posedness of semilinear Schrödinger equations on the real line

作者: Toshiki Kondo, Mamoru Okamoto

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21734v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21734v1

摘要翻译

中文标题: 实线上半线性薛定谔方程适定性的一个尖锐判据

摘要翻译: 我们考虑实线上半线性薛定谔方程的柯西问题。我们建立了关于非线性的一个尖锐充要条件，该条件刻画正则性高于五分之二的 Sobolev 空间中的局部适定性。此判据以 Mizohata 条件的形式表述，并且等价于关于非线性的显式代数条件。为证明充分性，我们将能量估计与一种适配于 Mizohata 条件所产生的有界原函数的规范变换相结合。为证明必要性，我们证明，若该条件不成立，则存在一稠密的初值集合，使得对其中的初值，在任意正时间区间上都不存在解。

10. 用于证明双非线性热方程全局哈纳克不等式的多点最大值原理

A multi-point maximum principle to prove the global Harnack inequality for the doubly nonlinear heat equation

作者: Ben Andrews, Daniel Hauer, Jessica Slegers

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21732v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21732v1

摘要翻译

中文标题: 用于证明双非线性热方程全局哈纳克不等式的多点最大值原理

摘要翻译: 本文旨在为 $\mathbb{R}^d$ 上双非线性热方程的正黏性解所满足的全局逐点哈纳克不等式给出一种新的证明。我们的方法基于作者近期一篇文章 [Calc. Var., 2026] 中提出的多点最大值原理论证。证明需要一种针对半连续函数的最大值原理新变体；该原理是黏性解分析中的标准工具。特别地，我们的技术为多孔介质方程以及 $p$-热方程的正解所满足的哈纳克不等式提供了新的证明。这些不等式由 Auchmuty 和 Bao [Proc. Amer. Math. Soc., 1994] 利用 Aronson 和 Bénilan [C. R. Acad. Sci. Paris, 1979] 以及 Esteban 和 Vázquez [Arch. Rational Mech. Anal., 1988] 的结果推导得到。本文所述结果也曾在第三位作者的博士论文中讨论。

11. 非线性耦合薛定谔方程组中系数的恢复

Recovery of coefficients in a Schrödinger system with nonlinear coupling

作者: Pranav Arrepu, Hanming Zhou

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21715v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21715v1

摘要翻译

中文标题: 非线性耦合薛定谔方程组中系数的恢复

摘要翻译: 我们研究一个具有耦合非线性项的薛定谔方程组中时变系数的反问题。首先，我们讨论小边界数据和零初始数据下该方程组的适定性。随后，我们证明，只要在任意给定时刻这些系数在边界的某个邻域内已知，线性化的诺伊曼数据就能稳定地确定非线性系数。证明依赖于线性化以及线性薛定谔方程的复几何光学（CGO）解。最后，我们概述一种直接使用 Carleman 估计的方法，用于在边界数据为零而初始数据非零的情形下恢复与时间无关的系数。

12. 三线性限制估计的转移理论及其在三维二次非线性薛定谔方程中的应用

Transference theory for the trilinear restriction estimate and an application to the quadratic NLS in 3D

作者: Ioan Bejenaru, Vitor Borges, Tiklung Chan

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22237v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22237v1

摘要翻译

中文标题: 三线性限制估计的转移理论及其在三维二次非线性薛定谔方程中的应用

摘要翻译: 本文建立了一套理论，能够将薛定谔方程的三线性限制估计有效地转移到属于更一般的、适配于薛定谔方程的分辨空间的函数。作为应用，我们为三维空间中的二次非线性薛定谔方程在临界 Sobolev 空间 $\dot{H}^{-\frac{1}{2}}$ 中建立了整体理论。

13. 变指数 Leray-Lions 问题的混合高阶方法先验误差估计

A priori error estimates for a Hybrid High-Order method on variable-exponent Leray-Lions problems

作者: André Harnist, Romain Mottier

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21611v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21611v1

摘要翻译

中文标题: 变指数 Leray-Lions 问题的混合高阶方法先验误差估计

摘要翻译: 我们为配套收敛性研究中引入的变指数 Leray–Lions 问题的混合高阶（HHO）离散推导先验误差估计。HHO 方法属于混合非协调方法这一类，其基于任意次数的单元和面多项式未知量。在精确解及其通量具有额外分片正则性的条件下，我们建立了一个保留各个单元尺寸的局部化误差估计，以及一个全局误差估计；后者的收敛阶区分纯次二次、次二次–超二次混合以及纯超二次情形。在次二次范围内，我们还推导出一种依赖于不同区域的细化结果，将局部逼近尺度与局部非退化尺度进行比较，并在网格能够分辨该尺度时恢复最优多项式阶。分析依赖于多项式投影算子的变指数逼近性质、离散多项式空间的平均指数工具以及加权单调性估计。该框架还涵盖正则化的、轻度非对称的各向异性 Carreau–Yasuda 型通量。在笛卡尔网格和 Voronoi 网格上的数值实验支持所预测的收敛阶，并表明通量的正则性假设不可省略。

14. 最小正则性下具有收敛性的变指数 Leray-Lions 问题混合高阶方法

A Hybrid High-Order method for variable-exponent Leray-Lions problems with convergence under minimal regularity

作者: André Harnist, Romain Mottier

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21598v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21598v1

摘要翻译

中文标题: 最小正则性下具有收敛性的变指数 Leray-Lions 问题混合高阶方法

摘要翻译: 我们考虑具有变增长 Leray–Lions 通量的散度型非线性椭圆方程的齐次 Dirichlet 问题。该类方程包括变指数 $p(\cdot)$-Laplacian 和正则化的 Carreau–Yasuda 型本构律。我们在一般多面体网格上提出并分析一种混合高阶（HHO）离散方法；这是一种基于任意次数单元与面多项式未知量的混合非协调方法。我们构建了一套适用于变指数的多项式与离散泛函工具，其核心是平均指数范数等价性，并包含针对 HHO 未知量的逆估计、迹估计、Poincaré–Wirtinger 不等式、Sobolev–Poincaré 不等式、离散 Lebesgue 嵌入、插值以及紧性估计。随后，我们证明非线性离散问题适定，并在不对精确解作超出其自然能量空间的额外正则性假设下建立收敛性。离散势在每个一致次临界变指数 Lebesgue 空间中强收敛，重构梯度在自然变指数空间中强收敛，且稳定化能量趋于零。在二维、三维和四维空间中的数值实验验证了该方法对于奇异解以及指数场从接近 $1$ 到 $6$ 的情形均具有收敛性。关于同一方法的定量先验误差估计将在一篇配套论文中推导。

15. 关于具有 $(A,B)$-连接的交通流模型的微观—宏观推导及其稳定性

On micro-macro derivation of traffic flow models with $(A,B)$-connection and its stability

作者: F. Ancona, P. Cardaliaguet, A. Cesaroni

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21519v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21519v1

摘要翻译

中文标题: 关于具有 $(A,B)$-连接的交通流模型的微观—宏观推导及其稳定性

摘要翻译: 我们证明，对于具有通量间断的守恒律，$(A,B)$-连接可以作为受扰动的跟驰（Follow-the-Leader，FtL）模型的极限得到，并证明将动力学扰动与通量限制器相联系的映射具有连续性和满射性。

16. 具有分数阶应力扩散的三维无黏 Oldroyd-B 模型的全局适定性

Global Well-Posedness for the 3-D Inviscid Oldroyd-B Model with Fractional Stress Diffusion

作者: Yi Lu, Chen Liang, Zhaoyang Yin

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21473v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21473v1

摘要翻译

中文标题: 具有分数阶应力扩散的三维无黏 Oldroyd-B 模型的全局适定性

摘要翻译: 我们研究具有分数阶应力扩散 $(-Δ)^βτ$ 且无应力阻尼的三维不可压无黏 Oldroyd-B 模型。对于 $β\in (\frac{1}{2},1)$ 和 $s\in [2β+\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$，在 $\|(u_0,τ_0)\|_{H^β}$ 有界且 $\|Λ^β(u_0,τ_0)\|_{H^{s-β}}$ 足够小的条件下，我们建立初值 $(u_0,τ_0)$ 属于 $H^s(\mathbb R^3)$ 时的局部适定性。此外，若 $β\in(\frac{1}{2},\frac{5}{6}]$，我们给出一个全局适定性结果。我们的结果补充了 Constantin、Wu、Zhao 和 Zhu 的工作 \cite{ConstantinWuZhaoZhu2021}，处理了低于该文所考虑阈值 $s>\frac52$ 的 Sobolev 正则性 $s\in[2β+\frac12,\frac{5}{2}]$。我们还在 Wu 和 Zhao \cite{WuZhao2022} 的框架下，为高频 $\ell^1$ 可和性条件提供了一种 $\ell^2$ 替代条件。

17. 关于 Motsch-Tadmor 模型的时间一致混沌传播

On the uniform-in-time propagation of chaos for the Motsch-Tadmor model

作者: Tamari Kldiashvili, Stefano Rossi, Lara Trussardi

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21828v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21828v1

摘要翻译

中文标题: 关于 Motsch-Tadmor 模型的时间一致混沌传播

摘要翻译: 我们研究 Motsch-Tadmor 模型，这是对 Cucker-Smale 群集动力学模型的一种修正，其中纳入了非对称通信权重。在相互作用一致为正的情形下，我们研究极限动理学方程的有效性问题，并证明了在由一致速度所确定的移动坐标系中时间一致的混沌传播结果。该结果通过研究通信权重的可逆性，并对渐近一致状态作隐式刻画而得到。

18. 因果 Sobolev 空间与梯度流

Causal Sobolev spaces and gradient flows

作者: Mathias Braun, Nicola Gigli, Robert McCann, Simone Vincini

类别: math.AP, math.DG, math.FA, math.MG

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21775v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21775v1

摘要翻译

中文标题: 因果 Sobolev 空间与梯度流

摘要翻译: 我们针对度量时空上的 Sobolev 函数与 Cheeger 能量，发展了一种基于松弛的方法，类比于正定号差情形中所采用的构造。对于指数 $p<0$，我们基于因果函数上的局部陡峭常数引入预 $p$-Cheeger 能量，并将 $p$-Cheeger 能量定义为其在 $L^0$ 中的松弛；由此按构造得到一个凸且下半连续的泛函，以及与之相关的最大松弛次斜率。我们建立了所得 Sobolev 类的自然微积分法则。随后，我们将 $p$-热流定义为 $p$-Cheeger 能量在 $L^2$ 中的梯度流，并定义其生成元 $p$-d’Alembert 算子。结合 Kuwada 型引理与沿流的熵增长估计，我们证明，我们对 Sobolev 类和松弛次斜率的定义，与 Beran 等人引入的 Sobolev 类和弱次斜率相一致。

19. 爱因斯坦–欧拉系统中俘获面的形成

Formation of Trapped Surfaces for the Einstein-Euler System

作者: Xinliang An, Sifan Yu

类别: math.AP, gr-qc, math-ph, math.DG

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21124v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21124v1

摘要翻译

中文标题: 爱因斯坦–欧拉系统中俘获面的形成

摘要翻译: 我们证明了在 3+1 维中不具球对称性的 Einstein–Euler 系统的俘获面形成。我们考虑处于短脉冲机制且具有快速流体注入的光滑特征初始数据。从不含俘获面的初始数据出发，我们得到俘获面形成的两个充分判据，分别对应剪切贡献和流体贡献。特别地，对于由流体驱动的判据，我们不对剪切通量施加正下界。为处理引力波、声波和流体输运所对应的多种传播速度，我们的分析结合了三项要素：其零方向通量反映不同速度分量的强制性流体能量流、适配物质项的曲率重整化，以及控制所有时空方向导数的加权几何估计。为确保仅凭流体注入即可导致俘获面形成，我们在专门构造的时空区域中利用粒子数守恒来控制聚焦过程，并获得所需的球面积分通量。

20. 各向异性声学介质中形式确定点源散射的刚性

Rigidity for formally determined point source scattering for an anisotropic acoustic medium

作者: Pradipta Chatterjee, Rakesh, Abhilash Tushir

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21258v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21258v1

摘要翻译

中文标题: 各向异性声学介质中形式确定点源散射的刚性

摘要翻译: 考虑一个占据三维空间的声学介质，其各向异性声速由黎曼度量建模，且该度量在紧集 $D$ 之外是欧几里得度量。通过位于 $D$ 之外的有限个（数量依赖于维数）点源产生的声波对该介质进行探测，并在有限时间内测量介质在 $D$ 边界上的响应。我们证明，如果这些测量结果与欧几里得度量对应的测量结果一致，那么该度量在一个微分同胚意义下是欧几里得度量。这一结果类似于 \cite{ORS26a} 中的结果；该文使用的是平面波而非点源。使用点源而非平面波会带来新的困难，本文对此进行了处理。

21. 三维 Hartree 方程修正散射的物理空间方法：全空间与 Robin 半空间

A Physical-Space Approach to Modified Scattering for the 3D Hartree Equation: Full-Space and Robin Half-Space

作者: Benoît Pausader, Mengyi Xie

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.21002v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21002v1

摘要翻译

中文标题: 三维 Hartree 方程修正散射的物理空间方法：全空间与 Robin 半空间

摘要翻译: 我们证明了三维 Hartree 方程在 $H^{0,k}$ 中小初值下的全局适定性与修正散射，其中，在 $\mathbb R^3$ 上取 $k>\frac12$，并在带有实 Robin 边界条件的半空间 $\mathbb R^3_+$ 上取 $k=1$。对于这些初值，非线性分析与渐近分析完全在物理空间中进行，并结合了伽利略向量场的缓慢增长估计与一个尺度不变的相互作用估计。对于半空间问题，我们构造了一个将 Robin 流与自由流交织起来的延拓，以及一个适配边界的向量场，从而克服法向伽利略对称性的缺失。

22. 开放波导网络的辐射条件与唯一性定理

Radiation Conditions and Uniqueness Theorems for Open Wave-guide Networks

作者: Charles L. Epstein, Rafe Mazzeo, Solomon Quinn, Andras Vasy

类别: math.AP, math-ph, math.SP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20891v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20891v1

摘要翻译

中文标题: 开放波导网络的辐射条件与唯一性定理

摘要翻译: 我们陈述辐射条件，并证明适用于多种波导网络模型的唯一性定理，包括声学波导网络，以及由时谐麦克斯韦方程描述的电磁波导网络。为分析麦克斯韦波导网络，我们需要建立 [29, 32] 中 Mourre 估计的推广。

23. 具有退化曲率的 $\mathbb{R}^n$ 中的 $(n-1)$-线性限制估计

The $(n-1)$-linear restriction estimate in $\mathbb{R}^n$ with degenerate curvature

作者: Ioan Bejenaru, Tiklung Chan

类别: math.CA, math.AP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20909v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20909v1

摘要翻译

中文标题: 具有退化曲率的 $\mathbb{R}^n$ 中的 $(n-1)$-线性限制估计

摘要翻译: 我们重新考察第一作者在 \cite{Be-6} 中证明的 $\mathbb{R}^n$ 中的 $(n-1)$-线性限制估计，并在曲率假设中包含小参数的情形下改进该结果。标准的 $L^p$ 估计被一种更复杂的 $\ell^p L^\frac{2}{n-2}$ 型范数/拟范数所取代，它反映了波包传播的几何特征以及退化曲率假设。本工作的主要动机源于一项具体应用：研究 $\mathbb{R}^{3+1}$ 中的二次非线性薛定谔方程；这项研究将在姊妹论文 \cite{BeBoCh} 中完成。

24. $p$-平面环域上的 Laplace–Serrin 问题

$p$-Laplace Serrin problem on planar annuli

作者: Virginia Agostiniani, Chiara Bernardini

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20861v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20861v1

摘要翻译

中文标题: $p$-平面环域上的 Laplace–Serrin 问题

摘要翻译: 我们证明了定义在 $\mathbb{R}^2$ 中环形区域上的 $Δ_p u=-2$ 问题的一个刚性结果，其中施加齐次 Dirichlet 边界条件，并且 $p\in(1,2)$。该问题具有自然的物理解释，它描述了表现出剪切变稀行为的广义牛顿流体的稳态层流。我们的对称性结果是在如下假设下得到的：最大值点集（记为 $Σ$）是一条光滑闭曲线，且其外不存在其他临界点；此外，还要求解在 $Σ$ 附近具有适当的渐近展开。尽管我们的方法受到 [arXiv:2505.04458] 中比较策略的启发，但该文所用的主要工具本质上是线性的，在 $p$-Laplacian 情形下没有直接对应物。因此，我们需要引入新的思想和技术。

25. $L^\infty$-正则性阈值：广义 Gross-Pitaevskii 方程中的色散爆破与非线性稳定性

$L^\infty$-regularity thresholds for a generalized Gross-Pitaevskii equation: dispersive blow-up vs. nonlinear stability

作者: Joannis Alexopoulos

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20888v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20888v1

摘要翻译

中文标题: $L^\infty$-正则性阈值：广义 Gross-Pitaevskii 方程中的色散爆破与非线性稳定性

摘要翻译: 我们研究一类广义 Gross-Pitaevskii 方程，该方程源自对激子-极化激元玻色-爱因斯坦凝聚态的平均场描述。宏观波函数 $r_0e^{iω_0 t +ik_0x}$ 附近的动力学由一种稳定化弛豫机制所支配，但该机制并未抑制色散爆破。我们证明，这种竞争导致 $L^\infty$-正则性阈值。更具体地，我们构造了这样的解：来自 $C^4_b$ 的任意小扰动都可能在 $C^3_b$ 中发生有限时爆破；而来自 $C^{4+η}_b$ 的扰动对每个 $η>0$ 均满足全局时间的 $C^3_b$-稳定性估计。稳定性分析是在调制空间 $M_{\infty,1}^k$ 中进行的。

26. 相互作用扩散中的方差反馈噪声：形状动力学与平均场极限

Variance-Feedback Noise in Interacting Diffusions: Shape Dynamics and Mean-Field Limits

作者: Ben Hambly, Vinh Nguyen

类别: math.PR, math.AP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20771v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20771v1

摘要翻译

中文标题: 相互作用扩散中的方差反馈噪声：形状动力学与平均场极限

摘要翻译: 我们研究一类 $N$ 吸引性相互作用扩散系统，其中方差反馈至噪声。具体而言，共同布朗驱动和特有布朗驱动的振幅为 $κ(S_t^N)^q$，其中 $S_t^N$ 是系统的经验方差，$κ>0$ 和 $q\geq 0$。对于相互作用核 $K(z)=|z|^p z$，当 $p\geq 0$ 时，经验方差反馈使系统在 $q=(p+2)/4$ 处具有临界齐次性。在这一指数下，内禀时间变换将方差与归一化的中心化构型分离：后者在单位球面上自治演化；当其并非仅由共同噪声驱动且球面维数为正时，它是一个可逆椭圆扩散，并具有显式的不变 Gibbs 测度。在此情形下，对于 $p>0$，平稳平均耗散给出精确的有限粒子三分分类：一致、在任意小与任意大的方差尺度之间反复往返，以及有限时爆炸。在临界齐次性下，我们还导出一个自治的单位方差平均场方程及其受约束自由能耗散恒等式。在次临界、临界和超临界区域内，我们建立适定性与边界分类，并证明在极限解唯一且非爆炸的时间区间上的条件混沌传播。我们将尖锐的有限粒子强制性常数与一个平均场变分问题联系起来。有限尺度的 Itô 修正扩大了普适的强制性一致区域。我们完全求解了线性模型（其中 $p=0$），包括不变律、爆炸概率、不交换极限以及一个 $N^{-1/2}$ 转变窗口。

不相关论文（基本信息）

1. 具有临界 Sobolev 系数的椭圆系统的一致估计

Uniform estimates for elliptic systems with critical Sobolev coefficients

作者: Tian Lan

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22366v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22366v1

摘要: The $W^{1,p}$ estimate for uniformly elliptic operators of divergence form with VMO coefficients is classical. In particular, this provides $W^{1,p}$ estimates for elliptic operators with coefficients in $W^{1,n}$. However, this theory does not yield constants in the estimates controlled by the $W^{1,n}$ norm of the coefficients, since the total $W^{1,n}$ norm does not control the rate of decay for the mean oscillation. In this work, we establish uniform estimates for divergence-form elliptic systems whose coefficients lie in the critical Sobolev–Lorentz spaces $W^{1,(n,s)}$ with $1\le s<\infty$, have an $L^\infty$-bounded spatially symmetric part, and satisfy an integral ellipticity condition. The constant in the estimate is controlled by the corresponding norms of coefficients and the ellipticity constant.

2. 巴拿赫空间上的可积度量类

Classes of integrable metrics on Banach spaces

作者: A. Konyaev, P. Topalov

类别: math.DS, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22235v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22235v1

摘要: We introduce a large new class of (weak) metrics on the Hardy space that have infinite families of conservation laws in involution. The construction of the metrics and the integrals involve the Hankel operator and a field of Nijehuis operators. The commutativity of the integrals is based on the notion of the coupling transform, which allows us to recursively construct new classes of metrics and integrals. We characterize the spectrum of the Nijenhuis operators. The paper establishes a connection between a rich class of completely integrable geodesic flows appearing in the finite dimensional Riemannian geometry and a new class of integrable systems in Banach spaces.

3. 边界分层变化下退化交叉扩散的定量正则化消失极限

Quantitative vanishing-regularization limits for degenerate cross-diffusion with changing boundary strata

作者: E. Yu. Shchetinin, A. A. Shevchuk, S. I. Salpagarov

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22079v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22079v1

摘要: We study a vanishing-regularization limit for a degenerate cross-diffusion system on the simplex when the active boundary stratum of a smooth reference solution may change in space and time. The mobility $M(u)=\operatorname{diag}u-u\otimes u$ loses rank when a component vanishes, so a fixed relative entropy or an unweighted two-point gradient estimate cannot remain uniformly coercive across moving faces. We introduce a geometric-relative framework that separates the single emerging normal direction from the active tangential subsystem. Its ingredients are a global resolvent geodesic distance, a boundary-oriented rank-one perspective correction, an intrinsic Schur-normal De Giorgi alternative, a mean-free tangential iteration with temporal-flux control, and a terminal coupled Schur compactness argument. These mechanisms yield a non-circular first-exit theorem for smooth approximations and then pass to admissibly approximable entropy weak solutions. If the strong solution stays a fixed distance from the codimension-two skeleton and its vanishing components satisfy $|\nabla v_i|\lesssim v_i^α$ and $|\{0<v_i<r\}|\lesssim r^σ$, then the augmented relative energy is bounded by $ρ_λ=λ^{2α+σ}$ if $2α+σ<2$, $ρ_λ=λ^2|\logλ|$ if $2α+σ=2$, and $ρ_λ=λ^2$ if $2α+σ>2$. For a hypersurface contact $v_i\asymp d^p$, $p\ge2$, this gives $ρ_λ=O(λ^{2-1/p})$ and $\|u^λ-v\|_{L^\infty(0,T;L^2)}=O(λ^{1-1/(2p)})$.

4. 含测度值源项的热方程有限体积方法收敛性

Finite Volume Convergence for a Heat Equation with a Measure-Valued Source

作者: Matthias Gobbert, Martin Kružík, Andreas Meister, Michael Muscedere

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22063v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22063v1

摘要: Past work with Tom Seidman analyzed the spatial convergence order of the numerical finite element method applied to time-dependent diffusion-reaction equations with a measure-valued source term. For smooth source terms, the numerical method has second-order accuracy, but the non-smooth source terms introduce a limitation of the order that depends on the spatial dimension. This work in honor of Tom extends the analysis to the finite volume method in its clas- sical two-point flux form and shows that the regularity of the source term reduces the convergence order to 1 in two and 0.5 in three spatial dimensions which is reduced from the nominal second-order and depends on the space dimension. Computational tests with a point source modeled by a Dirac delta distribution exhibit the behavior predicted by the analytical results.

5. 含梯度项的奇异 1-拉普拉斯方程解的存在性与分类

Existence and classification of solutions for singular 1-Laplacian equations with gradient terms

作者: Antonio J. Martínez Aparicio, Francescantonio Oliva, Francesco Petitta

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22027v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22027v1

摘要: We study the existence and qualitative properties of non-negative solutions to singular 1-Laplacian problems of the form \begin{equation*} \begin{cases} -Δ_1 u = g(u)|D u| + h(u)f & \text{in } Ω,\newline u=0 & \text{on } \partialΩ, \end{cases} \end{equation*} where $Ω\subset \mathbb{R}^N$ is a bounded domain with Lipschitz boundary, $0<f\in L^{N,\infty}(Ω)$, and $g,h$ are continuous positive functions that may blow up at the origin. We establish the existence of a positive bounded solution even when $g$ is non-integrable at zero and $h(0)=+\infty$, breaking the non-existence phenomenon appearing in the associated $p$-Laplacian problems. Furthermore, we prove that solutions possess a non-zero boundary trace on a set of positive measure of $\partialΩ$ whenever $g(s)$ grows sufficiently fast near $s=0$; by contrast, when this growth condition fails, solutions vanishing on the boundary may appear. Finally, when $h(0)<+\infty$, we provide a sharp threshold classification of trivial and non-trivial solutions depending on the size of $f$.

6. 平面 Monge–Ampère 方程的尖锐 Hessian 可积性

Sharp Hessian integrability for the planar Monge–Ampère equation

作者: XiaoRui Lu, Jin Yan, Bao Yu, Yang Zhou

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21956v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21956v1

摘要: We determine the optimal local integrability of the Hessian for planar convex Alexandrov solutions satisfying

The distributional Hessian satisfies the sharp endpoint estimate

This settles the weak estimate proposed by De Philippis and Figalli and identifies the larger optimal exponent $P$. We further construct strictly convex $C^1$ solutions for which the distribution function of the Laplacian is comparable to $T^{-P}$ for all sufficiently large $T$. Hence both the exponent and the weak Lorentz endpoint are optimal: $L^{P,\infty}$ cannot be replaced by $L^{P,b}$ for any finite $b>0$. As applications, we obtain sharp estimates in Minty coordinates and optimal quantitative bi-Lipschitz restrictions for gradient maps, including an optimal exceptional-mass bound in quadratic-cost transport.

7. 典范类附近常标量曲率 Kähler 度量的 Gromov–Hausdorff 收敛

Gromov-Hausdorff Convergence of Constant Scalar Curvature Kähler Metrics near the Canonical Class

作者: Frederick Tsz-Ho Fong, Junbang Liu

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21934v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21934v1

摘要: Let $X$ be a compact Kähler manifold with semi-ample canonical bundle. For any Kähler class $[ω]$, Jian–Shi–Song proved that there exists a unique cscK metric in the class $2πc_1(K_X)+\varepsilon[ω]$ when $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$, using the properness criterion of Chen–Cheng. We prove that the cscK metrics in $2πc_1(K_X)+\varepsilon[ω]$ converge, as $\varepsilon\downarrow0$, in the Gromov–Hausdorff topology to the metric completion of the twisted Kähler-Einstein metric on the canonical model of $X$ as conjectured by Jian–Shi–Song. Based on the technique developed in this paper, we can also give a new proof the theorem of Lee–Tosatti–Zhang on the Gromov-Hausdorff convergence of the normalized Kähler–Ricci flow on $X$.

8. 亚椭圆过程的势理论基础

Fundamentals of Potential theory for a hypoelliptic process

作者: Mouad Ramil

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21781v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21781v1

摘要: This article aims at solving open questions related to the well-posedness of Potential theory objects in a hypoelliptic setting. We provide here the expression of the equilibrium measure, capacity and electrostatic energy between smooth open sets $\A$ and $\B$ for the underdamped Langevin process. Additionally, the capacity is shown to be the solution of two variational principles which extend the well-known Dirichlet and Thomson principles in the hypoelliptic setting. Due to the degeneracy of the operator at hand, the results display significant differences with the standard elliptic setting.

9. 关于一个临界 Lane-Emden 型旋度-旋度系统

On a critical curl-curl system of Lane-Emden type

作者: Ioannis Arkoudis, Jarosław Mederski, Andrzej Szulkin

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21747v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21747v1

摘要: We study the system $\nabla\times\nabla\times u = |v|^{q-2}v$, $\nabla\times\nabla\times v = |u|^{p-2}u$ of Lane-Emden type in $\mathbb R^3$, with exponents $p,q>3$ on the critical hyperbola $1/p+1/q=1/3$. We prove the existence of a ground state solution by reducing the system to a quasilinear fourth-order curl-curl equation and minimizing the associated Sobolev-curl quotient. A concentration-compactness argument shows there are finitely many concentration points for a Palais-Smale sequence $(u_n)$. This yields a.e. convergence of $\nabla\times\nabla\times u_n$ to $\nabla\times\nabla\times u$ where $u$ is the weak limit of $(u_n)$. We also prove that the optimal Sobolev-curl constant is attained and is strictly larger than the usual second-order Sobolev constant. If $p=q$, we show $u$ and $v$ are necessarily equal for every solution. In an appendix we show that our concentration argument also applies to a scalar quasilinear fourth order equation.

10. 含陀螺力、速度扩散和镜面反射的 Vlasov–Poisson 系统的矩传播

Moment Propagation for the Vlasov–Poisson System with Gyroscopic Forces, Velocity Diffusion, and Specular Reflection

作者: Jingpeng Wu

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21745v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21745v1

摘要: This paper studies the three-dimensional Vlasov–Poisson system with gyroscopic forces and velocity diffusion. For the Cauchy problem in $\mathbb R^3$ and the specular–Dirichlet problem in bounded domains, we prove the propagation of velocity moments of order $k>2$ for weak solutions with bounded $L^1\cap L^{\infty}$ norms and kinetic energy. The proof applies Serre’s compensated integrability to weighted mass–momentum tensors to derive density estimates. A finite iteration alternating moment propagation with improved density integrability then closes the estimates. These estimates provide a simplified approach to moment propagation and yield global continuation of classical solutions.

11. 观测度量开集上的具有孤立奇点的极小子流形

Observing minimal submanifolds with isolated singularities on open sets of metrics

作者: Alessandro Carlotto, Yangyang Li, Zhihan Wang

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.22229v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.22229v1

摘要: We develop a perturbative theory for minimal submanifolds with only (strongly) isolated singularities, with respect to varying background Riemannian metrics. As an application, we obtain a general “sporadic persistence” criterion, thus naturally complementing the non-persistence theorem by the authors. In particular, such a criterion is satisfied by the spherical suspension in $\mathbb{S}^{3m+2}$ of the Veronese embedding of $\mathbb{K}\mathbb{P}^2$ for $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}$ (the normed division algebras) in the round spheres of dimension $3m+1=4,7,13,25$ respectively, thereby providing families of continuously varying $(2m+1)$-dimensional stationary varifolds with isolated singularities that are observable on an open set of metrics. By our previous results, these phenomena cannot possibly occur in the codimension one scenario.

12. 有限秩分数阶 Lieb–Thirring 不等式的优化子

Optimizers for the finite-rank fractional Lieb–Thirring inequality

作者: Lu Chen, Lianfeng Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21716v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21716v1

摘要: The finite-rank fractional Lieb–Thirring inequality provides an estimate on the Riesz sum of the first $N$ negative eigenvalues of the fractional Schrödinger operator $(-Δ)^s-V$ in terms of the $L^{γ+\frac{d}{2s}}(\mathbb R^d)$ norm of the potential $V$, where the Riesz exponent $γ>\max\left\{0,1-d/(2s)\right\}$. We prove the existence of optimizers for every finite rank by establishing a result on the spectrum in the case of dichotomy. We further characterize the spectral gap and qualitative properties of optimizers, including the Euler–Lagrange equation, regularity, and asymptotic behavior at infinity. In particular, under the condition $γ+{d}/{(2s)}\geq 3+{4s}/{d}$, we show that all normalized maximizing sequences are precompact modulo translations. Moreover, we derive a strict binding inequality for the optimal constants in the finite-rank setting, which implies that the optimal fractional Lieb–Thirring constant, if it exists, cannot be attained by a potential with finitely many negative eigenvalues.

13. Reifenberg 平坦域中分数阶 $p$-拉普拉斯算子的边界哈纳克不等式

Boundary Harnack inequalities for the fractional $p$-Laplacian in Reifenberg flat domains

作者: Kaj Nyström

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21689v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21689v1

摘要: We prove a scale-invariant boundary Harnack inequality and Hölder continuity up to the boundary of quotients of positive fractional $p$-harmonic functions in Reifenberg flat domains with sufficiently small flatness constant, for $0<s<1$ and $2\le p<2/(1-s)$. The solutions are globally nonnegative, vanish on a common exterior boundary patch, and belong to the natural local energy and $(p-1)$-tail class. Their distant exterior values may be unrelated and unbounded. After normalization at a corkscrew point, the comparison and Hölder constants depend only on $n,s,p$. We first establish local half-space boundary comparison for every $p\ge2$ and prove relative approximation by the half-space profile in Reifenberg domains. The compactness argument identifies escaped exterior mass and excludes its constant source term. Interior $C^{1,α}$ regularity then yields gradient non-degeneracy and lower increment bounds in a cone of directions. To treat the degenerate kernels produced by linearization, we develop estimates for weighted non-local forms and prove a localized Harnack inequality for bounded quotients, retaining the full exterior interactions. Ordered variational deformations and a common fractional $p$-harmonic majorant yield comparison for solutions with unrelated exterior data. Truncation of distant data and fractional $p$-harmonic replacement extend the estimates from the variational energy class to the natural tail class.

14. 带变号非线性项的半线性椭圆方程稳定解的内部正则性

Interior Regularity for Stable Solutions of Semilinear Elliptic Equations with Sign-Changing Nonlinearities

作者: Long-Han Huang, Yuxuan Zhou, Wenming Zou

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21641v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21641v1

摘要: We investigate interior regularity for stable solutions of the semilinear elliptic equation $-Δu=f(u)$ in an open set $Ω\subseteq \mathbb R^n$, where $f$ is locally Lipschitz and may change sign. We establish sharp interior Hölder estimates for stable classical solutions in every dimension $n\le 9$, thereby fully resolving a question raised by Cabré concerning interior regularity without the nonnegativity assumption on $f$. For $n\le 5$, we also give a short alternative proof of the corresponding Hölder regularity result due to Peng, Zhang, and Zhou. We further establish higher-integrability estimates for the gradient and $L^1$ bounds for the Hessian in all dimensions. For $n\ge 10$, we obtain BMO and Morrey estimates, extending related results previously established for nonnegative nonlinearities. When $f$ is convex, we extend the interior regularity estimates to stable weak solutions through an approximation theorem. As applications, we prove Liouville-type theorems for entire stable solutions of equations with sign-changing nonlinearities across all dimensions.

15. 粗糙权重下的泛型平均曲率流

Generic Mean Curvature Flow With Rough Weights

作者: Fabius Krämer, Tim Laux, Keisuke Takasao

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21545v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21545v1

摘要: We prove the generic existence of mean curvature flows in spaces with rough weights. Our weak solutions are both unit-density Brakke flows and distributional solutions. Such a generic statement is optimal in the sense that we consider weights that are too rough to have well-defined traces on every hypersurface.

16. 具有界面传输条件的薛定谔算子的谱理论

Spectral Theory for Schrodinger Operators with Interface Transmission Conditions

作者: Linlin Su, Yantao Wang, Zhannan Zhuang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21543v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21543v1

摘要: Interfaces influence transport across biological membranes, habitat boundaries, and composite media. Motivated by these applications, we study two classes of Schrodinger eigenvalue problems with transmission conditions allowing jumps in the solution or its normal derivative. We develop a weighted variational framework that accommodates asymmetric interface coupling and yields self-adjoint realizations in suitable weighted Hilbert spaces. For both problems and their adjoints, we establish discrete spectra, variational eigenvalue characterizations, and eigenfunction completeness in arbitrary spatial dimensions. We prove spectral continuity and identify limiting spectra in singular parameter regimes. We also extend Courant’s nodal domain theorem to eigenfunctions that may be discontinuous across the interface. The spectral results further extend to divergence-form elliptic operators under suitable assumptions on the coefficients. These results provide a foundation for analyzing elliptic and parabolic equations with interface transmission conditions.

17. 无限陈能带模型中的半经典能带分裂

Semiclassical Band Splitting in the Infinite Chern Band Model

作者: Tyler Guo

类别: math-ph, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21462v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21462v1

摘要: We study the two lowest Bloch bands of the infinite Chern band model in the semiclassical limit. When the Berry curvature parameter is an odd multiple of $π$, we derive an explicit asymptotic formula for their exponentially small splitting, uniformly over the Brillouin torus. The proof combines Agmon estimates and WKB approximations for a matrix Schrödinger operator whose lowest potential eigenvalue has two wells. Geometric properties of the Agmon distance allow us to compute the leading tunneling coefficients by the method of stationary phase. We provide numerical computations to illustrate the asymptotic formula and support the conjecture that the two bands remain separated for other values of the Berry curvature parameter.

18. 时域漫射光响应中荧光峰值时间的寿命统一二次与三次近似

Lifetime-unified quadratic and cubic approximations of fluorescence peak time for a time-domain diffuse-light response

作者: Junyong Eom

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21443v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21443v1

摘要: We study the temporal maximum of a boundary response generated by a coupled diffusion system in a half-space with Robin boundary conditions and a point fluorophore. The fluorescence lifetime enters through a one-sided exponential time convolution. Previous peak-time approximations were derived under separate short- and long-lifetime scalings. We construct a single reduced peak-time formula for every positive ratio of lifetime to the intrinsic width of the transport peak, thereby describing the transition between these regimes without switching formulas. Starting from a known large-distance approximation of the zero-lifetime response, we normalize at its unique maximum and approximate its logarithm quadratically. The resulting scalar mode equation has a unique solution, expressed through the inverse scaled complementary error function. Its endpoint expansions recover the leading structures of the earlier approximations in the corresponding joint large-distance regimes. A cubic correction accounts for the leading local asymmetry. Under a stated bound on the normalized cubic coefficient, we prove uniqueness of its positive mode and agreement with the exact reduced-profile peak expansion through second order in the lifetime. A conditional peak-location stability estimate is combined with a decomposition into transport-profile and local truncation errors. Numerical comparisons with the full diffusion response support the accuracy of the construction. The lifetime-unified formula is distinguished from the fixed-geometry, infinite-lifetime limit, in which the transport tail yields a different peak-time growth law.

19. 罗宾边界条件下精确时域漫射光响应的严格单峰性

Strict unimodality of the exact time-domain diffuse-light response under a Robin boundary condition

作者: Junyong Eom, Jinwan Park

类别: math.AP, math-ph

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21431v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21431v1

摘要: Time-domain boundary measurements of diffuse light are temporal point-spread functions whose peak position is used as a robust scalar datum in diffuse optical and fluorescence imaging. We consider the exact response generated by a single fluorescent point target in a homogeneous half-space with a Robin boundary condition. The response is a temporal convolution of two diffusion Green-function factors containing a complementary-error-function boundary correction. For every positive diffusion, absorption, depth, and source–target and detector–target distance parameter, and for every nonnegative Robin parameter, we prove that the normalized exact response is a generalized gamma convolution density. Its extension by zero to the negative half-line is bell-shaped. A differentiable small-time expansion, established by sectorial analyticity and Cauchy estimates, together with the sign-change structure of the first two derivatives, excludes tangential critical points and yields a unique peak with strict increase before it and strict decrease after it. The argument is exact and requires no large-distance, source–detector balance, symmetry, restricted-time, or small-parameter assumption. The same conclusion holds after convolution with an exponential fluorescence-lifetime density for every positive lifetime. The key ingredients are an explicit Stieltjes representation of the Robin factor, hyperbolic complete monotonicity, closure of the generalized gamma convolution class, and bell-shape theory. A derivation of the exact half-space model and the differentiated endpoint asymptotics are included in two appendices.

20. 非局部对流-反应-扩散方程中的图灵分岔、临界性与多稳态性

Turing bifurcation, criticality, and multistability in a nonlocal advection-reaction-diffusion equation

作者: Yui Nagayama, Masaharu Nagayama, Hiroshi Ishii

类别: math.AP, nlin.PS

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21398v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21398v1

摘要: This paper considers a nonlocal advection–reaction–diffusion equation with logistic growth. We investigate how the interaction kernel affects the criticality of Turing bifurcations and the associated multistability. We first prove that nonhomogeneous stationary solutions bifurcate from the positive homogeneous stationary solution. Center manifold reduction yields an amplitude equation near the bifurcation point. This equation provides criteria for supercritical and subcritical bifurcations in terms of the Fourier transform of the interaction kernel. We also derive a sufficient condition for subcriticality. This condition can be satisfied by sufficiently localized attractive interactions. Based on these analytical results, we investigate multistability through numerical bifurcation analysis. The numerical results show that the stable homogeneous stationary solution can coexist with stable nonhomogeneous stationary solutions or stable time-periodic solutions.

21. 有界变差函数在强 BD 范数下并不稠密

Functions of bounded variation are not dense in the Strong BD Norm

作者: Panu Lahti, Quoc-Hung Nguyen

类别: math.CA, math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21343v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21343v1

摘要: We prove that functions of bounded variation are not dense in the space of functions of bounded deformation with respect to the strong BD norm. Using alternating Riesz products and directional slicing, we construct on every nonempty open subset of $\R^n$ ($n\ge2$) a continuous, compactly supported BD function that is at positive distance from BV.

22. 不散射的高阶必要条件

Higher-order necessary conditions for nonscattering

作者: Narek Hovsepyan

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21338v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21338v1

摘要: We study the scattering of incident waves by a class of planar analytic inhomogeneities with constant refractive index, governed by the Helmholtz equation. We derive an infinite hierarchy of necessary conditions for nonscattering: any complex analytic nonscattering incident wave must satisfy infinitely many differential constraints at a specific point determined by the geometry of the inhomogeneity. As an application, we show that for any noncircular elliptical inhomogeneity, every single separated (Mathieu) mode necessarily scatters. This is in stark contrast to the circular case, where single separated (Bessel) modes are nonscattering at infinitely many wavenumbers.

23. KPP前沿穿越半透屏障时的时间延迟

Time Delay of KPP Fronts Across a Semipermeable Barrier

作者: Yantao Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21322v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21322v1

摘要: We study a KPP reaction–diffusion equation on the real line with a semipermeable barrier at the origin, where the flux is continuous and the density jump is proportional to the spatial derivative. With diffusion and linear growth normalized to one, let $β$ denote the barrier resistance. For initial data equal to one sufficiently far to the left and zero near the barrier and on the receiving side, we prove convergence on the receiving side to a minimal-speed wave with a unique phase in the Bramson frame. The difference between distant first-arrival times with and without the barrier therefore has a finite limit $τ_β$, independent of the arrival level and continuous in $β$. For concave KPP reactions, this delay is strictly increasing in $β$ and satisfies $τ_β=Kβ+o(β)$ as $β\downarrow0$, with $K>1/4$. Without the concavity assumption, the strong-barrier expansion is $τ_β=\frac12\logβ-\frac12\log\logβ+C+o(1)$, where $C$ is determined by the homogeneous reference amplitude and the closed donor-side Neumann evolution. The analysis relates the sustained interface input to the front phase through leading-edge estimates, interior matching, and parameter-uniform moment bounds.

24. Fisher–KPP传播穿越半透界面的方向性延迟与奇异强障碍极限

Directional delays and singular strong-barrier limits for Fisher–KPP propagation across a semipermeable interface

作者: Yantao Wang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21328v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21328v1

摘要: We study Fisher–KPP propagation from compactly supported data across a planar semipermeable interface in $N\ge2$ dimensions, with unit diffusion and $f'(0)=1$. For every finite resistance, the receiving front has speed $2$ and logarithmic correction $-(N+2)\log t/2$. Its phase is determined by a positive directional amplitude on the closed receiving hemisphere. This amplitude is jointly continuous in resistance and direction and is Hölder continuous in direction with exponent $1/3$. It also determines a threshold-independent signed arrival-time difference. Under concavity, the amplitude decreases strictly with resistance. As the resistance $β$ tends to infinity, the amplitude is asymptotic to $2(4π)^{-N/2}I_N(θ)(\logβ)/β$ uniformly on each fixed receiving cone bounded away from the equator. Here $I_N$ is a weighted input moment of the closed Neumann donor problem. Although this moment diverges logarithmically near the equator, the equatorial amplitude tends to half the amplitude of the even Neumann donor solution. The strong-resistance and equatorial limits therefore do not commute. The proof combines critical derivative moments, an integrated Robin trace estimate, Cartesian leading-edge limits, and matching through the wave displacement. The phase and asymptotic formulas require only the smooth KPP assumptions, without the additional restriction $f'\le f'(0)$. Concavity is used for strict resistance ordering and the strict bounds on the limiting equatorial delay.

25. 一类源自共形几何的和型 Hessian 商方程

A class of sum Hessian quotient equations arising in conformal geometry

作者: Ni Xiang, Yuni Xiang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21106v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21106v1

摘要: In this paper, we investigate the existence result of $(n-1)$-admissible solutions to a class of sum Hessian quotient equations with the modified Schouten tensor on Riemannian manifolds. By establishing uniform a priori estimates, we prove the solvability of the problem via degree theory.

26. 一般次临界扰动下临界协作与非协作椭圆系统的 Brezis-Nirenberg 型问题

The Brezis-Nirenberg-type problem for critical cooperative and non-cooperative elliptic systems with general subcritical perturbations

作者: Guanwei Chen

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21101v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21101v1

摘要: We study the Brezis–Nirenberg-type problem for a class of critical cooperative and non-cooperative elliptic systems with general subcritical perturbations. The system couples two equations through a matrix whose off-diagonal entries may be of either sign, a critical Sobolev-type nonlinearity, and a perturbation that may change sign.The main difficulties are threefold: the linear part is governed by a matrix, the critical nonlinearity couples the two components, and the perturbation is general and may change sign. We prove an abstract existence result under the energy threshold condition and verify this condition in two regimes. For $N\ge4$ the condition holds for every admissible triple, in both the unperturbed and the perturbed case; the proof uses a new $L^{q}$ estimate for the normalized Aubin–Talenti functions, which controls the negative part of the perturbation. For $N=3$ the eficit in the Sobolev quotient is only of order $\eps^{1/2}$, so a stronger linear threshold condition is required; we establish it explicitly for a ball and, for a general bounded smooth domain, in terms of an abstract constant from the classical Brezis–Nirenberg theory. We also establish the system Sobolev inequality with the same constant as in the scalar case. Since the unperturbed case is included, our results extend the classical theory to cooperative and non-cooperative critical systems with general lower-order perturbations.

27. 具有信号依赖型敏感性和logistic型源项的趋化模型，III：分岔与尖峰状解

Chemotaxis models with signal-dependent sensitivity and a logistic-type source, III: Bifurcation and spike-like solutions

作者: Le Chen, Ian Ruau, Wenxian Shen

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20976v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20976v1

摘要: This third paper in a series on a parabolic-elliptic chemotaxis model studies bifurcation of positive constant equilibria in one space dimension. We consider

where $Ω$ is a bounded interval, $α,γ,m,μ,ν>0$, $χ_0\in\mathbb R$, and $a,b,β\ge0$. Building on earlier results on global existence, boundedness, persistence, and stabilization, we take $χ_0$ as the bifurcation parameter and examine the effects of $β$ and the domain size on the bifurcation. Center manifold reduction yields a coefficient $β_{n_0}$ at a simple bifurcation mode $n_0$ of a positive constant equilibrium. The pitchfork bifurcation is supercritical if $β_{n_0}>0$ and subcritical if $β_{n_0}<0$. Stronger desensitization raises the sensitivity required for loss of linear stability. Bifurcation may be supercritical for small $β$ but is always subcritical for sufficiently large $β$. Thus, desensitization makes patterns harder to trigger and favors abrupt rather than continuous emergence. The bifurcation mode increases with domain size, allowing more complex spatial patterns. Under suitable conditions, we prove unbounded continuation of local bifurcation branches. We also show that large-sensitivity stationary sequences satisfying a peak-gap hypothesis develop spike-like profiles. Numerical continuation and time-evolution experiments illustrate the bifurcating branches and spike-like solutions and suggest unbounded continuation and increasingly sharp stationary profiles.

28. $λ$-平方切片 Wasserstein 距离的测地凸性

$λ$-geodesic convexity of the squared sliced-Wasserstein distance

作者: Giacomo Cozzi, Filippo Santambrogio

类别: math.OC, math.AP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20972v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20972v1

摘要: The squared Wasserstein distance with respect to a fixed target measure is not a convex function along Wasserstein geodesics over $\mathbb{R}^d$ when $d\geq 2$. Still, in dimension $d=1$, this function is $2$-geodesically convex. We prove that the square of the sliced-Wasserstein distance (which is a distance constructed averaging one-dimensional Wasserstein distances) is $λ$-geodesically convex (possibly with $λ\leq 0$) on sets of measures satisfying upper bounds on their density, when the target measure satisfies some given geometric conditions. We also present some consequences of this result in the study of the sliced-Wasserstein flow.

29. 扰动欧氏旋量 Yamabe 方程的固定旋量径向解

Fixed-spinor radial solutions of a perturbed Euclidean spinorial Yamabe equation

作者: Ting Li, Zhongwei Tang, Yuhang Zhang

类别: math.AP, math.DG

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21471v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21471v1

摘要: We study the perturbed Euclidean spinorial Yamabe equation [ D_{g_{\mathbb R^n}}ψ

\frac n2\bigl(1+\varepsilon K(x)\bigr) |ψ|^{2^*-2}ψ \qquad\text{on }\mathbb R^n,\quad n\ge2, ]where $2^*:=2n/(n-1)$, $\varepsilon>0$ is a small parameter and $K$ is a prescribed radial function. We establish a finite-dimensional reduction within a radial spinor space determined by a fixed unit spinor, reducing the problem to the analysis of a function of the dilation parameter. Under suitable assumptions on $K$, we obtain explicit existence criteria for solutions with this prescribed spinorial structure, together with a multiplicity criterion yielding solutions associated with distinct scales. These criteria are expressed in terms of the behavior of $K$ at the origin and weighted integral quantities.

30. 切多边形的定量 Robin 波利亚–塞格ő 定理

A quantitative Robin Pólya–Szegő theorem for tangential polygons

作者: Changfeng Gui, Yeyao Hu, Qinfeng Li, Hang Yang

类别: math.AP

发布日期: 2026-10-15

arXiv ID: 2610.21417v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.21417v1

摘要: We extend the quantitative Dirichlet theorem of Gui, Hu, and Li \cite{GuiHuLi2026} to Robin torsional rigidity. For every fixed $β>0$, we prove that the regular $N$-gon uniquely maximizes Robin torsional rigidity among tangential $N$-gons of prescribed area. Our explicit perimeter deficit bound contains the Dirichlet deficit obtained by Gui, Hu, and Li \cite{GuiHuLi2026} and an additional Robin term that is positive for nonregular tangential polygons. For triangles, we answer the fixed-area optimization problem recorded as open by Keady and Wiwatanapataphee \cite[Appendix A.1.2]{KeadyWiwatanapataphee2016}. We also establish strict monotonicity along equal-area regular polygons as the number of sides increases, with an explicit bound for each consecutive gap. The proof combines mixed Robin–Neumann triangular cells, spectral estimates for angular concavity, and a quantitative scaling estimate.

31. 里奇极限空间中单相自由边界问题奇异集的定量体积估计

Quantitative Volume Estimate on Singular Sets of One-phase Free Boundary Problems in Ricci Limit Spaces

作者: Alejandro Bellati, Kai-Hsiang Wang

类别: math.DG, math.AP

发布日期: 2026-10-14

arXiv ID: 2610.20986v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.20986v1

摘要: We study limit solutions of the one-phase free boundary problem on noncollapsed Ricci limit spaces. We introduce a quantitative stratification $\mathcal{S}^k_{\varepsilon,r}$ of the singular set of the free boundary that simultaneously captures the approximate splitting of the ambient space and the approximate homogeneity and translational invariance of the solution. We also introduce a new truncated parabolic Weiss quantity that provides quantitative homogeneity via pinching across scales. Although this quantity may not be uniformly bounded across all small scales, it effectively shows that, among the first $j$ scales in a fixed decreasing geometric progression, at most $C\sqrt{j}$ scales fail to exhibit quantitative homogeneity. Such slow growth in $j$ enables us to adapt the covering argument of Cheeger and Naber [arXiv:1103.1819] to show, for every $η>0$, a $Cr^{n-k-η}$ upper bound for the volume of the $r$-tubular neighborhood of the $k$-th quantitative singular stratum, $\mathcal{S}^k_{\varepsilon,r}$. The same tubular-neighborhood estimate holds for the effective stratum $\mathcal S_\varepsilon^k$, and in particular we get the Minkowski dimension bound $\dim_{\mathcal M} \mathcal S_\varepsilon^k \le k$, from which the previously known sharp bound $\dim_{\mathcal H} \mathrm{Sing} \le n-3$ in Chan, Zhang, and Zhu [arXiv:2112.06962] follows. As another corollary, we prove that the free boundary admits a Hölder manifold structure away from a set of Minkowski dimension at most $n-3$.