Non-Uniqueness of Smooth Solutions of the Navier-Stokes Equations from Critical Data

从临界数据出发的Navier-Stokes方程光滑解的非唯一性

作者: Matei P. Coiculescu, Stan Palasek

类别: math.AP

发布日期: 2025-03-18

arXiv ID: 2503.14699v2

链接: http://arxiv.org/abs/2503.14699v2

详细分析

中文标题: 从临界数据出发的Navier-Stokes方程光滑解的非唯一性

1. 研究对象和背景

本文研究的是三维不可压缩Navier-Stokes方程的Cauchy问题，其数学形式为：

$$ \begin{cases} \partial_t u - \Delta u + u \cdot \nabla u + \nabla p = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ u(0,x) = U_0(x), \end{cases} $$

其中 $ u(x,t) $ 为速度场，$ p(x,t) $ 为压强场，初始数据 $ U_0(x) $ 为无散场（即 $ \nabla \cdot U_0 = 0 $）。为简化分析，作者在不失一般性的情况下假设粘性系数 $ \nu = 1 $。研究区域为三维环面 $ \mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / (2\pi \mathbb{Z})^3 $，但作者指出该方法可推广至 $ \mathbb{R}^3 $（需满足空间无穷远处的衰减条件）。

关键的函数空间是临界空间 $ BMO^{-1} $，其定义为：

$$ \|u\|_{BMO^{-1}} := \sup_{R > 0} \sup_{x_0 \in \mathbb{R}^3} \left( \frac{1}{R^3} \int_0^{R^2} \int_{B(x_0,R)} |e^{t\Delta} u(x)|^2 \, dx \, dt \right)^{1/2} < \infty. $$

该空间是Navier-Stokes方程在缩放对称性下的自然临界空间：若 $ u(t,x) $ 是解，则缩放函数 $ u_\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t) $ 也满足方程，且 $ \|u_\lambda\|_{BMO^{-1}} = \|u\|_{BMO^{-1}} $。与之相比，$ L^3 $、$ \dot{H}^{1/2} $ 等空间虽也是临界空间，但 $ BMO^{-1} $ 是目前唯一已知能保证小数据全局适定性的最大合理空间。本文构造的初始数据 $ U_0 \in BMO^{-1} $ 虽光滑几乎处处（除测度为零的集合外），但其能量为无穷大（即 $ U_0 \notin L^2 $），因此解不属于Leray–Hopf类。

2. 主要定理或主要结果

本文的核心结果是定理1.2：

定理 1.2：存在一个无散初始数据 $ U_0 \in BMO^{-1}(\mathbb{T}^3) $，使得Navier-Stokes方程（1.1）存在两个不同的全局解：

$$ u^{(1)}, u^{(2)} \in C^\infty((0,\infty) \times \mathbb{T}^3) \cap L^\infty([0,\infty); BMO^{-1}(\mathbb{T}^3)) \cap C^0([0,\infty); \dot{W}^{-1,p}(\mathbb{T}^3)) \quad \text{对所有 } p < \infty. $$

这两个解在 $ t > 0 $ 时均为光滑的，且在 $ L^\infty([0,\infty); BMO^{-1}) $ 中保持有界，但它们在 $ t > 0 $ 时是函数意义上的不同解（即存在某个 $ t_0 > 0 $ 使得 $ u^{(1)}(t_0) \neq u^{(2)}(t_0) $）。此外，这些解属于Koch–Tataru所构造的自然路径空间 $ X_{KT} $，其范数定义为：

$$ \|u\|_{X_{KT}} := \sup_{t>0} t^{1/2} \|u(t)\|_{L^\infty(\mathbb{T}^3)} + \sup_{\substack{x_0 \in \mathbb{T}^3 \\ R>0}} \left( R^{-3} \int_0^{R^2} \int_{B(x_0,R)} |u(x,t)|^2 \, dx \, dt \right)^{1/2} < \infty. $$

该定理首次在临界正则性（$ BMO^{-1} $）下证明了Navier-Stokes方程的非唯一性，且无需外力驱动。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

a) 核心分析学工具：

  • 不动点定理（Fixed Point Argument）：用于构造扰动项 $ w^{(i)} $，使其满足修正后的Navier-Stokes方程：

    $$ \partial_t w^{(i)} - \Delta w^{(i)} + P \mathrm{div}(2v^{(i)} \odot w^{(i)} + w^{(i)} \otimes w^{(i)}) = -\mathrm{div} F^{(i)}, \quad w^{(i)}(0) = 0. $$

    作者通过定义线性化半群 $ S^{(i)}(t,t') $，将方程转化为积分形式（Mild Formulation）：

    $$ w^{(i)}(t) = \int_0^t S^{(i)}(t,t') (w^{(i)} \otimes w^{(i)} - F^{(i)}) \, dt', $$

    并在略低于临界正则性的函数空间中（如 $ \|F^{(i)}(t)\|_{L^\infty} \lesssim t^{-1+\alpha}, \alpha > 0 $）证明该映射为压缩映射，从而获得唯一解。

  • Littlewood–Paley分解与Besov空间理论：用于分析频率局部化的初始数据和解的结构，特别是利用投影算子 $ P_{\sim N_k} $ 选择性地控制不同频率间的非线性相互作用。

  • 半群估计与热核估计：利用热半群 $ e^{t\Delta} $ 的正则化性质分析“热主导流” $ v_k^{(1)} $，并分析线性化半群 $ S^{(i)}(t,t') $ 对 $ t' \to 0^+ $ 的行为，其估计略劣于 $ e^{(t-t')\Delta} $，但可通过频率尺度的超指数增长加以补偿。

b) 技术性难题的解决技巧：

  • 非唯一性机制的构建：作者借鉴第二作者在dyadic Navier-Stokes模型中的工作，构造了一种“交替主导”机制。初始数据 $ U_0 = \sum_{k=0}^\infty V_k^0 $ 是一个lacunary级数，每个分量 $ V_k^0 $ 局部于频率 $ |\xi| \sim N_k $，其中 $ N_k $ 是超指数增长的序列（如 $ N_{k+1} \gg N_k^2 $）。在每个频率层 $ k $，存在两种可能的演化路径：

    1. 热主导流：$ \partial_t v_k - \Delta v_k = \text{l.o.t.} $，解快速衰减（时间尺度 $ N_k^{-2} $）；
    2. 逆级联主导流：$ \partial_t v_k + P_{\sim N_k} \mathrm{div}(v_{k+1} \otimes v_{k+1}) = 0 $，解通过与更高频分量的非线性相互作用被“湮灭”。

    两种路径在交替的频率层上分别主导，从而构造出两个不同的近似解 $ v^{(1)} $ 和 $ v^{(2)} $，其区别在于哪个奇偶层采用热主导。

  • Mikado流构造：为实现精确的非线性匹配 $ V_k^0 = C N_{k+1}^{-2} P_{\sim N_k} \mathrm{div}(a_{k+1}^2 \theta \otimes \theta) $，作者使用Mikado流（空间上分离的剪切流叠加）代替简单平面波，使得应力张量 $ a_{k+1}^2 \theta \otimes \theta $ 可表示为多个秩一张量的线性组合，从而允许精确求解该方程。同时，Mikado流的支撑集可控制为体积指数衰减（$ |\mathrm{supp} V_k^0| \leq 2^{-k} |\mathbb{T}^3| $），从而将正则性从 $ B^{-1}_{\infty,\infty} $ 提升至 $ BMO^{-1} $。

  • 递归构造与常数控制：通过关系 $ \|V_{k+1}^0\|_{L^\infty} \approx C N_{k+1} \left( \frac{\|V_k^0\|_{L^\infty}}{N_k} \right)^{1/2} $，作者确保振幅增长被平方根衰减所抑制，避免了凸积分中常见的常数累积问题，从而在临界空间中实现构造。

4. 与之前工作的比较

a) 突破与改进：

本文首次在临界正则性（$ BMO^{-1} $）下实现了Navier-Stokes方程的非唯一性，且无需外力。这一结果具有根本性突破：

  • 对比Koch–Tataru定理（1991）：Koch–Tataru证明了当 $ \|U_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon $ 时解唯一存在。本文构造的 $ U_0 \in BMO^{-1} $ 虽满足小数据的“空间范数”条件，但其结构导致非唯一性，从而证明该小数据条件是sharp的，即若放宽小数据条件，唯一性必然失效。

  • 对比凸积分方法：此前的非唯一性结果（如Buckmaster–Vicol、Cheskidov–Luo等）构造的是弱解（$ C_t H_x^\epsilon $ 或 $ L^2_t L^\infty_x $），正则性远低于临界空间，且不满足能量不等式，无法与Koch–Tataru解比较。本文构造的解是全局光滑的（$ C^\infty((0,\infty)\times\mathbb{T}^3) $），且属于Koch–Tataru的自然路径空间，因此是“强解”意义上的非唯一性，直接挑战了临界空间的适定性理论。

  • 对比Jia–Sverák程序：Jia–Sverák的非唯一性依赖于自相似解与外力，其构造需假设存在一个数值上发现的不稳定稳态解 $ U(\xi) $，并证明其线性化谱性质。本文方法无需外力，也不依赖数值模拟或自相似结构，而是基于显式构造的频率交替机制，更具构造性和普适性。

综上，本文首次在“临界正则性+无外力+光滑解”这一最强组合下，证明了Navier-Stokes方程的非唯一性，标志着该领域从“弱解非唯一”向“强解非唯一”的重大跨越，其技术路线也为后续研究提供了全新范式。